tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn toán

Trường………………………………
Khoa…………………………..

Lý thuyết luyện thi
đại học môn
toán


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

KHẢO SÁT HÀM SỐ
S x  x  x  

Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC

1

I. Tam thức bậc hai:

1

  x  , ax 2  bx  c 
0

2

3

a

 a 


b  c0

0


a

 0 



1 x2
S  x1  x2  a b ; P 
ca
.x
 Pt có 2 nghiệm phân biệt   a
0

0
 Pt có nghiệm kép   a
0 0
 

 Pt vô nghiệm 



a



0
 b  0c 

a
 
0
0

 Pt có 2 nghiệm trái
0 dấu 
P0
 Pt có 2 nghiệm cùng dấu  



a
1

2

2

3

3

1

III.Đạo hàm:
BẢNG ĐẠO HÀM
x
u u2
(kx) '  k x 2
(ku) '  k.u
'



(x  ) '  .x 1
(u  ) '  .u '.u
1.
x)'
'



1(

u)'

u' (

2

x

'

1   1



2

u

1  u '

 
(sin x) '  cos x
(cos x) '  sin x

 
(sin u) '  u '.c os u
(cos u) '  u '.sin u

(tan
 x) '

(tan u) '

a

a





1 cos2

u'

x

 Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng
0 dương

  0
P  0
S

II
0
 Cho phương
.
trình : ax3 + bx2 + cx + d =
Đ
0
a
Giả sử phương
trình có 3 nghiệm x1 ; x 2 ;
th
x 3 thì: ứ
c
b

ậc

3

d



0P 

  0
P  0

S 
 Pt có
0 2 nghiệm phân biệt cùng âm

2

 x .x  x .x 

P  x .x .x 

0

c
  x  , ax 2  bx  c  




a

0 
0


a
b
0 0

 Cho phương trình : ax2 + bx + c=00
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 ; x 2
thì:

b ; x .x
c;
a

(cot x) ' 

cos 2 u
(cot u) ' 

u '

sin 2 u

1

(ex ) '

sin 2 x
 ex

(ln x) ' 

(eu ) '  u '.eu
(ln u) ' 

1
x

u'
u

log x ' 

1
x ln a

 log u  ' 

u'

u ln a
Trang(a1 x ) '  a x .ln a
(a u ) '  u '.a u .ln a
Quy tắc tính đạo hàm

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT
HÀM SỐ.

y‟ = 0 vô nghiệm 

1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
oTính y.
oTìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0
hoặc không xác định.
oTìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô
cực và tìm tiệm cận (nếu có).
oLập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo
hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
 Vẽ đồ thị của hàm số:
o Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm

y

D‟ = b2 – 3ac < 0
a>0

I

I

0

0

x

x

– Tính y.

y  ax 4  bx 2  c

(a  0) :

 Tập xác

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.

định D = R.
oVẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ

Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
thị.
oXác định một số điểm đặc biệt của đồ

 Các dạng

đồ thị:

y‟ = 0

thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

có 3 nghiệm
y‟ = 0 cóphân
2 nghiệm
biệt
phân
 biệt
y

a<0

3. Hàm số trùng phƣơng

số bậc ba và hàm số trùng phương).

a>0

y

D‟ = b2 – 3ac > 0
a<0
y

ab < 0
(trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ
I toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể

hoặc việc tìm

bỏ qua).0 Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ
thị để cóx thể vẽ chính xác hơn. 0
oNhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối
I
xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Hàm số bậc ba y  ax3  bxx 2  cx  d (a 
0) : y‟ = 0 có nghiệm kép 
Trang 2
= b2 – 3ac = 0
= R.
 Tập xác định DD‟
a>0
a<0

a>0
a<0




LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

 Đồ thị có một tiệm cận đứng là x 

d
và một

c

tiệm cận ngang là y  ca . Giao điểm của hai
tiệm
cậ
n
là
ad – bc > 0
ad – bc < 0
tâ
m
đ
ối
x
ứ
n
g
c
ủax 2  bx 
5. Hàm số hữu tỷ y ac
a'x b
đ
'
( a.a '  0, tử không
ồ chia hết cho
mẫu)
th

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
KHẢO SÁT HÀM SỐ

Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI
ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA
ĐƢỜNG CONG
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của
hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại
điểm
M0 x 0 ; f Khi đó phương trình tiếp tuyến

(x 0 )(C)
 . tại điểm M0
của
y0 0=)f
(x0).(x
x 0 ;y f– (x
là: –

(y0 =
x0)
f(x0))
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp
tuyến của
đƣờng cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của

(C): y =f(x) tại điểm M0
x 0x0; ythì0 tìm y0 = f(x0).
 Nếu
cho



ị a'
Tập xác định D = R h\

 Đồ thị có một tiệm cận
à đứng là x  b ' và
a'
m
mộtlà tâm
tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm cận
số
đối xứng của đồ thị hàm số.
.
b'
.
 Các dạng đồ thị:
 Các dạng đồ thị:
y = 0 có 2 nghiệm phân biệt
a0
a0


Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của
phương
trình f(x) = y0.



 Tính y= f(x). Suy ra y(x0) = f(x0).

 Phương trình tiếp tuyến  là:
y – y0 = f(x0).(x –
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của
x0)
(C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước.

y = 0 vô nghiệm
a0
y

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
a0

 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f(x0).

y

  có hệ số góc k  f(x0) = k (1)
 Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính
y0
= f(x0). Từ đó viết phương trình của .
Cách 2:trình
Dùngđường
điều kiện
xúc.
 Phương
thẳngtiếp
 có
dạng:

0

x

y = kx + m.

0

x

  tiếp xúc với (C) khi và
chỉ khi hệ phương
trình sau có nghiệm:
 f (x)  (*)
 f '(x) 

kx  m
 Giải hệ (*), ktìm được m. Từ đó viết phương
trình của .
Trang 3


LÝ THUYẾT TỐN LTĐH
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể
được cho gián tiếp như sau:
 tạo với chiều dương trục hồnh góc 
thì k = tan
  song song với đường thẳng
d: y = ax + b thì k = a
 

vng góc với đường thẳng

Cao Hồng Nam
Dạng 3: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d
mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp
tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.
Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số
góc k: y = k(x – xM) + yM
 tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
f

d: y = ax + b (a  0) thì k =  a

1 d: y = ax +
  tạo với đường thẳng
b mộtk 
 tan 
góc  thì
a ka
1

(1)


f '(x)  k

Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của
(C): y = f(x), biết  đi qua điểm A(x A ; y A ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.



Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi
đó:
y0 = f(x0), y0 = f
(x0).



Phương trình tiếp tuyến
 tại M: y – y0 = f
(x0).(x – x0)
 đi qua A(x A ; y A ) nên:



yA – y0 = f(x0).(xA – x0)
 Phương trình đường thẳng  đi qua
(1)
A(x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x –

Giải phương trình (1), tìm
xA)
được x0. Từ đó
viết
phương
trình
  tiếp xúc với của
(C) .
khi và chỉ khi hệ phương

Cách
2:
Dùng
điều
kiện
tiếpxúc.
trình sau có
 nghiệm:
f (x)  k(x
(*)
 f '(x) 

x A )  yA
 Giải hệk(*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết
phương trình tiếp tuyến .
Dạng 2: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc

(x)  k(x  x M ) 
yM

Dạng 4: Tìm những điểm
(2) mà từ đó có thể vẽ
đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
và 2 tiếp tuyến đó vng góc với nhau
k từ yM).
(2) vào (1) ta được:
Thế
Gọi
M(xM;
= (x

– xM).f
+ yM
Phươngf(x)
trình
đường
thẳng(x)
 qua
M có hệ số
góc k: y = k(x – xM) +(3)
yM
 tiếp
vớicủa
(C)(C)
khivẽ
hệtừsau
nghiệm:
tiếpxúc
tuyến
Mcó
= Số
nghiệm
Số
x của (3)f

(x)  k(x  x M ) 
yM
(1)



f '(x)  k
(2)
Thế k từ (2) vào (1) ta được:
f(x) = (x – xM).f (x) + yM
(3)
Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) 

Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x)
và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương
trình sau có nghiệm:

(3) có 2 GIAO
nghiệm phân
Vấn đề 2. SỰ TƢƠNG
CỦA
biệt x1, x2.
CÁC ĐỒ THỊ
Hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau
1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x).
 f (x) 
f (x1).f (x2) = –1
Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1 ) và (C2 )


f
'(x)

g
'(x)
Từ đó tìm được M.

g(x)
ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là
Nghiệm của hệ (*) là hồnh
Chú ý: trình
Qua hồnh
M vẽ được
2 tiếp
tuyến với (C) sao
(*)
phương
độ giao
điểm).
độ của tiếp điểm của hai đường
cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao
đó.
thì (3) có2 nghiệm phân biệt
Trang 4 

f(x1 ).f(x2 ) <


LÝ THUYẾT TỐN LTĐH
điểm của hai đồ thị.
2. Đồ thị hàm số bậc ba
y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) cắt trục hồnh
tại 3
điểm phân biệt
Phương trình ax3  bx 2  cx  d  0 có
3 nghiệm phân biệt.

Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có cực đại,
cực tiểu và yCĐ .yCT  0 .

Vấn đề 3. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM
CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ
THỊ
 Cơ sở của phương pháp:
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số
giao
điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hồnh
độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y =
g(x)
 Để biện luận số nghiệm của phương trình
0 ta biến đổi (*) về(1)
Dạng
1:= 0 (*)F(x,
F(x, m)
bằngm)đồ= thị
một
f(x) =làmphương trình hồnh
Khi
(1) có
trong
cácđódạng
sau:thể xem
độ giao điểm của hai đường: (C): y = f(x) và

d: y
=m
d là đường thẳng cùng phương với Ox
Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số
giao yđiểm của (C) và (C)
d. Từ đó suy ra số
nghiệm của (1)

yCĐ

yCT

m

(d) :
y=m
A

xA

x

Cao Hồng Nam
Bài tốn 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng
trình bậc 3
 Trƣờng hợp
1: (1) chỉ có 1
nghiệm 



f có 2 cực (h.1b)
(C) và
 CĐ .y CT >0
 chung
Ox có 1trò
điểm
y
 f không có cực trò

(h.1a)

 Trƣờng hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm 
(C)
tiếp xúc với Ox
f có 2 cực (h.2)
y CĐ.yCT =0
trò

 Trƣờng hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt 
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

f có 2 cực
trò  y CĐ .y CT

<0
Bài tốn 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm
cùng dấu
 Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương
phân biệt 
(C) cắt Ox

tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương

F(x, m) = 0 
Dạng 2:
(2)
f(x) =tự,
g(m)
 Thực hiện tương
có thể đặt g(m) = k.
 Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

f có
2 cực trò
.y
yCĐ CT < 0

xCĐ > 0, xCT > 0
a.f(0)

Đặc biệt: Biện luận số nghiệm của phƣơng
trình bậc ba bằng đồ thị
 Cơ sở của phương pháp:
Xét phương trình bậc ba:
ax3  bx 2  cx  d  0 (a  0) (1) có đồ thị
(C)

Số nghiệm của (1) = Số giao
điểm của (C) với trục hồnh

(h.3)

< 0 (hay ad

< 0)

 Trƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân
Trang 5


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
biệt 
phân biệt có hoành
độ âm

Cao Hoàng Nam

(C) cắt Ox tại 3 điểm

.y CT < 0

yfCÑcoù
2 cöïc trò

xCÑ < 0, xCT < 0

a.f(0)

Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng
d: y = ax + b

Cơ sở của phƣơng pháp: A, B đối xứng nhau
qua d 
d là trung
trực của đoạn AB
Phương trình đường thẳng  vuông góc

> 0 (hay ad

> 0)

Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Đồ thị hàm số y = f

 x

số
Gọichẵn)
(C) : y  f (x) và (C1 ) : y  f

Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

với d: y = ax + b có dạng: : y   1 x 
ma
 Phương trình hoành độ giao điểm của  và
f(x) =  1 x  m
(1)
a
Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2

điểm phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là
các nghiệm của (1).
 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d 
(C):

(hàm

 x

ta thực
hiện
Bƣớc
1. Vẽ đồ thị (C) và chỉ giữ lại phần đồ
các thị
bước
nằm
sau:
phía bên phải trục tung.
Bƣớc 2. Lấy đối xứng phần đồ thị ở
bước 1 qua trục tung ta được đồ thị (C1).
2. Đồ thị hàm số y = f(x)
Gọi (C) : y  f (x) và (C2 ) : y  f ta thực hiện
(x)
các bước sau:
1. Giữ
Vẽ đồ
(C).đồ thị của (C) nằm phía
Bƣớc 2.
lạithị

phần
trên trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị
nằm phía dưới trục hoành của (C) qua trục
hoành ta được đồ thị (C2).

I
d, ta tìm được m  xA, xB  yA, yB  A, B.

Chú ý:
 A, B đối xứng nhau qua trục hoành


và
Gọi (C1 ) : y  f  x  , (C2 ) :
x
y(C3 )f :(x)
y  f  x  . Dễ thấy để vẽ (C3)
các bước vẽ (C1) rồi (C2) (hoặc (C2) rồi
3. Đồ thị hàm số y = f



x A

xB

 y
yA

ta thực hiện

(C1)).

B

 A, B đối xứng nhau qua
trục tung

Trang 6

x A 
x B
y 
y


A


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phƣơng pháp: A, B đối xứng nhau
qua I 
I là trung
điểm của AB.
Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có
hệ số góc k có dạng: y  k(x  a)  b .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C)
và d: f(x) = k(x  a)  b
(1)

Cao Hoàng Nam

LƢỢNG GIÁC
Vấn đề 1: ÔN TẬP
I. Góc và cung lƣợng giác:
1. Giá trị lượ ng giác củ a một số
góc:



6
4
3
Α
0
Sinα

Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I 
I là
trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB.
Chú ý:
Dạng 3: Khoảng cách

AB =

A

B

A

(x  x )2 
(y  y)2 A

B

3.Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường
 yA  yB
thẳng : ax + by + c = 0:
ax  by  c
d(M, ) =
0

Nhận xét: Ngoài những phương pháp đã nêu, bài
tập phần này0thường kết hợp với phần hình học
a 2 chú
 ý xem lại các
giải tích, định lý Vi-et nên cần
b
2
tính chất hình học, các công cụ giải toán trong
5.Diện
tích
tam
giác
hình học

giải
tích,
ápABC:
dụng thành thạo định lý
Vi-et trong
1 tam thức bậc1hai.

S=


 2
AB.AC.sin A 

AB2 .AC2 
3

1

2
2

3
2

3
2
3
3

2

2

1
2

1
0

3

3
3
Cotα
1
0
3

2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo)
Tanα

 x

x
Kiến thức cơ bản:
A, B đối xứng
qua gốc
toạ độA,OB:

1.Khoảng
cách giữa

hai điểm
B

Cosα

0

1
2


2

0

–x

 –x

Sin

–sinx

sinx

Cos
Tan
Cot

cosx –cosx

–tanx –tanx
–cotx –cotx

1



–x +x

2
cosx
sinx
cotx
tanx


2

–sinx
–
cosx

cosx
–sinx
–cotx
–tanx

tanx
cotx

II. Công thức lƣợng giác:
1. Công thức cơ bản:
sin 2 a  cos2 a 
1
tan a.cot a  11
1 tan 2 a
cos2 a

1 cot 2 a sin 2 a
2. Công1thức cộng:
cos(  )  cos .cos   sin
.sin 
cos(  )  cos .cos   sin
.sin  sin(  )  sins .cos 
 cos .sin  sin(  )  sins

 AB.AC

1 .sin
tan .tantan(
.cos   cos

tan(

) 
tan
)

tan 1
 tan

tan.tan
  tan 


2

Trang 7

+x




LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
3. Công thứ c nh ân đôi, n h ân
ba: 2  cos2   sin 2   2 cos 2   1  1
cos
2sin 2 
 (cos   sin  )(cos   sin  )
s in2  2sin .cos 
cos 3  4 cos 3  
3cos  sin 3  3sin 
 4 sin 3  4. Công thứ
 12 cos 2x 
ccos
hạ2 xbậc:
1 sin 2 x
 (1 cos x)(1 cos
x)

2


cos
x)(1
sin x)
sin(1
2 x
1
cos

5.
thứcos
c biến
2xCông
 1
2 x đ ổi
tổng thành tích:
cos x  cos y  2 cos x
2  y cos
2

x y

cos x  cos y   2 sin2 x  y2
sin x  y
sin x  sin y   2 sin 2x  y 2cos

x y

sin x  sin y  2 cos 2x

 y 2sin

6. Công
x thứyc biến đ ổi tích thành
tổng:

Cao Hoàng Nam

Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC
I. Phƣơng trình cơ bản:
x  
k

x k2
    
k2
k
 cos x  cos    x  


x   k2
k2
k 
 tan x  tan  
x
k 




k
Trường hợp đặc biệt:
cot x  cot  
 sin x  0 x  k , k  
x    k

k
 k2
 sin x  1 x 

2
 sin x   1 
k

x     k2

k
22

k 
 cos
cos xx 1
0 

x

k2
II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một

   k
hàm lƣợngx giác:
2
 a sin x  bs inx  c  0
 (1)
 a cos2 x  b cosx  c  0


sin x  sin 

(2)

2
 a cot x  a cot x  c  0
a
tan
2
x  b tan x  c  0
cos  cos2   1 cos(
(4)
Cách giải:
(3)
 )  cos(  ) 
- Đặt t là một trong các hàm lượng giác.
sin  sin 


1

cos(

2
Giải phương trình theo t và dễ dàng tìm được
 )  cos(  ) 
nghiệm của phương trình đã cho.
2sin  cos  
III.Phƣơng trình a.sin x  b.cos x  c
 Một số
Cách giải:
1

sin(

)
chú
sin 4 x 
cosý4cần
x  1  2.sin 2 x.cos 2 x
- Nếu a 2  b2  c2 : phương trình vô
thiết:

sin(

)

- nghiệm
sin 6 x  cos6 x  1  3.sin 2 x.cos 2 x
2  b2a 2c2b2: Ta
. Ptchia
trở hai vế của
phươngNếu

trìnhacho
sin 8 x  cos8 x  (sin 4 x  cos 4 x) 2  2 sin 4
thành:
a
b
c
x.cos 4 x
sin
x

cos x  2
2
2
2
2
2
a b
a b
a b
c
 8(1 2 sin 2 x.cos2 x)2  2 sin 4
cos .sin x  sin .cos x 
x.cos
4 x
a2 
Trong một
số phương
trình lượng giác, đôi
b2
khi ta phải sử dụng cách đặt như sau:

c
sin(x  ) 
Đặt t  tanx1 sin 4 2x  sin 2 2x 1
a2 
b2
1
2t


a
Khi đó: sin 2x 
cos 2x  t 2
;
;
cos

1 t 2
1 t 2
L
2
2
2
2 
a b b 
a b
ƣ

u
ý:
Trang 8



si


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
Biến thể:
a.sin x  b.cos x  csin y  d cos
y

Cao Hoàng Nam
VI. Phƣơng trình A.B 
0Cách giải:
- Dùng các công thức biến đổi đưa về
dạng A.B  0

Trong đó: a 2  b2  c2  d 2
a.sin x  b.cos x  csin y (có thể c.cos
y)
a.sin 2 x  b.sin x.cos x  c.cos 2 x 
Trong
d đó: a 2  b2  c 2
IV. Phƣơng trình
Cách 1:Cách giải:

A.B  0   A 

0B
 0

Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT
 Xuất hiện 3 nghĩ đến phương trình III.

Xét cos x  0 

x
2
   k2 , k  
Pt trở thành: a = d.(kiểm tra đúng sai và két luận
có nhận nghiệm cos x  0 hay không?)
-

Xét cos x  0 

x
2
   k2 , k  
Chia hai vế của phương trình cho cos2 x .
Phương
trình trở thành:
-

a.tan 2 x  b.tan x  c  d(1 tan 2
x)
Đặt thức
t  tan
ta đưa
dễ dàng
giải được

Dùng công
hạ xbậc
về phương
trình III.
phương trình.
Chú ý: Đối với dạng phƣơng trình thuần
Cách 2:
nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos ta cũng
có cách giải hoàn toàn tương tự.
V. Phƣơng trình
a(sin x  cos x)  b.sin x.cos x  c 
0
Đặt t Cách
sin xgiải:
 cos
x
Điều kiện: t  2 
 Do t  2 sin  4x 



 có: t
Ta
2  sin 2 x  cos2 x  2sin

x.cos x
t2
 sin x.cos x  1
2


t2
Pt trở thành: a.t  b 1  c  0
2

Xuất hiện 3 và góc lượng giác lớn nghĩ đến

dạng biến thể của phương trình III.
 Xuất hiện góc lớn thì dùng công thức tổng
thành tích để đưa về các góc nhỏ.
 Xuất hiện các góc có cộng thêm
 
k , k , k thì có thể dùng công thức tổng
thành
tích,
4 tích2thành tổng hoặc cung liên kết, hoặc
công thức cộng để làm mất các k 4 ,2k 
 Xuất hiện 2 thì nghĩ đến phương trình III
, k
hoặc cũng có khả năng là các vế còn lại nhóm
được (sin x 
cos 2 vì
x) để triệt
 
t  sin x 
cos
 4
x
2 sin  
 Khi đã đơn giản các góc, mà chưa đưa về
x

được phương trình quen thuộc thì nghĩ ngay đến
khả năng “nhóm nhà, nhóm cửa”. Lưu ý, khả
năng tách phương trình bậc hai theo sin (hoặc
cos) về tích hai phương trình bậc 
nhất.
Chú ý: Góc lớn là góc có số đo lớn hơn
2x. Ta chỉ sử dụng công thức nhân ba khi đã
đưa bài toán về sinx, sin 2 x hoặc cosx, cos2
x.

Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC

Ta dễ dàng giải được.
Chú ý: Đối với dạng phương trình
a(sin x  cos x)  b.sin x.cos x  c
0
Bằng cách đặt t  sin x  cos x 2 sin  x 
 4
ta sẽ giải được 
với cách

tự
 giải hoàn toàn tương
như trên.

I. Công thức sin, cos trong tam giác:
Do A  B  C   nên:
a. sin(A  B)  sin C
b. cos(A  B)   cos C
Do

Trang 9

  nên:
C
2
2 A2 B
a. sin(  )  cos
2
2
2

ABC

2


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
b. cos( A
2 2B )  sin
2
II. Định
Clí hàm số
sin:
a
b
c


 2R

SinA
SinB
SinC
a 2  b2  c2  2bc
III.Định
cos A lí hàm số
cosin:
2
2
2
IV. Công thức
đƣờng
m
2

2b

2c
trung
tuyến:
a
4
 a
V. Công thức đƣờng phân giác:
2
la  2bc.cos A
b c
VI. Các công thức tính diện tích tam giác:
a
S  21 ah

2 1 bc sin A
4R
abc  pr p(p  a)(p  b)(p 
c)

Cao Hoàng Nam

ĐẠI SỐ
Vấn đề 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
HAI
I. Phƣơng trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c 
0
có   trình
b2 vô4ac
.
 (a
  00): phương
nghiệm.


 0 : phương trình có nghiệm kép x 



  0 : (3) có hai nghiệm phân biệt

 b  b2 
b
 4ac

x1,2 2a
2a
II. Định
lý Vi–et (thuận và đảo)
 Cho phương trình ax 2  bx  c  0

có
S  x  x  
1
2

a
nghiệm x1 , x 2 thì b
P  x .x  c




1

b
.
2a

hai

2

 Nếu biết 
S  x thìax, y là nghiệm của

Py

phương trình X
2  SX  P  0 .
x.y
III.Bảng xét dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax2 + bx + c (a 
0)
x



y
x
y

  0:



Cùng dấu a


0:
Cùng dấu a
a

x0
0


Cùng dấu

  0:
x
y



x1

x2



Cùng
0
trái
0
Cùng
IV. Cách xét dấu một đa thức:
 Tìm nghiệm của đa thức gồm cả nghiệm
tử và nghiệm mẫu (nếu đa thức là phân thức)
 Lập bảng xét dấu
 Xét dấu theo quy tắc “Thượng cùng, lẻ
đổi, chẵn không”
Chú ý: Không nhận những điểm mà hàm số
không xác định.
Trang 10

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
CAO

Lúc đó ta có:
a1  a 2

a1aa 2  b1  b2

ab1 b2  2a 1b 
c b1b 2

I. Phƣơng trình bậc 3:
ax3  bx 2  cx  d  0(a
 0)


Bước
1: nhẩm
2: chia
ax3 1 nghiệm
bx 2  cxx  d
 Bước
 sơ đồ Horner), đưa (4) về
( x   cho
) (dùng

phương
trình tích (x  )(ax 2  Bx  C)  0 .
Chú ý: trường hợp nghiệm phương trình bậc lớn
hơn 3 ta cũng có thể giải tương tự.
mộttrong
cácnhẩm
tỉ số (ước
của dhữu
với tỉ:
ước
của a) là
Cách
nghiệm
Nghiệm
II. Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt:
1. Phƣơng trình trùng phƣơng:
ax4 + bx2 + c = 0 ( a  0
)
Đặt t = x2, t  0 . (5) 
at2 + bt + c = 0.
3. Phƣơng trình đối xứng:
ax4 + bx3
1 + cx2 
pt  
x 2 a bxxx+2a= 0 ( a  0 )

  bBước
 x1:Chia 2vế cho x2, 1
Bước 2: Đặt t  x  x
1,


c0.
đưa hai
(8) theo
về phương
trình
bậc
t.
3. Phƣơng trình trùng phƣơng tịnh tiến:
(x + a)4 + (x + b)4 =
c
2
phương
theo
t
Đặt t  x  a  b , đưa (7) về phương trình
4.Phƣơng trình cân bằng hệ số theo
trùng
phép cộng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + c = b + d
Đặt t = (x + a)(x + c), đưa (6) về phương
trình bậc 2 theo t
6.Phƣơng trình cân bằng hệ số
theo phép nhân:

x  a x  b x  c x 
d   mx 2 với ab=cd=p
2
6. Phƣơng pháp hệ số bất định:
Giảt sử

Đặt
 xphương
 ad trình
hoặcbậc
t 4:(x  a)(x  d)
x4 + ax3 + bx2 + cx + d

 dhành nhẩm tìm các hệ số a1 ; b1 ;
Tiếp theo tiến
a2 ; b2 . Bắt đầu từ b1b2 = d và chỉ thử với các
giá
trị nguyên.
Chú ý: Phương pháp hệ số bất định này còn
áp dụng rất nhiều ở các dạng toán đòi hỏi nhóm
đặt thừa số chung hay phân chia phân số.
III.Phƣơng
pháp
hằng
biếnsố là
Phương
pháp: Coi
các tham
giá trịsố,
tham
số,sốhằng
thiên:
biến. Còn biến được coi làm hằng số.
IV. Phƣơng trình
2

a f (x)   b.f
(x).g(x)  c g(x) 

2

 Xét g(x) = 0 thỏa phương trình?
Trong đó bậc f(x) và g(x)  2.


Xét g(x)  0 chia hai
t  vế
f
g(x) cho g(x) 2
(x) .

0

đặt

Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
I. Các công thức:
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
A 0

A 2 A 
  A, A 

A,
2

2
0
AB  
 A2 

2  3B 4
B2   A  
 (A 
B)3

B
b  B3
 A3 

 ax bx 
c  a x  
2a A
4a

3AB
 – bất phƣơng trình chứa
2. Phƣơng trình
dấu giá trị tuyệt đối: B 
2

2




= 0 và có phân tích thành
(x2 + a1x + b1)
( x2 + a2x + b2) = 0
Trang 11

A  B
 B2 
B
A  B

A2
A

A 
B

0

B


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam



A B
 B  A B
 A  B  B 


0 B A
B
B 
B
 A
B0

0A  B 
3. Phƣơng trình – bất phƣơng A
trình
 Bvô tỷ:










A  B  A  0 
A 
A

B

B


B A 0
B
A
 0B 0 
B2 A  B  0
A  B  B 

0A 
B

A  B  A  0 
A 
B2
B 
A
 B  B  0

0A 
0A  
B2
3 A
 3 B 0
AB




–

P x   Q

P x  

 





P x .Q x
Q
x 0
x Đặt t 

Cách giải:
P x  
 2  2  0

 



f x   g x  
fg
x  

g(x)  0 x  
f x  
điều kiện
0g 2 x. Đặt


bình phương hai vếf x 
f Chú
x  
g
ý: Ở đây ta có thể không đặt
xkiện,
 cứ bìnhphương
hg xcác vế để mất
điều
căn, phương trình mới
 là phương trình hệ
x 
quả của phương trình đã cho. Do đó khi

f 
xxh x  kx 
Tagbiến
phương
xđổi

k xtrình
 về dạng

Với



2

2n

 giải
f tìmx nghiệm
  ta gphải
xthử
 lại.


A  B  3 3 A.B
3 A
 Sử dụng phép thế : 3 A  3 B  C
 Ta được phương trình:
3 B
C
A  B  3 3 A.B.C 
C

b. Đặt ẩn Thử
phụ:lại nghiệm.



II.
1. Phƣơng trình vô tỷ:
a. Dạng cơ bản:






px 2  qx  r trong a 
ax 2  bx  c
pb q
đó

2
Cách giải: Đặt t  px  qx  r điều kiện t 
0Dạng 2: Phƣơng trình dạng:

2n 1

2n

3 A3 B 3 C



Dạng 1: Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình 1 ẩn
mới:

A  B A  0 
A B A
A 

 B2n1 B
 2n A  B  B B  0

0A 

Các dạng
gặp:
B2n
 toán thƣờng




f x   h x   k
Bình phương,
x  giải phương
g x trình
 hệ quả.

h



 t 2  PQ
xx Q x 

2 P
P(x)  Q(x)   P(x).Q(x)   
x .Q x 
0
Dạng 3: Phƣơng trình dạng:  0 
P
Cách giải:
* Nếu P x   0 
x  

pt 
0

*
t Q
với t Q
0 x   0
Px
N

Dạng4:xPhƣơng trình đối xứng với hai căn
ế
thức:

a  cx  b u cx  d a
P  n
Cách 
giải:
cx b
cxĐặtt b a  cx
cx



a  b x t 

Dạng 5: Phƣơng trình dạng:




x  a 2  b 2 
xa
 
b bx a 2  b  2a x

2a
 b
0
Cách giải: Đặt t  x  b điều kiện:t cx
 m
0
Trang 12

c
h
i


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
Đưa phương trình về dạng:
t  a  t   c(t 2  b) 
m
a
Dạng 6: Phƣơng
pháp tham số, hằng số biến
thiên.

6x 2 10x  5 6x2  6x  5 
0

c. Sử
dụng
ẩnphụ đưa về hệ đối xứng, hệ
4x
1

nửa đối xứng:
Dạng 1: Phƣơng trình dạng
x n  a  b n bx 
a
Cách giải: Đặt y  n bx  a khi đó ta có
hệ:

y n  bx  a 

x n  by  a  0
0


ax D b  r ux 
trong đó va,u,2ạ r dx
0 vàu e ar  d, v  br
n

e
Cách giải: Đặt uyg  v  ax  b khi đó ta có hệ:
2:
uy
 v  r ux
P


h 2  dx  e

 axv

b  uy 
ƣ
Dạng 3: Phƣơngơ trình dạng:
v 2
n
n a  f x   m b
g
trx 
 fĐặt
Cách giải:
u  nca  f
ìn
Khi
đó, ta
x 
vcóhệ:m bh  f x 
du  v
ạu n
m
n c
d. Nhân lượng liên hiệp:
g:  v  a 
Dạng 1: Phương trình có dạng:
b





f x   a 

Cách giải: Nhân lượng liên hợp của vế trái khi đó
ta có hệ:

f x   a 

x
 f x   fa
fb


b
 x   b f x 
Dạng 2: Phương trình dạng:

f

Cao Hoàng Nam
Ta nên biến đổi để nhân cho lượng liên hiệp
tổng để việc chứng minh nghiệm duy nhất
được dễ dàng.
e. Phương pháp hàm số:
Dạng 1: Chứng minh nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*)
có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước

sau:
Chọn được nghiệm x0 của phương
trình.
Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y
giao nhau
điểmTaduycần
nhấtchứng
có hoành
x0 .
= tại
g(x)một
(C2).
minhđộmột
Đó chính
là
nghiệm
duy
nhất
của
phương
trình.
hàm số đồng biến và một hàm số nghịch
biến.
vàhai
(C2)
Chú
ý: Khi
Nếu đó
một(C1)
trong

hàm số là hàm
hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
Dạng 2: Biện luận tham số m
Đặt ẩn phụ theo các phương pháp trên.
Chuyển m theo ẩn phụ m
Dùng công cụ đạo hàm để định m thỏa
bài toán.
f. Phương pháp đánh giá:
Phương pháp này chủ yếu dựa vào các bất
đẳng thức, đạo hàm để dánh giá so sánh vế
trái và vế phải. Nghiệm bài toán là khi ta đi
giải quyết dấu bằng xảy ra khi nào của các
đẳng thức trái và phải.
2. Bất phƣơng trình vô tỷ:
Phương pháp giải bất phương trình cũng
được chia thành các dạng giống như giải phương
trình.
Chú ý:
 Luôn đặt điều kiện trước khi bình phương.
 Một số công thức bổ sung:
f (x)
 0  f (x) hoặc f (x)
a.
g(x)
g(x) 
g(x) 

 a

 

  

g x
a
f x
Chú ý: Bài
xtoán
 nhân liên hiệp thường dùng nếu
ta nhẩm được nghiệm của bài toán và nghiệm đó
duy nhất.  g x
là nghiệm
Trang 13

b.
c.

d.

f (x)

0
 0
0
0f (x)
f (x)
0 


0
0

hoặc 


A
g(x)
1
g(x)  0
B
B

A

g(x)  0
B
2
B  0

A 
0
1

A 
0
B  0

B

hoặc 
A 


0
A 
B

2


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH

V. Hệ đẳng cấp bậc 2:
2


a 1x 
b1ay2 x cb21 y 
Cách giải:
c2
a1 b1
c1 b1
a1 c1
Đặt D 
, Dx 
, Dy 
a 2 b2
c2 b2
a 2 c2

1. D  0 : Hệ phương trình có nghiệm duy
x / D
nhất x 
.

y

D
y
/
 D
D
2.D  0, Dx  0 hoặc D y  0 : Hệ
phương
trình vô nghiệm.
4.D = Dx = Dy = 0: Hệ có vô số nghiệm
thỏa a1x + b1y = c1 hoặc a2x + b2y = c2.
II. Hệ chứa một phƣơng trình bậc nhất:

2

2

Cách giải: y  d 2
 Xét y = 0.
 Xét y  0 khi đó đặt x  ty và
giảitrình bậc hai ẩn t
phương
VI. Hệ bậc hai mở
rộng:


f
 (x, y) f (x, y)

g(x,
0 y)  0 
 .f
0 (x, y)  .g(x, y)
f0 (x, y)

(ax0 by  c)(px  qy  r) 
0

y  1

b


ax 
c  ax  
f (x, y)c  f  x, 1 c
by

d
  b

2


 a1x  b1xy  c1 y


d1a 2 x  b2 xy  c 2


I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn:



ax   d

III.Hệ đối xứng loại 1:
f (x, y) với f (x, y)  f



g(x,x)y)  g(y,
g(x,
0 y) 
(y,
0
x)
Cách giải: Đặt u  x với u 2 

 vy 4v

IV. Hệ đối xứng
xyloại 2:
Dạng 1: 
f (x, y) với 
f (x, y) 



g(x, y)
g(x,
0 y) 
g(y,
x) f (y,
Cách giải: 0
x)

(x  y)h(x;
f (x; y) 


f (x; y)

g(x;
y) 0
y)f (x;
 y)0 
0x  y
0
 
h(x; y)


f 0(x; y)  0 
f 0(x; y) 
0
Dạng 2: f (x, y) trong đó chỉ có một phương


g(x,
0 y) 

trình đối xứng.
0
Cách giải:
Cách 1: Đưa phương trình đối xứng về dạng
tích giải y theo x rồi thế vào phương trình còn
lại.
Cách 2: Đưa phương trình đối xứng về dạng
f (x)  f (y) 
x  y với hàm f
đơn điệu.
Trang 14

Chú ý: Một số bài toán cần phải đặt ẩn
phụ để chuyển về các dạng toán đã biết.
Ngoài ra phương pháp đánh giá và phương
pháp hàm số cũng có
thể được dùng để giải.


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

MŨ - LOGARIT
Vấn đề 1: CÔNG THỨC
I. Hàm số mũ y = ax (a > 0)

1. Tập xác định: D  
2. Tập giá trị: G  (0; )
3. Tính đơn điệu:
 0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên 
 a > 1: Hàm số đồng biến trên 
4. Một số công thức cơ bản:
 a 0  1 (a 
0)
 a m .a n 


a

mn

 
m



1

a
a

a :a 
a
n

n




m

n

mn

(ab)m n
  a
a m a mn

aa mn a.bmm
bm

b
Hàm
a m.nsố logarit y = logax (0  a 
II. 
1)
Định nghĩa: y = logax 
1. Tập xác định: D  (0; ) x = ay
m


 a
x   : f (x), g(x)


1 
2. a f (x)  a g(x)



 0 


a  1f (x) 

g(x)
 b

 0f (x)  log
 
3. a

0a
b
 b


1 b

 0  x  :f
(x)  

b
0f (x)  log
 

4. a

b b

ab

1

0  x  :f

 
 f (x)
(x)  g(x)
5. a


a0a 1
 f (x)  g(x)
6. a


aa 
IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình logarit
f(x)

f(x)

a

a

f(x)

g( x )

f(x)

g( x )

1
cơ bản:

b
1. log a f (x) f (x)  a
0a

b
1
2. 
 log a f (x)  loga g(x) 

0  a 
f (x)f0(x) 
g(x)b
1
3. log a f (x) 0  f (x) 
 a loga x  x
 eln x 
0a


a
b
2n
loga x  2n log a x
1

 x
4. 
log a f (x)  b 
1


a 
logb c 
 log a b 
f
b  log b
 alog
log b a
1 a f (x)  loga g(x)
clogab a

(x)
0 < f(x) < g(x)
5. 
lo  a b

0

a


 log a b 
 log a b.logb c  loga c
g
a
logclog
bca
1 log a f (x)  log a
6. 
f(x) > g(x) > 0

 loga (bc)  loga b  loga

a

g(x) 
c
V. Các
1 dạng toán thƣờng gặp:
 log a 
 b  a log ba
1. Phƣơng trình mũ:
log 
cc
a. Đưa về cùng cơ số:
III.Phƣơng
trình và bất phƣơng trình mũ cơ

Với a > 0, a  1: a f (x)  a g(x) 
bản:

f (x)  g(x)
a
f(x)

b

1. 
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn

0b a  0f (x)  loga
số thì:
b
1
afM
N 
(a
(x)  ag(x)
a b 
f(x) 

1)(M  N)  0
loga b .g(x)
b.
Logarit
hoá:
Trang 15

2. Tập giá trị: G  
3. Tính đơn điệu:
 0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên D

 a > 1: Hàm số đồng biến trên D
4. Một số công thức cơ bản:


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
c. Đặt ẩn
phụ :
Dạng 1:
t  a f ( x ) , t ,
P(a f (x ) ) 

 0P(t) 
0

trong đó P(t) là đa thức theo
0 t.
Dạng 2:

a
b

Cao Hoàng Nam

 (ab) 
0
Chia 2 vế cho b2f (x ) , rồi t  
 b
đặt Cách giải:
a 
2 f (x)

2f (x)

f (x)

f(x)

Dạng 3:
ab  1.
a f (x)  bf (x)  m ,
bf
Cách giải: Đặt t  a f (x ) 
với
t
(x )  1
d. Sử dụ n g tín h đơ n đi ệu củ a
hàm số:
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x)
và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất.
 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì
về phương trìnhu các
f (u)e. Đưa
f (v) 
 v phương trình
đặc biệt:

A
 Phương trình tích: A.B = 0  



0B
 Phương trình A 2  B2  0  0

B 
A  0
f. Phư ơ n g ph áp đ ối lập:
0
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
 M
Nếu ta chứng minh được: 
thì
f

g(x) 
(x)
M
(1)  
f (x) 
M
g(x) 
2. Bất phƣơng
trình mũ:
M
Cách giải: Tương tự như phương trình
mũ.
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn
số thì: a M  a N 
(a 1)(M

 N)  0

loga f (x)  loga g(x) f (x) 
(g(x)  0)

g(x)
f
(x)

0
b. Mũ hóa
Với a > 0, a  1:
b
loga f (x)  b  loga f (x)  a
a
c. Đặt ẩn phụ
d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e. Đưa về phương trình đặc biệt
f. Phương pháp đối lập
Chú ý:
Các phương pháp liệt kê không
nêu cách giải có cách giải tương tự
phương trình mũ.
Khi giải phương trình logarit cần chú ý
điều kiện để biểu thức có nghĩa.
b
b
 Với a, b, c > 0avà
b, c  1 thì:
log a,

c 
4. Bất phƣơng trình logarit:
log a
Cách giải: Tươngctự
như phần phương
trình.
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn
số thì:
loga B  0 
(a 1)(B 1) 
0;
log a B

log a A

0

(A 1)(B

 0phƣơng trình mũ – logarit:
5. 1) Hệ
Cách giải: Kết hợp các cách giải của phương
mũ
– logarit ở trên và phần giải phương trình và
trình
hệ phương trình đại số.

3. Phƣơng trình logarit:
a.
Đưa về cùng cơ

số
Với a > 0, a  1:
Trang 16


LÝ THUYẾT TỐN LTĐH

Cao Hồng Nam

NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
BẢNG NGUN HÀM
Hàm Họ nguyên
số
hàm F(x)
f(x)
a
ax + C

x

x



1
x

α +1

+C

ln x  C

a

a

x

ln a

x

e

α +1

x

ex 
C

-cosx + C

cosx

sinx + C

1
cos 2 x

tgx + C

1
sin 2 x

-cotgx + C

u(x)

(ax  b)
1
ax  b

Họ nguyên
hàmF(x)+C
1 (ax 
b)
a 1 1

ln u(x)  C

tgx

 ln cos x 
C

cotgx

ln sin x  C

C
1a ln ax  b 
C

k  0 

3.



f x  

e

1e
a
C

ax 

b

ax  b



sin(ax+b) – 1 cos(ax  b) 
Ca

cos(ax+b)
1
cos 2 (ax 
b)
1
sin 2 (ax 
b)
1
x2 
a2
1
x2 
a2

1
sin(ax  b) 
Ca
1
tg(ax  b) 
Ca
–

1
cot g(ax  b) 
Ca
xa
1
C
ln
2a x  a

2

2

ln x  x  a  C

g

 f x dx 

Vấn đề 2: TÍCH PHÂN

I.

Định
x 
dx 
nghĩa:

 f x dxgFxx dx
II. Tính
 fFxbdx F Fax   C thì

chất:
1.
 ffuxdudxF u   C
(k  0)
2.   f x dx
b

a

a

Vấn đề 1: NGUN HÀM
I. Định nghĩa:

2.



C

sinx

u ' (x)

Hàm
số
f(x)

 f x dx 
II. Tính
F x   C
1.
chất:
 kf x dx  k  f x dx;
Như vậy:

b

a

a

b

b

b

b

a

a

b

b

b

 f x  
g
4.  kf x dx 
x  dx   f x dx 
 ffxxdx0,g x dx
5. kNếu
 x  a; b thì  f

6.Nếu
x dx fx
0   g x  thì  f x
 f x dx   f x dx
dx   g x dx ,
  f x dx
3.

a

a

a

b

c

b

a

a

c

b

b

b

a

a

a

 x  a; b 
8.Nếu m  f x   M,  x
 a; b thì

Hàm số F x  gọi là ngun
hàm của hàm số
thì
Chú
xb là
f x ý: Nếu
trên Fa,
nếu
mọi
có
dạng
ngun
hàm
xxx
Fhàm
x số

f xcủa

, f F
a, C
b  m b  a  
b  a 
( C. là hằng số) cũng
là ngun hàm của f x  và chỉ
Chú ý:
gọi F x   C là họ ngun hàm
-M
những hàm số có dạng F x  
u
định
của
hàm
số bất
f x  và ký
hay
tích
phân
C mới là ngun hàm của f x 
ố
n
hiệu
. Ta là  f x dx .
t
Trang 17
b

a

í
n



f x dx  M


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

Bước 3: Tính  uv  b và suy
nghĩ tìm cách

Vấn đề 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
I. Công thức:


b



a

f   x .  

dx
Hàm số x
có

chứa





(x)n

 dt
Đặtf t
t(x)


a

Tích phân chứa

t

(x)

(x)

Đặt t  ln x

d
x

x
Tích phân chứa e x

tính tiếp



vdu

a

III.Những
Hàm số cóphép
mẫu đổi
số biến phổ
Đặt t là mẫu số
thông:
Đặt t  (x) hay
Hàm số có chứa

b

II. Những cách đặt thông
thƣờng:
u




dv

P(x)

P(x).e x dx
P(x)

e x dx
cos xdx

P(x)

sin xdx

lnx

P(x)

P(x).cos

xdx



Đặt t  e x

P(x).sin

xdx
Tích phân chứa

Đặt t 

d

x



x

xdx

x
Đặt t 

Tích phân chứa

dx
x

1
x

2

Tích phân chứa cos xdx

Đặt t  sin x

Tích phân chứa

Đặt t  tgx

dx

cos 2 x
Tích phân chứa

Đặt t  cot gx .

dx

sin 2 x



a

Đặt x = asint,



Tích phânchứa a 2 a x 2 t    ; 
Đặt x = atant,

Tích phân chứa

P(x).ln

1
a 2  x2

 


t






2

;



Chú ý :
Tích phân
hàm hữu tỉ:
- Nếu mẫu là
bậc nhất thì
lấy tử chia
mẫu
- Nếu mẫu là
bậc hai có
nghiệm kép
thì đưa về
hằng đẳng
thức
- Nếu mẫu là bậc hai có hai nghiệm thì đồng
nhất thức
- Nếu mẫu là bậc hai vô nghiệm thì đổi biến số.
Tích phân hàm lƣơng giác:

- Nếu sinx,cosx có số mũ chẳn thì hạ bậc

sin2 x  1  cos 2x ;cos2 x  1
 cos 2x 

2
2 






- Nếu sinx,cosx có số mũ lẻ thì tách ra rồi đặt t
- Nếu có tan2x hoặc cot2x thì thêm bớt 1
- Nếu có tanx,cotx có thể đưa về sinx,cosx rồi
Trang đặt
18 t
- Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng
công thức biến đổi tích thành tổng.


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA
DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
b

Giả sử cần tính tích phân I 



y  f (x)  0  x  a; b  ,
y = 0, x = a và x = b (a < b) quay

a

Bƣớc 1. Lập
bảng
f (x)
dx xét
. dấu (BXD)
của hàm số f(x)
trênXđoạn [a;
a b], giả sửx1f(x) có BXD:
x2
f(x)
+
Bƣớc 2. Tính

0

–

x1

b

x2





b

b

0

quanh trục Ox là: V

+
b



x1 f (x)dx  x 2
Ia
f (x)a dx 
f
Chú ý: Nếu trong khoảng (a; b) phương trình
f(x) = 0 không
có .nghiệm thì:
(x)dx
f (x)dx



b

b

 f (x) dx 
f (x)dx
Vấn đề 6:ỨNG
DỤNG CỦA TÍCH
a

Cao Hoàng Nam
II. Tính thể tích khối tròn xoay:
1. Trƣờng hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng
giới hạn bởi các đường

a

PHÂN
I. Tính diện tích hình phẳng:
1. Trƣờng hợp 1:
Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các
đường y  f (x), y  g(x), x  a, x  b
là:
b



S
f
2. Trƣờng hợp (x)

2:  g(x) dx
Diện tích hìnha phẳng S giới hạn bởi các
đường y  f (x), y  g(x)
là:




S
f (x) 
Trong đó ,
g(x) dxlà nghiệm nhỏ nhất và lớn
nhất của f(x) = g(x).
Chú ý:


2. Trƣờng hợp 2.

Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng
giới hạn bởi các đường
x  g(y)  0  y  c; d , x = 0,



(c < d) quay y
quanh
= ctrục
và Oy
y =là:d
d

f 2
V  2
g
3. Trƣờng hợp
3. Thể
(y)dy
( tích khối tròn xoay V
c bởi các đường
do hình phẳng giới hạn
x
y = f(x), y  g(x) , x = a và x = b
)



d  0  x  a;
a  b, f (x)  0, g(x)
x
b  quay quanh trục Ox là:
V    f (x)  g
b

2 a

4. Trƣờng(x)
hợp
dx 4. Thể tích khối tròn xoay V
a hạn bởi các đường x =
do hình phẳng giới

f(y),
x  g(y) , y = c và y = d

c  d, f (y)  0, g(y)  0  y  c;
d  quay
quanh
Oylà:g
V
 trục
f (y)
d

2





 f (x)  g(x) dx 
 Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì
tròfx(x)
g(x)
dx
ta đổi vai
cho ytrong
công
thức trên.


2

Chú ý: Cách
giải tích phân có dấu giá trị
(y) dy
c
tuyệt đối đã nêu ở trên.

 Nếu trong khoảng  ; phương trình
f (x)  g(x) không có nghiệm thì:


2



Trang 19


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam

Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. Kiến thức cơ bản:
1. Kiến thức hình học 9 – 10:
1.1 Hệ thức lƣợng trong tam giác
Chovuông:
tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến AM. Ta có:
 AB2  AC2  BC2
 AH2  BH.CH

 AC2  CH.BC
 AB2 = BH.BC
 1
 1 1
AH 2

AB2

AC2

 AH.BC  AB.AC

sin B  b , cosB  c , tan B 
b , cot B  c a
a
c
b
M là trung điểm BC nên MA = MB = MC và M là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC


1.2 Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng:
Cho tam giác ABC có các cạnh lần lượt là a, b, c, đường trung tuyến AM.
 Định lý hàm cos:
a2 = b2 + c2 2bc.cosA
b2  c2 
a2
cos A 
2bc
 Định lý hàm sin:

a
 b 
c 1.3 Các công thức
2R sin
A diện tích:
tính

sin B sin
CTam giác ABC:
Hình thang ABCD
 Định lý đƣờng trung tuyến: (AB // CD), đƣờng cao DH:
ABC

2 
S
BC.AH  p.r

1

2
2

S

2

m2  AM 2 

2(b  c )  a

 1
.AB.AC.SinA 4R
2.

p(p  a)(p  b)
(p  c)
Hình chữ nhật ABCD:
SABCD 
AB.AD


abc
a

4

 1 (AB 
CD).DH

2

ABCD

Diện tích hình thoi ABCD:


S

1

AC.BD

Hình vuông ABCD cạnh a:
SABCD 
AB.AC
 1
AC.BD 
a2
2

Diện tích hình tròn:
S(O;R ) 
.R
2

ABCD

2 Trang 20
Diện tích hình bình hành:
S = cạnh đáy x chiều cao

Diện tích tam giác đều:

Tam giác vuông tại A:


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
Cao Hoàng Nam
1.4 Tam giác - C ác trư ờng hợ p bằng nhau - đồng dạng củ a tam
giác:

a. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường:
Tam giác ABC có các góc A;B;C các cạnh đối diện tương ứng a;b;c. Chu vi 2p.
Diện tích S
Tính chất:
 Hai tam giác bằng nhau thì các yếu tố tương ứng bằng nhau.
 Hai tam giác đồng dạng thì :
– Tỷ số giữa các yếu tố( không kể góc; và diện tích) tương ứng bằng nhau và bằng tỷ
số đồng dạng.
–
Tỷ số diện tích bằng bình phương tỷ số đồng
dạng.tam giác đồng dạng nếu có 1 yếu tố về độ dài tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
 Hai
b. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông:
Do 2 tam giác vuông có góc vuông tương ứng bằng nhau nên có sự đặc biệt so với
tam giác thường:
 Hai cạnh góc vuông bằng nhau (tỷ lệ ).
 Một góc nhọn tương ứng bằng nhau và 1 cạnh góc vuông bằng nhau (tỷ lệ).
 Một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng nhau (tỷ lệ).
1.5 Đị nh lý
Thalet:
 Những đường thẳng song song định ra trên 2 cát tuyến những đoạn thẳng tỷ lệ.
 Trong tam giác 1 đường thẳng song song với cạnh đáy khi và chỉ khi nó định ra trên 2
cạnh kia những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
 Trong tam giác đường thẳng song song với một cạnh thì tạo với 2 cạnh kia 1 tam giác
đồng dạng với tam giác đã cho ban đầu.
1.6 Các yếu tố cơ b ản trong tam
giác:
2
 Ba đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm: trọng tâm G cách đỉnh bằng mỗi đường.
3

Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
 Ba đường cao đồng quy tại một điểm: trực tâm H.
 Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp, còn gọi là
tâm của tam giác.
 Ba đường phân giác trong đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp.
Mỗi đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với hai cạnh bên tương ứng.
1.7 Các tính chất đ ặc biệt:
Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính
AA‟, M trung điểm BC, H là trực tâm, H‟ đối xứng với H qua
BC.
Ta có: là hình bình hành có tâm là M nên A‟ là điểm đối xứng
- BHCA‟
của H qua M
- H‟ nằm trên đường tròn tâm O.
- 9 điểm gồm trung điểm 3 cạnh tam giác, trung điểm AH, BH,
và các
CH,chân đường cao nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm
OH được gọi là đường tròn Euler.

Trang 21


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
2. Kiến thức hình học 11:

Cao Hoàng Nam

Quan hệ song song:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:

Một đường thẳng và một mặt phẳng
được gọi là song song nếu chúng
không có điểm chung.
Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d không
nằm trên mặt phẳng (P) và song
song với đường thẳng a nằm trên
mặt phẳng (P) thì đường thẳng d
song song với mặt phẳng (P)

a

a / / (P) 
a  (P)  


d

(P )

d


a

(P)

(P)

d / /a  d / /(P)

a  (P)

ĐL2: Nếu một đường thẳng song
song với mặt phẳng thì nó song
song với giao tuyến của mặt phẳng
đó và mặt phẳng bất kỳ chứa nó.

(Q)



a

a

/ /(P)

d

a  (Q)

 d / /a
Bài 2: HAI
 MẶT PHẲNG SONG SONG

Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song nếu chúng không có điểm
chung.Nếu một đường thẳng song
ĐL3:

song
với lý:
2 mặt phẳng cắt nhau thì
Định
nó song
song
vớicần
giao
hai
ĐL1:
Điều
kiện
vàtuyến
đủ đểcủa
2 mặt
mặt
phẳng
đó.
phẳng song song là trong mặt
phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt
nhau cùng song song với mặt
phẳng kia.

(P)  (Q)  d

(P) / /(Q) 
(P)  (Q)  
(P)  (Q)

(P)

P

d

d


(P)b/ /a
a,
 (P) d / /a

a(Q) b/ /a I
 (P) / /

a
P



b

I

Q

a

(P)

/ /(Q)

a  Trang
(P) 22 a / /(Q)


a
Q
P

(Q)


a / /(Q), b / /(Q)
ĐL2: Nếu 2 mặt phẳng song song
với nhau thì mọi đường thẳng nằm
trong mặt phẳng này đều song song
với mặt phẳng kia.

Q

P

Q


LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH
ĐL3: Cho 2 mặt phẳng song song.
Mặt phẳng nào cắt mặt phẳng này
thì cũng cắt mặt phẳng kia và 2
giao tuyến song song với nhau.

Cao Hoàng Nam
(P) / /

(R)  (P) 

(Q)
a (R)  (Q) 



R
a

P


a / /b

b

Q

b

Quan hệ vuông góc:
Định nghĩa:

Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT
PHẲNG

Đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc
với mọi đường thẳng nằm trong
mặt phẳng đó.

a

a  (P) 
 c,  c  (P)

a
c

P

Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau a
và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc với
mp(P).

d

 a, d b

a , b  (P)

d

 d  (P)



a  b  A


b

P

a


ĐL2: (định lý 3 đƣờng vuông
góc): Cho đường thẳng a có hình
chiếu trên mặt phẳng (P) là đường
Bài 2: HAI
aMẶT
 PHẲNG
(P), b VUÔNG
 (P) GÓC
thẳng a’. Khi đó một đường thẳng b
Định
nghĩa:
chứa
trong
(P) vuông góc với a khi
b  a


và
khiphẳng
nó vuông
a’.
Haichỉ
mặt
đượcgóc
gọivới
là vuông
(P)  (Q) 
góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 900.
(
(P), (Q))  90 0

a

Định lý:

Qa

ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa một
đường thẳng vuông góc với một
mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vuông góc với nhau.

b a'

bP



a '  a / (P)
a  (P)  (Q)  (P)
a  (Q)

P


ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P)
và (Q) đều vuông góc với (Q).

Pa

(P)

 (Q)

(P) Trang
(Q) 23
d


a'

 a  (Q)
d

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH

Cao Hoàng Nam
Pa
A

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau và A là một
điểm trong (P) thì đường thẳng a đi
qua điểm A và vuông góc với (Q)
sẽ nằm trong (P)


(P)

 (Q)

A  (P)

 a
(P)

Q



A  a
a  (Q)

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
(P)  (Q)  a
và cùng vuông góc với mặt phẳng
P
thứ ba thì giao Bài
tuyến
chúng
3: của
MỐI
LIÊN HỆ QUAN
(P)  HỆ
(R) SONG SONG
a  (R)VÀ VUÔNG GÓC
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Qa

1. a / /b
b
a
 P
 P  / /
(Q)
 (R)
2.
 a / /b
3. 


P

Q 
a  Q
a   P 



b   P 


a   P 
a   P 
Bài 4: KHOẢNG CÁCH
4. 
  P  / /  Q  5. a  b  a / /  P  hay a   P 
1. Khoảng
từ1 điểm tới 1 đƣờng thẳng,
a cách
Q
 Pđến
 1 b
R

mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hoặc đến
mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm O và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng a
(hoặc trên mặt phẳng (P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

O

O

H

H

P

a

2. Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
song song với đường thẳng a là khoảng cách từ điểm O
bất kỳ thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (P)

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng
cách từ điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Trang 24

a
O

H

P

O
P