Chuyên đề dự thi GVG

Đặng Thị Tú - Trờng THCS Hàn Thuyên - Lơng Tài - Bắc Ninh
Chuyên Đề: Tính chất chia hết trên tập các số nguyên
phòng giáo dục huyện lơng tài
trờng trung học cơ sở hàn thuyên
======******=======
chuyên đề
tính chất chia hết trên tập hợp các số nguyên
ngời trình bày: đặng thị tú
đơn vị: trờng thcs hàn thuyên
Thị Trấn Thứa, ngày 8 tháng 12 năm 2007
1
Đặng Thị Tú - Trờng THCS Hàn Thuyên - Lơng Tài - Bắc Ninh
Chuyên Đề: Tính chất chia hết trên tập các số nguyên
chuyên đề
tính chất chia hết trên tập các số nguyên
Ngời Soạn: Đặng Thị Tú
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm đợc định nghĩa về phép chia trên tập số nguyên, tính chất chia hết
trên tập số nguyên và dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên.
- Rèn kỹ năng chứng minh biểu thức chia hết cho 1 số, kỹ năng tìm số thoả mãn điều
kiện cho trớc, kỹ năng giải toán về phép chia hết
- Phát triển t duy suy luận logic, khả năng trìu tợng hoá, khái quát hoá.
- Giáo dục tính cẩn thận, lòng ham học toán cho học sinh.
B. Trọng tâm:
Trọng tâm của 2 tiết đầu: Chứng minh biểu thức chia hết cho một số
C. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
1. Giáo viên: Bảng phụ, thớc, phơng pháp nêu vấn đề - khái quát hoá, đọc tài liệu
tham khảo.
2. Học sinh: Kiến thức về phép chia hết trên tập hợp các số nguyên ở lớp 6
D. hoạt động dạy học:
I. Lý thuyết:

1. Định lý cơ bản:
Với mọi số nguyên a và b, b

0, luôn tồn tại hai số nguyên q và r sao cho a = bq + r với
0

r < b.
Nếu r = 0 thì a = bq ta có phép chia hết: a chia hết cho b, còn nói a là bội của b hay b
là ớc của a.
Nếu r

0 thì ta có phép chia có d, số d là r.
2. Từ định lý trên ta có định nghĩa:
Cho 2 số nguyên a và b, b

0. Nếu có số nguyên q sao cho a= bq thì ta nói a chia hết
cho b, còn nói a là bội của b hay b là ớc của a. Ký hiệu là a

b.
3. Một số tính chất:
Với a,b,c

Z ta có:
3.1. a

a với a

0
3.2. 0

a với a

0, a

1 với mọi a

Z
3.3. Nếu a

b và b

c thì a

c với b, c

0
3.4. Nếu a

b và b

a thì a =

b hay
ba
=
với a,b

0
3.5. Nếu a

c và b

c thì a

b

c với c

0
Suy ra: Nếu a

c và b

c thì a

b

c với c

0
Nếu a

b

c và a

c thì b

c với c

0
Nếu a

b

c và a

c thì b

c với c

0
2
Đặng Thị Tú - Trờng THCS Hàn Thuyên - Lơng Tài - Bắc Ninh
Chuyên Đề: Tính chất chia hết trên tập các số nguyên
3.6. Nếu a

b thì ka

b với b

0, k

Z
Suy ra: Nếu a

c và b

c thì ma

nb

c với c

0, m,n

Z
Nếu a

b thì a
n


b
n
với b

0, n

N.
3.7. Nếu a

m và b

n thì ab

mn với m,n

0, m,n

Z
3.8. Nếu a

b và a

c mà b và c nguyên tố cùng nhau thì a

bc với b,c

0
3.9. Nếu ab

c mà b và c nguyên tố cùng nhau thì a

c với c

0
3.10. Nếu a
n


p mà p là số nguyên tố thì a

p
3.11. Nếu a

b và a

c thì a

BCNN(b;c) với b,c

0
4. Dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên:
4.1. Dấu hiệu chia hết của 2 ( hoặc 5 ):

Aa


2 ( hoặc 5 )

a

2 ( hoặc 5 )
4.2. Dấu hiệu chia hết cho 3 ( hoặc 9 ):
A=
011
.... aaaa
nn



3 ( hoặc 9 )

a
n
+ a
n-1
+ ... + a
1

+ a
0


3 ( hoặc 9 )
4.3. Dấu hiệu chia hết cho 4 ( hoặc 25):

Aab


4 ( hoặc 25)


ab


4 ( hoặc 25)
4.4. Dấu hiệu chia hết cho 8 ( hoặc 125 ):

Aabc


8 ( hoặc 125 )


abc


8 ( hoặc 125 )
4.5. Dấu hiệu chia hết cho 11:

A

11

Tổng các chữ số ở hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số ở hàng lẻ của số A
chia hết cho 11
II. Một số ph ơng pháp giải:
1. Sử dụng định nghĩa về phép chia hết
2. Sử dụng tính chất chia hết, kết hợp với tính chất của số chính phơng, số nguyên tố và
hợp số
3. Sử dụng dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên
4. Dùng phơng pháp phản chứng
5. Dùng phơng pháp quy nạp
III. Một số dạng toán:
1. Dạng toán 1: Chứng minh tính chất chia hết:
Ví dụ 1: Chứng minh tính chất: Nếu a

c và b

c thì a

b

c với a, b, c

Z, c

0
Giải: Vì a

c => a = kc với k

Z ( theo định nghĩa )
Vì b

c => b = qc với q

Z ( theo định nghĩa )
=> a + b = kc + qc = (k + q)c mà k + q

Z (do k,q

Z)
=> a +b

c (đpcm)
Với phép trừ ta cũng chứng minh tơng tự
Ví dụ 2: Chứng minh dấu hiệu chia hết cho 2 và dấu hiệu chia hết cho 9
Giải:
* Chứng minh:
Aa


2

a

2
Ta có:
Aa

= 10A + a = 2.5 A + a => a =
Aa
- 2.5A
Nếu
Aa


2 mà 2.5A

2 =>
Aa
- 2.5A

2 => a

2 (1)
Nếu a

2 mà 2.5A

2 => 2.5A + a

2 =>
Aa


2 (2)
3
Đặng Thị Tú - Trờng THCS Hàn Thuyên - Lơng Tài - Bắc Ninh
Chuyên Đề: Tính chất chia hết trên tập các số nguyên

Từ (1) và (2) =>
Aa


2

a

2 (đpcm)
* Chứng minh: A=
011
... aaaa
nn



9

a
n
+ a
n-1
+ ... + a
1
+ a
0


9
Ta có: A =

011
... aaaa
nn

= a
n
.10
n
+ a
n-1
.10
n-1
+ ... + a
1
.10 + a
0
= (a
n
.10
n
- a
n
)+ (a
n-1
.10
n-1
- a
n-1
)+ ... + (a
1

.10 -a
1
) + (a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n-1
+ a
n
)
= a
n
.(10
n
- 1) + a
n-1
.(10
n-1
-1) + ... + a
1
.(10 -1) + (a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a

n-1
+ a
n
)
= a
n
.

9.
9...99
sonch
+ a
n-1
.

9..1
9...99
socn

+ ... +a
1
.9 + (a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n-1
+ a

n
)
= 9. (a
n
.

1...
1...11
socn
+ a
n-1
.

1..1
1...11
cson

+ ... + a
2
. 11 + a
1
) + (a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n-1
+ a

n
)
Đặt m = (a
n
.

1...
1...11
socn
+ a
n-1
.

1..1
1...11
cson

+ ... + a
2
. 11 + a
1
) => m

Z
Ta có : A =
011
... aaaa
nn

= 9m + (a

0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n-1
+ a
n
)
=> (a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n-1
+ a
n
) =
011
... aaaa
nn

- 9m
Nếu
011
... aaaa
nn

9 mà 9m

9 =>(
011
... aaaa
nn

- 9m)

9 => (a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n-1
+ a
n
)

9 (1)
Nếu (a
0
+ a
1
+ a
2

+ ... + a
n-1
+ a
n
)

9 mà 9m

9 => 9m + (a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n-1
+ a
n
)

9
=>
011
... aaaa
nn


9 (2)
Từ (1) và (2) => A=
011

... aaaa
nn



9

a
n
+ a
n-1
+ ... + a
1
+ a
0


9 (đpcm)
Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(1)
b) ( a - b )
2
= a
2

- 2ab + b
2
(2)
c) (a + b)(a - b) = a
2
- b
2
(3)
Giải:
a) Biến đổi vế trái của (1) ta có: ( a + b )
2
= (a + b)(a+ b)
= (a + b).a + (a + b).b
= a
2
+ ab + ab + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2

Vậy ( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(đpcm)
Với cách làm tơng tự ta chứng minh đợc đẳng thức (2) và (3)

2. Dạng toán 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho một số:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a) Tích của 2 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2
b) Tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3
Giải:
a) Gọi 2 số nguyên liên tiếp có dạng: a, a+1 với a

Z
Vì a

Z nên a có thể chẵn hoặc lẻ
Nếu a chẵn => a

2 => a.(a+1)

2
Nếu a lẻ => a+1 chẵn => a+1

2 => a.(a+1)

2
=> Tích a.(a+1)

2 với a

Z
Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2
b) Gọi 3 số nguyên liên tiếp có dạng: a, a+1,a+2 với a

Z
Vì a

Z nên a có thể có các dạng sau: 3k, 3k+1, 3k+2 với k

Z
Nếu a=3k mà 3k

3 (vì k

Z) => a

3 => Tích a.(a+1).(a+2)

3 (1)
4
Đặng Thị Tú - Trờng THCS Hàn Thuyên - Lơng Tài - Bắc Ninh
Chuyên Đề: Tính chất chia hết trên tập các số nguyên
Nếu a=3k+1 => a+2 =3k+1+2 = 3k+3 = 3(k+1)

3 (vì k+1

Z do k

Z )
=> a+2

3 => Tích a.(a+1).(a+2)

3 (2)
Nếu a = 3k+2 => a+1 = 3k+2+1 = 3k+3 = 3(k+1)

3 (vì k+2

Z do k

Z)
=> a+1

3 => Tích a.(a+1).(a+2)

3 (3)
Từ (1),(2) và (3) => Tích a.(a+1).(a+2)

3 với a

Z
Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3
* Nhận xét: Từ ví dụ 4 ta suy ra: Tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6 (vì 2 và
3 là hai số nguyên tố cùng nhau)
Tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n với n

0
* Dự đoán: Tích của 2 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8
Tích của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 120
Chứng minh:
+) Tích của 2 số chẵn liên tiếp có dạng 2a.(2a+2) với a

Z
Ta có 2a.(2a + 2) = 2a.2(a + 1) = 4a(a +1)
mà a.(a +1)

2 (chứng minh trên)
=> 4a(a+1)

8 => 2a(2a +2)

8 (đpcm)
+) Tích của 5 số nguyên liên tiếp có dạng:
A = a(a+1).(a+2).(a+3).(a+4) với a

Z
Theo ví dụ 4 suy ra A

3 và 5 mà trong 5 số liên tiếp có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp
=> Tích của 2 số chẵn đó chia hết cho 8
=> A

3; 5 và 8 mà 3; 5 và 8 là các số nguyên tố cùng nhau
=> A

3.5.8 => A

120 ( đpcm)
* Ta nhận thấy a(a+1) = a
2
+ a. Vậy bài toán có thể thay đổi yêu cầu:
Chứng minh: a
2
+a

2 với a

Z . Từ đó ta có ví dụ 5:
Ví dụ 5: Cho n

Z, chứng minh: n
3
-19n

6:
Giải:
Ta có: n
3
-19n = (n
3
-n) -18n = n(n
2
-1) -18n = n(n+1)(n-1) -18n
Vì n

Z => n(n+1)(n-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
=> n(n+1)(n-1)

6 mà 18n

6 => n(n+1)(n-1) -18n

6 => n
3
-19n

6 (đpcm)
Ví dụ 6: Chứng minh: 10
n
+2 chia hết cho 3 nhng không chia hết cho 9 với n

N
*
Giải:
+) Chứng minh: 10
n
+2

3
- Cách 1: Ta có 10
n
+2 = (10
n
-1)+3 =

9..
9...99
cson
+3 = 3.

3..
3...33
cson
+3 = 3.(

3..

3...33
cson
+1)

3
=> 10
n
+2

3
- Cách 2: Vì 10 chia 3 d 1 => 10
n
chia 3 d 1
n
=> 10
n
+2 chia 3 d 1+2=3

3
=>10
n
+2 chia 3 d 0 => 10
n
+2

3 (1)
+) Chứng minh: 10
n
+2

9
Vì 10
n
+2 = (10
n
-1)+3 =

9..
9...99
cson
+3 mà

9..
9...99
cson

9 và 3

9 =>

9..
9...99
cson
+3

9
=> 10
n
+2 chia 9 d 3 (2)
Từ (1) và (2) => 10

n
+2 chia hết cho 3 nhng không chia hết cho 9 với n

N
*
(đpcm)
5