Luận văn ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử phonon quang)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.43 MB, 75 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------(((------
NGUYỄN THỊ HƯƠNG
ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA
PHONON
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
1
Hà Nội
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------(((------
NGUYỄN THỊ HƯƠNG
ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA
PHONON
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
2
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Đinh Quốc Vương
Hà Nội
LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS.Đinh
Quốc Vương. Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong quá trình
thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy
cô giáo trong bộ môn vật lý lý thuyết – Khoa Vật Lý – trường Đại Học Khoa
Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để
em có thể học tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ
nhiệm khoa Vật Lý, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên –
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Học viên
3
Nguyễn Thị Hương
4
MỤC LỤC
MỤC LỤC....................................................................................................................5
MỞ ĐẦU......................................................................................................................6
Lý do chọn đề tài...................................................................................................6
Về phương pháp nghiên cứu...................................................................................8
Bố cục luận văn.......................................................................................................8
CHƯƠNG 1................................................................................................................10
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN..............................10
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG..............10
BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH..................................10
1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần...................................................................11
1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần..........................................................11
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần..........................................................................................................12
2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong bán dẫn khối ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang).........15
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối........................15
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.15
2.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện
từ mạnh...........................................................................................................20
CHƯƠNG 2................................................................................................................23
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ
YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN DƯỚI ẢNH
HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM
5
CỦA PHONON (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG).........23
1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêu mạng hợp
phần.......................................................................................................................23
2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
có kể đến sự giam cầm của phonon......................................................................24
3. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của
sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ
điện tử-phonon quang)..........................................................................................39
Chương 3.....................................................................................................................50
TÍNH TOÁN SỐ CHO SIÊU MẠNG.......................................................................50
HỢP PHẦN GaAs - Al0.3Ga0.7As VÀ BÀN LUẬN...............................................50
1. Tính toán số......................................................................................................50
Sử dụng công cụ toán học matlab chúng tôi thu được các kết quả sau:..............51
2. Bàn luận............................................................................................................55
KẾT LUẬN.................................................................................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................61
PHỤ LỤC...................................................................................................................63
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong một thế kỷ mà trên thế giới đang tích cực
nghiên cứu và chuẩn bị cho ra đời một ngành công nghệ mới, hứa hẹn sẽ lấp
đầy mọi nhu cầu trong cuộc sống của con người, đó là công nghệ nanô. Chính
xu hướng này làm cho vật lý bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều
sự quan tâm nghiên cứu.
6
Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ thấp
chiều đã làm thay đổi hầu hết tính chất của điện tử. Ở bán dẫn khối các điện
tử chuyển động trong toàn mạng tinh thể ( cấu trúc 3 chiều), nhưng ở hệ thấp
chiều chuyển động của điện tử bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai,
ba trục toạ độ. Phổ năng lượng của hạt tải bị gián đoạn theo các phương này.
Chính sự lượng tử hoá phổ năng lượng này đã làm thay đổi cơ bản các đại
lượng của hệ như: hàm phân bố, mật độ trạng thái,…và do đó làm thay đổi
tính chất của hệ điện tử. Nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượng vật lý
trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi
đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời, cấu trúc thấp chiều làm xuất
hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện tử chuẩn ba chiều không
có. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh
kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện
đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang- điện
tử nói riêng.
Ngày nay, cùng với sự phát triển của vật lý chất rắn và một số công
nghệ hiện đại, người ta đã chế tạo ra các cấu trúc hai chiều- hố lượng tử, các
cấu trúc một chiều- dây lượng tử, hay các cấu trúc không chiều- điểm lượng
tử, với những thông số phù hợp với mục đích sử dụng. Từ những cấu trúc này
người ta lại có thể chế tạo ra những cấu trúc thấp chiều khác. Siêu mạng hợp
phần được tạo thành từ một cấu trúc tuần hoàn các hố lượng tử trong đó
khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ nhỏ để có thể xảy ra hiệu ứng đường
hầm. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của
điện tử, làm cho siêu mạng có một số tính chất chú ý mà bán dẫn khối thông
thường không có [1-13].
Tính chất quang của bán dẫn khối cũng như trong các hệ thấp chiều đã
được nghiên cứu [14-18]. Loại bài toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ
mạnh (bức xạ laser) lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong
hệ bán dẫn thấp chiều đã được công bố khá nhiều. Tuy nhiên, trong các công
trình này, các tác giả mới chỉ xem xét đến ảnh hưởng của điện tử giam cầm
7
trong các hệ thấp chiều, bỏ qua ảnh hưởng của phonon giam cầm. Do đó trong
luận văn này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu và giải quyết đề tài “Ảnh hưởng
của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường
hợp tán xạ điện tử - phonon quang)"
Về phương pháp nghiên cứu
Đối với bài toán về ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu
ứng giam cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử -phonon quang) có thể
sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp Kubo – Mori, phương
pháp chiếu toán tử, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình
động lượng tử, phương pháp hàm Green … kết hợp với việc sử dụng một số phần
mềm hỗ trợ.
Trong đề tài nghiên cứu này, tôi đã sử dụng các phương pháp và trình tự tiến
hành như sau:
Sử dụng phương pháp Phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới
sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon.
- Sử dụng chương trình toán học Matlab để đưa ra tính toán số và đồ thị sự phụ
thuộc của hệ số hấp thụ vào các thông số của siêu mạng hợp phần
GaAs/Al0.3Ga0.7As.
Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần và bài toán hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ
mạnh.
Chương 2: Phương trình động lượng tử và hệ số hấp thụ sóng điện từ
yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng
điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon ( trường hợp tán xạ
8
điện tử-phonon quang).
GaAs / Al0.3Ga0.7 As
Chương 3: Tính toán số
cho siêu mạng hợp phần ﾧ và bàn luận.
Kết quả chính thu được trong luận văn là:
Dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm thì hệ số hấp thụ sóng điện từ
yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc phức tạp vào
nhiệt độ của hệ, các tham số đặc trưng cho cấu trúc của siêu mạng hợp phần,
biên độ, tần số của sóng điện từ yếu và của bức xạ laser. Các tính toán cũng
chỉ ra rằng các quang phổ của hệ số hấp thụ phi tuyến trong trường hợp
phonon bị giam cầm rất khác so với trường hợp phonon không bị giam cầm.
Phonon giam cầm gây ra sự thay đổi vị trí đỉnh cộng hưởng và xác suất xảy ra
cộng hưởng lớn hơn so với trường hợp phonon không bị giam cầm.
9
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG
BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
10
1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần
1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần
ε
B
A
g
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn
hai chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d1, ký hiệu là A,
độ rộng vùng cấm hẹp (ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có
11
độ dày d2 ký hiệu là B có vùng cấm rộng (ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen
kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên).
Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A…, và độ
rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ
sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó, điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di
chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp
khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể
nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này được hình thành do sự
chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn siêu
mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với
hằng số mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng
lượng của điện tử. Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử
chuẩn hai chiều.
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần
Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của
∆
chúng thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế
tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Phổ năng
r
ε n k ⊥ = 2∆ − ∆ ( cos k x d + cos k y d )
( )
12
lượng của
điện
tử
trong siêu
mạng hợp
phần
có
dạng
ﾧ
(1.1)
Trong biu thc (1.1), l rng ca vựng mini; d=d1+d2 l chu k
siờu mng; kx, ky l cỏc vộc t xung lng ca in t theo hai trc ta x,y
trong mt phng siờu mng. Ph nng lng ca mini vựng cú dng:
r
n k = n n cos k z d
(1.2)
( )
là độ rộng của mini vùng n thứ n, xác định bởi biểu thức:
n = 4 ( 1)
n
d0
n
d d0
{
exp 2m ( d d 0 ) U 0 / h2
2
}
2m ( d d 0 ) U 0 / h
2
(1.3)
2
U0vc ==h
2vcAc+2 vcB2v
n = 2 n
2m d
Trong cụng thc (1.3), d0 l rng ca h th bit lp; l
sõu ca h th bit lp; l sõu ca h th giam gi in t c xỏc nh
bi cc tiu ca hai vựng dn ca hai bỏn dn A v B; l sõu ca h th
giam gi l trng c xỏc nh bi hiu cỏc cc i ca cỏc khe nng lng
gia hai bỏn dn A v B; n l ch s mini vựng; l cỏc mc nng lng trong
h th bit lp.
k12 k22
cos ( k z d ) = cos ( k1a ) sinh ( k2b )
sin ( k1a ) sinh ( k2b )
;
1 1 ( 2) 2k1k21/ 2 1/ 2
k2 =k1 = 2m 2( m
( r )Es (ksz()k z ) )
h h
(
)
T ú ta cú:
(1.4)
r
h2 k2 h2 2 n 2
n k =
+
n cos ( k z d )
2 m 2 m d 2
( )
l th siờu mng c ( r ) =vc c + v
xỏc nh bi hiu cỏc khe nng lng hai bỏn dn. Nh vy, th ca siờu
mng bng tng nng lng chờnh lch ca cỏc vựng dn v chờnh lch
nng lng cỏc vựng húa tr ca hai lp bỏn dn k tip. Vỡ chu k ca siờu
mng ln hn nhiu so vi hng s mng, trong khi ú biờn ca th siờu
mng li nh hn nhiu so vi biờn ca th mng tinh th . Do ú, nh
hng ca th tun hon trong siờu mng ch th hin cỏc mộp vựng nng
lng. Ti cỏc mộp ca vựng nng lng, quy lut tỏn sc cú th xem l dng
bc hai, ph nng lng cú th tỡm thy trong gn ỳng khi lng hiu dng.
13
Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình
Schrodinger có dạng:ﾧﾧ
ﾧ
h2 2
−
∆ ψ ( r ) + ∆ ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r )
ψ∆ ( r )
Vì ﾧ là tuần 2m∗
hoàn nên hàm sóng của điện tử ﾧ có dạng hàm Block thỏa mãn điều kiện biên
trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng tổng cộng của điện tử
trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng liên kết mạnh) có
dạng.
r
ψ r =
( )
ﾧ
Nd
1
exp i ( k x x + k y y ) ∑ exp ( ik z md )ψ s ( z − md )
Lx Ly N
m =1
(1.5)
Trong đó, Lx, Ly là độ dàiψ s ( z ) chuẩn hóa theo hướng x và y; d và
Nd là chu kỳ và số chu kỳ siêu mạng hợp phần; ﾧ là hàm sóng của điện tử
trong hố cô lập.
1.3. Sự giam cầm của phonon trong siêu mạng hợp phần
Phonon bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần thì phổ năng lượng của phonon chỉ
nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, chuyển động của phonon bị giới hạn theo trục z làm
ảnh hưởng đến thừa số dạng và hằng số tương tác điện tử - phonon. So với trường hợp
phonon không bị giam cầm thì trường hợp giam cầm bị lượng tử hóa và thêm chỉ số giam
cầm của phonon m khi đó thừa số dạng và hằng số tương tác được biểu diễn bằng biểu
thức:
I
m
n ,n '
mπ
+
ﾧ :
N .d
i
z
mπ
∗
(
) = ∫ ψ n ' ( z − jd )ψ n ( z − jd )e L dz
0
L
Thừa số dạng
điện tử trong siêu mạng hợp phần, d: chu kỳ của siêu mạng.
+ ﾧ : Hằng
C
r
q
2
=
2π e 2 hω0
2 mπ 2
ε q⊥ +
÷ VO
L
tử-phonon
cho
trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang.
số tương tác điện
ﾧ: Thể tích chuẩn hóa (chọn VOVO= 1 ﾧ)
ε
ﾧ: Hằng số điện.
14
1
1
−
÷
χ∞ χ0
ﾧ: Độ điện thẩm cao tần
χ∞
ﾧ: Độ điện thẩm tĩnh.
χ0
2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon
quang).
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối
Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
H = H e + H ph + H e − ph
ﾧ
(1.6)
Với:
+ﾧ
e
H e = ∑ε p −
A+ (t ) a +p a p
H = ωcqbq bq
p ph ∑
+ﾧ
+
(
q
H e − ph = ∑ Cq a +p + q a p bq + b−+q
+ﾧ
q, p
ﾧ lần lượt là
)
au+pr , aupr
toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu
hạt fecmi )
{au[pra, au+pr u,+pra'}u+pur=' ]=[
{aauprup'r,,aau+prupr}=
] =δ u0pr ,upur'
'
ﾧ; ﾧ
+
bqr+ , bqr
ﾧ lần lượt là
toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
ﾧ;ﾧ
+
ﾧ
ur ,δ
[bup+r [,bupr+ur,' ]=[
bup+ur' ]b=
bupr ',u]pur'= 0
p
Cqr
: hằng số
tương tác điện tử - phonon.
+ ﾧ là hàm năng
urur ee urur
εpp−− AA((t t))÷÷
hhcc
lượng theo biến ﾧ
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
i
∂n p (t )
∂t
[
= a +p a p , Hˆ
]
ﾧ
t
(1.7)
Hay
ih
∂n pr (t )
∂t
r r
r r
e r r r
r r r r
r
= a p+r a pr , ∑ ε p′ − A(t ) ÷a p+r ′a pr ′ + ∑ hωqrbqr+bqr + ∑ Cqr a p+r ′+qr a pr ′ (bqr + b−+qr )
r
r
r r
hc
p′
q
q , p′
15
t
ﾧ
Vế phải của phương trình trên có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số
hạng.
-
Số hạng thứ nhất:
r e ur +
uu
st1 t = au+pr aupr ; ∑
ε
p
' − A(t ) ÷aupur'aupr '
uu
r
hc
p'
+
r br br
sh2 t = au+pr aupr ; ∑
h
ω
q q q
r
q
+
+
r auu
r r auu
r br + b r
sh3 t = au+pr aupr ; ∑
C
q
−q
r uu
r q p '+ q p '
q
,
p
'
(
)
∑C
=
r uu
r
q, p '
t
r
q
t
- Số
hạng thứ hai:
ﾧ
=0
t
ﾧ
=0
-Số hạng thứ
ba:
(
au+r aur ; au+ur r auur br + b +r
p p p '+ q p ' q − q
)
t
ﾧ
sh3 t =
(
)(
)
C r au+pr aupr 'δ upr ,upur'+ qr − au+pr '+qr auprδ upr ,upur' bqr + b−+qr
∑
r uu
r q
q, p ' =
∑r Cqr au+pr aupr−qr bqr + au+pr aupr−qr b−+qr − au+pr +t qr auprbqr
q
(
t
t
ﾧ
t
− au+pr + qr auprb−+qr
t
)
ﾧ
*
*
r Fur ur r r (t ) + Fur r ur r (t ) − Fur r ur r (t ) − Fur ur r r (t )
=∑
C
q
p
,
p
−
q
,
q
p
−
q
,
p
,
−
q
p
+
q
,
p
,
q
p
, p +q , − q
r
q
ﾧ
Fp , p , q (t ) = a +p a p bq
1
2
Với ﾧ
Vậy phương trình (1.7) trở thành:
ih
∂nupr (t )
∂t
=∑
Cqr Fupr ,upr −qr ,qr (t ) + Fupr*−qr ,upr ,− qr (t ) − Fupr +qr ,upr ,qr (t ) − Fupr*,upr +qr ,− qr (t )
r
q
ﾧ
Hay
∂nupr (t )
∂t
ﾧ
=−
i
Cqr Fupr ,upr −qr ,qr (t ) + Fupr*−qr ,upr ,− qr (t ) − Fupr + qr ,upr ,qr (t ) − Fupr*,upr +qr ,− qr (t )
∑
r
h q
(1.8)
Để giải (1.8) ta đi tính ﾧ Fp , p , q (t )
1
2
16
1
2
t
bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử cho nó:
ﾧ
i
(1.9)
∂Fp , p , q (t )
1
2
∂t
[
= a +p a p bq ; H
1
2
]
t
Tính toán các số hạng trong vế phải của (1.9) rồi tiến hành giải phương
trình vi phân ta thu được:
ih
∂Fupur,upur ,qr (t )
1
2
∂t
uu
r
r ur
he uur uu
uur
= ε ( p2 ) − ε ( p1 ) − * p2 − p1 A(t ) + hωqr Fupur,upur ,qr (t ) +
mc
1 2
(
(
+∑
Cquur au+puraupur −qr bqr bquur + b−+quur
uu
r
1
q1
1
2
1
1
1
)
t
)
(
)
−∑
Cquur au+pur+qr aupur bquur + b−+quur bqr
uu
r
q1
1
1
1
2
1
1
t
ﾧ
(1.10
)
Giải (1.10) bằng phương pháp biến thiên hằng số ta được:
(
t
)
i
u+ur uur uur uur
uu
r
Fupur,upur ,qr (t ) = ∑
C
a p +q a p bq + b−+quur bqr
q1 ∫
uu
r
1 2
1
1
2
1
1
h q1
−∞
(
− au+puraupur −quurbqr bquur + b−+quur
1
t2
2
1
1
1
)
×
t2
t u
u
r uur ur
i
ie
u
u
r
u
u
r
r
× exp ε p − ε p − hωq ( t − t2 ) − * ∫ p1 − p2 A(t1 )dt1 dt2
1
2
m c t2
h
(
)
(
)
ﾧ
(1.11)
Thay (1.11) vào (1.8) và thực hiện một vài phép biến đổi ta thu được:
17
∂nupr (t )
∂t
=
1
2
r | ×
|
C
2 ∑
q
h qr
t
i
ie r ur
u
r
r
r
u
r
r
u
r
u
r
r
r
× ∫ dt ' n p −q (t ') N q − n p (t ')( N q + 1) × exp ε p − ε p−q − hωq ( t − t ' ) −
q
A
(
t
)
dt
1
1 +
mc ∫t '
−∞
h
t ru
r
i
ie
+ nupr −qr (t ')( N qr + 1) − nupr (t ') N qr × exp ε upr − ε upr −qr + hωqr ( t − t ' ) −
q
A
(
t
)
dt
−
1
1
∫
h
mc
t'
t
i
ie r ur
u
r
r
u
r
r
r
u
r
r
u
r
r
− n p (t ') N q − n p +q (t ')( N q + 1) × exp ε p +q − ε p − hωq ( t − t ' ) −
q
A
(
t
)
dt
1
1 −
∫
h
mc
t'
t
i
ie r ur
u
r
r
u
r
r
r
u
r
r
u
r
r
− n p (t ')( N q + 1) − n p +q (t ') N q × exp ε p +q − ε p + hωq ( t − t ' ) −
q
A
(
t
)
dt
1
1
∫
h
mc
t'
{
t
(
)
(
)
(
)
(
)
ﾧ
(1.12
)
Với: ﾧ
Thay: ﾧ
N qr = bqr+bqr ; N qr + 1 = bqrbqr+
Eo1c
E c
cos Ω1t + o 2 cos Ω 2 t
+∞
Ω1
Ω2
exp(±iz sin ϕ ) = ∑ J α ( z ) exp(±iαϕ )
A(t ) =
và áp dụng khai
triển: ﾧ ta có:
uuu
rr
uuur r
ieEo1 q
−ie t r ur
ieEo 2 q
exp
q
A
(
t
)
dt
=
exp
sin
Ω
t
'
−
sin
Ω
t
+
sin
Ω
t
'
−
sin
Ω
t
(
)
(
)
÷
1
1
1
1
2
2
2
2
∫
mΩ 2
mc t '
mΩ1
u
u
u
r
r
u
u
u
r
r
+∞
eE q eE q
= ∑ J l o1 2 ÷J s o12 ÷exp(isΩ1t ')exp(−il Ω1t ) ×
l , s =−∞
mΩ1 mΩ 2
uuurr
uuur r
+∞
eEo 2 q eEo 2 q
× ∑ Jf
J
exp(imΩ 2t ')exp( −if Ω 2t )
2 ÷ m
2 ÷
m
Ω
m
Ω
f ,m =−∞
1
2
α = −∞
ﾧ
a1 =
e Eo1
;
2
mt Ω
1
r ur
a2 =
e Eo 2
2
mΩ+∞
2
Đặt: ﾧ thì:
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
−ie
exp
q
A
(
t
)
dt
=
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
∑, f =−∞ l 1 s 1 m 2 f 2 q ×
1
1÷
∫
Thay kết quả
mc
l
,
s
,
m
t'
này vào (1.5) và đưa × exp { i [ ( s − l )Ω + (m − f )Ω ] t} exp { −i ( sΩ + mΩ )(t − t ')}
1
2
1
2
vào thừa số: e-δ(t-t’)
ﾧ
18
( ) ( ) ( ) ( )
(δ→+0) xuất hiện do giả đoạn nhiệt của tương tác ta có:
+∞
ur r
u
rr
uu
rr
∂nupr (t ) 1
rir ur r uu
2
r −n
ur r (t ')( N r + 1) × exp
ur − hω r − shΩ − mhΩ + i hδ ( t − t ' ) −
− n=upr (t ') N
ε
−
ε
r
|
C
|
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
q
×
exp
i
(
s
−
l
)
Ω
+
(
m
f
)
1
2
[
{
q
p
+
q
q
p
+
q
p
q
∑
∑ l 1 s 1h m 2 f 2
Ω 2 ] t }
1
∂t
h2 qr q l ,s ,m, f =−∞
t
i i ur r
nur (tur')(r N r + 1)
ur r (t ') N r × exp
ur + hω r − shΩ − mhΩ + i hδ ( t − t ' )
−
−
n
ε
−
ε
r
u
r
r
u
r
u
r
r
r
1
2
× ∫ dt' p n p −q (t q') N q − n pp(+tq')( N q +q 1) × exp
h p +εqp − εpp−q − hqωq − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t') +
h
( ) ( () ( ) ( )
−∞
)
( (
{
))
(
)
i
+ nupr −qr (t ')( N qr + 1) − nupr (t ') N qr × exp ε upr − ε upr −qr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t ') −
h
ﾧﾧ
(1.13)
(1.13) là phương trình động
npE
(t )21 (≈t )n p
lượng tử cho hàm phân bố không
cân bằng của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ ﾧ và ﾧ.
Ta giải (1.13) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem ﾧ, ta được:
ur +∞
r
urr r
r
r
ur r
uu
rr
uu
r r n upr −qexp
1
2 n p −q N r − n u
( N{qr i+[ (1)s − ln)uΩ
p ( N r + 1)
pN
1 r+ ( m − f )Ω 2 ] t}
q
q
q
r
n (t ) =× ∑
|
C
|
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
q
×
×
∑
l
1
s
1
m
2
f
2
+
h uqrr qur rl ,s ,m, f =−∞
(
s
−
l
)
Ω
+
m −+ fih)δΩ 2−]
[
r − shΩ − mhΩ + ihδ
ur − ε ur r + hω r − shΩ −1mh(Ω
ε
−
ε
−
h
ω
ε
1
2
1
2
p
p−q
q
p
p −q
q
ﾧﾧ
ur
p
( ) ( ) ( ) ( )
n upr N r − n upr +qr ( N r + 1)
n upr ( N r + 1) − n upr +qr N r
q
q
q
q
−
−
ε upr + qr − ε upr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr +qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ
ﾧ
(1.14)
+ Mật độ dòng hạt tải:
ur
ﾧ
eh ur e ur ur
J (t ) = * ∑
p
−
A
(
t
)
n
(
t
)
÷p
ur
hc
ur
ur
r
hay: ﾧ
−m
e2 p u
e
h
−e 2 no ur
eh ur ur
u
r
u
r
J (t ) = * ∑
A(t )n p (t ) + * ∑
pn p (t ) = * A(t ) + * ∑
pn p (t )
ur
mc ∑
m upr
mc
m upr
với ﾧ
p n p (t ) = no
Thực hiện các phép biến
p
đổi và tính toán ta được:
19
J (t ) =
[
] ( ) ( )
+∞
n p+q N q − n p ( N q + 1)
− e 2 no
e
2
A(t ) +
|
C
|
q
J s a1 q J m a2 q ×
∑
∑
[ kΩ1 + rΩ 2 ]
mc
m * q , p q k ,s ,m ,r =−∞
ρ cos[ (kΩ1 + rΩ 2 )t ]
× J k + s a1 q J r +m a2 q − J s−k a1 q J m−r a2 q
−
ε p +q − ε p + ωq − s Ω1 − m Ω 2
[ ( ) ( )
( ) ( )]
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
× δ (ε − ε + ω − s Ω − m Ω )
− J k +s a1 q J r +m a2 q + J s −k a1 q J m−r a2 q π sin[ (kΩ1 + rΩ 2 )t ] ×
p +q
p
1
q
2
ﾧ
(1.15)
2.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng
điện từ mạnh
+ Ta có hệ số hấp thụ sóng Ω 2 < Ω1 điện từ yếu bởi điện tử trong bán
dẫn khối với giả thiết ﾧ như sau:
α=
8π
J (t ) E o 2 sin Ω 2t
c χ ∞ Eo22
ﾧ
t
(1.16)
+ Thay (9) vào (10) và tính toán ta thu được:
8π 2Ω 2
α=
c χ ∞ E o22
+∞
∑∑
r ur
q , p s ,m =−∞
ur r
uu
rr
|C | n upr ( N qr + 1) − n upr +qr N qr mJ s2 a1 q J m2 a2 q ×
2
( ) ( )
r
q
(
×δ ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2
)
ﾧ
(1.17)
+ Xét tán xạ điện tử - ωqr ≈ ω0
phonon quang ta có: ﾧ
ﾧ
2
1
2
π
h
ω
e
1
o
Cqr =
− ÷
2
+ Hạn chế trong
ε oq χ∞ χo
gần đúng bậc hai của hàm Bessel suy ra:
r r 2
16π 3e 2 hω0Ω 2 1
1
1 a 2 q ur r
ur r
α=
− ÷∑
n
p ( N + 1) − n p + q N r ×
r
÷
2
q
q
2
cε 0 χ ∞ E02 χ ∞ χ 0 qr q 2
2
ﾧ
20
r r
r r
aq ) ( a q )
(
+ × 1 −× δ ( ε ÷×−δε ( ε+ hω− ε+ h+Ωhω
− h−ΩhΩ
) − )δ−( εδ ( ε − ε− ε+ h+ωhω+ h+ΩhΩ+ h)Ω +) +
2 ÷
4
2
1
1
2
ur r
p+q
ur
p
÷
r
r r
p+q q
r
p
1
r
q
2
2
ur r ur r ur
p +q p +q p
ur
p
r
q
r
q
1
ﾧﾧ
(
2
2
)}
) (
+δ ε upr + qr − ε upr + hωqr − hΩ1 − hΩ 2 − δ ε upr + qr − ε upr + hωqr − hΩ1 + hΩ 2
ﾧ
(1.18)
+ Xét trường hợp hấp thụ gần ngưỡng tức thỏa mãn
shΩ1 + mhΩ 2 − hωqr << ε
ξ s ,m = hωqr − shΩ1h−2 qrm2 hΩ 2
Với: ;
∆ = ξ s ,m +
Hệ số hấp thụ có dạng: s ,m
2 m∗
ur r r r 2
ur r ur r
uu
r r 2ur r
ur r ur2 r
pqhπ
3ae12qΩ
2ω o 1 h2 pq
2 1 a2 qh2 pq ur r2 ur r ur ahq2 pq
h216
1
pq
pq
× δ ∆ −1,1 α
+ ×= ∗1 −÷− δ 2 ∆−1,−δ1 +∆ − +∗ h÷÷+∑
δ 2∆−1,1δ +∆ ÷ ∗+n ÷
δ qr−∆1,n−+p1(+N1qr + ∗1)×÷×
ph
+−
qN
m c χ ∞ E ε o χ ∞ 0,1m χ o upr∗,qr q÷ 2 0,m−1 ∗ ÷
m
2
m
m
4
o
( )
( )
(1.19)
+ Ta xét tổng sau:
uu
rr 2
ur r
2
1 a2 q ur r r
h
pq
ur
r + 1) ×δ ∆
Ds ,m = ∑
n
N
−
n
(
N
+
p
+
q
p
÷
s
,
m
q
q
ur r 2
m∗
p, q q 2
(1.20)
Thực hiện chuyển tổng thành tích phân và tính toán các số hạng của
(1.20) ta được:
Ds ,m
ξ s,m
ξ s ,m
1 m*n0 a2 2 r
r + 1 exp
=
N
−
N
×
exp
−
q
(2π )6 h2 4 q
k BT
2k β T
(
)
+
| ξ s ,m |
K
(1.21)
÷
÷ 0 2k T ÷
÷
β
Tính toán tương tự như trên ta được:
r r 2
rr
12 u
*2 2
| ξ s ,m |
1 m*n0 a2 2 r 2 ra 2 q r uur r ξ s ,m uur ur r ξ1s ,murr 42 m ξ s ,m h2 pq
=
H
=
a
N
−
N
+
n
1
exp
N
+
1
−
×
n
exp
N
−
a
q
δ
∆
+
K
1
p
q
+
p
÷
÷
4 s ,m
∑ ÷
÷ (1.22)
s ,m
1* ÷
q
q 2qk2 T 1÷
(2π )6 h2 4 upur, uqr q 2 q
k BT
h
m
2
k
T
β
B
(
)(
)
( )
21
ﾧ
+
ﾧ
Sử dụng (1.21) và (1.22) thay vào biểu thức của hệ số hấp thụ ta
được:
16hπ 3e 2Ω 2ωo 1
1
1
α=
− ÷( D0,1 − D0,−1 ) − ( H 0,1 − H 0,−1 ) +
2
2
c χ∞ Eo ε o χ∞ χo
+
ﾧ
1
H −1,1 − H −1,−1 + H1,1 − H1,−1 )
(
4
(1.23)
Biểu thức (1.23) là hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán
dẫn khối. Kết quả này sẽ được sử dụng để so sánh với hệ số hấp thụ sóng điện
từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần được nghiên cứu trong
các chương tiếp theo.
22
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA
SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM
CẦM CỦA PHONON (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬPHONON QUANG)
1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêu
mạng hợp phần
Điện tử khi bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần sẽ bị lượng tử hoá.
Gọi z là trục lượng tử hoá. Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon
trong siêu mạng hợp phần có dạng:
H = H e + H ph + H e− ph
ﾧ
(2.1)
Với:
+ﾧ
+ﾧ
H e− ph
e ur + ur ur
ur
H =∑
ε
p
−
A(t ) an , p an , p
e n ,uprH n= ⊥ hωhcb + r b÷
⊥ ph
∑r qr m,q⊥ m,qr ⊥ ⊥ ⊥
m ,q ⊥
mπ +
m
+
r
r +b
r )
=∑
C
I
(
)
a
a
ur (b
∑
ur
r
n
,
n
'
m
,
q
m
,
q
m
,− q ⊥
'
r
u
r
n, p
⊥
⊥
n
,
p
+
q
⊥
⊥
L
⊥
m , q ⊥ n ,n ' , p ⊥
+ﾧ
+ ﾧ,
ﾧ: Toán tử sinh, hủy điện tử giam cầm ở trạng thái ﾧ.
r
+ ﾧ , ﾧ : Toán tử sinh hủy mb,m+q,rqr⊥ phonon giam cầm ở trạng thái ﾧ
m ,q⊥
u
r ⊥
+ ﾧ : Xung lượng của điện p tử trong mặt phẳng vuông góc với
trục của siêu mạng hợp phần.
⊥
ﾧ : Tần số của phonon ω r quang.
q
+ ﾧ: Năng lượng của điện tử ε uuur trong siêu mạng phợp phần.
uu
rrn , p⊥
+ ﾧ : Thế vectơ của trường EA12((tt)) điện từ trong trường hợp tồn tại hai
+
sóng điện từ ﾧ và ﾧ.
23
ur+
n,apnn ,,⊥uupprr ⊥
⊥
ur
ur
ur
ur
ur
ur
1 ∂ A(t )
E (t ) = E1 (t ) + E 2 (t ) = E 01 sin ( Ω1t ) + E 02 sin ( Ω 2t ) = −
c ∂t
ﾧ
ur
ur
ur
E 01c
E 02c
A(t ) =
cos ( Ω1t ) +
cos ( Ω 2t )
Phương
Ω1
Ω2
Suy ra: ﾧ
2.
trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến
sự giam cầm của phonon
Gọi ﾧ là số điện tử n uuur (t ) = a + ur a ur
n , p⊥
n, p⊥ n, p⊥
trung bình tại thời điểm t.
t
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có
dạng:
ih
∂nn ,upuur (t )
⊥
∂t
= an+,upuuran,upr , H
⊥ ⊥ t (2.2)
ﾧ
u
r π +e ur +
∂n+n ,upuur (t )
m
m
+
r ⊥b r =+ a + uuu
r Iε ( p ' )
r )
+∑
h
ω
a n ,upr a ('burm' ,aqr ' +ur' b+
r∑
ur C
rb
i
h
a
,
−a n' , upr A
∑
r (t ) ÷
, qur⊥ nn, n' '
m
,− q ⊥
r
q m ,q ⊥ m , q ⊥
nr , p⊥ ' nur, p ⊥ m∑
⊥n , p
+ q⊥
n
,
p
⊥
⊥
L
⊥
⊥
∂t
hc⊥
m ,q ⊥
m ,q ⊥ n , n , p ⊥ n' , p '
⊥
Hay ﾧ
t
ﾧ
Vế phải của phương trình trên có 3 số hạng, ta lần lượt tính từng số
hạng:
Số hạng thứ nhất:
ﾧ
Ta
có:
+
e ur +
ur '
sh1 = a n , upr a n , upr , ∑
ε n' p − A(t ) ÷a ' ur' a ' ur'
n , p ⊥ n , p⊥
⊥ ⊥ n' ,upr '⊥ ⊥ hc
t
ﾧ
+
e ur +
ur'
u
r
u
r
ε n' p ⊥ − A(t ) ÷aur' ur' a ' eur' u
an , p an , p , ∑
=
ur
n , p n , p r + ur ur +
⊥
⊥
n' , p '⊥
=hc∑ ε n' p ' ⊥− ⊥ A
(t ) ÷ an , p an , p , a ' ur' a ' ur' =
n , p⊥ n , p⊥
r
⊥
⊥ hc
⊥
n ', p⊥'
ﾧ
=
e ur + ur
ur '
+
=
ε
p
−
A
(
t
)
a
a
ur δ ' δ ur ur' − a ' ur' a ur δ 'δ ur ur'
∑
'
÷
' '
n
,
p
n , p ⊥ n ,n p , p
n
,
n
ur
n
,
p
p
,
p
n
,
p
⊥
⊥
n
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
'
hc
n , p '⊥
ﾧ
24
r
e
r
e
= ε n ( p⊥ − A(t ))an+, pr⊥ an , pr ⊥ − ε n ( p⊥ − A(t ))an+, pr ⊥ an , pr ⊥ = 0
hc
hc
ﾧ
sh1 t = 0
Vậy: ﾧ
(2.3)
Số hạng thứ 2:
+
r b r
sh 2 t = an+,upr an, upr , ∑
h
ω
rb
m , q m ,q
r
⊥ ⊥ m ,q ⊥ q ⊥ ⊥
=0
t
ﾧ
(2.4)
Số
hạng
thứ 3:
mπ +
m
+
rI
r +b
r )
sh3 = an+,upr an ,upr , ∑
C
(
)
a
a
(
b
∑uuur m,q n1 ,n2 L n2 ,upr'⊥ +qr⊥ n1 ,upr'⊥ m,q⊥ m,−q ⊥
r
⊥ ⊥ m ,q ⊥ n1 ,n2 , p⊥'
t
ﾧ
Ta có:
+
mπ +
m
+
rI
r +b
r ) =
C
(
)
a
a
(
b
an ,upr an ,upr , ∑
∑uuur m,q n1 ,n2 L n2 ,upr'⊥ +qr⊥ n1 ,upr'⊥ m,q⊥ m,−q⊥
r
⊥ ⊥ m ,q ⊥ n1 ,n2 , p⊥'
ﾧ
∑ ∑
=
C rIm (
uuu
r m ,q n1 , n2
r
m , q ⊥ n1 , n2 , p⊥'
mπ + ur ur +
) an , p an , p , a n , upr ' + qr a n , upr ' (bm ,qr + bm+ ,− qr ) =
⊥
⊥
L ⊥ ⊥ 2 ⊥ ⊥ 1 ⊥
ﾧ
=
∑C
uu
r
n1 , q ,m
m
r
m , q n ,n1
I
(
ﾧ
mπ + ur
)an , p an ,upr −qr (bm ,qr + bm+ ,− qr ) −
1 ⊥
⊥
⊥
⊥
L
m⊥ π +
m
rI
−∑
C
(
)a n , upr + qr an ,upr (bm ,qr + bm+ ,− qr )
m ,q n ,n2
uu
r
⊥
⊥
⊥
2 ⊥
⊥
L
n2 , q ,m
ﾧ
n2 → n1
Chuyển ﾧ:
+
mπ +
m
+
rI
r +b
r ) =
C
(
)
a
a
(
b
an ,upr an ,upr , ∑
∑uuur m,q n1 ,n2 L n2 ,upr'⊥ +qr⊥ n1 ,upr'⊥ m,q⊥ m,−q⊥
r
⊥ ⊥ m ,q ⊥ n1 ,n2 , p⊥'
ﾧ
25
