Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tá
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.36 MB, 67 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ HƢƠNG
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ HƢƠNG
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Đinh Quốc Vương
Hà Nội – 2012
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1
.
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ
MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
4
1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần 4
1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần 4
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần 4
1.3. Sự giam cầm của phonon trong siêu mạng hợp phần……………5
2. Ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trƣờng hợp tán xạ điện tử-phonon quang). 7
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối 7
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 7
2.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện
từ mạnh 11
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN DƢỚI
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM
CỦA PHONON (TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
14
1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêu mạng
hợp phần 14
2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần có kể đến sự giam cầm của phonon 15
3. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng
của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon
(trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang) 31
Chƣơng 3. TÍNH TOÁN SỐ CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As
VÀ BÀN LUẬN
44
1. Tính toán số 44
Sử dụng công cụ toán học matlab chúng tôi thu được các kết quả sau: 44
2. Bàn luận 47
KẾT LUẬN 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
PHỤ LỤC
1
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong một thế kỷ mà trên thế giới đang tích cực nghiên cứu
và chuẩn bị cho ra đời một ngành công nghệ mới, hứa hẹn sẽ lấp đầy mọi nhu cầu trong
cuộc sống của con người, đó là công nghệ nanô. Chính xu hướng này làm cho vật lý
bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu.
Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ thấp chiều đã
làm thay đổi hầu hết tính chất của điện tử. Ở bán dẫn khối các điện tử chuyển động
trong toàn mạng tinh thể ( cấu trúc 3 chiều), nhưng ở hệ thấp chiều chuyển động của
điện tử bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục toạ độ. Phổ năng
lượng của hạt tải bị gián đoạn theo các phương này. Chính sự lượng tử hoá phổ
năng lượng này đã làm thay đổi cơ bản các đại lượng của hệ như: hàm phân bố, mật
độ trạng thái,…và do đó làm thay đổi tính chất của hệ điện tử. Nghiên cứu cấu trúc
cũng như các hiện tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấp
chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời, cấu trúc thấp
chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện tử chuẩn ba
chiều không có. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các
linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện
đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang- điện tử nói
riêng.
Ngày nay, cùng với sự phát triển của vật lý chất rắn và một số công nghệ
hiện đại, người ta đã chế tạo ra các cấu trúc hai chiều- hố lượng tử, các cấu trúc một
chiều- dây lượng tử, hay các cấu trúc không chiều- điểm lượng tử, với những thông
số phù hợp với mục đích sử dụng. Từ những cấu trúc này người ta lại có thể chế tạo
ra những cấu trúc thấp chiều khác. Siêu mạng hợp phần được tạo thành từ một cấu
trúc tuần hoàn các hố lượng tử trong đó khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ nhỏ
để có thể xảy ra hiệu ứng đường hầm. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi
cơ bản phổ năng lượng của điện tử, làm cho siêu mạng có một số tính chất chú ý mà
bán dẫn khối thông thường không có [1-13].
Tính chất quang của bán dẫn khối cũng như trong các hệ thấp chiều đã được nghiên
cứu [14-18]. Loại bài toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) lên hấp
thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn thấp chiều đã được công bố
2
khá nhiều. Tuy nhiên, trong các công trình này, các tác giả mới chỉ xem xét đến ảnh hưởng
của điện tử giam cầm trong các hệ thấp chiều, bỏ qua ảnh hưởng của phonon giam cầm.
Do đó trong luận văn này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu và giải quyết đề tài “Ảnh
hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường
hợp tán xạ điện tử - phonon quang)"
Về phương pháp nghiên cứu
Đối với bài toán về ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện
từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam
cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử -phonon quang) có thể sử dụng nhiều
phương pháp khác nhau như phương pháp Kubo – Mori, phương pháp chiếu toán
tử, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử,
phương pháp hàm Green … kết hợp với việc sử dụng một số phần mềm hỗ trợ.
Trong đề tài nghiên cứu này, tôi đã sử dụng các phương pháp và trình tự tiến
hành như sau:
- Sử dụng phương pháp Phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới
sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon.
- Sử dụng chương trình toán học Matlab để đưa ra tính toán số và đồ thị sự phụ
thuộc của hệ số hấp thụ vào các thông số của siêu mạng hợp phần
GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As.
Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục luận văn gồm 3 chương:
Chƣơng 1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần và bài toán hấp thụ sóng điện
từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh.
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử và hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có
kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang).
Chƣơng 3: Tính toán số cho siêu mạng hợp phần
0.3 0.7
/GaAs Al Ga As
và bàn luận.
Kết quả chính thu được trong luận văn là:
3
Dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm thì hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc phức tạp vào nhiệt độ của hệ, các tham
số đặc trưng cho cấu trúc của siêu mạng hợp phần, biên độ, tần số của sóng điện từ yếu và
của bức xạ laser. Các tính toán cũng chỉ ra rằng các quang phổ của hệ số hấp thụ phi tuyến
trong trường hợp phonon bị giam cầm rất khác so với trường hợp phonon không bị giam
cầm. Phonon giam cầm gây ra sự thay đổi vị trí đỉnh cộng hưởng và xác suất xảy ra cộng
hưởng lớn hơn so với trường hợp phonon không bị giam cầm.
4
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần
1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai
chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d
1
, ký hiệu là A, độ rộng
vùng cấm hẹp
A
g
(ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày d
2
ký hiệu là B có vùng cấm rộng
B
g
(ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô
hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn
tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các
lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó,
điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này
sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng
của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này
được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất
nhiều so với hằng số mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản
phổ năng lượng của điện tử. Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện
tử chuẩn hai chiều.
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần
Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng
thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn
của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Phổ năng lượng của điện
tử trong siêu mạng hợp phần có dạng
2 cos cos
n x y
k k d k d
(1.1)
5
Trong biu thc (1.1),
l rng ca vựng mini; d=d
1
+d
2
l chu k siờu
mng; k
x
, k
y
l cỏc vộc t xung lng ca in t theo hai trc ta x,y trong mt
phng siờu mng. Ph nng lng ca mini vựng cú dng:
cos
n n n z
k k d
(1.2)
n
là độ rộng của mini vùng thứ n, xác định bởi biểu
thức:
2
2
00
0
2
2
0
00
exp 2 /
41
2/
n
nn
m d d U
d
dd
m d d U
(1.3)
Trong cụng thc (1.3), d
0
l rng ca h th bit lp;
0 cv
U
l
sõu ca h th bit lp;
AB
c c c
l sõu ca h th giam gi in t c
xỏc nh bi cc tiu ca hai vựng dn ca hai bỏn dn A v B;
AB
v v v
l
sõu ca h th giam gi l trng c xỏc nh bi hiu cỏc cc i ca cỏc khe
nng lng gia hai bỏn dn A v B; n l ch s mini vựng;
22
2
2
2
n
n
md
l cỏc
mc nng lng trong h th bit lp.
22
12
1 2 1 2
12
cos cos sinh sin sinh
2
z
kk
k d k a k b k a k b
kk
1/ 2
2
1
1
2
sz
k m E k
;
1/ 2
2
1
2
sz
k m r k
T ú ta cú:
2 2 2 2 2
2
cos
22
n n z
kn
k k d
m m d
(1.4)
cv
r
l th siờu mng c xỏc nh bi hiu cỏc khe nng lng
hai bỏn dn. Nh vy, th ca siờu mng bng tng nng lng chờnh lch ca cỏc
vựng dn
c
v chờnh lch nng lng cỏc vựng húa tr
v
ca hai lp bỏn dn
k tip. Vỡ chu k ca siờu mng ln hn nhiu so vi hng s mng, trong khi ú biờn
ca th siờu mng li nh hn nhiu so vi biờn ca th mng tinh th . Do ú,
nh hng ca th tun hon trong siờu mng ch th hin cỏc mộp vựng nng lng.
6
Tại các mép của vùng năng lượng, quy luật tán sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ
năng lượng có thể tìm thấy trong gần đúng khối lượng hiệu dụng. Đối với các vùng
năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:
2
2
2
r r r E r
m
Vì
r
là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử
r
có dạng hàm Block
thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng
tổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng
liên kết mạnh) có dạng.
1
1
exp exp
d
N
x y z s
m
xy
r i k x k y ik md z md
L L N
(1.5)
Trong đó, L
x
, L
y
là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và N
d
là chu kỳ và
số chu kỳ siêu mạng hợp phần;
s
z
là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập.
1.3. Sự giam cầm của phonon trong siêu mạng hợp phần
Phonon bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần thì phổ năng lượng của
phonon chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, chuyển động của phonon bị giới
hạn theo trục z làm ảnh hưởng đến thừa số dạng và hằng số tương tác điện tử -
phonon. So với trường hợp phonon không bị giam cầm thì trường hợp giam cầm bị
lượng tử hóa và thêm chỉ số giam cầm của phonon m khi đó thừa số dạng và hằng
số tương tác được biểu diễn bằng biểu thức:
+
.
, ' '
0
( ) ( ) ( )
m
Nd
iz
m
L
n n n n
m
I z jd z jd e dz
L
: Thừa số dạng điện tử
trong siêu mạng hợp phần, d: chu kỳ của siêu mạng.
+
2
2
0
2
0
2
2 1 1
q
O
e
C
m
qV
L
: Hằng số tương tác điện tử-
phonon cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang.
O
V
: Thể tích chuẩn hóa (chọn
1
O
V
)
: Hằng số điện.
: Độ điện thẩm cao tần
7
0
: Độ điện thẩm tĩnh.
2. Ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trƣờng hợp tán xạ điện tử-phonon quang).
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối
Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
phephe
HHHH
(1.6)
Với:
+
p
pp
e
aatA
c
e
pH )(
+
q
qqq
ph
bbH
+
pq
qqpqpq
phe
bbaaCH
,
+
,
pp
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
' ' , '
{ , } { , }=
p p p p p p
a a a a
;
''
[ , ]=[ , ] 0
p p p p
a a a a
+
,
bb
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
' , '
[ , ]
p p p p
bb
;
''
[ , ]=[ , ] 0
p p p p
b b b b
+
q
C
: hằng số tương tác điện tử - phonon.
+
()
e
p A t
c
là hàm năng lượng theo biến
()
e
p A t
c
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
t
pp
p
Haa
t
tn
i
ˆ
,
)(
(1.7)
Hay
,
()
, ( ) ( )
p
p p p p q q q q p q p q q
p q q p
t
nt
e
i a a p A t a a b b C a a b b
tc
Vế phải của phương trình trên có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng.
8
- Số hạng thứ nhất:
''
'
1 ; ' ( ) 0
p p p p
t
p
t
e
st a a p A t a a
c
- Số hạng thứ hai:
2 ; 0
p p q q q
t
q
t
sh a a b b
- Số hạng thứ ba:
' ' ' '
, ' , '
3 ; ;
p p q p q p q q q p p p q p q q
t
q p q p
t
t
sh a a C a a b b C a a a a b b
' , ' ' , '
,'
3
q p p p p q p q p p p q q
t
qp
t
sh C a a a a b b
q p p q q p p q q p q p q p q p q
t t t t
q
C a a b a a b a a b a a b
**
, , , , , , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
C F t F t F t F t
Với
t
qppqpp
baatF
2121
)(
,,
Vậy phương trình (1.7) trở thành:
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
nt
i C F t F t F t F t
t
Hay
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
nt
i
C F t F t F t F t
t
(1.8)
Để giải (1.8) ta đi tính
)(
,,
21
tF
qpp
bằng cách sử dụng phương trình động lượng
tử cho nó:
t
qpp
qpp
Hbaa
t
tF
i ;
)(
21
21
,,
(1.9)
Tính toán các số hạng trong vế phải của (1.9) rồi tiến hành giải phương trình
vi phân ta thu được:
9
12
12
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
,,
2 1 2 1
*
,,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p p q
q p p q
q p p q q q q q p q p q q q
tt
Ft
e
i p p p p A t F t
t m c
C a a b b b C a a b b b
(1.10)
Giải (1.10) bằng phương pháp biến thiên hằng số ta được:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
22
1
12
2
,,
2 1 2 1 1
*
()
exp ( )
t
p p q q p q p q q q p p q q q q
tt
q
t
p p q
t
i
F t C a a b b b a a b b b
i ie
t t p p A t dt dt
mc
2
(1.11)
Thay (1.11) vào (1.8) và thực hiện một vài phép biến đổi ta thu được:
2
2
11
'
11
()
1
||
' ( ') ( ')( 1) exp ' ( )
( ')( 1) ( ') exp ' ( )
p
q
q
tt
p q q p q p p q q
t
p q q p q p p q q
nt
C
t
i ie
dt n t N n t N t t qA t dt
mc
i ie
n t N n t N t t qA t dt
mc
'
11
'
11
'
( ') ( ')( 1) exp ' ( )
( ')( 1) ( ') exp ' ( )
t
t
t
p q p q q p q p q
t
t
p q p q q p q p q
t
i ie
n t N n t N t t qA t dt
mc
i ie
n t N n t N t t qA t dt
mc
(1.12)
Với:
;1
q q q q q q
N b b N b b
Thay:
t
cE
t
cE
tA
oo
2
2
2
1
1
1
coscos)(
và áp dụng khai triển:
)exp()()sinexp( izJiz
ta có:
10
12
1 1 1 1 2 2
22
12
'
11
11
22
,
12
2
2
1
exp ( ) exp sin ' sin sin ' sin
exp( ')exp( )
t
oo
t
oo
ls
ls
o
f
ie ieE q ieE q
qA t dt t t t t
mc m m
eE q eE q
J J is t il t
mm
eE q
JJ
m
2
22
2
,
2
exp( ')exp( )
o
m
fm
eE q
im t if t
m
Đặt:
2
2
2
2
2
1
1
1
;
m
Ee
a
m
Ee
a
oo
thì:
1 1 1 1 2 2
, , ,
'
1 2 1 2
exp ( )
exp ( ) ( ) exp ( )( ')
t
l s m f
l s m f
t
ie
qA t dt J a q J a q J a q J a q
mc
i s l m f t i s m t t
Thay kết quả này vào (1.5) và đưa vào thừa số: e
-δ(t-t’)
(δ→
+
0) xuất hiện do
giả đoạn nhiệt của tương tác ta có:
2
1 1 2 2 1 2
2
, , ,
12
()
1
| | exp ( ) ( )
' ( ') ( ')( 1) exp '
( ')( 1)
p
l s m f
q
l s m f
q
t
p q q p q p p q q
p q q
nt
C J a q J a q J a q J a q i s l m f t
t
i
dt n t N n t N s m i t t
n t N
12
( ') exp '
p q p p q q
i
n t N s m i t t
12
12
( ') ( ')( 1) exp '
( ')( 1) ( ') exp '
p q p q q p q p q
p q p q q p q p q
i
n t N n t N s m i t t
i
n t N n t N s m i t t
(1.13)
(1.13) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của
điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ
)(
1
tE
và
)(
2
tE
. Ta giải
(1.13) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem
p
p
ntn )(
, ta được:
11
2
12
1 1 2 2
, , ,
12
exp ( ) ( )
1
( ) | |
( ) ( )
l s m f
pq
l s m f
q
i s l m f t
n t C J a q J a q J a q J a q
s l m f
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p q p p q p
q q q q
p p q q p p q q
n N n N n N n N
s m i s m i
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p p q p p q
q q q q
p q p q p q p q
n N n N n N n N
s m i s m i
(1.14)
+ Mật độ dòng hạt tải:
*
( ) ( ) ( )
p
p
ee
J t p A t n t
mc
hay:
22
* * * *
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o
p p p
p p p
e e e n e
J t A t n t pn t A t pn t
m c m m c m
với
o
p
p
ntn
)(
Thực hiện các phép biến đổi và tính toán ta được:
21
212121
21
21
2121
21
21
,,,
2
,
2
)(sin
)(cos
)1(
||
*
)()(
ms
trkqaJqaJqaJqaJ
ms
trk
qaJqaJqaJqaJ
qaJqaJ
rk
NnNn
qC
m
e
tA
mc
ne
tJ
qpqp
rmksmrsk
qpqp
rmksmrsk
ms
q
p
q
qp
rmsk
pq
q
o
(1.15)
2.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng
điện từ mạnh
+ Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả
thiết
12
như sau:
t
o
o
tEtJ
Ec
2
2
2
2
sin)(
8
(1.16)
+ Thay (9) vào (10) và tính toán ta thu được:
12
2
2
2
22
2
12
2
,
,
12
8
| | ( 1)
sm
o
p p q
q q q
sm
qp
p q p q
C n N n N mJ a q J a q
cE
sm
(1.17)
+ Xét tán xạ điện tử - phonon quang ta có:
0q
2
2
2
2 1 1
o
q
oo
e
C
q
+ Hạn chế trong gần đúng bậc hai của hàm Bessel suy ra:
2
32
2
02
2
2
0
0 02
16 1 1 1
( 1)
2
p p q
q
e a q
n N n N
q
cE
2
1
22
1
2
p
p q q p q p q
aq
2
1
1 2 1 2
4
p q p q p q p q
aq
1 2 1 2
p q p q p q p q
(1.18)
+ Xét trường hợp hấp thụ gần ngưỡng tức thỏa mãn
12
q
sm
Với:
, 1 2sm
q
sm
;
2
2
,,
2
s m s m
q
m
Hệ số hấp thụ có dạng:
13
2
32
22
2
2
,
16 1 1 1
( 1)
2
o
o
p q p
pq
o
o
e a q
n N n N
q
cE
22
22
1
1
0,1 0, 1
1
24
a q a q
pq pq
mm
2 2 2 2
1,1 1, 1 1,1 1, 1
(1.19)
pq pq pq pq
m m m m
+ Ta xét tổng sau:
,
2
2
2
,,
2
1
( 1)
2
p q p
s m s m
pq
a q pq
D n N n N
qm
(1.20)
Thực hiện chuyển tổng thành tích phân và tính toán các số hạng của (1.20) ta được:
*2
, , ,
02
,0
62
B
||
1
1 exp exp (1.21)
(2 ) 4 k 2 2
s m s m s m
sm
m n a
D N N K
T k T k T
+ Tính toán tương tự như trên ta được:
,
2
2
2
2
,1
2*
,
1
1
2
p
sm
sm
pq
pq
a q pq
H N N a q
qm
nn
12
*2 2
*2
2
, , , ,
02
1
1
6 2 4
B
4 | |
1
1 exp exp (1.22)
(2 ) 4 k 2 2
s m s m s m s m
B
m
m n a
a N N K
T k T k T
+ Sử dụng (1.21) và (1.22) thay vào biểu thức của hệ số hấp thụ ta được:
32
2
0,1 0, 1 0,1 0, 1
2
1,1 1, 1 1,1 1, 1
16 1 1 1
2
1
4
o
o
o
o
e
D D H H
cE
H H H H
(1.23)
Biểu thức (1.23) là hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối.
Kết quả này sẽ được sử dụng để so sánh với hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng hợp phần được nghiên cứu trong các chương tiếp theo.
14
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ
YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN DƢỚI
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM
CẦM CỦA PHONON (TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêu
mạng hợp phần
Điện tử khi bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần sẽ bị lượng tử hoá. Gọi z
là trục lượng tử hoá. Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng
hợp phần có dạng:
e ph e ph
H H H H
(2.1)
Với:
+
,,
,
()
n p n p
np
e
H p A t a a
en
c
+
,,
,
q
ph
m q m q
mq
H b b
+
'
,
,
'
,'
, , ,
,
,,
( ) ( )
np
n p q
m
e ph n n
m q m q m q
mq
n n p
m
H C I a a b b
L
+
,np
a
,
,np
a
: Toán tử sinh, hủy điện tử giam cầm ở trạng thái
,np
.
+
,mq
b
,
,mq
b
: Toán tử sinh hủy phonon giam cầm ở trạng thái
,mq
+
p
: Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu
mạng hợp phần.
+
q
: Tần số của phonon quang.
+
,np
: Năng lượng của điện tử trong siêu mạng phợp phần.
+
()At
: Thế vectơ của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện
từ
1
()Et
và
2
()Et
.
15
1 2 01 02
12
1 ( )
( ) ( ) ( ) sin sin
At
E t E t E t E t E t
ct
Suy ra:
01 02
12
12
( ) os os
E c E c
A t c t c t
2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần có kể đến sự giam cầm của phonon
Gọi
, , ,
()
n p n p n p
t
n t a a
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:
,
,,
()
,
np
n p n p
t
nt
i a a H
t
(2.2)
Hay
' ' '
''
'
'
,
'
,,
,,
,
()
, ( )
np
n p n p
n
n p n p
np
nt
e
i a a p A t a a
tc
'
,
,
'
,'
, , , , ,
,,
,,
( ) ( )
q n p
n p q
m
nn
m q m q m q m q m q
m q m q
n n p
t
m
b b C I a a b b
L
Vế phải của phương trình trên có 3 số hạng, ta lần lượt tính từng số hạng:
Số hạng thứ nhất:
' ' '
''
,,
'
'
'
,,
,
1 , ( )
n p n p
n
n p n p
np
t
e
sh a a p A t a a
c
Ta có:
' ' '
''
'
'
'
,,
,,
,
, ( )
n p n p
n
n p n p
np
e
a a p A t a a
c
' ' '
''
'
'
,,
,,
',
( ) ,
n p n p
n
n p n p
np
e
p A t a a a a
c
' ' ' ' ' '
''
'
'
'
'
,,
,,
, , , ,
,
()
n p n p
n n n n
n p p p n p p p
np
e
p A t a a a a
n
c
16
, , , ,
( ( )) ( ( )) 0
n n p n p n n p n p
ee
p A t a a p A t a a
cc
Vậy:
10
t
sh
(2.3)
Số hạng thứ 2:
, , , ,
,
2 , 0
q
n p n p m q m q
t
mq
t
sh a a b b
(2.4)
Số hạng thứ 3:
1 2 ' '
,,
21
'
12
,
, , , , ,
,
,,
3 , ( ) ( )
n p q n p
m
nn
n p n p m q m q m q
mq
n n p
t
m
sh a a C I a a b b
L
Ta có:
1 2 ' '
,,
21
'
12
,
, , , , ,
,
,,
, ( ) ( )
n p q n p
m
nn
n p n p m q m q m q
mq
n n p
m
a a C I a a b b
L
12
''
,,
21
'
12
,
, , , , ,
,
,,
( ) , ( )
n p q n p
m
nn
m q n p n p m q m q
mq
n n p
m
C I a a a a b b
L
1
1
1
,
, , , , ,
,,
( ) ( )
m
nn
m q n p n p q m q m q
n q m
m
C I a a b b
L
2
,
2
2
,
, , , ,
,,
( ) ( )
n p q
m
nn
m q n p m q m q
n q m
m
C I a a b b
L
Chuyển
21
nn
:
1 2 ' '
,,
21
'
12
,
, , , , ,
,
,,
, ( ) ( )
n p q n p
m
nn
n p n p m q m q m q
mq
n n p
m
a a C I a a b b
L
1
1
1
,
, , , , ,
,,
( ) ( )
m
nn
m q n p n p q m q m q
n q m
m
C I a a b b
L
1
,
1
1
,
, , , ,
,,
( ) ( )
n p q
m
nn
m q n p m q m q
n q m
m
C I a a b b
L
17
Tiếp tục chuyển
1
'nn
ta có:
'
'
,
,'
, , , , ,
,
', ,
3 ( )
n p q
m
nn
m q n p m q n p m q
t
n p q
t
t
n q m
m
sh C I a a b a a b
L
'
'
,
,
, , ,
,
n p q
mq
n p m q n p
n p q
t
t
a a b a a b
(2.5)
Thay (2.3), (2.4),(2.5) vào (2.2) ta được:
'
' ' '
,
,'
,
, , , , ,
', ,
, , , , , , , , , , , , , , ,
()
( ) ( )
( ) ( ) ( )
np
m
nn
mq
n p q n p q m
n q m
n p n p q q m n p n p q q m n p q n p q m
nt
m
i C I F t
tL
F t F t F t
Hay
'
' ' '
,
,'
,
, , , , ,
', ,
, , , , , , , , , , , , , , ,
()
( ) ( )
( ) ( ) ( )
np
m
nn
mq
n p q n p q m
n q m
n p n p q q m n p n p q q m n p q n p q m
nt
im
C I F t
tL
F t F t F t
(2.6)
Với :
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , , ,
()
n p n p q m n p n p m q
t
F t a a b
.
Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm F(t) bằng cách viết phương trình động
lượng tử cho nó:
12
12
12
12
, , , , ,
, , ,
()
,
n p n p q m
n p n p m q
t
Ft
i a a b H
t
(2.7)
Hay
12
12
12
12
, , , , ,
, , , , ,
,
()
, ( )
n p n p q m
n p n p m q n p n p
np
Ft
e
i a a b p A t a a
n
tc
34
,
3
1 1 1 1 1
4
1
34
11
,
, , , , , ,
, , , , ,
( ) ( )
q n p q
m
nn
m q m q m q n p m q m q
m q n n p q m
t
m
b b C I a a b b
L
Vế phải của phương trình trên có 3 số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng:
-Số hạng thứ nhất:
18
12
12
, , , , ,
,
1 , ( )
n p n p m q n p n p
t
np
t
e
sht a a b p A t a a
n
c
2 1 1 2
12
21
, , , , , , ,
21
1 ( ) ( )
n p n p n p n p q m
t
e
sht p p A t F t
mc
(2.8)
- Số hạng thứ hai:
12
1 2 1 1
1
1
, , , , ,
,
2,
q
n p n p m q m q m q
t
qm
t
sht a a b b b
12
12
, , , , ,
2 ( )
q
n p n p q m
t
sht F t
(2.9)
- Số hạng thứ ba:
12
12
34
,
3
1 1 1
4
34
1
, , ,
,
, , , ,
, , , ,
3,
( ) ( )
n p q
n p n p m q
t
m
nn
m q n p m q m q
t
n n p q m
sht a a b
m
C I a a b b
L
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
3 ( )
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
t
n q m
m
sht C I a a b b b
L
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
14
4 1 1 2
1 1 2
4
,,
, , , ,
,
()
m
q m n n
n p q n p n p n p
t
nm
m
C I a a a a
L
Do
4 1 1 2
1 1 2
2
, , , ,
p
n p q n p n p n p
t
a a a a n
<<1 nên ta bỏ qua số hạng này
Suy ra:
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
3 ( )
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
t
n q m
m
sht C I a a b b b
L
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
(2.10)
Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào (2.7) ta được:
19
12
12
2 1 1 2
2 1 2
1
, , , , ,
, , , , , , ,
21
()
( ) ( )
q
n p n p q m
n p n p n p n p q m
Ft
e
i p p A t F t
t
mc
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
(2.11)
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
12
12
2 1 1 2
2 1 2
1
0
, , , , ,
0
, , , , , , ,
21
()
( ) ( )
q
n p n p q m
n p n p n p n p q m
Ft
e
i p p A t F t
t
mc
(2.12)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
12
12
, , , , ,
ln ( ) 0
t
n p n p q m
Ft
, dễ dàng tính được
nghiệm của phương trình thuần nhất trên có dạng:
1 2 2 1
1 2 2
1
0
11
, , , , , , ,
21
-i
( ) exp ( )
q
t
n p n p q m n p n p
e
F t p p A t dt
mc
(2.13)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp
biến thiên hằng số. Đặt:
1 2 1 2 2
1 2 1
0
, , , , , , , , , ,
( ) ( )
n p n p q m n p n p q m
F t M t F t
(2.14)
Suy ra:
1 2 1 2
1 2 1 2
12
12
0
, , , , , , , , , ,
0
, , , , ,
( ) ( )
()
( ) ( )
n p n p q m n p n p q m
n p n p q m
F t F t
Mt
i F t i M t i
t t t
(2.15)
Thay (12), (13) vào (15) rồi so sánh với (11) ta được kết quả sau:
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
( ) i
()
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
M t m
C I a a b b b
tL
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
20
21
2
1
11
,,
21
i
exp ( )
q
t
n p n p
e
p p A t dt
mc
(2.16)
Tích phân 2 vế của phương trình (2.16) và thay kết quả vào phương trình
(2.14) ta được:
14
1 2 4 2
1 2 1 2 1 1
1
4
1
23
13
1 1 2 1 1
2
3
1
2,
, , , , , , , , , , ,
,,
,
, , , , , ,
,,
i
( ) ( )
()
t
m
nn
n p n p q m m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
F t dt C I a a b b b
L
m
C I a a b b b
L
12
2
1
2
2 1 1
,,
12
i
exp ( )
q
t
n p n p
t
ie
t t p p A t dt
mc
(2.17)
Thay (2.17) vào (2.6) ta được:
'
,
, ' 2
2
,
,,
()
1
()
t
np
m
nn
mq
n q m
nt
m
C I dt
tL
4
4
1 1 1 1
2
4
1
',
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p q q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
3
3
1 1 1 1
2
3
1
,
, , , , ,
,
,,
()
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
q
t
np
n p q
t
ie
t t q A t dt
mc
'
4
4
1 1 1 1
2
4
1
,
, , , , ,
,
,,
( 1) ( )
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
13
3
1 1 1 1
2
3
1
',
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p q q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( ) ( )
t
n p q
n p q
t
ie
t t q A t dt
mc
21
'
4
4
1 1 1 1
2
4
1
,
, , , , ,
,
,,
()
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
3
1 1 1 1
2
3
1
',
, , , , , ,
,,
()
m
nn
m q n p n p q q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
t
n p q
n p q
t
ie
t t q A t dt
mc
4
4
1 1 1 1
2
4
1
',
, , , , , ,
,,
( 1) ( )
m
nn
m q n p n p q q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
3
3
1 1 1 1
2
3
1
,
, , , , ,
,
,,
()
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( ) ( )
t
n p q
n p q
t
ie
t t q A t dt
mc
(2.18)
Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.18) ta đổi chỉ số
1
, đối
với số hạng thứ hai và thứ tư của (2.18) ta đổi chỉ số
1
,
và
'
34
( , ) ( , )n n n n
ta được:
'
2
2
,
, ' 2
2
,
,,
()
1
()
t
np
m
nn
mq
n q m
nt
m
C I dt
tL
''
2
2
, , , , , , , ,
,,
n p n p m q m q m q m q m q m q
n p q n p q
t
t
a a b b b a a b b b
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
q
t
np
n p q
t
ie
t t q A t dt
mc
