Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 60 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Đào Thu Hằng
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG PHA TẠP CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM
CẦM CỦA PHONON (TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ -
PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ
Đào Thu Hằng
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG
PHA TẠP CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ -PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
Cán bộ hƣớng dẫn : GS.TS Nguyễn Quang Báu
Hà Nội – 2012
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ……1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
3. Cấu trúc khóa luận 3
CHƢƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI ………………………………… 4
1. Tổng quan về siêu mạng pha tạp 4
1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp 4
1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử trong siêu mạng pha tạp 4
2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ.
5
2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 5
2.2. Tính hệ số hấp thụ 15
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA
HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU
ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON
QUANG) 22
1. Phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có mặt hai
sóng. 22
2. Tính hệ số hấp thụ sóng điện tử yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt trƣờng song điện từ mạnh 39
CHƢƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO SIÊU
MẠNG PHA TẠP n-GaAs/p-GaAs 52
3.1. Tính toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hấp thụ α cho trƣờng hợp siêu mạng pha tạp n-
GaAs/ p- GaAs: 52
3.2. Nhận xét 54
KẾT LUẬN 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56
PHỤ LỤC 57
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự mở rộng các nghiên cứu về hệ bán dẫn thấp chiều, trong đó có hệ hai chiều trong
thời gian gần đây đã đem lại nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống, lôi cuốn sự tham gia
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới. Việc chuyển từ hệ ba chiều sang các
hệ thấp chiều đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý cả về định tính lẫn định lƣợng của vật
liệu [1,14], Trong số đó, có bài toán về sự ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh lên sóng điện
từ yếu trong các loại vật liệu.
Trong khi ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể
(cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm
ngặt dọc theo một (hoặc hai, ba) hƣớng tọa độ nào đó. Phổ năng lƣợng của các hạt tải trở
nên bị gián đoạn theo phƣơng này. Sự lƣợng tử hóa phổ năng lƣợng của hạt tải dẫn đến sự
thay đổi cơ bản các đại lƣợng của vật liệu nhƣ: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ
dòng, tƣơng tác điện tử - phonon… Nhƣ vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang hệ 2D, 1D đã làm
thay đổi đáng kể những tính chất vật lý của hệ.
Đối với hệ hai chiều (2D), cụ thể ở đây là siêu mạng pha tạp, khi có sự tác dụng của
từ trƣờng ngoài vào các hệ thấp chiều, trong trƣờng hợp từ trƣờng song song với trục của
siêu mạng, phổ năng lƣợng của điện tử trong trƣờng hợp này trở nên gián đoạn hoàn toàn.
Chính sự gián đoạn hoàn toàn của phổ năng lƣợng một lần nữa lại ảnh hƣởng lên các tính
chất phi tuyến của hệ.
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về sự ảnh hƣởng của sóng điện từ
mạnh lên sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã đƣợc nghiên cứu khá nhiều. Thời gian gần
đây cũng đã những có công trình nghiên cứu về ảnh hƣởng sóng điện từ mạnh lên hấp thụ
phi tuyến sóng điện tử yếu từ bởi điện tử giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều .Tuy nhiên,
đối với siêu mạng pha tạp, sự ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ laze lên hấp thụ sóng điện từ
yếu bởi điện tử giam cầm có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon vẫn còn là một vấn đề
mở, chƣa đƣợc giải quyết. Do đó, trong luận văn này, tôi chọn vấn đề nghiên cứu của mình
là “Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng pha tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon(trường hợp tán xạ điện
tử-phonon quang’’.
Về phương pháp nghiên cứu: Chúng ta có thể sử dụng nhiều phƣơng pháp lý thuyết
khác nhau để giải quyết bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ nhƣ nhƣ lý thuyết hàm
Green, phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử… Mỗi phƣơng pháp có một ƣu điểm riêng
nên việc áp dụng chúng nhƣ thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Trong luận văn
này, chúng tôi sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử. Từ Hamilton của hệ trong
biểu diễn lƣợng tử hóa lần hai ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam
cầm, áp dụng phƣơng trình động lƣợng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức
giải tích của hệ số hấp thụ.Đây là phƣơng pháp đƣợc sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ
bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Về đối tượng nghiên cứu: Đối tƣợng nghiên cứu của luận văn là cấu trúc bán dẫn
thấp chiều thuộc hệ hai chiều. Đối tƣợng đặc biệt đó là siêu mạng pha tạp.
Kết quả trong bài luận văn này đã đƣa ra đƣợc biểu thức giải tích của ảnh hƣởng
sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon. Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ
thuộc phi tuyến vào cƣờng độ sóng điện từ, phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào
nhiệt độ T của hệ, tần số
của sóng điện từ và các tham số của siêu mạng pha tạp. Kết quả
đƣợc đƣa ra và so sánh với bài toán tƣơng tự trong bán dẫn khối để thấy đƣợc sự khác biệt.
Cấu trúc của khóa luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa
luận đƣợc chia làm 3 chƣơng, 7 mục, 4 hình vẽ.
Chƣơng I: Giới thiệu về siêu mạng pha tạp và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện từ
trong bán dẫn khối.
Chƣơng II: Phƣơng trình động lƣợng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện từ giam cầm trong siêu mạng pha tạp dƣới ảnh hƣởng sóng điện từ
mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trƣờng hợp tán xạ điện tử-phonon quang).
Chƣơng III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho siêu mạng pha tạp
GaAs/ GaAsAl.
Trong đó chƣơng II và chƣơng III là hai chƣơng chứa đựng những kết quả chính của khóa
luận.
Các kết quả tính toán trong luận văn đã đƣợc báo cáo tại hội nghị Vật lý lý thuyết
trƣờng ĐH KHTN-ĐHQGHN: “The influence of strong electromagnetic waveon the
absorption of a weak electromagnetic wave by confined electrons in doped superlattices,
including the effect of phonon confinement”.
CHƢƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP
THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI
Trong chƣơng này trình bày khái quát về siêu mạng pha tạp (cấu trúc phổ năng
lƣợng, hàm sóng điện từ) và từ phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử đƣa ra biểu thức
giải thích cho hệ số hấp thụ sóng điẹn từ yếu bởi điẹn tử trong bán dẫn khối khi chịu ảnh
hƣởng của trƣờng laser.
1. Tổng quan về siêu mạng pha tạp.
1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp.
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai
loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán dẫn siêu
mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế tuần hoàn
phụ do siêu mạng tạo ra với chu kỳ lớn hơn hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ đƣợc tạo nên
bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, chiều dài của các lớp đủ hẹp để electron có thể suyên qua
các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng nhƣ một thế tuần hoàn bổ sung
vào thế cảu mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng đƣợc chia làm hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu
mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng đƣợc tạo
thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhƣng đƣợc pha tạp khác nhau.
1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phƣơng trình Schrodinger cho điện tử
chuyển động trong hố thế này ta thu đƣợc hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử nhƣ sau:
0
z
1
( ) d
,
z
S
ip r ik j
nn
j
r e U r e z j
np
Phổ năng lƣợng:
22
*
,
1
2
2
p
np
n
p
m
Trong đó
Với
( , )
xy
p p p
n = 1,2,3 là chỉ số lƣợng tử của phổ năng lƣợng theo phƣơng z
z
p p p
là vectơ xung lƣợng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện tử).
Với
Oxy
: Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy
m: khối lƣợng hiệu dụng của điện tử;
L: chiều dài của siêu mạng pha tạp.
p
: Hình chiếu của
p
trên mặt phẳng (x, y)
r
: Hình chiếu của
r
trên mặt phẳng (x, y)
Nhƣ vậy phổ năng lƣợng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng pha tạp chỉ nhận các
giá trị năng lƣợng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng lƣợng là liên tục
trong toàn bộ không gian. Sự gián đoạn của phổ năng lƣợng điện tử là đặc trƣng nhất của
điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp chiều nói chung và trong siêu mạng pha tạp nói riêng.
Sự biến đổi phổ năng lƣợng nhƣ vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất
của điện tử trong siêu mạng pha tạp so với các mẫu khối.
2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai
sóng điện từ.
2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:
phephe
HHHH
Với:
()
e
pp
p
e
H p A t a a
c
;
ph
q q q
q
H b b
(1)
,
e ph
q p q p q q
qp
H C a a b b
+
,
pp
aa
lần lƣợt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
' ' , '
{ , } { , }=
p p p p p p
a a a a
,
''
[ , ]=[ , ] 0
p p p p
a a a a
+
,
bb
lần lƣợt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
' , '
[ , ]
p p p p
bb
,
''
[ , ]=[ , ] 0
p p p p
b b b b
+
q
C
: hằng số tƣơng tác điện tử - phonon.
+
()
e
p A t
c
là hàm năng lƣợng theo biến
()
e
p A t
c
Dạng tƣờng minh
2
( ) / *p p m
22
()
2
p
p
m
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử có dạng:
()
ˆ
,
p
pp
t
nt
i a a H
t
(2)
Vế phải của (2) có tƣơng ứng ba số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lƣợt tính từng số
hạng.
Số hạng thứ nhất:
' ' ' '
'
; ' ( ) ( ) ,
p p p p p p p p
pp
t
ee
a a p A t a a p A t a a a a
cc
( ) 0
p p p p
e
p A t a a a a
c
Số hạng thứ hai:
;0
p p q q q
q
t
a a b b
Số hạng thứ ba:
' ' ' '
, ' , '
;;
p p q p q p q q q p p p q p q q
q p q p
t
a a C a a b b C a a a a b b
Làm tƣơng tự
' ' ' , ' ' , '
;
p p p q p p p p p q p q p p p
a a a a a a a a
''
,'
;
p p q p q p q q
qp
t
a a C a a b b
**
, , , , , , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
q p p q q p q p q p p q q p p q q
q
C F t F t F t F t
Vậy phƣơng trình (2) trở thành:
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p
q p p q q p q p q p p q q p p q q
q
nt
i C F t F t F t F t
t
(3)
Với
1 2 1 2
,,
()
p p q p p q
t
F t a a b
12
12
,,
()
;
p p q
p p q
t
Ft
i a a b H
t
(4)
Số hạng thứ nhất:
1 2 3 3
3
3
, ( )
p p q p p
p
t
e
a a b p A t a a
c
12
2 1 2 1
,,
( ) ( ) ( ) ( )
*
q
p p b
e
p p p p A t F t
mc
Số hạng thứ hai.
1 2 1 1 1 2 1 1
11
11
1 2 1 2
,,
,;
()
q
p p q q q q q p p q q q
t
t
q p p q q p p b
t
a a b b b a a b b b
a a b F t
Số hạng thứ ba:
1 2 1 1 1 1
1
1 2 1 1 1
,
,
,
,
p p q q p q p q q
qp
t
q p p q p q p q q
qp
a a b C a a b b
C a a b a a b b
12
,
p p q p q p q q
a a b a a b b
2 3 1 1 2 1 1 1
1
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
,,
, , ,
p p q p p q q p p q p p q q
p p p q p q q p p p q p q q q q p p p
a a b b a a b b
a a b b a a b b a a a
Đặt vào số hạng thứ ba ta đƣợc:
1 2 1 1 1 1
1
,
,
p p q q p q p q q
qp
t
a a b C a a b b
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
q p p q q q q q p q p q q q
tt
C a a b b b C a a b b b
Thay các số hạng vào (4) ta đƣợc phƣơng trình:
12
12
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
,,
2 1 2 1
,,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p p q
q p p q
q p p q q q q q p q p q q q
tt
Ft
e
i p p p p A t F t
t mc
C a a b b b C a a b b b
(5)
12
12
,,
2 1 2 1
,,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p p q
q p p q
Ft
e
i p p p p A t F t
t mc
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tƣơng tác ln
0)(
,,
21
tF
qpp
12
2 1 2 1 1 1
,,
( ) exp ( ) ( ) ( )
t
o
p p q q
ie
F t p p p p A t dt
mc
12
12
,,
,,
()
( ). ( )
p p q
o
p p q
Ft
i M t F t
t
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
2
2 1 2 1 1 1 2
()
exp ( ) ( ) ( )
t
q p p q q q q q p q p q q q
tt
t
q
i
M t C a a b b b C a a b b b
ie
p p p p A t dt dt
mc
1 2 1 2
, , , ,
2 1 2 1 1 1
( ) ( ). ( )
exp ( ) ( ) ( )
o
p p q p p q
t
q
F t F t M t
ie
p p p p A t dt
mc
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
2
2 1 2 1 1 1 2
exp ( ) ( ) ( )
t
q p q p q q q q p p q q q q
tt
t
q
i
C a a b b b C a a b b b
ie
p p p p A t dt dt
mc
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
22
1
12
2
,,
2 1 2 1 1 2
()
exp ( )
t
p p q q p q p q q q p p q q q q
tt
q
t
p p q
t
i
F t C a a b b b a a b b b
i ie
t t p p A t dt dt
mc
(6)
Toán tử số hạt của điện tử:
()
p p p
t
n t a a
Toán tử số hạt của phonon:
q q q
t
N b b
1
q q q
t
N b b
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên
qq
và
Bỏ qua số hạng chứa
t
bb
và
t
bb
Thay (6) vào (3) ta đƣa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t
2
t ta đƣợc:
()
1
2
||
2
' ( ') ( ')( 1)
exp ' ( )
11
'
nt
p
iC
t
q
q
t
dt n t N n t N
p q q p q
t
i ie
t t qA t dt
mc
p p q q
t
( ') ( ')( 1) exp ' ( )
11
'
t
i ie
n t N n t N t t qA t dt
mc
p q p q q p p q q
t
( ') ( ')( 1) exp ' ( )
11
'
t
i ie
n t N n t N t t qA t dt
mc
p q p q q p q p q
t
( ') ( ')( 1) exp ' ( )
11
'
t
i ie
n t N n t N t t qA t dt
mc
p q q p q p q p q
t
(7)
Ta xét thế véc tơ của trƣờng điện từ trong trƣờng hợp tồn tại hai sóng điện từ
1
()Et
và
2
()Et
1 2 01 02
12
1 ( )
( ) ( ) ( ) sin sin
At
E t E t E t E t E t
ct
Suy ra:
01 02
12
12
( ) os os
E c E c
A t c t c t
12
1 1 1 1 2 2
22
12
'
11
11
22
,
12
2
2
1
exp ( ) exp sin ' sin sin ' sin
exp( ')exp( )
t
oo
t
oo
ls
ls
o
fm
ieE q ieE q
ie
qA t dt t t t t
mc m m
eE q eE q
J J is t il t
mm
eE q
JJ
m
2
22
2
,
2
exp( ')exp( )
o
fm
eE q
if t im t
m
Đặt:
1
1
2
1
2
2
2
2
;
o
o
eE
a
m
eE
a
m
thì:
exp ( )
1 1 1 1 2 2
, , ,
'
exp ( ) ( ) exp ( )( ')
1 2 1 2
t
ie
qA t dt J a q J a q J a q J a q
l s m f
mc
l s m f
t
i s l m f t i s m t t
2
1 1 2 2
2
, , ,
12
12
()
1
||
exp ( ) ( ) ' ( ') ( ')( 1)
exp '
( ')
p
l s m f
q
l s m f
q
t
p q q p q
p p q q
p q p
nt
i C J a q J a q J a q J a q
t
i s l m f t dt n t N n t N
i
s m i t t
n t N n
12
12
( ')( 1) exp '
( ') ( ')( 1) exp '
( ') ( ')( 1) exp
q q p p q q
p q p q q p q p q
p q q p q p q
i
t N s m i t t
i
n t N n t N s m i t t
i
n t N n t N
12
'
pq
s m i t t
(8)
là phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong bán dẫn
khối khi có mặt hai song điện từ
)(
1
tE
và
)(
2
tE
. Áp dụng:
p
p
ntn )(
1 1 2
12
exp ' '
t
p p q q
p p q q
i
K s m i t t dt
i
s m i
2 1 2
12
12
exp ( ) ( ) ' '
exp ( ) ( )
( ) ( )
t
K i s l m f t dt
i s l m f t
i s l m f
2
1 1 2 2
2
, , ,
12
12
12
1
( ) | |
exp ( ) ( )
( ) ( )
( 1) ( 1)
l s m f
pq
l s m f
q
p q p p p q
q q q q
p p q q p p
n t C J a q J a q J a q J a q
i s l m f t
i s l m f
n N n N n N n N
s m i
12
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p p q p q p
q q q q
p q p q p q p q
s m i
n N n N n N n N
s m i s m i
(9)
Hay:
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * * *
o
p p p
p p p
en
e e e
J t A t n t pn t A t pn t
m c m m c m
(10)
Do số hạt electron = tổng số electron theo từng trạng thái có xung lƣợng
p
nên:
()
o
p
p
n t n
m* : khối lƣợng hiệu dụng của electron.
Ta xét số hạng thứ hai của biểu thức (10) :
2
1 1 2 2
, , ,
12
12
12
( ) | |
**
exp ( ) ( )
( ) ( )
( 1) (
l s m f
pq
l s m f
pq
p q p p p q
q q q
p
p p q q
ee
pn t C J a q J a q J a q J a q
mm
i s l m f t
i s l m f
n N n N n N n N
p
s m i
12
1 2 1 2
1)
( 1) ( 1)
(11)
q
p p q q
p p q p q p
q q q q
p q p q p q p q
s m i
n N n N n N n N
s m i s m i
Đặt
:
:
k l s l k s k
r l m f r m r
ta có:
2
1 1 2 2
, , ,
12
12
12
( ) | |
**
exp
( 1) ( 1)
k s s m r m
pq
l s m f
pq
p q p p p q
q q q q
p
p p q q p
ee
pn t C J a q J a q J a q J a q
mm
i k r t
i k r
n N n N n N n N
p
s m i
12
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p q q
p p q p q p
q q q q
p q p q p q p q
s m i
n N n N n N n N
s m i s m i
Thực hiện các bƣớc chuyển đổi:
mmqq ,
đối với số hạng thứ 1 và thứ 2 và sử
dụng tính chất hàm Bessel
)()1()()( xJxJxJ
+ Số hạng 1:
2
1 1 2 2
, , ,
12
1 2 1 2
2
11
||
*
( 1)
exp
||
*
k s s m r m
q
l s m f
q
p q p
p
p p q q
s k s
q
q
e
C J a q J a q J a q J a q
m
n N n N
i k r t
p
i k r s m i
e
C J a q J a q J
m
22
, , ,
12
1 2 1 2
( 1)
exp
m m r
l s m f
p q p
p
p q p q
a q J a q
n N n N
i k r t
p
i k r s m i
+ Số hạng 2 :
2
12
1 1 2 2
, , ,
12
12
2
11
exp
||
*
( 1)
||
*
k s s m r m
q
l s m f
q
p p q
p
p p q q
k s s m
q
q
i k r t
e
C J a q J a q J a q J a q
m i k r
n N n N
p
s m i
e
C J a q J a q J
m
12
22
, , ,
12
12
exp
( 1)
rm
l s m f
p p q
p
p q p q
i k r t
a q J a q
i k r
n N n N
p
s m i
+ Số hạng 3 : giữ nguyên
+ Số hạng 4 : giữ nguyên.
Khi đó (11) có dạng :
2
12
, , ,
12
1 1 2 2 1 1 2
12
exp
( ) | |
**
( 1)
pq
k s m r
pq
p q p
p
s k s m m r k s s m
p q p q
i k r t
ee
pn t C
m m i k r
p n N n N
J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q J
s m i
2
12
1 1 2 2 1 1 2 2
12
( 1)
rm
p q p q
p q p
k s s m r m s k s m m r
p q p q p q p
aq
s m i
p n N n N
J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q
s m i
12
q
s m i
(12)
Rút gọn hai số hạng triệt tiêu nhau trong ngoặc vuông, biểu thức (12) chỉ còn
2
12
, , ,
,
12
12
exp
( ) | |
**
( 1)
pq
k s m r
p q p
p q p
sm
i k r t
ee
pn t C p
m m k r
J a q J a q n N n N
1 2 1 2
1 2 1 2
s k m r k s r m
p q p q p q p q
J a q J a q J a q J a q
s m i s m i
(13)
Áp dụng :
1 2 1 2 1 2
exp cos ( ) sin ( )i k r t k r t i k r t
2
12
, , ,
,
1 2 1 2
12
1 2 1 2
( ) | | ( 1)
**
cos ( )
si
()
p q p
sm
p q q q
k s m r
p q p
k s r m s k m r
p q p q
ee
pn t C qJ a q J a q n N n N
mm
J a q J a q J a q J a q
k r t
k r s m
i
12
1 2 1 2
12
12
n ( )
()
k s r m s k m r
p q p q
k r t
J a q J a q J a q J a q
kr
i s m
Suy ra:
2
( ) | |
**
, , ,
,
( 1)
12
12
ee
pn t C q
mm
pq
k s m r
p q p
n N n N
p q p
J a q J a q
sm
kr
cos ( )
12
1 2 1 2
12
sin ( )
1 2 1 2 1 2
1
k r t
J a q J a q J a q J a q
k s r m s k m r
sm
p q p q
J a q J a q J a q J a q k r t
k s r m s k m r
sm
p q p q
(14)
2
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (10) ta thu đƣợc:
( 1)
2
2
( ) ( ) | |
*
, , ,
,
12
12
cos ( )
12
1 2 1 2
n N n N
p q p
en
e
o
J t A t C q
mc m
q
kr
k s m r
qp
J a q J a q
sm
k r t
J a q J a q J a q J a q
k s r m s k m r
s
p q p q
12
sin ( )
1 2 1 2 1 2
12
m
J a q J a q J a q J a q k r t
k s r m s k m r
sm
p q p q
(15)
2.2. Tính hệ số hấp thụ
.
Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến song điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả
thiết
12
nhƣ sau:
2
2
2
2
8
( ) sin
o
t
o
J t E t
cE
(16)
Thay (15) vào (16) ta đƣợc:
2
8
( ) sin ( ) sin
22
22
2
2
en
e
o
A t E t pn t E t
oo
mc m
p
cE
p
o
t
t
Với thế vectơ trƣờng sóng điện từ:
12
12
12
( ) cos cos
oo
E c E c
A t t t
22
1
12
( ) sin cos cos sin
22
2 1 2 2
12
T
e n e n E c E c
o o o o
A t E t t t E tdt
oo
mc mc T
o
t
Trong đó:
1
1
2
T
và
2
2
2
T
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ
nhất của T
1
và T
2
.
Sử dụng tích phân:
cos( ) cos( )
sin( )cos( )
2( ) 2( )
a b x a b x
ax bx dx
a b a b
với
22
ba
(17)
Suy ra:
2
2
2
( ) sin 0
o
o
t
en
A t E t
mc
(18)
Ta tính số hạng thứ hai.
2
2
( ) sin | |
2
2
, , ,
,
( 1)
12
12
1 2 1 2
1
e eE
o
pn t E t q C
o
mm
pq
k s m r
p q p
t
n N n N
p q p
J a q J a q
sm
kr
J a q J a q J a q J a q
k s r m s k m r
s
p q p q
1
sin ( ) sin
2 1 2 2
0
T
m k r t tdt
T
Lƣu ý:
0
1 2 2
sin ( ) sin
1 2 2
0
1 2 2
2
khi k r
T
k r t tdt
T
khi k r
Suy ra:
2
2
( ) sin | | ( 1)
2
2
2
,
,
2
1 2 1 2 1 2
12
e eE
o
pn t E t q C n N n N
o
p q p
mm
p q q q
sm
p q p
t
J a q J a q J a q J a q J a q J a q
s m k s r m s k m r
sm
p q p q
(19)
Với
1 2 2
kr
(20)
Thay (19) vao (16) ta đƣợc hệ số hấp thụ:
2
4
2
| | ( 1)
12
,
,
22
e
q C n N n N J a q J a q
p q p
sm
q q q
c m E
sm
qp
o
1 2 1 2
12
J a q J a q J a q J a q
k s r m s k m r
sm
p q p q
Với
221
rk
Từ biểu thức hàm Bessel:
2
( 1)
1
()
1
! ( 1) 2
0
sk
aq
J a q
sk
sk
1
1
0
( 1)
()
2 ( 1)
k
s
a q s
J a q
sk
22
2 ( 1) ( 1)
12
2 2 ( 1) ( 1)
( ) ( )
0
12
kr
kr
a q a q
sm
kr
s k m r
a q a q
( 1) ( 1)
( ) ( )
12
( 1) ( 1)
sm
J a q J a q
sm
s k m r
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết
21 oo
EE
ta cho r=1;k=0 (thoả mãn
giả thiết
221
rk
) ta đƣợc:
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2
()
2
m
J a q J a q J a q J a q J a q
m m s s m
aq
22
2
22
2
12
,
,
2
22
42
| | ( 1)
sm
p q p
q q q
sm
qp
o
o
em
q C n N n N mJ a q J a q
Eq
c m E
12
sm
p q p q
(21)
2
2
8
22
2
| | ( 1)
12
2
,
,
2
C n N n N mJ a q J a q
p q p
q q q
cE
sm
qp
sm
o
12
sm
p q p q
(22)
Viết dãy theo k, l trong công thức (22) dễ thấy các thành phần ứng với
0
21
ms
tƣơng
hỗ triệt tiêu. Trong trƣờng hợp khi
21
,
lớn so với năng lƣợng trung bình điện tử (
p
) thì
hàm
trong (22) đƣợc viết lại là:
2
1 2 1 2
2
q
s m s m
m
p q p q q
Từ đó ta tìm đƣợc thứ tự của
2/1
2,1
k
theo các giá trị của q.
Sử dụng điều kiện tần số phonon
p
q
rút ra
2
2,1
ms
p
với s là tốc độ sóng âm.
Nhƣ vậy tổng theo
p
không còn phụ thuộc vào phần đối số của
, ta thực hiện lấy tổng
o
p
p
ntn
)(
.
Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có:
o
q
và
2
0
2
o
q
s
q
C
vV
và
1
k T k T
BB
NN
vq
os
Từ (22) ta đƣợc:
2
2
22
2
1 2 1 2
22
,
0
4
(23)
sm
o
oB
p q p q
sm
q
s
kT
mJ a q J a q s m
c E v V
Áp dụng gần đúng:
p
2,1
, ta có:
2
2
2
22
2
1 2 1 2
22
,
0
4
2
sm
o
oB
o
sm
q
s
kT
q
mJ a q J a q s m
m
c E v V
(24)
Xét trƣờng hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu
2
(m=1) và hạn chế gần đúng
bậc hai của hàm Bessel ta có:
22
1
2
0
( 1)
( ) 1
2 2 !( 1)! 2 8
kk
k
k
x x x x
Jx
kk
;
22
2
22
2
1
22
m
m
a q a q
mJ a q
Thay vào (24) ta đƣợc:
2
22
2
2
2
2
22
1 1 2
22
,
0
4
1
2 2 2
s
o
oB
o
s
qp
s
kT
a q a q q
J a q s m
m
c E v V
Hệ số
chỉ tồn tại các giá trị
q
và s thoả mãn:
2
0
12
2
q
sm
o
m
Suy ra:
1
2 2 1
1 2 2
2
s
o
q m s m m
o
.
Và lƣu ý:
22
22
1
2 2 2
22
22
1 cos 1 cos
2
22
2 2 2
22
eE q eE q
a q a q
oo
mJ a q
m
mm
m
Đặt:
1
2
;
2
2m
suy ra:
2
22
8
2 2 1
1
2 2 2
2
2
02
2
k T m eE s
o B o o
c E v V m
s
o
22
1
1
2
2 4 2
2
cos cos 1 cos
1
3
2
4
2
2
o
e E s
o
o
Ja
m
s
s
Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:
1
22
22
0
eE q
eEq
o
J J y dy
mm
mm
Suy ra:
2
22
8
2 2 1
1
2 2 2
2
2
02
2
k T m eE s
o B o o
c E v V m
s
o
22
1
1
2
2 4 2
2
cos cos 1
1
3
4
0
2
2
o
e E s
o
o
J a sy dy
m
s
s
22
1
1
2
2 4 2
2
cos cos 1
1
3
4
0
2
2
o
e E s
o
o
J a sy dy
m
s
s
Đây là biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt
trƣờng bức xạ Laser. Kết quả này đƣợc chúng tôi sử dụng để so sánh với các kết quả tính
toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt trƣờng bức xạ Laser thu đƣợc ở chƣơng sau.
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CỦA HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM
CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG SÓNG
ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA
PHONON(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
1. Phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt hai sóng.
Xét Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ
dƣới dạng hình thức luận lƣợng tử hóa lần thứ hai:
e oph e oph
H H H H
()
,,
,
e
e
H p A t a a
n
c
n p n p
np
,,
,
oph q
m q m q
mq
H b b
'
,
,,
,'
, ', , ,
()
q q m q
q
n n p
m
e oph n n
m n p q n p m
H C I a a b b
,np
a
,
,np
a
: Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái
,np
.
' ' ' ' ' '
' ' ' '
, , , ,
,
, , , , ,
; ; ; ; ; 0
n p n p n p n p
nn
n p n p p p n p n p
a a a a a a a a
,mq
b
,
,mq
b
: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái
q
' ' , ' ' '
; ; ; ; ; 0
q q q q q q q q q q
b b b b b b b b
q
: Xung lƣợng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng pha tạp.
q
: Tần số của phonon quang.
()At
: Thế vecto của trƣờng điện từ.
*
, ' '
1
0
( ) ( )
m
d
iz
m
L
n n n n
j
I z jd e z jd dz
: Thừa số dạng điện tử trong siêu mạng pha
tạp.
,np
: Năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp.
2
0
22
,
00
2 1 1
()
mq
z
e
C
q q V
: Hằng số tƣơng tác điện tử-phonon cho trƣờng hợp tán xạ
điện tử-phonon quang.
m- chỉ số giam cầm của phonon
Trong đó:
O
V
: Thể tích chuẩn hóa (chọn
1V
)
: Hằng số điện biến dạng.
: Mật độ tinh thể
s
v
: Vận tốc truyền âm
Gọi
, , ,
()
n p n p n p
t
n t a a
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng:
,
,,
()
,
np
n p n p
t
nt
i a a H
t
(1)
Số hạng thứ nhất:
'
'
'
, , ', ',
',
1 , ( ( ))
n
n p n p n p n p
np
e
sh a a p A t a a
c
t
Ta có:
''
'
', ',
'
, ( )
'
,,
'
,
n p n p
e
a a p A t a a
c
n p n p
n
np
' ' '
''
'
,,
,,
', '
( ) ,
n p n p
n
n p n p
np
e
p A t a a a a
c
' ' ' ' ' '
''
'
'
'
'
,,
,,
, , , ,
,
( ) 0
n p n p
n n n n
n p p p n p p p
np
e
p A t a a a a
n
c
Vậy:
10
t
sh
(2)
Số hạng thứ 2:
, , , ,
2 , 0
,
q
n p n p m q m q
t
t
sh a a b b
mq
(3)
Số hạng thứ 3:
12
''
,,
21
'
12
,
, , , , ,
, , ,
3 , ( )
n p q n p
m
nn
n p n p m q m q m q
m q n n p
t
sh a a C I a a b b
Ta có:
12
''
,,
21
'
12
,
, , , , ,
, , ,
, ( )
n p q n p
m
nn
n p n p m q m q m q
q m n n p
a a C I a a b b
21
11
,
1
1
11
()
,,
, , , , , , , , ,
, , , ,
( ) ( )
n p q
nn
mm
n n n n
m q n k n p q m q m q m q n p m q m q
n m q n m q
C I a a b b C I a a b b
Chuyển chỉ số n
1
thành n’ ta có
'
'
,
'
'
,'
, , , , ,
,
,,
3
n p q
m
nn
m q n p m q n p m q
n p q
t
t
n m q
sh C I a a b a a b
'
'
,
, , , ,
,
n p q
n p m q n p m q
n p q
t
t
a a C a a C
(4)
Thay (2), (3),(4) vào (1) ta đƣợc:
''
'
,
,'
,
, , , , , , , , , ,
,,
()
{ ( ) ( )
np
m
nn
mq
n p q n m p q n p n m p q q
n q m
nt
i C I F t F t
t
''
, , , , , , , , , ,
( ) ( )}
n p n m p q q n p q n m p q
F t F t
(5)
Với :
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , , ,
()
n p n m p q n p n p m q
t
F t a a b
.
