Luận văn nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình sai phân bằng phương pháp hàm lyapunov

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẩn của TS. Phạm Phu. Nhân dịp này
em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và
giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và định hình hoàn thiện
bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô
trong Khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đai học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho em
trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xemina
của tổ giải tích Đại học Khoa học Tự nhiên. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao
hoc giải tích 2008 – 2010 về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự
giúp đỡ nhiệt tình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và
bạn bè đồng nghiệp, em xin chân thành cảm ơn.

Học viên

Võ Thị Hải Yến

1


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………………4

Bảng ký hiệu …………………………………………………………… 5

Chương 1 . Nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình
sai phân bằng phương pháp hàm Lyapunov
1.1. Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn …………………………………… 6

1.2. Phương trình sai phân cấp cao ....................................................................

7

1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ……………

9

1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất…………………….....

9

1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và
công thức biến thiên hằng số Lagrăng ……………………………….

11

1.4. Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất….. 12
1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ
phương trình sai phân autonomous ………………………………

16

1.5.1. Các khái niệm về ổn định …………………………………………

16

1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình
sai phân autonomous ……………………………………………

17

1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân
không autonomous …………………………………………………….

2

20


Chương 2 : Hệ phương trình sai phân tuyến tính
và ứng dụng……….............................................
2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính …….

24
24

2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất …………………...

24

2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất …………...

25

2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
với ma trận hệ số hằng ………………………………………………….

27

2.3. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất với ma trận hệ số hằng ……………………………………………..

31

2.4. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất với ma trận hệ số biến thiên ………………………………………

38

2.5. Sự tương đương tiệm cận của hệ phương trình sai phân …………….

42

2.6. Một số ví dụ về ứng dụng của hệ phương trình sai phân ………………

46

2.6.1. Mô hình biến động giá cả thị trường ……………………………….

46

2.6.2. Hiện tượng “mạng nhện ” trong kinh tế nông nghiệp ……………

48

2.6.3. Mô hình ngoại thương đa quốc gia ……………………………….

53

Kết luận ………………………………………………………………………

57

Tài liệu tham khảo …………………………………………………………..

58

3


LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết định tính của hệ động lực rời rạc đã được nghiên cứu từ những năm
đầu thế kỷ XVIII, song ngày nay nó vẫn được đông đảo các nhà khoa học quan tâm
và nghiên cứu. Những kết quả cơ bản của nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều mô
hình ứng dụng. Đặc biệt trong thời gian gần đây nhờ có sự phát triển của công nghệ
tin học, lý thuyết hệ động lực rời rạc nói chung và lý thuyết định tính của các hệ
phương trình sai phân nói riêng đã có sự phát triển vượt bậc đặc biệt là khả năng ứng
dụng thực tiễn của nó.
Về tổng thể hầu hết các phương pháp thông dụng được sử dụng trong lý
thuyết phương trình vi phân đều có thể xây dựng lại cho việc nghiên cứu tính chất
nghiệm của các hệ phương trình sai phân. Tuy nhiên về lý thuyết tính toán và các
biểu thức toán học trong một số công thức cơ bản lại khá phức tạp.
Mục tiêu cơ bản của bản luận văn là trình bày lại một cách hệ thống phương
pháp hàm Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ
phương trình sai phân. Sau đó trình bày các ví dụ minh hoạ để chỉ ra khả năng ứng
dụng của lý thuyết phương trình sai phân trong các mô hình ứng dụng.
Trong chương 1 sau khi đã trình bày các khái niệm cơ bản về phép tính sai
phân hữu hạn, chúng tôi đã trình bày một cách vắn tắt lý thuyết phương trình sai

phân cấp cao và hệ phương trình sai phân. Phần tiếp theo của chương một là các định
lý cơ bản của Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình
sai phân.
Trong chương 2 chúng tôi đã trình bày các định lý về tính ổn định của các hệ
phương trình sai phân thuần nhất. Sau đó là một số điều kiện đủ về tính ổn định của
các hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu. Phần cuối của luận văn là một số
mô hình kinh tế như mô hình biến động giá cả thị trường, hiện tượng “mạng nhện”
trong kinh tế nông nghiệp và mô hình ngoại thương đa quốc gia. Nhờ có các kết quả
nhận được trong viêc nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình sai phân chúng
ta có thể đi đến các kết luận hữu ích trong việc nghiên cứu các mô hình trên.

4


Bảng ký hiệu

Tập hợp các số nguyên không ¥ âm.
∈
(a) hoặc bằng a (a )
Tập hợp các số nguyên lớn hơn ¥¥
Tập hợp các số nguyên mở rộng. ¢
Tập hợp các số thực.

¡

Tập hợp các số thực dương.

¡

+

Không gian m chiều.

¡

m

Tập hợp các ma trận vuông cấp n M n¡(¡ )
trên .
Tổ hợp chập i của k.
Sai phân của .
u(n) ( hoặc )

Hàm biến số nguyên.

Cki
∆uun n
un

CHƯƠNG 1
5


NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV

1.1 Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn
Định nghĩa 1.1. Ta gọi sai phân hữu n ∈ ¢ hạn cấp một của hàm số u(n) = un với
là hiệu
∆un = un+1 − un .

Định nghĩa 1.2. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u(n) = un là sai phân của
sai phân cấp 1 của un , và nói chung sai phân cấp k của hàm u n là sai phân của sai
phân cấp k – 1 của hàm số đó.
Sai phân cấp 2 của hàm un là
∆ 2un = ∆ (∆un ) = ∆un+1 − ∆un = un + 2 − un+1 − (un+1 − un ) = un + 2 − 2un+1 + un
;
Sai phân cấp 3 của hàm un là
…

∆ 3un = ∆ (∆ 2un ) = ∆ 2un +1 − ∆ 2un = un +3 − 3un + 2 + 3un +1 − un

Sai phân cấp k của hàm un là
k

∆ k un = ∆(∆ k −1un ) = ∆ k −1un+1 − ∆ k −1un = ∑ (−1)i Cki un + k −i ,
trong đó .
Các tính chất của sai phân:

k!
C =
i !(k − i )!

i =0

i
k

Tính chất 1: Sai phân các cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của hàm số
k

∆ k un = ∑ (−1)i Cki un + k −i ,
trong đó .

i =0

C =
i
k

k!
i !(k − i )!
6


Tính chất 2: Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính
∆ k (α un + β vn ) = α∆ k un + β ∆ k vn ,
với α , β là các số thực tuỳ ý.
Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng:
* Hằng số, nếu k = m,
* 0, nếu k > m,
* Đa thức bậc (m – k), nếu k < m.
Tính chất 4:
∆un vn = un ∆vn + vn ∆un ,
N

∑∆ u
k

n=a

đặc biệt khi k = 1, ta có

n

= ∆ k −1u N +1 − ∆ k −1ua ,

N

∑ ∆u
1.2 .Phương trình sai
phân cấp cao

n= a

n

= u N +1 − ua .

Định nghĩa 1.3. Phương trình sai phân cấp k là một hệ thức giữa sai phân các cấp
,

F (un , ∆un ,..., ∆ k un ) = 0

trong đó un coi là sai phân cấp 0 của hàm u n, cấp của phương trình sai phân chính là
cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k).
Định nghĩa 1.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k của hàm un là một biểu thức
tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau
a0un + k + a1un + k −1 + ... + ak un = f n ,
a0a≠0 , 0a1,,...,
ak a≠k 0

trong đó với là các hằng
số hoặc các hàm số của n, được
gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm số của n, được gọi là vế
phải; un là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.

7


* Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính:
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k
a0un+ k + a1un + k −1 + ... + ak un = f n

.
(1.1)

Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng
(1.2) a0un + k + a1un + k −1 + ... + ak un = 0.
Phương trình đặc trưng
(1.3) a0λ k + a1λ k −1 + ... + ak = 0.
Nghiệm tổng quát của phương un = uuu*n* + u ,
trình sai phân tuyến tính (1.1) là
với là một nghiệm riêng của phương trình (1.1) và là nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng (1.2).
Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng
,

u = c1un1 + c2un2 + ... + ck unk

,...,cuknk
trong đó là k nghiệm độc lập tuyến ucn11,,ucn22,...,

tính của (1.2) và là các hằng số tuỳ
ý.
Nếu (1.3) có k nghiệm phân biệt {λλ1n1, λ22n,..., λkkn }
thì hệ là hệ k nghiệm độc lập
tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng quát của (1.2) là
u = c1λ1n + c2λ2n + ... + ck λkn .
n
Nếu (1.3) có nghiệm thực bội s nλ jn , n 2 λλjn ,...,
n s −1λ jn
jj
thì ngoài nghiệm ta bổ xung
thêm các vectơ cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng quát
của (1.2) là

u=

k

s −1

i ≠ j =1

i =0

∑ ci λin + ∑ cij ni λ jn .

ϕ n+ϕi sin
ϕ )0,..., s − 1
Nếu (1.3) có nghiệm r n ni cos nλϕj =, r n(cos
ni sin

,i=

8


phức bội s thì ta lấy thêm các nghiệm và nghiệm tổng quát của (1.2) là
u=
trong đó là các
hằng số tuỳ ý.

k

s −1

i ≠ j =1

i =0

∑ ci λin + ∑ r n (ai ni cos nϕ + bi ni sin nϕ ),
ai , bi

1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân (xem [11])
u1 (n + 1) = a11 (n)u1 (n) + a12 (n)u2 (n) + ... + a1m (n)um (n),

Đặt
u2 (n + 1) = a21 (n)u1 (n) + a22 (n)u2 (n) + ... + a2 m (n)u m (n),

..........................

 a11 (n) a12 ( n) K a1m (n) 
 u1 (n) 

u
(
n
+
1)
=
a
(
n
)
u
(
n
)
+

÷
am 2 (n)u2 (n) + ... + amm (n)um (n÷).
Khi đó hệ  m
u2 (n)m1÷ 1
a (n) a22 (n) K a2 m (n) ÷

; A(n) =  21
.
trên có thể viết u (n) = 
 K
÷

M ÷
K
K
K
dưới dạng:

÷

÷
÷
a
(
n
)
a
(
n
)
K
a
(
n
)
 um ( n) 
m
1
m
2
mm



u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0
,
(1.4)
ở đây , là ma trận u (n) = (u1A(n(n),)u=2 ((na),...,
umm×(mn))T ∈ ¡
ij ( n ))
không suy biến.

m

Bài toán Cauchy:
u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0 ,

u (n0 ) = u0 .

Bằng phương pháp
truy hồi ta thấy bài toán Cauchy luôn có nghiệm và nghiệm của bài toán Cauchy
được cho bởi
n0 A(n0 + 1). A(n0 ).u0
với u (n) = A(n − 1). A(nn−>2)...
mọi .

* Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến
Định nghĩa 1.5. Với mỗi ký hiệu
.

s ≥ n0

U (n, s ) = A(n − 1). A(n − 2)... A( s + 1). A( s ) , n ≥ s ≥ n0

9


nn)0n≥)s≥ n0
Khi đó được gọi là họ các ma trận {UU(n(A,ns(,)}
tiến hoá sinh bởi ma trận hàm
không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cauchy )
hoặc còn được gọi là hàm Green.
Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận s ≥ n0 Cauchy và họ toán tử tiến hoá ta thấy
với mỗi thì :
U (n0 , n0 ) = I

*.

U (n, s ) =n U
≥ (kn≥, ks).U (k , s )

* với mọi .
* với mọi

U (n, s ) = U n(n≥, ns0.).U −1 ( s, n0 )

Nghiệm của bài toán Cauchy có u (n) := u (n, n0 , u0 )
thể viết dưới dạng:
u (n) = U (n, n0 ).u0 , n ≥ n0 ,
u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n ≥ s ≥ n .
0
n0 An − n0
Khi là ma trận hằng ta 

U (nA, n(n0≥) =
thấy với mọi .

1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11])
m
(n¡) +
b( n)
u (nn+≥1)n=0 ,Ab(n(n).)u∈

u (n0 ) = u0

.
(1.5)
Định lý 1.1. Nghiệm của hệ
(1.5) xác định bởi công thức
.
(1.6)

u (n) := u (n, n0 , u0 )

u (n) = U (n, n0 ).u0 +

n

∑ U (n, k ).b(k − 1)

k = n0 +1

Chứng minh. Ta tìm nghiệm u (n) = Uu((nn,)n0 ).C (n)

của (1.5) dưới
dạng
(1.7)
sao cho bằng phương pháp biến u (n0 ) = u0
thiên hằng số Lagrăng .

10


u (n0 ) = U (n0 , n0 )C (n0 ) = C (n0 ) ⇒ C (n0 ) = u0 .

Vì
Từ
(1.8)

u (n) = U (n, n0 )C (n) ⇒ u (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n + 1)

Mà

u (n + 1) = A(n)u (n) + b(n) = A(n)U (n, n0 )C (n) + b(n)
= U (n + 1, n0 )C (n) + b(n).

(1.9)
Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được

U (n + 1, n0 )C (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n) + b(n)
n0−)1∆(nC+(n1,)n=0 ).bb(n(n) )
∆UC((nn)+=1,U

suy ra hay .

Do đó :

n −1

.

Ta tìm được
(1.10)

∑ ∆C (k ) =

.

k = n0

n −1

∑U

−1

k = n0
n

C (n) − C (n0 ) =

(k + 1, n0 ).b(k )

∑U

−1

k = n0 +1

(k , n0 ).b(k − 1)

Vì
nên thay (1.10) vào U (n, n0 ).U −1 (k , n0 ) = U (n, k )
(1.7) ta nhận được (1.6).

Hệ quả : Nếu là ma trận hằng thì

mọi .

A(n) = A

n > n0n
với
u (n) = An − n0 .u0 + ∑
An −i .b(i − 1)
(1.11)
i = n0 +1

1.4. Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất
1.4.1. Giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ
trong đó p, q, r, s .

x0 == px

a ,(ny)0 +=qy
b,(n) (a)
 x(n + 1)

 y (n + 1) = rx∈(n¡) + sy (n) (b)

x(n(n+) 2)
= x=(npx+(1)
n +−1)px+(nqy
) (n + 1)
Ta giải hệ này bằng (a) ⇒ qy
cách đưa về phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Thật vậy : và .

11


(b) ⇒ qy (n + 1) = rqx(n) + sqy ( n) p q
D=
= ps − rq
⇒ x(n + 2) = px(n + 1) + rqx(n)r+ sqy
s (n) = px(n + 1) + rqx(n) + s ( x( n + 1) − px(n))
= ( p + s) x( n + 1) − ( ps − rq) x( n) .
Chú ý định thức của hệ (a)-(b) là , ta có thể viết hệ (a)-(b) dưới dạng
(c) x(n + 2) = ( p + s ) x(n + 1) − Dx(n)
x0 = a, x1 = pa + qb.
Tức là đưa hệ (a)-(b) về
phương trình cấp 2.
Thí dụ 1.4.1. Giải hệ

Giải.

Hệ đã cho
tương đương với

 x(n + 1) = 4 x(n) − 2 y (n)

 y (n + 1) = x(n) + y (n)

x0 = 1 , y0 = 1.

x(n + 2) = 5 x(n + 1) − 6 x( n) , x0 = 1 , x1 = 2,
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ1 = 2 , λ2 = 3

.
Từ đó
Do

x(n) = A2n + B3n.
x0 = 1 = A + B , x1 = 2 = 2 A + 3B ⇒ A = 1, B = 0 ⇒ x (n) = 2 n.

Từ phương trình đầu ta có
2 y (n) = 4 x( n) − x( n + 1) = 4.2 n − 2 n+1 = 2 n (4 − 2) = 2.2 n ⇒ y ( n) = 2 n.

Vậy

x(n) = 2n ; y (n) = 2n.

Thí dụ 1.4.2. Giải hệ
.

Giải. Hệ đã cho tương
đương với
.

 x(n + 1) = 2 x(n) − y (n)

 y (n + 1) = x(n) + 4 y (n)

x0 = 2, y0 = 1

x(n + 2) = 6 x(n + 1) − 9 x(n) , x0 = 2 , x1 = 3

12


Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 6λ + 9 = 0 ⇒ λ = 3

.
Từ đó :

.

x(n) = ( A + Bn)3n

Mặt khác
x0 = A = 2, x1 = (2 + B)3 = 3 ⇒x(Bn)==−(2
1⇒
− nx)3

(nn);=y(2
(n)−=n(1
)3n+; ny)3
( nn). = 2 x (n) − x (n + 1) = (1 + n)3n.
Vậy
Thí dụ 1.4.3. Giải hệ
.

1
3

 x(n + 1) = 2 x(n) − 4 y (n)
Giải : Hệ đã cho 
 y (n + 1) = x(n) + 1 y (n)
tương đương với

2

x0 = 2 , y0 = 0

x(n + 2) = x(n + 1) − x(n) , x0 = 2 , x1 = 1.
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

Từ đó

λ2 − λ +1 = 0 ⇒ λ =

1± i 3
π
π

⇒ λ = cos ± isin .
2
3
3

nπ 3
1
nπ
3 n) = 4 sin nπ
x(xn()n=) 2=cAc
os os n;π +yB
(nsin
) = nπx(; nx)0 −=x2(n=+A1); =x1 =31sin
= 1 + B⇒ y (⇒
B = 0.
3 34
23
3 2
3
3
.
Vậy

x(n) = 2cos

1.4.2. Giải phương
trình phân thức
,

nπ

4
nπ
; y ( n) =
sin .
3
3
3

x(n + 1) =

trong đó p, q, r, s là các
hằng số, a cho trước.

px(n) + q
, x0 = a
rx(n) + s

Giả sử và là nghiệm của hệ phương zy(n) trình sai phân
 y (n + 1) = py (n) + qz (n)
y0 = a , z 0 = 1 .

 z (n + 1) = ry (n) + sz (n)
13


Khi đó là nghiệm của phương trình
y ( n)
x ( n) =
đã cho.
z ( n)

Thậy vậy, (đúng)

y0 a
= =a
z0 1

x0 =

(đúng).

y ( n)
+q
y (n + 1) py (n) + qz (n)
px(n) + q
z ( n)
=
Thí
dụ x(n + 1) = z (n + 1) = ry (n) + sz (n) = y (n)
rx(n) + s
r
+s
1.4.4. Giải
z ( n)
phương
trình
p

x(n + 1) =
Giải . Xét hệ
.

.

x( n) − 2
, x0 = 0.
x (n ) + 4

 y (n + 1) = y (n) − 2 z (n)
y 0 = 0 , z0 = 1

 z (n + 1) = y (n) + 4 z (n)
⇒ y (n + 2) = 5 y (n + 1) − 6 y (n) , y0 = 0 , y1 = −2

Phương trình cấp hai trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ1 = 2 , λ2 = 3.
⇒ y (n) = A.2 n + B.3n ; y0 = 0 = A + B ; y1 = −2 = 2 A + 3B ⇒ A = 2, B = −2.

⇒ y (n) = 2.2n − 2.3n.
⇒ 2 z (n) = y (n) − y (n + 1) = 4.3 − 2
n

n +1

y (n) 2.2n − 2.3n
⇒ x ( n) =
=
z (n) −2n + 2.3n

.
Vậy

x ( n) =

Thí dụ 1.4.5. Giải phương trình
sai phân
x(n + 1) =
Giải. Xét hệ

2.2n − 2.3n
.
−2n + 2.3n

x (n) − 1
, x0 = 1.
x (n ) + 3

 y (n + 1) = y (n) − z (n)

 z (n + 1) = y (n) + 3 z (n)
14

y0 = 1 , z0 = 1.


⇒ y (n + 2) = 4 y (n + 1) − 4 y (n), y0 = 1, y1 = 0.
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 4λ + 4 = 0 ⇒ λ1 = 2 .
n
n

⇒ y (n) = ( A + Bn).2n ⇒
; yy (=n1) =
= 2A ;−yn.2
= 0 = (1 + B)2 ⇒ B = −1

.

0

.

1

⇒ z ( n) = 2 n + n 2 n ⇒ x ( n) =

Vậy

x ( n) =

1− n
.
1+ n

y ( n) 1 − n
=
z ( n) 1 + n

1.5. Các khái niệm về ổn
định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai
phân autonomous

1.5.1. Các khái niệm về ổn định
Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (xem [11])
u1 (n + 1) = f1 (n, u1 (n), u2 (n),..., u m (n)),
u (n + 1) = f (n, u (n), u (n),..., u ( n)),
 2
2
1
2
m
Đặt

...............................
)). um ( n)) 
(n), u2m((nn),...,
.
 u1(nu)m (n + 1) = f m (n, u1 (nf),1 (un2,(un1),...,

÷

÷
u2 ( n) ÷
f 2 (n, u1 (n), u2 (n),..., um (n)) ÷


; f (n, u (n)) =
Khi đó u (n) = 

÷
M ÷
M

bài
toán

÷

÷
um ( n) 
f m (n, u1 (n), u2 (n),..., u m (n)) ÷



Cauchy của
hệ được viết dưới dạng :
(1.12) u (n + 1) = f (n, u (n)), u (n0 ) = u0 , n ≥ n0 ,
≤
n(,0)
iuf,≤
¥
×
n∈
n0=)m,0)
0 = 0.
trong đó u và f là các vectơ u (n) =f1(u(1
im
thành phần và , . Giả sử với
mọi để hệ có nghiệm tầm thường

δ))||<=
n||=<0δ0δε(ε , n0 )
Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm ∀ε > ||0,||uunu((∃n0n≥

thường của hệ (1.12) được gọi
là ổn định theo Lyapunov, nếu với sao cho từ bất đẳng thức suy ra với mọi .
=0
) 0h||= 0
Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm lim||u∃||u(nuh0 )(||>n<
n →∞

15


thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov, nếu nó ổn định
theo Lyapunov và sao cho mọi nghiệm u(n) của hệ thoả mãn điều kiện thì .
Định nghĩa 1.8. Nghiệm tầm thường u (nδ) = 0
của hệ (1.12) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu
trong định nghĩa tương ứng, số được chọn không phụ thuộc vào a.
Định nghĩa 1.9. Nghiệm tầm u (n) u≡(un)(n=, n00 , u0 )
thường của hệ (1.12) được gọi
là ổn định mũ nếu đối với mỗi nghiệm của hệ thoả mãn bất đẳng thức:
|| u ( n) ||≤ N || u0 || e −α ( n−a ) , n ≥ a ,
trong đó N và là hai hằng số dương.

α

1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous
Xét bài toán Cauchy: (xem [11])
(1.13) u (n + 1) = f (u (n)) , u (0) = u0 , n ∈ ¥ ,
m
*0*
≠
,0,0)

=
≠ 0, R]= 0
giả sử và với trong lân cận của u ( nV) =V
∈f u((0)
Cu¡(Ω
[n)Ω
gốc sao cho (1.13) có nghiệm tầm
thường . Cho là một tập mở trong và chứa gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô
hướng xác định trên , và .
*0*
≠) Ω
>0
Định nghĩa 1.10. V(u) được gọi là Vuu(u∈
Ω
xác định dương trên nếu và chỉ nếu với , .
* *
≥0
Định nghĩa 1.11. V(u) được gọi là Vu(u∈
Ω) Ω
nửa xác định dương trên nếu , với mọi , (dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác
định)

Định nghĩa 1.12. V(u) được gọi là −VΩ(*u ) xác định âm ( nửa xác định âm) trên
nếu và chỉ nếu là xác định dương ( nửa xác định dương) trên .
r]), φ (0) = 0
Định nghĩa 1.13. Hàm được C[[0, ρ ), φRφ(+∈
gọi là thuộc vào lớp K nếu và
tăng chặt theo r.
Vì liên tục, với r đủ nhỏ, ta có

0 < cV ≤(ur) ≤ d

16


V (v), V (u ) ≥ min V (v) ,
(1.14) V (u ) ≤ max
r ≤||v|| ≤ d
||v||≤ r
=K
r
trong đó . Trong (1.14) bên phải là φ||,uξ ||∈
hàm đơn điệu của r và ta có thể ước lượng hàm này thuộc vào lớp K. Do đó tồn tại
hai hàm sao cho :
.

φ (|| u ||) ≤ V (u ) ≤ ξ (|| u ||)
(1.15)

Từ đó có thể định nghĩa cho hàm xác định dương V(u) như sau :
Định nghĩa 1.14. V(u) φ (r ) ≤ V (uφV)((0)
,rΩ
||) ∈
u*=||K0= r , u ∈ Ω*
được gọi là xác định dương
trên nếu và chỉ nếu và tồn tại một hàm sao cho .
u((u(n=
nu)||∈
))
(=

u<(n(R
fu=
,0,
ρSn(m(ρ)V
un,u=
(∀
n||0u))))
+) ¥
V
1))
Đặt là tập và là −V (uS∆(||nρVu))=
{n(u)V
:(,0,
u(nun||∈
≤
ρ(}u (n))
0−
một nghiệm bất kỳ của (1.13)
sao cho . Dọc theo nghiệm của (1.13) xét sai phân của hàm V(u) được xác định
bởi . Hàm V(u) được gọi là hàm Lyapunov.
=(n,0,0)
nu,0,
=ρ
))0u≤+)0
Định lý 1.2. Giả sử tồn tại hàm ∆VuV(unu(||u()un(∈
C)([||nSu<,0,
ρ0 , R0 ]
vô hướng xác định dương sao
cho với nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của (1.13)
là ổn định.

uεφ(∆
(δn(||
u≤
||V)0V
(||=
uVun=(φ
uφ1uδN
(||)
n0))
∈
u(ε(1()n(1)
||εn(0∈
≤
S||nK
)=))
)<ρ,0,
V
<δ||ρ
>
0≤<
ρ(0u0ρ0)0 )
Chứng minh. Do V(u) là xác V
1<
định dương, tồn tại một hàm sao
cho với mọi . Với cho trước, vì V(u) liên tục và , ta có thể chọn được một số sao
cho thì . Nếu nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định, khi đó tồn tại
nghiệm của (1.13) sao cho thoả mãn với . Tuy nhiên do khi , ta có và do đó
,

φ (ε ) ≤ φ (|| u ( n1 ) ||) ≤ V (u ( n1 )) ≤ V (u0 ) < φ (ε )

δn∈ N
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu || u (n)||||u<0ε||<, ∀
thì . Nên nghiệm tầm thường
của (1.13) là ổn định .
α(,0,0)
(unnC
(),0,
n[−||K
)0u+(]n,0, u0 ) )
Định lý 1.3. Giả sử tồn ∆V (u (n,0,
≤∈
V (uu=||()0unu))
∈
S)<αuρ=(ρ
,0 R
tại hàm vô hướng xác
định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn . Khi đó
nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận.

17


>
ε(>n0<)0u,0ρ)
nu,0,
Chứng minh. Do các giả thiết của u0(δ<λ
định lý (1.2) được thoả mãn nên
nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định. Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và một

nghiệm = của (1.13) thoả mãn :

λ ≤|| u (n) ||< ε , n ∈ ¥ , || u0 ||< δ

.
(1.16)

||Vu(||((unu()(nn||))≥) ||)
≤λ −≥>dd0<, ∀
0 n,nn∈
∈∈N
¥¥
Do nghiệm này thoả mãn ∆α
nên tồn tại hằng số d > 0 sao
cho . Vậy ta có . Điều này kéo theo
n −1

V (u (n)) = V (u0 ) + ∑ λ
∆V (u (l )) ≤ V (u0 ) − nd .
lim
lim
u (V
n||,0,0)
(uu((nn)))||===000
và với n đủ lớn vế
nn→∞
→∞ l = 0
phải trở thành âm,
mâu thuẫn với V(u) xác định dương. Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên.
Hơn nữa V(u(n)) xác định dương và là hàm giảm theo n nên . Suy ra . Vậy nghiệm

tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận.
Định lý
tại hàm
cho với
gốc tồn
ổn định.

∈
u||V
u([unSH
(α
((,0,0)
nρun,0,
⊂
)n)||RK
S)>
u<]ρ0=
,)uV
0((0)
1.4. Giả sử tồn ∆VV((uu()n∈,0,C
α
(0ρ
n,0,=u00 ) )
0(,≥
0 ))
vô hướng sao
và nghiệm bất kỳ = của (1.13) thoả mãn và nếu trong mọi lân cận H của
tại một điểm u0 sao cho . Khì đó nghiệm tầm thường của (1.13) là không

m

m
0)<
V∈
uu≥(0))
0(0V
(u0V
)=
V
n<
<
||0(ru(max
ninf
u=n∈
uS0))
(:>
r01(n0)V
∈
=||>u+())
V
<
N
u=rd0||nd
(0r≤0u1,)>)r∆
>,0}Vn0⊂(∈
uS(Nρn)) > 0
Chứng minh. Lấy đủ u (n) =VSu(ru(=n(Vn,0,
{∆))
u(uM
R
u(,,0,0)

||r)nR
Nr
||nu∈|| ≤
nhỏ sao cho tập . Đặt ,
M xác định vì V liên tục. Gọi là số thoả mãn theo giả thiết tồn tại một điểm sao cho
và . Dọc theo nghiệm và do đó là hàm tăng, .Do đó nghiệm u(n) này không đi về
gốc. Nên , suy ra . Nhưng vế phải của bất đẳng thức này có thể lớn hơn M khi n đủ
lớn, khi đó sẽ vượt ra ngoài tập nên nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn
định.

Ví dụ : Xét hệ phương trình sai phân
(1.17) u1 (n + 1) = u2 (n) − cu1 (n)(u12 (n) + u22 (n))

2
2
u2 (n + 1) = u1 (n) +*cu22(n22)(2 u1 2(n) +2 u2 (n3)) .
trong đó c là hằng số, ∆V (u1 (n),Vu(2u(1n,Ω
))
u2 =)==cRu(1u1+(un2) + u2 ( n))
chọn hàm xác định
dương trên . Khi đó .

18


=u02 (n)) = 0
Do đó nếu thì nên nghiệm tầm ∆V (u1 (nc),≠
thường của hệ (1.17) là ổn định.
Tuy nhiên nếu thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là không ổn định.

1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không
autonomous
Xét bài toán Cauchy: (xem [11])
(1.18)

u (n + 1) = f (n, u (n)); u (a ) = u0 , n ∈ N (a ),

∈
n1,0)
×u≤Nimi(=
a)≤)0m
trong đó u và f là các véctơ thành f fin(,(1
phần và . Giả sử với mọi để hệ
(1.18) có nghiệm tầm thường. Ta thấy hàm Lyapunov cho hệ này phụ thuộc vào n và
u.
V (V
||nN
φnu,(u(∈
n(||ra),0)
=)N
)≤∈
r×(−,=aK
Sφ)(ρ0(nr,).u ) ∈ N ( a) × S ρ
Định nghĩa 1.15. φ (r ) ≤ V ( n, u ),
Hàm
vô
hướng
V(n,u) xác định trên được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu với mọi , và tồn tại
một hàm sao cho , và là xác định âm nếu
||N

ξnuV
((∈
n(||r(a,0)
=)nN
)∈
,×ru(,=aK
S) )(ρ0n, u ) ∈ N ( a) × S ρ
Định nghĩa 1.16. V (n, u ) ≤ ξ (r ), V
Hàm vô hướng xác
định trên được gọi là giảm dần (decrescent) nếu và chỉ nếu với mọi , và tồn tại một
hàm sao cho .
(,a)aρ), u0 )
Đặt là nghiệm bất kỳ của u (n)nuV=(∈n(un)N(,nu≤
(1.18) sao cho với mọi . Dọc theo
nghiệm này ta xét số gia của hàm :
= V (n + 1, u (n + 1)) − V (n, u (∆nV))(=
n,Vu (n))+ 1, f (n, u (n))) − V (n, u (n)) .

Tương tự như các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn
định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.18).
),(∈
anu,0)
),C
(a||n[+<
,,uN
=
aρ,(0))
ua )≤)×0
Định lý 1.5. Giả sử tồn tại ∆VVu((nun||,(),uunS=
ρ , R ]0 0

hàm vô hướng xác định dương
sao cho với nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của
hệ (1.18) là ổn định.

19


ε(,un(≤
ρ
(δ,V
nεV
||u∃
V)u0||(=
uV
n≤
(n=(nφ
uV
||)
(n0∈
,0)
u))
)||uεn(ρ
,(¥
<
S||nK
u)n<
)=
,)))
δ)V

>
a()<ρ0n,≤
||(0u,au00,)u0 )
Chứng minh. Do là xác định V (φun∆1(||
1≤
0V
ρ
1(1)
dương nên tồn tại một hàm sao
cho với mọi . Với cho trước, vì liên tục và , nên ta có thể chọn được một số sao
cho khi thì . Nếu nghiệm tầm thường của (1.18) là không ổn định, thì tồn tại nghiệm
của (1.18) sao cho thoả mãn ,
. Tuy nhiên do khi , ta có = và
do đó
,

φ (ε ) ≤ φ (|| u ( n1 ) ||) ≤ V ( n1 ) ≤ V ( a, u0 ) < φ (ε )

|| uε0 ,||<∀δn ∈ N ( a)
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu || u (n) ||<
thì . Nên nghiệm tầm thường
của (1.18) là ổn định.
u∈
an∈
(,0)
),≤C
na||K
)[+<
, uN
=

Định lý 1.6. Giả sử tồn ∆V (n, u (Vn,(anu=,||(uunS0)α,())
−
αρ(()0au) (×n, a, u0 ) )
ρ , R ]0
tại hàm vô hướng xác
định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn . Khi đó
nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định tiệm cận.
nu,ε(>>
an,<0)0u,0ρ)
Chứng minh. Do các giả thiết của u0(δ<λ
định lý (1.5) được thoả mãn nên
nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định. Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và một
nghiệm = của (1.18) thoả mãn:
.

λ ≤|| u (n) ||< ε , n ∈ N (a), || u0 ||< δ

||(u(||
n(,nu)(n||≥)))||)
λ≤≥>−d0,,<∀0,
n ∈nN∈(N
a)(a )
Do nghiệm này thoả mãn ∆Vα
nên tồn tại hằng số d > 0
sao cho . Nên ta có . Điều này kéo theo
n −1

V (n, u (n)) = V (a, u0 ) + ∑ ∆V (l , u (l )) ≤ V (a, u0 ) − nd ,
l =0

lim
lim
uV( n(||,nua,λ,0)
(un()n||=))=0=0 0
với n đủ lớn vế
n →∞
n →∞
phải trở thành âm, mâu thuẫn với
V(n,u) xác định dương. Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa xác
định dương và là hàm giảm theo n nên . Suy ra . Vậy nghiệm tầm thường của (1.18)
là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.7. Giả sử các điệu kiện u ( n, a,0) = 0
của định lý (1.5) được thoả mãn đối với hàm V(n,u) , đồng thời V(n,u) là giảm dần.
Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều.

20


φξε(<
<
∆
ε δuVξV≤||(n0N
(||=
||n(uV
δ(n∈
n<
u,n(uδ∈
,)21a(<
n(,u(N
n≥

nu,0)
≥
)>
nK
(εδ,2×
||(φ
uan)<
n∈
S)1(||ρ
>
=
ε<
)))
≤≤)0ξρ0(|| u ||)
Chứng minh. Do V(n,u) là φ (|| u ||)
1)n
1))
1ε
ρ
hàm xác định dương và giảm dần,
tồn tại hàm , sao cho với mọi . Với mỗi , , ta chọn được sao cho . Ta chứng minh
rằng nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều. Thật vậy nếu và thì với
mọi . Vì nếu giả sử điều này không đúng thì tồn tại sao cho và mà . Tuy nhiên do
nên với mọi , do đó ta có

φ (ε ) ≤ φ (|| u ( n2 ) ||) ≤ V ( n2 , u ( n2 )) ≤ V ( n1, u ( n1 )) ≤ ξ (|| u ( n1 ) ||) ≤ ξ (δ ) ≤ φ (ε )
.
Mâu thuẫn này dẫn tới điều phải chứng minh.
Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của hệ sai phân
(1.18) là không ổn định.

Định lý 1.8. Giả sử tồn tại V (n, u ) ∈ C[ N (a ) × S ρ , R ]
hàm vô hướng sao cho:
i, với mọi , trong đó ;

|| V ( nN
, (uξ(n)a,∈
||u)≤×)Kξ∈
S(||
ρ u ||)

ii, Với mọi , tồn tại với sao cho ; V ||(auδ,0u>||0<)0δ< 0
iii,
trong đó
nghiệm bất kỳ
(1.18) thoả mãn ,

(nu∈
≤)(||nK
−<,φaρ(||
, uu0 )( n, a, u0 ) ||)
và ∆V (n, u (nu, a(,n||u)u0=φ))
của

Khi đó nghiệm tầm thường của hệ u ( n, a,0) = 0
(1.18) là không ổn định.
0a<δ) ε> 0
Chứng minh. Giả sử ngược lại δ ||=||uδuε((0nε<>)||,<||ρ
nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là
ổn định. Khi đó với mọi thoả mãn , tồn tại một số sao cho , ta có . Từ giả thiết (i) ta
có

,

|| V ( n, u (n∀
))n||∈
≤(∗ξN
) (||(au) ||) < ξ (ε )

Từ giả thiết (i) ta có là hàm giảm

V (n, u (n))

(∈
na(,N
au,(0(un)a0))
<
)) |0
Do đó với mọi ta có . Điều này ≤|≥Vn| V
kéo theo .
Từ giả thiết (i) ta có .

|| u ( n) || ≥ ξ −1 (| V ( a, u0 ) |)

21


Lại theo giả thiết (iii) ta có

∆V (n, u (n)) ≤ −φ (|| u (n) ||)

Lấy tổng từ a đến (k – 1) theo bất đẳng thức này ta được
k −1

V (n, u (n)) ≤ V (n, u0 ) − ∑ φ (|| u (l ) ||)
Tuy nhiên từ suy ra

l =a

φ (|| u|| (un()n||)
) ||≥≥φξ(−ξ1 (|−1V(| V
( a(,au,0u) 0|)) |)) .

Do đó ta có
V (n, u (n)) ≤ V (n, u0 ) − (k − a )φ (ξ −1 (| V (a, u0 ) |)) .
lim V (n, (u∗()n)) = −∞
Điều này dẫn tới ,
n →∞
mâu thuẫn với . Vậy nghiệm
tầm thường của hệ (1.18) là không ổn định.

CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến
tính
2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11])

22

u1 (n + 1) = a11 (n)u1 (n) + a12 (n)u2 (n) + ... + a1m (n)um (n),
u (n + 1) = a (n)u (n) + a (n)u (n) + ... + a (n)u (n),
 2
21
1
22
2
2m
m

..........................
.
 a ( n) a ( n) K a ( n) 
 u ( n) 
um (n + 1) 1= am1÷(n)u1 (n) + am112 (n)u2 (n12) + ... + amm (1nm )um (n÷).
 u2 (n) ÷ ; A(n) =  a21 (n) a22 (n) K a2 m (n) ÷
Khi đó hệ trên u (n) = 
 K
÷
M ÷
K
K
K
có thể viết

÷

÷

um ( n) 
am1 (n) am 2 (n) K amm (n) ÷



dưới dạng:
Đặt

u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0

,
(2.1)

ở đây và ta luôn giả u (n) = (u1A(n(n),)u=2 ((na),...,
umm×(mn))T ∈ R m
ij ( n ))
thiết là ma trận không
suy biến.
Xét bài toán Cauchy :

u (n + 1) = A(n).u (n), n ≥ n0

u (n0 ) = u0 .

Bằng phương pháp
truy hồi chúng ta thấy rằng bài toán Cauchy luôn có nghiệm và nghiệm của bài toán
Cauchy được cho bởi
u (n) = A(n − 1). A(nn−>2)...
n0 A(n0 + 1). A(n0 ).u0

với mọi .

* Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến
Định nghĩa 1.5. Với mỗi ký hiệu

s ≥ n0

U (n, s ) = A(n − 1). A(n − 2)... A( s + 1). A( s ) , n ≥ s.
{UU(n(A,ns(,)}
nn)0n≥)s≥ n0
Khi đó được
gọi là họ các ma trận tiến hoá sinh
bởi ma trận hàm không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma
trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green
Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận s ≥ n0 Cauchy và họ các trận tiến hoá ta thấy
với mỗi thì:
*

U (n0 , n0 ) = I

* với mọi .

U (n, s ) =n U
≥ (kn≥, ks).U (k , s )

* với mọi .

U (n, s ) = U n(n≥, ns0.).U −1 ( s, n0 )

23

Nghiệm của bài toán Cauchy có u (n) := u (n, n0 , u0 )
thể viết dưới dạng:
u (n) = U (n, n0 ).u0 , n ≥ n0
u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n ≥ s ≥ n .
0
n0 An − n0
Khi là ma trận hằng ta 
U (nA, n(n0≥) =
thấy với mọi .

2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
Xét bài toán Cauchy (xem [11])

trong đó và ,

(2.2) u (n + 1) =nA≥(nn).0 u,(n) + b(n) ,

u (n0 ) = u0 .
m
u (n) = (u1A(n(n),)ub=(2n(()na∈),...,
umm×(mn))T ∈ R m
ij ¡( n ))

Định lý 2.1. Nghiệm của hệ u (n) := u (n, n0 , u0 )
(2.2) xác định bởi công thức
(2.3)

u (n) = U (n, n0 ).u0 +

n

∑ U (n, k ).b(k − 1)

k = n0 +1

u (n) = Uu((nn,)n0 ).C (n)
Chứng minh. Ta tìm
nghiệm của (2.2)
dưới dạng
(*)
sao cho bằng phương pháp biến u (n0 ) = u0
thiên hằng số Lagrăng.
Vì

u (n0 ) = U (n0 , n0 )C (n0 ) = C (n0 ) ⇒ C (n0 ) = u0 .

Từ đó ta có
(2.4)

u (n) = U (n, n0 )C (n) ⇒ u (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n + 1)

Mà

u (n + 1) = A(n)u (n) + b(n) = A(n)U (n, n0 )C (n) + b(n)

(2.5)

= U (n + 1, n0 )C (n) + b(n) .

Kết hợp (2.4) và U (n + 1, n0 )C (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n) + b(n)
(2.5) ta được
suy ra hay .

n0−)1∆(nC+(n1,)n=0 ).bb(n(n) )
∆UC((nn)+=1,U

24


Do đó :
Ta
tìm
(2.6)

n −1

.

∑ ∆C (k ) =

được

.

k = n0

n −1

∑U

−1

k = n0
n

C (n) − C (n0 ) =

(k + 1, n0 ).b(k )

∑U

−1

k = n0 +1

(k , n0 ).b(k − 1)

Vì nên thay (2.6) vào (*) U (n, n0 ).U −1 (k , n0 ) = U (n, k )
ta nhận được (2.3).
Hệ quả 2.1. Nếu là ma trận hằng ta A(n) = A
được
với
mọi

(2.7)

u ( n) = A

n − n0

n > n0n. n −i
.u0 + ∑ A .b(i − 1)
i = n0 +1

2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất với ma trận hệ số hằng
Xét hệ phương trình sai phân:
, . u (n +n1)≥=n0Au ( n)
(2.8)
Xét bài toán Cauchy:
u (n + 1) = Au (n), n ≥ n0 ,

u (n0 ) = u0 .

(2.9)

Bằng phương pháp truy hồi
ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng:
,
Ký hiệu

u (n)n=≥Ann0.− n0 u0
T ( n) = An , n = 0,1, 2,...

Khi đó là họ nửa nhóm các ma trận ( T (n) ) n∈¥
sinh bởi ma trận A. Nửa nhóm có
các tính chất sau:
T (0) = E


T (n + s ) = T (n).T ( s ) , n ≥ s .
25