Luận văn trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

PHẠM THỊ KIM THOA

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN
VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

PHẠM THỊ KIM THOA

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN
VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN

: 60. 44. 01

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. PHAN HỒNG LIÊN

2


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo PGS.
TS Phan Hồng Liên, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận
văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Vật lý đã tận tình
giảng dạy, giúp đỡ em có thêm kiến thức mới, những hiểu biết sâu sắc hơn về
lĩnh vực Vật lý, đó là nền tảng tốt cho em về sau.
Xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự
nhiên đã tổ chức đào tạo và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian
học tập tại trường.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng vì điều kiện thời gian, kiến thức, kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót, Em kính mong sự chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn!

3


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU................................................................................................................3

Chương 1:...............................................................................................................6

BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN
1.1. Metric Minkowski và Bất biến Lozentz........................................................10
1.1.1. Metric Minkowski..........................................................................10
1.1.2. Bất biến Lorentz...............................................................................12
1.2. Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann.................................................14
1.2.1. Tensor...............................................................................................15
1.2.2. Metric Riemann không – thời gian cong.........................................19
1.3. Tensor độ cong...............................................................................................25
1.4. Trường hấp dẫn..............................................................................................28
1.5. Phương trình Einstein và tác dụng bất biến...................................................29

Chương 2.............................................................................................................38
NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT
VÀ CÁC TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN
2.1. Hình thức luận Tetrad ...................................................................................38
2.1.1. Tetrad...............................................................................................38
2.1.2. Mối liên hệ giữa Metric và Tetrad..................................................40
2.1.3. Nguyên lý bất biến..........................................................................42
2.1.4. Biểu thức của Tetrad.......................................................................43

4


2.2. Tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát.................................................................45
2.3. Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn...........................................48

Chương 3:.............................................................................................................51
VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ
3.1. Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ..........................................................................51
3.2. Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ............................................57

KẾT LUẬN .........................................................................................................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….63

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tương tác cơ bản hay lực cơ bản là các loại lực của tự nhiên mà tất cả mọi
lực, khi xét chi tiết, đều quy về các loại lực này. Mô hình vật lý hiện đại cho thấy có
bốn loại tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ,
tương tác mạnh và tương tác yếu.
Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và tương
tác yếu trong mô hình Glashow- Weinberg- Salam (lý thuyết điện yếu). Về sau, mô
hình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mô hình chuẩn (Standard model)
[5]. Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống nhất này.
Tương tác hấp dẫn là sự hút lẫn nhau giữa bất kì hai vật thể vật lí nào, do liên
quan với khối lượng của chúng gây ra. Tương tác hấp dẫn được thực hiện qua một
thực thể trung gian là trường hấp dẫn lan truyền (sóng hấp dẫn) với vận tốc hữu
hạn. Trong trường hấp dẫn yếu, các vật thể chuyển động chậm so với vận tốc ánh
sáng (c) thì định luật vạn vật hấp dẫn của Newton có hiệu lực. Với các trường hấp
dẫn mạnh và vật thể có vận tốc gần bằng c thì phải sử dụng Thuyết tương đối tổng
quát của A. Einstein. Tương tác hấp dẫn là tương tác yếu nhất trong tất cả các tương
tác giữa các hạt cơ bản, nhưng lại là nguyên nhân chi phối chuyển động của các
thiên thể. Trên Trái Đất, tương tác hấp dẫn là nguyên nhân tạo nên trọng lượng của
các vật, giữ cho các vật không rời khỏi mặt đất. Trong cơ học cổ điển, lực hấp dẫn xuất
hiện như một ngoại lực tác động lên vật thể. Trong thuyết tương đối rộng lực hấp dẫn là
bản chất của không – thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng, và không phải
là một ngoại lực. Trong thuyết hấp dẫn lượng tử, hạt graviton được cho là hạt truyền

tương tác của lực hấp dẫn.
Nếu như Isaac Newton là người tìm ra Định luật vạn vật hấp dẫn vũ trụ nổi
tiếng thế kỷ thứ XVII thì đầu thế kỷ thứ XX, Albert Einstein đã phát minh ra
Thuyết tương đối hẹp (1905) và mở rộng thành Thuyết tương đối tổng quát (1916)
đặt nền móng cho Lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Cho đến nay Hấp dẫn lượng tử và sự
thống nhất bốn loại tương tác vẫn là một vấn đề lớn của Vật lý học thế kỷ 21.
Einstein đã xây dựng Lý thuyết tương đối tổng quát (còn được gọi là Lý thuyết

tương đối rộng) là một lý thuyết về trường hấp dẫn . Theo lý thuyết tương đối rộng,

6


các vật hút nhau được là do sự uốn cong của không – thời gian và vật chất là yếu tố
quyết định sự cong này. Nó có thể được coi là phần bổ sung và mở rộng của lý
thuyết hấp dẫn của Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn.

Hình ảnh hai chiều về sự biến dạng của không – thời gian.

Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật lý,
giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự lệch tia
sáng khi đi gần Mặt Trời. Sau đó ông còn sử dụng lý thuyết này để mô tả mô hình
cấu trúc của toàn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ vào phương
trình trường của mình. Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác bỏ hằng số
này và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên cứu trong vài
thập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này.
Xuất phát từ những vấn đề đề cập Λ ở trên, chúng tôi nhận thấy đề tài “
Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ ” là một vấn đề hay và
thời sự nên muốn tìm hiểu, nghiên cứu.
2. Mục tiêu đề tài và phương pháp nghiên cứu

Mục tiêu
Nghiên cứu phương trình trường Λ của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ
để dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến
hằng số hấp dẫn vũ trụ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số hấp
dẫn vũ trụ theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay.
Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa Λ trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của

7


Albert Einstein xây dựng cùng với nền tảng toán học cho nó là hình học Riemann
trong không-thời gian 4 chiều Minkowski. Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô
hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ .
3. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận
văn gồm 3 chương:
Chương I. Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tương đối tổng quát của
Einstein và tương tác hấp dẫn.
Chương II. Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến
tổng quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho trường vô hướng hấp dẫn.
Chương III. Trình bày khái quát về hằng số hấp dẫn vũ trụ liên quan tới
những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ.

8


CHƯƠNG 1
BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

Khi đề cập đến những khoảng cách lớn, vận tốc lớn thì những định luật mà ta
đã biết trong cơ học cổ điển không còn áp dụng được nữa. Nói cụ thể hơn, quan hệ
giữa không gian, thời gian, vật chất, vận động trở nên khác đi, không còn đơn giản
như trước đây.
Cơ học cổ điển được mở rộng ra để áp dụng cho phạm vi mới: đó là môn Cơ
học tương đối tính, tức là môn cơ học có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối.
Cha đẻ của lý thuyết này là nhà bác học người Đức Albert Einstein [7].
Thuyết tương đối đặc biệt (hẹp) dựa trên hai nguyên lý cơ bản mà Einstein
nêu ra (1905), trên cơ sở kết quả thực nghiệm của Mikenson về sự không phụ thuộc
vào hệ quy chiếu quán tính của vận tốc ánh sáng trong chân không và các thí
nghiệm khác trong thiên văn trước đó, là như sau:
1. Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu
quán tính (nguyên lí tương đối).
Nói cách khác, các phương trình mô tả các định luật vật lí bất biến đối với
phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác (hệ
quy chiếu không gia tốc). Tổng quát hơn nguyên lí Galilei trong cơ học cổ điển, ở
đây không những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luật vật lí đều bất biến
trong các hệ quy chiếu quán tính.
2. Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chân không đều bằng
nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính, giá trị của nó bằng

c = 2,99793.108 m / s ≈ 3.108 m / s.
Cũng cần nói rõ thêm là ánh sáng ≠ với góc độ hạt là các photon không khối
lượng, các photon này luôn luôn chuyển động với vận tốc tối đa c, không phụ thuộc
vào người quan sát. Nói rộng hơn, các hạt có khối lượng m=0 đều chuyển động với
vận tốc c. Còn những hạt có khối lượng m 0 sẽ chuyển động với vận tốc V luôn

9

luôn nhỏ hơn c, dù có thể rất gần với c.
Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác
chính là phép biến đổi Lorentz [1].
Thuyết tương đối hẹp đã loại bỏ khỏi khoa học các khái niệm không gian
tuyệt đối, thời gian tuyệt đối, và ête đứng yên trong không gian tuyệt đối. Nó đã mở
rộng nguyên lí tương đối Galilei (các quy luật cơ bản của cơ học đều diễn ra như
nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau) thành nguyên lí tương đối
Einstein (Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu
quán tính). Einstein là người tin tưởng mãnh liệt vào tính quy luật và tính thống
nhất của thiên nhiên. Ông đã nêu lên rằng trong thiên nhiên không có cái gì là tùy
tiện, thiên nhiên tuân theo một số không nhiều các quy luật rất tổng quát và rất đơn
giản, lí tưởng cao nhất của khoa học là xuất phát từ những quy luật bộ phận có vẻ
như rời rạc, lẻ tẻ, phải tìm ra những quy luật tổng quát nhất đó. Với tư tưởng đó,
ngay sau khi xây dựng được những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối hẹp, ông
đã tiếp tục suy nghĩ tìm cách mở rộng lí thuyết của mình, cụ thể là mở rộng nguyên
lí tương đối thêm một mức nữa và áp dụng nó cho các hệ quy chiếu không quán
tính. Einstein tiếp tục nghiên cứu phát triển những ý tưởng trên, và xây dựng một lí
thuyết mới mà ông gọi là thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát).

F =µ
ω
Dựa trên hai định luật: định
µµmµ
F = 12 2
m r luật vạn vật hấp dẫn của Newton ,
với là khối lượng hấp dẫn và định luật Newton thư hai , với m là khối lượng quán
tính – một quy luật thiên nhiên cơ bản được xác lập bằng thực nghiệm là đối với
mọi vật tỉ lệ giữa khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính m là như nhau: là
một hằng số nào đấy. Người ta mở rộng tính chất cơ bản của trường hấp dẫn: tất cả
các vật, không phụ thuộc vào khối lượng của chúng, chuyển động trong trường hấp

dẫn đều giống nhau (với các điều kiện ban đầu cho trước). Sự đồng nhất của khối
lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính, cũng như tính chất nêu trên dẫn đến một hệ
quả sâu sắc đã được Einstein lấy làm cơ sở của lý thuyết tương đối rộng. Đó là

10


nguyên lý tương đương:
Nguyên lý. Các tính chất của chuyển động trong hệ quy chiếu không quán
tính cũng giống như trong hệ quán tính với sự có mặt của trọng trường. Nói một
cách khác, hệ quy chiếu không quán tính tương đương với một trọng trường (trường
hấp dẫn) nào đó.
Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động của các vật
trong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong một ngoại trường
nào, nhưng được khảo sát dưới quan điểm của hệ quy chiếu không quán tính. Chú ý
rằng các trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính không hoàn toàn
đồng nhất với các trường hấp dẫn “thực”, tồn tại ngay cả trong hệ quán tính. Trường
tương đương với hệ quy chiếu không quán tính sẽ biến mất khi ta chuyển về hệ
quán tính [1].
Mối quan hệ giữa vật chất với H 0 không- thời gian là nội dung cơ bản của
thuyết tương đối tổng quát, mà Einstein hoàn thành vào năm 1915. Ở đây ông đã sử
dụng rộng rãi những khái niệm cơ bản và công cụ toán học của hình học Riemann.
Trong trường hấp dẫn bất kì (biến thiên theo tọa độ và thời gian), thì trong một
miền không gian dV và một khoảng thời gian dt vô cùng nhỏ, bao giờ ta cũng có thể
chọn được một hệ tọa độ tương đương với một hệ quán tính ở nơi không có trường
hấp dẫn. Đối với hệ đó thì khoảng cách giữa hai điểm lân cận trong không gian 4
chiều được xác định bởi:

dS 2 = dx12 + dx22 + dx32 + dx42
Đối với mọi hệ tọa độ H khác thì dS được xác định bởi một hệ thức phức tạp

hơn:
4

dS = ∑ gik dxi dxk
2

i ,k =1

Mặc dù biểu thức của dS là khác H 0 nhau trong các hệ tọa độ khác nhau,
nhưng bản thân dS có giá trị không đổi, không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ, và là

11


một bất biến với mỗi điểm của không gian 4 chiều. Trong tất cả các hệ H (trừ hệ ),
các hiện tượng vật lí diễn ra không giống nhau như trong các hệ quán tính. Theo cơ
học Newton, đó là do tác dụng của trường hấp dẫn. Theo thuyết tương đối rộng, đó
là do không gian 4 chiều bị cong đi. Tensor G gọi là tensor metric, xác định độ cong
của không gian 4 chiều tại từng điểm của nó. Ở miền có trường hấp dẫn lớn thì
không gian bị cong nhiều. Ở miền không có trường hấp dẫn thì không gian là
phẳng. Ở miền có trường hấp dẫn yếu thì không gian được coi gần đúng là phẳng.
Trường hấp dẫn là yếu khi nó làm cho các vật rơi tự do với vận tốc v<nghĩa đó thì không gian ở lân cận Trái Đất được coi là không gian phẳng. Không
gian 4 chiều phẳng bao gồm không gian 3 chiều Ơclit và thời gian trôi đều đặn như
trên Trái Đất. Không gian 4 chiều cong bao gồm không gian 3 chiều phi Ơclit và
thời gian trôi chậm hơn. Không gian 4 chiều càng cong nhiều thì hình học của nó
càng khác xa hình học Ơclit, và thời gian càng chậm hơn thời gian trên Trái Đất.
Như vậy thuyết tương đối rộng nêu lên rằng trường hấp dẫn có tác dụng làm cho
không gian 4 chiều cong đi. Người ta còn gọi thuyết này là lí thuyết trường hấp dẫn
tương đối tính, là một bước mở rộng lí thuyết trường hấp dẫn của Newton, có kể

đến các hiệu ứng của thuyết tương đối [8].

1.1. Metric Minkowski và Bất biến Lozentz
Một trong những phát minh quan trọng nhất của Vật lí học vào khoảng đầu

12


thế kỉ 20 là tính chất sóng và hạt của ánh sáng, thể hiện trong luận thuyết của
Planck đưa ra năm 1900 về lượng tử ánh sáng. Đó chính là tiền đề cho một nguyên
lý cơ bản của Cơ lượng tử- tính đối ngẫu của vật chất do De Broglie đề xướng năm
1924 nhằm tổng quát hóa ý tưởng của Planck, khẳng định rằng mọi vật thể vi mô
đều tự thể hiện đồng thời với hai tính chất tương phản nhau là sóng và hạt. Ánh
sáng là sóng điện từ đồng thời cũng là dòng hạt photon. Ta nói rằng hạt photon
tương ứng với trường điện từ và các lượng tử của trường điện từ chính là các hạt
photon. Một cách tổng quát, bất kì một hạt vi mô nào cũng tương ứng với một
trường và các lượng tử của trường này chính là các hạt đó.
ϕi (2,...,
x)), n
Mỗi trường đều được mô tả i =ϕ1,

bằng một hàm phụ thuộc vào tọa độ không- thời gian x gọi là hàm trường, nói
chung hàm trường có thể là hàm phức nhiều thành phần, do đó để tổng quát hóa ta
viết (n là số thành phần).
Một trong những nguyên lý cơ bản nhất của lý thuyết trường nói riêng và của
Vật lý học hiện đại nói chung là nguyên lý bất biến tương đối tính, khẳng định rằng
mọi hệ quy chiếu diễn ra như nhau, cũng có nghĩa là các phương trình vật lý đều có
dạng như nhau, trong hệ quy chiếu không- thời gian liên hệ với nhau bởi phép biến
đổi Lorentz.
1.1.1. Metric Minkowski

Minkowski đã đưa ra ý tưởng thống nhất không gian ba chiều thông thường
và thời gian thành không - thời gian 4 chiều. Trong đó thời gian được xem là chiều
thứ tư.
Kí hiệu là các tọa độ của vector xµ 4 chiều không- thời gian x:

xµ ≡ { x0 ; x1; x2 ; x3}
trong đó: x0= ct là tọa độ thời gian (c là vận tốc ánh sáng, t là thời gian)
x1; x2; x3 là các tọa độ không gian

13


µ = 0,1,2,3
r r
x = { xx0 , x}

là các chỉ số Lorentz
Đôi khi ta còn viết: trong đó

là vector không gian 3 chiều thông thường.
Để thuận tiện người ta thường xh0 =≡1t dùng hệ đơn vị trong đó c=1 và hằng
số Planck , khi đó .
Tích vô hướng của hai vector x và y được định nghĩa là:

xy = η µν xµ yν
(1.1.1)
với là tensor metric với các thành phần η µν

η 00 = 1,η 11 = η 22 = η 33 = −1

(1.1.2)

η µνµν= 0, µ ≠ ν
η = diag (1, −1, −1, −1)

đôi khi còn viết:

Ở đây, cũng như về sau ta quy ước rằng khi trong biểu thức có các chỉ số lặp
lại hai lần thì lấy tổng theo các chỉ số đó. Như vậy (1.1.1) phải hiểu là:

xy =

3

∑η

µ ,ν =1

µν

rr
xµ yν = x0 y0 − x. y

Tensor metric liên hệ vector (hoặc tensor nói chung) có các chỉ số dưới với
các vector có các chỉ số trên theo quy tắc:
(1.1.3)
Bên cạnh tensor

Aµ = η µν Aν

µν tensor để viết ra công thức ngược của
ta còn dùng η µν

(1.1.3):

Aµ = η µν Aν

(1.1.4)
Viết tường minh là:

µ0=1,2,3
,=ν−...
iAi=
(ta A
AA0i,,

thường dùng các chỉ số Hy Lạp cho 0, 1, 2, 3 và các chỉ số Latinh cho 1, 2, 3).
Với (1.1.4) ta viết lại (1.1.1) thành:

14


xy = η µν xµ yν = η µν .xµ .ηνµ . y µ = xµ y µ = x µ y µ
từ đây ta suy rằng:

η µν = η µν ;η µνηνρ = δ ρµ

(1.1.5)

trong đó là kí hiệu Dirac thông thường δ ρµ

1, µ = ρ
δ ρµ = 
0, µ ≠ ρ

1.1.2. Bất biến Lorentz

Một số phép biến đổi Lorentz cơ bản:
Phép biến đổi Lorentz đồng nhất:

xxµµ ≡→
{ xx0 ;'µx1=; xΛ2 ;νµxx3ν}
(1.1.6) trong đó:
là các tọa độ của vector 4 chiều không- thời gian.
là các hệ số thực và để tích vô Λνµ hướng của hai vector bất kì không thay
đổi:
x’y’=xy

(1.1.7)

Các phép biến đổi này gọi là Λνµ phép biến đổi Lorentz đồng nhất. Dễ
dàng thấy rằng các hệ số thỏa mãn hệ
thức:

η µν Λ µρ .Λνσ = η ρσ
(1.1.8)

µν phần tử hàng , cột là
νΛ
Nếu kí hiệu: là ma trận 4x4 có Λ

µ
0ηµν
1 η
 0 −1
η =
0 0

0 0
trình ma trận như sau:

15

là ma trận có các phần
0 0
tử :
0 0÷
÷
−1 0 ÷
Ta có thể viết lại
÷
0 −1
(1.1.8) dưới dạng phương


Λ
( là ma trận chuyển vị của ) Λ ΤηΛ
ΛΤ = η
(1.1.9)
Nhân hai vế của (1.1.9) với , ta η được:

ηΛ ΤηΛ = η 2 = I
với I là ma trận đơn vị cấp 4 và từ đó suy ra:

ηΛ Τη = Λ −1
σρ ν
−1 σ
Dùng hệ thức này kếtη Λ ρη µνxµµ= (Λ ) µ

hợp với quy luật biến đổi của ta suy ra quy luật biến đổi của như sau:

x 'µ = η µλ x 'λ = η µλ Λνλ xν = η µλ Λνληνρ x ρ = (Λ −1 ) µρ x ρ
(1.1.10)

→ x 'µ = (Λ −1 ) µρ x ρ

Từ (1.1.7) và (1.1.10) ta thấy (Λ −1 ) µρ các hệ số phải thỏa mãn các điều kiện
tương tự (1.1.10):

η µν (Λ −1 ) µρ (Λ −1 )νσ = η ρσ

(1.1.11)
Từ đó ta thấy rằng: det

Λ = ±1

+11 Lorentz đồng nhất có det
Tập hợp các phép biến đổi Λ = −

thường

được kí hiệu bởi L+, có det kí hiệu bởi LBên cạnh các phép biến đổi Lorentz đồng nhất (1.1.6) ta còn xét các phép
biến đổi không đồng nhất dạng:

x 'µ = Λνµ xν + aµ
(1.1.12)
trong đó thông số có thể nhận mọi giá aµ trị thực tùy ý và được gọi là vector tịnh
tiến.

==↑−11 không đồng nhất còn được gọi là
Các phép biến đổi Lorentz ΛΛP
+

phép biến đổi Poincare’. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det
thường được kí hiệu bởi P+. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det

16


thường được kí hiệu bởi P-. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ không chứa phép
đảo tọa độ được gọi là phép biến đổi Poincare’ riêng và được kí hiệu bởi .
Như đã biết, khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều là đại
lượng bất biến đối với phép biến đổi Galilei. Còn trong không- thời gian 4 chiều,
khoảng cách S giữa điểm M được xác định bởi 4 vector x và điểm N được xác định
bởi 4 vector y là đại lượng được định nghĩa như sau:
(1.1.13)

S 2 = ( x − y ) = η µν ( xµ − y µ )( xν − yν )
2

Ta thấy là bất biến đối với phép S 2 biến đổi (1.1.12).

Nếu M và N là hai điểm vô cùng gần nhau thì (1.1.13) trở thành:
µν
hay dS 2 = η µν
dx µµ dxνν

(1.1.14)
Với gọi là khoảng cực vi giữa dS 2 hai điểm trong không- thời gian phẳng
Minkowski.
Chú ý, các phép biến đổi ( x − y ) 2
(1.1.12) không làm biến đổi đại
lượng nhưng làm biến đổi đại lượng x2.
1.2. Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann
Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý
đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương trình
vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

x µ → x 'µ = f µ ( x )
(1.2.1)
Phép biến đổi Lorentz chỉ là một trường hợp của (1.2.1)

x µ → x 'µ = Λνµ xν + a µ
khi ,

f µ ( x ) = Λνµ xν + a µ

17


trong đó là thông số biến đổi Lorentz,là Λ
a νµµ thông số tịnh tiến hay vectơ tịnh tiến.

Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến trên, ta đưa
vào khái niệm tensor. Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được Lagrangian bất
biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến.
1.2.1. Tensor
Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:
T µ1 µ 2 ...µ n ( x)

Tensor

phản

biến

(Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần biến đổi theo quy luật:

T'

µ1µ2 ...µ n

∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µn ν1ν 2 ...ν n
( x ') = ν1
...
T
( x)
(1.2.2)
∂x ∂xν 2 ∂xν n

Tensor hiệp biến (Covariant) Tµ µ

1 2 ... µ n

( x)

cấp n là tập hợp các thành phần biến đổi theo qui luật:

T ' µ1µ2 ... µn ( x ') =

∂xν1 ∂xν 2 ∂xν n
...
Tν1ν 2 ...ν n ( x)
(1.2.3)
∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x ' µn
Tν1µν12µ...2ν...n µm ( x)

Một cách tổng quát, tensor
hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp

biến cấp n (còn gọi là Mixed (m, n) - tensor) là tập hợp các thành phần biến đổi theo
qui luật:
µ1µ2 ... µm

T 'ν1ν 2 ...ν n

∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µm ∂xσ1 ∂xσ 2 ∂xσ n λ1λ2 ...λm
( x ') = λ1
...
...
Tσ1σ 2 ...σ n ( x)
∂x ∂x λ2 ∂x λm ∂x 'ν1 ∂x 'ν 2 ∂x 'ν n

(1.2.4)

 ∂x λ1 ∂x λ2 ∂x λm ∂x 'ν1 ∂x 'ν 2 ∂x 'ν n
 µ1 . µ2 ... µm . σ1 . σ 2 ... σ n
∂x ' ∂x ∂x
∂x
 ∂x ' ∂x '
ta suy ra công thức biến đổi ngược:

18

Nhân 2 vế

÷của (1.2.4) với



∂x λ1 ∂x λ2 ∂x λm ∂x 'ν1 ∂x 'ν 2 ∂x 'ν n µ1µ2 ...µm
... µm σ1 σ 2 ... σ n T 'ν1ν 2 ...ν n ( x ') = Tσλ11σλ22......σλnm ( x)
µ1
µ2
∂x ' ∂x '
∂x ' ∂x ∂x
∂x

λ1λ2 ...λm
σ1σ 2 ...σ n

T

∂x λ1 ∂x λ2 ∂x λm ∂x 'ν1 ∂x 'ν 2 ∂x 'ν n µ1µ2 ...µm
( x) =
...
...
T 'ν1ν 2 ...ν n ( x ')
∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µm ∂xσ1 ∂xσ 2 ∂xσ n

hay

(1.2.5)
Công thức (1.2.5) cũng có thể được suy ra từ tính bình đẳng giữa x và x’.
Ta có nhận xét:

µ µ ... µ
Nếu và là tensor hỗn hợp T
Sνν11νν1122...2...2 ννrq ps ( x)
cấp (s,r) và (p,q) thì:

µ

µ

... µ

Fν1ν122...ν rs++qp ( x ) ≡ Tνµ1ν12µ...2 ν...rµs ( x).Sν rs++1ν1 r +s +22...ν r +s +p p ( x)
µ µ ... µ

(1.2.6)

là tensor hỗn hợp cấp (s+p, r+q).

Chứng minh: Ta có
α1α 2 ...α s
β1β 2 ...β r

T'

α s +1α s + 2 ...α s + p
β r +1β r + 2 ... β r + p

S'

∂x 'α1 ∂x 'α s ∂xν1 ∂xν r µ1µ2 ...µs
( x ') = µ1 ... µs . β1 ... βr Tν 1ν 2 ...ν r ( x)
∂x
∂x ∂x '
∂x '
α

ν

∂x 'α s +1 ∂x ' s + p ∂xν r +1 ∂x r + q µ µ ...µ
( x ') = µs +1 ... µs + p . βr +1 ... βr + q Sν rs++1ν1 r +s +22...ν r +s +p p ( x )
∂x
∂x '
∂x
∂x '

Nên
α

α

...α

T 'αβ11αβ22 ......αβrs ( x ').S 'βrs ++11βsr ++22 ...βsr ++ pp ( x ') =
α

ν

∂x 'α1 ∂x ' s + p ∂xν1 ∂x r + q µ1µ2 ...µs
µ µ ... µ
= µ1 ... µs + p . β1 ... β r + q Tν1ν 2 ...ν r ( x) Sν rs++1ν1 r +s +22...ν r +sq+ p ( x)
∂x
∂x '
∂x
∂x '
=

α1

αs+ p

ν1

ν r +q

Có TSνµνµν11νµµ...2 ...ν...νµµsr ( x)

thể
lập

∂x '
∂x '
∂x
∂x
α α ...α
µ µ ... µ
... µs + p . β1 ... β r + q Fν1ν1 22...ν rs++qp ( x) = F 'β11β 22 ...β rs ++ qp ( x ')
µ1
∂x
∂x '
∂x
∂x '
đại lượng

19

1 12 2 s r


bất biến từ hai tensor và như sau:
...
1νµ2(
2...
xνµ)sr =
TSννµµ1G
ν1µ
ν sµ r ( x )
2 ...
2 ...

(1.2.7)
Thực vậy, theo phép biến đổi tổng quát:
...
1νµ2(
2...
xνµ)sr =
TSννµµ1G
ν1µ
ν sµ r ( x )
2 ...
2 ...

∂x T'µσ1λ11σλ∂22x......∂σσλxrss ('µxr ) ∂xσ1
= λ1 ... ν s λr
∂x ∂x∂' x ∂x 'ν1

….

∂x 'ν1 ∂x 'ν s ∂x ρ1 ∂x ρr τ1 ...τ s
. τ1 ... τ s
...
S ρ ...ρ ( x)
∂x
∂x ∂x 'µ1 ∂x 'µr 1 r
và sử dụng hệ thức:
∂x 'µ1 ∂x ρ1 ∂x 'µr ∂x ρr ∂xσ1 ∂x 'ν1
λ
µ
λ
µ

= λ1
... λr
∂x ∂x '
µ1
λ ∂x ' ∂x
λ
∂
x
∂
x
'
∂x ∂x 'µr ∂x 'ν1 ∂xτ1
=
δ
,
=
δ
σ
σ
µ
σ
µ
σ
∂x ' ∂x
∂x ∂x '
thì
∂xσ s ∂x 'ν s λ1λ2 ...λr
... ν s τ s Tσ1σ 2 ...σ s ( x).S τρ11......τρsr ( x)
∂x ' ∂x
G '( x ') = δ λρ11...δ λρrr .δ τσ1 1 ...δ τσs s .Tσλ11......σλsr ( x).δ ρτ11......τρsr ( x)

= Tσρ11......σρrr ( x).S ρσ11......ρσrs ( x ) ≡ G ( x)
Như vậy là một đại G ( x ) = Tνµν1µ...2 ν...µr ( x ) S νµ1νµ2 ......νµs ( x )
1 2
s
1 2
r
lượng bất biến.
Một số trường hợp của tensor:
Đại lượng

được gọi là vô φ ( x ) hướng – tensor hạng (0,0) nếu bất biến

với phép biến đổi (1.1.1):

φ '( x ') = φ ( x)
(1.2.8)
Đại lượng được gọi là tensor F µ ( x) phản biến – tensor phản biến hạng 1
nếu nó biến đổi theo quy luật:

F 'µ ( x ') =

∂x 'µ ν
F ( x)
(1.2.9)
∂xν

20

Lưu ý rằngkhông phải là
x∂µx 'µ µ
x' ≠ ν x
vector phản biến vì ,
∂x
µ

nhưng là vector phản biến có các thành dx
x µµ phần là vi phân của các tọa độ vì:

∂x 'µ ν
dx ' = ν dx
∂x
Đại lượng được gọi là
Gµ ( x)
(1.2.10)

µ

vector hiệp biến – tensor hiệp biến hạng 1 nếu nó biến đổi theo quy luật:

∂xν
G 'µ ( x ') = µ Gν ( x)
∂x '
µ
Đại lượng được gọi là
Tν ( x)
(1.2.11)

tensor hỗn hợp (1,1)hạng 1 nếu nó biến đổi theo quy luật:

∂x 'µ ∂xσ λ
T ' ( x ') = λ
Tσ ( x)
∂x ∂x 'ν
Ký hiệu Dirac là
δ µν

(1.2.12)

µ
ν

tensor hỗn hợp (1,1) vì:
[19]

∂x 'ν ∂xσ λ ∂x 'ν ∂x λ
δ ≡ λ
δ = λ
= δ 'νµ
µ σ
µ
∂x ∂x '
∂x ∂x '
ν
µ

1.2.2.

Metric

Riemann không – thời gian cong
µν
Trong thuyết tương đối rộng, g η
( x) metric Minkowski , không phải là
µνµν
tensor. Vì vậy, trong trường hợp biến đổi tổng quát (1.2.1) thay vì ta dùng tensor

metric cũng có tính đối xứng:

g µν ( x) = gνµ ( x)
(1.2.13)
biến đổi theo qui luật tensor:
(1.2.14)
(dựa theo công thức (1.2.6)

g 'µν ( x ') =

∂x λ ∂xσ
g λσ ( x)
∂x 'µ ∂x 'ν

ở trên)

21


Bình phương yếu tố độ dài dạng tổng quát là một đại lượng bất biến:

ds 2 = gαβ ( x µ )dxα dx β

Thật vậy:

ds '2 = g 'µν ( x ').dx 'µ dx 'ν
theo (1.2.14)

∂x λ ∂xα
ds ' =
. ν .g λσ ( x).dx 'µ .dx 'ν
µ
∂x ' ∂λx '
σ
 ∂x

µ   ∂x
g λσ ( x). µ .dx ' ÷. ν dx 'ν ÷
 ∂x '
  ∂x '
 mà
2

=

g λσ ( x).dx λ .dxσ = ds 2 = in v

theo (1.2.10) nó chính là
Như vậy, đại lượng: , ds 2 = ggµνµν
dx
( x(µx).)dx µ .dxν
được gọi là khoảng bất biến,
và là tensor.

Chỉ số phản biến có thể hạ xuống thành chỉ số hiệp biến theo quy tắc:

Aµ ( x) = g µν ( x) Aν ( x)

(1.2.15)

Aµ ( x) = g µν ( x) Aν ( x)
Bên cạnh tensor metric

ta ggµνµν (xx)) dùng tensor metric

đối xứng thỏa

mãn hệ thức:

g µν ( x ) gνλ ( x ) = δ λµ

(1.2.16)
và biến đổi theo quy luật:
(1.2.17)

∂x 'µ ∂x 'ν λσ
.
.g ( x)
∂x λ ∂xσ
Aµ ( x) =ggµσµν((xx)). Aν ( x)

g 'µν ( x ') =

Nhân 2 vế của với

ta được biểu thức:
suy ra

g µσ ( x). Aµ ( x) = g µσ ( x).g µν ( x ). Aν ( x ) = δνσ . Aν ( x) = Aσ ( x)
Aµ ( x ) = g µν ( x). Aν ( x)
g µν ( x). Aν ( x ) = g µν ( x ).gνµ ( x ). A µ ( x ) = σ µµ Aµ ( x ) = A µ ( x ) (vì )

22


Giả sử ta có vector và . Đạo G
F µµ ( x) hàm bình thường của chúng

∂G
F µµ
G ( x) ≡ ν
∂νν F
∂x
không biến đổi theo quy luật
; không phải là tensor, vì

µ
µ

(1.2.4).
Thật vậy: Nếu là tensor thì:

∂ν F µ ( x) =
Vậy ; không phải là tensor.

∂ν F µ ( x)

∂x λ ∂x µ
∂F µ
σ
.
.
∂
F
(
x
)
≠
λ
∂xν ∂xσ
∂xν
∂νν F
Gµµ ( x )

Để tạo được tensor ta phải lập ∇ν F µ ( x)
đạo hàm hiệp biến biến đổi theo quy luật (1.2.4). Cụ thể như sau:

∂x 'µ ∂x β
∇ 'ν F ' ( x ') = α . ν .∇ β F α ( x)
∂x ∂x '
Mặt khác: Đạo
µ

hàm hiệp biến được định nghĩa:
µ

∇ν F µ ( x) ≡ ∂ν F µ ( x) + Γνσ
( x) F σ ( x)

(1.2.18)
Trong đó

µ µµ
được gọi là liên ∇Γν νσ
Γ
Fνσ( x( )x)

thông Affine hoặc kí hiệu Christoffel. không phải là tensor mà được chọn sao cho
là tensor, tức là khi chuyển sang hệ tọa độ khác, ta có:
µ
∇ 'ν F 'µ ( x ') ≡ ∂ 'ν F 'µ ( x ') + Γ 'νσ
F 'σ ( x ')

(1.2.19)
cũng là một tensor.

∂x 'µ ∂x β
= α . ν .∇ β F α ( x)
∂x ∂x '

µ
Như vậy ta phải đi tìm quy luật Γνσ
( x) biến đổi của liên thông Affine, ta thừa

nhận biểu thức (1.2.19), rồi từ đó suy ra . Biến đổi biểu thức (1.2.19):

∂x 'µ ∂x β
∂x 'µ ∂x β
α
∇ 'ν F ' ( x ') = α . ν .∇ β F ( x) = α . ν .(∂ β F α + Γαβγ F γ )
∂x ∂x '
∂x ∂x '
µ

23


∂x 'µ ∂x β ∂F α ∂x 'µ ∂x β α γ
= α
+
Γ βγ F
∂x ∂µx 'ν ∂αx β ∂µxα ∂β x 'ν
∂x ' ∂F
∂x ' ∂x α γ
= α
+ α
Γ βγ F (1.2.20)
ν
∂x ∂x '
∂x ∂x 'ν
Tiếp tục biến đổi (1.2.19):
σ
∂ ∂x 'µ α
µ ∂x '
(
F

)
+
Γ
'
Fγ
νσ
ν
α
γ
(1.2.21)
∂x ' ∂x
∂x
2 µ
α
µ
σ
∂ x'
∂F ∂x '
µ ∂x '
So
= ν α Fα + ν
+ Γ 'νσ
Fγ
α
γ
∂x ' ∂x
∂x ' ∂x
∂x

∇ 'ν F 'µ ( x ') =

(1.2.20)

sánh
và

(1.2.21):
σ
∂x 'µ ∂F α ∂x 'µ ∂x β α γ
∂ 2 x 'µ
∂F α ∂x 'µ
α
µ ∂x '
+
Γ
F
=
F
+
+
Γ
'
Fγ
βγ
νσ
α
ν
α
ν
ν

α
ν
α
γ
∂x ∂x '
∂x ∂x '
∂x ' ∂x
∂x ' ∂x
∂x

Nhân cả hai vế với ta được:

∂xγ
σ
µ
β
γ∂x '
∂x ' ∂x ∂x α γ
∂ 2 x 'µ ∂xγ α
µ
γ
Γ 'νσ F = α
Γ βγ F − ν α
F
∂x ∂x 'ν ∂x 'σ
∂x ' ∂x ∂x 'σ

∂x 'µ ∂x β ∂xγ α γ
∂ 2 x 'µ ∂x β ∂xγ ∂xγ α
= α

Γ βγ F − ν γ β
F
∂x ∂x 'ν ∂x 'σ
∂x ' ∂x ∂x ∂xµ'σ ∂xβα γ
∂x ' γ ∂x ∂x α
∂ 2 x 'µ ∂x β ∂xγ
µ
β
γ
2 µ µ
β
∂x ' ∂x ∂x α γ
∂Γ 'xνσ' ( x)∂=x ∂αx γν α σ Γ βγ − ν γ β
= α
Γ
F
−
∂x σ∂δxα' F∂x '
∂x ' ∂x ∂x ∂x 'σ
βγ
ν
σ
ν
γ
β
∂x ∂x ' ∂x '
∂x ' ∂x ∂x ∂x '
suy
ra
∂x 'µ ∂x β ∂xγ α

∂ 2 x 'µ ∂x β ∂xγ
γ
=( α
Γ βγ − ν γ β
)F
(1.2.22)
∂x ∂x 'ν ∂x 'σ
∂x ' ∂x ∂x ∂x 'σ
Công thức trên chính là quy luật biến đổi của liên thông Affine.
Cũng hoàn toàn tương tự, đạo hàm hiệp biến:

∇ν Gµ ( x) = ∂ν Gµ ( x) − Γσµν Gσ ( x )

(1.2.23)

(x) được chọn sao cho là ∇ν Γ
Gσµν
µ ( x)
một tensor, tức là:

24


∇ 'ν G 'µ ( x) = ∂ 'ν G 'µ ( x) − Γ 'σµν G 'σ ( x)
(1.2.24)

∂x β ∂xγ
=
∇γ Gβ ( x)
∂x 'µ ∂x 'ν

Biến

đổi

(1.2.24) tương tự như (1.2.21) ta được:

∂x 'σ ∂x β ∂xγ α
∂ 2 x 'σ ∂x β ∂xγ
Γ ' ( x) = α
Γγβ − β γ
∂x ∂x 'µ ∂x 'ν
∂x ' ∂x ' ∂x 'µ ∂x 'ν (1.2.25)
σ
µν

Tổng quát hóa, đạo hàm hiệp biến của tensor hỗn hợp có dạng:
2 ... µ s
∇ ρTνµ1ν12µ...2 ν...rµs ( x) = ∂ ρ Γνµ11νµ22......νµr s ( x) + Γ µρσ1 Tνσµ
1ν 2 ...ν r

+Γ µρσ1 Tνµ1ν22σ......νµr s + ... + Γ µρσs Tνµ1ν12µ...2 ν...rσ − Γσρν1Tσνµ12µ...2ν...rµs (1.2.26)
−Γσρν 2 Tνµ1σ1µ...2ν...r µs − .... − Γσρν r Tνµ1ν12µ...2 ...σ µs

Ta tính biểu

thức của liên thông affine qua tensor metric biến đổi theo quy luật (1.2.14) thỏa
mãn các điều kiện sau:
1, Điều kiện đối xứng:
µ

µ
Γνσ
= Γσν

(1.2.27)

2, Điều kiện tương thích metric:

∇ ρ g µν = 0
(1.2.28)

g µσ ( x).g∇σλρ( x ) = δ λµ

Lấy cả hai vế của hệ

thức:
ta được:

∇ ρ g µσ gσλ = ∇ ρ δ λµ = 0

Nhân hai vế hệ thức này ∇ ρ ggµνλν = 0
với , ta có
Ta có phương trình metric với ( µ ,ν , ρ )
các chỉ số hoán vị vòng như sau:

∇ µ gνρ = ∂ µ gνρ − Γσµν gσρ − Γσµρ gνσ = 0

25

g µν ( x)