67 bài tập rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai luyện thi vào lớp 10

RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC
BẬC HAI
Bài 1: Thực hiện phép tính:
1) 2 5  125  80  605 ;
4)

2 8  12
5  27

;
18  48
30  162

4 3

75 ;
3 5

7) 2 27  6



2 3

13)

5  94 5

16)

19)

22)





3)

10  2 10
8

5  2 1 5

16
1
4
3
6
3
27
75

6)

2 3
2 3

2 3

2 3

5) 2

1

8)

5 2 ;

1
5 2

32

6
3 3

1





1

3



3 1 1
2 3

23)

5 2

2

3

20)

2  2 3



2

2 3



29) 5  2 6 49  20 6

18
12

2
3

32)

5 1



3  50 5  24
75  5 2

37)

15
5

1 3 1 3

40)

40 2  57 





40 2  57

2 3
46)  2  3  2 



2



26) 4  10  2 5  4  10  2 5





3 5  3 5

4 2

18)

2
2

3 5 3 5

21)





18
12


2
3

27)

3 2 2

33)

35)  2 6  4 3  5 2  1 8 .3 6
4 









3 
2

 24  8 6 
2 3
 2 3



36)

16
1
4
3
6
3
27
75

2
1
1
15
6 5 
120 
2
4
2
3 2 3 2 2
44)

 3 3  2 2
3
2 1



3



2 1

30)  2 1 9  5 1  : 16

52 6

2  5  24
12

41)

3

 

2 1 

24)



38) 2

43) 14  6 5  14  6 5

 3

15)

2  2 3

1
 175  2 2
8 7

5 1 



4 9 4 2

3 1

28)

5







34)

12)

2  64 2

25)

31)

192

64 2



2  64 2

1



64 2

17)

2 54

3 1

10  2

2  2 3

8 3  2 25 12  4



2

5  2 8 5

4

9)

11) 14  8 3  24  12 3
14)



3  5. 3  5

1



2  2 3



10)

2) 15  216  33  12 6 ;



3 

2 3

16

16 

32 3
6

3
3 3

2 8  12
5  27

18  48
30  162

39)

2 3
2 3

2 3
2 3

42)

74 3  74 3

45)

62 5
2  20

47)

10  2 10
8

5  2 1 5

-1-








48) 3 2  2 3 3 2  2 3





50) 2 5  125  80  605
53)

1





49) 2  3  2 2  3  2 3  2
51)

8 3  2 25 12  4



3 2 2

52) 15  216  33  12 6

192

1 1
1 1
1 1
1
1
 2  1  2  2  1  2  2  ...  1 


2
2
2 3
3 4
4 5
1999
2000 2

Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
2 1
1
A
;
;
B
2 3 2
2  2 2
Bài 3: So sánh x; y trong mỗi trường hợp sau:

C

2 3



5 2



1
3  2 1

b) x  5 6 và y  6 5 ;

a) x  27  2 và y  3 ;

54)

c) x = 2m và y = m+2

Bài 4
1. Tính giá trị của biểu thức:

A=

a 2  4ab 2  4b 4  4a 2  12 ab 2  9b 4 với a  2 ; b  1 .

Đặt M  57  40 2 ; N  57  40 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. M-N
b. M3-N3
 x x 3 3
 x  3 
3. Chứng minh: 
 2 x  
  1 (với x  0 và x  3 ).
 x  3x  3
 3  x 
2.

4.





2

a  b  4 ab a b  b a

 ab
a b
ab

5. Chứng minh

9  4 2  2 2 1 ;

; a  0, b  0



13  30 2  9  4 2  5  3 2 ; 3  2 2  1  2

2

1
1
 


6. 
 2 2  7  3 2  17    2 2  17  2 2  17 

 

3 2 6
150  1
4
7. Chứng minh đẳng thức: 


 
3  6
3
 27  3









2

2



2002
2003

 2002  2003
2003
2002
9. Chứng minh rằng 2000  2 2001  2002  0
1
1
1
7
2 3
2 3
29
10. 
  
2
;



5
2 3 2
n  1 n
2  2 3
2  2  3 20
1
1
1
11. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n, kuôn có:



. Từ đó tính
n  1 n  n n  1 n n  1
1
1
1
1
tổng: S 


 ... 
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4
100 99  99 100
8. Chứng minh

12.

6  6  6  6  30  30  30  30  9

13.

a 2  a  1; a  0

14.

3  4 x  4 x  1  16 x 2  8 x  1 b)





3  4 x  4 x  1  2 với mọi x t/mãn:

1
3
x .
4
4

-2-






15. (*) Cho a, b l à hai số dương, chứng minh rằng:
Bài 5

Cho biểu thức : S n 



n

5 4

 

5 4



a 2  b2  a





a 2  b2  b 

a  b  a 2  b2
2

n

2

b) Chứng minh rằng S 2n= S n - 2 ( n N ; n  2 )

a) Tính S 2

Bài 6: Rút gọn các bt sau:
1.

P

2. Q 

mn
m n



m  n  2 mn
m n

; m, n  0 ; m  n.

a 2 b  ab 2
a b
:
; a  0 ; b  0.
ab
a b

1 a a

1
5) M  
 a  
; a  0, a  1
 1 a
 1 a

7) A 

a 1
a 2 1  a2  a



1
a 1  a



 



2

3x  1

2 3x  3



a3  a
a 1

 

x2  x 

; a 1

4x  9x2  6x  1

1
1
11)
(x  ; x   )
2
1  49 x
3
7
3
3
 ab  b
ab  a  2 a  2 b
13) 
với a, b  0; a  b

:

a b
a b
a  b 


Bài 7: Cho 16  2 x  x 2  9  2 x  x 2  1

3x

6)  2  x  x    2  x  x  ; x  0, x  1

x 1  
x 1 


 

9)  a a  b b  a b  b a  :  a  b  (với a; b  0 và a ạ b)
 a b


a  b   a  b 


Bài 8: Cho biểu thức P =

2

2 
4)

x 3
3)
; x  2 3 1
x 1

8)
10)

11)

2x 1



1
4 với x   1

2

4m 2  4m  1
4m  2

x

2

4



2

4
với x ạ 2.
x  4x  4
2

Tính A  16  2 x  x 2  9  2 x  x 2 .

2x  2 x x  1 x x  1



x
x x
x x

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

8
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
P

 3x  9x  3
1
1  1


 :
x

x

2
x

1
x


2

 x 1

Bài 9: Cho biểu thức P = 

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các số tự nhiên x để

1
là số tự nhiên;
P

c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3 .


x 2
x 3
x 2 
x 


Bài 10: Cho biểu thức : P = 
 :  2 

x 3  
x  1 
 x 5 x  6 2 x

-3-



1
5
 .
P
2
2
(2 x  3)( x  1)  4(2 x  3)
Bài 11. Cho biểu thức A 
( x  1) 2 ( x  3)
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3
b) Tìm x để

a) Rút gọn biểu thức P;

Bài 12. Cho

A

1

1



x3  x

x 1  x
x 1
53
a) Rút gọn rồi tính số trị của A khi x =
b) Tìm x để A > 0
92 7
1  x2 1
 1
Bài 13: Cho biểu thức K  

. 2
 x 1 x  1  x  x 1
a)Tìm đ/k của x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt GTLN
 x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2003


Bài 14:
Cho biểu thức K  
.
x2 1 
x
 x 1 x 1
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
b) Chứng minh Bất đẳng thức:
Bài 15:

x 1  x



Cho biểu thức M 

2
2( x  1) x  10 x  3


x 1 x  x 1
x3  1

a) Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
thức có GTLN
a (2 a  1)
a 4
a 2
Bài 16: Cho biêủ thức A = A 


82 a a
a 2 4 a
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
x  2 x  10
x 2
1
Bài 17: Cho biểu thức: Q 



Với x  0 và x  1
x x 6
x 3
x 2
1
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị của x để Q 
3
2 x 3
x

1
Bài 18: Cho biểu thức A =
x 2 x2 x
a/ Rút gon A
b/ Tính giá trị của A khi x = 841
 a3 a 2
a a   1
1 
Bài 19: Cho biểu thức P  


 :

a 1   a 1
a 1 
 ( a  2)( a  1)

c) Tìm x để biểu

1
a 1

1
P
8
2
1
1
2 x 1
A

(

)
.
 1 x2
Bài 20: Cho biểu thức :
2
x 1
x 1
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .

1/Rút gọn biểu thức P.

2/Tìm a để

 3 x
x  3  x2  x x  x  1
Bài 21: Cho biểu thức: A  

.
 
x
 x  x  1 x x 1 
a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A được xác định.

b) Rút gọn biểu thức A.

-4-



b

a

Bài 22 . Cho biểu thức: A =

ab 
a

a2

.

1/. Tìm điều kiện đối với a , b để biểu thức A được xác định.

2/. Rút gọn biểu thức A.

Bài 23:
a) Biến đổi x  3x  1 về dạng A2  b với b là hằng số và A là một biểu thức.
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức

1
x  3x  1

. Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?

Bài 25: Rút gọn các biểu thức:
a) A 

3
1
4 x 2 9 x 2  6 x  1 với 0  x  .
3x  1
3





b) B 

4 7
4 7


4 7
4 7

 1
1 
x 1
Bài 26: Rút gọn biểu thức B  

:
x 1  x  2 x 1
x x
Bài 27: Cho
a) Rút gọn P
Bài 28: Cho
a) Rút gọn N

 x  0 vµ

x  1 .

2 x 9
x  3 2 x 1


x5 x 6
x 2 3 x
b) Tìm x để P < 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
a

b
ab
N 


ab  b
ab  a
ab
P

b) Tính N khi a 

4  2 3 ;b 

42 3

a a 1
thì N có giá trị ko đổi

b b5
2 x 3 y
6  xy
Bài 29: Cho K 

xy  2 x  3 y  6
xy  2 x  3 y  6
y  81
y
a) Rút gọn K
b) CMR: Nếu K 

thì
là số nguyên chia hết cho 3
y  81
x
c) C/m: Nếu



x   1
2 x
Bài 30: Cho K  1 

 : 

 x  1   x  1 x x  x  x 1 
a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi x  4  2 3
c) Tìm giá trị của x để K >1
 2 x
x
3x  3   2 x  2 
Bài 31 : Cho P  


 1
:
x  3 x  9   x  3
 x 3

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P < -1/2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 x
1  x  x x  x 


Bài 32: Cho biểu thức A = 
 

x  1 
 2 2 x  x 1
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
 x
2
1  
10  x 


Bài 33: Cho biểu thức B = 
 :  x  2 

x 2 
x 2
 x 4 2 x
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.

-5-

1
3
1


x 1 x x  1 x  x  1
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.

Bài 34: Cho biểu thức C =

Bài 35: Rút gọn biểu thức :

a) D =

c) Q =

x  2  x2  4
x  2  x2  4
1
2



x  2  x2  4
x  2  x2  4

x 1

:

x  x x x x x

Bài 36: Cho biểu thức : A  (
a) Rút gọn biểu thức .

 x  x  x  x 
b) P = 1 
 1 
 ;
x

1
x

1




;

d) H =

;

x 1 2 x  2
x  2 1


x2 

) : 
x x 1
x  1  x  x  1 
b) Tính giá trị của A khi x  4  2 3
2 xx

1



x 1

Bài 37: Cho biểu thức : A 

1

:

2

x x x x x 
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
 1
1
Bài 38:

Cho biểu thức : A= 

 1- x 1  x

x

  1
1 
1

:

  1 x 1 x  1 x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7  4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
 a a 1 a a 1  a  2
Bài 39: Cho biểu thức : A = 
 a  a  a  a  : a  2


a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
1 1 a
1 1 a
1
Bài 40: Cho biểu thức : A =



1 a  1 a 1  a  1 a
1 a
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .
a 3
a 1 4 a  4
Bài 41: Cho biểu thức : P =


a > 0 ; a  4
4a
a 2
a 2
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .

Bài 42: Cho biểu thức P = 



a3 a 2



a 2





a 1




a a  1
1 
:


a 1   a 1
a 1


1
a 1

1
P
8

 

2 x
Bài 43: Cho biểu thức P   1  x  :  1 
 1
 x 1  x 1 x x  x  x 1 
a) Tìm ĐK để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P  x nhận giá trị nguyên
a) Rút gọn P.

b) Tìm a để

-6-





Bài 44:. Cho P   1 



b) Tìm a biết P >  2 .

a) Rút gọn P.
Bài 45. Cho P 

a  a 
a a 
 1 
 ; a  0, a  1
a  1  1  a 

1  2x 

a) Chứng minh P 

2

a.

c) Tìm a biết P =

2

 16x
1
; x
2
1  4x
2

2
1  2x

b) Tính P khi x 

3
2

Bài 46. Cho x  a  b với a < 0, b < 0.
b
a
a) Chứng minh x 2  4  0 .

b) Rút gọn F 

x2  4 .


 

Bài 47. Cho B   x  1  x  1  8 x  :  x  x  3  1 
x 1 x 1   x 1
x 1 
 x 1

a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x  3  2 2 .
c) Chứng minh rằng B  1 với mọi giá trị của x thoả mãn x  0; x  1 .
Bài 48: Cho M   1  1  a  :  1  1


 1 a
  1 a2

a) Tìm ĐKXĐ của M.

b) Rút gọn M. c) Tính giá trị của M tại a =

3
2 3

2

x  4x  4
4  2x
1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999

a a
 a a

Bài 50: Cho biểu thức: A  
 1  
 1 ; a  0, a  1 .
 a 1   a 1 
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2

y
y  2 xy
:
Bài 51; Cho biểu thức: S  

; x  0, y  0, x  y .
 x  xy x  xy  x  y


1. Rút gọn biểu thức trên
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
1
x
Bài 52; Cho biểu thức A 

; x  0, x  1 .
x 1
xx
1
1. Rút gọn biểu thức A

Tính giá trị của A khi x 
2

x 2
x  2  x 1

Bài 53: Cho biểu thức: Q  

; x  0, x  1 .
x  1 
x
 x  2 x 1
2
a. Chứng minh Q 
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
x 1
 1
1   x 2
x 1 
 ; x  0 , x  1, x  4 .
Bài 54: Cho biểu thức: A  

 : 

x 1  x  1
x  2 
 x
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
Bài 49: Cho biểu thức: A 

-7-



Bài 55: Cho biểu thức:

A

1. Rút gọn biểu thức.

x x 1

; x 0

x  x 1

3. Tính giá trị của A khi x 

2. Giải phương trình A=2x.

1
3 2 2

.

Bài 56: Cho biểu thức: F= x  2 x  1  x  2 x  1
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.
2. Tìm các giá trị x  2 để F = 2.
a

b
ab
Bài 57: Cho biểu thức: N 


với a, b là hai số dơng khác nhau
ab  b
ab  a
ab
2. Tính giá trị của N khi: a  6  2 5 ; b  6  2 5 .

1. Rút gọn biểu thức N.
Bài 58: Cho biểu thức: T 
1. Rút gọn biểu thức T.

x2

x 1

x 1
; x  0, x  1 .
x x 1 x  x 1 x 1
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x ≠ 1 luôn có T < 1/3.




Bài 59: Lập pt bậc hai với hệ số nguyên có 2 no là: x1 
Bài 60: Cho biểu thức: M 

1 x
1 x

1. Rút gọn biểu thức M.
Bài 61: Cho A=



1

4
3 5

; x2 

4
3 5

4

4   4 
 

 3 5   3 5 

Từ đó tính P= 

4

 x

3

; x  0; x  1.
1 x  x
2. Tìm x để M ≥ 2.

x2 x3 4
2

2



1

x  x3
x  x  3  3x  x  x  9
a) Chứng minh A<0.
b) Tìm tất cả các giá trị x để A nguyên
4
2
36 x  (9 a  4b 2 ) x 2  a 2 b 2
Bài 62: Cho A 
9 x 4  (9 a 2  b 2 ) x 2  a 2 b 2
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A=-1.
(2 x  3)( x  1) 2  4(2 x  3)
Bài 63: Cho biểu thức A 
( x  1) 2 ( x  3)

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3

x
1   1
2 
:
Bài 64. P  




 x 1 x  x  1  x x 1

a) Tìm điều kiện của x để P xác định.

b) Rút gọn P

c) Tìm các giá trị của x để P  0

2
Bài 65: Cho A  a  a  2a  a  1
a  a 1
a

a, Rút gọn A

b, Khi a >1.Hãy so sánh A với A

c, Tìm a để A = 2

d, Tìm A min ?


 

Bài 66.Cho A  1  x  4x  : 1  1  2x  2 x 
1  4x   1  4x 2 x  1 

b, Tìm x để A  A2

a, Rút gọn A



Bài 67: Cho biểu thức M = 

1

a a

a)

Rút gọn biểu thức M;



c, Tìm x để A  1
4

a 1

:
a 1  a  2 a 1
1

b) So sánh M với 1.

-8-



2x  3 x  2
x 3  x  2x  2
và Q =
x 2
x 2
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 68: Cho các biểu thức P =

-9-