Trình chiếu bất đẳng thức halanay suy rộng và ứng dụng

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Luận văn thạc sĩ khoa học toán học
BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Người hướng dẫn khoa học:
Học viên thực hiện:

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

PGS. TS Lê Văn Hiện
Ngô Thị Hà

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

1 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

MỞ ĐẦU

- Nghiên cứu tính ổn định của hệ có trễ là một bài toán quan trọng và
nhận được nhiều kết quả có ý nghĩa thực tiễn.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

2 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

MỞ ĐẦU

- Nghiên cứu tính ổn định của hệ có trễ là một bài toán quan trọng và
nhận được nhiều kết quả có ý nghĩa thực tiễn.
- Bất đẳng thức Halanay suy rộng là một công cụ quan trọng trong nghiên
cứu tính ổn định mũ suy rộng của hệ phi tuyến có trễ.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

2 / 21

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Nội dung luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1. Một số kết quả bổ trợ.
Chương 2. Bất đẳng thức Halanay suy rộng.
Chương 3. Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp
cận bằng bất đẳng thức Halanay suy rộng.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

3 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Chương 1. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

4 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

1.1 Hệ phương trình vi phân hàm

Xét bài toán Cauchy (IVP) cho phương trình vi phân hàm
x(t)
˙
= f (t, xt ),
x(t) = φ(t),

t ≥ 0,

t ∈ [t0 − h, t0 ],

(1)

ở đó, f : D = [t0 , +∞) × C → Rn và φ ∈ C là hàm ban đầu.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

5 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov - Krasovskii

Định nghĩa .
Nghiệm x = 0 của (1) được gọi là ổn định nếu với mọi t0 ∈ R+ , ε > 0,
tồn tại δ = δ(t0 , ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ) của (1), nếu
φ < δ thì x(t, φ) < ε, ∀t ≥ t0 .
Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục (GES) nếu tồn tại các
số dương α, β sao cho mọi nghiệm của (1) thỏa mãn đánh giá
x(t, φ) ≤ β φ e −α(t−t0 ,

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

∀t ≥ t0 .

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

6 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov - Krasovskii

Định lí .
(Định lí ổn định mũ). Giả sử tồn tại một hàm liên tục V : R+ × C → R và
các số dương λ1 , λ2 và λ3 thỏa mãn các điều kiện sau
i) λ1 x(t) 2 ≤ V (t, φ) ≤ λ2 xt 2 ;
ii) V˙ (t, φ) + 2λ3 V (t, φ) ≤ 0,
ở đó xt = sup−h≤s≤0 x(t + s) . Khi đó hệ (1) là GES. Hơn nữa, mọi
nghiệm của (1) thỏa mãn đánh giá mũ

x(t, φ) ≤

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

−1
λ3 t
λ2
, t ≥ 0.
φ e 2
λ1

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

7 / 21

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

1.3 Bất đẳng thức Halanay
Xét phương trình vi phân có trễ có dạng
x(t)
˙
= −ax(t) + bx(t − h)

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

(2)

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

8 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

1.3 Bất đẳng thức Halanay
Xét phương trình vi phân có trễ có dạng
x(t)
˙
= −ax(t) + bx(t − h)

(2)

Bổ đề .
Nếu một hàm vô hướng u(t) > 0 thỏa mãn bất đẳng thức
u(t)
˙
≤ −au(t) + b

sup

u(s), t ≥ t0 ,

(3)

t−h≤s≤t

và a > b > 0 là các hằng số thì tồn tại số dương γ sao cho
u(t) ≤ u(t0 )e −γ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

8 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Chương 2. BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY SUY RỘNG

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

9 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

2.1 Mở đầu
Xét phương trình vi phân hàm sau
2

0

x(t)
˙
= (−p + sin t)x(t) +

qe −t 2 x 2 (t) + r

e s x(t + s)ds

, t ≥ 0,

−h

(4)
ở đó p, q, r ≥ 0 là các hằng số và h là số dương cho trước.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

10 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

2.1 Mở đầu
Xét phương trình vi phân hàm sau
2

0

qe −t 2 x 2 (t) + r

x(t)

˙
= (−p + sin t)x(t) +

e s x(t + s)ds

, t ≥ 0,

−h

(4)
ở đó p, q, r ≥ 0 là các hằng số và h là số dương cho trước.
1

State trajectory x(t)
0.8

Exponential estimate

0.6

0.4

x(t) = e−0.22t

0.2

0
0

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

5

10

15

20

Đại học Sư phạm Hà Nội

25

30

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

10 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

2.2 Tính ổn định mũ suy rộng

Xét một lớp bất đẳng thức vi phân hàm có dạng sau
m

D + u(t) ≤ −ϕ(t)u(t) +

ψk (t)
k=1

sup

u(s) + γ(t), t ≥ t0 ,

t−τk (t)≤s≤t

(5)

u(t) = θ(t), t ≤ t0 ,
ở đó m là số nguyên dương cho trước, ϕ(t) > 0, ψk (t) ≥ 0,
k ∈ [m] {1, 2, . . . , m} và γ(t) ≥ 0 là các hàm liên tục, τk (t) ≥ 0,
k ∈ [m] là các hàm trễ không nhất thiết bị chặn, θ ∈ BC ((−∞, t0 ], R) là
hàm ban đầu.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

11 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Cùng với bất đẳng thức vi phân hàm (5), ta xét một hệ phương trình vi
phân hàm phi tuyến sau
x(t)
˙
= F t, x(t), x(t − τ1 (t)), . . . , x(t − τm (t)) , t ≥ t0 ,
x(t) = φ(t), t ≤ t0 ,

(6)

ở đó ϕ ∈ BC ((−∞, t0 ], Rn ) là hàm ban đầu, τk (t), k ∈ [m], là các hàm
trễ. Hàm F (t, u, u1 , u2 , . . . , um ) là hàm liên tục trên [t0 , ∞) × Rm+1 ,
F (t, 0, . . . , 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện
m

2 F (t, u, u1 , . . . , um ), u ≤ −ϕ(t) u

2

+

ψk (t) uk

2

(7)

k=1

với mọi t ≥ t0 và u, uk ∈ Rn , k ∈ [m].

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

12 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Định nghĩa .
Hệ (6) được gọi là ổn định mũ toàn cục suy rộng (GGES) nếu tồn tại một
hàm σ(t, t0 ) ≥ 0, limt→∞ σ(t, t0 ) = ∞ và một hằng số N > 0 sao cho
mọi nghiệm x(t, φ) của (6) thỏa mãn đánh giá mũ
x(t, φ) ≤ N φ

∞e

−σ(t,t0 )

, t ≥ t0 .

(8)

Hàm σ(t, t0 ) khi đó được gọi là hàm phân rã mũ suy rộng của hệ (6).

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

13 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

2.3 Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Ta xét các giả thiết sau
(A1) lim (t − τk (t)) = ∞, k ∈ [m].
t→∞

t

(A2) lim

t→∞ t
0

ϕ(s)ds = ∞.
t

(A3)

(A4)

ϕ(s)ds < ∞, k ∈ [m], ở đó gk (t) = t − τk (t).

sup
gk (t)≥t0 gk (t)
m
ψk (t)
k=1

ϕ(t)

≤ 1, ∀t ≥ t0 , lim sup

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

t→∞

ψk (t)
m
k=1 ϕ(t)

Đại học Sư phạm Hà Nội

< 1.

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

14 / 21

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Định lí .
Giả sử các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Cho u(t) ≥ 0 là một hàm
liên tục thỏa mãn
m

D + u(t) ≤ −ϕ(t)u(t) +

u(s), t ≥ t0 ,

sup

ψk (t)

t−τk (t)≤s≤t

k=1

(9)

u(t) = θ(t), t ≤ t0 .
Khi đó tồn tại các số dương N và λ∗ sao cho
t

u(t) ≤ N θ

∞ exp

−λ∗

ϕ(s)ds , t ≥ t0 ,

(10)

t0

ở đó θ

∞

= supt≤t0 θ(t).

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

15 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Ta xét giả thiết sau

m
ψk (t)
(A5) sup
< 1.
ϕ(t)
t≥t0
k=1

Với một số thực α, ký hiệu α+ = max{α, 0}. Ta có kết quả sau.

Định lí .
Giả sử các giả thiết (A1)-(A3) và (A5) được thỏa mãn và u(t) ≥ 0 là một
hàm liên tục thỏa mãn (5). Khi đó
u(t) ≤

γϕ
+N
0
1 − δ∞

0 = sup
ở đó δ∞
t≥t0

θ

∞−

ψk (t)
m

k=1 ϕ(t) ,

γϕ
0
1 − δ∞

+

t

exp −λ∗

γϕ = supt≥t0

ϕ(s)ds , t ≥ t0 ,
t0

γ(t)
ϕ(t)

(11)
và các hằng số λ∗ , N

được xác định bởi H(λ) = λ + δe λI (ϕ) − 1 = 0. và
T
t
N = exp(λ∗ t0 ∗ ϕ(s)ds , σ(t, t0 ) = λ∗ t0 ϕ(s)ds.
Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

16 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

3.1 Tính ổn định mũ của một lớp hệ phi tuyến có
trễ dạng (6)

Xét hệ phương trình vi phân hàm sau
m

y˙ (t) = −ϕ(t)y (t) +

ψk (t)y (t − τk (t)),

t ≥ t0 ,

k=1

y (t) = φ(t),

(12)

t ≤ t0 ,

ở đó φ(t) ∈ BC ((−∞, t0 ], R) là điều kiện ban đầu.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

17 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Định lí .
Giả sử các giả thiết (A1)- (A4) được thỏa mãn. Khi đó, hệ phương trình
(12) là ổn định mũ suy rộng. Cụ thể hơn, mọi nghiệm y (t, φ của (12) thỏa
mãn đánh giá mũ
t

|y (t, φ)| ≤ N φ

∞ exp −λ∗

ϕ(s)ds , t ≥ t0 ,
t0

ở đó λ∗ và N là các hằng số lần lượt xác định bởi
H(λ) = λ + δe λI (ϕ) − 1 = 0. và

T
t
N = exp(λ∗ t0 ∗ ϕ(s)ds , σ(t, t0 ) = λ∗ t0 ϕ(s)ds.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

18 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

Định lí .
Giả sử các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (6) là ổn định
mũ toàn cục suy rộng. Hơn nữa, mọi nghiệm x(t, φ) của (6) thỏa mãn
đánh giá mũ sau
x(t, φ) ≤

√
N φ

1
∞ exp − λ∗
2

t

ϕ(s)ds , t ≥ t0 ,
t0

ở đó λ∗ và N là các hằng số lần lượt được xác định bởi
H(λ) = λ + δe λI (ϕ) − 1 = 0. và
T
t
N = exp(λ∗ t0 ∗ ϕ(s)ds , σ(t, t0 ) = λ∗ t0 ϕ(s)ds.

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

19 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

3.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ .
Xét hệ phi tuyến có trễ sau
b1 x1 (t − τ (t))
,

1 + x22 (t − τ (t))
b1 x2 (t − τ (t))
x˙2 (t) = bx1 (t) − ax2 (t) +
, t ≥ 0,
1 + x12 (t − τ (t))
x˙1 (t) = −ax1 (t) + bx2 (t) +

(13)

ở đó a > 0, b, b1 là các tham số thực và τ (t) là độ trễ thỏa mãn
0 ≤ τ (t) ≤ τmax .

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

20 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

2.5
x1(t)

2

x2(t)

Response x(t)

||x(t)||
||φ||e−0.1363t

1.5

1

0.5

0

0

10

20

30
Time (sec)

40

50

Hình: Quỹ đạo nghiệm của (13) với τ (t) = 4 + | sin t|

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

21 / 21


MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halan

EM XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN THẦY CÔ
VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE!

Ngô Thị Hà - PGS. TS Lê Văn Hiện (HNUE)

Đại học Sư phạm Hà Nội

Ngày 26 tháng 10 năm 2016

22 / 21