chuyên đề hàm số 9

A. Đặt vấn đề
Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng trong nhà
trờng, là chìa khoá giúp học sinh đi vào thế giới của tri thức khoa học
kĩ thuật, giúp các em tiếp cận đợc với nền văn minh của nhân loại.
Trong những năm gần đây, thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục
phổ thông, đổi mới phơng pháp dạy học, đội ngũ giáo viên đạt chuẩn và
trên chuẩn cao hơn, trình độ chuyên môn vững vàng hơn cho nên chất l-
ợng dạy học đã có những chuyển biến tích cực. Song, ở môn toán chất l-
ợng vẫn còn thấp so với yêu cầu của giáo dục. Hàng năm, qua các đợt
tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông trung học, số học sinh bị điểm liệt môn
toán còn là con số đáng kể.
Là giáo viên dạy toán lớp 9, trong nhiều năm qua tôi đã đặt ra
nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những biện pháp để nâng cao chất l-
ợng môn toán cho học sinh, tôi đã nghiên cứu, tham khảo các tài liệu,
xây dựng, sắp xếp lại thành một hệ thống các chuyên đề rèn kĩ năng giải
các dạng bài tập toán trong chơng trình cho mọi đối tợng học sinh.
Trong chơng trình Đại số lớp 9, Hàm số là một trong những nội
dung rất quan trọng, làm cơ sở để các em tiếp thu kiến thức ở những lớp
trên. Các bài tập về hàm số thờng gặp trong các đề thi tốt nghiệp THCS
và trong các đề thi vào lớp 10 phổ thông trung học. Thực tế giảng dạy ở
một số trờng, một số giáo viên có tâm lí ngại dạy phần Hàm số vì học
sinh khó tiếp thu, lúng túng khi vận dụng vào giải bài tập.
Để giúp cho học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức, có kĩ năng nhận
dạng, giải thành thạo các bài tập về hàm số, đồng thời để có tài liệu
1
trong việc ôn tập phần Hàm số ở lớp 9, tôi đã tham khảo các tài liệu,
phân loại các bài tập về hàm số, viết thành chuyên đề Phân loại các bài
tập về Hàm số và đồ thị ( Trong chơng trình Đại số lớp 9). Tôi đã dạy
chuyên đề này cho học sinh trong một số năm, kết quả tốt.
Chuyên đề Phân loại các bài tập về hàm số tôi xin đa ra các
dạng bài tập về hàm số thờng gặp trong chơng trình Đại số lớp 9 dành

cho mọi đối tợng học sinh, hớng dẫn cách giải, mong muốn khi học sinh
gặp các bài tập này các em sẽ vận dụng thành thạo, góp phần nâng cao
chất lợng giảng dạy môn toán ở lớp cuối cấp bậc Trung học cơ sở. Tôi
xin đợc trình bày để đồng nghiệp tham khảo.
2
b. Nội dung
I. Khái niệm hàm số
Một hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một qui tắc cho tơng
ứng với mỗi giá trị x X có 1 và chỉ 1 giá trị y Y mà ta kí hiệu là
f(x), x là biến số, y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x.
II. Các dạng bài tập.
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Muốn tìm tập xác định của hàm số y = f(x) ta tìm giá trị của x để
cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số:
a.
xy 21
=
TXĐ:







2
1
:
2

1
021 xRxTXDxx
b.
xxy
=
31
{
3

x
và
313

xx
}TXĐ:
{ }
31

xRx
c.
x
x
y
+

=
1
33
1

>>

1033
1
xx
x
TXĐ:
3
Bài 2: Cho hàm số:
1
1
)(

+
==
x
x
xfy
a. Tìm TXĐ
b. Tính
)();324(
2
aff

với a <-1.
c Tìm x /
3)(

=
xf
d. Tìm x để f(x)=f(x
2
)
Giải
a. TXĐ: {xR/x0; x1}
b.
)23(3
23
3
113
113
1324
1324
)324(
+=

=

+
=

+
=
f
1
1
1
1

)(
2
2
2

+
=

+
=
a
a
a
a
af
Do a < -1 nên
aa
=
f(a
2
) =
1
1
+

a
a
c. Tìm giá trị để :
3)(
=

xf
347
4
1231616
1216
)324(
324
324
1323
3321
13
31
31)31(
3313
1
1
2
+=
++
=

+
=

+
=
+
++
=

+
=
=
=+=

+

xx
x
xx
x
x
d. f(x)=f(x
2
)
1
1
1
1
2
2

+
=

+

x
x
x

x
(do x0; x1
xx
=
2
)
( )
112
11
1
1
1
1
2
+=++
+=+

+
=

+
xxx
xx
x
x
x
x

002
==

xx
(Thoả mãn)
Dạng toán này đã có trong SGK, muốn giải quyết đợc tốt thì giáo
viên nên cho học sinh luyện kĩ việc giải các phơng trình, bất phơng trình
một cách thành thạo.
Giáo viên cần lu ý cho học sinh khi tìm điều kiện để một biểu
thức f(x) có nghĩa:
4
- Nếu biểu thức f(x) có chứa biến trong căn hoặc biến ở mẫu thì cho
biểu thức trong căn lớn hơn hoặc bằng 0 hoặc cho mẫu khác 0.
- Nếu f(x) là biểu thức nguyên thì TXĐ là R
Dạng 2: Xét tính biến thiên của hàm số
- Hàm số y=f(x) là đồng biến trong khoảng (a;b) nếu khi cho x các
giá trị bất kỳ x
1
, x
2
trong khoảng (a;b) sao cho x
1
< x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
)
- Hàm số y=f(x) là nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu khi cho x
các giá trị bất kỳ x
1
, x

2
trong khoảng (a;b) sao cho x
1
<x
2
thì f(x
1
) > f(x
2
)
- Hàm số bậc nhất y= ax+b (a0) đồng biến khi a>0, nghịch biến
khi a<0
- Hàm số y=ax
2
(a0)
+ Nếu a>0: Hàm số đồng biến trong R
+
, nghịch biến trong
R
-
, bằng 0 khi x=0
+ Nếu a<0: Hàm số đồng biến trong R
-
, nghịch biến trong
R
+
, bằng 0 khi x=0
Bài 1: Cho hàm số y=(m-3)x. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Giải
Hàm số: y=(m-3)x là hàm số bậc nhất

- Đồng biến khi m-3>0 m>3
- Nghịch biến khi m-3<0 m<3
Bài 2: Tìm m để hàm số y=(m-2-4)x
2
a. Đồng biến trong R
+
b. Nghịch biến trong R
+
Giải
a. Hàm số có dạng y=ax
2
với a= m-2-4
Để hàm số y=(m-2-4)x
2
đồng biến trong R
+
thì m-2-4>0
m-2>4
- Nếu m 2 m-2 > 4 m > 6
- Nếu m < 2 2 - m >4 m < -2
b. Hàm số y=(m-2-4)x
2
nghịch biến trong R
+
5
m-2-4 < 0 m-2 < 4
- Nếu m 2 m-2 < 4 m < 6
62
<
m

- Nếu m < 2 2 - m <4 m > -2 -2 < m < 2
-2 < m < 6
- Khi dạy cần cho học sinh nhận dạng hàm số đã cho là hàm số y = ax
+ b hay y = ax
2
rồi vận dụng tính chất của nó để tìm tham số
Bài 3: Cho hàm số:
23)(
12)(
=
=
xxg
xxf
a. Tính:
)4();
2
1
( gf

b. Tìm a / f(a) = g(a)
c. Tìm TXĐ của y=g(x) và chứng minh 2 hàm số đồng biến trên TXĐ
của nó.
Giải
a.
4243)4(
2111)
2
1
.(2)
2

1
(
==
===
g
f
b.





=
=





=
=
=
==+
=+==
4
1
1
012
01
0)12)(1(

0)1()1(20122
01222312)()(
a
a
a
a
aa
aaaaaa
aaaaaagaf
c. TXĐ của g(x): x 0, TXĐ f(x): R
* Xét hàm số y = 2x - 1
Cách 1: Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho x
1
, x
2
R/ x
1
< x
2
f(x
1
) =2x-1
f(x
2
) = 2x
2
-1
f(x
1

) - f(x
2
) = 2x
1
-1-2x
2
+1=2(x
1
-x
2
) < 0
f(x
1
) < f(x
2
) Hàm đồng biến
Cách 2: Dựa vào tính chất của hàm số y = ax + b
Xét hàm số y = 2x 1.
Có a = 2 > 0 hàm số đồng biến
* Xét hàm số g(x)
23

x
6
)(3)()(
23)(
23)(
,
2121
22

11
21
2
xxxgxg
xxg
xxg
xx
Rxx
=





=
=




<

Vì
)()(0
212121
xgxgxxxx
<<<
Hàm số đồng biến
Bài 4: Chứng minh hàm số:
xxfy

==
)(
đồng biến trong TXĐ của nó
Giải
- TXĐ: x 0
- Cho x
1
, x
2
R
+
/0 x
1
< x
2
0)()(
)(;)(
2121
2211
<=
==
xxxfxf
xxfxxf
f(x
1
) < f(x
2
) Hàm số đồng biến trong R
+
Việc chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trong TXĐ

của nó có thể dựa vào định nghĩa hoặc dựa vào tính chất của các hàm số
đã học.
Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b và hàm số y = ax
2
a. Vẽ đồ thị hàm số: y = ax + b. Đồ thị là đờng thẳng đi qua 2 điểm
- Tìm điểm cắt trục hoành (-b/a; 0)
- Tìm điểm cắt trục tung (0; b)
b. Vẽ đồ thị hàm số: y= ax
2
. Đồ thị là đờng Parabol đỉnh O
- Lập bảng giá trị, lấy ít nhất 5 cặp (x; y)
- Xác định các điểm đó trên mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: a>0: đồ thị nằm phía trên trục hoành
a<0: đồ thị nằm phía dới trục hoành.
Phần bài tập áp dụng: Làm các bài tập vẽ đồ thị trong SGK trang
46, 49, 78, 79.
Dạng 4: Tìm giao điểm của hai đồ thị
1. Giao điểm của 2 đờng thẳng
Ta đã biết, hai đờng thẳng trên mặt phẳng toạ độ có 3 vị trí tơng đối:
7
- Hai đờng thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng có 1 điểm chung duy
nhất, điểm chung đó có toạ độ (x
0
; y
0
), mà x
0
, y
0
thoả mãn cả hai ph-

ơng trình đờng thẳng đã cho. Vì vậy việc tìm toạ độ giao điểm của
hai đờng thẳng quy về việc tìm nghiệm của hệ hai phơng trình bậc
nhất hai ẩn
- Hai đờng thẳng song song khi và chỉ khi hệ vô nghiệm
- Hai đờng thẳng trùng nhau khi và chỉ khi hệ vô số nghiệm
Bài 1: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng: 2x-3y=8 và 5x+4y=-3
Giải
Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ:



=+
=
345
832
yx
yx
Giải hệ ta đợc: x=1; y=-2Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là: (1;
-2)
Từ bài toán 1 giáo viên gợi ý: Nếu có 1 đờng thẳng y = ax cũng đi
qua giao điểm của hai đờng thẳng trên thì xác định hệ số a nh thế nào?.
Giáo viên đa ra bài toán 2 nh sau:
Bài 2: Xác định giá trị của a để các đờng thẳng y=ax; y=3x-10;
2x+3y=-8 đồng quy
Giải
- Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng: y=3x-10 và 2x+3y=-8
Giải tơng tự nh trên ta đợc toạ độ giao điểm là: (2, -4)
Thay x=2; y=-4 vào phơng trình y=ax ta đợc a=-2
Bài 3: Cho hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3.
a. Tìm toạ độ giao điểm M của hai đờng thẳng trên.

b. Gọi giao điểm của hai đờng thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A
và B. Tính diện tích tam giác MAB
Giải
a. Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ:
8