Sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh lớp 5 giải tốt các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"GIÚP HỌC SINH LỚP 5 GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ
CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ"

1


A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong những năm gần đây, nhiệm vụ đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ở
Tiểu học là một nhiệm vụ luôn được chú trọng, ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy học
để học sinh nắm được kiến thức chuẩn thì tùy vào năng lực của học sinh, giáo viên cần
phải phát triển, khai thác, mở rộng thêm kiến thức một cách phù hợp để đáp ứng nhu cầu
học tập của các em. Đặc biệt, hiện nay với thời lượng học của đa số các trường Tiểu học
là 2 buổi/ngày, đây là điều kiện thuận lợi để giáo viên có thể phân loại đối tượng học sinh
theo trình độ năng lực để từ đó có thể lựa chọn nội dung dạy học phù hợp nhằm phát huy
sở trường năng lực của từng em. Hơn nữa, từ năm học 2008-2009 đến nay, với chủ
trượng của Bộ GD&ĐT là cho học sinh làm quen với công nghệ thông tin bằng cách tổ
chức và khuyến khích học sinh tham gia giải toán và Tiếng Anh trên mạng internet và
phong trào này đã được học sinh trên cả nước hưởng ứng một cách tích cực.
Trong 3 năm học gần đây, tôi đã dược nhà trường phân công nhiệm vụ bồi dưỡng
học sinh giỏi môn Toán kết hợp với bồi dưỡng học sinh giải toán trên mạng internet cho
học sinh khối 5. Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng, tôi nhận thấy các bài tập của
các vòng thi đa dạng, phong phú và khó hơn rất nhiều so với chương trình SGK mà các
em được học. Đặc biệt, từ vòng 18 trở đi (của phần mềm Violympic tự luyện), các bài
toán về chuyển động của kim đồng hồ xuất hiện tương đối nhiều và là một dạng rất trừu
tượng không những đối với học sinh mà với cả giáo viên, học sinh và giáo viên thường
lúng túng, không tìm ra cách giải nhanh khi gặp những bài toán thuộc dạng này, làm ảnh
hưởng đến thời gian của cả vòng thi. Chính vì vậy 3 năm qua, trong quá trình dạy bồi

dưỡng, tôi đã đi sâu vào tìm tòi và nghiên cứu cách dạy các bài toán về chuyển động của
kim đồng hồ để nhằm cung cấp cho HS các kiến thức một cách có hệ thống và kĩ năng
giải dạng toán này.
II- ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1.Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh giỏi toán lớp 5 năm học 2012 -2013; 2013-2014 của trường tiểu học nơi
bản thân tôi đang công tác.
2- Phạm vi nghiên cứu:
Các dạng bài tập toán về chuyển động của kim đồng hồ.
3- Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:
2


Đề tài nhằm góp phần hoàn thiện nội dung và phương pháp giúp học sinh lớp 5 giải
tốt các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ.
4-Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp tìm hiểu tư liệu(đọc sách giáo khoa, đọc tài liệu có liên quan)
- Phân tích hệ thống hóa các dạng bài tập
- Trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp, với học sinh giỏi toán lớp 5
- Khảo sát, điều tra
- Thực hành, tổ chức thực nghiệm
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I- CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Chúng ta đã bước vào những thập kỉ đầu của thế kỉ XXI, thế kỉ của nên kinh tế tri
thức, phát triển nguồn lực con người đáp ứng yêu cầu đổi mới của thời đại là nhiệm vụ
cấp bách của mỗi quốc gia. Nghị quyết Trung Ương II- Khóa VIII đã xác định: “Giáo
dục là một bộ phận quan trọng của nền kinh tế xã hội, có vị trí hàng đầu trong chiến
lược con người, phục vụ chiến lược kinh tế xã hội và quốc phòng”. Điều này chứng tỏ
Giáo dục và đào tạo có nhiệm vụ cực kì quan trọng trong công cuộc đổi mới đất nước. Đó
là: “Đào tạo ra những con người lao động trí tuệ cao, có ý chí vững bền, có khả năng

đáp ứng và đón đầu những đòi hỏi của sự nghiệp CNH, HĐH đất nước.
Trong hệ thống giáo dục quốc dân, Tiểu học là bậc học nền móng. Các môn học ở
tiểu học nói chung và môn Toán nói riêng góp phần không nhỏ vào việc hình thành và
phát triển của những cơ sở ban đầu của nhân cách con người Việt Nam. Những kiến thức,
kĩ năng môn toán có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống, nó làm cơ sở cho việc học tập
các môn học khác và học tiếp ở các lớp trên. Môn toán giúp học sinh nhận biết những
mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực; nhờ đó mà học
sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới và biết cách hoạt động có hiệu
quả trong đời sống.
Môn toán có tiềm năng giáo dục lớn , nó góp phần quan trọng trong việc rèn luyện
phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. Nó góp
phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập linh hoạt, sáng tạo; hình thành các
phẩm chất cần thiết và quan trọng của con người như lao động cần cù, cẩn thận, có ý thức
vượt khó, làm việc có kế hoạch, có nền nếp và có tác phong khoa học.
Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là một vấn đề mà đảng và nhà nước ta rất
3


quan tâm; Cố Tổng bí thư Trường Chinh đã nhấn mạnh trong bài phát biểu “Vấn
đề phát triển năng khiếu của học sinh rất quan trọng . Học sinh phải có kiến thức phổ
thông toàn diện, nhưng đối với các em có năng khiếu cần có kế hoạch hướng dẫn thêm”.
Xuất phát từ mục tiêu của Đảng là “Phát hiện tài năng bồi dưỡng nhân tài cho đất
nước”chúng ta cần phải chăm sóc thế hệ trẻ ngay từ lúc ấu thơ đến lúc trưởng thành.Vậy
việc phát triển và bồi dưỡng ngay từ bậc tiểu học là công việc hết sức quan trọng đòi hỏi
người giáo viên phải không ngừng cải tiến về nội dung, đổi mới phương pháp để khuyến
khích học sinh say mê học tập, nghiên cứu tìm tòi chiếm lĩnh tri thức mới.
Việc dạy và giải các bài toán nâng cao trong môn giải toán ở Tiểu học đặc biệt
quan trọng. Thông quan việc dạy giải toán nâng cao giúp cho đội ngũ giáo viên nâng cao
trình độ chuyên môn nghiệp vụ, rèn kĩ năng giải toán từ đó nâng cao chất lượng dạy toán
Tiểu học. Cũng thông qua giải toán nâng cao có tác dụng thúc đẩy phát triển tư duy logic,

rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học của học sinh.
II- CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Trong thời gian được phân công dạy bồi dưỡng giải toán qua mạng internet cho học
sinh lớp 5, tôi nhận thấy ở một số vòng cuối, các bài toán về chuyển động của kim đồng
hồ xuất hiện khá nhiều. Khi gặp những bài toán này, các em học sinh thực sự lúng túng,
hay nhầm lẫn, tốn mất nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết quả chung cả vòng
thi...Vậy nguyên nhân là do đâu? Qua thực tế giảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên
nhân cơ bản sau:
1.Về vấn đề tài liệu tham khảo: Thường ở các dạng toán khác, tài liệu nâng cao
để giáo viên và học sinh tham khảo khá phong phú, nhưng các bài toán về chuyển động
của kim đồng hồ lại ít được chú ý đến. Qua việc tìm tòi, nghiên cứu rất nhiều tài liệu, tôi
thấy cuốn “ Toán chuyên đề số đo thời gian & chuyển động” của tác giả Phạm Đình
Thực cho đến nay là cuốn duy nhất có chuyên đề dành riêng cho phần “Các bài toán về
kim đồng hồ” nhưng phần này lại viết quá ít chỉ có duy 1 bài mẫu liên quan đến sự
chuyển động của các kim và 4 bài luyện tập không cùng dạng với bài mẫu, trong đó có
những bài phần hướng dẫn giải rất phức tạp, khó hiểu đối với cả giáo viên và học sinh.
Ngoài ra, cuốn “Toán nâng cao lớp 5- Tập 2” của Vũ Dương Thụy, Đỗ Trung Hiệu và
cuốn “Bồi dưỡng học sinh vào lớp 6 - Môn toán ”có một số bài nữa, còn các cuốn khác
hầu như không đề cập đến. Nguồn tài liệu để giáo viên tham khảo quá nghèo nàn.
2. Đối với giáo viên: Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ là dạng
bài khó, hơn nữa trong quá trình giảng dạy theo chương trình SGK, giáo viên và
học sinh chỉ mới được tìm hiểu về bài toán chuyển động cùng chiều của hai vật trên cùng
4


một quãng đường thẳng chứ chưa được tiếp xúc với dạng toán nên trong thực tế giảng
dạy bồi dưỡng, thông thường các giáo viên chỉ dựa vào một số bài ở tài liệu và trên các
vòng thi tự luyện violympic toán để hướng dẫn học sinh giải, chưa chịu khó trong việc
khai thác, phát triển thêm kiến thức để ra thêm những bài toán mới, chưa biết cách phân
chia thành các dạng bài, xây dựng cách thức tính thời gian cho mỗi dạng bài để cung cấp

cho học sinh..
3. Về phía học sinh : Thực chất dạng toán chuyển động của kim đồng hồ là dạng
toán chuyển động cùng chiều của hai vật (kim phút và kim giờ) trên cùng một quãng
đường mà vận tốc của mỗi kim không hề thay đổi, song nó rất trừu tượng đối với tư duy
của học sinh Tiểu học. Bởi vì, các em vẫn thường quen với chuyển động trên một quãng
đường thẳng. Vì vậy khi giải những bài toán này, các em thường gặp những khó khăn sau:
- Không nhận diện được các bài toán đã cho thuộc dạng toán nào trong toán
chuyển động đều.
- Cách hiểu vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ còn mơ hồ.
- Lúng túng trong việc xác định khoảng cách ban đầu giữa hai kim.
- Nhầm lẫn cách tính thời gian giữa các dạng bài và các bài trong cùng dạng (thời
gian để 2 kim tạo với nhau thành một góc vuông; hai kim chuyển động để trùng khít lên
nhau; tạo với nhau thành một đường thẳng ).
Và cũng chính vì những khó khăn đó mà khi gặp các bài toán về chuyển
động của kim đồng hồ, HS thường có thái độ uể oải, chán nản không muốn tiếp tục giải
toán.
Từ những nguyên nhân trên, tôi đã cố gắng nghiên cứu tìm ra những giải pháp tốt
nhất để bản thân có thể tự tin khi lên lớp bồi dưỡng và để học sinh tiếp cận dạng toán này
một cách hứng thú có hiệu quả.
III - CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN :
1- Thiết lập cộng thức của dạng toán “ Hai vật chuyển động cùng chiều đuổi
nhau” trên một quãng đường thẳng.
Tôi nhận thấy,để dạy được cho HS hiểu cách giải các bài toán về chuyển động của
kim đồng hồ thì trước hết trong quá trình giảng dạy kiến thức cơ bản trong sách giáo
khoa Toán 5, GV cần phải chú ý khắc sâu được cách giải các bài tập về 2 chuyển động
cùng chiều đuổi nhau ở tiết “Luyện tập chung”(tr.145- SGK toán 5). Từ bài tập mẫu
SGK đưa ra, giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải và rút
ra công thức tổng quát của dạng toán này, theo các bước như sau:
5

- GV nêu đề toán ở bài 1a “Luyện tập chung”(tr.145- SGK toán 5): Một người đi xe
đạp từ B đến C với vận tốc 12km/giờ. Cùng lúc đó một người đi xe máy từ A cách B là
48 km với vận tốc 36km/giờ và đuổi theo xe đạp. Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ xe
máy đuổi kịp xe đạp?
- GV vẽ sơ đồ tóm tắt lên bảng:
36km/h

12km/h

Xe máy

Xe đạp

48 km

A

B

C

- Gọi HS quan sát sơ đồ và nêu lại bài toán .
- GV nêu hệ thống câu hỏi gợi mở để HS nêu được các bước giải :
? Khoảng cách giữa xe máy và xe đạp khi cả 2 xe bắt đầu xuất phát là bao nhiêu ? (
là 48 km )
? Mỗi giờ xe máy đi gần thêm với xe đạp bao nhiêu km? (36 - 12 = 24 km )
? Khoảng cách hiện tại là 48 km mà mỗi giờ xe máy lại đi gần thêm với xe đạp là
24 km. Vậy muốn biết phải mất mấy giờ xe máy đuổi kịp xe đạp ta làm thế nào? (48 : 24
= 2 giờ)

- Để bài giải ngắn gọn, ta có thể làm gộp 2 bước như sau:
Thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp là: 48 : ( 36 – 12 ) = 2 ( giờ )
Cho học sinh nêu vai trò của mỗi số liệu trên biểu thức, giáo viên ghi bảng
48

:

Khoảng cách giữa 2 động tử

( 36 – 12 )

=

Hiệu vận tốc

2 ( giờ )
Thời gian đuổi kịp nhau

GV cho HS quan sát biểu thức để rút ra kết luận: Hai động tử có khoảng cách S
cùng khởi hành một lúc để đuổi kịp nhau thì thời gian đuổi kịp (t) được tính như sau:
t đuổi kịp
= S Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc
- Từ công thức đã lập, GV yêu cầu HS rút ra công thức tính khoảng cách giữa 2
động tử khi biết vận tốc của mỗi vật và thời gian để chúng đuổi kịp nhau; công thức tính

6


hiệu vận tốc của 2 vật khi biết khoảng cách giữa chúng và thời gian để chúng đuổi kịp
nhau

S Khoảng cách

= Hiệu vận tốc x t đuổi kịp

Hiệu hai vận tốc = S Khoảng cách : t đuổi kịp
- Yêu cầu HS ghi nhớ các công thức để áp dụng giải các bài toán “Chuyển động
cùng chiều đuổi nhau”, trong đó có các bài toán về kim đồng hồ.
2- Hướng dẫn học sinh xác định vận tốc; hiệu vận tốc giữa kim phút và kim
giờ:
Thông thường các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ chỉ liên quan đến quan
hệ chuyển động giữa kim phút và kim giờ. Gv hướng dẫn HS xác định
vận tốc của kim phút, kim giờ và hiệu vận tốc giữa hai kim như sau:
* Dùng một chiếc đồng hồ thật (hoặc mô hình chiếc đồng hồ có trong bộ đồ dùng
dạy toán lớp 3). Để hướng dẫn S tìm hiểu
? Đường tròn bao quanh mặt đồng hồ được chia làm
mấy phần bằng nhau? (12 phần).
? Trong quá trình chuyển động , kim giờ và kim phút
chạy cùng chiều hay ngược chiều nhau? (cùng chiều)
? Trong 1 giờ, kim giờ di chuyển được quãng đường
bằng
1

bao nhiêu phần của vòng đồng hồ? ( 12 vòng đồng hồ - vì cứ một giờ thì kim giờ chạy
được từ vạch này đến một vạch tiếp theo liền kề)
Gv chốt:

1
vòng
12

đồng hồ/ giờ chính là vận tốc của kim giờ.

? Trong 1 giờ, kim phút di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu phần của
vòng đồng hồ? (1 giờ, kim phút quay đúng 1 vòng trên bề mặt đồng hồ)
Gv chốt: 1 vòng đồng hồ/ giờ chính là vận tốc của kim phút.
? Trong 1 giờ kim phút đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu?
(1 giờ kim phút đi hơn kim giờ là: 1 –

1
12

7

=

11
12

(vòng đồng hồ)


? Với một chiếc đồng hồ chạy chuẩn thì vận tốc của kim giờ và kim phút có thay
đổi trong quá trình chuyển động hay không? ( không thay đổi)
? Hiệu vận tốc của kim giờ và kim phút là bao nhiêu? (1 –

1
12

=

11
12

vòng đồng hồ )

? Vận tốc của kim phút và kim giờ không thay đổi trong quá trình chuyển động vậy
hiệu của chúng là đại lượng có thay đổi hay không? ( không thay đổi)
GV kết luận : Vì vận tốc của kim giờ và kim phút không thay đổi trong quá trình
chuyển động nên hiệu vận tốc của kim giờ và kim phút cũng là đại lượng không thay đổi.
III- Hướng dẫn HS giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ.
Theo kinh nghiệm giảng dạy và dựa các bài tập về chuyển động của kim
đồng hồ đã gặp, tôi chia các bài tập về chuyển động của kim đồng hồ thành 3 dạng cơ bản
sau:
Dạng 1: Hai kim chuyển động để chồng khít lên nhau.
Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông.
Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng.
Với mỗi dạng tôi đều dạy theo các bước như sau:
B1: Chọn bài tập mẫu
B2: Hướng dẫn cách xác định khoảng cách ban đầu (KCBĐ) giữa hai kim; vận tốc
của kim phút, kim giờ và giải bài tập mẫu.
B3: Thiết lập công thức tổng quát từ bài mẫu
B4: HS thực hành giải bài tập
1- Dạng 1: Hai kim chuyển động để chồng khít lên nhau.
a, Bài tập mẫu: Hiện nay là 2 giờ đúng, hỏi sau ít nhất bao nhiêu thời gian thì kim
phút sẽ đuổi kịp kim giờ?
- Gv cho HS quan sát vị trí kim phút, kim giờ để trả lời
câu hỏi:
? Quan sát đồng hồ và cho cô biết, lúc 2 giờ đúng thì kim
giờ chỉ số mấy? Kim phút chỉ số mấy? (Kim phút chỉ số
12, kim giờ chỉ số 2)

8


? Khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu phần của vòng đồng hồ? (
2
12

vòng đồng hồ hay

1
6

vòng đồng hồ )?

* GV cần lưu ý với HS: Khoảng cách ban đầu (KCBĐ) giữa hai kim đồng hồ bao
giờ cũng phải tính từ kim phút đến kim giờ (không tính ngược từ kim giờ đến kim
phút) và phải tính theo chiều quay của kim đồng hồ.
? Mỗi giờ, kim giờ chạy được bao nhiêu phần của vòng đồng hồ ? - Hay vận tốc
của kim giờ là bao nhiêu? (

1
12

vòng đồng hồ/ giờ)

? Mỗi giờ, kim phút chạy được bao nhiêu phần của vòng đồng hồ ? - Hay vận tốc
của kim phút là bao nhiêu? (1 vòng đồng hồ/ giờ).
GV: Ta xem kim giờ và kim phút chính là 2 động tử chuyển động đồng thời trên
cùng một quãng đường và kim phút là vật chạy đuổi theo kim giờ.

? Tìm hiệu vận tốc của kim phút và kim giờ?1-

1
12

=

11
(
12

vòng đồng hồ/giờ)

- Yêu cầu HS nhắc lại công thức tính thời gian để đuổi kịp nhau của hai
động tử chạy cùng chiều cùng khởi hành một lúc có khoảng cách AB. (Thời gian=
Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc)
Sau khi tìm hiểu bài tập mẫu, yêu cầu HS vận dụng công thức trên để giải bài toán.
Bài giải
Lúc 2 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 2 => Khoảng cách ban đầu giữa kim
phút và kim giờ là

1
6

vòng đồng hồ.

Vận tốc của kim giờ là

1
12

vòng đồng hồ/giờ; vận tốc của kim phút là 1 vòng

đồng hồ/giờ.
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là:
1-

1
12

=

11
12

(vòng đồng hồ/giờ)

Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:

1
6

:

11
12

=

2

11

(giờ)
Đáp số:

9

2
11

giờ.


*Rút ra công thức tính:
sau:

Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ được tính như

t = KCBĐ : Hiệu vận tốc

b, Bài tập luyện tập
Bài 1: Hiện nay là 1 giờ đúng. Hỏi bao lâu kim phút sẽ đuổi kịp kim giờ?
Bài 2: Hiện nay là 9 giờ đúng. Hỏi bao lâu kim phút sẽ đuổi kịp kim giờ?
Bài 3: Hiện nay là 5 giờ 15 phút. Hỏi sau bao lâu nữa thì kim phút đuổi kịp kim giờ? Lúc
đó là mấy giờ?
Đối với bài tập 3, vì đây là bài tập có giờ đã cho không phải là giờ đ GV cần hướng
dẫn HS cách xác định khoảng cách ban đầu giữa 2 kim như sau: Lúc 5 giờ đúng, kim phút
chỉ số 12, kim giờ chỉ số 5; thêm 15 phút nữa ( tức là

1

giờ)
4

vòng đồng hồ và nó sẽ chỉ vị trí số 3. Còn kim giờ sẽ đi thêm
số 6 và
1
6

1
4

khoảng cách này ứng với

1
12

x

1
4

=

1
vòng
48

thì kim phút sẽ đi thêm
1
khoảng

4

1
4

cách từ số 5 đến

đồng hồ. Từ số 3 đến só 5 ứng với

vòng đồng hồ. Như vậy KCBĐ giữa kim phút và kim giờ là

1
1
+
=
6
48

9
48

vòng đồng

hồ. Sau đó
áp dụng công thức như đã hướng dẫn để giải
2- Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông .
Trước hết GV cần giảng để HS hiểu khi 2 kim vuông góc với nhau thì khoảng cách
giữa 2 kim luôn là

3

1
hay
12
4

vòng đồng hồ

Để giúp HS dễ hiểu và nắm vững cách giải bài tập, tôi chia dạng thành 2 trường
hợp như sau:
2.1- Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ) thì kim phút chuyển động
không phải vượt qua kim giờ.(Hay nói cách khác, trường hợp này là khoảng cách ban đầu
1

giữa hai kim > 4 vòng đồng hồ).
a, Bài tập mẫu: Hiện nay là 7 giờ đúng. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu thời gian để khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
10


- Gv cho học sinh quan sát vị trí kim phút, kim giờ để trả
lời câu hỏi:
? Quan sát đồng hồ và cho cô biết, lúc 7 giờ đúng thì kim
giờ chỉ số mấy? Kim phút chỉ số mấy? (kim giờ chỉ số 7,
Kim phút chỉ số 12) ?
? Khoảng cách từ kim phút đến kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là bao
nhiêu? (

7
vòng

12

đồng hồ)

GV: Đến khi khoảng cách giữa hai kim tạo với nhau thành một góc vuông thì
khoảng cách này được rút ngắn còn

1
4

vòng đồng hồ.

Như vậy, trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng
1
4

khoảng cách ban đầu trừ đi

(

7
12

-

1
4

=

1
vòng
3

đồng hồ). Từ đó, muốn tìm thời gian để

khoảng cách hai kim tạo với nhau thành một góc vuông ta chỉ việc lấy quãng đường kim
phút đi hơn kim giờ chia hiệu vận tốc hai kim.
Bài giải
Lúc 7 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 7. Khoảng cách giữa kim phút và
kim giờ (tính từ kim phút đến kim giờ theo chiều kim đồng hồ) là

7
12

vòng đồng hồ. Khi

kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách này được rút
ngắn lại còn

1
vòng
4

đồng hồ => Trong khoảng thời gian đó, kim

phút đã đi hơn kim giờ là:
7
12

-

1
4

=

1
3

(vòng đồng hồ).

Trong 1 giờ, kim giờ đi được

1
12

vòng đồng hồ. Kim phút đi được 1 vòng đồng hồ.

Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ (hay hiệu vận tốc giữa 2 kim ) là:
1–

1
12

=

11
12

( vòng đồng hồ)

Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:
1
3

:

11
12

=

4
11

( giờ )
11


Đáp số :

4
11

giờ

* Giáo viên gộp 3 bước giải, gợi ý để HS rút ra công thức:
(

3
4

1
4

-

( KCBĐ

-

1
4

)

:

)

11
12

: Hiệu vt

=

6
11

( giờ )

= Thời gian.

*Rút ra công thức tính: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông(trường hợp kim phút không phải chạy vượt qua kim giờ) được tính như sau:
t = (KCBĐ –

1
11
):
4 12

b, Bài tập luyện tập
Bài 1: Hiện nay là 4 giờ ( hoặc 5 giờ; 6 giờ; 7 giờ; 9 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
2.2- Trường hợp 2: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ) thì kim phút chuyển động
phải vượt qua kim giờ.( Hay nói cách khác, trường hợp này là khoảng cách ban đầu giữa
hai kim <

1
vòng
4

đồng hồ).

a, Bài toán mẫu: Hiện nay là 1 giờ . Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và
kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông?

- Gv cho HS quan sát vị trí kim phút, kim giờ để trả lời
câu hỏi:
? Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí
nào? (Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1)
? Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu? ( 1/12 vòng đồng hồ.)
? Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách
từ kim phút đến kim giờ là bao nhiêu? ( bằng 1/4 vòng đồng hồ)
GV: Để kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì kim phút phải
chạy vượt lên gặp kim giờ sau đó tiếp tục chạy vượt lên cho đến khi khoảng cách giữa nó
12


và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông. Tại thời điểm đó, kim phút đã đi hơn kim
1
12

giờ đoạn đường bằng KCBĐ là

vòng đồng hồ và thêm

1
4

vòng đồng hồ nữa. Như vậy nó đã đi hơn kim giờ đoạn đường là:

1 1 1
+ =
12 4 3

( vòng đồng hồ)

Từ đây, áp dụng bài toán mẫu ở dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm ra
1
3

đáp số của bài toán bằng cách lấy tổng quãng đường kim phút đi hơn kim giờ ( vòng
đồng hồ) chia cho hiệu vận tốc hai kim (

11
12

vòng đồng hồ).

Bài giải:
Lúc 1 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1. Khoảng cách giữa kim phút và
kim giờ là

1
12

vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông

thì kim phút đã đi hơn kim giờ là:
1
12

1
4

+

1
3

=

Trong 1 giờ, kim giờ đi được

(vòng đồng hồ).

1
12

vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng

hồ.Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1–

1
12

=

11
12

( vòng đồng hồ)

Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:
1 11 4
: =

3 12 11

Đáp số :

4
11

(giờ )

giờ

* Giáo viên gộp 3 bước giải, gợi ý để HS rút ra công thức:
(

1
12

( KCBĐ

+
+

1
4

)

:

11

12

=

1/4 )

:

Hiệu vt

= Thời gian.

13

4
11

( giờ )


*Rút ra công thức tính: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông(trường hợp kim phút phải chạy vượt qua kim giờ) được tính như sau:
1
11
):
4
12

t = (KCBĐ +

b, Bài tập để luyện tập
Bài 1: Hiện nay là 12 giờ (hoặc 2 giờ; 3 giờ). Hỏi thời gian ngắn nhất để khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông là bao lâu?
Bài 2:Đức bắt đầu từ nhà mình để đi đến nhà Tài lúc 7 giờ 20 phút.Khi Đức đến
nơi thì vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông. Hỏi Đức đến
nhà Tài lúc mấy giờ?
Bài 3: Hiện nay là 10 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì khoảng cách giữa hai
kim tạo với nhau thành một góc vuông?
Đối với bài 3, Gv cần hướng dẫn : Vào lúc 10 giờ đúng, kim phút nằm ở vị trí số 12,
kim giờ nằm ở vị trí số 10. KCBĐ từ kim phút đến kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ)
là

5
6

vòng đồng hồ. Đến khi hai kim tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách

tính từ kim giờ đến kim phút (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) đúng bằng

1
4

vòng

đồng hồ => KC từ kim phút đến kim giờ (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) là
vòng đồng hồ. (1 -

1 3
= ).
4 4

3
4

Như vậy, trong khoảng thời gian đó kim phút đã đi hơn kim

giờ đoạn đường bằng KCBĐ trừ đi

3
4

5

3

1

( 6 − 4 = 12 vòng đồng hồ).

Từ đó, tương tự các bài toán như trên, muốn tìm thời gian để khoảng cách hai kim
tạo với nhau thành một góc vuông ta chỉ việc lấy quãng đường kim phút đi hơn kim giờ
chia hiệu vận tốc hai kim (t = (KCBĐ –

3
)
4

:

11

)
12

3- Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng
- Trước hết GV cần giảng để HS hiểu khi 2 kim thẳng hàng với nhau thì khoảng
cách giữa hai kim luôn là

1
2

vòng đồng hồ

14


-Tương tự dạng 2, để giúp học sinh dễ hiểu và nắm vững cách giải bài tập, tôi chia
dạng này thành 2 trường hợp như sau:
3.1- Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì kim phút không phải chuyển động vượt qua kim giờ (Hay nói cách khác
trường hợp này khoảng cách ban đầu giữa hai kim là >

1
12

vòng đồng hồ).

a, Bài toán mẫu: Hiện nay là 8 giờ. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu thời gian để hai kim
tạo với nhau thành một đường thẳng ?
- Gv cho HS quan sát vị trí kim phút, kim giờ để trả lời câu hỏi:
? Vào lúc 5 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí nào? (Kim phút chỉ số

12, kim giờ chỉ số 5)
? Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu?
7

( 12 vòng đồng hồ)
? Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ (tính theo chiều
kim đồng hồ) là bao nhiêu? (

7
vòng
12

đồng hồ)

GV: Đến khi khoảng cách giữa hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng
thì khoảng cách này được rút ngắn còn

1
2

vòng đồng hồ.

Như vậy, trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng
khoảng cách ban đầu trừ đi

1
2

(

7
12

-

1
2

=

1
vòng
12

đồng hồ). Từ đó, muốn tìm thời gian để

khoảng cách hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng ta chỉ việc lấy quãng đường
kim phút đi hơn kim giờ chia hiệu vận tốc hai kim.
Bài giải:
Lúc 7 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 7. Khoảng cách giữa kim phút và
kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là

7
12

vòng đồng hồ.

Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã
đi hơn kim giờ là:
7

12

-

1
2

=

1
12

(vòng đồng hồ)
15


Hiệu vận tốc của 2 kim là:
1–

1
12

=

11
12

( vòng đồng hồ/giờ)

Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:

1
12

Đáp số:

1
11

:

11
12

=

1
(
11

giờ )

(giờ).

* Giáo viên gộp 3 bước giải, gợi ý để HS rút ra công thức:
(

7
12

-

( KCBĐ -

1
2

)

1
)
2

:

:

11
12

=

1
11

( giờ )

Hiệu vt = Thời gian.

*Rút ra công thức tính: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng
(trường hợp kim phút không phải chạy vượt qua kim giờ) được tính như sau:

t = (KCBĐ -

1
11
):
2 12

b, Bài tập luyện tập:
Bài 1: Hiện nay là 8 giờ (hoặc 9 giờ; 10 giờ;11 giờ). Hỏi cần ít nhất nhiêu thời gian nữa
để khoảng cách giữa hai kim tạo thành một tạo thành một đường thẳng?
Bài 2: Hiện nay là 12 giờ 40 phút. Hỏi đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì lúc đó là mấy giờ?
Bài 3: Bây giờ 15 giờ 40 phút. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu lâu nữa thì kim giờ và
kim phút làm thành một đường thẳng?

16


Đối với bài tập 2; 3 giờ hiện tại không phải là giờ đúng nên giáo viên cần chú ý
hướng dẫn học sinh cách xác định KCBĐ giữa 2 kim như đã hướng dẫn làm bài tập 3mục b (dạng 1). Cụ thể cách giải bài 3 như sau:
Bài giải:
Đổi 40 phút =

2
3

giờ.

Vào lúc 3 giờ đúng, kim giờ chỉ số 3, kim phút chỉ số 12. Vì 1 giờ kim phút đi được
đoạn đường bằng một vòng đông hồ, kim giờ đi được

1
12

vòng đông hồ (tức là di chuyển

được từ vạch này đến vạch tiếp theo). Vậy khi thời gian tăng thêm 40 phút (tức là
thì kim giờ di chuyển
ứng với:

1
12

x

2 1
=
3 18

2
3

đoạn đường từ khoảng cách giữa số 2 và số 3.

2
3

2
3

giờ)

đoạn đường đó

(vòng đồng hồ). Còn kim phút đã di chuyển thêm được

2
3

vòng đồng

hồ và nằm đúng vị trí số 8. Khoảng cách từ số 8 đến số 3 tính theo chiều quay của kim
đồng hồ ứng với

7
12

vòng đồng hồ.

=> Khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ tính theo chiều quay của kim
7 1 23
+ =
12 18 36

đồng hồ là:

(vòng đồng hồ).

Vì kim phút chạy nhanh hơn nên đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì khoảng cách này được thu hẹp lại còn

1
2

vòng đồng hồ.

Vậy thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:
23

1

( 36 − 2 ) :
Đáp số:

5
33

11
12

=

5
33

(giờ)

giờ.

3.2 Trường hợp 2: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một đường

thẳng thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ (Hay nói cách khác, KCBĐ
giữa hai kim <

1
2

vòng đồng hồ).

a, Bài toán mẫu: Hiện nay là 2 giờ. Thời gian ngắn nhất để kim phút và kim giờ
tạo với nhau thành một đường thẳng là bao lâu?Lúc đó là mấy giờ?

17


- Gv cho HS quan sát vị trí kim phút, kim giờ để trả lời
câu hỏi:
? Vào lúc 2 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí nào?
(Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 2)
? Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu?
(

1
6

vòng đồng hồ)

? Đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã đi hơn kim giờ
1

đoạn đường bằng bao nhiêu phần của vòng đồng hồ? ( 6 +

1
2
=
2
3

vòng đồng hồ).Nếu HS

không trả lời được câu hỏi này thì giáo viên hướng dẫn như bài mẫu mục a- 2.2 Từ đó,
muốn tìm thời gian để khoảng cách hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng ta chỉ
việc lấy quãng đường kim phút đi hơn kim giờ chia hiệu vận tốc hai kim.
Bài giải
Lúc 2 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 2. Khoảng cách giữa kim phút và kim
giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là

1
6

vòng đồng hồ.

Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã
đi hơn kim giờ là:
1
2
1
+
=
6
2

3

(vòng đồng hồ).

Hiệu vận tốc của kim phút và kim giờ là:
1–

1
12

11
12

=

( vòng đồng hồ)

Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:
2
3

Lúc đó là:

8
(
11

giờ )

8

11

(giờ)

:

11
12

=

2+

8
11

=2

Đáp số:

8
11

giờ; 2

8
11

giờ.

* Giáo viên gộp 3 bước giải, gợi ý để HS rút ra công thức:

18


(

1
6

( KCBĐ

+

1
2

)

:

+

1/2 )

:

11
12

Hiệu vt

=

8
(giờ)
11

=

Thời gian.

*Rút ra công thức tính: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng (trường hợp kim phút phải chạy vượt qua kim giờ) được tính như sau:
t = (KCBĐ +

1
11
):
2
12

b, Bài tập luyện tập:
Hiện nay là 1 giờ (hoặc 3 giờ; 4 giờ; 5 giờ; 6 giờ; 12 giờ). Hỏi sau ít nhất bao lâu
nữa khoảng cách giữa hai kim tạo thành một tạo thành một đường thẳng?
IV- KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Trong quá trình dạy bồi dưỡng, khi áp dụng kinh nghiệm trên để hướng dẫn học
sinh giải toán về chuyển động của kim đồng hồ, tôi thấy thực sự đã có hiệu quả. Dựa vào
cách xác định dạng toán mà giáo viên đã hướng dẫn và những công thức đã lập , học sinh
đã biết cách nhận diện dang bài và áp dung công thức để làm bài tập nhanh và chính xác.

Các em đã không còn thấy “sợ” khi gặp dạng toán này . Không những thế mà nhiều học
sinh còn thực sự cảm thấy hứng thú và say mê khi được giải các bài toán về chuyển động
của kim đồng hồ.
Cũng với một đề kiểm tra về kiến thức và kí năng giải toán về chuyển động của kim
đồng hồ gồm các bài tập như sau :
Bài 1: Hiện nay là 10 giờ đúng. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim trùng nhau là
bao lâu?
Bài 2: Hiện nay là 10 giờ đúng. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim thẳng hàng là
bao lâu?
Bài 3: Hiện nay là 9 giờ đúng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút nữa thì kim giờ và
kim phút vuông góc với nhau?
Bài 4:Bây giờ 15 giờ 40 phút. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu lâu nữa thì kim giờ và kim
phút làm thành một đường thẳng?

19


Với đội tuyển học sinh giỏi năm học 2012-2013, thời điểm tôi chưa áp dụng kinh
nghiêm này, kết quả thu được như sau:
Tổng Điểm 9-10
số HS
SL
TL%

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm dưới 5

SL

TL%

SL

TL%

SL

TL%

12

3

25

5

42

4

33

0

0

Trong năm học 2013-2014, khi tôi đã áp dụng những nội dung đã trình bay trong
bản kinh nghiệm này để dạy cho HS, kết quả thu được như sau:
Tổng Điểm 9-10
số HS
SL
TL%

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm dưới 5

SL

TL%

SL

TL%

SL

TL%

10

5

50

2

20

0

0

3

30

Qua kết quả trên, tôi đã cảm thấy rất mừng, dù chưa thật mĩ mãn nhưng kết quả đó
cũng đã phần nào nói lên được những nổ lực, cố gắng của bản thân đã thực sự có hiệu
quả.
C - KÊT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua thực tiễn giảng dạy môn Toán ở trường Tiểu học nói chung và bồi dưỡng học
sinh giỏi nói riêng ở lớp 4-5, tôi thấy người giáo viên luôn cần phải tìm tòi, học hỏi, trau
dồi kiến thức và kinh nghiệm để nâng cao trình độ, nghiệp vụ. Không chỉ dừng lại ở việc
tìm các bài tập khó, giáo viên giải trước rồi hướng dẫn học sinh giải sau mà quan trọng
hơn là người giáo viên phải biết sưu tầm, tập hợp, sáng tác, sắp xếp các bài toán theo
dạng và định hướng cách giải mỗi dạng bài cho học sinh. Có như vậy, mới giúp học sinh
phát triển tư duy sáng tạo, khả năng phân tích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,
rèn luyện phương pháp suy luận logic cho học sinh. Từ đó hình thành cho các em kĩ năng
tự học, tự bồi dưỡng để các em tiếp tục học tốt ở những bậc học trên.

20

Với những nội dung đã trình bày trong đề tài này, tôi hi vọng sẽ được bạn bè đông
nghiệp hưởng ứng và áp dụng trong quá trình dạy bồi dưỡng cho học sinh lớp 5 về dạng
toán Chuyển động của kim đồng hồ để từ đó giúp học sinh không còn cảm thấy lúng
túng khi gặp dạng toán này, tạo cho các em niềm vui, sự hứng thú khi học toán.
Hiện nay, việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và môn Toán lớp 5 nói riêng
đang là một việc tương đối khó khăn đối với giáo viên, nhất là về phương pháp giảng
dạy. Tôi xin được mạnh dạn kiến nghị với các cấp lãnh đạo một số ý kiến như sau:
- Về phía các nhà trường, hằng năm cần quan tâm nhiều hơn đến việc mua bổ sung
sách, báo, tài liệu tham khảo để phục vụ tốt hơn nữa cho công tác dạy và học.
- Các phòng giáo dục nên thường xuyên tổ chức các chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán, Tiếng việt để bản thân tôi cũng như tất cả giáo viên khác có điều kiện được
giao lưu, học hỏi những kinh nghiệm quý báu, những sáng kiến hay của bạn bè đồng
nghiệp để nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh
cũng như sự kì vọng của phụ huynh.
- Sau mỗi đợt chấm sáng kiến kinh nghiệm, nên giới thiệu và phổ biến những sáng
kiến kinh nghiệm hay của các cán bộ giáo viên cho bộ phận chuyên môn của các trường
học tập để về vận dụng triển khai tại trường mình.
Trên đây là một số suy nghĩ, kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tôi đã nghiên cứu, đúc
rút, vận dụng trong quá trình giảng dạy và thực sự thấy đã có hiệu quả. Tuy nhiên, do
năng lực của bản thân có hạn nên trong phạm vi đề tài này chắc chắn tôi chưa thể đưa ra
hết những dạng bài và các cách giải của dạng toán này . Vì vậy tôi rất mong được Hội
đồng khoa học các cấp cũng như bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài
này được hoàn thiện hơn nhằm phục vụ tốt hơn nữa cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
ở Tiểu học.
Hà Tĩnh, ngày 3 tháng 4 năm 2014

21


22