Luận văn lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ
HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ HAI
CHIỀU

Chuyên ngành: Vật Lý Lý Thuyết và Vật Lý Toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS Bạch Thành Công

Hà Nội

2


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1a

Nội dung

Trang

Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở bên dưới bao quanh

14

cực E = -iε
Hình 1b

Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở nửa mặt phẳng phía

14

trên
Hình 2
Hình 3.1

Mô hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin nguyên tử trong hệ tọa độ

28

Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ đơn lớp vào nhiệt

38

độ
Hình 3.2

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các

39

nhiệt độ khác nhau, trường hợp S=1, ρ=1.7
Hình 3.3

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng trong

39

không gian ba chiều, trường hợp S=1, ρ=1.7
Hình 3.4

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng

40

nhiệt độ τ=0.01
Hình 3.5

Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ

44

Hình 3.6

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở

45

cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, S=1
Hình 3.7

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở

45

cùng nhiệt độ (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp màng
mỏng từ hai lớp, η=1.2
Hình 3.8

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở

46

cùng nhiệt độ (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng từ
hai lớp, η=1.2
Hình 3.9

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở

46

cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2
Hình 3.10 Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ

3

49


Hình 3.11 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng

50

nhiệt độ, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng, η=1.2, S=1
Hình 3.12 Sự phụ thuộc của phổ năng

η = 1.2

lượng sóng spin vào vectơ

50

sóng ở các nhiệt độ khác nhau, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị
hướng ρ=1.7, , S=1
Hình 3.13 Sự phụ thuộc của phổ năng

η = 1.2

lượng sóng spin vào vectơ

51

sóng ở các nhiệt độ khác nhau (lát cắt trong không gian ba chiều),
trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng ρ=1.7, , S=1
Hình 3.14 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các

nhiệt độ khác nhau (trong không gian ba chiều), trường hợp màng
mỏng 2 lớp có dị hướng

4

51


MỤC LỤC
ERROR: REFERENCE SOURCE NOT FOUND

MỞ ĐẦU

1.

Lý do chọn đề tài:

Vật liệu nano (nano materials) là một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh
cao sôi động nhất trong thời gian gần đây. Điều đó được thể hiện bằng số các công
trình khoa học, số các bằng phát minh sáng chế, số các công ty có liên quan đến khoa
học, công nghệ nano gia tăng theo cấp số mũ. Con số ước tính về số tiền đầu tư vào
lĩnh vực này lên đến 8,6 tỷ đô la vào năm 2004. Khi ta nói đến nano là nói đến một

phần tỷ của cái gì đó, ví dụ, một nano giây là một khoảng thời gian bằng một phần tỷ
của một giây. Còn nano mà chúng ta dùng ở đây có nghĩa là nano mét, một phần tỷ
của một mét. Nói một cách rõ hơn là vật liệu chất rắn có kích thước nm vì yếu tố quan
trọng nhất mà chúng ta sẽ làm việc là vật liệu ở trạng thái rắn.
Vật liệu nano là vật liệu trong đó ít nhất có một chiều có kích thước nano mét
(nm). Về trạng thái của vật liệu, người ta phân chia thành ba trạng thái rắn, lỏng và
khí. Vật liệu nano được tập trung nghiên cứu hiện nay, chủ yếu là vật liệu rắn, sau đó
mới đến chất lỏng và chất khí. Về hình dáng vật liệu, người ta phân ra thành các loại
sau:
Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano), ví dụ: đám
nano, hạt nano, …
Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano, ví
dụ: dây nano, ống nano, …
Vật liệu nano hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước nano, ví dụ:
màng mỏng, …
Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có
một phần của vật liệu có kích thước nano, hoặc cấu trúc của nó có nano không chiều,


một chiều, hai chiều đan xen lẫn nhau.
Hiện nay màng mỏng đang là một lĩnh vực nghiên cứu mạnh mẽ của khoa học
và công nghệ vật liệu, vật lý chất rắn... với nhiều khả năng ứng dụng to lớn trong đời
sống hàng ngày, trong sản xuất. Màng mỏng (tiếng Anh: Thin film) là một hay nhiều
lớp vật liệu được chế tạo sao cho chiều dày nhỏ hơn rất nhiều so với các chiều còn lại
(chiều rộng và chiều dài). Khái niệm "mỏng" trong màng mỏng rất đa dạng, có thể chỉ
từ vài lớp nguyên tử, đến vài nanomet, hay hàng micromet. Khi chiều dày của màng
mỏng đủ nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của điện tử hoặc các chiều dài
tương tác thì tính chất của màng mỏng hoàn toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu
khối. Hiệu ứng thay đổi tính chất rõ rệt nhất về tính chất của màng mỏng là hiệu ứng
bề mặt. Khi vật liệu có kích thước nm, các số nguyên tử nằm trên bề mặt sẽ chiếm tỉ lệ

đáng kể so với tổng số nguyên tử. Chính vì vậy, các hiệu ứng có liên quan đến bề mặt,
gọi tắt là hiệu ứng bề mặt sẽ trở nên quan trọng làm cho tính chất của vật liệu có kích
thước nm khác biệt so với vật liệu ở dạng khối. Ví dụ như trong các vật liệu sắt từ, ở
vật liệu dạng khối, dị hướng từ tinh thể ảnh hưởng rất lớn đến tính chất từ, nhưng khi
chế tạo ở các màng đủ mỏng, dị hướng từ tinh thể có thể biến mất mà thay vào đó là dị
hướng từ bề mặt.
Màng vật liệu từ tính có trạng thái c vật lý ở thể rắn là với chiều dày khoảng
vài μm (nhỏ hơn 5μm), còn được biết với a tên gọi màng sắt từ hay màng từ. Màng từ
có thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp. Ứng dụng bao gồm các
lĩnh vực bộ lưu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các thành phần xử lý
và lưu trữ của máy tính. Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã thu hút rất nhiều sự
quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua. Đặc biệt là những hiệu
ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng [3], [8]. Ví dụ: hình 1 (xem
[3]) cho thấy nhiệt độ Curie giảm khi độ dày màng mỏng giảm và tỷ số hằng số mạng
tăng khi độ dày màng mỏng giảm

Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra được sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt độ
Curie vào độ dày màng mỏng bằng phương pháp phiếm hàm mật độ (DFT) và phương
pháp tích phân phiếm hàm [6], [7].
6


Dựa trên những ý tưởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và
sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm
Green nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và
Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”.

2.

Phương pháp nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai
thời điểm và phương pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để nghiên cứu tính
toán. Đồng thời, công cụ Matlab cũng được sử dụng để tính toán số và vẽ đồ thị.

3.

Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương chính
-

Chương 1: Hàm Green nhiệt độ hai thời điểm. Chương này là lý thuyết

về phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm; về Hamiltonian sắt từ và các toán
tử spin, về phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên. Đây là cơ sở lý thuyết để ta đi thiết
lập phương tình tổng quát cho màng mỏng từ tính trong chương 2.
-

Chương 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ trong gần

đúng Bogolyubov và Tiablikov. Dựa trên cơ sở lý thuyết ở chương 1, ta sẽ tính toán để
nhận chuỗi móc xích cho hàm Green xây dựng trên các toán tử spin trong màng mỏng
và ngắt chuỗi hàm Green trong gần đúng Bogolibov-Tiablikov. Đưa ra phương trình
xác định phổ năng lương sóng spin và độ từ hóa phụ thuộc nhiệt độ.
-

Chương 3: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng đơn lớp và hai

lớp spin nguyên tử. Áp dụng biểu thức được thiết lập cho màng mỏng từ gồm vài lớp

spin nguyên tử ở chương 2 để tìm biểu thức độ từ hóa và biểu thức phổ năng lượng
của sóng spin trong các trường hợp cụ thể: trường hợp màng mỏng đơn lớp với trao
đổi dị hướng trong mặt màng; trường hợp màng mỏng gồm hai lớp nguyên tử với sự
ảnh hưởng của tích phân dị hướng trong mặt lớp và giữa các lớp lên độ từ hóa và phổ
7


sóng spin.

CHƯƠNG 1
HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM

Chương 1 đưa ra tổng quan về phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm,
Hamiltonian từ và phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) làm cơ sở khoa học
cho việc tính toán ở các chương sau.
Phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm có ứng dụng rất rộng rãi trong
vật lý thống kê đó là một công cụ hữu hiệu để tính toán các đặc trưng vĩ mô và vi mô
(ví dụ năng lượng kích thích cơ bản, thời gian sống của hạt …). Trong các bài toán
động học như tính độ dẫn điện, độ cảm từ, hệ số động học … người ta cũng thường sử
dụng phương pháp hàm Green. Phương pháp hàm Green hai thời điểm cho các hệ từ
tính được mô tả trong [9].

8


1.1

Hàm tương quan thời gian và hàm Green

1.1.1 Hàm tương quan thời gian

Cho A(t) và B(t’) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg
iHt
− iHt
; B( t ') = e iHt ' B( t ') e − iHt '
(1.1) A( t ) = e A( 0 ) e

Ở đây H là Hamiltonian của hệ (ta N coi H chứa cả số hạng -λ, với λ là hoá thế
và là toán tử số hạt tổng cộng trong hệ). Trong trường hợp tổng quát A, B có thể là
tích của các hàm sóng lượng tử hoá hay các toán tử sinh huỷ hạt. Phương trình chuyển
động cho các toán tử có dạng:
dA( t )
= e iHt [ iHA( 0 ) − A( 0 ) iH ] e − iHt
dt
dA( t )
(1.2) i
= [ A( t ) , H ] = A( t ) H − HA( t )
dt
Giao hoán tử ở phía bên phải của (1.2) có thể chứa nhiều số toán tử tuỳ thuộc
hay

vào dạng của Hamiltonian H .
Ta định nghĩa hàm tương quan thời gian của hai toán tử A(t), B(t’) là
FAB(t,t’)= A( t ) B( t ')
(1.3)
Ngoặc nhọn <…> biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H.
<A> = Tr (ρ A)
Ở đây ρ là toán tử thống kê ( Tr là ký hiệu lấy vết – Trace)
, θ=kBT

 H

exp − 
 θ 
(1.4b) ρ =
Q
Q còn là tổng thống kê
(

 −H
 θ
1.4c) Q = Tr  e


Mối quan hệ giữa tổng







thống kê và thế nhiệt động Ω thể hiện qua đẳng thức
(

H

−

Ω = −θ ln9 Tre θ









(1.4a)


1.4d)
( Hoặc = Tr () = Q ). Toán tử − Ω
H thống kê còn được viết là
−θ
e θ
(1.5) e Ω − H
Do tính chất bất biến của vết

ρ =e θ

– Tr với hoán vị tuần hoàn các toán tử dưới dấu vết Tr nên hàm tương quan (1.3) chỉ
phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật vậy
H
H
H



− 
− 

− 


iHt
− iH ( t − t ' )
− iHt ' θ 
iH ( t − t ' )
− iH ( t − t ' )
θ
Tr  A( t ) B ( t ') e  = Tr e A( 0 ) e
B( 0) e
e  = Tr e
A( 0 ) e
B( 0) e θ 







=

H

−

−iH ( t −t ')
iH ( t −t ') θ
Tr  A( 0 ) e

B( 0) e
e
Hay FAB(t,t’) = 
FAB(t-t’)





(1.6)

Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tương quan thời gian trở thành trung bình
thống kê thông thường
F (t , t ' ) = F AB (0) = A(0) B(0)
(1.7) AB
Lấy đạo hàm của hàm tương quan thời gian (1.3) theo một biến thời gian (t
chẳng hạn) ta sẽ có phương trình mô tả sự biến đổi của nó theo thời gian (xem (1.2)).
dFAB ( t , t ') d
dA( t )
=
A( t ) B ( t ') =
B ( t ')
dt
dt
dt
d
(1.8)
i
A( t ) B ( t ') = [ A( t ) , H ] B( t ')
dt

Phía bên phải của (1.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một
Hay

số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tương quan bậc cao hơn. Hoàn toàn tương tự
nếu lấy đạo hàm bên phải của (1.8) theo t ta được hệ các phương trình chuyển động
kiểu móc xích
d
[ A( t ) , H ] B( t ') = [ [ A( t ) , H ], H ] B( t ')
dt
Hệ móc xích các phương trình chuyển động (1.8), (1.9) không giải chính xác
(1.9) i

được mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ ngắt chuỗi phương trình
10


đó ở một bước nào đó để nhận được một hệ phương trình hữu hạn sau đó giải hệ để
tìm biểu thức cho hàm tương quan.

1.1.2 Hàm Green
Chúng ta định nghĩa hàm Green chậm (ký hiệu r – retarded), nhanh (a –
advanced) và nguyên nhân (c – causal) như sau:

(r)
(1.10a) G AB ( t , t ') =

A( t ) | B( t ')

( r)

= θ ( t − t ') [ A( t ) , B( t ') ] ξ

( a)
(1.10b) G AB ( t , t ') =

A( t ) | B( t ')

( a)

= −θ ( t '−t ) [ A( t ) , B( t ') ] ξ

( c)
(1.10c) G AB ( t , t ') = A( t ) | B( t ')

( c)

= Tξ A( t ) B( t ')

Ở đây ký hiệu giao hoán tử và [T,]ξξ trật tự thời gian cũng như hàm bậc thang
θ(x) có ý nghĩa là
(1.11a)

[ A( t ) , B( t ') ] ξ

= A( t ) B( t ') − ξB( t ') A( t )

T A( t ) B( t ') = θ ( t − t ') A( t ) B( t ') + ξθ ( t '−t ) B( t ') A( t )
(1.11b) ξ
(1.11c) θ ( x ) = 1, x > 0
0, x < 0

Tham số ξ = 1 hay -1 được
chọn tuỳ theo sự tiện lợi không phụ thuộc vào định luật giao hoán cho A, B. Thông
thường người ta chọn ξ = 1 nếu các toán tử A, B thể hiện qua các toán tử kiểu Bose và
ξ = -1 nếu chúng được thể hiện qua các toán tử kiểu Fermi.
Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị qua các hàm
tương quan (1.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).
(j = r, a, c) G ( j ) ( t , t ') = G ( j ) ( t − t ')
AB
AB
(1.12)
Theo định nghĩa hàm Green

A| B

phụ thuộc tuyến tính vào các tham số
trước toán tử A, B hay
11

( j)


(1.13) α1 A1 + α 2 A2 | B

( j)

= α1 A1 | B

( j)

+ α 2 A2 | B

( j)

Với α1, α2 là các số tuỳ ý.
Bây giờ ta sẽ lập phương trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo hàm
(1.10a), (1.10b), (1.10c) theo t. Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc thang
θ(t). Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t)
()
(1.14)

θ (t) =

ε t→ +0
εt '
∫ e δ ( t ') dt '
−∞

Ở đây δ(t) là hàm delta – Dirac. Chú ý rằng theo (1.14)
dθ (t )
= δ (t )
dt
Sử dụng (1.15), phương trình chuyển động cho toán tử (1.2), ta được phương
(1.15)

trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)
i

d
dt

A( t ) | B( t ')

( j)

= iδ ( t − t ') [ A( t ) , B( t ') ] ξ +

[ A( t ) , H ] | B( t ') ( j )
(j=r,a,c)

(1.16)

Phương trình (1.16) khác với phương trình chuyển động (1.8) cho hàm tương
quan ở chỗ bên phải có số hạng thứ nhất với hệ số là hàm delta. Phương trình (1.16)
giống với phương trình toán lý cho hàm truyền (hàm Green) cho nên các biểu thức
(1.10a), (1.10b), (1.10c) được gọi là định nghĩa cho hàm Green nhiệt độ hai thời điểm.
Tương tự như khi nhận được chuỗi phương trình móc xích cho hàm tương quan
thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao ở vế bên phải
của (1.16) (số hạng thứ hai).
i

d
dt

[ A(t),H ]

B(t')

(j)

= iδ(t − t') [[ A(t),H ] B(t')]ξ +

[ [ A(t),H ] ,H ]

B(t')

(j)

(1.17)
(1.17) là phương trình
chuyển động cho hàm Green .

[ A(t),H ]

B(t')

(j)

Nếu lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong
12


bên phải của (1.17)) và tiếp tục quá trình đó ta sẽ nhận được chuỗi phương trình móc
xích cho các hàm Green
A|B

(j)

;

[ A,H ]

B

(j)

;

[ [ A,H ] ,H ]

B

(j)

...

Chuỗi
phương trình móc xích cho ta loại hàm Green chậm, nhanh và nguyên nhân đều như
nhau

1.2

Biểu diễn Fourier cho hàm Green

Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như các hàm tương quan) ta có thể
phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier
(1.18a) G ( j ) ( t − t ') =
AB
gọi

là

ảnh

Fourier của nguyên hàm .

∞

( j)

∫ G AB ( E ) e

− iE ( t − t ')

dE

−∞

( j()j )
GGAB
Et)' )
AB(t(−

Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm
∞

(1.18b) G ( j ) ( E ) = 1 G ( j ) ( t ) e iE ( t ) dt
AB
2π ∫ AB
−∞
Với j = r, a, c

Sử dụng (1.18a) ta có thể viết phương trình chuyển động cho hàm Green
(1.16):
∞
∞
i ∞ − iE(t − t')
(j) − iE(t − t')
e
dE =
dE [ A,B ] ξ + ∫
∫ E A|B
∫ e
E
2π − ∞
−∞
−∞

[ A,H ]

B

(j) − iE(t − t')
e
dE
E

Hay
i
(1.19) E A | B ( j ) =
[ A, B ] ξ +
E

2π
Ở đây, ký hiệu biểu thị hàm G ( j ) ( E()j )(j)
AAB
|B
[ A,H
] BE E
Green ảnh , còn là hàm Green ảnh

[ A, H ]

B

( j)
E

của hàm Green bậc cao tương ứng. Ngoài ra, ta đã sử dụng biểu diễn sau cho hàm
13


delta – Dirac
∞

Phương

(1.20) δ ( t − t ') = 1 e − iE ( t − t ') dE
2π −∫∞
trình đạo

hàm Green ảnh (1.19) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm Green trong
biểu diễn E (biểu diễn năng lượng).

Để giải phương trình cho hàm G ( j ) ( E )
AB
Green (1.16) ta cũng cần biết điều
kiện biên theo t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green
nhanh, chậm, nguyên nhân. Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ định nghĩa của
chúng (1.10a), (1.10b), (1.10c). Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của
hàm Green , khi đó vai trò điều kiện biên sẽ là biểu diễn phổ cho hàm Green hoặc hệ
thức tán sắc (hệ thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green ảnh, điều đó có
nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green).
Chúng ta cần thấy rằng sự xuất hiện chuỗi phương trình móc xích (1.16), (1.17)
… cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tương tác với nhau: ta không thể xét một
hạt này tách rời khỏi các hạt khác. Nhiệm vụ chính là phải tìm một cách gần đúng để
giải chuỗi phương trình móc xích vô hạn đó. Cách thông thường là ngắt chuỗi hàm
Green ở một bước nào đó để nhận được hệ phương trình hữu hạn cho các hàm Green
rồi giải.

1.3

Biểu diễn phổ cho hàm Green

1.3.1 Biểu diễn phổ cho hàm tương quan
Ta biểu thị một cách hình thức Eν và Cν là các giá trị riêng và hàm riêng của
Hamiltonian H của hệ
(H - Eν)Cν = 0

(1.21)

Hệ các hàm riêng là hệ đầy do { Cν } đó ta có thể viết giá trị trung bình thống
kê của tích hai toán tử

B ( t ') A ( t )


 H
 exp  − θ
= Tr  14 
Q






÷
÷
B t' A t ÷
( ) ( )
÷
÷



Vì vết (Tr) là tổng các thành phần ma trận chéo nên

(
ν

)

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , B ( t ' ) A ( t ) Cν e − Eν

(1.22)

θ

(
ν µ

= Q −1 ∑ Cν* , B ( t ') Cµ
,

) ( Cµ , A ( t ) Cν ) e
*

Q là tổng thống kê (1.4c). Chú ý rằng
( eiHt Cν = eiEν t Cν
1.23)
Và theo định nghĩa (1.1) về các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, (1.22) trở
thành:

(
ν µ

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , eiHt ' B ( 0 ) e −iHt 'Cµ
,

(
ν µ

)

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , B ( 0 ) Cµ e
,

(

) ( Cµ , e
*

iHt

)

A ( 0 ) e −iHt Cν e − Eν

) C * , A ( 0 ) C ei( Eµ − Eν ) t e − Eν
( µ
ν)

i Eν − Eµ t '

(
ν µ

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , B ( 0 ) C µ
,

) ( Cµ , A ( 0) Cν ) e
*

(

θ

θ

)

−i Eν − Eµ ( t −t ' ) − Eν θ
e

(1.24)
Tính toán hoàn toàn tương tự A ( t ) B ( t ')
cho hàm tương quan

(
µν

A ( t ) B ( t ') = Q −1 ∑ Cµ* , A ( 0 ) Cν
,

) ( Cν , B ( 0 ) Cµ )e
*

(

)

−i Eµ − Eν ( t '−t ) − Eµ θ

e

Hay viết theo thứ tự giống (1.24)

(

)(

) −i( E

A( t ) B( t ') = Q −1 ∑ Cν* , B( 0 ) C µ C µ* , A( 0 ) Cν e
ν ,µ

)

ν − E µ ( t − t ' ) − Eν
e

θ − ( E µ − Eν ) θ

e

(1.25)
Ta đưa vào khái niệm hàm cường độ phổ IAB(ω)
15

− Eν θ


(

1.26)

I AB ( ω ) = Q

−1

∑(

ν ,µ

Cν* , B

( 0 ) Cµ ) (

Cµ* , A

( 0 ) Cν )

E
− ν
e θδ

( Eν − Eµ − ω )

Thì hàm tương quan (1.24), (1.25) được biểu diễn trong dạng tích phân Fourier
∞

(1.27a) B ( t ') A ( t ) =
(1.27b) A ( t ) B ( t ') =

∞

∫ I AB ( ω ) e

−iω ( t −t ' )

dω

−∞

ω θ −iω ( t −t ')

∫ I AB ( ω ) e

e

dω

−∞

(1.27a), (1.27b)

còn được gọi là biểu diễn phổ cho hàm tương quan thời gian.
Khi t = t’ ta có công thức cho trung bình các toán tử dưới dáng tích phân
(1.28a) B ( 0 ) A ( 0 ) =

(1.27a)

∫

I AB ( ω ) d ω

−∞
∞

(1.28b) A ( 0 ) B ( 0 ) =
Nhân

∞

∫

I AB ( ω )

ω
e θ dω

−∞

và

(1.28a) với ξ và lấy (1.27b), (1.28b) trừ đi chúng, một cách tương ứng ta được biểu
diễn phổ cho trung bình của các giao hoán tử.
(1.2
9a)

[ A( t ) , B( t ') ] ξ
(

1.29b)

=

∫ I AB ( ω ) (e

∞

ωθ

−∞

[ A( 0) , B( 0) ] ξ

=

∫ I AB ( ω ) (e

∞

−∞

)

− ξ e − iω ( t − t ') dω
ωθ

)

− ξ dω

Đó là các biểu thức chính xác.Tóm lại (1.27a), (1.27b), (1.29a), (1.29b) là biểu
diễn phổ cho các hàm tương quan và cho trung bình của các giao hoán tử.

1.3.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green
Hàm Green chậm trong biểu diễn năng lượng ((1.18b), (1.11a))

Theo

1
G(r) ( E) =
AB

2π

∞

∫e

iE ( t − t ')

dtθ ( t − t ') A( t ) B( t ') − ξB( t ') A( t )

−∞

(1.29a) thì
16


∫ dωI AB ( ω ) (e

)
dte − iωt + iEt θ ( t )
∫
2π ∞
(
−∞
∞
1 −∞
(
r)
ω
θ
(
)
G AB ( E ) =
d
ω
I
(
ω
)
e
−
ξ
dte i ( E −ω ) tθ ( t )
AB
∫
∫
1.30)
2π

∞

1
G(r) ( E) =
AB

ωθ

−ξ

−∞

∞

−∞

Bây giờ ta sử dụng biểu diễn sau cho hàm gián đoạn θ(t) (đặt (1.20) vào
(1.14)):
(ε> 0)

t

∞

1
θ ( t ) = ∫ e dt '
e − iEt ' dE
∫
∞2π −−iEt
e ∞

(1.31) θ ( t )−=∞ i
dE
2π ∫ E + iε
−∞
Ngược lại ta có thể
khi
t >0
1
θ (t ) = 
khi
t<0
chứng minh theo biểu
0
εt '

diễn tích phân (1.31) thì như sau: Sử
dụng tính chất của hàm biến phức cho
rằng E là đại lượng phức.

∫ f ( z ) dz = 2πi Re sf ( z )

Áp dụng định lý về thặng γ
dư:

z = z0

(1.32)
z0 là cực của hàm f(z).
f(z) là hàm holomorphic trong
mặt phẳng phức trừ ở các cực.

γ là đường chu tuyến bao quanh cực z0, có chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Khi t > 0 ta có thể chọn đường lấy tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức
E ở bên dưới bao quanh cực E = -iε (hình vẽ 1.a)
i dE.e − iEt
θ (t ) = −
∫
i 2π γ E + i−ε iEt
θ (t ) = −
2πi Re s e
2π

(

θ(t) = 1

Khi t < 0 đường lấy tích phân
nằm khép kín trong nửa mặt phẳng phía
bên trên (hình 1.b). Khi đó đường lấy
17

)


tích phân không chứa điểm cực E = -iε, hàm dưới dấu tích phân là hàm giải tích trong
nửa mặt phẳng phức phía trên và θ(t) = 0, đó là điều phải chứng minh.
Tích phân theo t trong công thức (1.30) trở thành:
∞

∞

∞

i
e −iE ' t
∫
∫
∫ E '+ iε dE '
2
π
∞
∞
∞
∞ −∞
−∞
−∞
dE ' i
dE '
i
i( E −ω ) t
−i ( E '− E +ω ) t
dte
θ
t
=
de
=
iδ ( E '− E + ω ) =
( ) ∫
∫
∫

∫
E '+ iε 2π −∞
E '+ iε
E − ω + iε
−∞
−∞
−∞
dte (

i E −ω ) t

θ ( t) =

dte (

i E −ω ) t

(1.33)
Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ được biểu diễn qua hàm
cường độ phổ như sau:
(
1.34)

i
G(r) ( E) =
AB

2π

∫ (e

∞

ωθ

)

− ξ ..I AB ( ω )

−∞

dω
E − ω + iε

Bằng cách hoàn toàn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh
∞

(

)

dω
(1.35) G ( a ) ( E ) = i
eω θ − ξ ..I AB ( ω )
∫
AB
2π
E − ω − iε
−∞
((1.35) chỉ

khác (1.34) khi thay +iε → -iε)
Trong (1.33) (1.35) E được coi là ÷ thực. Bây giờ nếu ta coi E là đại lượng
phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một công thức
G AB ( E ) =

i
2π

(E)
(∫ eω θ − ξ ).I AB (ω ) Ed−ωω = GG AB
(a)
(E)

∞

−∞

(r )

,

Im E > 0

 AB

,

Im E < 0
(1.36)

(1.34) (1.36) được gọi là biểu diễn ÷ phổ cho hàm Green.
Hàm Green chậm và nhanh là G ( ar ) ( E )
AB
các hàm giải tích trong nửa mặt phẳng
trên (ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương ứng. Cả hai hàm đó có thể xem như một hàm
giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều khi ta không
viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a).
18


Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân
∞
 eω θ

ξ
(1.37) G ( c ) ( E ) = i
I
(
ω
)
−

dω
AB
AB
2π −∫∞
 E − ω + iε E − ω − iε 
Sử dụng

biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac

1 ( ε →1 0 )
= P iπδ ( x )
x
38) x ± iε
(1.

P – ký hiệu chỉ giá trị chính
Sử dụng (1.38) ta viết (1.37) trong dạng khác

AB

∞


1
1




I AB ( ω ) eω θ  P
− iπδ ( E − ω )  − ξ  P
+ iπδ ( E − ω )  dω
2π
 E −ω

 E −ω


−∞

i
G ( c) ( E ) =

∫

i
G ( c) ( E ) =
AB

∫ (e

∞

2π − ∞

ωθ

)


1
− ξ I AB ( ω )  P
− iπ
 E − ω

eω θ + ξ


δ ( E − ω ) dω


eω θ − ξ
(1.39)

Hàm Green nguyên nhân (1.39) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ
hữu hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử
dụng nó. Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi.
Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.36) là ta có thể xác định cường
độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)
(1.40) I AB ( ω ) = { G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε )}
Thật

vậy,

1
eω θ − ξ

theo (1.36)
i
G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε ) =
2π

∞

∫

−∞

(eω ' θ − ξ )I AB (ω') dω ' ω − ω1 '+iε − ω − ω1 '−iε 

Áp dụng (1.38) cho biểu thức trong ngoặc móc, ta được
19


i
G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε ) =
2π

∫ (e

∞

ω' θ

)

− ξ I AB ( ω ') dω ' ( − 2iπ )δ ( ω − ω ')

−∞

(

)

G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε ) = eω θ − ξ I AB ( ω )
Đó là điều phải chứng minh.
Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ dàng tính được trung bình thống kê tích các toán tử theo
(1.8a) hoặc (1.8b). Thí dụ (1.8b) được viết là
(
1.41)

A( 0 ) B( 0 ) =

∞

∫

eω θ

ωθ
−ξ
−∞ e

{ G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε )}dω

Nếu A là toán tử sinh hạt A = nˆ = a + a a+, B là toán tử huỷ hạt B = a thì (1.20)
cho ta cách tính giá trị trung bình số hạt ở một nhiệt độ xác định.

1.4

Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin

Hamiltonian

Heisenberg:Trước Sj j hết chúng ta nghiên cứu hiện tượng sắt từ

trong tinh thể từ trật tự gồm các nguyên tử từ có spin đứng tại nút j của mạng tinh thể
hoàn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong hệ
toạ độ tinh thể). Các spin tại nút i và j tương tác trao đổi với nhau và độ lớn của tương
tác đó được đặc trưng bởi tích phân trao đổi Jij. Xét về mặt vi mô, nguyên nhân của

tương tác trao đổi là sự phủ của các hàm sóng quỹ đạo của các điện tử thuộc các lớp
vỏ điện tử không chiếm đầy hoàn toàn của các nguyên tử từ (ở đây nói về tương tác
trao đổi trực tiếp, ngoài ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp qua các ion hoặc
điện tử trung gian).
Hamiltonian mô tả hệ spin định xứ tương tác trao đổi với nhau và được đặt
trong trường ngoài được viết là:
z
(1.42) H = − ∑ J ij S i S j − gµ B h∑ S i
i≠ j

Tổng thứ nhất lấy
theo mọi cặp (i, j) khác nhau; h –

i

hij e 

µB =

2mc

20


cường độ từ trường ngoài, g – nhân tử Lande, Magneton Bohr. Số hạng thứ hai là số
hạng Zeeman mô tả tương tác của hệ spin với từ trường ngoài hướng song song với
trục z. Vì Jij giảm rất nhanh khi khoảng cách giữa và tăng lên nên trong tính toán
người ta thường dùng các phép gần đúng sau:
+ Gần đúng lân cận gần nhất (nearest neigbour approximation – viết tắt là n.n)
Jij = J1 khi i và j là lân cận gần nhất, Jij = 0 khi i ≠ j không là lân cận gần nhất.

+ Gần đúng đến lân cận thứ hai (n.n.n – next nearest neigbour)
Jij = J1 (i, j là lân cận gần nhất)
Jij = J2 (i, j là lân cận thứ hai)
Jij = 0 (trong các trường hợp khác)
Để thấy rõ đóng góp vào tương tác của các spin người ta hay viết (1.42) như
sau:
z
(1.43) H = −∑ ∑ J α S j S j + δ α − gµ B h∑ S j

Chỉ số α chỉ các

j δα

j

δα

loại spin (α=1 là n.n, α=2 là n.n.n…) là lân cận loại nào tương ứng với tích phân trao
đổi J1, J2 … vectơ kể từ nút j tới các nút lân cận biến α.
Hamiltonian (1.42), (1.43) có thể mô tả một số loại trật tự từ
- Sắt từ (ferromagnetism – F) khi J1> 0.
- Phản sắt từ (Antiferromagnetism – AF) khi J1< 0.
- Cấu trúc từ xoắn (Helimagnetism – H) khi tính tới cả tương tác n.n.n, ngoài ra
J1, J2 khác dấu nhau.
Trật tự từ được đặc trưng bởi S z “tham số trật tự”. Thí dụ trong trường
hợp sắt từ ở trạng thái cơ bản tất cả các
moment spin nguyên tử song song với
nhau nên ta chọn tham số trật tự là . Điều đó có thể thấy rõ ngay vì thành phần z của
moment từ tổng cộng
(1. M z = gµ S z = Ngµ S z

∑ B j
B
j
44)
21


Sz
Mz
σ=
=
NgµSBzS
S

z

S

Ta chọn là tham số trật tự hoặc σ là tham số trật tự cũng được (σ còn được gọi
là từ độ tỷ đối). Vì chỉ khác với M z một hằng số nên nhiều khi người ta cũng gọi nó là
độ từ hoá (khi dùng thuật ngữ này ta hiểu N là số nguyên tử hay số spin trong một đơn
22


vị thể tích).
Tham số trật tự trong trường hợp AF được chọn là độ từ hoá của một trong hai
phân mạng.
Trường hợp cấu trúc spin xoắn SQj tham số trật tự có thể chọn là ảnh Fourier
của spin ở vecto sóng ứng với bước của cấu trúc xoắn.
Các

toán

tử

spin

(Spin S x , SS yj , S z
j

operators): Toán tử spin nguyên tử

j

j

tại nút j () có ba thành phần là . Các thành phần đó tuân theo định luật giao hoán
(tương tự như các định luật giao hoán cho moment cơ học quỹ đạo)
y x
x y
z
(1.45) S j S j ' − S j ' S j = iS j δ jj '
y z
z y
x
j = iS jj δ
Ở đây là ký hiệu S j S j ' −1S j ' Skhi
= jjj''
δ jjz' =x  x z
y

S j S j ' −0S j ' Skhi
j = iS jj δ≠jjj' '
Kronecker

Ngoài ra bình phương toán tử spin bằng S(S+1)

(

)

(1.46) S j , S j =
Thành phần z của

α )2
(
S
∑ j = S ( S + 1)

α = x, y , z

toán tử spin trong biểu diễn mà nó là chéo hoá chỉ có thể có (2S + 1) giá trị. Điều này
có thể thể hiện bằng công thức
(1.47)
Thay cho các toán tử (α =

S

∏

r = −S

(S zf − r ) = 0
S ±jS,αjS zj

x, y, z) người ta thường sử dụng các

toán tử

( )

+
(1.48) S ±j = S xj ± iS y ;  S +j = S −j ; S zj
j


y
+
+
x
−
−
z
Biểu thị ngược lại
S jS,jS, jS,jS j
qua và đặt vào (1.45) ta được biểu

thức giao hoán sau cho toán tử
+ −
− +
z

(1.49) S j S j ' − S j ' S j = 2 S j δ jj '
S ±j S zj' − S zj' S ±j = S ±j δ jj '
Sử dụng (1.46), (1.48),

23


(1.49) ta còn có

( )2
2
S +j S −j = S ( S + 1) + S zj − ( S zj )

(1.50) S −j S +j = S ( S + 1) − S zj − S zj

1.5

Sóng spin: gần đúng pha ngẫu nhiên (Random – phase –

Approximation)
Trong phương pháp trường phân tử của Weiss hay phương pháp trường trung
bình Hamiltonian HMF có dạng đơn ion, mỗi spin S j chịu ảnh hưởng của các spin khác
thông qua tác động của một trường trung bình đồng nhất, không thay đổi theo thời
gian. Từ đó ta thấy tính chất tập thể của hệ spin được thể hiện trong phép TTB rất hạn
chế. Ta có thể chỉ ra hạn chế đó trên một suy luận sau: giả sử ở T = 0 các nguyên tử
chất rắn đông cứng ở các vị trí cân bằng, đối với chất sắt từ thì các spin là songsong
với nhau. Khi nhiệt độ tăng lên các nguyên tử dao động xung quanh vị trí cân bằng,
nguyên tử này ảnh hưởng lên nguyên tử khác thông qua thế năng tương tác nguyên tử
- nguyên tử làm xuất hiện “sóng mạng” ở nhiệt độ thấp và khi lượng tử sóng đó ta có
chuẩn hạt phonon. Tương tự như vậy ở T ≠ 0, vectơ spin của nguyên tử ở một nút

mạng nào đó sẽ lệch khỏi định hướng của nó khi T = 0, vì tương tác trao đổi giữa các
spin ở nút mạng khác nhau có xu hướng giữ các vectơ spin song song với nhau
(trường hợp sắt từ) cho nên định hướng của các spin lân cận cũng bị ảnh hưởng. Hệ
quả là sẽ lan truyền “sóng spin” trong tinh thể sắt từ và nếu lượng tử hoá ta có khái
niệm magnon. Gần đúng TTB là định xứ (H MF là tổng của các số hạng đơn ion) không
mô tả được trạng thái tập thể kiểu “sóng spin” kể trên.
Để nghiên cứu sóng spin ta viết Hamiltonian (1.42) trong gần đúng lân cận gần
nhất

[

]

y y
z z
x x
z
(1.51) H = − J ∑∑ S j S j + δ + S j S j + δ + S j S j + δ − gµ B h∑ S j
j δ

j

y
±
x
Chuyển sang các biến là các S j = S j ± S j

toán tử
Hamiltonian Heisenberg trở thành

(

)

1


H = − J ∑∑  S zj S zj + δ + S +j S −j + δ + S −j S +j + δ  − gµ B h∑ S zj
2 24

j δ 
j


(1.52)
Các toán tử Sz, S± tuân theo định luật giao hoán

[

]

[

]

( S + , S − = 2S z δ ; S z , S ± = ± S ±δ
j
j'
j j, j'
j

j'
j j, j '
1.53)
Bây giờ ta viết phương trình S + chuyển động cho ảnh Fourier của hàm
j
Green xây dựng trên các toán tử và B j’ (ta chưa đưa ra dạng chính xác của toán
tử Bj’). Theo phương trình chuyển động trong biểu diễn Fourier (1.19)

[

]

[

]

i
S +j , B j ' δ jj ' + S +j , H B j '
2
π
E
E
+
Giao hoán tử của với H được tính S dựa trên (1.52) và (1.53)
(1.54) E S +j B j '

=

[S ,H ] = − J ∑∑ [S
+

j

j1 δ

j

] 2[

] 2[

]

1 + + −
1 + − +

+ z z
j ,S j1 S j1 + δ + S j ,S j1 S j1 + δ + S j ,S j1 S j1 + δ 

[

+ z
(1.55) − gμB h ∑ S j ,S j1
j1

Dễ dàng tính các toán tử

]

trong (1.55), thí dụ
a.

[S

] [

]

[

+ z z
+ z z
z + z
j ,S j1 S j1 + δ = S j ,S j1 S j1 + δ + S j1 S j ,S j1 + δ

]

(ở đây ta sử dụng đẳng thức [a,bc] = [a,b]c + b[a,c])

b.
c.
d. (1.56)

[S ,S S ] = −S S δ − S S δ
[S ,S S ] = S [S ,S ] = 2S S δ
[S ,S S ] = [S ,S ]S = 2S S δ
[S ,S ] = −S δ
+
j

z z

j1 j1 + δ

+
j

+ −
j1 j1 + δ

+
j

+ z
j j +δ

+
j1

− +
j1 j1 + δ

+
j

+
j

+
j

j , j1

−
j1 + δ

−
j1

+
j1 + δ

z
j −δ

+
j j , j1 + δ

+
j −δ

z
j j , j1 + δ

z +
j j +δ

j , j1

+
j j , j1

z
j1

Đặt các giao hoán tử đó vào (1.55) ta có

[

]

z
i+
B j ' δ − J+∑J ∑S zj SS+j ++ δS z| B j ' | B + gµ B+hJ ∑
S +j | SBzj ' S + | B
E S +j | B j−' J ∑ = S j + δ SS +jj ,| B
j ' Ej, j '
j j + δ Ej '
j'
j +δ E j
2π
E
E
δ
δ δ
δ

E

(1.57)

25