Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago:

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh
Ngày gửi bài: 05/08/2007
Số lượt đọc: 2353
Bài 2: Một số cơ sở hình thành cách chứng minh định lý
1. Các diện tích hình vuông trên khung lưới
Đây là cách tính các diện tích của các hình vuông trên một khung lưới hình ô vuông,
bao gồm cả những hình vuông “nghiêng”(như hình vuông màu vàng trên hình bên) .
Các chiến lược mà bạn dùng để khai triển cho việc tính toán diện tích các hình
vuông nghiêng này có thể là một cách mới để chứng minh định lý Pitago.
Dựng hình và kiểm tra
1. Bạn hãy mở file Sketch Squarefinder.gps.
2. Di chuyển điểm A hoặc B để thay đổi góc nghiêng của hình
vuông này so với khung lưới.
Chú ý: khi hình vuông màu vàng bị nghiêng đi 1 góc so với lưới, thì
sẽ có một hình vuông lớn hơn hình nét đứt bao quanh nó (như
hình trên). Độ dài đoạn AB có thể là 1 số nguyên hoặc không phải
là một số nguyên.
3. Bây giờ bạn hãy kéo điểm A hoặc điểm B để làm cho diện tích của hình vuông là
khoảng 5 đơn vị vuông. Khi bạn khá chắc chắn về diện tích hình vuông của mình
vừa thay đổi, hãy kích chuột vào nút Show Area Yellow Square trên màn hình để
kiểm tra xem sự thay đổi của bạn chính xác đến đâu. Nếu diện tích hình vuông của
bạn chưa chính xác, thì bạn kích chuột vào nút Hide Area Yellow Square và thử
làm lại.
(Hình vuông có diện tích bằng 5 thì có độ dài của cạnh là căn bậc hai của 5. Tính
toán này trong Sketch chỉ là một phép tính xấp xỉ : ≈ 2.24)
Tìm hiểu thêm
1.
– Bạn viết một biểu thức tính diện tích hình vuông nghiêng theo 2
số hạng a và b.
- Gọi độ dài cạnh của hình vuông đó là c, và hãy viết lại biểu thức
đó theo 3 số hạng a, b, c.

- Làm tối giản biểu thức này.
- So sánh xem hai biểu thức này có bằng nhau hay không?
2. Có một số hình vuông nghiêng có độ dài cạnh là 1 số nguyên. Hãy tìm một số
hình như thế
3. Có thể tạo được hình vuông nghiêng trên khung lưới có diện tích bằng 3 không?
4. Liệu có thể tạo ra 1 hình vuông trên khung lưới có diện tích không phải là một số
nguyên không? Hãy giả thích.
2. Những trường hợp khó lý giải trong chứng minh định lý pitago bằng hình
ảnh
- Có một số cách thể hiện việc chứng minh định lý Pitago bằng hình ảnh thì khó lý
giải .Trong các cách chứng mình này- được gọi cách “cắt ra từng mảnh”, bạn sẽ bắt
đầu từ một hình ảnh có các mảnh rời rạc, chúng là các mảnh được khớp lại với
nhau theo 1 vế của định lý Pitago (như a²+b²). Bạn sẽ cắt các mảnh đó ra và sắp
xếp lại chúng theo một vế khác của định lý (là c² ).
- Việc sắp xếp các mảnh rời rạc này thì đơn giản, nhưng chưa đủ để chứng minh
được định lý. Tuy nhiên, các cách làm này này có thể dẫn đến các cách chứng minh
định lý nếu bạn có thể lý giải được tại sao lại làm như vậy.
Cách dựng hình và kiểm tra
- Mở file Pythgorean Puzzles.gsp . Xem các cách biểu diễn sau:
1. Hãy viết 2 biểu thức khác nhau để tính diện tích của một hình vuông có
độ dài cạnh là a+b như hình bên dưới:
+ Một biểu thức biểu diễn theo 2 số hạng a và b:
dt = (a+b)² =a² + b² - 2ab (1)
+ Một biểu thức khác viết theo 3 số hạng a,b,c, ta thấy: diện tích hình vuông này
bằng diện tích hình vuông màu trắng (có cạnh là c) + diện tích của 4 tam giác
vuông , nên suy ra:
dt = c² + 2ab (2).
Từ (1) và (2) ta có dt = c² + 2ab = a² + b² - 2ab.
Thu gọn đẳng thức trên ta được c² = a² + b².
Theo hình vẽ ta thấy rằng c là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là hai cạnh của

tam giác vuông đó. Vậy đây cũng là một cách để chứng minh định lý Pitago.
2. Một biểu thức tính được diện tích hình vuông có cạnh là c :
dt = c² . (3).
- Viết một biểu thức khác tính diện tích hình vuông này theo hai số hạng
a, b: Theo hình vẽ ta thấy
dt = diện tích hình vuông màu
vàng + diện tích của 4 tam
giácvuông :
↔ dt = (b-a)² + 2ab= a² + b² (4)
Từ (3) và (4) ta có đẳng thức
sau :
dt = c² = a² +b²
Mà theo hình vẽ trên ta có c, là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là độ dài hai
cạnh bên của tam giác vuông đó. Do đó dây cũng là 1 cách để chứng minh định lý
Pitago
3. Cách tạo công cụ Translator
- Một cách thông thường để chứng minh định lý Pitago là cắt các miếng của các
hình vuông trên các cạnh bên ra và sắp xếp lại cho khớp với hình vuông trên cạnh
huyền.
- Trong phần này, bạn sẽ tạo ra được một công cụ theo ý mình (Custom tool), công
cụ này cho phép bạn làm được những việc giống như menu Transform, nhưng
thuận tiện hơn: sử dụng công cụ này để tạo các bản sao của 1 hình, và bản sao này
có thể di chuyển trượt theo hình ban đầu. Công cụ có tên là Translator
Cách dựng.
1. Vẽ một tứ giác ABCD tùy ý và miền trong của nó.
2. Vẽ điểm E tại một khoảng trống bất kỳ trên trang. Điểm
này là điểm bạn đặt vị trí copy tứ giác.
3. Chọn (đánh dấu) điểm B và điểm E và chọn menu
Transform| Mark Vector
4. Kích chuột vào tứ giác để đánh dấu miền trongcủa tứ

giác, sau đó chọn menu Transform| Translate để tạo
được bản sao của tứ giác ABCD theo phương của vectơ
được đánh dấu (vectơ BE).
5. Kéo điểm E để bản sao tứ giác vừa tạo di chuyển đến vị
trí mong muốn.
6. Kéo 1 đỉnh bất kỳ trong tứ giác ABCD để hình dạng của tứ giác thay đổi thì ta thấy
hình dạng của tứ giác bản sao cũng thay đổi theo.
Các bước xây dựng công cụ Translator
1. Chọn miền trong của tứ giác ban đầu, chọn điểm B, điểm E và miền trong của tứ
giác bản sao có E là đỉnh .
Nhấn và giữ biểu tượng công cụ Custom
và chọn Creat New Tool từ menu Custom.
Xuất hiện 1 hộp thoại, bạn hãy gõ tên công cụ mới là Translator, và nhấn ok. Như
vậy là bạn đã tạo ra được công cụ Translator để vẽ các bản sao từ một hình ban
đầu, và bản sao này có thể di chuyển tự do trên trang Sketch.
2. Bây giờ hãy thử thực hành công cụ Translator vừa tạo: Kích vào 1 miền trong
của tứ giác bạn muốn di chuyển. sau đó kích vào 1 đỉnh của tứ giác đó; Giữ và kéo
chuột đến vị trí mong muốn và kích chuột lần thứ ba, và bây giờ bạn có thể cho hình
này di chuyển tự do theo đỉnh của nó.
3. Việc xây dựng công cụ này sẽ hữu ích trong chứng minh đinh lý Pitago(tạo các
bản sao chuyển động được)
4. Một cách chia hình thành các mảnh rời rạc
Một cách để chứng minh định lý Pitago đó là cắt hình vuông trên các cạnh bên thành
các mảnh phân biệt , sau sắp xếplại chúng thành hình vuông trên cạnh huyền.
Dựng hình và kiểm tra
1. Dựng một tam giác vuông
và các hình vuông trên các
cạnh của nó.
2. Vẽ tâm của hình vuông trên
cạnh bên b (là cạnh lớn hơn)

3. Dựng 1 đường thẳng đi qua tâm này và song song với
cạnh c và một đường thẳng khác vuông góc với cạnh c.
4. Vẽ các giao của hai đường thắng này với hình vuông
trên cạnh b.
Như vậy 2 đường thẳng này đã chia hình vuông trên cạnh b
thành 4 tứ giác. Bạn hãy vẽ và tô các màu khác nhau cho 4
tứgiác này.
5. Làm ẩn 2 đường thẳng này đi
6. Vẽ và tô màu miền trong của hình vuông trên cạnh a (là
cạnh nhỏ nhất).
Như vậy ta có 4 miếng được tạo từ hình vuông trên cạnh
b. kết hợp với 1 mảnh từ hình vuông trên cạnh a, 5
mảnh này có thể ghép lại thành hình vuông trên cạnh c
bằng cách di chuyển và sắp xếp lại chúng.
7. Để tạo ra được các mảnh hình di chuyển được của
hình vuông trên cạnh a, Sử dụng công cụ Translator từ
menu Custom tool.
8. Tạo ra các bản sao của các
mảnh tứ giác của hình vuông
trên cạnh b bằng cách sử dụng công cụ Translator từ
menu công cụ Custom.
9. Hãy sặp xếp các bản sao vủa tạo được vào hình vuông
màu trắng( hình vuông có canh là c)
10. Để xác định lại cách chia này bạn hãy thử làm lại với
một tam giác vuông khác.
Viết Thị Thu Hiền,
Viết Thị Thu Hiền

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh - Bài 3
Ngày gửi bài: 09/10/2007

Số lượt đọc: 1628
Bài 3: Cơ sở hình thành các cách chứng minh định lý Pitago
Những hình vuông vẽ sai
Các trường hợp điển hình để minh họa cho định lý Pitago là vẽ các hình vuông trên
cạnh của tam gác vuông và nằm ngoài tam giác vuông đó. Nhưng trường hợp các
hình vuông vẽ “sai cách” là gi? Đó là trường hợp vẽ có một hoặc nhiều hơn một hình
vuông nằm chồng lên tam giác. Khi đó điều gì sẽ xảy ra ? Trong trương hợp nghiên
cứu này, bạn sẽ thấy các cách chia hình của bạn thành các mảnh nhỏ để đưa ra
một cách sắp xếp minh họa cho cách chứng minh của định lý.
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một tam giác vuông.
2. Vẽ một hình vuông “sai cách” trên cạnh a, như thế hình
vuông đó sẽ nằm chồng lên tam giác, và vẽ một hình vuông
trên cạnh b nằm ngoài tam giác.
3. Vẽ một hình vuông :”sai cách” trên cạnh huyền (cạnh c),
tức là hình vuông này cũng nằm chồng lên tam giác vuông
ABC.
4. Như vậy, hai hình vuông trên cạnh a và cạnh b được chia
thành 5 miền riêng biệt. Vẽ các điểm phân cách các miền
được tạo ra từ các hình vuông, sau đó vẽ hình đa giác trên các miền này từ những
điểm vừa vẽ được ở trên.
5. Quan sát hình bên ta thấy rằng, một trong những mảnh của hình vuông trên cạnh
a cũng nằm bên trong hình vuông trên cạnh c, và một mảnh của hình vuông trên
cạnh b cũng nằm trong hình vuông trên cạnh c.
- Sử dụng công cụ Translator để tạo ra các bản sao di chuyển được của 3 mảnh
này.Sau đó làm ẩn đi các mảnh gốc, và sắp xếp các mảnh bản sao vào hình vuông
trên cạnh c sao cho hình được khớp vừa khít.
6. Di chuyển một đỉnh để thay đổi tam giác của bạn, và xếp lai các mảnh để chứng
thực các việc làm này với các dạng tam giác khác nhau.
Nhận xét

Các phương pháp chứng minh định lý Pitago bằng cách
chia hình ra thành những mảnh nhỏ là các cách chứng
minh hoàn toàn thuyết phục và đúng đắn, nhưng chúng
không có logic, vì bạn chỉ chỉ ra được cách chia nhỏ các
hình và sắp xếp chúng lại với nhau, mà chưa giải thích
được tại sao bạn lại làm như vậy. Tai sao bạn lại di chuyển
được các mảnh này, và có phải sự sắp xếp vừa khít của
các mảnh này vào phạm vi của 1 hình khác là xảy ra ngẫu
nhiên hay không?. Để giải thích sự phụ thuộc này 1 cách
logic thì phải chứng minh được mỗi hình bạn di chuyển thì
phải có kích thước bằng với hình mà nó chuyển tới.
Ví dụ: bên có 3 miền sẽ được di chuyển vào 3 miền đồng dạng với nó , đó là các
miền nào? .
- Ta thấy 3 miền di chuyển được và 3 miền mà chúng sẽ chuyển tới đều là tam giác
vuôngVì thêa phải chứng minh kích trước của miền di chyển và miền nó sẽ chuyển
toái là bằng nhau, bằng cách chỉ cần chứng minh 2 tam giác vuông có 1 cặp cạnh
bằng và 1 cặp góc không vuông bằnh nhau .
Sự chứng minh bằng hình vuông nghiêng
Đây là trường hợp, bạn chỉ cần vẽ một hình đơn giản mà bạn có thể dùng để chứng
minh được định lí Pitago. Các cách đó là: dùng các hình di chuyển được hoặc dùng
một phép tính số học đơn giản để tình toán cách dịch chuyển các hình. Hình vẽ minh
họa cho trường hợp này thì xuất hiện trong các văn bản từ rất xa xưa, và thậm chí
bạn còn thấy chúng trong các kiểu lát trang trí. Nhưng không ai biết rằng, đó có thể
là cách để chứng minh định lý Pitago, dường như nó đã được biết tới ở Trung Quốc
và Ấn Độ, và học thuyết Pitago đã được nghiên cứu bởi các nhà nghiên cứu Trung
Quốc và Ấn Độ ở thời đại Babilonia. Dựng hình và Kiểm tra
1. Vẽ một hình vuông và tâm của hình vuông đó.
2. Vẽ một điểm trên cạnh hình vuông.