Phương pháp nhiễu của nửa nhóm và ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học

ĐẠI
ĐẠI HỌC
HỌC QUỐC
QUỐC GIA
GIA HÀ
HÀ NỘI
NỘI
TRƯỜNG
TRƯỜNG ĐẠI
ĐẠI HỌC
HỌC KHOA
KHOA HỌC
HỌC Tự
Tự NHIÊN
NHIÊN
----------------o0o-----------------

ĐINH
ĐINH THỊ
THỊ HẠNH
HẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội

Muc luc

1

2

Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nó

4

2.1

2.2

Nửa nhóm liên tục mạnh...................................................................................... 4

2.2.1

Định nghĩa............................................................................................... 4

2.2.2

Các tính chất sơ cấp........................................................................... 5

1


Mở Đầu

Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lý thuyết định tính
của các phương trình vi phân trong không gian Banach được phát triển mạnh mẽ. Các kết
quả nhận được về tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Banach có thể
ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân hàm, đồng thời
sử dụng trong việc nghiên cứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học,
mạng nơron thần kinh, trong vật lý và cơ học. Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiều
nhà toán học quan tâm, nghiên cứu là lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chất nghiệm
của các phương trình tiến hóa trừu tượng bị nhiễu và mối tương quan giữa họ các toán tử
tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach.

Mục đích chính của luận văn là sử dụng phương pháp nhiễu của nửa nhóm trong việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các phương trình tiến hoá trừu tượng, để từ đó đưa ra
ứng dụng vào mô hình dân số.

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham
khảo.

Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh và một số định
lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ([1, 2, 5, 9, 10]).

Chương hai trình bày về bài toán nhiễu của nửa nhóm, định nghĩa và tính chất của họ
toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ([6, 7, 8, 12]).

Chương ba trình bày sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan; Từ đó đưa ra
2


điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn phòng Sau
Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn.

Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những sự động viên
và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua.

3


Chương 1

Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của
nó

1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Một họ (T(t))t>0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X
được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C 0- nửa nhóm) nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:

(a) T(t + s) = T(t)T(s) với mọi t,s > 0.

(b) T(0) = I.

(c) lim T(t)x = x với mọi x

G X.

Ao+

4


|f(t

+ s) — f(s)| < e Vs G R.
t 0

^

(T(t)f )(s) = / (t + s), V / G Co , V s G

R

.

+ seR

và
Từ
suy tra
|/(tnhóm
+ s) —
/(s)tục
|< e,
Vt =: 0/(s
< ỗ.
Vậyđó(T(t))
>0 sup
là nửa

liên
mạnh.
□< t- t),
(Tr(t)f
)(s)
V/seR
G Co, Vs G R.

Theo định nghĩa giới hạn ta có: lim sup |/(t + s) — /(s)| = 0.
Khi đó (Tr(t))t>0 và (T (t))t>0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0, được gọi tương ứng là
nửa nhóm dịch chuyển phải và trái của C0.

Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa
nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự.

Trước hết ta chứng minh (T(t))t>0 là một nửa nhóm.

Thật vậy: Vt, h > 0, V/ G C0, s G R, ta có:

(T (t + h)f )(s) = / (t + h + s) = (T (t)f )(h + s) = (T (t)T (h))f (s),

2. Các tính chất sơ cấp

Bổ đề 1.1. ([8]) Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tập
compact K c R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
;

F liên tục với tô pô toán tử mạnh, tức là ánh xạ K 3 t F(t)x G X là liên
tục Vx G X.

;

F là bị chặn đều trên K và ánh xạ K 3 t F(t)x G X là liên tục Vx G D c X, D
trù mật trong X.

; F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X, tức là
5


Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm (T(t))t> 0 trên một không gian Banach X. Khi đó
các tính chất sau là tương đương:
(a) Nửa nhóm (T(t))t> 0 là liên tục mạnh.

(b) lim T(t)x = x, Vx £ X.
tC o +
(c) Tồn tại ỗ > 0,M > 1 và một tập con trù mật D c X sao cho:

(i) \\T (t)\\ < M, Vt £ [0,ỗ],

(ii) lim T(t)x = x, Vx £ D.

t^ 0+
Chứng minh.

(a) ^ (c.ii) Vì (T(t))t> 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach nên ta
có: lim T(t)x = T(0)x = x, Vx £ D (D trù mật trong X).

\\T(t0 + h)x - T(t0)x\\ < \\T(t0 + h)\\.\\x - T(—h)x\\,

từ đó dẫn đến tính liên tục trái, trong đó \\T(t)\\ bị chặn đều Vt £ [0,t0].

6


Với t > 0 lấy t = s + n, V n G N và 0 < s < 1. Khi đó:

n
||T(t)|| = ||T(s + n)|| = ||T(s).T(n)|| < ||T(s)||.||T(n)||

với w = ln M và t > 0.

wt

□

Định nghĩa 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T(t)) t>0, số í^o được định nghĩa như
sau:

u 0 = W0(T) = inf{w G R : tồn tại M w > 1 thỏa mãn ||T(t)||< M w e w t , Vt > 0}.

goi là cận tăng trưởng của nửa nhóm.

Ta có: T(t) = 0, Vt > 1.

—M

Vậy ^0 = —TO.

1.1.2

Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

(a) Định nghĩa và tính chất của toán tử sinh

7


Bổ đề 1.2. Cho một nửa nhóm (T(t))t>0 liên tục mạnh và một phần tử x e X.
Đối với ánh xạ quỹ đạo Cc : t T(t)x, các tính chất sau là tương đương:
(i) £x(.) là khả vi trên R+ .
(ii)

£x(.) khả vi bên phải tại t = 0.

Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chỉ ra (b) ^ (a). Thật vậy:

suy ra £x(.) khả vi bên phải trên R+.

Mặt khác, với —t < h < 0 ta có:
^ (T(t + h)x - T(t)x) - T(t)4x(0) = T(t + h) (^(x - T(-h)x) - 4(0))

+ T (t + h)4( 0) — T (t)4(0).

(1.2)

Khi h ^ 0- hạng tử đầu tiên của vế phải hội tụ đến 0 vì ||T(t + h)|| bị chặn. Phần còn lại
cũng hội tụ đến 0 do tính liên tục mạnh của (T(t))t>0. Do đó £x khả vi bên trái trên R+.

Vậy £x(.) liên tục trên R+ và

4(t) = T(t)4(0), vt > 0.

□

(1.3)

Định nghĩa 1.3. Toán tử sinh A : D(A) c X ^ X của một nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) t>0
8


Định lý 1.3. Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) t > 0 , ta
có các tính chất sau:
(1.19)

A : D(A) c X ^ X là toán tử tuyến tính.

(1.21)

Vt > 0 và x G X, ta có:

(1.7)

AT (t)x, Vt > 0.

t
Ị
(iv) Vt > 0, ta có:

T(s)xds

G

t
T(t)x — x = A J T(s)xds nếu x G X,
0
t

(1.8)

=

J

T(s)Axds

nếu

x

G D(A).

0
Chứng minh.
(a) Va, h G R và x,y G X, ta có:
A{ax + Ị3ỳ) = lim —[(T(h)(ax + Ị3ỳ) — {ax + hy)] = OíAx +
h>Ay. h^0+ h

i(t)

..

T (t + h)x — T (t)x

= T (t)i( 0) = T (t)Ax.

Do đó:
lim ị (T(h)T(t)x - T{t)x) = lim T ^ + h ) x - T ^) x
h^0
h
t

t

= T

ự} Â X i h^0+ h

t

t

T{h) I T{s)xds — I T{s)xds I = — T(s + h)xds — — T{s)xds
t+h

h

0

0

t

— T{s)xds — —
0

t+h

Ị

0

0
h

T{s)xds = — T{s)xds — —
0
9

Ị


T

«x -x =

Ị

T

hội tụ đến T(t)x — x khi h — 0+. Do đó:

t
Ị T(s)xds G D(A)
0

(d) Theo chứng minh trong (iii) khi h — 0+, Vx G X ta có (1.8) đúng.

Nếu x G D(A) thì hàm
0
Chứng minh. Giả sử (T(t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach
X. Theo Định lý 1.3 toán tử sinh (A,D(A)) là một toán tử tuyến tính. Ta chứng minh A là
toán tử đóng. Thật vậy: lấy một dãy (x n)neN c D(A) sao cho lim x n = x và lim Ax n = y tồn
tại.

Do (1.9) trong Định lý 1.3 ta có:

t
T(t)xn — xn = J T(s)Ax n ds, Vt > 0.

Nhân cả hai vế với - và lấy giới hạn khi t —> 0+ ta được:
t
lim ( T ^ x ~ x \

= lim

I [ T(s)yds,

10

t

0


Vx 6 X.
Do tính liên tục mạnh của (T(t))t>0
Suy ra D(A) trù mật trong X.

s

nx(s) = T (t — s)S(s)x, V0 < s < t.

Yới s cố định tập Itlif.-ỉ-Mĩ. —S( s ) x ; /ị, e (0,1) j u {ẨS'(s)x} là compact.

Ta có:
ị (Vx(s + h) - ĩ] x (s)) = T(t — s — h)\ (S(s + h)x - S(s)x) h

h

+ — (T(t — s — h) — T(t — s))
S(s)x. h
lim

+ ||T (h) — 1 11 = °.

(b) Nửa nhóm liên tục
đều

Định nghĩa 1.4. ([8]) Nửa nhóm (T(t))t>0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong L(X) nếu

lim ||T(th—0+
+ h) — T (t)|| = 0, Vt > 0.

(1.10)

Ví dụ 1.3. Cho không gian Banach
h—0+ X và toán tử A 6 L(X), xét chuỗi:
r o
itA) n
n\ ’

X

Vt > 0.
n=0
n=0
(n + 1)!

n!

n!

n

11

0.

TO

ík Ak

TO

s

k Ak

TO M(íA)nn

T(t).T(s) = etA.e'A =

yí

-A Ỹ2 -A-

(n — k)! ’ k!

n =0
T O

(íA)n
n!
Suy ra

Định lý 1.5. Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đều
khi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn (A 6 L(X)).

Chứng minh.

Điều kiện đủ. Giả sử A 6 L(X), xét nửa nhóm T(í) = e tA(í > 0). Ta có (T(í))t>0 là nửa
{tAỴ- 1

itA) n
+TO

+TO
+ T O

m -1
Do vậy:
—A=

12

n=2

{tAỴ- 1


Từ đây suy ra

11^1—^11 <

< |W|.£

T(t)

—

n-11| A | |n-1
^í^iiTir

t

||A||(et||A - 1) ^ 0, (t ^ 0+).

I

„

n=2
Do đó: lim II——-----------T|| = 0. Yậy A là toán tử sinh của nửa nhóm (T(t))t> 0-

t^0+

t

Do vậy tồn tại t cố định đủ nhỏ sao cho ||/ — - Jo T(s)ds|| < 1. Khi đó, toán tử
1 1 ị(m-i)ln.)d. = ị

T (s + h)ds

T(s)ds

ft+h
I

fh
T (s)ds — J T (s)ds

Suy ra ị(T(h) - I) = ị 'jị + h T(s)ds - f^T^ds . (f*T(s)ds^Ị

1

Ánh xạ t ^ T(t) liên tục đối với tô pô chuẩn trên [0, t] nên liên tục đều trên đoạn đó. Suy ra

II\ Ị

T(a)da-I\\<ịj \\T(s)-I\\dsYậy lim \ ử T(s)ds
= I.
h^0+ h J 0 w

Tương tự với 0 < h < ỗ, ta có:
13


Suy ra lim ^ f* + h T(s)ds = T{t). Do đó, khi h —> 0+ thì
/,linò+ ì ị T { h ) ~ I ị

= {T{t)

~ I ] {l r(s)ds) Ễ C ( x ) '

Vậy toán tử A bị chặn. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.6. Giả sử (T(t)) t > 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian

| | Ax| | < M| | x| | , V x £ D(A).
(ii)

Miền D(A) là tất cả các phần tử của X.

(iii)

Miền D(A) đóng trong X.

y-vt n A n
Trong mỗi trường hợp nửaTnhóm
được
cho
bởi
(t)
^~nT’
Chứng minh.

etA =

t > 0.

(i) & (d) được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.5.

||Ax n - Axm|| < M.||xn - xm|| — 0.

1.1.3
;

Giải thức

Biểu diễn tích phân của giải thức

Định nghĩa 1.5. Giả sử (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Khi đó
14


T{h)

-Gm. r = ĩX^ í nsyrđs

p(A) = C\a(A) là tập các giá trị chính quy của A .

R(A, A) = (AI — A)-1 (A G p(A)) gọi là giải thức của A.

(1.11)
Khi đó ta có các tính chất sau:
(i) Nếu A e C sao cho R(A)x = J0+TO e-AsT(s)xds tồn tại Vx e X thì A e p(A)
và R(A, A) = R(A).
(ii)

Nếu Re A > w thì A e p(A) và giải thức R(A,A) được cho bởi
tích phân trong

(i)

.

Khi đó: R(A, A)x = J e-AsT(s)xds được gọi là biểu diễn tích phân của giải
R(A, A)x =

/
Ta thường viết là:

e-

AsT

(1.12)

(s)xds V x Ễ X

'
e-As T(s)ds.

R(A, A) 0
(1.13)

Chứng minh.

o o
h

h
— T(s + h)xds — — T(s)xds
h

—

Ị

0

T(s)xds — —

h

Ị

0

T(s)xds = —— T(s)xds.


Lấy giới hạn khi h ^ 0+ suy ra vế phải tiến đến —x nên R(0)x G D(A) và AR( 0) = —I.

t

t

và lim A f T(s)xds = lim r T(s)Axds = R(0)Ax (theo Định lý 1.3(iv)).
t—— ^O 0

t—— ^O 0

a từ (i) và từ ước lượng sau:
t

t

Với i?eA > w vế phải hôi tu đến — ~ khi t —> +oo. Đinh lý đươc chứng minh.

(—1)n-1 dn-1

(1.14)

CO
Đặc biệt, ta có ước lượng:

l|fi(A,.4)"|| < aM Vn € N.BeA > m.

R(A, A) — R(u, A) = (^ — A)R(A, A)R(^, A).
Với n = 2, A = ta có:

1?(A, T) - R(g, A) = _ R ( X A ) R ( A ị A — ^
00

16

(1.16)


Vậy công thức (1.14) và (1.15) đúng với n = 2.
||fl(A,A)"a:|| = ^—t^ịll f s’^e-^n^xdsW
0

<

MI
NI
{

c »
I s "- 1
0

e(w l-RcẰ, ds

'

Re\l-myM'dxGD{Ay

□
(1.17)

Ví dụ 1.4. a) Các nửa nhóm đồng dạng: Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên
không gian X và (S(t)) t > 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi S (t) = V - 1 T(t)V,
trong đó (T(t)) t > 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X.

Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t)) t > 0 là B = V - 1 AV với miền xác định D(B) = {y
e Y : Vy e D(A)}, trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t ))t>0 .

Ta có ơ(A) = ơ(B ) và giải thức của B là: R(\,B ) = V- 1 R(A,A)V với A e p(A). b) Các nửa
nhóm điều chỉnh: Nửa nhóm điều chỉnh (e MtT(at)) t > 0 ,y e C,a > 0 có toán tử sinh là B =
aA + yĩ với miền xác định D(B) = D(A).

do

;

(G'-TY'-G''
Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm

Định lý 1.8. Định lý toán tử sinh (Hille -Yosida)
17


(A,D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.
(A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi A> 0 ta có
đồng thời
A G p(A)

||AR(A,A)|| < 1.

(1.18)

(A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi A G C mà
Re A >
ta có A G p(A) đồng thời
0,
Chứng minh.
(1.19)
^ (c) đúng (theo Định lý 1.4 và Định lý 1.7).

là các toán tử bị chặn, giao hoán với mỗi n G N.
(1.21)

Xét nửa nhóm liên tục đều cho bởi:

Tn(t) = e t A n, Ví > 0.

An hội tụ đến A theo từng điểm trên D(A).

s

T m (t — s)T n (s)x, 0 < s < t,x G D(A) và m,n G N.
t

T n (t)x - T m (t)x =
Ta có:

Ị

- s)T n (s)x)ds

0
t
= j Tm(t — s)Tn(s)(Anx — Amx)ds.
18


Suy ra

\ \ Tn(t)x — Tm(t)x\ \ < t\\A n x — A m x\\.

(1.22)

Vì (An(x))neN là dãy Cauchy đối với mỗi x e D(A) nên (Tn (t)x)neN hội tụ đều với mỗi x e
D(A) trên mỗi khoảng [0, to].

b) Vì (T n (t))t> 0 (u = 1, 2,...) là các nửa nhóm nên (T(t))t>0 là nửa nhóm.

Hơn nữa, ta có:

\ \ Tn(t)x\ \ < \ \ x\ \ suy ra \ \ T(t)x\ \ < \ \ x\ \ , V x e X,

suy ra \ \ T(t)\ \ < 1, V t > 0. Do đó (T(t))t>0 là nửa nhóm co.

Mặt khác, với mỗi x e D(A), ánh xạ

£:t

T(t)x, 0 < t < to,

là giới hạn của một dãy hội tụ đều các ánh xạ liên tục. Suy ra T(t) liên tục trên đoạn [0,t 0].
Vậy (T(t))t>0 là nửa nhóm co liên tục mạnh.

c)

Ký hiệu (B,D(B)) là toán tử sinh của (T(t))t>0 và cố đinh x e D(A). Trên mỗi
khoảng compact [0,t0] hàm £n : t
Tn(t)x hội tụ đều đến £(.) do (1.22) và

19


(L28

>

Chứng minh.
^>0
Định lý 1.9. Định lý toán tử sinh (Feller, Miyadera, Phillips)
^Giả
(c)sử
đúng
theo hệ quả
1.1. toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X và
(A,D(A))
là một
w e R, M > 1 là các hằng số. Khi đó các tính chất sau là tương đương:
chuẩn này có các tính chất:
[1]
(A,D(A)) sinh ra một nửa nhóm (T(t)) t > 0 liên tục mạnh thỏa mãn
d) ^ (b) hiển nhiên.
||x||<|||x|||< M||x||.

||T(t)||< Mewt, t > 0.

(1.26)

[2]Bằng cách
(A,D(A))
toán
tử điều
đóng,
xáckhông
định mất
trù tính
mậttổng

và với
w ta
^ (a)
sử dụnglànửa
nhóm
chỉnh,
quát mỗi
ta có A
thể> giả
sử có
w
A E p(A) đồng thời
= 0. Khi đó, ta có:
|||AR(A,A)|||< 1, VA > 0.

||[(A - w)R(A, A)]n|| < M, Vn E N.
(1.27)
n
n
||A R(A,A) || < M, VA > 0, n E N.
[3]
(A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi A E C mà
Re A > w ta có A E p(A) đồng thời

Ta xây dựng một chuẩn mới trên X như sau:

||x||M = sup 11g n R(g, A) n x 11, Vg > 0.

n>0

Chuẩn này có các tính chất:

||x|| < ||x||M < M||x||; Tức là, nó là chuẩn tương đương.

< 1.

|||x|||

= sup ||x|^

(1 29)

.

20


Do đó, toán tử sinh (A,D(A)) thỏa mãn điều kiện (1.18) đối với |||.||| tương đương và do
định lí 1.8,(A,D(A)) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh (T(t)) t > 0 với chuẩn|||.|||. Từ (vi)
suy ra ||T(t)x|| < |||T(t)x||| < M||x||.

Như vậy: ||T(t)|| < M. Định lý được chứng minh.

21


Chương 2

Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh

Việc kiểm tra các điều kiện đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co hoặc nửa nhóm
liên tục mạnh là một công việc khó khăn và đối với nhiều toán tử quan trọng không thể thực
hiện một cách trực tiếp. Nhiễu là phương pháp cơ bản giúp ta tiếp cận việc giải quyết vấn
đề này. Trước khi xét bài toán nhiễu của nửa nhóm ta xét bài toán sau.

Bài toán Cauchy đặt chỉnh

(ACP)

trong đó t là biến độc lập biểu diễn thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trong không gian
Banach X, A : D(A) c X ^ X là toán tử tuyến tính, x e X là giá trị ban đầu.

Định nghĩa 2.1. Hàm u : R+ ^ X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy trừu
tượng (ACP ) nếu u khả vi liên tục, u(t) e D(A) với mọi t > 0 và thỏa mãn (ACP).

22


T(t — s)

/ u(r)dr|s= 0 = °.
J0
Mệnh đề 2.1. Giả sử (A,D(A)) lồ toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T(t))t>0 . Khi đó, với mọi x e D(A), hàm u : t u(t) = T(t)x là nghiệm (cổ điển)
duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng.
Từ đó suy ra u(r)dr = 0. Lấy đạo hàm theo t ta được u(t) = 0 với mọi t > 0. Mà u(0) = 0 nên
u(t) = 0 với mọi t > 0. Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 2.2. Hàm u : R+ ^ X được gọi là nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy trừu
Định lý 2.1. Cho A : D(A) c X ^ X là toán tử đóng. Khi đó, các tính chất sau là
tượng

/0 u(s)ds e D(A) với mọi t > 0 và
tươngnếu
đương:
A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
Với mọi x e D(A) tồn tại duy nhất nghiệm
u(.,x) của (ACP) và p(A) = 0.
ít
Với mọi x e D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(.,x) của (ACP), D(A) trù mật trong
X và với mọi dãy {xn}^=

1

u(t,xn) = 0 đều trên [0, to ].

c D(A) : lim xn = 0, tồn tại nghiệm u(t,xn) sao cho: lim
u(t) = A
u(s)ds + x.

Chứng minh.
J0
Mệnh đề 2.2. Giả sử (A,D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
^(T(t))
(ii) (theo
mệnh đề 2.1).
t>0 . Khi đó, với mọi x e X, ánh xạ quỹ đạo u : t T(t)x là nghiệm đủ tốt
duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng.

^ (iii) Đầu tiên ta chỉ ra với mọi x e X tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt
Chứng minh. Theo Định lý 1.3 ta có /0 T(t)xds e D(A) với mọi x e X và T(t)x — x
= A JQt T(s)xds với mọi x e X. Suy ra u(t) = T(t)x là nghiệm đủ tốt của (ACP).

Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm 0 ứng với giá trị ban đầu x = 0. Giả sử u là nghiệm đủ
tốt của bài toán Cauchy trừu tượng với x = 0,t > 0. Khi đó với

mỗi s e (0, t), ta có:
Ậ(T(t — s) [ u(r)dr) = T(t — s)u(s) — T(t — s)A [ u(r)dr = 0. ds0

Lấy tích phân từ 0 đến t ta được:

23

0


t

Suy ra v(t) là nghiệm đủ tốt của (ACP ) với giá trị ban đầu x = (A — A)y. Giả sử
u(.) là nghiệm đủ tốt của (ACP) với giá trị ban đầu x = 0. Đặt

Suy ra

v(t) = u(t) = A

u(s)ds = Av(t)
0

lim -

t-AO

t
0
u(s,x)ds = u(0,x) = x.

ộ : X — C ([0,to ],X),

x — u(.,x).

và

Vì A đóng nên f0 y(s)ds G

D(A) và y(t) —

y(t) = A

x = A f0 y(s)ds. Khi đó:

y(s)ds + x, V t G
0

24

[0,to ].