PP giai phuong trinh nghiem nguyen

A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
& I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HÊT

Công nhận: chứng minh được rằng : Một phương trình bậc nhất n ẩn ( sau khi
chia hai vế của phương trình cho UCLN của các hệ số của nó) có nghiệm nguyên
khi và chỉ khi các hệ số của ẩn nguyên tố cùng nhau
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – 5y – 6z = 4
Giải : Phương trình có nghiệm nguyên vì (2,5,6) = 1
Ta có ( 2, 5) = 1 nên đưa phương trình về dạng : 2x – 5y = 4 + 6z
Lấy z= u với u tùy ý ∈ Z , đặt c = 4 + 6u .ta có p/trình: 2x – 5y = c
Phương trình này có nghiệm riêng là x0 = 3c , y0 = c và nghiệm tổng quát là
x = 3c – 5t , y = c – 2t với t ∈ Z
Thay c = 4 + 6u vào nghiệm tổng quát của 2x – 5y = c ta có nghiệm tổng quát của
 x = 12 − 18u − 5t

phương trình 2x – 5y – 6z = 4 là  y = 4 + 6u − 2t
z = u


Trong đó u ,t ∈ Z

Ví dụ 2 : Phương trình có hệ số của 1ẩn bằng 1
Giải phương trình 6x + y +3z = 15
Nhận xét : x , z lấy giá trị nghuyên bất kì thì khi đó ta củng có giá trị y nguyên
tương ứng .
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát :

x = u

 y = 15 − 6u − 3t
z = t



Trong đó u ,t ∈ Z

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15y + 10 z = 3 (1)
Hướng dẫn giải
2)
(1) 3(2x +5y +3 z-1) = - z
=> z M3
=> z = 3t (t ∈ Z )
3) Thay vào phương trình ta có:
2x + 5y + 10t = 1 (t ∈ Z )
Giải phương trình này với hai ẩn x; y (t là tham số) ta được:
Nghiệm của phương trình: (5t – 5k – 2; 1 – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý
Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn.
Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x – 3y = 2xy – 11 (1)
Hướng dẫn giải
5 x + 11
x+5
= 2+
2x + 3
Cách 1: Rút y theo x: y = 2 x + 3

(Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0)
Vì y nguyên => x + 5 M2x + 3 => …. 7 M2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là:
(-1;6); (-1; -2);

(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng.
Cách 2. Đưa về phương trình ước số:
Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết. Đặt ĐK để có x
nguyên.
Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình.
x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0 (1)
Hướng dẫn giải
Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên.
3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1)
Hướng dẫn giải
2
2
Phương trình (1)  (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2
Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*)
Ta có: a2 – 1 = y2 GiảI phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số: =>
nghiệm phương trình (1)
Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x3 - y3 = xy + 8 (1)
Hướng dẫn giải
Ta có:

x − y . x + xy + y = 8
2

2

x − y ≥1

Ta có x khác y vì nếu x = y => x2 + 8 = 0 Vô lý.

x 2 + xy + y 2 ≤ xy + 8

Vì x; y nguyên =>
=>
=> x2 + xy + y2 ≤ xy + 8 (2)
Nếu xy + 8 < 0=> (2)  (x + y)2 ≤ -8. Vô nghiệm.
N ếu xy +8 > 0 => (2)  x2 + y2 ≤ 8

=> x2 , y2 ∈ { 0;1; 4} Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0)


b)Tỡm x, y nguyờn sao cho:

b) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 (1)

( x + y ) P = xy vi P nguyờn t.

Hng dn:

Gii:

(1) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1- y2 = 1

T ( x + y ) P = xy (1)
xy Px Py = 0

(x+1)4 y2 = 1

x(y P) (Py P2) = P2
( y- P ) ( x- P ) = P2

M P nguyờn t

P2 =1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = (-P)(-P)
Cỏc cp s (x,y ) l:
(P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p,
2p); (0,0) v cỏc hoỏn v ca chỳng.
a)x2- 656xy 657y2=1983.(1)
Lời giải:
(1)<=> x2-657xy+xy-657y2=1983.
<=> x(x-657y)+y(x-657y)=1983.
<=> (x-657y)(x+y)=1983.
Do 1983 = 1.1983 = 3.661
=(-1).(-1983) =(-3).(-661)
Vì hiệu (x+y)-(x-657y)=658y chia hết
cho 658 nên 1983 phải phân tích thành
một tích hai thừa số có hiệu chia hết cho
685.Vậy ta có 4 hệ phơng trình:
x + y = 661
x + y = 3



x 657 y = 3
x 657 y = 661
x + y = 661
x + y = 3


x 657 y = 3
x 657 y = 661

Giải ra ta đợc 4 cặp nghiệm là:
(x;y)=(660;1);(4;-1);(-660;-1);(-4;1).

[(x+1)2 y] [(x+1)2+y]= 1
( x +1) 2 y =1


2

( x +1) + y =1
( x +1) 2 y =1

( x +1) + y =1
1 + y = 1 y

1 + y = 1 y

y = 0 (x+1)2 = 1 x+1 = 1
x = 0 hoc x = -2
Vy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )
Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x3+xy=7(1)
Lời giải:
(1) x(2x2+y)=7
x = 1



x = 7

;

x = 1

;

2
2 x + y = 7 2 x + y = 1 2 x + y = 7
x = 7
; 2
2 x + y = 1
x = 1 x = 7
x = 1 x = 7

;
;
;
y = 5 y = 97 y = 9 y = 99
2

2

Vậy các mghiệm nguyên của phơng
trình là:
(x;y)=(1;5); (7;-97); (-1;-9); (-7;-99).