PP giải phương trình nghiệm nguyên

Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
Phơng pháp 1. đa phơng trình ớc số
Biến đổi phơng trình về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là
tích của các số nguyên.
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
y
3
-x
3
= 91 (1)
Lời Giải.
(1) <=> (y - x)(x
2
+ xy + y
2
) = 91 vì x
2
+ xy + y
2
> 0 với mọi x, y.
Nên =>y - x > 0.
Mặt khác 91 = 1.91 = 7.13 và (y - x); (x
2
+ xy + y
2
) đều nguyên dơng nên ta có 4 khả
năng sau:
1) (y - x) = 91 và (x
2
+ xy + y

2
) = 1
2) (y - x) = 1 và (x
2
+ xy + y
2
) = 91
3) (y - x) = 7 và (x
2
+ xy + y
2
) = 13
4) (y - x) = 13 và (x
2
+ xy + y
2
) = 7
Giải các hệ trên ta sẽ tìm đợc x, y.
Phơng pháp 2. Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x; y; z có vai trò bình đẳng. Ta có thể giả sử x < y < z < ...Để tìm
các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó dùng phép hoán vị để suy ra các nghiệm
của phơng trình đã cho.
VD.
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x + y + z = x.y.z (2)
Lời Giải
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình nên ta giả sử x < y < z. Vì x,
y, z nguyên dơng nên x.y.z # 0
Do x < y < z nên x + y + z = x.y.z < 3.z => x.y < 3 => x.y

{1; 2; 3}.
- Nếu x.y = 1 => x = y =1, Thay vào (2) ta đợc 2 + z = z vô lí.
- Nếu x.y = 2 => x = 1; y = 2 . Thay vào (2) ta đợc x = 3.
- Nếu x.y = 3 => x = 1; y = 3 . Thay vào (2) ta đợc x = 2.
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là các hoán vị của {1; 2; 3}
VD.
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình

2
111
=++
zyx
(3)
Lời Giải.
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình nên ta giả sử x < y < z
Ta có 2 =
zyx
111
++
< 3.
x
1
=> x <
2
3
=> x = 1. Thay vào (3) ta có
21
11
=++
zy

=>
1
11
=+
zy
<
y
2
suy ra y < 2.
y = 1 => 1/z = 0 Vô lí
y = 2 => 1/z = 1/2 => z = 2
Suy ra x = 1; y = 2; z = 2
Vậy nghiệm của phơng trình là các hoán vị của {1; 2; 2}
Phơng pháp 3. Sử dụng tính chất chia hết
Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vô nghiệm hoặc để tìm
nghiệm nguyên của phơng trình
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
x
2
- 2y
2
= 5 (4)
Lời Giải
Từ phơng trình (4) ta suy ra x
2
là số lẻ => x là số lẻ, vậy x có dạng
x = 2.k + 1 ( k

Z)

Thay vào (4) ta đợc:
4k
2
+ 4k + 1 - 2y
2
= 5 => c y
2
=> y
2
là số chẵn => y là số chẵn.
Đặt y = 2.t ( t

Z), ta có: 2( k
2
+ k - 1) = 4.t
2
k(k + 1) = 2t
2
+ 1.
Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn 2t
2
+ 1 là số lẻ.
Vậy phơng trình (4) vô nghiệm.
VD.
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x; y; z thỏa mãn:
x
3
+ y
3
+ z

3
= x + y + z + 2000 (5)
Lời Giải
Ta có: x
3
- x = (x - 1).x.(x + 1) là tích ba số nguyên liên tiếp. Do đó x
3
- x chia hết
cho 3. Từ đó ta có: (x
3
+ y
3
+ z
3
-x - y - z)

3.
Vì 2000 không chia hết cho 3.
Do đó x
3
+ y
3
+ z
3
-x - y - z

2000 với mọi x; y; z

Z.
Vậy phơng trình (5) vô nghiệm.

VD. Tìm nghiệm nguyen của phơng trình:
xy + x - 2y = 3 (6)
Lời Giải
Ta có xy + x - 2y = 3 <=> y(x - 2) = -x +3. Vì x = 2 không phải là nghiệm của
phơng trình nên (6) <=> y =
2
3

+
x
x
<=> y = -1 +
2
1

x
. Ta thấy y là số nguyên nên
x - 2 là ớc của 1 => x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1
=> x = 3 hoặc x = 1
Từ đó ta có nghiệm (x; y) của phơng trình là: (1; -2) và (3; 0)
Chú ý: Ta có thể dùng phơng pháp 1 để giải bài toán này
Phơng pháp 4. Sử dụng bất đẳng thức
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá đó để suy ra
các giá trị nguyên của ẩn đó.
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
- xy + y
2

= 3 (7)
Lời Giải
x
2
- xy + y
2
= 3 <=> (x -
2
y
)
2
= 3 -
4
3
2
y
.
Vì (x -
2
y
)
2
> 0 => 3 -
4
3
2
y
> 0 suy ra -2 < y < 2.
Lần lợt thay các giá trị: y = {-2; -1; 0; 1; 2} vào (7) ta lần lợt tìm đợc các nghiệm là:
(x; y) = {(-1; -2), (1; 2), (-2; -1), (2; 1), (-1; 1), (1; -1).

Phơng pháp 5. đa về dạng tổng
Biến đổi phơng trình về dạng vế trái là tổng các bình phơng, vế phải là tổng các
số chính phơng.
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
+ y
2
- x - y = 8 (8)
Lời Giải
x
2
+ y
2
- x - y = 8
<=> 4x
2
+ 4y
2
-4x - 4y = 32
<=> (4x
2
- 4x + 1).(4y
2
- 4y + 1) = 34
<=> |2x - 1|
2
+ |2y - 1|
2

= 3
2
+ 5
2
.
Bằng phơng pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng
hai số chính phơng là 3
2
và 5
2
. Do đó phơng trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: *
| 2x - 1| = 3 và | 2y - 1| =5
*| 2x - 1| = 5 và | 2y - 1| =3
Giải các hệ trên ta suy ra phơng trình (8) có 4 nghiệm nguyên là:
(x; y) = {( 2; 3); (3; 2); (-1; -2); (-2; -1)}.
Phơng pháp 6. Lùi vô hạn

VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
- 5y
2
= 0 (9)
Lời Giải
Giả sử (x
0
; y
0
) là nghiệm của phơng trình x

2
- 5y
2
= 0 thì ta có x
0
2
- 5y
0
2
= 0 suy
ra x
0
chia hết cho 5. Đặt x
0
= 5x
1
( x
1

Z). Ta có
25 x1
2
- 5y
0
2
= 0 => y
0
chia hết cho 5. Đặt y
0
= 5y

1
từ đó ta có: 5x
1
2
- 25 y
1
2
= 0
=> x
1
2
- 5 y
1
2
= 0. Vậy nếu (x
0
; y
0
) là nghiệm của (9) thì
)
5
;
5
(
k
o
k
o
yx
với k nguyên dơng cũng là nghiệm của (9). Hay x

0
; y
0
đều chia hết cho 5
k
.
Điều này chỉ xẩy ra khi x
0
= y
0
= 0.
Vậy phơng trình x
2
- 5y
2
= 0 có nghiệm duy nhất là x = 0; y = 0
Phơng pháp 7. xét chữ số tận cùng
VD.
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
1! +2! +3! +4! +........+ x! = y
2
(10)
Lời Giải
Cho x lần lợt bằng 1; 2; 3; 4 ta có ngay hai nghiệm nguyên dơng của phơng
trình (10) là: ( 1; 1) và (3; 3).
Nếu x > 4 thì dễ thấy k! (k > 4) đều có chữ số tận cùng bằng 0
=>1! +2! +3! +4! +........+ x! có chữ số tận cùng bằng 3 vì:
1! +2! +3! +4! +........+ x! = 33 + 5! + ... + x!. Mặt khác vế phải là số chính phơng
nên không thể có chữ số tận cùng bằng 3.
Vậy phơng trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dơng:

(x; y)

{(1; 1); (3; 3)}
VD.
Tìm x; y nguyên dơng thỏa mãn phơng trình
x
2
+ x - 1 = 3
2y+1
(11)
Lời Giải
Ch x các giá trị từ 0 đến 9 dễ dàng xác định đợc chữ số tận cùng của
x
2
+ x - 1
là các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy 3
2y+1
là lũy thừa bậc lẻ của 3, nên chữ số tận
cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9.
Vậy phơng trình: x
2
+ x - 1 = 3
2y+1
không có nghiệm nguyên dơng
Phơng pháp 8.
sử dụng tính chất nghiệm của phơng trình bậc hai
Biến đổi phơng trình về dạng phơng trình bậc hai của ẩn, coi các ẩn khác là
tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phơng trình bậc hai để xác định giá trị
của các tham số.
VD.

Giải phơng trình nghiệm nguyên
3x
2
+ y
2
+ 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (12)
Lời Giải
3x
2
+ y
2
+ 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
<=> y
2
+ (4x + 2).y + 3x
2
+ 4x + 5 = 0
Ta thấy nếu phơng trình có ngghiệm thì y nguyên suy ra (- 4x - 2 +
x'

) nguyên.
Mà x nguyên
x'

nguyên =>

'y = x
2
- 4 = n
2

với n

Z.
Dùng phơng pháp 1 đa về dạng tích: (x + n)(x - n) = 4. Ta xác định đợc x = + 2
Vậy phơng trình (12) có hai nghiệm nguyên
(x; y)

{(2; -5); (-2; 3)}.
VD.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
- (y + 5).x + 5.y + 2 = 0 (13)
Lời Giải
Giả sử phơng trình nghiệm nguyên ẩn x có các nghiệm x
1
; x
2
. Thì theo định lí
Vi-ét ta có:





+=
+=+
25
2
.

1
5
21
yxx
yxx
=>





+=
+=+
25
2
.
1
255
2
5
1
5
yxx
yxx
=> (x
1
- 2)(x
2
- 5) = 2 = 1.2 = (-1).(-2)
=>

21
xx
+
= 13 hoặc
21
xx
+
= 7
=> y = 8 hoặc y = 2.
Thay vào (13) phơng trình này có 4 nghiệm:
(x; y)

{(7; 8),(6; 8),(4; 2),(3; 2)}.
Một số bài toán tìm nghiệm nguyên
Bài 1. Tìm x; y nguyên thỏa mãn các phơng trình sau.
a) 5x
2
- 4xy + y
2
= 169
b) 3
x
= 4y + 1
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau.
a) 5
x
+ 12
x
= 13
x

b) y
4
= x
6
+ 3x
3
+ 1.
Bài 3. Chứng minh rằng phơng trình.
2
5
.t = 2.t
5
+ 1997 không có nghiệm nguyên.
Bài 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
x
3
- 3y
3
- 9z
3
= 0
Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình .