ĐỀ TÀI Khai thác kết quả từ một bài toán hình học lớp 8

ĐỀ TÀI
KHAI THÁC KẾT QUẢ TỪ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận.
Trong mục tiêu môn Toán THCS đã nêu lên rằng: “Rèn luyện khả năng suy luận
lôgic; khả năng quan sát và dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian. Rèn luyện kỹ
năng sử dụng ngôn ngữ chính xác. Bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như: linh hoạt, độc
lập, sáng tạo”.
Chúng ta đã biết hệ thống kiến thức trong chương trình đã được biên soạn lôgíc.
Hệ thống bài tập trong SGK và SBT đã được biên soạn công phu, chọn lọc, sắp xếp một
cách khoa học, phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh.
Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho HS không chỉ
kiến thức, kỹ năng làm bài tập Toán mà còn phải khơi dậy ở các em lòng say mê , tính
tích cực, tự giác trong học tập. Đây không chỉ là vấn đề của riêng ai! Nhưng làm thế nào
để đạt được mục đích đó thì quả là không dễ chút nào.
2. Cơ sở thực tiễn.
Có một thực tế mà ai đã từng cắp sách tới trường, đã từng tham dự các kỳ thi như
KĐCL, thi chọn HSG (trường, huyện, tỉnh...), đều nhận thấy: “Nếu chỉ dừng lại ở việc
học thuộc và làm các bài tập ở SGK và SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý không
làm được”. Đặc biệt là các kỳ thi chọn HSG, thi vào trường chuyên, lớp chọn. Sở dĩ như
vậy là vì trong các kỳ thi đó; các đề toán luôn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo các
kiến thức đã học, sự uyển chuyển trong các phương pháp giải, sự kết hợp giữa các bài tập
tương tự....
Qua quá trình dạy Toán nhiều năm, tôi nhận thấy rằng: “Có nhiều em học thuộc
lòng lý thuyết (định nghĩa, định lý, tính chất, quy tắc, ... nhưng vẫn không giải được bài
tập; đặc biệt là phần hình học”
Trong toán học bao gồm nhiều nội dung, dạng toán khác nhau. Các dạng toán có
thể không liên quan, ít liên quan, cũng có thể liên quan mật thiết với nhau. Song học sinh
rất khó nhận ra điều này. Đặc biệt là các bài toán hình học
Vì các lí do trên mà tôi chọn đề tài: “Khai thác kết quả từ một bài toán hình
học 8’’. Phần tam giác đồng dạng toán 8 tập 2.

B. NỘI DUNG
Giáo viên cho HS giải bài toán sau
Bài toán 1: (Bài toán gốc – Bài 46 trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)
Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng.
Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải
thích vì sao chúng đồng dạng?
-1-


a) Phân tích bài toán:
b) Lời giải:
Ta có +) ΔEBH : ΔDCH (g.g)
(1)
0
·
·
Vì : BEH=CDH=90
(gt)
·
·
(đối đỉnh)
EHB=DHC
+) ΔEBH : ΔDBA (g.g) (2)
$ chung
Vì : B
0 (gt)
·
·
và BEH=BDA=90
- ∆EBH : ∆ECA (g.g)

(3)
µ
µ
Vì : B = C (suy ra từ (1))
·
·
và BEH
= CEA
= 900
- ∆DCH : ∆DBA
(4)
(bắc cầu từ (1) và (2))
- ∆DCH : ∆ECA
(5)
(bắc cầu từ (1) và (3))
- ∆DBA : ∆ECA
(6)
(bắc cầu từ (2) và (3))
c) Khai thác bài toán:
+) Từ kết quả (1) (của bài toán 1): ΔEBH : ΔDCH ⇒

BH EH
=
⇒ BH .DH = CH .EH
CH DH

Cho ta có các bài toán:
Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD,CE là hai đường cao cắt nhau tại H
Chứng minh rằng: HB.HD = HC.HE.
( Từ bài này trở đi tôi xin miễn phân tích bài toán mà chỉ trình bày bài giải và hướng khai

thác)
Giải:
Ta có ∆EBH : ∆DCH (g.g) (theo (1) bài toán 1)
⇒

BH EH
=
⇒ BH .DH = CH .EH (đpcm)
CH DH

Bài toán 1.1.1: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các
đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: HA.HF=HB.HD=HC.HE
(Giải tương tự như bài toán 1.1- HS về nhà tự giải)
Khai thác bài toán:
Bài toán trên đúng cho cả trường hợp tam giác ABC là tam giác vuông, tam giác tù.
(Xem như bài tập , HS về nhà tự làm)
Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: ∆HBC : ∆HED
Giải:
-2-


Ta có ∆EBH : ∆DCH (g.g) (theo (1) của bài toán ( 1))
BH EH
BH CH
=
⇒
=
CH DH

EH DH
Xét ∆HBC và ∆HED có
BH CH
=
(chứng minh trên)
EH DH
·
·
= EHD
(đối đỉnh)
BHC
Suy ra ∆HBC : ∆HED (c.g.c)
⇒

+) Từ kết quả (2) (của bài toán 1): ∆EBH : ∆DBA ta có các bài tập sau:
Bài toán 2.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: BH.BD = BE.BA
Giải:
Ta có ∆EBH : ∆DBA (g.g) (theo (2) của bài toán ( 1))
⇒

BE BH
=
⇒ BD.BH = BE.BA
BD BA

(đpcm)

Bài toán 2.2: Cho tam giác nhọn ABC.BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: BH .BD + CH .CE = BC 2

Giải:
Nối A với H, kéo dài tia AH cắt BC tại F ta được đường cao
AF
Ta có: ∆BFH : ∆BDC (g.g) (chứng minh tương tự (2) của bài
toán ( 1))
BH BF
=
⇒ BH .BD = BC.BF
(1)
BC BD
Tương tự ta có: ∆CHF : ∆CBE (g.g)
CH CF
⇒
=
⇒ CH .CE = CB.CF
(2)
CB CE
⇒

Từ (1) và (2) suy ra:
BH .BD + CH .CE = BC .BF + BC .CF = BC ( BF + CF ) = BC 2
(Vì ∆ABC nhọn nên F nằm giữa B và C)
hay BH .BD + CH .CE = BC 2 (đpcm)

Bài toán 2.2.1: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng:
AH.AF + BH.BE + CH.CF =

AB 2 + AC 2 + BC 2
2

Giải:
Từ kết quả bài toán 2.2 ta được
AH.AF + BH.BD = AB2 (1)
AH.AF + CH.CE = AC2 (2)
BH .BD + CH .CE = BC 2 (3)
-3-


Từ (1), (2) và (3) suy ra:
⇒ 2(AH.AF + BH.BD + CH.CE ) = AB2 +AC 2 +BC 2
AB2 + AC 2 + BC2
(đpcm)
2
Bài toán 2.3: Cho hình bình hành ABCO . Kẻ CE ⊥ AB tại E, CF ⊥ AO tại F, Kẻ OH ⊥
AC tại H, kẻ BK ⊥ AC tại K
⇒ AH.AF + BH.BD + CH.CE =

a) Tứ giác OHBK là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CE.CO = CB.CF
c) Chứng minh rằng : AB.AE + AO.AF = AC2.
( Bài 258 sách Nâng cao và Phát triển Toán 8 tập 2)
Giải :
a) Dễ thấy tứ giác OHBK là hình bình hành
·
·
·
·
b) Ta có ABC
nên suy ra CBE

= AOC
= COF
⇒ ∆CBE : ∆COF (g.g)
CE CF
=
⇒ CE.CO=CB.CF
CB CO
c) Ta có ∆AOH : ∆ACF (g.g)
⇒

(theo (2) của bài toán 1)
⇒

AO AH
=
⇒ AO.AF=AC.AH (1)
AC AF

Tương tự ta có:
∆ ABK : ∆ ACE (g.g)
⇒

AB AK
=
⇒ AB.AE=AC.AK
AC AE

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

AO.AF+AB.AE=AC.AH+AC.AK=AC(AH+AK)

(3)

Xét ∆ AOH và ∆ CBK có:
·AHO = CKB
·
(= 900)
AO = BC (tính chất hình bình hành)
·
·
(so le trong)
OAH
= BCK
Suy ra: ∆ AOH = ∆ CBK (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ AH = CK (cạnh tương ứng) thay vào (3) ta có
⇒ AO.AF+AB.AE=AC(CK+AK)=AC.AC=AC 2
+) Từ kết quả (6) của bài tập 1 : ∆DBA : ∆ECA cho phép ta giải các bài toán sau:

Bài toán 3.1: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường
cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: AE.AB =AD.AC
Giải:
Ta có ∆DBA : ∆ECA (g.g) (theo (6) bài toán 1)
-4-


⇒

AD AB

=
⇒ AD.AC = AE. AB (đpcm)
AE AC

Bài toán 3.2: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng:
1) AD.AC = AH.AF = AE.AB
2) CD.CA = CH.CE = CF.CB
3) BF.BC = BH.BD = BE.BA
Giải:
Từ kết quả bài toán 2.1 ta có
AH.AF = AE.AB
(1)
Từ kết quả bài toán 3.1 ta có
AE.AB = AD.AC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD.AC= AH.AF= AE.AB (đpcm)
Chứng minh tương tự ta được hai đẳng thức 2) và 3)
Bài toán 3.3: Cho tam giác nhọn ABC. AF, BD, CE là các đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: BE.BA + CD.CA = BC2 và viết hai hệ thức tương tự
Giải:
Theo kết quả bài 2.2:
BH.BD + CH.CE = BC2 (1)
Mà theo kết quả bài toán 3.2:
BH.BD = BE.BA
CH.CE = CD.CA
Thay vào (1) ta được: BE.BA + CD.CA = BC2 (đpcm)
Hai hệ thức tương tự:
1. AE.AB + CF.CB = AC2
2. AD.AC + BF.BC = AB2

Bài toán 3.4: Cho tam giác nhọn ABC. BD, CE là hai đường
cao.
Chứng minh rằng: ∆ADE : ∆ABC
Giải:
Ta có ∆ADB : ∆AEC (g.g) (theo (6) bài toán 1)
AD AB
AD AE
=
⇒
=
AE AC
AB AC
Xét ∆ ADE và ∆ ABC có :
AD AE
=
(chứng minh trên)
AB AC
µA chung
Suy ra ∆ADE : ∆ABC (c.g.c) (đpcm)
⇒

C. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
-5-


1) Kết quả đạt được:
Sau khi tôi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì đã có sự chuyển biến khá rõ; đặc
biệt là các em có học lực từ Tb trở lên; các em đã chịu khó suy nghĩ, tìm tòi, lời giải cũng
mạch lạc hơn.
Kết quả cụ thể như sau:

Năm học

Áp dụng
đề tài

Tổng
Số HS giải được theo các mức độ
số HS Từ 0 -20% BT Từ 20-50% BT Từ 50-80% BT Trên 80% BT
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

2008 –
2009

Chưa áp
dụng

32

8

25 0 0

11

34,4 0 0

11

34,4 0 0

0

0

2009 –
2010

Đã áp
dụng

32

6

18,8 0 0

12

37 0 0

11

34,4 0 0

4

9,8 0 0

2010 2011

Đã áp
dụng

30

4

13 0 0

9

30 0 0

12

40 0 0

5

17 0 0

2011 2012

Đã áp
dụng

30

4

14 0 0

7

23 0 0

13

43 0 0

6

20 0 0

0

Như vậy sau khi áp dụng thì số lượng HS giải theo các mức độ đã có thay đổi đáng kể.
Đặc biệt là các em đã giải được từ 50% trở lên đã tăng rõ rệt
2) Kiến nghị đề xuất:
Đây chỉ là một bài tập rất nhỏ trong vô vàn các bài tập mà chúng ta có thể khai
thác. Song ở đề tài này của tôi nó khá phù hợp với đối tượng HS khá giỏi và được giảng
dạy vào các tiết tăng buổi, bồi dưỡng HSG do đó khi áp dụng đề tài này thì nên phân
luồng HS cho phù hợp.

Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi không thể tránh khỏi những sai sót.
Rất mong quý thầy cô góp ý, chỉnh sửa để các lần áp dụng sau đạt hiệu quả tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

-6-