Đa tạp nehari cho bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến

Mục lục

Phần mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Giới thiệu và các hệ quả chính . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Kết quả về tính lồi-lõm trong trường hợp dưới tới hạn . .

9

2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến
tính với điều kiện biên phi tuyến

15

2.1

15

2.2

Các kết quả trong trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . .
2.1.1

Trường hợp tới hạn (a): p = 2∗ =

16

2.1.2

Trường

22

2.1.3

Trường

2N
N −2 , 1 < q < 2. .
−1)
∗
hợp tới hạn (b): q = 2∗b = 2(N

N −2 , 2 < p < 2b .
∗
hợp điểm tới hạn (c): p = 2∗ = N2N
−2 , q = 2b =

2(N −1)
N −2 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết quả rẽ nhánh: trường hợp q=2, 1
30

Kết luận

39

1


LỜI CẢM ƠN

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy
cô ở bộ môn Giải tích nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt tác giả trong suốt
thời gian qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới TS. Nguyễn Như Thắng, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và

giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn bạn bè, gia
đình, đồng nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ
để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn
chế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả
rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2016
Học viên

Hà Thị Ngoan

2


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến đã
được nghiên cứu sâu rộng. Sau bài báo [3] của Brezis-Nirenberg, phương
trình nửa tuyến tính với số mũ Sobolev thu hút sự quan tâm của nhiều
nhà toán học, xem [1,2,6,8]. Trường hợp số mũ tới hạn kép được nghiên
cứu lần đầu vào những năm 90 và gần đây vẫn tiếp tục được mở rộng khi
xét hàm trọng đổi dấu hay khi xét toán tử suy biến [7,9,10].
Trong luận văn chúng tôi xét lớp các bài toán nửa tuyến tính với số
hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Sobolev, xuất hiện cả trên
biên và ở vế phải:


 −∆u + u = |u|p−2 u,




∂u
= λ|u|q−2 u,
∂n

trong Ω
(1)
trên ∂Ω

trong đó Ω ⊂ RN , N ≥ 3, là một miền bị chặn với biên trơn, n là véc-tơ
pháp tuyến đơn vị ngoài và λ là tham số dương. Các số mũ thỏa mãn điều
kiện
1 < p < 2∗ =

2N
,
N −2

1 < q < 2∗b =

2(N − 1)
.
N −2

(2)

Chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu trong luận văn là "Đa tạp Nehari cho
bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến" dựa trên bài
báo [10] năm 2013 của Zhang và Liu.

1


Với đề tài này, chúng tôi sử dụng đa tạp Nehari và phương pháp thớ để
chứng minh các kết quả nghiệm bội cho phương trình elliptic nửa tuyến
tính với điều kiện biên phi tuyến. Chúng tôi hạn chế p, q thỏa mãn một
trong các trường hợp sau:
(a) p = 2∗ , q ∈ (1, 2) (b) p ∈ (2, 2∗ ), q = 2∗b

(c) p = 2∗ , q = 2∗b .

Khi đó, luận văn trình bày chi tiết kết quả sau:
Định lí (Zhang& Liu). Tồn tại một số dương λ∗ sao cho với mọi λ ∈
(0, λ∗ ), bài toán (1) có ít nhất hai nghiệm dương.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu, tổng hợp và trình bày kết quả
về sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán biên nửa tuyến tính với số
hạng phi tuyến xuất hiện cả trên biên và trong vế phải, với số mũ Sobolev
tới hạn.
Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết là tìm hiểu về lí thuyết đa tạp Nehari
và kĩ thuật ánh xạ phân thớ, và sau đó, chứng minh sự tồn tại ít nhất hai
nghiệm dương của bài toán khi tham số λ đủ nhỏ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là một lớp bài toán elliptic nửa tuyến tính với số
hạng phi tuyến xuất hiện ở cả vế phải và trên biên, thỏa mãn điều kiện
dưới tới hạn hoặc tới hạn.
Phạm vi nghiên cứu là sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán (1) và
bài toán rẽ nhánh từ giá trị riêng đầu tiên của bài toán giá trị riêng tương
ứng khi q = 2.

4. Định hướng và phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức đã học về phương trình elliptic, giải tích hàm phi
tuyến và việc tham khảo tài liệu cũng như các bài báo liên quan. Để giải
2


bài toán (1), chúng tôi sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu các
điểm tới hạn của phiếm hàm:
J(u) =

1
2

(| u|2 + |u|2 ) dx −
Ω

1
p

|u|p dx −
Ω

λ
q

|u|q ds.

(3)

∂Ω

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán đã cho, chúng tôi kết hợp
hướng tiếp cận phân thớ đề xuất bởi Drabek-Pohozaev trong [4] và kĩ thuật
phân tích đa tạp Nehari. Để vượt qua khó khăn trong trường hợp số mũ
tới hạn kép (cả p và q đều trùng với số mũ tới hạn), chúng tôi sử dụng
phương pháp compact tập trung đề xuất bởi Lions trong [6] và vận dụng ý
tưởng trong [7].
Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến
gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi giới
thiệu bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến, đưa ra
một vài khái niệm và sơ bộ về ánh xạ thớ và đa tạp Nehari, các kết quả về
tính lồi-lõm trong trường hợp dưới tới hạn.
Chương 2. Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa
tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến. Trong chương 2, chúng tôi
trình bày sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến tính với
điều kiện biên phi tuyến trong các trường hợp số mũ tới hạn và trong bài
toán rẽ nhánh.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giới thiệu và các hệ quả chính

Trong luận văn này ta xét bài toán elliptic nửa tuyến tính:



 −∆u + u = |u|p−2 u
trong Ω,
∂u
= λ|u|q−2 u trên ∂Ω,
∂n
là miền bị chặn với biên ∂Ω trơn và N ≥ 3.

(1.1)




trong đó, Ω ⊂ RN

∂
∂n

là đạo

hàm theo hướng pháp tuyến ngoài và λ > 0 là tham số.
Chú ý rằng bài toán (1.1) có 2 số hạng phi tuyến. Một số hạng |u|p−2 u
được lấy từ phương trình và số hạng |u|q−2 u được lấy từ điều kiện biên. Ở
đây, số mũ p và q thỏa mãn:
1
2∗b =

2(N − 1)

và 1 < p
N −2

2∗ =

2N
N −2

(N

3)

(1.2)

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1)(có thể là nghiệm bội) được khảo
sát rộng rãi; xem ví dụ [11, 12]. Ở đó, các tác giả đã nghiên cứu bài toán:


 −∆u + u = λf (x)|u|p−2 u, trong Ω
∂u


= g(x)|u|q−2 u,
trên ∂Ω
∂n
với hàm f, g đổi dấu trong Ω. Ta được sự tồn tại nghiệm dương bằng cách
sử dụng phương pháp thớ và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari, được phát
4

triển trong bài báo [4, 8, 13].
Trong [11, 12], tác giả thảo luận các trường hợp khác nhau với p và q
từ dưới tới hạn đến tới hạn. Hơn nữa, bài toán nửa tuyến tính và tựa tuyến
tính với điều kiện biên phi tuyến được nghiên cứu trong một vài năm gần
đây.
Để giải quyết bài toán (1.1), ta sử dụng phương pháp biến phân thông
qua hàm
J(u) =

1
2

(| u|2 + |u|2 ) dx −
Ω

1
p

|u|p dx −
Ω

λ
q

|u|q ds

(1.3)

∂Ω

trong đó ds là độ đo trên biên. Dễ thấy J được xác định và C 1 trong H 1 (Ω)
nếu p và q được thỏa mãn điều kiện (1.2). Nghiệm yếu của bài toán (1.1)
tương ứng với điểm tới hạn của hàm J trên H 1 (Ω), ở đó H 1 (Ω) là không
gian Sobolev tiêu chuẩn trên Ω được trang bị bởi chuẩn:
u

2

(| u|2 + |u|2 ) dx.

=
Ω

Với 1 < q < 2 < p < 2∗ , tính lồi phi tuyến xuất hiện trong phương
trình và tính lõm xuất hiện ở điều kiện biên. Nó được hiểu rằng, có một
vài kết quả trên phương trình elliptic với tính lồi lõm phi tuyến dưới điều
kiện biên Dirichlet; xem [1, 2, 9]. Trong trang này các kết quả bội có thể
đạt được qua xấp xỉ của Drabek-Pohozaev [4, 14] và phương pháp đa tạp
Nehari của Nehari [13].
Định lí 1.1. Nếu λ thỏa mãn 0<λ<λ0 , khi đó bài toán (1.1) có ít nhất 2
nghiệm dương u1 và u2 , trong đó λ0 giống trong Bổ đề 1.8 bên dưới.
Sau bài báo [3] của Brezis và Nirenberg, nhiều nghiên cứu dành cho bài
toán với độ tăng trưởng tới hạn. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày
lại sự tồn tại nghiệm khi ta có số mũ tới hạn p = 2∗ hoặc q = 2∗b hoặc
5


số mũ tới hạn kép. Ta sẽ áp dụng phương pháp compact tập trung được
giới thiệu trong [6] và một vài khái niệm từ [7]. Khi đó bài toán (1.1) có
nghiệm bội không tầm thường trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp a) p = 2∗ và 1 < q < 2;
Trường hợp b) q = 2∗b và 2 < p < 2∗b ;
Trường hợp c) p = 2∗ và q = 2∗b .
Cụ thể, ta đi chứng minh các định lí sau.
Định lí 1.2. Với trường hợp a, tồn tại λ1 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít
nhất 2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ1 ).
Định lí 1.3. Với trường hợp b, tồn tại λ2 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít
nhất 2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ2 ).
Định lí 1.4. Với trường hợp c, tồn tại λ3 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít
nhất 2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ3 ).
Trường hợp còn lại q = 2, ta có bài toán rẽ nhánh từ giá trị riêng thứ
nhất. Bài toán giá trị riêng được hiểu như bài toán Steklov


−∆u + u = 0 trên Ω,
(S)

 ∂u
= λu trong ∂Ω.
∂n
Giá trị riêng thứ nhất λ1S của bài toán (S) phải là hằng số tốt nhất
trong phép nhúng trong không gian Sobolev H 1 (Ω) → L2 (∂Ω) theo nghĩa
λ1S |u|2L2 (∂Ω)

u 2.

Ta sẽ sử dụng phương pháp đa tạp Nehari để giải quyết bài toán (1.1)
với 1 < q < 2 .
Định lí 1.5. Nêú λ thỏa mãn 0 < λ < λ1S và q = 2, 1 < p < 2 thì bài toán
(1.1) có ít nhất một nghiệm uλ sao cho uλ > 0 trong Ω và lim− uλ −→ ∞

λ→λ1S

ở đó, λ1S là giá trị riêng thứ nhất của bài toán Steklov.
6


1.2

Sơ bộ

Ý tưởng trong luận văn này, ta kí hiệu X là không gian Banach với
chuẩn ·

X,

X ∗ là không gian đối ngẫu của X. Lp (Ω), Lp (∂Ω) là không

gian Lebesgue với chuẩn thường |·|p,Ω , |·|p,∂Ω . H 1 (Ω) là không gian Sobolev
với chuẩn · , ·, · là cặp đối ngẫu của không gian X ∗ và X. Ta kí hiệu
( tương ứng −→) là hội tụ yếu (tương ứng với hội tụ mạnh).
Điều đó được hiểu là nghiệm của (1.1) tương ứng với điểm tới hạn của
hàm J xem (1.3). Khi J bị chặn dưới trong không gian Banach H 1 (Ω), J
có cực tiểu trên H 1 (Ω), là một điểm tới hạn của J. Trong nhiều trường
hợp, hàm như (1.3) không bị chặn dưới trên H 1 (Ω) nhưng bị chặn dưới
trên tập con của H 1 (Ω), được gọi là đa tạp Nehari. Ta kí hiệu N là đa tạp
Nehari
N = u ∈ H 1 (Ω)\ {0} : J (u), u = 0 ,
trong đó, , là đối ngẫu thường giữa H 1 (Ω)∗ và H 1 (Ω). Rõ ràng tất cả
các điểm tới hạn của J phải nằm trên N và N là tập rất bé so với H 1 (Ω).
Bởi vậy dễ dàng nghiên cứu hàm J trên N .

Dễ thấy u ∈ N khi và chỉ khi
u

2

|u|p dx − λ

−
Ω

|u|q ds = 0

(1.4)

∂Ω

Giống như phương pháp được sử dụng bởi Brown-Zhang [8] và BrownWu [2], ta xét ánh xạ hàm thớ φu : t −→ J(tu) t > 0 được định nghĩa
bởi:
t2
u
φu (t) =
2

2

tp
−
p

tq

|u| dx − λ
q
p

Ω

|u|q ds.
∂Ω

1

Nếu u ∈ H (Ω), ta có
φu (t) = t u

2

− tp−1

|u|p dx − λtq−1
Ω

|u|q ds,
∂Ω

7

(1.5)


φu (t) = u

2

− (p − 1)tp−2

|u|p dx − λ(q − 1)tq−2
Ω

|u|q ds.
∂Ω

Từ (1.4) và (1.5) dễ thấy u ∈ N ⇔ φu (1) = 0 và hơn nữa tu ∈ N ⇔
φu (t) = 0, . . . , các điểm dừng trong N tương ứng với điểm dừng của ánh
xạ hàm thớ φu . Do đó u ∈ N , từ (1.4) ta có
φu (1) = u

2

|u|p dx − λ(q − 1)

− (p − 1)
Ω

∂Ω

|u|p dx + λ(2 − q)

= (2 − p)
Ω

= (2 − q) u

|u|q ds

|u|q ds

∂Ω
2

|u|p dx

− (p − q)
Ω

= (2 − p) u

2

+ λ(p − q)

|u|q ds.

∂Ω

Do đó, ta chia đa tạp Nehari N thành 3 phần:
N + = {u ∈ N : φu (1) > 0}
N − = {u ∈ N : φu (1) < 0}

(1.6)

N 0 = {u ∈ N : φu (1) = 0}
lần lượt tương ứng với điểm cực tiểu địa phương, điểm cực đại địa phương
và điểm uốn. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) bằng
cách chỉ ra sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm J trên tập N . Mặc dù N
là tập nhỏ của H 1 (Ω), ta xem bên dưới, cực tiểu địa phương trên đa tạp
Nehari N luôn là điểm tới hạn của J. Bổ đề sau sẽ chỉ ra điều đó.
Bổ đề 1.6. Giả sử u0 là điểm cực tiểu địa phương của J trên N và u0 ∈
N 0 . Khi đó, u0 là một điểm tới hạn của hàm J.
Chứng minh ta có thể xem Binding [15] và Brown-zhang [8].
Bây giờ ta sẽ giới thiệu điều kiện (P S)c .
8


Định nghĩa 1.7. Lấy f ∈ C(X, R) và c ∈ R. Hàm f thỏa mãn điều kiện
(P S)c nếu với mỗi dãy {un } ⊆ X thỏa mãn
f (un ) −→ c và f (un ) −→ 0 trong X ∗ khi n −→ ∞.
có một dãy con hội tụ.

1.3

Kết quả về tính lồi-lõm trong trường hợp dưới
tới hạn

Trong mục này, ta xét bài toán (1.1) với 1 < q < 2 < p < 2∗ =

2N
N −2

bằng cách sử dụng phương pháp thớ và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari.
Ta xét hàm

ψ(t) = t2−q u

2

− tp−q

|u|p dx.
Ω

Rõ ràng, với t > 0, tu ∈ N ⇔ t là nghiệm cuả phương trình
|u|q ds.

ψ(t) = λ

(1.7)

∂Ω

Hơn nữa, điều kiện p − q > 2 − q > 0 có nghĩa là hàm ψ(t) lúc đầu tăng
1
 p−2



 (2−q) u 2 

và sau đó giảm với điểm chuyển hướng đơn t0 = 


 (p−q) |u|p dx 

; xem

Ω

hình 1.
|u|q dx > 0, ta hiểu rằng (1.7) không có nghiệm nếu λ

Từ hình 1 và
∂Ω

thỏa mãn điều kiện sau
λ

|u|q dx > ψ(t0 ) =

2−q
p−q

2−q
p−2

−

∂Ω

2−q
p−2

p−q

p−2

u

.

2(p−q)
p−2
2−q .
 p−2

 |u|p dx
Ω

9


Hơn nữa, (1.4) và (1.6) suy ra φu (t) < 0. Do đó, ta có tu ∈ N ∀t > 0. Mặt
khác, nếu λ thỏa mãn
|u|q dx < ψ(t0 ),

0<λ
∂Ω

Khi đó, từ hình 1 ta biết (1.6) có hai nghiệm t1 , t2 với t1 < t0 < t2 sao cho
φu (t1 ) = φu (t2 ) = 0 và ψu (t1 ) > 0, ψu (t2 ) < 0. Do đó, ta có:


(2 − q)t1−q
φu (t1 ) = tq−1

u
1
1

2

|u|p dx = tq−1
1 ψ (t1 )

− (p − q)tp−q−1
1
Ω




(2 − q)t1−q
u
φu (t2 ) = tq−1
2
2

2

|u|p dx = tq−1
2 ψ (t2 ).

− (p − q)tp−q−1
2
Ω

Suy ra φu (t1 ) > 0 và φu (t2 ) < 0 và bởi vậy hàm thớ φu có điểm cực tiểu
địa phương tại t1 và một điểm cực đại địa phương tại t2 sao cho t1 u ∈ N +
và t2 u ∈ N − .
Bây giờ ta xét hàm ψ và φu tại điểm t0 . Từ ψ (t0 ) = 0 và
φu (t0 ) = (2 − q) u

2

− (p − q)tp−2
0

|u|p dx
Ω

= tq−1
0 ψ (t0 ).
ta có φu (t0 ) = 0 và bởi vậy t0 là điểm uốn của hàm φu . Do đó, ta được hệ
quả sau.
Bổ đề 1.8. Tồn tại hằng số λ0 > 0 sao cho N 0 = ∅ với 0 < λ < λ0 .
Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại 0 < λ < λ0 sao cho N 0 = ∅ với
λ0 =

2−q
cp

2−q
p−2

.

1
p−q

p−q
p−2

. p−2
. Khi đó, với u ∈ N 0 ta có
cq
b

0 = φu (1) = (2 − p) u

2

|u|q ds

+ λ(p − q)
∂Ω

= (2 − q) u

2

|u|p dx.

− (p − q)
Ω

10


Theo Định lý phép nhúng Sobolev, ta có
u

λ(p − q)cqb
p−2

u

2−q
(p − q)cp

và

1
2−q

,

(1.8)

,

(1.9)

1
p−2

trong đó cb , c là hằng số của phép nhúng Sobolev. Từ (1.8) và (1.9) suy ra
λ

λ0 , điều này mâu thuẫn. Do đó với hằng số λ0 như trên, λ0 > 0 sao

cho N 0 = ∅ với 0 < λ < λ0 .
Bổ đề 1.9. J là cưỡng và bị chặn dưới trên N .
Chứng minh. Theo Định lý phép nhúng Sobolev và 1 < q < 2 < p, ta có
J(u) =

1 1
−
2 p

u 2 −λ

1 1
−
q p

|u|q ds
∂Ω

1 1
−
2 p

u 2 −λ

1 1 q

−
c u
q p b

q

ở đó cb là hằng số. Do đó, hàm J là cưỡng và bị chặn dưới trên N . Từ Bổ
đề 1.8 và 1.9, với λ ∈ (0, λ0 ), N = N − ∪ N + và J bị chặn dưới trên N −
và N + . Do đó, ta định nghĩa
α0+ = inf+ J(u) và α0− = inf− J(u)
u∈N

u∈N

Ta có các kết quả sau.
Mệnh đề 1.10. Nếu 0 < λ < λ0 thì hàm J có một điểm cực tiểu u1 trong
N + và thỏa mãn
1) J(u1 ) = inf+ J(u) < 0;
u∈N

2) u1 là một nghiệm dương của bài toán (1.1).
Chứng minh. Vì J bị chặn dưới trên N + nên tồn tại dãy cực tiểu hóa
{un } ⊆ N + sao cho:
lim J(un ) = inf+ J(u).

n→∞

u∈N

11

Khi đó, từ Bổ đề 1.9 dãy {un } bị chặn trong H 1 (Ω). Không mất tính tổng
quát, ta có thể giả sử tồn tại u1 ∈ H 1 (Ω) sao cho:
u1 trong H 1 (Ω), vì các phép nhúng compact nên un −→ u1 trong

un

r < 2∗ =

Lr (Ω) và Ls (∂Ω), với 1

2N
N −2

và 1

2(N −1)
N −2

s < 2∗b =

(N

3).

Suy ra:
|u1 |p dx và

|un |p dx −→

Ω

Ω

|un |q ds −→
∂Ω

|u1 |q ds
∂Ω

khi n −→ ∞. Từ hình 1, tồn tại t1 sao cho t1 u1 ∈ N + và J(t1 u1 ) < 0. Do
đó, ta có inf+ J(u) < 0.
u∈N

Bây giờ ta chứng minh un −→ u1 trong H 1 (Ω). Giả sử ngược lại thì
u1

lim inf un . Khi đó, với un ∈ N + , ta có:
n→∞




lim φun (t1 ) = lim t1 un 2 −t1p−1

n→∞

|un |p dx − λtq−1
1

n→∞

Ω

> t1 u1

2

− tp−1
1

∂Ω

|u1 |p dx − λtq−1
1
Ω

|un |q ds

|u1 |q ds
∂Ω

= φu1 (t1 ) = 0,
φun (t1 ) > 0 với n đủ lớn. Từ un = 1.un ∈ N + , từ hình 1 dễ thấy φun (t) < 0
với t ∈ (0, 1) và φun (1) = 0 ∀n. Khi đó, ta có t1 > 1. Mặt khác, φu1 (t) giảm
trên (0, t1 ) và do đó:
J(t1 u1 )

J(u1 ) < lim J(un ) = inf+ J(u),
n→∞

u∈N

Điều này mâu thuẫn. Do đó, un −→ u1 trong H 1 (Ω). Suy ra:
J(un ) −→ J(u1 ) = inf+ J(u) khi n −→ ∞.
u∈N

Do đó, u1 là một điểm cực tiểu của J trên N + . Từ J(u1 ) = J(|u1 |) và
|u1 | ∈ N + , sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u1 là nghiệm dương của bài toán (1.1).
12


Tiếp theo, ta đi chứng minh sự tồn tại của điểm cực tiểu địa phương
của J trên N − .
Mệnh đề 1.11. Với 0 < λ < λ0 hàm J có một điểm cực tiểu u2 và thỏa
mãn
1) J(u2 ) = inf− J(u);
u∈N

2) u2 là một nghiệm dương của bài toán (1.1).
Chứng minh. Tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, ta có J bị chặn
dưới trên N − nên tồn tại dãy cực tiểu hóa {un } ⊆ N − sao cho
lim J(un ) = inf− J(u).

n→∞

u∈N

Khi đó, từ Bổ đề 1.9 dãy {un } bị chặn trong H 1 (Ω). Vì H 1 (Ω) là không
gian phản xạ, bằng cách chọn dãy con ta có thể giả sử tồn tại u2 ∈ H 1 (Ω)

sao cho
u2 trong H 1 (Ω), un −→ u2 trong Lr (Ω) và Ls (∂Ω),

un
với 1

r < 2∗ =

2N
N −2

và 1

|un |p dx −→
Ω

s < 2∗b =

2(N −1)
N −2

|u2 |p dx và
Ω

(N

3). Suy ra

|un |q ds −→
∂Ω

|u2 |q ds
∂Ω

khi n −→ ∞. Từ tính giải tích của hàm thớ φu và hình 2, ta hiểu rằng tồn
tại t1 , t2 với t1 < t0 < t2 sao cho t1 u ∈ N + , t2 u ∈ N − và J(t1 u) = J(tu)
J(t2 u).
Bây giờ ta chứng minh un −→ u2 trong H 1 (Ω). Giả sử ngược lại thì

13


u2 < lim inf un . Khi đó, với un ∈ N − , ta có J(un )

J(tun ) ∀t

n→∞

t22
tp2
2
J(t2 u2 ) =
u2 −
2
p

t22

un
< lim

n→∞
2

tq2
|u2 | dx − λ
q
p

Ω

t0 và

|u2 |q ds
∂Ω

2

−

tp2

|un |p dx − λ

p
Ω

= lim J(t2 un )



tq2

|un |q ds

q
∂Ω

lim J(un ) = inf− J(u),

n→∞

n→∞

u∈N

Điều này mâu thuẫn. Do đó, un −→ u2 trong H 1 (Ω). Suy ra
J(un ) −→ J(u2 ) khi n −→ ∞.
Do đó, u2 là một điểm cực tiểu của J trên N − . Từ J(u2 ) = J(|u2 |) và
|u2 | ∈ N − , sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u2 là nghiệm dương của bài toán (1.1).
Định lý được chứng minh.
Bây giờ ta có thể chứng minh Định lý 1.1.
Chứng minh Định lý 1.1 . Từ Mệnh đề 1.10, 1.11 và Bổ đề 1.6, ta có
bài toán (1.1) có hai nghiệm dương u1 ∈ N + và u2 ∈ N − trong H 1 (Ω). Do
N + ∩ N − = ∅ nên hai nghiệm này phân biệt. Định lý được chứng minh.
Chú ý 1.12. Phương pháp chứng minh trong luận văn có thể áp dụng với
điều kiện 1 < p < 2 < q < 2∗b =

2(N −1)
N −2 ,

p là số hạng lõm và q là số hạng

lồi. Chứng minh hệ quả sự tồn tại giống như chứng minh bài toán (1.1).
Hoặc có thể xét bài toán elliptic nửa tuyến tính với hàm thế đổi dấu


 −∆u + u = µf (x)|u|p−2 u trong Ω,
∂u


= λg(x)|u|q−2 u trên ∂Ω,
∂n
¯ −→ R là các hàm liên tục, nó đổi dấu trong Ω
¯ và số mũ q, p
ở đó f, g : Ω
thỏa mãn 1 < q < 2 < p < 2∗ =

2N
N −2

hoặc 1 < p < 2 < q < 2∗b =

14

2(N −1)
N −2 .


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm dương của bài

toán elliptic nửa tuyến tính với điều
kiện biên phi tuyến
2.1

Các kết quả trong trường hợp tới hạn

Sau công trình [3] của Brezis và Nirenberg, nhiều công trình nghiên
cứu đã được dành trọn cho bài toán tới hạn tăng trưởng, chủ yếu cho
toán tử −∆ và −∆p với điều kiện biên Dirichlet; ví dụ, xem [7]. Để chứng
minh các kết quả của sự tồn tại, do thiếu tính compact trong bao hàm
∗

∗

H 1 (Ω) → L2 (Ω) và H 1 (Ω) → L2b (∂Ω), ta sử dụng phương pháp compact
tập trung được giới thiệu bởi P. Lions trong [6]. Chúng ta đưa ra ở đây để
thuận tiện cho bạn đọc nhưng bỏ qua phần chứng minh.
Bổ đề 2.1. Lấy un là dãy hội tụ yếu trong H 1 (Ω) với giới hạn yếu u sao
∗

cho | un |22

dµ, |un |22∗

dν theo phương của độ đo. Khi đó, tồn tại

x1 , x2 , · · · , xl ∈ Ω sao cho:
∗

1) dν = |u|22∗ +

2) dµ ≥ | u|22 +

l
j=1 νj δxj ; νj > 0,
l
j=1 µj δxj ; µj > 0,
2/2∗

3) Nếu xj ∈ Ω thì Sνj

≤ µj ,
15


4) Nếu xj ∈ ∂Ω thì

2/2∗

S
22/N

νj

≤ µj .

ở đó S được cho bởi (2.1)
2.1.1

Trường hợp tới hạn (a): p = 2∗ =

2N
N −2 ,

1 < q < 2.

Trong mục trước, chúng ta nghiên cứu số hạng phi tuyến có độ tăng
trưởng tới hạn trong phương trình và dưới tuyến tính trên biên, đó là:

2N

 −∆u + u = |u| N −2 −2 u trong Ω,
∂u


= λ|u|q−2 u trên ∂Ω,
∂n
ở đó λ là tham số thực dương và 1 < q < 2.
∗

Chú ý rằng phép nhúng H 1 (Ω) → L2 (Ω) liên tục và không compact,
chúng ta không thể mong đợi điều kiện (P S)c xảy ra. Trong trường hợp
này, ta có thể chứng minh điều kiện địa phương (P S)c sẽ xảy ra nếu J(u)
nhận giá trị nào đó.
Lấy S là hằng số tốt nhất của phép nhúng Sobolev
S = inf
Nói riêng, |u|2∗ ,Ω ≤ S

−1
2

u 2
: u ∈ H 1 (Ω)\ {0} .
2
|u|2∗ ,Ω

(2.1)

u ∀u ∈ H 1 (Ω)\ {0}. Trong trường hợp này, ta

sửa đổi hàm J hàm thớ φu (t) và đa tạp Nehari N , như trong mục 1.3. Khi
đó, ta có các Bổ đề sau:
Bổ đề 2.2. Tồn tại hằng số λ∗ > 0 sao cho N 0 = ∅ với mỗi λ ∈ (0, λ∗ ).
Chứng minh. Chứng minh tương tự Bổ đề 1.8.
Bổ đề 2.3. J là cưỡng và bị chặn dưới trên N .

16


Chứng minh. Với mọi u ∈ N , ta có u

2

∗

|u|2 dx + λ

=
Ω

|u|q ds. Theo

∂Ω

bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Young, ta có:
J(u) =

1
1
− ∗
2 2

u

2

−λ

1
1
− ∗
q 2

|u|q ds
∂Ω

1
u
≥
N

1
1
2
− λ( − ∗ )cqb u q .
q 2

Vì 1 < q < 2 nên J cưỡng trên N và bị chặn dưới. Chúng ta có khẳng
định.
Theo Bổ đề 2.2 và 2.3, với λ ∈ (0, λ∗ ), ta đã biết N = N −

N + , và J

bị chặn dưới trên N + và N − . Vì vậy, chúng ta có thể định nghĩa:
α1+ = inf+ và α1− = inf− J(u)
u∈N

u∈N

Bây giờ, ta có thể chứng minh hàm J thỏa mãn điều kiện địa phương
(P S)c .
Mệnh đề 2.4. Lấy un ⊆ H 1 (Ω) là một dãy (P S)c của hàm J với
c<

2∗
1 N
S 2 − Kλ 2∗ −q ,
N

khi đó tồn tại dãy con của un hội tụ mạnh trong H 1 (Ω). Ở đó S được cho
bởi (2.1).

Chứng minh. Điều này được suy ra từ Bổ đề 2.3, dãy un bị chặn trong
H 1 (Ω). Khi đó, trong các dãy con, chúng ta có thể giả sử un

u0 trong

H 1 (Ω) và un −→ u0 trong Lq (∂Ω). Lấy vn = un − u0 . Áp dụng Bổ đề 1.32
của [16], chúng ta có:
vn

2

= un

2

− u0

2

∗

∗

∗

+ o(1) và |vn |22∗ ,Ω = |un |22∗ ,Ω − |u0 |22∗ ,Ω + o(1). (2.2)

17

Khi đó:
2

J (un ), un = un

∗

|un |2 dx − λ

−
Ω

|un |q ds

∂Ω


= vn

2

∗

2

+ u0


Ω

= vn

2

∗
|u0 |2 dx − λ

−  |vn |2 dx +
Ω

|u0 |q ds + o(1)

∂Ω

∗

|vn |2 dx + J (u0 ), u0 + o(1).

−
Ω

Do J (u0 ), u0 = 0 và J (un ), un −→ 0 khi n −→ ∞ nên ta có:
2

vn

∗

|vn |2 dx −→ b.

−→ b và

(2.3)

Ω

Nếu b = 0, chứng minh kết thúc. Giả sử b > 0, từ (2.1) và (2.3), ta được:
 22∗


un

2

∗
≥ S  |un |2 dx ,

Ω
2

Suy ra b ≥ S · b 2∗ = S · b

N −2
N

N

, do đó, b ≥ S 2 .

Kết hợp (2.2) và (2.3), ta có


1
c = lim J(un ) = lim  un
n−→∞
n−→∞ 2


2

−

1
2∗

∗

|un |2 dx −
Ω

≥ J(u0 ) +

λ
q

|un |q ds
∂Ω

(2.4)

1 N

S2.
N

Nhưng, theo giả thiết c <

1 N2
NS ,

ta có J(u0 ) < 0. Nói riêng, u0 không trùng

với 0 và
0<

1
u0
2

2

<

1
2∗

∗

|u0 |2 dx +
Ω

λ

q

|u0 |q ds.
∂Ω

18


Nghĩa là,
1
c = lim J(un ) = lim J(un ) − J(un ), un
n−→∞
n−→∞
2


1
1 1
∗
= lim 
|un |2 dx + λ
−
|un |q ds
n−→∞
N
2 q
Ω

≥

(2.5)

∂Ω

1
1 N
S2 +
N
N

∗

|u0 |2 dx + λ

1 1
−
2 q

Ω

|u0 |q dx.
Ω

Áp dụng bất đẳng thức Holder cho (2.5) ta có
 2q∗


c≥

1

1 N
S2 +
N
N

2∗ −q
1 1
−
|Ω| 2∗ 
q 2

∗

|u0 |2 dx − λ

∗
|u0 |2 dx ,

Ω

Ω

ở đó |Ω| là độ đo Lebesgue của Ω.
Lấy θ(x) =

1 2∗
Nx

1
q

−λ

−

1
2

|Ω|

2∗ −q
2∗

xq . Hàm này đạt cực tiểu tại điểm
1
2∗ −q

λ(2 − q)(N − 2)
4q

x0 =

1

|Ω| 2∗ .

Nghĩa là
2∗

θ(x) ≥ θ(x0 ) = −Kλ 2∗ −q ,

ở đây K =

∗

2 −q
2∗

Nq
2∗

q
2∗ −q

2−q
2q

2∗
2∗ −q

|Ω|. Bởi vậy, c ≥

1 N2
NS

2∗

− Kλ 2∗ −q ,

mâu thuẫn với giả thiết. Do đó b ≡ 0 và chúng ta kết luận rằng un −→ u0
trong H 1 (Ω). Chứng minh được hoàn thành.

Lấy
ϑε (x) =
¯ = (N (N − 2))
ở đó N

N −2
4

¯ ξ(x)ε N2−2
N
(ε2

+

|x|2 )

N −2
2

,

(2.6)

, ε > 0 và ξ ∈ C0∞ (RN , [0, 1]) với ξ(x) = 1 nếu

|x| ≤ 2r ; ξ(x) = 0 nếu |x| ≥ r. Ở đây r có thể chọn theo yêu cầu khác
nhau. Theo kết quả của Willem [16], các ước lượng tiệm cận sau khi ε đủ
bé:
N
∗

|ϑε |22∗ = S˜ 2 + O(εN ),

N
| ϑε |22 = S˜ 2 + O(εN −2 ),

19

(2.7)


và




cε2 + O(ε)N −2
nếu N ≥ 5,



|ϑε |22 = cε2 |ln ε| + O(ε2 ) nếu N = 4,




cε + O(ε2 )
nếu N = 3,

(2.8)

trong đó c > 0 là hằng số và S˜ là hằng số tốt nhất của phép nhúng Sobolev
∗

D1,2 (RN ) → L2 (RN ).
Mệnh đề 2.5. Tồn tại λ∗ > 0 và v ∈ H 1 (Ω) sao cho
sup J(tv) <
t>0

2∗
1 ˜N
S 2 − Kλ 2∗ −q
N

với λ ∈ (0, λ1 ). Nói riêng,
α− <

2∗
1 ˜N
S 2 − Kλ 2∗ −q ,
N

trong đó hằng số K phụ thuộc vào q, N và |Ω|.
Chứng minh. Lấy

> 0 sao cho

1 ˜ N2
NS

2∗

− Kλ 2∗ −q > 0 với mọi λ ∈ (0, ).

Theo định nghĩa của ϑε ( xem (2.6)) chúng ta có với t > 0
t2
J(tϑε ) =
ϑε
2

∗

2

t2
− ∗
2

tq
|ϑε | dx − λ
q
2∗

Ω

|ϑε |q ds
∂Ω

2

<

t
ϑε 2 ,
2

Suy ra tồn tại 0 < t0 < 1 sao cho
2∗
1 ˜N
∗ −q
2
2
sup J(tv) < S − Kλ
.
N
0≤t≤t0

Bây giờ ta phải chỉ ra rằng
2∗
1 ˜N
∗ −q
2
2
sup J(tv) < S − Kλ
với mọi v ∈ H 1 (Ω).
N
t>t0

20

(2.9)

Bởi vì
t2
J(tϑε ) =
ϑε
2

∗

2

t2
− ∗
2

tq
|ϑε | dx − λ
q
2∗

Ω

|ϑε |q ds
∂Ω

2∗

2

N
t ˜N
t
tq
N −2
N
˜
2
2
S + O(ε
=
) − ∗ S + O(ε ) − λ
2
2
q

|ϑε |q ds,
∂Ω

nên tồn tại ε0 > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0, ε0 )
∗

t2 ˜ N
t2 ˜ N
N −2
2
sup
S + O(ε
) − ∗ S 2 + O(εN )
2

2

=

1
1
− ∗
2 2

N
S˜ 2 + O(εr ),

trong đó r = min {N − 2, 2} .

 2∗q−q
Lấy δ = tq0

ϑqε ds/2Kq 

. Do đó, ta có

∂Ω

1
1
− ∗
2 2

sup J(tϑε ) ≤
t>t0

q

N
t
S˜ 2 + O(εr ) − λ 0
q

|ϑε |q ds
∂Ω

≤

1 ˜N
S 2 + O(εr ) − Kλ
N

(2.10)

2∗
2∗ −q

với mọi λ ∈ (0, δ). Lấy ε đủ bé, từ (2.9) và (2.10), ta có
2∗
1 ˜N
∗ −q
2
2
sup J(tv) < S − Kλ
.

N
t>0

Cuối cùng, ta đặt λ1 = min { , δ, λ∗ ), ta có
α1− <

1 ˜ N2
NS

2∗

− Kλ 2∗ −q với λ ∈ (0, λ1 ).

Điều phải chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.2.
Chứng minh Định lý 1.2. Theo Mệnh đề 2.4 và 2.5, tồn tại hai dãy
−
1
{u+
n } và {un } trong H (Ω) sao cho
+
−
+
−
−
J(u+
n ) −→ α1 , J(un ) −→ 0 và J(un ) −→ α1 , J(un ) −→ 0 khi

n −→ ∞.
21

Lập luận tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, 1.11 và Định lý 1.1, bài
toán (1.1) có hai nghiệm dương u3 và u4 trong H 1 (Ω) sao cho
−
u+
n −→ u3 , un −→ u4 khi n −→ ∞

J(u3 ) = inf+ J(u), J(u4 ) = inf− J(u).
u∈N

u∈N

Cuối cùng, N + ∩ N − = ∅ suy ra u3 và u4 là các nghiệm dương phân biệt
của bài toán (1.1) trong trường hợp (I).
Ta có kết quả tương tự cho bài toán sau:


−∆u = λ|u|q−2 u + |u|2∗ −2 u trong Ω,
(PN )

κ ∂u
= −a(x)u trên ∂Ω,
∂n
trong đó hàm a(x) được giả thiết trong L∞ (∂Ω), a(x) ≥ a0 > 0 trên tập
con của ∂Ω với độ đo dương, κ ∈ {0, 1}. Ở đây chúng ta sẽ đưa ra ·

1

trong H 1 (Ω) tương đương với chuẩn thông thường · như sau:


 21
u1 =  | u|2 dx + κ
Ω

a(x)|u|2 ds .

∂Ω

ˆ 1 sao cho bài toán (PN ) có ít
Hệ quả 2.6. Lấy 1 < q < 2. Khi đó tồn tại λ
ˆ 1 ).
nhất hai nghiệm dương với λ ∈ (0, λ
2.1.2

Trường hợp tới hạn (b): q = 2∗b =

2(N −1)
N −2 ,

2 < p < 2∗b .

Bây giờ chúng ta xét độ tăng trưởng tới hạn trên biên ∂Ω


 −∆u + u = |u|p−2 u
trong Ω,
2(N −1)
∂u



= λ|u| N −2 −2 u trên ∂Ω,
∂n

(2.11)

trong đó 2 < p < 2∗b . Như chúng ta đã chỉ ra, trong trường hợp này sự
∗

thiếu hụt tính compact của phép nhúng H 1 (Ω) → L2b (∂Ω) đòi hỏi chúng
22


ta xây dựng một kiểu compact nào đó, ý tưởng giống [3]. Ở đây chúng ta
sử dụng phương pháp compact bù được giới thiệu trong [6].
Tương tự chứng minh trong mục 2.2, với λ ∈ (0, λ∗ ), chúng ta hiểu
N = N − ∪ N + , và J bị chặn dưới trên N + và N − . Bởi vậy, chúng ta có
thể định nghĩa
α2+ = inf+ J(u) và α2− = inf− J(u).
u∈N

u∈N

Bây giờ, chúng ta sử dụng Bổ đề 2.1 để chứng minh điều kiện (P S)c .
Mệnh đề 2.7. Lấy {un } là một dãy (P S)c của hàm J với mức năng lượng
N

Sb2

1

1
− ∗
2 2b

1
c<
2

λ

N −2
2

.

Khi đó tồn tại một dãy con của {un } hội tụ mạnh trong H 1 (Ω), ở đó Sb là
hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức vết Sobolev.
Chứng minh. Lấy {un } ⊆ H 1 (Ω) là một dãy (P S)c của hàm J. Sử dụng
lập luận thông thường suy ra dãy {un } bị chặn trong H 1 (Ω). Theo Bổ đề
2.1 tồn tại một dãy con, ta kí hiệu bởi {un } sao cho
un

u0 trong H 1 (Ω),

un −→ u0 trong Ls (Ω), 1 < s <

2(N −1)
N −2 ,

l

|

un |22,Ω

dµ ≥ |

u0 |22,Ω

µj δxj ; µj > 0,

+
j=1

2∗
|un |2b∗ ,∂Ω
b

dν =

2∗
|u0 |2b∗ ,∂Ω
b

l

+

νj δxj ; νj > 0, trên ∂Ω.
j=1

Đặt φ ∈ C ∞ (RN ) sao cho
φ ≡ 1 trong B(xk , ε), φ ≡ 0 trong B(xk , 2ε)c và | φ| ≤ 2ε .
Không khó khăn ta thấy {un φ} bị chặn trong H 1 (Ω), và từ
23

(2.12)