Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toàn elliptic phi tuyến cong-Võ THị Thanh Loan

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong








MỤC LỤC





Trang
Phần Mở đầu

1
Chương 1
Ký hiệu và đònh nghóa

4
Chương 2
Sự tồn tại và duy nhất lời giải

6
Chương 3
Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn với Ω có biên đa giác

22

Chương 4
Xấp xỉ bài toán biên cong bởi bài toán biên đa giác

33
Chương 5
p dụng tính toán số

47
Phần Kết luận

59
Tài liệu tham khảo
60
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

1
PHẦN MỞ ĐẦU

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài
toán elliptic phi tuyến hai chiều :
(0.1)
() ()
()( ) () () ()
,y,x,y,xGy,xusiny,xu,y,xg
y,x
y
u
,y,xM
y
y,x

x
u
,y,xM
x
21
Ω∈=+








∂
∂
∂
∂
−






∂
∂
∂
∂
−

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp
(0.2)

()()
,1x0,0x,xu ≤≤=ϕ
(0.3)
()
, yx,,y)(x,H
y
u
,y,xM
x
u
,y,xM
12211
Γ∈=ν








∂
∂
+ν







∂
∂

với
() ()
{
}
,xy0,1x0IRy,x
2
ϕ<<<<∈=Ω


() ()
{
}
,xy,1x0,IRy,x
2
0
ϕ=≤≤∈=Γ

Γ
1
=
Ω
\
Γ

0
,

ϕ

∈
C[0,1] .
trong đó
ν
= (
ν
1
,
ν
2
) là pháp vectơ đơn vò trên
Γ
1
hướng ra ngoài đối với miền
Ω
. M
1
, M
2
,
g, G, H là các hàm số cho trước thỏa mãn một số điều kiện sẽ chỉ ra sau. Hàm
ϕ
xác
đònh trên
Ω

thỏa điều kiện :
(0.4)
ϕ
liên tục trên [ 0 , 1 ] và C
1
-từng khúc trên (0 , 1) ,
ϕ
(x) > 0
∀
x
∈
(0 , 1) .
Trường hợp một chiều với
Ω
= (0 , 1), bài toán tương tự(0.1) – (0.3) đã được khảo
sát bởi Tucsnak [6], và N.T. Long, T.V. Lăng [5].
Trong [6], Tucsnak đã xét bài toán:
(0.5)
()() ( )()()()()
()
()
()
() ()
.01usin1G1'uM
,00u
,1x0,0xusin1'GxFx'uM
dx
d
1
10

=γ+
=
<<=−γ−γ+λ−+−

Bài toán (0.5) mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến có khối lượng riêng
γ
0
được nhúng trong một chất lỏng có khối lượng riêng
γ
1
, trong đó
λ
> 0 là hằng số,
F(x) và G(x) là các hàm số cho trước có một ý nghóa cơ học nào đó, u là góc giữa tiếp
tuyến của thanh ở trạng thái bò uốn tại điểm có hoành độ cong x và trục thẳng đứng.
Trong [5], các tác giả đã xét bài toán:
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

2
(0.6)
()() ()()()
()
()() ()
.01usinb1'u,1M
,00u
,1x0,0xusinxu,xgx'u,xM
dx
d
=+
=

<<=+−

Để giải bài toán (0.6), các tác giả trong [5] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn
cấp 1, một chiều.
Bài toán (0.1)-(0.3) mà chúng
tôi khảo sát ở đây là trường hợp hai
chiều với miền
Ω
có biên
∂Ω
gồm ba
cạnh thẳng OA, AB, OC và một phần
biên cong
Γ
0
= BC , trong đó O (0,0),
A(1,0), B(1,
ϕ
(1)), C(0,
ϕ
(0)) (xem hình
vẽ).
O
Ω

C
B
Vì vậy để sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn với các đa thức
xấp xỉ cấp 1 cần xấp xỉ biên cong

Γ
0
thành biên có “hình răng cưa” (đường
gấp khúc).
A
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 5
chương.
Chương 1 giới thiệu một số ký hiệu và các kết quả chung chuẩn bò để khảo sát
trong các chương sau.
Trong chương 2 chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất lời giải của bài toán
(0.1)-(0.3). Kết quả thu được ở chương này đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trong
[5],[6].
Trong chương 3 chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tam giác để xấp
xỉ lời giải chính xác bài toán (0.1)-(0.3) trong trường hợp
Ω
xác đònh bởi hàm
ϕ
liên tục
và bậc nhất từng khúc trên [0 , 1], tức là biên
∂Ω
là đa giác. Kết quả thu được trong phần
này là đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ và lời giải chính xác theo một cấp độ phụ
thuộc vào tính “trơn” của lời giải chính xác. Cũng trong phần này chúng tôi cho kết quả
cụ thể ứng với trường hợp riêng M
1
(x,y,z) = M
2
(x,y,z) = z. Kết quả trong phần này tổng
quát hóa các kết quả trong [5].
Chương 4 áp dụng kết quả của chương 3 cho miền

Ω
n
, trong đó
Ω
n

⊂

Ω
và biên
∂Ω
n
đònh bởi ba cạnh thẳng OA, AB, OC và đường gấp khúc xác đònh bởi hàm
ϕ
n
liên tục
và bậc nhất từng khúc trên [0 , 1],
ϕ
n
“xấp xỉ”
ϕ
trên [0 , 1]. Kết quả của chương này là
các đánh giá sai số giữa lời giải phần tử hữu hạn và lời giải chính xác trong trường hợp
Ω
n
. Ngoài ra chúng tôi cũng đánh giá được sai số giữa lời giải xấp xỉ bằng phần tử hữu
hạn trên
Ω
n
và lời giải chính xác trên

Ω
.
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

3
Chương 5 cho một ví dụ với M
1
, M
2
, G, H, g,
ϕ
cụ thể. Trong chương này chúng
tôi đã tính toán cụ thể cho ra các kết quả số.

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

4
C
HƯ ƠNG
1 :
KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA


1. CÁC KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA
Cho

+
→ϕ IR]1,0[:
() ()
{

}
1x0,xy0:IRy,x
2
<<ϕ<<∈=Ω

∂Ω
: biên
Ω

() ()
{
}
1x 0 , xy : IRy,x
2
0
≤≤ϕ=∈=Γ

01
\ ΓΩ∂=Γ

Chúng ta bỏ qua các đònh nghóa của các không gian hàm thông dụng C
m
(
Ω
), L
p
(
Ω
),
H

m
(
Ω
), W
1,p
(
Ω
). Cần thiết ta có thể tham khảo trong [1], [2], [4]…
Ta ký hiệu
p : số thực , p > 1
p’ : liên hợp của p, nghóa là
1
'p
1
p
1
=+

X
.
: chuẩn trên không gian đònh chuẩn X
.
: chuẩn trên L
2
(
Ω
)
Ω,q,m
.
: nửa chuẩn trên W

m,p
(
Ω
)
X
.,.
: tích vô hướng trên không gian Hilbert X
.,.
: tích vô hướng trên L
2
(
Ω
) hoặc cặp tích đối ngẫu của một phiếm
hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm
V
⊂
L
2
(
Ω
)
mes(
Ω
) : độ đo Lebesgues của tập
Ω

mes(
Γ
) : độ đo Lebesgues của tập
Γ

()
{
}
0v : W vV
0
p1,
=Ω∈=
Γ


2. MỘT SỐ CÁC BỔ ĐỀ QUAN TRỌNG
Trên V ta đònh nghóa nửa chuẩn
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

5
()
()
p
1
p
L
p
L
V
p
p
y
u
x

u
u








∂
∂
+
∂
∂
=
Ω
Ω
.
Bổ đề 1.1: (Xem [1], [3], [4] )
(i) V là không gian Banach phản xạ, khả ly (với chuẩn
()
Ω
p,1
W
. ).
(ii) Nửa chuẩn trên V (như đònh nghóa trong (1.3)) là một chuẩn trên V và tươ ng
đương với chuẩn
()
Ω

p,1
W
.
.

Bổ đề 1.2: (Đònh lý vết) (Xem [1], [4])
Cho
Ω
là tập mở bò chặn trong IR
N
, có biên
Γ
=
∂Ω
“đủ trơn”. Khi đó tồn tại :
,
() (
Γ→Ωγ
pp,1
0
LW:
)
γ
0
tuyến tính liên tục sao cho
(
)
Ω∈∀=γ
Γ
1

0
Cvvv .
γ
0
được gọi là ánh xạ vết.
(Đôi khi người ta vẫn viết v

Γ
thay cho
γ
0
v mặc dù v
∈
W
1,p
(
Ω
)).

Bổ đề 1.3: (Bổ đề Brouwer) (Xem [4] )
Cho V
m
là không gian hữu hạn chiều với chuẩn
m
V
.
tương ứng với tích vô hướng
m
V
.,.

và cho
P
m
: V
m

→
V
m
liên tục , thỏa :
Tồn tại sao cho
0
~
>ρ
()
0u , uP
~
u , Vu
mm
V
m
V
m
≥⇒ρ=∈∀
.
Khi đó có u
0

∈
V

m
,
ρ≤
~
u
m
V
0
thỏa phương trình
P
m
(u
0
) = 0 .

Bổ đề 1.4: (Xem [4])
Cho Q là tập mở bò chặn trong IR
N
và G
m
, G
∈
L
q
(Q), 1 < q <
∞
sao cho
()
CG
q

L
m
≤
Ω
, C là hằng số không phụ thuộc m và G
m

→
G hầu hết x
∈
Q.
Khi đó G
m

→
G yếu trong L
q
(Q).
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

6
C
HƯ Ơ NG
2 :
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI

1. CÁC GIẢ THIẾT
Với p > 1 đặt
1p
p

'p
−
=

(H1)
ϕ

[]
()()
[]
,1,0x,0x , 0,1C ∈∀>ϕ∈
ϕ
là C
1
từng khúc trên [0,1].
(H2) G
∈
V’.
(H3) H
∈
L
p’
(
Γ
1
).
(H4)
IRIR:M,
21
→×Ω

M
,
IRIR : g →×Ω

là các hàm thỏa điều kiện Caratheodory, nghóa là:
∀
z
∈
IR, các hàm M
i
(. , . , z), g (. , . , z) đo được trên
Ω
, và với hầu hết (x, y)
∈

Ω

các hàm M
i
(x, y, .) và g (x, y, .) liên tục theo z, i=1,2.
(H5) M
1
, M
2
đơn điệu tăng theo biến thứ 3, tức là:
()()()()
2 ,1i
y,xe.a,z
~
z,IRz

~
,z,0z
~
zz
~
,y,xMz,y,xM
ii
=
Ω∈≠∈∀>−−
()
)

(H6) Tồn tại ba hằng số dương
và hàm sao cho
2
'
11
C,C,C
(
Ω∈ 'Lh
p
(i)
()
IR,z , C- zCz,y,xzM
'
1
p
1i
∈∀≥

()
; 1,2i , yx, a.e =Ω∈

(ii)
() ()
(
)
IR,z,zy,xhCz,y,xM
1p
2i
∈∀+≤
−

()
.1,2i , yx, a.e =Ω∈

(H7) Tồn tại hằng số dương
p
0
1
3
C
C
C
<
thỏa:
()
(
)
()

, yx, a.e , IRz,z1Cz,y,xg
1p
3
Ω∈∈∀+≤
−

trong đó










≠∈= 0v,Vv,
v
v
supC
V
W
0
p,1
.
(H8) p > 2 thỏa:
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

7

()
()
p
0
p
031
'
1
'p
p
o31
L
0
'V
'p
1
03
'p
CC3
CCC
C4
CCC
HC
~
CGCC
p
2
1p
1
'p







π
<
−
Ω
+










−
++Ω









−
Γ

trong đó
()
,dxxmes
1
0
∫
ϕ=Ω=Ω


()
()
{
}
,1v,Wv:vsupC
p,1
W
p,1
C
=Ω∈=
Ω

( C tồn tại do phép nhúng ⊂
()
Ω
p,1
W

→

(
)
ΩC
là compact)
CÕ là hằng số trong đònh lý vết chương I,
()
()
.1v,Cv:vsupC
~
p,1
W
1






=Ω∈=
Ω
Γ

(H9) Với mỗi
α

∈
(0,
π

/3) có hai hằng số dương g
α
và k
α
sao cho:
(i) k
α

≤
g
α

cotg
α
;
(ii) g(x,y,z)
≥
g
α
,
∀
z
∈
[-
α
,
α
], a.e. (x,y)
∈

Ω
;
(iii) g(x,y,z
1
) –g(x,y,z
2
)
≤
k
α

z
1
– z
2
 ,
∀
z
1
, z
2

∈
[-
α
,
α
], a.e. (x,y)
∈

Ω
.

Bài toán (0.1)-(0.3) được đưa về bài toán biến phân như sau:
Bài toán (P):

Tìm u
∈
V sao cho
(2.1)
()
V.w , Hwdsw,G
w,usinu,y,xg
y
w
,
y
u
,y,xM
x
w
,
x
u
,y,xM
1
21
∈∀+=
++
∂

∂








∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
∫
Γ


2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI

Đònh lý 2.1:
Giả sử M

1
, M
2
, g, G, H thỏa (H1)-(H7). Khi đó bài toán (P) có lời giải . Hơn nữa, nếu
thêm vào các giả thiết (H8) và (H9) thì lời giải của (P) là duy nhất .

Chứng minh:
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

8
Đònh lý được chứng minh qua nhiều bước:
Bước 1:
Xấp xỉ Galerkin
Vì V tách được nên tồn tại một “cơ sở” đếm được
{
}
, 2,1j
j
w
=
theo nghóa:
• w
j
∈ V,
• ∀ m,
{
}
m,1
w ,w
độc lập tuyến tính,

• Tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các w
j
trù mật trong V .
Ta tìm lời giải xấp xỉ

dưới dạng:
(2.2) ,
() ()
∑
=
=
m
1j
jmm
y,xwcy,xu
j
trong đó các
thỏa hệ phương trình phi tuyến sau
j
m
c
(2.3)
()
.m1, ,j dsHww,G w,usinu,y,xg
y
w
,
y
u
,y,xM

x
w
,
x
u
,y,xM
1
jjjmm
j
m
2
j
m
1
=+=+
∂
∂








∂
∂
+
∂
∂







∂
∂
∫
Γ

Trước hết ta chứng minh hệ (2.3) có lời giải.
Đặt V
m
là không gian hữu hạn chiều sinh bởi w
j
, j = 1 m.
Coi P
m
: V
m
→ V
m
xác đònh bởi
(2.4)
,
() ()
∑
=
=

m
1j
jmmmm
wuPuP
j
(2.5)
()
()
,m1, ,j , dsHww,Gw,usinu,y,xg
y
w
,
y
u
,y,xM
x
w
,
x
u
,y,xMuP
1
j
jjjmm
j
m
2
j
m
1mm

=−−+
∂
∂








∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
=
∫
Γ

∑
=

=
m
1j
jmm
wcu
j
.
Khi đó (2.3) tương đương với:
(2.6)
.
()
0uP
mm
=
Ta có thể nghiệm lại không khó khăn rằng:
(2.7) P
m
: V
m
→ V
m
liên tục.
Để áp dụng bổ đề Brouwer (bổ đề 1.3, chương 1) ta chỉ cần chứng minh tồn tại
~
ρ

sao cho
0
m
>

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

9
(2.8)
()
0u,uP
~
u
mm
V
mmmm
V
m
≥⇒ρ=
.
Chú ý rằng trên V
m
ta lấy tích vô hướng sau
(2.9)
∑
=
=
m
1j
mm
V
mm
jj
m
dcv,u

với , .
∑
=
=
m
1j
jmm
wcu
j
∑
=
=
m
1j
jmm
wdv
j
Chuẩn trên V
m
sinh bởi tích vô hướng < . , . >
Vm
được ký hiệu
m
V
.
.
Ta có
(2.10)
() ()
()

dsHuu,Gu,usinu,y,xg
y
u
,
y
u
,y,xM
x
u
,
x
u
,y,xM
cuPu,uP
1
jj
m
mmmmm
mm
2
mm
1
m
1j
mmm
V
mmm
∫
∑
Γ

=
−−+
∂
∂








∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
=
=

Từ giả thiết (H6)(i), ta được:
(2.11)

C2uC
y
u
,
y
u
,y,xM
x
u
,
x
u
,y,xM
'
1
p
V
m1
mm
2
mm
1
Ω−≥
∂
∂









∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
.
Từ giả thiết (H7) suy ra:
(2.12)
()
p
V
m
p
03
V
m
'p
1

03mmm
uCCuCCu,usinu,y,xg +Ω≤ .
Sử dụng đònh lý vết (bổ đề 1.2 , chương 1) ta thu được:
(2.13)
∫
Γ
1
dsHu
m

() ()
1
p
1
'p
L
m0
L
uH
ΓΓ
γ≤

()
V
m
L
0
uHCC
~
1

'p
Γ
≤
.
Từ (2.10)-(2.13) và do G ∈ V’ suy ra:
(2.14)
()
()
()
(
)
V
m
L
0
'V
'p
1
03
'
1
p
V
m
p
031
V
mmm
uHCC
~

GCC
C2uCCCu,uP
1
'p
m
Γ
++Ω−
Ω−−≥

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

10
()
(
)
1
V
m1
p
V
m
p
031
uuCCC γ−β−−= ,
trong đó β
1
> 0, γ
1
> 0 được xác đònh bởi
(2.15)

()
(
)
()
p
031
L
0
'V
'p
1
03
1
CCC
HCC
~
GCC
1
'p
−
++Ω
=β
Γ
,
()
p
031
'
1
1

CCC
C2
−
Ω
=γ
.
Chú ý rằng sử dụng bất đẳng thức Holder ta có:
(2.16)
()
'p
1
p
V
m
V
m1
'p
1
u
p
1
u






ε
β

+ε≤β
,
trong đó ε > 0 được chọn sao cho
(2.17)
2
1
p
p
=
ε
hay
p
1
2
p






=ε
.
Khi đó từ (2.14), (2.16), (2.17) suy ra:
(2.18)
()
()









γ−








β
−−≥
1
'p
1
p
V
m
p
031
V
mmm
p
2
'p
1

u
2
1
CCCu,uP
m


()
()








γ−








β
−−−=
1
'p

1
p
V
m
p
031
2
p
2
1puCCC
2
1
.
Chú ý rằng mọi chuẩn trên V
m
đều tương đương, do đó tồn tại hai hằng số dương C
1m
và
C
2m
sao cho:
(2.19)
.Vv,vCvvC
m
V
m2
V
V
m1
m

m
∈∀≤≤

Chọn thỏa
0
~
m
>ρ
ρ=ρ
m1
m
C
1
~
với
(2.20)
()
p
1
1
'p
1
2
p
2
1p









γ+








β
−=ρ
.
Khi đó nếu
m
V
m
~
u
m
ρ=
thì từ (2.18)-(2.20) ta suy ra
()
0u,uP
m
V
mmm

≥
.
Vậy (2.8) thỏa, do đó áp dụng bổ đề Brouwer suy ra (2.6) có lời giải u
m
thỏa
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

11
(2.21)
m
V
m
~
u
m
ρ≤
.

Bước 2:
Đánh giá tiên nghiệm
Từ P
m
(u
m
) =0 , với tính toán tương tự dẫn đến (2.18), ta suy ra:
(2.22)
()
02
p
2

1pu
1
'p
1
p
V
m
≤








γ−








β
−−
.
Do đó
(2.23)

()
p
1
1
'p
1
V
m
2
p
2
1pu








γ+








β

−=ρ≤
.
Từ giả thiết (H6)(ii) và (2.23) suy ra:
(2.24)
()
()
()










∂
∂
+≤






∂
∂
−
Ω

Ω
Ω
1p
m
L
2
L
m
1
p
L
'p
'p
x
u
hC
x
u
,y,xM
.
Do (2.23) và (2.24) ta được
(2.25)
()
C
x
u
,y,xM
'p
L
m

1
≤






∂
∂
Ω
,
C là hằng số độc lập với m.
Tương tự với M
2
ta cũng có:
(2.26)
()
C
x
u
,y,xM
'p
L
m
2
≤







∂
∂
Ω
.
Đánh giá tương tự, từ giả thiết (H7) và (2.23) ta suy ra
(2.27)
()
()
Cusinu,y,xg
'p
L
mm
≤
Ω
,
C là hằng số độc lập với m.
Chú ý rằng phép nhúng V ⊂
→
L
p
(Ω) là compact, khi đó từ (2.23), (2.25), (2.26) suy ra
tồn tại một dãy con của {u
m
} vẫn ký hiệu là {u
m
} sao cho
(2.28) u

m
→ u trong W
1,p
(Ω) yếu,
(2.29) u
m
→ u trong L
p
(Ω) mạnh,
(2.30) u
m
→ u a.e (x,y) ∈ Ω,
(2.31) M
1
(x,y,∂u
m
/ ∂x) → χ
1
trong L
p’
(Ω) yếu,
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

12
(2.32) M
2
(x,y,∂u
m
/ ∂y) → χ
2

trong L
p’
(Ω) yếu.
Mặt khác từ giả thiết (H4) suy ra:
(2.33) g(x,y,u
m
) sin u
m
→ g(x,y,u) sin u a.e (x,y) ∈ Ω.
p dụng bổ đề 1.4, chương 1 với
N = 2 , q = p’, Q = Ω ,
G
m
= g(x,y,u
m
) sin u
m
và G = g(x,y,u) sin u,
từ (2.27) và (2.33) suy ra
(2.34) g(x,y,u
m
) sin u
m
→ g(x,y,u) sin u trong L
p’
(Ω) yếu .

Bước 3: Qua giới hạn
Qua giới hạn trong phương trình (2.3), sử dụng (2.31), (2.32) và (2.34) ta suy ra u thỏa
phương trình:

(2.35)
()
.Vw,Hwdsw,G
w,usinu,y,xg
y
w
,
x
w
,
1
21
∈∀+=
+
∂
∂
χ+
∂
∂
χ
∫
Γ

Như vậy để chứng minh u là lời giải bài toán (P) ta chỉ cần chứng minh








∂
∂
=χ
x
u
,y,xM
11
và








∂
∂
=χ
y
u
,y,xM
22
.
Từ (2.3) ta có
(2.36)
()
dsHuu,G u,usinu,y,xg
y

u
,
y
u
,y,xM
x
u
,
x
u
,y,xM
1
mmmmm
mm
2
mm
1
∫
Γ
++−=
∂
∂









∂
∂
+
∂
∂






∂
∂

Sử dụng (2.28), (2.29), (2.34), (2.35) và qua giới hạn trong (2.36) ta có
(2.37)
.
y
u
,
x
u
,
y
u
,
y
u
,y,xM
x

u
,
x
u
,y,xM
21
mm
2
mm
1
m
lim
∂
∂
χ+
∂
∂
χ=








∂
∂









∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
∞→

Từ (2.28), (2.31)-(2.33) và (2.37) suy ra
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

13
(2.38)
()
()
() ()
,

y
u
,,y,xM
x
u
,,y,xM
y
u
,,y,xM
y
u
,y,xM
x
u
,,y,xM
x
u
,y,xM
22221111
2
m
22
m
2
1
m
11
m
1
m

lim
φ−
∂
∂
φ−χ+φ−
∂
∂
φ−χ=




φ−
∂
∂
φ−








∂
∂
+




φ−
∂
∂
φ−






∂
∂
∞→

(
Ω∈φφ∀
p
21
L,
)
.
Do giả thiết (H5) ta suy ra:
(2.39)
() ()
0
y
u
,,y,xM
x
u

,,y,xM
22221111
≥φ−
∂
∂
φ−χ+φ−
∂
∂
φ−χ
,
()
Ω∈φφ∀
p
21
L,
.
Trong (2.39) chọn
()
.
y
u

0,, Lw,w
x
u

2
p
111
∂

∂
=φ
>λΩ∈λ−
∂
∂
=φ

Ta có
(2.40) 0w,w
x
u
,y,xM
1111
≥






λ−
∂
∂
−χ

Cho λ → 0
+
, sử dụng giả thiết (H6)(ii) và do đònh lý hội tụ bò chặn Lebesgue ta suy
ra
(2.41)

(
Ω∈∀≥






∂
∂
−χ
p
1111
Lw ,0w,
x
u
,y,xM
)
.
Do đó
(2.42)
.
x
u
,y,xM
11







∂
∂
=χ

Lý luận tương tự, từ (2.39) ta cũng có
(2.43)
.
y
u
,y,xM
22








∂
∂
=χ

Vậy sự tồn tại lời giải u của bài toán (P) được chứng minh.

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

14

Bước 4 : Sự duy nhất lời giải
Trước hết ta chú ý rằng lời giải của bài toán (P) tồn tại và bò chặn trong V
(2.44)
ρ≤
V
u
,
trong đó ρ được xác đònh từ (2.23). Từ giả thiết (H8) và (2.15) ta có:
(2.45)
()
3
CCu
0
C
π
≤ρ≤
Ω
.
Gọi u
1
, u
2
là hai nghiệm của (P) thỏa
(2.46)
()
.2,1i,
3
CCu
0
C

i
=
π
≤ρ≤
Ω

Khi đó u
1
– u
2
thỏa
(2.47)
() ()
V.w,0w,usinu,y,xgusinu,y,xg
y
w
,
x
u
,y,xM
y
u
,y,xM
x
w
,
x
u
,y,xM
x

u
,y,xM
2211
2
2
1
2
2
1
1
1
∈∀=−+
∂
∂






∂
∂
−









∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
−






∂
∂

Chọn w = u
1
– u
2
trong (2.46) ta có
(2.48)

()
()
()( )
()()()
0uu,usinu,y,xgu,y,xg
uu,usinusinu,y,xg
uu
y
,
x
u
,y,xM
y
u
,y,xM
uu
x
,
x
u
,y,xM
x
u
,y,xM
21221
21211
21
2
2
1

2
21
2
1
1
1
=−−+
−−+
−
∂
∂






∂
∂
−








∂
∂

+
−
∂
∂






∂
∂
−






∂
∂

Chú ý rằng từ các giả thiết (H9) và từ (2.46) ta có
(2.49)
()( )
()()()
()
,0uusinkcosg
uu,usinu,y,xgu,y,xg
uu,usinusinu,y,xg

2
21
21221
21211
≥−α−α≥
−−+
−−
αα

trong đó α = CC
0
ρ.
Từ (2.48) và (2.49), do tính đơn điệu tăng ngặt của M
1
và M
2
ta suy ra u
1
– u
2
= 0. Vậy
u
1
= u
2
.
Đònh lý được chứng minh. g
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

15

3. TRƯỜNG HP RIÊNG
Trong trường hợp riêng với
(2.50) M
1
(x,y,z) = M
2
(x,y,z) = z ,
bài toán (0.1)-(0.3) trở thành
(2.51)

() ()
,y,x,Gusinu,y,xgu Ω∈=+∆−
(2.52)
0u
0
=
Γ
,
.H
u
1
=
ν∂
∂
Γ

Bài toán biến phân tương ứng với (2.50)-(2.51) là:
Bài toán (P’):

Tìm u

∈
V
()






=Ω∈=
Γ
0v:Hv
0
1
sao cho
(2.53)
()( )
∈∀+=+
∫
Γ
w,Hwdsw,Gw,usinu,y,xgw,ua
1
V ,
trong đó a ( . , . ) là dạng song tuyến tính xác đònh bởi
(2.54)
()
∫∫
Ω









∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= dxdy
y
w
y
u
x
w
x
u
w,ua
.
Ta cũng chú ý rằng V là không gian Hilbert đối với tích vô hướng a ( . , . ) và chuẩn sinh
bởi tích vô hướng là
(2.55)
1

v
=
()
v,va
.
Mặt khác, trong V hai chuẩn
1
.
và
()
Ω
1
H
.
là tương tương do đó
(2.56) ∃ C
0
> 0 :
1
v
≤
()
Ω
1
H
v ≤ C
0
1
v
, ∀ v ∈ V .

Ta thành lập các giả thiết sau:
(H1') ,
[]
()()
[]
1,0x,0x , 0,1C ∈∀>ϕ∈ϕ
ϕ
C
2
từng khúc trên [0,1].
(H2') G
∈
V ’ ( V ’ là đối ngẫu của V ).
(H3') H
∈
L
2
(
Γ
1
).
(H4')
IRIR : g →×Ω
là hàm thỏa điều kiện Caratheodory.
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

16
(H5') Tồn tại hằng số dương
2

0
3
C
1
C <
thỏa:
()
(
)
()
,y,xe.a,IRz,z1Cz,y,xg
3
Ω∈∈∀+≤

trong đó





∈= v,
v
v
supC
1
H
0
1
V , .




≠ 0v
(H6') Với mỗãi
α

∈
(0,
π
/3) có hai hằng số dương g
α
và k
α
sao cho:
(iv) k
α


≤
g
α

cotg
α
,
(v) g(x,y,z)
≥
g
α
,

∀
z
∈
[-
α
,
α
], a.e. (x,y)
∈

Ω
,
(vi) g(x,y,z
1
) –g(x,y,z
2
)
≤
k
α
 z
1
– z
2
 ,

∀
z
1
, z

2

∈
[-
α
,
α
], a.e. (x,y)
∈

Ω
.

Đònh lý 2.2:
Giả sử các giả thiết (H1’)-(H5’) là đúng. Khi đó bài toán (P’) có lời giải . Hơn nữa, nếu
thay thế giả thiết (H2’) bởi giả thiết
(H2’’) G
∈
L
2
(
Ω
)
thì bài toán (P’) có lời giải u
∈
H
2
(
Ω
)

∩
V .
Hơn nữa, nếu bổ sung thêm giả thiết (H6’) và thay giả thiết (H2’) bởi giả thiết (H2’’) sao
cho
(H7’)
()
()
1
2
L
2
1
1
0
HGdxx
Γ
++





ϕ
∫

đủ nhỏ
thì bài toán (P’) có duy nhất một lời giải trong H
2
(
Ω

)
∩
V .

Chứng minh:
Tương tự đònh lý 2.1, đònh lý 2.2 được chứng minh qua nhiều bước.

Bước 1: Xấp xỉ Galerkin
Giả sử
{
}
, 2,1j
w
=
j
“cơ sở” đếm được của V . Ta tìm lời giải xấp xỉ

dưới dạng:
(2.57) ,
() ()
∑
=
=
m
1j
jmm
y,xwcy,xu
j
trong đó các
thỏa hệ phương trình phi tuyến sau

j
m
c
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

17
(2.58)
()
()
.m1, ,j
dsHww,G w,usinu,y,xg w,ua
1
jjjmmjm
=
+=+
∫
Γ

Trước hết ta chứng minh hệ (2.58) có lời giải bò chặn.
Đặt V
m
là không gian hữu hạn chiều sinh bởi w
j
, j = 1 m.
Coi P
m
: V
m
→ V
m

(2.59)
m


() ()
∑
=
=
m
1j
jmmm
wuPuP
j
(2.60)
()
()
()
,m1, ,j
dsHww,Gw,usinu,y,xgw,uauP
1
j
jjjmmjmmm
=
−−+=
∫
Γ


()

0
=
.
ân tục.
() ()
∑
=
=
m
1j
jmm
y,xwcy,xu
j
.
Khi đó (2.58) tương đương với:
(2.61)
m

uP
m
Ta có thể nghiệm lại không khó khăn rằng:
(2.62) P
m
: V
m
→ V
m
lie
Để áp dụng bổ đề Brouwer (bổ đề 1.3, chương 1) ta chỉ cần chứng minh tồn tại
~

ρ

sao cho
0
m
>
(2.63)
()
0
m
≥
,
u,uP
~
u
m
mmmmm
⇒ρ=
ν ν
trong đó
m
.
ν
là chuẩn sinh bởi tích vô hướng sau:
(2.64)
∑
=
ν
=
m

1j
mm
m
cv,u
m
jj
d
,
m
với , .
∑
=
=
m
1j
jmm
wcu
j
∑
=
=
m
1j
jmm
wdv
j
Ta có
(2.65)
() ()
()( )

.

dsHuu,Gu,usinu,y,xg u,ua
cuPu,uP
1
jj
m
mmmmmmm
m
1j
mmmmmm
∫
∑
Γ
=
ν
−−+=
=
Từ giả thiết (H5’) suy ra:
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

18
(2.66)
()
2
m
2
03
1
m

2
1
03mmm
1
uCCuCCu,usinu,y,xg +Ω≤

Sử dụng đònh lý vết (bổ đề 1.2 , chương 1) ta thu được:
(2.67)
∫
Γ
1
dsHu
m

() ()
1
2
1
2
L
m0
L
uH
ΓΓ
γ≤

() ()
ΓΓ
γ≤
2

1
2
L
m0
L
uH

() ()
ΩΓ
≤
1
1
2
H
m
L
uHC
~

()
1
m
L
0
uHCC
~
1
2
Γ
≤

Từ (2.66)-(2.67) và do G ∈ V ’ suy ra:
(2.68)
()
()
()
(
)
1
m
L
0
'
2
1
03
2
m
2
03
V
mmm
uHCC
~
GCC
uCC1u,uP
1
2
1m
Γν

++Ω−
−≥


()
()
(
)
.uHCC
~
GCC
uCC1
1
m
L
0
'
2
1
03
1
m
2
03
1
2



++Ω−




−=
Γν

Do mọi chuẩn trên V
m
đều tương đương, suy ra có hai hằng số dương C
1m
và C
2m
sao
cho:
(2.69) C
1m
v
V

m
≤
1
v
≤ C
2m
v
V

m
, ∀ v ∈ V

m
.
Chọn
thỏa
0
~
m
>ρ
ρ=ρ
m1
m
C
1
~
với
(2.70)
()
()
2
03
L
0
'
2
1
03
CC1
HCC
~
GCC

1
2
−
++Ω
=ρ
Γν

Khi đó nếu
mm
~
u
m
ρ=
ν
thì từ (2.68) ta suy ra
()
mmm
u,uP
V

m
≥ 0 .
Vậy (2.63) thỏa, do đó áp dụng bổ đề Brouwer suy ra (2.58) có lời giải u
m
thỏa
(2.71)
mm
~
u
m

ρ≤
ν
.

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm và qua giới hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

19
Từ (2.61) và (2.68) ta suy ra:
(2.72)
ρ≤
1
m
u
,
với ρ > 0 cho bởi (2.70).
Từ (2.72) và giả thiết (H5’) ta suy ra
(2.73)
()
Cusinu,y,xg
mm
≤
,
C là hằng số độc lập với m
Chú ý rằng phép nhúng V ⊂
→
L
2
(Ω) là compact, khi đó từ (2.72) và (2.73) suy ra tồn tại
một dãy con của {u

m
} vẫn ký hiệu là {u
m
} sao cho:
(2.74) u
m
→ u trong H
1
(Ω) yếu,
(2.75) u
m
→ u trong L
2
(Ω) mạnh,
(2.76) u
m
→ u a.e (x,y) ∈ Ω.

Từ giả thiết (H4’) suy ra:
(2.77) g(x,y,u
m
) sin u
m
→ g(x,y,u) sin u a.e (x,y) ∈ Ω .
p dụng bổ đề 1.4, chương 1 với
N = 2 , q = 2, Q = Ω ,
G
m
= g(x,y,u
m

) sin u
m
và G = g(x,y,u) sin u,
từ (2.73) và (2.77) suy ra
(2.78) g(x,y,u
m
) sin u
m
→ g(x,y,u) sin u trong L
2
(Ω) yếu .
Do (2.74) và (2.78), qua giới hạn trong (2.58) ta suy ra rằng u là lời giải của bài toán
(P’).
Sự tồn tại lời giải được chứng minh.

Bây giờ ta thay giả thiết (H2’) bởi giả thiết (H2’’).
Chú ý rằng lời giải u ∈ V của (P’) thỏa mãn phương trình sau đây:
(2.79)
.
() (
Ω−=∆ 'DtrongGusinu,y,xgu
)
Từ các giả thiết (H2’’) ,(H5’) và (2.79) ta suy ra
(2.80) ∆u ∈ L
2
(Ω).
Do đó
(2.81) u ∈ H
2
(Ω)∩V .

Giả sử (H2’’) thỏa đúng thay cho (H2’) và thêm vào các giả thiết (H6’) và (H7’). Khi
đó, cũng từ (H2’’) (H5’) và (2.79) ta suy ra
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

20
(2.82)
(
)
GuCu
2
1
3
++Ω≤∆

Ta chú ý rằng:
(2.83) Trong H
2
(Ω) hai chuẩn
()
Ω
2
H
v
và
22
1
vv ∆+
là tương đương.
(2.84) Phép nhúng H
2

(Ω) ⊂
→

(
)
ΩC
liên tục (n = 2).
Do đó từ (2.83) và (2.84) ta suy ra:
(2.85)
()
(
)
()
Ω∈∀∆+≤>∃
Ω
2
1
0
C
0
Hv,vvC
~
v:0C
~
.
Mặt khác, với giả thiết (H2’’) thay cho (H2’) ta có thể đánh giá lời giải u trong V tương
tự như trong (2.72) như sau:
(2.86)
ρ≤
~

u
1
m
,
với
(2.87)
()
(
)
1
2
L
2
1
3
2
03
0
HC
~
GC
CC1
C
~
Γ
++Ω
−
=ρ
.
Từ (2.82), (2.85)-(2.87) ta suy ra

(2.88)
()
α≤
ΩC
u

(2.89)
()
(
)
()
()
(
)
1
2
L
030
2
1
30
2
03
0
HCC1C
~
CGCC1
CC1
C
~

Γ
+++Ω+
−
=α
.
Chú ý rằng với giả thiết (H7’) ta có
()
∫
ϕ=Ω
1
0
dxx
,
G
,
(
1
2
L
H
Γ
)
đủ nhỏ sao cho
(2.90) α ≤ π/3 .
Ta sẽ chứng minh rằng bài toán (P’) có lời giải duy nhất trong H
2
(Ω)∩V .
Thật vậy, giả sử u, v ∈ H
2
(Ω)∩V là hai lời giải của (P’) thỏa

(2.91)
()
3
u
C
π
≤α≤
Ω
,
()
3
v
C
π
≤α≤
Ω
.
Khi đó u – v thỏa
(2.92)
()()()
0 vu,vsinv,y,xgusinu,y,xg vu,vua =−−+−−

hay
Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

21
(2.93)
()()()
()( )
0 vu,vsinusinv,y,xg

vu,usinv,y,xgu,y,xg vu
2
1
=−−+
−−+−

Sử dụng giả thiết (H6’) ta đánh giá hai số hạng thứ hai và thứ ba của vế trái (2.93) như
sau:
(2.94)
()()()()( )
vu,vsinusinv,y,xgvu,usinv,y,xgu,y,xg −−+−−
()
0vusinkcosg
2
≥−α−α≥
αα

Tổ hợp (2.93) và (2.94) ta thu được
0 vu
2
1
≤−
hay u = v.
Đònh lý được chứng minh. g

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

22
C
HƯ Ơ NG

3 :
XẤP XỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN VỚI Ω CÓ BIÊN ĐA GIÁC


I. TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT
Trong phần này ta xét trường hợp:
(3.1) ϕ là hàm bậc nhất từng khúc trên [ 0,1].
Cho h > 0 , gọi τ
h
là tập các tam giác
Ω∈K
sao cho
(3.2)
U
h
K
K
τ
=Ω
∈
,
21h21
2
0
1
0
KK,K,K,
KK
≠τ∈∀φ=

I

diam K = h
K
≤ h , ∀ K ∈ τ
h
.
Gọi IP
k
là tập các đa thức hai biến có bậc ≤ k. Đặt
(3.3)
()






τ∈∀∈=Ω∈=
Γ
hk
K
hhhh
K,IPu,0u:CuV
0
.
Khi đó V
h
là không gian hữu hạn chiều của V, đặt m
h

= dim V
h
, V
h
sinh bởi m
h
hàm cơ
sở {w
j
}, j = 1,2,…m
h
thỏa
(3.4)

()
,ml,j1
,jl,0
,jl,1
y,xw
hljllj
≤≤



≠
=
=δ=
trong đó
()
,

0
h
K
Kll
~
\y,x Γ








τ
Σ∈
∈
U
(tập các điểm nút (x








τ
ΣΓ=Γ
∈

UI
h
K
K00
~
l
, y
l
) trên Γ
0
), (K, IP
k
, ∑
K
) là phần tử
hữu hạn tam giác loại k ứng với K ∈ τ
h
( xem [2 ] P.G.Ciarlet).
Ta xác đònh toán tử tuyến tính r
h
: V
h
→ V
h
( phép chiếu trên V
h
) bởi hạn chế của nó
trên tập trù mật
(
)

I
ΩDV
của V như sau
(3.5)
()( )
()
() ()
∑
=
Ω∈=
h
m
1j
jjjh
,y,x,y,xwy,xuy,xur

(
)
I
Ω∈ DVu

Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong
23
(xem [2] P.G.Ciarlet) .
p dụng đònh lý 3.1.5 trong [2] với p = q, π
K
= r
h

K

, sau đó lấy tổng theo K ∈ τ
h
ta
được:

Bổ đề 3.1:
Cho m, k là số tự nhiên thỏa 0
≤
m
≤
k+1.
τ
h
là họ tam giác phân chính qui. Khi đó có
hằng số C chỉ phụ thuộc m, p, k,
Ω
sao cho
(3.6)
()
.VWv,vChvrv
p,1k
p,1k
m1k
p,m
h
I
Ω∈∀≤−
+
+
−+

Xét bài toán xấp xỉ sau đây:
Bài toán (P
h
) :
Tìm u
h
thuộc V
h
sao cho
(3.7)
()
hhhhhhh
hh
2
hh
1
Vw ,dsHww,G w,usinu,y,xg
y
w
,
y
u
,y,xM
x
w
,
x
u

,y,xM
1
∈∀+=+
∂
∂








∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
∫
Γ

Khi đó ta có

Đònh lý 3.1:
Giả sử
ϕ
thỏa (3.1) và M
1
, M
2
, g, G, H thỏa các giả thiết (H2)-(H9). Khi đó
(i) Bài toán (P
h
) tồn tại duy nhất lời giải u
h

∈
V
h
.
(ii) Lời giải u
h
hội tụ đều về lời giải duy nhất u của bài toán (P).

Chứng minh:
Tương tự như chứng minh đònh lý 2.1, chương 2.
Sự tồn tại lời giải của u
h
của (P
h
) trong không gian hữu hạn chiều V
h

được chứng minh
nhờ bổ đề Brouwer (bổ đề 1.2, chương 1). Đánh giá tiên nghiệm tương tự bước 2 trong
chứng minh đònh lý 2.1, chương 2 ta cũng có:
(3.8)
ρ≤
V
h
u

với ρ là hằng số xác đònh như (2.23),
(3.9)
()
C
x
u
,y,xM
'p
L
m
1
≤






∂
∂
Ω

,


Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong

24
(3.10)
()
C
x
u
,y,xM
'p
L
m
2
≤






∂
∂
Ω
,
(3.11)
()
()

Cusinu,y,xg
'p
L
mm
≤
Ω
,
trong đó C là hằng số độc lập với h.
Ta cũng chú ý rằng với p > 2, phép nhúng V⊂
→
(
)
Ω
C
compact nên các đánh giá (3.8)-
(3.11) dẫn dến tồn tại một dãy con của {u
h
} vẫn ký hiệu là {u
h
} sao cho
(3.12) u
h
→ u* trong V yếu ,
(3.13) u
h
→ u* trong
(
)
Ω
C

mạnh ,
(3.14) M
1
(x,y,∂u
h
/ ∂x) → χ
1
*

trong L
p’
(Ω) yếu ,
(3.15) M
2
(x,y,∂u
h
/ ∂y) → χ
2
*

trong L
p’
(Ω) yếu ,
(3.16) g(x,y,u
h
) sin u
h
→ g(x,y,u*) sin u* trong L
p’
(Ω) yếu .

Dùng kỹ thuật toán tử đơn điệu tương tựtrong chứng minh của đònh lý 2.1 chương 2 ta thu
được:
(3.17)








∂
∂
=χ
x
u
,y,xM
*
1
*
1
và









∂
∂
=χ
y
u
,y,xM
*
2
*
2
.
Do đó qua giới hạn trong (3.7) ta có thể chứng minh u* là lời giải của bài toán (P).
Mặt khác do tính duy nhất lời giải của bài toán (P) ta có u* = u, hơn nữa, toàn bộ dãy
{u
h
} hội tụ về u và thỏa (3.12)-(3.16) thay vì dãy con của nó.
Đònh lý được chứng minh. g

Để đánh giá sai số giữa u
h
và u ta cần đặt thêm một số giả thiết sau:
(H10) Tồn tại p > 2, C
4
> 0 sao cho:
()()()() ()
2 ,1i
,y,xe.a,IRz
~
,z,z

~
zCz
~
zz
~
,y,xMz,y,xM
p
4ii
=
Ω∈∈∀−≥−−

(H11) ∀ β > 0, ∃ m
β
> 0:


()()
[]
()
2 ,1i
y,xe.a,,z
~
,z,z
~
zmz
~
,y,xMz,y,xM
ii
=
Ω∈ββ−∈∀−≤−

β

Khi đó ta có đònh lý
Đònh lý 3.2:
- Giả sử
ϕ
thỏa (3.1) và M
1
, M
2
, g, G, H thỏa các giả thiết (H2), (H3), (H6)-(H11).