Ứng dụng của máy tính cầm tay (cơ bản nâng cao) trong giải toán

DÙNG CHO
NĂM 2017

ỨNG DỤNG CỦA
MÁY TÍNH CẦM TAY
TRONG GIẢI TOÁN
PHẦN I
Tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Mạnh Cường

TÀI LIỆU LƯU
HÀNH NỘI BỘ


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

CÁC CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. CHỨC NĂNG EQN
1. Giải phương trình
a. Giải phương trình bậc hai
Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 1 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio)
rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương
2
trình bậc hai dạng ax  bx  c  0  a  0  .

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
b. Giải phương trình bậc ba
Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 2 (đối với máy vinacal) và bấm MODE + 5 + 4 (đối với máy casio)
rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương

3
2
trình bậc hai dạng ax  bx  cx  d  0  a  0  .

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
2. Giải hệ phương trình
a. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta bấm MODE + 5 + 1 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào
 a1 x  b1 y  c1

không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng 

 a 2 x  b2 y  c 2

. Bạn đọc tự nghiên

cứu ví dụ.
b. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Ta bấm MODE + 5 + 2 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào
 a1 x  b1 y  c1 z  d1

không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng  a 2 x  b2 y  c2 z  d 2 . Bạn đọc tự
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
nghiên cứu ví dụ.
=> Chắc năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của nghiệm chứ không
nêu lên cách cách giải của bài toán.

II. CHỨC NĂNG INEQ
1. Giải bất phương trình bậc hai

1


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
1  ax 2  bx  c  0

Ta bấm MODE + ▽ + 1 +

2  ax 2  bx  c  0
3  ax 2  bx  c  0

(đối với cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc

4  ax 2  bx  c  0

giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0). Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
2. Giải bất phương trình bậc ba
1  ax 3  bx 2  cx  d  0

Ta bấm MODE + ▽ + 2 +

2  ax 3  bx 2  cx  d  0
3  ax 3  bx 2  cx  d  0

(đối với cả hai máy). Bạn đọc tự nghiên

4  ax 3  bx 2  cx  d  0

cứu ví dụ.
=> Chắc năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của nghiệm chứ không
nêu lên cách cách giải của bài toán. Và không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS.
III. CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL
1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai (hàm parabol)
2



Như các bạn đã được học từ lớp 9, nếu hàm số y  ax 2  bx  c  a  x 


b 

 
2a 
4a

 a  0  mà

có:
TH1. a  0 thì y  
TH2. a  0 thì y  


4a

4a

,  x  hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Min y  


4a

,  x  hàm số đạt giá trị lớn nhất Max y  


4a

khi x  

b
2a

khi x  

b
2a

=> Từ đó ta nói rằng hàm số parabol đạt cực trị (hoặc cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm
 
 b
 ; 
 2a 4a 
⚠ Chú ý: a  0, a  c  0 : a  c  0, a
2

2

Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol để tìm nhanh điểm cực trị (các bạn phải xét
xem hệ số a dương hay âm từ đó xác định được đó là cực đại hay cực tiểu) như sau:
Bấm SHIFT + 6 + 6 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio) để vào
chức năng tính cực trị của hàm parabol rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không
có thì hệ số đó bằng 0)
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y  3 x  5 x  2
2



5



6

2

Ta biến đổi hàm số về dạng y   3  x   

109
12

2



109
12

, x


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
109
5
Mà hệ số a   3  0  Max y 
 x
12
6

2. Chứng minh phươg trình bậc hai vô nghiệm
a. Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm
2
Như các bạn đã biết, phương trình bậc hai ax  bx  c  0  a  0  vô nghiệm khi

  0   '  0  nhưng ta phải trình bày sao cho hợp lý và có tính thuyết phục cao để người
chấm có thiện cảm bằng cách sau:
2



Vẫn đưa VT phương trình về dạng VT  a  x 


b 


 0,  x  do   0 
 
2a 
4a

Và hoàn toàn tương tự như phần số 1, ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol để tìm
 
 b
điểm cực trị   ;   (các bạn vẫn có thể tính tay nhá nhưng dùng máy tính cho nhanh và
 2a 4a 
khá tiện lợi tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc)
Ví dụ: giải phương trình x 2  4 x  8  0
Rõ ràng các bạn thấy    4  0  phương trình vô nghiệm (hoặc dùng chức năng EQN)
Nên ta trình bày như sau:
Ta có VT   x  2   4  0, x  phương trình vô nghiệm.
2

b. Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm
Trước tiên ta sẽ đi làm một vĩ dụ từ đó ta sẽ xác định hướng làm tổng quát:
Giải phương trình x  y  xy  3 x  5 y  9  0
2

2

2

2

y 3
3

7
8

Ta có VT   x 
   y     0,  x , y  phương trình vô nghiệm.
2 
4
3
3


Vậy từ đâu mà ta lại làm được như vậy? thì mời bạn đọc nghiên cứu cách làm sau:
Ta viết phương trình thành
y 1000
x 2   y  3  x  y 2  5 y  9  0 
 x 2  997 y  995009  0 (*)

Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol cho (*) ta được
2

2

997 
2986027
y 3
3 y 2  14 y  27


y 1000
x




0



x


0




2 
4
2 
4



Dùng chức năng cực trị lần hai cho

3 y 2  14 y  27
4

3

2



3
7
8
 y     0,  y
4
3
3


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />2



Do đó ta viết phương trình đã cho thành  x 


2

y 3
3
7
8
  y   0
2 
4
3

3

Dễ dàng nhận thấy VT  0,  x , y
=> Ta có cách làm tổng quát sau:
Dạng tổng quát ax  bx  cxy  dy  ey  f  0 (1)
2

2

Cách làm:
Ta sẽ gán y  10 , tùy thuộc vào các bạn cho n 
n

 n  2  y  100

nhưng ở đây tôi cho 
 n  3  y  1000

Do đó VT (1)  ax 2   b  c.10 n  x   e.10 2 n  d .10 n  f   ax 2  b1 x  c1
Ta lại quay về bài toán ở mục 2 là chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm, rồi sau đó thay

y  10 n mà ta vừa gán. Mời các bạn làm thêm ví dụ sau:
Giải phương trình 3x  y  xy  8 x  7 y  12  0
2

2

y 100
2
2

 3 x 2  92 x  10712  0 (*)
Ta gán 3 x   y  8  x  y  7 y  12  0 

Ta

có
2

2

2

46 
30020
100  8 
3.100 2  20
y 8 
20



2
VT (*)  3  x 


3
x


 3 x 

 0,  x , y



 y 
3 
3
6 
3
3 
3




Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
=> Chức năng này không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS.
IV. CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Tính đạo hàm tại một điểm
Để làm tốt các bài toán liên quan đến đạo hàm nói chung, chúng ta cần phải hiểu được cơ bản
các quy tắc cũng như các công thức đạo hàm từ hàm sơ cấp đến hàm hợp mà đã được trình bày
mục IV, bài 1.
Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa lẫn công thức
đạo hàm mà đã được học vào cuối kỳ 2 lớp 11 (các bạn tự ôn lại nên tôi sẽ không nhắc lại nữa)
nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc cách tính đạo hàm tại một điểm bằng máy tính
cầm tay (chỉ dùng để tính kết quả chứ không nói lên cách làm)
Ví dụ tính đạo hàm của hàm số y  85  57 x  13 x 2  x 3 tại điểm x  3 thì ta làm như sau:
Bấm SHIFT +

rồi nhập hàm số đó vào ô trống thứ nhất và nhập giá trị điểm đề cho

vào ô trống còn lại ta thu được kết quả là

d
dx



85  57 x  13 x 2  x 3

4



x 3

  1, 5


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Ta hoàn toàn có thể tính bằng công thức đạo hàm



85  57 x  13 x  x
2

3

 85  57 x  13 x

'  2

 x3  '

2

85  57 x  13 x  x
2

3



3 x 2  26 x  57
2 85  57 x  13 x  x
2

3

x 3

 1, 5

2. Tìm các hệ số của lượng liên hợp của phương trình vô tỷ có nghiệm bội
Như trong mục VII, bài 1, tôi đã trình bày qua về cách phân biệt nghiệm đơn và nghiệm bội
(nghiệm kép và bội ba) nên không nhắc lại nữa (mời bạn đọc xem lại).

a. Nghiệm kép
Khi phương trình vô tỷ chứa căn thức là
của căn thức thường là dạng nhị thức

Mặt khác : do x  x0

f ( x )  ax  b  b 

n



Mà phương trình có nghiệm kép nên

f ( x ),... và có nghiệm kép x  x0 thì lượng liên hợp

n

n



n

f ( x )  ax (1)

f ( x ) '   ax  b  '  a 

d
dx



n

f ( x)

 (2)


d n
a
f ( x)


dx
x  x0
nên thay lần lượt vào (1) và (2) ta được 
 b  n f ( x )  ax

x  x0










Ta nghiên cứu ví dụ sau: Cho phương trình 2 x  1  2 x  2 x  1. Tìm lượng liên hợp cho
các căn thức biết phương trình có nghiệm kép là x  1.

2 x  1  ax  b

Quá dễ dàng để tìm lượng liên hợp của

d
a
2x 1
1


dx
x 1
Ta có 

 b  2 x  1  ax
1

x 1








2 x  1  x  1 hay lượng liên hợp của



2 x  1 là x  1.

Hoàn toàn tương tự với căn còn lại.
b. Nghiệm bội ba
Khi phương trình vô tỷ chứa căn thức là

hợp của căn thức thường là dạng tam thức
Mà










n



n

phương

trình



f ( x ) '   ax 2  bx  c  '  b 



f ( x ) ''   ax 2  bx  c  ''  a 

f ( x ),... và có nghiệm bội ba x  x0 thì lượng liên

n

n

f ( x )  ax 2  bx  c  c 

có
d
dx
1
2

nghiệm



n





d   f ( x)  '

dx  n n f n 1 ( x )


f ( x )  2 ax (2)

5


 (3)



n

bội

f ( x )  ax 2  bx (1)
ba

nên


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />

Mặt khác : do x  x0


1 d   f ( x)  ' 
a  


2 dx  n n f n 1 ( x ) 


 x  x0


 d n

f ( x )  2 ax 
nên thay lần lượt vào (1), (2) và (3) ta được  b  
 dx
 x  x0


2
 c  n f ( x )  ax  bx
x  x0











Ta nghiên cứu ví dụ sau : Cho phương trình x 5  3 x 4  4 x 3  3 x 2  2 x  1   x  1 2 x 2  2 x  1 .
Tìm lượng liên hợp của căn
Lượng liên hợp của
như sau:

a 



b 


c 



1



2
d

2 x 2  2 x  1 biết phương trình đã cho có nghiệm bội ba là x  1 .

2 x 2  2 x  1  ax 2  bx  c . Hoàn toàn dễ dàng ta tìm ra được các hệ số


d 
4x  2
 0, 5


dx  2 2 x 2  2 x  1 
x 1







2x2  2x  1 

Từ đó ra kết luận rằng lượng liên hợp của

2 x  2 x  1 là

dx

2x2  2x  1

 2 ax  0
x 1

x2  1
2

2 x 2  2 x  1  ax 2  bx  0, 5

⚠ Chú ý:



n



 f ( x)  '

f ( x) ' 
n

n

f

n 1

( x)

2

x2  1
2

.

n  N 
*

V. CHỨC NĂNG STO
Gán một giá trị (nghiệm) vào một biến bất kỳ trong máy (biến A, B, C, D, E, F, X, Y, M)
Để gán một giá trị bất kỳ hay nghiệm bất kỳ vào một biến trong máy ta làm như sau:
Giá trị cần gán + SHIFT + RCL + Biến cần gán (là các chữ in đỏ được viết in hoa)
Ví dụ như các bạn muốn gán giá trị 22 vào biến A trong máy thì ta bấm như sau:
22 + SHIFT + RCL + ( - )
Và để biết ta đã gán 22 vào biến A trong máy chưa ta cần bấm: ALPHA + ( - ) + = nếu kết quả
ra 22 thì tức là đã thực hiện đúng yêu cầu.
VI. CHỨC NĂNG SOLVE
1. Tìm nghiệm của phương trình chính xác

6


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Ta dùng SOLVE để tìm nghiệm của phương trình đã cho một cách chính xác theo hai hướng
sau:
Ví dụ ta đi tìm nghiệm của phương trình

x2  2x  8
x2  2x  3

  x  1



x22



+ Hướng 1: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu bất kỳ
 2

B1: Nhập  X 2  2 X  8   X  1  X  2  2   và ấn =
 X  2X  3


B2: Bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi giá trị X bắt đầu thì các bạn chọn tùy ý
B3: Tùy vào việc các bạn cho giá trị X bắt đầu mà máy hiện kết quả là nghiệm nào trước, ở
đây máy của tôi dùng là vinacal và cho giá trị X bắt đầu là 9 thì kết quả là x  3, 302775638 là
một nghiệm
B4: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương trình còn
nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành
 X 2  2X 8
  X  1
 2
 X  2X  3





X  2  2  :  X  A  rồi bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi giá trị




A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu được
kết quả là x  2 là một nghiệm nữa
B5: Tiếp tục chia nghiệm x  2 đi để xem phương trình còn nghiệm nào nữa không bằng cách
 X 2  2X 8



bấm phím back ◁ và sửa thành  2
  X  1  X  2  2   :  X  A  X  2  rồi bấm
 X  2X  3

SHIFT + CALC + = + = thì thu được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết
nghiệm), thử lai với giá trị X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự.
Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x  2; A
+ Hướng 2: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu trong đoạn chứa nghiệm đã tìm được bằng TABLE
Như ở phần dùng chức năng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm, ta đã tìm được đoạn chứa

nghiệm của phương trình là 1; 4  và thật “chẳng may” ta tìm được luôn phương trình có một
nghiệm là x  2 và bây giờ ta sẽ dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác trên đoạn
chứa nghiệm như sau:
 X 2  2X 8



B1: Nhập  2

  X  1  X  2  2   :  X  2  và ấn =
X

2
X

3


B2: Bấm SHIFT + CALC với X  1; 4  thì máy hiện kết quả là x  3, 302775638 là một
nghiệm
B3: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương trình còn
nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành

7


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
 X 2  2X 8
  X  1
 2
 X  2X  3




X  2  2  :  X  2  X  A  rồi bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi




giá trị A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu
được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị X bất kỳ ta
cũng thu được kết quả tương tự.
Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x  2; A
=> Ta rút ra một nhận xét sau:
Nếu ta tìm nghiệm trong đoạn chứa nghiệm sẽ nhanh hơn (về mặt thời gian) và ta sẽ bao quát
được nghiệm hơn khi dùng TABLE. Nhưng suy cho cùng thì các bạn nên làm hướng 1 để tránh
sự phức tạp.
⚠ Chú ý: một điều cực kỳ quan trọng khi dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác đó
là khi nhập phương trình (chuyển tất cả hạng tử về một bên và bỏ “= 0”) phải có dấu mở đóng
ngoặc ở hai đầu của phương trình và ấn = sau khi nhập xong (để máy lưu lại phương trình)
2. Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn
Thường là tìm mối quan hệ giữa x, y để thay vào phương trình còn lại của hệ, rồi đi giải phương
trình một ẩn x hoặc y. Nhưng việc nhận ra mối quan hệ giữa x và y là rất khó chính vì vậy, ta
cần dùng đến công cụ là máy tính cầm tay mà cụ thể là chức năng SOLVE này để nhận ra mối
quan hệ đó một cách nhanh chóng rồi từ đó định hướng cách làm.
Xét

ví

dụ

sau:

Tìm

mối

liên

hệ

giữa

hai

ẩn

x

và

y

thỏa

mãn

x  y  12 x  3 y  50 x  5 y  75  0
3

3

2

2

Ta dùng SOLVE để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn bằng hai hướng sau:

+ Hướng 1: Cho Y  100
B1: Nhập X 3  Y 3  12 X 2  3Y 2  50 X  5Y  75
B2: Bấm SHIFT + CALC với Y  100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là
X  95  100  5  Y  5

Do đó mối quan hệ hệ dự đoán giữa x và y là x  y  5
+ Hướng 2: Lập bảng
B1: Nhập X 3  Y 3  12 X 2  3Y 2  50 X  5Y  75
B2: Bấm SHIFT + CALC với Y  1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là X  4 (tức là
Y  1  X  4 )
Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối quan hệ
giữa X và Y như sau
1
2
3
4
Y
-4
-3
-2
-1
X
Từ bảng ta thấy x  y  5 , đó là mối quan hệ giữa x và y.
8

5
0

9
4

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Từ đó ta có cách làm như sau :
x 3  y 3  12 x 2  3 y 2  50 x  5 y  75  0
 x 3  12 x 2  50 x  75  y 3  3 y 2  5 y
  x  4   2  x  4    y  1  2  y  1
3

3

Xét hàm số f (t )  t  2t có f '(t )  3t  2  0, t 
3

2

⇒ Hàm số f (t ) luôn đồng biến trên
⇒ x  4  y 1  x  5  y
Trên đây là cách giải theo phương pháp hàm số (ta sẽ nghiên cứu ở phần sau Phương pháp hàm
số)
=> Mỗi cách có ưu và nhước điểm khác nhau, chính vì vậy ta sẽ làm thêm một ví dụ nữa để
biết xem cách nào tổng quát cho mội bài.





2
Tìm mối quan hệ giữa x và y dương thỏa mãn x 12  y  y 12  x  12





2
B1: Nhập X 12  Y  Y 12  X  12

B2: Đến ta ta có hai hướng làm
B2.1 : Bấm SHIFT + CALC với Y  100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là Can’t
solve nên ta chuyển sang hướng thứ 2 là :
B2.2 : Bấm SHIFT + CALC với Y  1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là
X  3, 316624752 (tức là Y  1  X  3, 3166 24752 )
Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối quan hệ
giữa X và Y như sau
1
2
3
4
5
12
Y
3,3166…
3,3162…
3
2,8284…
2,6457…
0

X
Qua bảng ta thấy, các giá trị X rất lẻ và không biết được nó sẽ có mối quan hệ như thế nào với
Y. Một câu hỏi đặt ra trong đầu: “ta sẽ bỏ ư?”. Câu trả lời là: “KHÔNG”. Đúng vậy, ta sẽ
không bỏ cuộc dù hoàn cảnh có khó khăn như thế nào. Sau đây, là một lưu ý cực kỳ quan trọng,
nó cũng như “cốc nước mát giữa sa mạc vậy”
“Khi lập bảng giá trị về mối quan hệ giữa X và Y mà chưa cho ta được mối quan hệ X và Y
thì ta phải tính thêm tất cả các biểu thức (căn, lũy thừa) chứa X và Y theo các giá trị vừa
tìm được”



2
Như vậy, ta sẽ tính thêm x 12  y , y 12  x

Y
X

1
3,3166…

2
3,3162…



3
3

vào bảng vừa rồi và được
4

2,8284…

9

5
2,6457…

12
0


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />12  Y

Y 12  X 2 

3,3166…
1

3,3162…
2

3
3

2,8284…
4

2,6457…
5

0
12

Ta đã ra mối quan hệ giữa x và y là
 x  0
 x  12  y
x  0


   y  12  x 2

2
2
 y  12  x
 y  12  x 2 (do 0  y  12)
 y  y (12  x )


Bây giờ, ta sẽ đi tách nhân tử bằng cách sử dụng: Phương pháp liên hợp, phương pháp đặt ẩn
phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đáng giá, …
Ở đây, tôi dùng BĐT Cô si để đánh gía (các bạn tham khảo ở mục sau)

x 2  12  y
x
12

y

x

12

y


2
Ta có 
 x 12  y 
2
 y 12  x 2  y  12  x




2

y 12  x 2   12

x  0
 x  x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
2
2
 y  12  x
 y  12  x
=> Tổng kết lại là ta nên dùng hướng 2 để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn tức là đi lập bảng và
khi lập bảng các giá trị ta phải nhớ liệt kê tất cả các phần tử có chứa các biến rồi tính giá trị tại
các điểm x và y tìm được.
VII. CHỨC NĂNG TABLE

Giới thiệu sơ qua về TABLE:
TABLE là bảng thống kê sự thay đổi của hàm theo biến trên từng giá trị cụ thể, tức là khi biến
thay đổi một lượng thì hàm cũng thay đổi theo lượng đó X  X 0  F ( X )  F ( X 0 ) và sau đây
là thao tác bấm máy:
Tại giao diện MODE ta chọn 7 để vào chức năng TABLE
Tại giao diện hàm số f(X) ta nhập hàm số cần xét
Tại giao diện hàm số g(X) ta nhập hàm số thứ 2 cần xét (nếu cần)
(không áp dụng cho máy casio fx-570ES PLUS)
Tại giao diện Start ta cho giá trị bắt đầu cần xét (thường là điểm đầu của TXĐ ví
dụ như hàm số có TXĐ là  a; b  thì ta cho Start bằng a)

10


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Tại giao diện End ta cho giá trị kết thúc cần xét (thường là điểm cuối của TXĐ
ví dụ như hàm số có TXĐ là  a; b  thì ta cho End bằng b)
Tại giao diện Step ta cho bằng 1 hoặc 0,5 (các bạn có thể cho bất kỳ)là giá trị
bước nhảy hay khoảng cách giữa hai số liền nhau
Cuối cùng ta thu được kết quả là bảng thống kê giá trị hàm thay đổi theo biến lần
lượt từ trái qua phải là STT→X→F(X)→G(X)
⚠ Chú ý:
Bảng thống kê TABLE thông thường tính được 20 giá trị ví dụ chạy từ -9 đến 9 với bước nhảy
là 1 hoặc chạy từ -4 đến 4 với bước nhảy là 0,5. Nhưng bảng TABLE có thể tính được tối đa
là 30 giá trị (trừ máy casio fx-570ES PLUS) và để mở rộng đến 30 giá trị thì ta cần bấm các
thao tác sau để bảng giá trị của chúng ta tăng thêm 10 giá trị từ 20 lên 30 bằng cách bấm SHIFT
+ MODE + ▽ + 5 + 1. Như vậy, ta đã làm tăng thêm 10 giá trị bây giờ các bạn xét từ -14 đến

14 với bước nhảy là 1 hoặc từ -7 đến 7 với bước nhảy là 0,5 để xét chính xác hơn và tránh để
bỏ xót “không cho chúng nó thoát”.
1. Xét tính đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số
Ta dùng TABLE trong trường hợp này nhằm mục đích xét tính đơn điệu của hàm số mà cụ thể
hay dùng nhất là xét dấu (dương hay âm) biểu thức sau khi liên hợp để thuận tiện việc chứng
minh vô nghiệm. Hay là việc kết hợp với định lý Rolle để tìm nghiệm duy nhất của phương
trình khi mà VT (đã chuyển tất cả các hạng tử về một vế và vế còn lại bằng 0) của phương trình
đó đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định.
⚠ Chú ý: đối với dạng này ta kết hợp thêm với chức năng SOLVE để tìm nghiệm trước nếu có
nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D thì ta áp dụng định lý Rolle để làm còn nếu
không có nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) thì ta kết luận rằng biểu thức đó luôn
dương (âm) trên tập xác định.
Ta hiểu định lý Rolle như sau:
+ Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f ( x )  k  k  const  có không
quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
+ Nếu hàm số f(x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau trên khoảng (a;b) thì phương trình
f ( x )  g ( x ) có không quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
Ví dụ 1: Giải phương trình  2 x  1 x  3 

1
x 1  2



2
x22

Ta có quy trình bấm máy như sau:
B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2: Nhập F ( X )   2 X  1 X  3 

1
X 1  2



11

2
X 22

0


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
B3: Cho Start  1; End  19; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN thì
bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start  1; End  29; Step  1

B4: Ta thấy f ( x )  0, x  1;  
B5: Dùng SOLVE bằng cách nhập lại F(X) vào và bấm SHIFT + CALC rồi cho X bất kỳ thì
máy hiện Can’t solve tức là phương trình vô nghiệm. (ta phải làm thêm bước này để kiểm tra
xem phương trình còn nghiệm không nếu không thì ta đi chứng minh vô nghiệm trên tập xác
định còn nếu có ta vẫn chứng minh hàm số đó đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định rồi áp
dụng định lý Rolle để kết luận nghiệm)
B6: Ta chứng minh như sau:

  2 x  1 x  3   2  x  1   3   x  1   4  6  2   2 x  1  x  3  2  0




1
1
Do x  1   x  1  2  2  1 
 1 1
0
x

1

2
x

1

2


2
2
 1 1
0
 x  2  2   x  1  3  2  3  2  2 
x22
x22




Nên ta có f ( x )    2 x  1 x  3  2   1 


 
  1 
x 1  2  
1


  0,  x  1
x  2  2
2

Vậy phương trình vô nghiệm. (trên đây là cách chứng minh đơn giản, vào các bài sau chúng ta
sẽ nghiên cứu nhiều hơn và gặp nhiều dạng bài cũng như cách giải tổng quát hơn)
Ví dụ 2: Giải phương trình 3 x 3  x 2  2 x  28   x 3  4  x 3  7  0
Xét hàm số f ( x )  3 x 3  x 2  2 x   x 3  4  x 3  7 trên  3 7 ;  
Ta có quy trình bấm tương tự như ví dụ 1, ta thấy f ( x ) đồng biến trên



3

7 ; 



nhưng khi

dùng chức năng SOLVE ta tìm được nghiệm duy nhất là x  2 nên áp dụng định lý: “Nếu hàm

số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f ( x )  k  k  const  có không quá một
nghiệm trên khoảng (a;b)”, do đó ta có cách làm như sau:
3
3
Dễ thấy x  7 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có điều kiện x  7

Xét hàm số f ( x )  3 x 3  x 2  2 x   x 3  4  x 3  7 trên
Có
f '( x )  9 x  2 x  2  3 x
2

2



3

7 ; 



2
3 x 2  x 3  7   3
1  17


 0
2
3
x 7 

 9  x     3x x  7 
3
3
9
9

2 x 7
2 x 7
3

3x 2  x3  4 

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng



3

7 ; 



12


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Mà f (2)  28 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  2.

Ví dụ 3: Giải phương trình x x  x  12  12  5  x  4  x 
Xét hai hàm số f ( x )  x x  x  12 và g ( x )  12  5  x  4  x  trên đoạn  0; 4 
Tương tự về cách bấm như trên, dùng TABLE ta thấy f ( x )  0 và g ( x )  0 trên khoảng  0; 4 
hay f ( x ), g ( x ) là hai hàm đơn điệu ngược nhau trên khoảng  0; 4  nên phương trình
có nhiều nhất một nghiệm. Dùng SOLVE hay TABLE ta tìm được một nghiệm
duy nhất là x  4. Từ đó ta có hướng làm như sau:
f ( x)  g ( x)

+ Xét hàm số f ( x )  x x  x  12 xác định và liên tục trên đoạn  0; 4 
Có f '( x ) 

3 x
2



1
2 x  12

 0,  x   0; 4   f ( x ) là hàm đồng biến trên đoạn  0; 4 

+ Xét hàm số g ( x )  12  5  x  4  x  xác định và liên tục trên đoạn  0; 4 


Có g '( x )   12 

1

 2 5 x




  0,  x   0; 4   g ( x ) là hàm nghịch biến trên đoạn
2 4 x 
1

 0; 4 
Mà f (4)  g (4) nên phương trình có nghiệm duy nhất là x  4.
2. Tìm đoạn chứa nghiệm của phương trình
Từ việc kết hợp với định lý hàm số liên tục mà ta đã được học ở kỳ 2, lớp 11 (đã nói qua ở mục
định lý hàm số liên tục, rolle, lagrange) và được hiểu như sau:
“Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu trên khoảng (a;b) đồng thời
f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn [a;b]”
Vậy tại sao lại phải dùng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm? Vì khi dùng chức năng SOLVE
ta sẽ tìm nghiệm của phương trình trong đoạn chứa nghiệm mà ta đã tìm được trong TABLE,
lúc này ngoài việc tìm nghiệm một cách nhanh chóng (nói về thời gian máy tính tìm nghiệm
nhanh hơn so với việc tìm nghiệm mà không trong đọan chứa nghiệm) mà còn tìm đủ số nghiệm
(nói về việc tìm đầy đủ các nghiệm mà phương trình có, tránh trường hợp tìm thiếu nghiệm
bằng SOLVE mà không tìm trong đoạn chứa nghiệm)
Ta nghiên cứu ví dụ sau đây:

x2  2x  8





  x  1 x  2  2 (tuy nhiên ta chỉ cần tìm đoạn chứa nghiệm
x2  2x  3

của phương trình thôi mà không giải hẳn vì việc giải chi tiết sẽ được làm vào các bài sau)
Giải phương trình

Ta co quy trình bấm máy như sau:

13


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2: Nhập hàm số F ( X ) 

X 2  2X 8
X 2  2X  3

  X  1



X 2 2



B3: Cho Start   2; End   17; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start   2; End  27; Step  1

B4: Ta thấy phương trình có nghiệm trong đoạn
f (2)  0  x  2

1;3 ; 3; 4   1; 4 

mà đặc biệt

là một nghiệm, bây giờ ta dùng chức năng SOLVE để tìm xem phương trình

còn nghiệm nào trong đoạn 1; 4  nữa không ngoài nghiệm x  2 (ta sẽ thực hiện thao tác này
trong bài chức năng SOLVE)
Như vậy, khi dùng TABLE ta tìm được một nghiệm là x  2 và đoạn chứa nghiệm là 1; 4 
3. Tìm hệ số của lượng liên hợp khi phương trình vô tỷ có nghiệm vô tỷ đơn duy nhất
Khi các bạn học qua bài phương pháp liên hợp rồi, các bạn sẽ biết được lượng liên hợp của
nghiệm đơn vô tỷ đơn duy nhất là dạng nhị thức bậc nhất. Ở đây, tôi xin phép nói luôn cách
tìm hệ số của nhị thức bậc nhất:
Ta luôn có  n f ( x )  ax  b  n  2 | n  N ; a , b  const  trong đó  

*

là số được chọn một

số bất kỳ trong  10    10
Mà x  x0  A là nghiệm vô tỷ đơn duy nhất của phương trình (trong quá trình tìm nghiệm
bằng SOLVE ta đã tìm được nghiệm vô tỷ x  x0 và đã được gán vào biến A)
Nên ta phải có  n f ( A)  a. A  b  b   n f ( A)  a. A (ta nói a là biến còn b(a) là hàm thay
đổi theo a)
Ta dùng chức năng TABLE để tìm a, b bằng cách gán a  X  b ( a )  F ( X ) , thao tác bấm
máy như sau:
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F ( X )   n f ( A)  X . A
B3 : Cho Start   9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN

thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start   14; End  14; Step  1

B4 : Chọn X 

 F(X )

từ đó thu được a 

 b

Ta nghiên cứu ví dụ sau :
3
2
Cho phương trình x  x  x  5   x  4  x  2  0 . Tìm lượng liên hợp của

14

x2


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất là
x  3, 302775638

và gán nó vào biến A trong máy. Bây giờ ta đi tìm lượng liên hợp của

x2

như sau :
Ta luôn có  x  2  ax  b
Mà x  A là nghiệm và chọn   1 nên ta có

b

A  2  a. A

Dùng TABLE để tìm a, b bằng cách gán a  X  b ( a )  F ( X ) và các bước bấm máy như
sau:
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F ( X ) 

A  2  X .A

B3 : Cho Start   9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start   14; End  14; Step  1

B4 : Ta thấy X  1  F ( X )   1 nên ta chọn  a; b   1; 1
Vậy lượng liên hợp của

x  2  x 1.

⚠ Chú ý : Với một số bài mà chúng ta không tìm ra  a; b  

khi cho   1 thì các bạn phải

thay đổi và cho   2, 3, 4, 5... để tìm ra (sẽ không mất thời gian khi cho   tăng dần vì ứng
với ỗi giá trị ta chỉ mất 30 giây để tìm cặp số thỏa mãn chính vì vậy các bạn phải kiên trì và
nhớ đến câu nói nổi tiếng của tỷ phú Jack Ma : “Hôm nay khó khăn, ngày mai khó khăn hơn
nhưng ngày kia sẽ là ngày tuyệt vời”)
4. Tìm hệ số của phương trình bậc hai chứa nghiệm vô tỷ đơn
Thường thì trong kỳ thi THPTQG hiện nay thì nghiệm vô tỷ thường sẽ là nghiệm của một
phương trình bậc hai dạng  x  mx  n  0 (có thể là dạng lượng giác nhưng ít suất hiện hơn
và sẽ được trình bày vào các bài sau) và ta đi tìm dạng tường minh của nghiệm lẻ hay đi tìm
dạng tương minh của phương trình bậc hai như sau:
2

Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta đã gán nghiệm vô tỷ vào biến A trong máy và
nghiệm này là nghiệm của phương trình  x  mx  n  0 (trong đó  
2

*

là số được chọn một

 n   x  mx  n   A  m. A
2
2
số bất kỳ trong  10    10 ) nên ta phải có 
 m   x  n  m   A  n

x
A
2

Ta dùng chức năng TABLE để tìm  m; n  

2

bằng cách gán m  X  n  F ( X ) (tương tự

với trường hợp còn lại) nên ta có thao tác bấm máy như sau:
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
15


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
B2 : Nhập hàm F ( X )   A  X . A
2

B3 : Cho Start   9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start   14; End  14; Step  1

B4 : Chọn X 

 F(X )

từ đó thu được a 

 b

Ta nghiên cứu ví dụ sau :
3
2

Cho phương trình x  x  x  5   x  4  x  2  0 . Tìm nghiệm của phương trình.

Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất là
x  3, 302775638 và gán nó vào biến A trong máy.
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F ( X )   A  X . A
2

B3 : Cho Start   9; End  9; Step  1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start   14; End  14; Step  1

B4 : Ta thấy X   3  F ( X )   1 nên ta chọn  a; b    3; 1

3  13
A
x 
2
2
Vậy nghiệm vô tỷ là nghiệm của phương trình x  3 x  1  0  

3  13
(loai )
x 

2

Nghiệm x 

3  13

sẽ bị loại do điều kiện nào đó trong quá trình giải, cách giải chi tiết ta sẽ
2
nghiên cứu vào các bài sau.
⚠ Chú ý : Với một số bài mà chúng ta không tìm ra  a; b  

khi cho   1 thì các bạn phải

thay đổi và cho   2, 3, 4, 5... để tìm ra (sẽ không mất thời gian khi cho   tăng dần vì ứng
với ỗi giá trị ta chỉ mất 30 giây để tìm cặp số thỏa mãn chính vì vậy các bạn phải kiên trì và
nhớ đến câu nói nổi tiếng của Samuel Johnson : “Những thành tựu vĩ đại không được gặt hái
bằng sức mạnh mà bằng sự kiên trì”)
VIII. CHẮC NĂNG CALC
1. Gán giá trị vào một biến bất kỳ, tính giá trị biểu thức
+ Cũng như việc gán một gái trị bất kỳ vào một biến bất kỳ trong máy mà không cần sử dụng
chức năng STO như sau:
Ví dụ ta muốn gán 22  A thì ta làm như sau:
16


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Bấm ALPHA + (-) + CALC + 22
Để kiểm tra ta đã gán 22 vào biến A chưa thì ta ấn ALPHA + (-) + =
Như vậy, ngoài việc dùng chức năng STO ta cũng có thể gán một giá trị bất kỳ vào một biến
bất kỳ trong máy bằng cách gọi tên biến và ấn CALC rồi nhập giá trị cần gán.
Ngoài ra, ta cũng dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức, tỉ dụ như:
Tính giá trị biểu thức P 

B1: Nhập

2 X  2Y  5

2x  2 y  5
6x  5 y

 12 x 2  3 y  2 x  1 , biết x  1, y  2

 12 X 2  3Y  2 X  1

6 X  5Y

B2: Bấm CALC với X  1, Y  2 ta thu được kết quả là P 

23
4

2. Rút gọn (khai triển) đa thức hữu tỷ
Cho đa thức f ( x )  a n x  a n 1 x
n

n 1

 ...  a1 x  a0 trong đó a0 , a1 ,..., an  const là các hệ số và

n N

k  Z 

Mấu chốt ở đây là đi tìm các hệ số a0 , a1 ,..., an bằng cách gán x  10 k
Giả

ta

sử

gán

f (1000)  an 00 an 1 00...a1 00 a0  an  1000  an  10
n

ý

ta

thu

f (103 )
103 n

khi

quy

đổi:

10  x, 10  x , 10  x , 10  x , 10  x , 10  x , 10  x , 10  x
3

6

2

9

3

12

4

15

5

được

3n

Do đó hệ số bậc cao nhất được tính bởi công thức an 
Lưu

thì

x  10 3  1000

*

18

6

21

7

24

8

Sau khi tìm được hệ số bậc cao nhất là an rồi, để tìm các hệ số tiếp theo (theo bậc giảm dần) là

an 1 ta cũng làm tương tự bằng cách lấy an 1 

f (10 3 )  an  10 3 n
10


f (10 k )
a

 n
10 kn

n
TỔNG QUÁT: 
k n  i 1
k

f
(10
)

 an i 1  10  

i 1
 an i 
k n i
10  


3 n 1

 n , i  N ; n  i; k  Z 
*

Ta nghiên cứu một số ví dụ sau
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau P   x 3  x 2  x  5    x  4  2  x  2 
2

17


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
Ta

thấy

P

là

một

đa

thức

hữu

tỷ

và

có

dạng

như

sau

P  a6 x  a5 x  a4 x  a3 x  a 2 x  a1 x  a0
6

5

4

3

2

Trong đó a0  a6  const là các hệ số tăng dần theo bậc và được tìm như sau:
2
2
B1: Để tìm hệ số a6 ta nhập  X 3  X 2  X  5    X  4   X  2   : X 6 rồi CALC với



X  10 3

ta thu được kq  0,997998991  1  a6  1

B3 : Để tìm hệ số a5 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành
 X 3  X 2  X  5  2   X  4  2  X  2   X 6  : X 5 rồi cũng CALC với X  10 3 ta thu được



kq  2,001008999  2  a5  2
B4: Để tìm hệ số a4 ta bấm ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành
 X 3  X 2  X  5  2   X  4  2  X  2   X 6  2 X 5  : X 4 rồi cũng CALC với X  10 3 ta thu



được kq  1, 008999022  1  a4  1
B5: Để tìm hệ số a3 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành
 X 3  X 2  X  5  2   X  4  2  X  2   X 6  2 X 5  X 4  : X 3 rồi cũng CALC với X  10 3




ta thu được kq  8,999022007  9  a3  9
B5: Để tìm hệ số a2 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành
 X 3  X 2  X  5  2   X  4  2  X  2   X 6  2 X 5  X 4  9 X 3  : X 2 rồi cũng CALC với


X  10 3

ta thu được kq  0,977993  1  a2  1

B6: Để tìm hệ số a1 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành
 X 3  X 2  X  5  2   X  4  2  X  2   X 6  2 X 5  X 4  9 X 3  X 2  : X rồi cũng CALC với


X  10 3

ta thu được kq  22, 007  22  a1  22

B7: Để tìm hệ số a0 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành
 X 3  X 2  X  5  2   X  4  2  X  2   X 6  2 X 5  X 4  9 X 3  X 2  22 X  rồi cũng CALC



với X  10 3 ta thu được kq  7  a0  7

18

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

B8: Thử lại phép tính bằng cách bấm phím back ◁ và sửa lại thành
 X 3  X 2  X  5  2   X  4  2  X  2   X 6  2 X 5  X 4  9 X 3  X 2  22 X  7 


CALC với X bất kỳ ta thu được kq  0 tức là ta đã làm đúng.

rồi

cũng

Như vậy P  x 6  2 x 5  x 4  9 x 3  x 2  22 x  7
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau Q   2 x 2  2 x  1 1  2 x  2   8 x 2  8 x  1  x  x 2 
2

Hoàn

toàn

tương

tự

như

2

trên

ta

thu

được

kết

quả

là

Q  80 x  240 x  276 x  152 x  45 x  9 x  1
6

5

4

3

2

3. Chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử
a. Đa thức hữu tỷ
Hoàn toàn tương tự về phương pháp làm ở mục 2, ta nghiên cứu các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau P ( x ) 

x 6  2 x 5  x 4  9 x 3  x 2  22 x  7
x2  3x  1

Ta thấy P có bậc cao nhất là bốn và hệ số của bậc bốn là 1 nên P ( x )  x  a3 x  a 2 x  a1 x  a0
, ta đi tìm các hệ số còn lại bằng cách áp dụng công thức
4

n

an i 

f (10 k )   a n  i 1  10
i 1

10

Do đó a3 

2

k  n  i 1

k  n i 

P (103 )  a4  1012
109

3

 n, i  N ; n  i 

 1  a4  1 , hoàn toàn tương tự ta có a2  3, a1  1, a0  7

Như vậy, ta thu được kết quả là P ( x )  x  x  3 x  x  7
4

3

2

Để kiểm tra tính đúng sai của kết quả ta nhập P ( X )   X 4  X 3  3 X 2  X  7  rồi CALC với
số bất kỳ, nếu kết quả là 0 thì đúng và ngược lại. Trong bài này kết quả ra 0.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử P  80 x 6  240 x 5  276 x 4  152 x 3  45 x 2  9 x  1
Đầu tiên ta sẽ dùng SOLVE để tìm nghiệm (các bạn tự thao tác nhé) ta tìm được hai nghiệm lẻ
nhưng rất may tổng và tích của chúng lại thuộc hữu tỷ nên ta nghĩ tới việc sử dụng định lý ViA B 1

et 

2
1  A, B là nghiệm của PT x  x 

 A.B  5


Do

Q ( x) 

đó

ta

có

1
5

 0  5x2  5x  1  0

P   5 x 2  5 x  1 Q ( x )

80 x 6  240 x 5  276 x 4  152 x 3  45 x 2  9 x  1
5x2  5x  1  0
19

trong

đó


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
Bây

giờ

bài

Q ( x) 

toán

trở

thành :

rút

gọn

biểu

thức

80 x  240 x  276 x  152 x  45 x  9 x  1
6

5

4

3

2

5x2  5x  1  0

Và việc làm này hoàn toàn tương tự như ví dụ 1, ta thu được két quả

Q ( x)  16 x 4  32 x 3  20 x  4 x  1
Như vậy, ta có P   5 x 2  5 x  116 x 4  32 x 3  20 x  4 x  1

Thử lại tính đúng sai: Ta lấy P ban đầu trừ đi P sau rồi CALC với x bất kỳ ta nhận được kết
quả là 0, như vậy ta đã làm đúng.
⚠ Chú ý: Nếu các bạn để ý thì bản chất của phân tích đa thức thành nhân tử thì nó chính là
chia đa thức mà bản chất của chia đa thức thì nó chính là rút gọn (khai triển) đa thức bằng
cách sử dụng chức năng CALC với X  10 k  k  Z *  .
b. Đa thức vô tỷ (chứa căn thức)
Như phần trên là chia đa thức hữu tỷ còn phần này chỉ khác là chia đa thức vô tỷ hay nói cách
khác là chia đa thức chứa căn và được phân thành các dạng như sau:
+ Chia đa thức có chứa một căn thức:
Ta thực hiện phép chia và thu được

Đổi dấu trước căn ta được

f ( x)

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x)

A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x)

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x)

VT (1)  VT (2)

Do đó ta có u 

A1 ( x )  B1 ( x )

2

,v 

uv

uv

f ( x ) (1)

f ( x ) (2)

VT (1)  VT (2)
2 f ( x)

+ Chia đa thức có chứa hai căn thức :
Ta

thực

phép

hiện

A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x)  C2 ( x) g ( x)

uv

chia

và

thu

được

f ( x )  w g ( x ) (1)

Đổi dấu trước

f ( x ) ta được A1 ( x )  B1 ( x ) f ( x )  C1 ( x ) g ( x )  u  v f ( x )  w g ( x ) (2)

Đổi

dấu

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x)  C2 ( x) g ( x)

trước

A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x)  C2 ( x) g ( x)

uv

g ( x)
f ( x )  w g ( x ) (3)

20

ta

được


ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Đổi

trước

dấu

A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x)  C2 ( x) g ( x)

uv

ta

f ( x ), g ( x )

được

f ( x )  w g ( x ) (4)

Do đó ta có
u

VT (1)  VT (2)  VT (3)  VT (4)
4

, v

VT (1)  VT (2)  VT (3)  VT (4)

, w

VT (1)  VT (2)  VT (3)  VT (4)

4 f ( x)

4 g ( x)

+ Chia đa thức có chứa ba căn thức:
Ta thực hiện phép chia và thu được
A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )  D1 ( x ) h ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x )  C 2 ( x ) g ( x )  D2 ( x ) h ( x )

Đổi dấu trước

f ( x )  w g ( x )  t h ( x ) (1)

uv

f ( x )  w g ( x )  t h ( x ) (2)

uv

f ( x )  w g ( x )  t h ( x ) (3)

uv

f ( x )  w g ( x )  t h ( x ) (4)

uv

f ( x )  w g ( x )  t h ( x ) (5)

f ( x ) ta được

A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )  D1 ( x ) h ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x )  C 2 ( x ) g ( x )  D2 ( x ) h ( x )

Đổi dấu trước

uv

g ( x ) ta được

A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )  D1 ( x ) h ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x )  C 2 ( x ) g ( x )  D2 ( x ) h ( x )

Đổi dấu trước h ( x ) ta được
A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )  D1 ( x ) h ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x )  C 2 ( x ) g ( x )  D2 ( x ) h ( x )

Đổi dấu trước

f ( x ), g ( x ), h( x ) ta được

A1 ( x )  B1 ( x )

f ( x )  C1 ( x ) g ( x )  D1 ( x ) h ( x )

A2 ( x )  B2 ( x )

f ( x )  C 2 ( x ) g ( x )  D2 ( x ) h ( x )

Do đó ta có u 

VT (1)  VT (5)
2

,v 

VT (1)  VT (2)

,w 

VT (1)  VT (3)

2 f ( x)

Ta dùng CALC để tìm u, v, w, t bằng cách gán x  10 k

2 h( x)

k  Z 

và gán VT vào các biến khi

⚠ Chú ý: bậc của tử luôn lớn hơn bậc của mẫu.
x3  x 2  x  5   x  4  x  2
x 1

21

x2

VT (1)  VT (4)

2 g ( x)

x  10 k

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P 

,t 

*


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
Ta có
x3  x 2  x  5   x  4  x  2

P

x 1 x  2

Q

x3  x 2  x  5   x  4 
x 1 x  2


uv x2
PQ
P Q

, v
u 
2
2 x2
x2


 u v x  2


Ta gán x  1000 thì 10  x, 10  x
3

6

2

Dựa trên cơ sở đã trình bày ở trên cùng với chức năng CALC của máy tính cầm tay ta có các
bước như sau:
B1: Nhập P

X 3  X 2  X  5   X  4 X  2
X 1

X 2

và ấn =

B2: Bấm CALC với X  1000 ta thu được kết quả là P  1032689, 038 rồi bấm SHIFT +
STO + (-) (tức là gán giá trị đó vào biến A)
B3:

Thay vì

phải

trực

tiếp

X  X  X  5   X  4 X  2
3

X 1
Q  969316, 962

X 2

Q

ta

sẽ

bấm

phím

△ rồi

sửa

thành

rồi cũng bấm CALC với X  1000 ta thu được kết quả là

rồi bấm SHIFT + STO + O’’’ (tức là gán giá trị đó vào biến B)

B4:

u

nhập

2

Do

A B
2

 1001003  10 6  10 3  3  x 2  x  3, v 

đó

A B
2 X 2

 1001  1000  1  x  1

2
Như vậy, ta có kết quả là P  x  x  3   x  1 x  2

Thử lại tính đúng sai: Ta lấy P ban đầu trừ đi P sau rồi CALC với x bất kỳ ta nhận được kết
quả là 0, như vậy ta đã làm đúng.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức P 

x 12  x  11  x  x  1  25
12  x 

x 1  5

Đây là dạng chia đa thức vô tỷ chứa hai căn thức nên ta có cách làm sau:
x 12  x  11  x  x  1  25


 u  v 12  x  w x  1 
12  x  x  1  5


 x 12  x  11  x  x  1  25
Q
 u  v 12  x  w x  1 

 12  x  x  1  5

x 12  x  11  x  x  1  25

M 
 u  v 12  x  w x  1 
12  x  x  1  5


 x 12  x  11  x  x  1  25
N 
 u  v 12  x  w x  1 

 12  x  x  1  5

P

22


PQM  N
u 
4

P

Q

M N

v 
4 12  x


PQM  N
w 
4 x 1



ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Do đó ta có quy trình bấm máy như sau:
B1: Nhập P

X 12  X  11  X  X  1  25
12  X 

X 1  5

và ấn =

B2: Bấm CALC với X  10 3 thì ta thu được kết quả là P  26,12683169 và gán vào biến A
bằng cách bấm SHIFT + STO + (-)
B3:

Thay vì

phải

trực

tiếp

 X 12  X  11  X  X  1  25
 12  X 

X 1  5

nhập

Q

ta

sẽ

bấm

phím

△ rồi

và gán vào biến B bằng cách bấm SHIFT + STO + o’’’

B4:

phải

trực tiếp nhập

X 12  X  11  X  X  1  25
12  X 

X 1  5

M ta sẽ bấm

phím

△ rồi

và gán vào biến C bằng cách bấm SHIFT + STO + hyp

B5:

phải

trực tiếp nhập

 X 12  X  11  X 
 12  X 
N  3, 804545946

X  1  25

X 1  5

sửa thành

rồi cũng bấm CALC với X  10 3 ta thu được kết quả là

M  14,19295468

Thay vì

thành

rồi cũng bấm CALC với X  10 3 ta thu được kết quả là

Q  1, 875667681

Thay vì

sửa

M ta sẽ bấm

phím

△ rồi

sửa thành

rồi cũng bấm CALC với X  10 3 ta thu được kết quả là

và gán vào biến D bằng cách bấm SHIFT + STO + sin

B6: Lúc này ta có u 

A BC  D
4

Như vậy, ta có kết quả là P 



23
2

,v 

ABC D
4 12  X

5
A B C  D 5
 ,w 

2
2
4 X 1

5 12  x  5 x  1  23
2

⚠ Chú ý: Hãy chú ý đến biểu thức trong căn để gán giá trị x  10 k

k  Z 
*

cho phù hợp, tỷ

dụ như bài này ta chọn k   3  0  x  10 3 vì nếu cho k  0 thì không tồn tại
giá trị x đó.

12  x tại

4. Tính giới hạn
a. Tính giới hạn tại một điểm
Ta dùng CALC để tính giới hạn của hàm số f(x) tại điểm x  x0 bằng cách cho giá trị gần đúng

n

của x0 hay x  x0  10 . Tùy thuộc vào các bạn chọn một số n  N * bằng bao nhiêu để tính
giới hạn một cách thuận lợi nhất.
Ta nghiên cứu ví dụ sau: Tính lim
x 1

2 x  2  3x  1
x 1

23


CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: – Facebook: />Nhóm học tập: />
B1: Nhập

2X  2  3X 1
X 1

và ấn =

B2: Bấm CALC với X  1  10 5 ta thu được kết quả là kq   0, 25
Vậy kết quả là lim

2 x  2  3x  1
x 1

x 1



1
4

b. Kiểm tra nghiệm bội
Như ta đã biết ở mục trên, nghiệm x  x0 là nghiệm bội k của phương trình f ( x )  0 khi và

chỉ

khi

mãn

thỏa

f ( x )  0   x  x0  . g ( x )  0
k

f ( x)

lim
0
k 1
 x  x0
x

x



0

kiện 
 lim f ( x )  0
 x  x0  x  x  k
0


điều

,

lúc

này

 g ( x0 )  0 

3
2
4 2
Ta nghiên cứu ví dụ sau: Cho phương trình 2 x  7 x  8  4 x  2  0 . Tìm nghiệm của
phương trình đã cho và nghiệm đó là nghiệm bội mấy.

Dùng SOLVE ta tìm được nghiệm duy nhất là x   2 , ta sẽ kiểm tra nghiệm đó là nghiệm bội
mấy bằng cách tính giới hạn lim

2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  2

(ta đã biết cách tính giới hạn tại một

x2
điểm cho trước như mục a, đã trình nên tôi sẽ bỏ qua phần này). Ta thấy:
x  2

lim

2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  2
x2

x  2

 0, lim

2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  2

 x  2

x  2

2

 0, lim

x  2

2 x3  7 x 2  8  4 4 x 2  2

 x  2

3

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x   2 và nghiệm đó là nghiệm ba.
⚠ Chú ý: Do tính giá trị tại điểm gần  x0 nên ta có quy ước về kết quả sau khi tính giá trị
 0  n  3

biểu thức tại một điểm như sau: nếu kết quả ra a  10  n 

 0  n  2

hệ số, n 

trong đó a  const là

.

c. Rút gọn đa thức hữu tỷ
Xét đa thức f ( x )  a n x  a n 1 x
n

n 1

 ...  a1 x  a0 trong đó a0 , a1 ,..., an  const là các hệ số và

n N

Ngoài cách dùng CALC với x  10 k

k  Z 
*

(mà đã được trình bày ở mục 2 cùng bài) thì ở

phần này tôi sẽ hướng dẫn các bạn sử dụng giới gạn để tìm các hệ số a0  an khi mà cách làm
ở mục 2 chưa chính xác (nguyên nhân do hệ số lớn …)
24

0