Tóm tắt các công thức đại số và giải tích

Các công thức lượng giác
I. Các hệ thức cơ bản:
tan x =

1. sin2x + cos2x = 1
⇒

2.

sin2x = 1 - cos2x = (1-cosx)(1+cosx)

⇒

3.

cos2x = 1 - sin2x = (1-sinx)(1+sinx)

sin x
cos x

cos x
sin x

cot x =

;

1
1 + tan 2 x =
cos 2 x

; tanx.cotx = 1

1 + cot 2 x =

;

1
sin 2 x

II. Công thức nhân đôi – nhân ba:

4. sin2x = 2sinx.cosx

⇒

sinx.cosx =

1
2

7. sin3x = 3sinx – 4sin3x = sinx (3–4sin2x)
8. cos3x = 4cos3x–3cosx =cosx(4cos2x–3)

sin2x

5. cos2x = cos2x - sin2x = (cosx-sinx)(cosx+sinx)
= 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x

tan 2 x =
6.

2 tan x
1 − tan 2 x

cot 2 x =

;

9.

3 tan x − tan 3 x
tan 3 x =
1 − 3 tan 2 x

2 cot x
cot 2 x − 1

10.

cot 3 x − 3cot x
cot 3 x =
3cot 2 x − 1

III. Công thức hạ bậc:
sin 2 x =

11.

1
2

cos 2 x =

(1– cos2x)

12.

IV. Công thức biểu diễn theo t = tan
sin x =

14.

2t
1+ t2

cos x =

15.

1
2

tan 2 x =

(1+ cos2x)

13.

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x

x
2

1− t 2
1+ t2

tan x =

16.

2t
1− t2

cot x =

17.

1− t2
2t

V. Công thức quy gọn góc (góc có liên quan đặc biệt):
18. Hai cung đối nhau:
sin(- x) = – sin x
; cos(- x) = cos x

;

tan(-x) = – tan x

19. Hai cung bù nhau:

;

tan( - x) = – tan x

π

sin( - x) = sin x

20. Hai cung phụ nhau:
21. Hai cung hơn kém

22. Hai cung hơn kém

π

π
2

π

sin

π

 − x
2

π

π

; cos( - x) = cos x

= cos x ;

: sin( + x) = – sin x ;

: sin

π

 + x
2


= cos x

;

cos

π

 − x
2

π

= sin x

;

cos( + x) = – cos x ;

cos

π

 + x
2


tan

π

24. cos(x + k2 ) = cos x

25. tan(x + k ) = tan x

26. cot(x + k ) = cot x

π

π

 − x
2


π

= cot x

tan( + x) = tan x

= – sin x ; tan

23. sin(x + k2 ) = sin x
π

π

π

 + x
2


= – cot x


VI. Công thức cộng cung:
27. sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

28. sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

29. cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
tan a + tan b

1 − tan a tan b
31. tan(a + b) =

30. cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan a − tan b
1 + tan a tan b
32. tan(a - b) =

II. Công thức biến đổi tổng thành tích:
a+b
a −b
2sin
cos
2
2
33. sina + sinb =
a+b
a −b
2 cos
cos
2
2
35. cosa + cosb =
π


37. sinx + cosx =

39. sinx - cosx =

2 cos

34. sina - sinb =

−2 sin

36. cosa – cosb =

π
2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷
4
4



π
π


2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷
4
4



VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 
2
41. sinacosb =

1
sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 
2
43. cosasinb =

a+b
a −b
sin
2
2

38. cotx + tanx =

a+b
a −b
sin
2
2

2
sin 2x

40. cotx – tanx = 2cot2x

42. cosacosb =
44. sinasinb =

1
 cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 
2

1
 cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2

IX. Một số công thức cần nhớ khác:
45. sin4x + cos4x =
46. sin6x + cos6x =
47. Họ nghiệm x =

1
3 1
1 − 2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x
2
4 4

3
5 3
1 − 3sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x
4
8 8
α + k 2π

x =α +

48. Họ nghiệm

có 1 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

k 2π
(n ≥ 2, n ∈ N )

n

có n điểm biểu diễn cách đều nhau trên ĐTLG.

X. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Góc x/ GTLG
sinx
cosx
0
0 ( 0 Rad)
0
1
300 (

π
6

Rad)

1
2

3
2

tanx
0

cotx
||

1
3

3


0

45 (
600 (
0

90 (

π
4
π
3
π
2

1200 (
0

135 (
1500 (
1800 (

Rad)

Rad)
Rad)

2π
3

Rad)

3π
4

π

1
2

1

1

3
2

1
2

3

1
3

1

0

||

0

3
2

1
2

-

1
2

Rad)

5π
6

1
2

-

1
2

Rad)

Rad)

-

0

1
3

3

-

-

1
2

-1

-1

3
2

1
3

3

-

-1

-

0

||

Đại số tổ hợp – Xác suất
Pn = n ! = 1.2.3...n
1. Số hoán vị của n phần tử là:
Ank =

2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
Cnk =

3. Số tổ hợp chập k của n phần tử là:

Cnk = Cnn −k
4.

5.

n!
= ( n − k + 1) ( n − k + 2 ) ...n
n
−
k)!
(

Ak
( n − k + 1) ( n − k + 2 ) ...n
n!
= n =
k !( n − k ) !
k!
1.2...n

Cnk + Cnk +1 = Cnk++11

( a + b)

n

= Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n

6. Nhị thức Newton:

( x + 1)

n

= Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn−1 x + Cnn = Cnn x n + Cnn −1 x n −1 + ... + Cn1 x + Cn0

7.

2 n = ( 1 + 1) = Cn0 + Cn1 + ... + Cnn−1 + Cnn
n

8.

0 = ( 1 − 1) = Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + ( −1) Cnn = ( Cn0 + Cn2 + ...) − ( Cn1 + Cn3 + ...) ⇒ Cn0 + Cn2 + ... = Cn1 + Cn3 + ...
n

9.

n


10. Nếu trong n t.hiện 1 phép thử có

nA

P( A) =

lần x.ra sự kiện A thì x.suất x.ra sự kiện A là:

nA
n

Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân
I. Dãy số:
1. Dãy số

2. Dãy số
3. Dãy số
4. Dãy số
5. Dãy số

{ un }
{ un }
{ un }
{ un }
{ un }

un < un +1 ∀n ∈ N ∗

gọi là đơn điệu tăng nếu
gọi là đơn điệu giảm nếu

un > un +1 ∀n ∈ N ∗

bị chặn trên bởi số thực M nếu
bị chặn dưới bởi số thực m nếu
bị chặn nếu

∃no ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ no ⇒ un ≤ M
∃no ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ no ⇒ un ≥ m

∃M ∈ R, m ∈ R, no ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ no ⇒ m ≤ un ≤ M

II. Cấp số cộng:
1. Dãy số
2.

{ un }

được gọi là cấp số cộng nếu

un = u1 + ( n − 1) d

3.

un +1 = un + d ( d = const )

với

∀n ∈ N *

, d là công sai

un + k = uk + nd = un + kd

5. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

un −1 + un +1 = 2un

4.
1
1
S n = ( u1 + un ) n = nu1 + n ( n − 1) d
2
2

III. Cấp số nhân:
1. Dãy số

{ un }

được gọi là cấp số nhân nếu

un = q n −1 u1
2.

3.

un +1 = quk ( q = const )

với

∀n ∈ N *

un + k = q k un = q n u k
S n = u1

5. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

, q là công bội
4.

un +1. un −1 = un2

q −1
q −1

n

Giới hạn của d.số - Giới hạn của h.số - Sự liên tục của hàm số
I. Giới hạn của dãy số:
un − L < ε
lim un = L ⇔ ∀ε > 0, ∃no ∈ N sao cho ∀n ∈ N , n > no
1.
thì
un − L < ε
lim un = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃no ∈ N sao cho ∀n ∈ N , n > no
2.
thì
∃no ∈ N sao cho un ≤ vn∀n > no

3.

và

lim vn = 0 ⇒ lim un = 0

lim un = ∞ ⇒ lim

4.

1
=0
un


5.

lim nα = +∞ ( α > 0 )

9. Nếu

lim un = M

và

6.

lim nα = 0 ( α < 0 )

lim vn = N

11.

7.

8.

thì:

lim

un lim un M
=
=
vn lim vn N

lim un = L > 0, lim vn = −∞ ⇒ lim ( un vn ) = −∞

lim un = L < 0, lim vn = +∞ ⇒ lim ( un vn ) = −∞

lim un = L < 0, lim vn = −∞ ⇒ lim ( un vn ) = +∞

u 
lim un = L > 0, lim vn = 0, vn > 0 ⇒ lim  n ÷ = +∞
 vn 

u 
lim un = L > 0, lim vn = 0, vn < 0 ⇒ lim  n ÷ = +∞
 vn 

u
lim un = L < 0, lim vn = 0, vn < 0 ⇒ lim  n
 vn

II. Giới hạn của hàm số:
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ )
x → xo

lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ )

1b.

x → xo

f( x) − L < ε

thì
f( x ) > ε

lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ sao cho ∀x < δ thì f ( x ) − L < ε

lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ sao cho ∀x > δ thì f ( x ) − L < ε

x →−∞

lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ , ∀x > δ thì f ( x ) > ε

2b.

lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ , ∀x < δ thì f ( x ) > ε

x →+∞

x →+∞

lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈( xo ; xo + δ ) thì f ( x ) − L < ε

x → xo+

lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈( xo − δ ; xo ) thì f ( x ) − L < ε

x → xo−

3a.

lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈( xo ; xo + δ ) thì f ( x ) > ε

x → xo+

lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈( xo − δ ; xo ) thì f ( x ) > ε

x → xo−

3b.
4.

f ( x ) ≤ g ( x ) ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ )

lim g ( x ) = 0 ⇒ lim f( x ) = 0

và

x →+∞

x →+∞

f ( x ) ≤ g( x ) ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ ) , ∃ lim f ( x )
x → xo

5.

h( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x ) ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ )

lim g ( x ) ⇒ lim f ( x ) ≤ lim g ( x )

và

x → xo

x → xo

x → xo

lim h( x ) = lim g ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L

x → xo

x → xo

x → xo

6.
và
Các tính chất từ 5 đến 11 của phần giới hạn của dãy số cũng đúng cho giới hạn của hàm số
III. Sự liên tục của hàm số:
x = xo ⇔ lim f ( x ) = f ( xo )

f( x)

1.

liên tục tại


÷ = +∞


thì

x →+∞

2a.

( N ≠ 0)

lim un = L > 0, lim vn = +∞ ⇒ lim ( un vn ) = +∞

u 
lim un = L < 0, lim vn = 0, vn > 0 ⇒ lim  n ÷ = −∞
 vn 

1a.

q > 1 ⇒ lim q n = +∞

lim ( un ± vn ) = lim un ± lim vn = M ± N

lim ( un vn ) = lim un .lim vn = M .N

10.

q < 1 ⇒ lim q n = 0

x → xo

2.

x → xo

không liên tục (gián đoạn) tại
không tồn tại
f( x)
∀xo ∈ ( a; b )
( a; b ) ⇔ f( x )
3.
liên tục trên
liên tục tại
f( x)

4.

liên tục trên
f( x)

5.

liên tục trên

[ a; b]
[ a; b]

⇔ f( x)

và

liên tục tại

lim f ( x ) ≠ f ( xo )

lim f ( x )

x = xo ⇔

f( x)

∀xo ∈ ( a; b )

hoặc

x → xo

lim f ( x ) = f ( a ) , lim− f ( x ) = f ( b )

và

x →a +

x →b

f ( a ) . f ( b ) < 0 ⇒ ∃c ∈ ( a; b ) sao cho f( c ) = 0

Các công thức đạo hàm và nguyên hàm
I. Các quy tắc tính đạo hàm:
u = u( x )

Với các hàm số
( u ± v ) ' = u '+ v '
1.

v = v( x )

và

ta có:
2. (k.u)’=k.u’ với

k∈R

3. (uv)’=u’v+uv’
y = y( u ) ; u = u( x )

'

4.

 u  u ' v − uv '
 ÷=
v2
v

5. Với hàm hợp

ta có:

y = y .u

'
x

'
u

'
x

II. Các công thức đạo hàm cơ bản:
y = y( x )

Đạo hàm của hàm sơ cấp
( xα ) ' = α . xα −1 α ≠ −1
6.
với

y = y( u ) ; u = u( x )

Đạo hàm hàm hợp
( uα ) ' = α . u '. uα −1 α ≠ −1
7.
với

'

8.

'

1
1
 ÷ =− 2
x
x

10.

( x)

1

=

2 x

= ex

(a )

= a x ln a

x '

14.

9.

(e )

x '

12.

'

11.

=

16.

( log a x )
18.

( sin x )

'

'

1
x
=

(e )

= u '. eu

(a )

= u ' au ln a

u '

15.
'

( u ) ' = 2u 'u
u '

13.

( ln x )

( ln u )

'

=

17.
1
x ln a

( log a u )
19.

( sin u )

= cos x

20.

'

'

u'
u
=

u'
u ln a

= u 'cos u

21.

( cos x )
22.

u'
1
 ÷ =− 2
u
u

'

( cos u )

= − sin x

23.

'

= −u 'sin u


( tan x )

'

1
cos 2 x

=

24.

( cot x )

'

'

=

u'
cos 2 u

( cot u )

'

=

−u '
sin 2 u

25.

−1
sin 2 x

=

( tan u )

26.
27.
III. Các phương pháp tính nguyên hàm:
I = ∫ f (u ) . u(' x ) dx
u = u( x ) ⇒ du = u(' x ) dx
1. Phương pháp đổi biến: Nếu
thì đặt
, ta được I =
∫ udv = uv − ∫ vdu

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần:
VI. Các công thức nguyên hàm cơ bản:
dx
xα +1
α
x dx =
+C
(α ≠ −1)
∫ x = ln x + C
α +1
6.
1.

∫f

(u )

du

∫

dx

2.

∫x

∫
3.

2

=−

1
+C
x

dx
=2 x + C
x

∫ e dx = e
x

4.

8.

a

∫ cos x dx = sin x + C
dx

+C

x

9.

∫ cos

x

2

x

= tan x + C

dx

∫ a dx = ln a + C
x

5.

7.

∫ sin x dx = − cos x + C

10.

∫ sin

2

x

= − cot x + C

Các công thức biến đổi của hàm mũ và lôgarit
I. Các công thức biến đổi của hàm mũ:
1
m
1
x−n = n
n
n
x = x
x n = n xm
x
2.
3.
1.
n

( xy ) = x y
n

n

n

6.
9. Nếu

x >1

thì

x
xn
=
 ÷
yn
 y

7.
α
β
x > x ⇔α > β

xm . x n = xm+n

4.

( x m ) = ( x n ) = x m.n
n

8.

5.

x m : x n = x m−n

10. Nếu

0 < x <1

m

thì

xα > x β ⇔ α < β

II. Các công thức biến đổi của hàm lôgarit:
log a 1 = 0
log a a = 1
log a a n = n
α = log a b ⇔ b = aα
a > 0, a ≠ 1, b > 0
2.
3.
4.
1. Với
ta có:
b
5.
log a (bc) = log a b + log a c ( b > 0; c > 0 )
log a  ÷ = log a b − log a c
log a b
a
=b
c
6.
7.


8.

log an b =

log a b n = n log a b

9.

log a b =
11.
15. Nếu

log c b
log c a

a >1

thì

log b a =

1
log a b
n

log a b = log an b n = log n a n b

10.

1
log b a

13.

12.
log a b > log a c ⇔ b > c

log10 a = log a = lg a

16. Nếu

0 < a <1

thì

14.

log e a = ln a

log a b > log a c ⇔ b < c

Các công thức cần nhớ về số phức

a, b ∈ R

1. Số phức: z = a+bi với
, trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 =1
i 4 n = 1 i 4 n +1 = i i 4 n + 2 = −1 i 4 n +3 = −i
n∈ N
2. Với
ta có:

,
,
,
a + bi = c + di ⇔
3. Hai số phức bằng nhau:
a=c và b=d
z = OM = a 2 + b2

4. Số phức z = a+bi b.diễn trên mptđ Oxy bởi điểm M(a;b). Mô đun của z là

z. z = a 2 + b 2

z = a − bi

5. Số phức liên hợp của z = a+bi là
. Ta có:
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
6. Phép cộng:

( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i

7. Phép trừ:
8. Phép nhân:

9. Phép chia:

( a + bi ) ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
a + bi ( a + bi ) ( c − di ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ac + bd bc − ad
=
=

= 2
+
i
c + di ( c + di ) ( c − di )
c2 + d 2
c + d 2 c2 + d 2
a + bi = c + di ⇔ a + bi = ( c + di ) = ( c 2 − d 2 ) + 2cdi ⇔ a = c 2 − d 2
2

10. Căn bậc hai:

ax + bx + c = 0

a, b, c ∈ R ; a ≠ 0

2

11. Xét phương trình bậc hai:
- Nếu

- Nếu

- Nếu

∆=0

∆>0

∆<0

thì phương trình có nghiệm kép

với

. Ta có:

b
x1 = x2 = −
2a

x1,2 =

thì phương trình có 2 nghiệm thực

−b ± ∆
2a

x1,2 =

thì phương trình có 2 nghiệm phức

−b ± i −∆
2a

và

b = 2cd

∆ = b 2 − 4ac