Đề cương môn học lí luận dạy học các nội dung toán ở trường phổ thông

ĐỀ THI KẾT THÚC CHUYÊN ĐỀ:

LÝ LUẬN DẠY HỌC MÔN TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút

Đề số 1
Câu 1(1 điểm)
Trình bày các bước của quy trình dạy học tương tác phát triên dựa trên học thuyết lịch sử văn hóa của Vưgootsxki.
Câu 2 (3 điểm)
Trình bày một cách khái quát về 2 con đường dạy học định lý Toán học ở THPT. Hãy đề
xuất phương pháp dạy học “định lý cosin” (Hình học 10)
Câu 3 (3 điểm)
Cho bài tón HHKG lớp 11: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a ,
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , đường thẳng SC tạo với mp ( SAB ) góc bằng 30o .
Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( SBC )
Hãy trình bày một lời giải của bài toán và khai thác các hoạt động của học sing gắn với bài
toán trên.
Câu 4 (3 điểm)
Cho bài toán lớp 10 THPT: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
2
( x − 1) ( x + 3) ( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt.
Hãy hướng dẫn học sinh giải bài toán theo 4 bước của Polia. Dự kiến những khó khắn học
sinh gặp phải khi giải bài toán trên và cách giúp học sinh vượt qua các khó khăn đó.
HẾT

1

Đề cương mơn học lí luận dạy học mơn Tốn
Phần lí thuyết
PHẦN I. Q TRÌNH DẠY HỌC MƠN TỐN
1. Mục tiêu dạy học
Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt Nam, từ đặc điểm, vai trị, vị trí và ý nghĩa của
mơn Tốn, việc dạy học mơn Tốn có các mục tiêu chung sau đây:
+ Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thơng cơ bản, thiết
thực.
+ Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng
của toán học cần thiết cho cuộc sống.
+ Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao
động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên.
+ Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi
vào cuộc sống lao động.
a. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng tốn học
+ Mơn Tốn cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương
pháp tốn học phổ thơng, cơ bản, hiện đại với những dạng khác nhau:
◊ Tri thức sự vật: Trong môn Tốn thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm vectơ), một
định lí (chẳng hạn định lí hàm số sin), cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng toán học, ...
◊ Tri thức phương pháp: Liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất: Những
phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc hai) và những phương pháp có
tính chất tìm tịi (chẳng hạn phương pháp tổng qt của Pơlya để giải bài tập tốn học).
◊ Tri thức chuẩn: Thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn quy định về
những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần đúng..
◊Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn: “Khái qt hóa là một
hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”.
+ Do sự trừu tượng hóa trong tốn học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho học sinh những
kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
◊ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn Tốn: Thể hiện mức độ thơng hiểu tri thức
toán học.

◊ Kĩ năng vận dụng tri thức tốn học vào các mơn học khác nhau: Thể hiện vai trị cơng cụ
của tốn học đối với những mơn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên mơn giữa các
mơn học trong nhà trường và địi hỏi người giáo viên dạy Tốn cần có quan điểm tích hợp trong
việc dạy học bộ mơn.
◊ Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống: Là một mục tiêu quan trọng của mơn Tốn. Nó
cũng cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống.
+ Cần có ý thức để học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6
chức năng trí tuệ từ thấp đến cao: Biết, Thơng hiểu, Vận dụng, Phân tích, Tổng hợp, Đánh giá.
+ Cần làm nổi bật những mạch tri thức, kĩ năng xun suốt chương trình.
b. Phát triển năng lực trí tuệ
Việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thơng qua dạy học mơn Tốn cần được người
thầy giáo tiến hành một cách có ý thức chứ khơng phải làm một cách tự phát và tùy tiện. Công việc
này được tiến hành trong suốt quá trình dạy học một cách có hệ thống, có kế hoạch và phương pháp
phù hợp trên các mặt sau:
+ Thứ nhất, rèn luyện tư duy logic và ngơn ngữ chính xác.
Do đặc điểm của khoa học tốn học, mơn Tốn có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để
rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách rời ngơn ngữ, nó phải diễn ra với
hình thức ngơn ngữ, được hồn thiện trong sự trao đổi bằng ngơn ngữ của con người và ngược lại,
ngơn ngữ được hình thành nhờ có tư duy.
2


Việc phát triển tư duy logic và ngơn ngữ chính xác ở học sinh qua mơn Tốn có thể thực
hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:
◊ Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic: Và, hoặc,
nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát...
◊ Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với định nghĩa.
◊ Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng

minh.

+ Thứ hai, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả năng này người thầy
giáo cần lưu ý:
◊ Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự,
khái quát hóa, quy lạ về quen ... nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất
định.
◊ Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian và
làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của
những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra những hình ảnh của những đối tượng chưa
biết hoặc khơng có trong đời sống.
+ Thứ ba, rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản.
◊ Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành
những bộ phận riêng lẻ.
◊ Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật
thành một hệ thống.
◊ Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất.
◊ Khái quát hóa là chuyển từ một tập đối tượng sang một tập lớn hơn chứa tập hợp ban đầu
bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy trừu
tượng hóa là điệu kiện cần của khái quát hóa.
◊ Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái qt hóa trong mơn Tốn, học sinh cịn
thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, ... do đó có điều kiện rèn luyện những hoạt
động trí tuệ này.
+ Thứ tư, hình thành những phẩm chất trí tuệ.
◊ Tính linh hoạt: Thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy. Trước hết, cần rèn
luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của một q trình đã biết làm
điểm xuất phát cho một q trình mới, cịn điểm xuất phát của q trình đã biết lại trở thành đích
của q trình mới.
◊ Tính độc lập: Thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương
hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hồn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ
mật thiết với tính phê phán của tư duy.
◊ Tính sáng tạo: Thể hiện ở khả năng sáng tạo ra cái mới: Phát hiện vấn đề mới, tìm ra

hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
c. Giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất và phong cách lao động khoa học
+ Giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng.
+ Rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách lao động cho học sinh.
(Xem thêm giáo trình Phương pháp dạy học mơn Tốn - Nguyễn Bá Kim trang 52).
d. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động
+ Học để biết là nắm được công cụ để hiểu.
+ Học để làm là phải có khả năng hoạt động sáng tạo tác động vào mơi trường của mình.
+ Học để chung sống là tham gia và hợp tác với những người khác trong mọi hoạt động của con
người.

3


+ Học để làm người là sự tiến triển quan trọng nẩy sinh từ ba loại hình học tập trên, nhằm phát huy
tốt hơn nhân cách của mình và sẵn sàng hành động với một khả năng ngày càng gia tăng về các mặt
tự chủ, suy xét và về trách nhiệm cá nhân.
2. Các hoạt động của học sinh gắn với nội dung mơn Tốn.
a. Nhận dạng và thể hiện:
+ Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa đó
hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo ra một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó.
+ Nhận dạng một định lí là xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó hay khơng.
Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho trước.
+ Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với các bước thực
hiện phương pháp đó hay không. Thể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình huống phù hợp với
các bước của phương pháp đã biết.
b. Những hoạt động toán học phức hợp:
Chứng minh, định nghĩa, giải tốn bằng cách lập phương trình, giải tốn dựng hình, giải
tốn quỹ tích, ... Cho học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội

dung toán học và phát triển những kĩ năng và năng lực toán học tương ứng.
c. Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học:
Lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân
chia trường hợp, ...
d. Những hoạt động trí tuệ chung:
Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, ...
e. Những hoạt động ngôn ngữ:
Được học sinh thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một
mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác,
chẳng hạn từ dạng kí hiệu tốn học sang dạng ngơn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại.
PHẦN II. NHỮNG TRƯỜNG PHÁI TÂM LÝ HỌC NHẬN THỨC VÀ MƠ HÌNH DẠY
HỌC TƯƠNG ỨNG
1. Thuyết kiến tạo
a. Sự phát sinh, phát triển cấu trúc nhận thức và thao tác trí tuệ ở trẻ em
+ Tổ chức và thích nghi: Là hai chức năng cơ bản của mọi sự thích nghi. Q trình này diễn ra theo
hai cơ chế: Đồng hóa và điều ứng.
◊ Đồng hóa trí tuệ (đồng hóa chức năng) là não tiếp nhận thơng tin từ các kích thích bên
ngồi, “ tiêu hóa’’ chúng, biến thành cái có nghĩa cho bản thân trong q trình thích ứng với mơi
trường, cái có nghĩa đó chính là sơ đồ.
◊ Điều ứng là q trình thích nghi của chủ thể đối với những địi hỏi đa dạng của môi
trường, bằng cách tái lập những đặc điểm của khách thể vào cái đã có, qua đó biến đổi sơ đồ đã có,
tạo ra sơ đồ mới, dẫn đến trạng thái cân bằng giữa chủ thể với môi trường.
+ Cân bằng: Là tự cân bằng của chủ thể giữa hai q trình đồng hóa và điều ứng. Cân bằng tâm lí
được thiết lập bởi các sơ đồ tâm lí, trong đó các sơ đồ trí tuệ là cân bằng cao nhất. Tuy nhiên, sự
cân bằng này nhanh chóng bị phá vỡ do sự biến động của các yếu tố bên ngoài, mà các sơ đồ đã có
khơng đáp ứng được. Cơ thể buộc phải tiến hành q trình đồng hóa và điều ứng mới, tạo ra trạng
thái cân bằng mới – dẫn đến sự thích nghi mới – cao hơn. Cứ như vậy, cân bằng thường xuyên được
thiết lập và bị phá vỡ.
+ Thao tác trí tuệ: Thao tác là hành động được nội hiện (chuyển vào trong) và được rút gọn ở trong
đó. Thao tác có 3 đặc trưng cơ bản: Tính chất thuận nghịch, tính bảo tồn và tính liên kết. Có hai loại

thao tác: Thao tác cụ thể và thao tác hình thức.
+ Sự hình thành cấu trúc nhận thức và cấu trúc thao tác trí tuệ: Cá nhân chỉ hành động khi nó cảm
nhận một nhu cầu, tức là khi sự cân bằng tạm thời giữa môi trường với cơ thể bị phá vỡ và xuất hiện
hành động nhằm lập lại sự cân bằng mới để tái thích nghi. Mọi cư xử như vậy đều bao hàm hai mặt
chủ yếu và phụ thuộc với nhau: Mặt xúc cảm và mặt nhận thức. Mặt xúc cảm tạo ra động lực, năng
4


lượng cho một hành vi ứng xử, còn mặt nhận thức là sự sơ đồ hóa, định hướng cho hành vi, giúp
cho cá nhân thiết lập được sự cân bằng với môi trường.
b. Các yếu tố chi phối sự phát triển nhận thức cá nhân
Có 4 yếu tố chủ yếu ảnh hưởng tới sự kiến tạo của trẻ em:
+ Sự tăng trưởng cơ thể, đặc biệt là sự chín muồi của phức hợp được tạo thành bởi hệ thần kinh và
nội tiết.
+ Vai trò của luyện tập và kinh nghiệm thu được thông qua hoạt động vào đối tượng.
+ Sự tương tác và chuyển giao xã hội.
+ Tính chủ thể và sự phối hợp chung của các hành động cá nhân.
c. Mơ hình dạy học dựa vào sự học tập khám phá của Jerome Bruner
Mơ hình này được đặc trưng bởi 4 yếu tố chủ yếu: Cấu trúc tối ưu của nhận thức; cấu trúc
của chương trình dạy học; học tập khám phá và bản chất của sự thưởng – phạt. Trong đó cấu trúc
tối ưu của nhận thức là yếu tố then chốt.
+ Cấu trúc nhận thức: Cần có 3 đặc tính quan trọng: Tính tiết kiệm, khả năng quan sát sinh ra cái
mới và sức mạnh của cấu trúc.
+ Cấu trúc chương trình mơn học là bộ khung cơ bản của môn học phải thỏa mãn hai điều kiện:
◊ Thứ nhất là bộ khung của một lĩnh vực khoa học, sao cho các nguyên tắc, các ý tưởng cơ
bản và khái quát nhất chiếm vị trí trung tâm.
◊ Thứ hai phải vừa sức đối với trình độ của học sinh có những khả năng khác nhau, ở các
lớp khác nhau và phải tạo ra được hứng thú học tập của người học.
+ Học tập khám phá: Những điểm nổi bật của mơ hình học tập khám phá:
◊ Học sinh phải là người tự lực, tích cực hành động tìm tịi, khám phá đối tượng học tập để

hình thành cho mình các nguyên tắc, các ý tưởng cơ bản từ các tình huống học tập.
◊ Trong học tập khám phá cho phép học sinh đi qua ba giai đoạn, ba hình thức hành động
học tập: Đầu tiên cần phải thao tác và hành động trên các tài liệu đã có (hành động phân tích), sau
đó hành động trên các hình ảnh về chúng (hành động mơ hình hóa) và cuối cùng rút ra được các
khái niệm, các quy tắc chung từ những mơ hình đó.
◊ Có hai loại học tập khám phá: Tự khám phá và khám phá có hướng dẫn.
2. Thuyết lịch sử – văn hóa về sự phát triển các chức năng tâm lí văn hóa của VưGôtxki
a. Một số luận điểm trong thuyết lịch sử - văn hóa
+ Chức năng tâm lí văn hóa và sự hình thành:
◊ Phân biệt chức năng tâm lí tự nhiên và chức năng tâm lí văn hóa: Chức năng tâm lí tự
nhiên được đặc trưng bởi quan hệ trực tiếp giữa kích thích A với phản ứng của B. Chức năng tâm lí
văn hóa được đặc trưng bởi quan hệ gián tiếp giữa kích thích A với phản ứng B thơng qua kích
thích phương tiện X.
◊ Vai trị của cơng cụ tâm lí đối với việc hình thành các chức năng tâm lí văn hóa: Q trình
hình thành các chức năng tâm lí văn hóa là q trình đưa các cơng cụ tâm lí (cơng cụ kí hiệu), mà
lúc đầu vốn ở bên ngoài, là phương tiện giao tiếp của xã hội, vào các chức năng tâm lí đã có, cải tổ
các chức năng tâm lí đó, hình thành chức năng tâm lí mới.
◊ Quy luật hình thành chức năng tâm lí cấp cao: Q trình hình thành các chức năng tâm lí
văn hóa diễn ra trong sự tương tác giữa các cá nhân với nhau. Các chức năng tâm lí văn hóa được
thể hiện trong hoạt động tập thể, hoạt động xã hội (chức năng tâm lí bên ngồi) và hoạt động của cá
nhân (chức năng tâm lí bên trong).
+ Sự phát sinh và phát triển tư duy ngôn ngữ ở trẻ em: Tư duy và ngơn ngữ có nguồn gốc khác
nhau và đều bắt nguồn từ hành động. Sự phát triển của tư duy và của ngôn ngữ đến một thời điểm
nhất định sẽ diễn ra sự kết hợp, trong đó tư có ngơn ngữ cịn ngơn ngữ là ngơn ngữ trí tuệ.
b. Vùng phát triển gần trong quá trình phát triển của trẻ em
Trong suốt quá trình phát triển của trẻ thường xuyên diễn ra hai trình độ: Hiện tại và vùng
phát triển gần nhất. Trình độ hiện tại là trình độ mà ở đó các chức năng tâm lí đã đạt tới độ chín
muồi, cịn vùng phát triển gần trong đó các chức năng tâm lí đang trưởng thành nhưng chưa chín.
5

Đồng thời chúng luôn vận động, vùng phát triển gần hơm nay thì ngày mai sẽ trở thành trình độ
hiện tại và xuất hiện vùng phát triển gần mới.
c. Các quan điểm về học tập theo thuyết lịch sử - văn hóa
+ Học tập thực chất là q trình học cách sử dụng cơng cụ kí hiệu vào trong q trình phát triển.
Theo Vưgơtxki có hai loại trình độ tri thức: Tiền khoa học (khái niệm sinh hoạt) và khoa
học. Khái niệm tiền khoa học hình thành theo con đường tự nhiên, còn khái niệm khoa học là chức
năng tâm lí cấp cao, được hình thành theo con đường lĩnh hội. Nó chính là nội dung dạy học trong
nhà trường. Nhà trường chỉ giúp cho người học hình thành khái niệm khoa học, còn khái niệm tiền
khoa học, người hoc có thể tự hình thành thơng qua sự tương tác hàng ngày với người khác.
Quá trình hình thành các khái niệm khoa học ở trẻ thực chất là quá trình trẻ lĩnh hội kinh
nghiệm xã hội - lịch sử được kết tinh trong các cơng cụ kí hiệu do lồi người sáng tạo ra, là quá
trình trẻ học cách sử dụng các cơng cụ kí hiệu.
+ Dạy học là hoạt động tương tác giữa người học với người có hiểu biết cao hơn (giáo viên và bạn
bè).
Cơ sở tâm lí học của phương thức dạy học tương tác là các quy luật hình thành chức năng
tâm lí văn hóa nói chung và quy luật phát triển trẻ em nói riêng. Dạy học tương tác giữa người học
với người dạy (giáo viên và bạn bè) bao giờ cũng mang lại hiệu quả cao hơn so với việc các em tự
mò mẫm đi đến kiến thức. Bản chất của phương thức dạy học này là sự tác động của người lớn
nhằm giúp đỡ trẻ em tổ chức các hoạt động thực tiễn, ở bên ngồi, sau đó chuyển hoạt động này vào
trong tâm lí, ý thức của mình.
+ Dạy học và sự phát triển:
Vưgôtxki cho rằng dạy học phải đi trước sự phát triển, tác động vào quá trình phát triển,
định hướng và thúc đẩy sự phát triển. Muốn vậy dạy học phải là sự hợp tác giữa người dạy với
người học.
d. Dạy học tƣơng tác dựa theo các luận điểm của Vƣgôtxki
+ Các nguyên tắc cơ bản của dạy học tương tác phát triển
◊ Người học tự xây kiến thức của mình thơng qua sự tương tác với người dạy.
◊ Dạy học không thể tách rời bối cảnh thực của xã hội cụ thể.
◊ Học tập đem tới sự phát triển.

◊ Ngơn ngữ đóng vai trị trung tâm trong dạy học và sự phát triển của người học.
+ Đặc trưng của dạy học tương tác phát triển
◊ Đặt các hoạt động học tập trong hồn cảnh hoặc tình huống thực tiễn, gắn liền với đặc
điểm văn hóa - xã hội của học sinh.
◊ Khuyến khích học sinh nói với chính mình những nhiệm vụ học tập và sử dụng ngôn ngữ
để mơ tả q trình đi đến sự hiểu biết của mình.
◊ Cung cấp các cơng cụ tâm lí để học sinh có thể sử dụng vào giải quyết nhiệm vụ, làm cho
những nhiệm vụ đó trở nên dễ dàng hơn.
◊ Đặt các hoạt động học tập trong vùng phát triển gần nhất của người học. Đưa ra các nhiệm
vụ mà học sinh có thể thực hiện thành cơng với sự trợ giúp của người khác.
◊ Cung cấp cho học sinh các bước đệm cần thiết và đầy đủ để học sinh thực hiện các nhiệm
vụ có tính thử thách.
◊ Tạo nên các hoạt động có tính chất tương tác.
◊ Khuyến khích học sinh tập trung vào cách tư duy và nhận thức; khuyến khích học sinh học
cách tư duy, các chiến lược nhận thức và siêu nhận thức, chia sẻ với những người khác con đường
dẫn mình đến cách giải quyết vấn đề; thử sử dụng cách thức của người khác.
◊ Cung cấp các cơ hội để đạt được sự thống nhất về ý nghĩa trong học tập.
◊ Kích thích học sinh suy nghĩ.
◊ Không nên áp đặt ý kiến, quan điểm của mình.
+ Các bước tiến hành dạy học tương tác
◊ Bước 1: Giáo viên giới thiệu về nội dung hoạt động, công việc học sinh sẽ phải làm và làm
bằng cách nào (bước mang tính định hướng).
6


◊ Bước 2: Giáo viên thực hiện hành động với sự tham gia hỗ trợ của học sinh (bước làm
mẫu của giáo viên).
◊ Bước 3: Học sinh thực hiện hành động với sự can thiệp hoặc hỗ trợ của giáo viên khi cần
(bước làm thử với sự trợ giúp của giáo viên).
◊ Bước 4: Học sinh độc lập thực hiện hành động, giáo viên quan sát (bước hành động thực

sự của học sinh).
3. Lý thuyết hoạt động tâm lí của Leonchiep
a. Những luận điểm chính về hoạt động theo Leonchiep
+ Hoạt động là đơn vị của đời sống con người
◊ Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực: Chủ thể khách thể. Theo nghĩa rộng, nó là đơn vị phân tử, chứ không phải là đơn vị cộng thành của đời sống
chủ thể nhục thể. Đời sống của con người là một hệ thống (một dòng) các hoạt động thay thế nhau.
Hoạt động theo nghĩa hẹp hơn, tức là ở cấp độ tâm lí học, là đơn vị của đời sống, mà khâu trung
gian là phản ánh tâm lí, có chức năng hướng dẫn chủ thể trong thế giới đối tượng.
◊ Theo Leonchiep “Đặc trưng cơ bản, hoặc có khi nói là đặc trưng cấu thành của hoạt
động là tính đối tượng của nó”.
Đối tượng của hoạt động là cái đang sinh thành trong quan hệ sinh thành của hoạt động và
thông qua hoạt động của chủ thể. Nếu tách riêng (trong tư duy) đối tượng, ta thấy có hai đặc trưng:
Thứ nhất, tính chất (vật lí) của sự vật, hiện tượng và hình thức tồn tại của nó. Thứ hai, quan hệ giữa
chủ thể - đối tượng. Hoạt động bên trong và hoạt động bên ngồi có cùng cấu trúc. Hoạt động bên
trong có nguồn gốc từ hoạt động bên ngồi, được hình thành từ hoạt động bên ngồi.
◊ Leonchiep đã xác định được đơn vị của đời sống cá nhân là hoạt động. Điều này có nghĩa,
một mặt hoạt động làm nên đời sống của cá nhân từ khi còn bé thơ đến tuổi già; mặt khác, việc hình
thành và phát triển bất kì cái gì đó của cá nhân đều phải bắt đầu từ hoạt động, bằng hoạt động và
qua hoạt động; mặt khác nữa, việc nghiên cứu đời sống cá nhân phải bắt đầu từ hoạt động và trong
hoạt động của cá nhân đó.
◊ Việc xác định hoạt động là đơn vị của đời sống cá nhân và xã hội góp phần giải quyết vấn
đề có tính phương pháp luận trong dạy học: Dạy học trong nhà trường phải bắt đầu từ việc hình
thành hoạt động cho học sinh và sau đó, tổ chức cho các em tiến hành các hoạt động học để qua đó
hình thành và phát triển các hoạt động khác, nhằm đạt được mục tiêu của mình.
+ Cấu trúc chung của hoạt động:
◊ Có thể phân tích cấu trúc hoạt động theo nhiều cách nhưng phải theo nguyên tắc: Hoạt
động là đơn vị phân tử, chứ khơng phải là đơn vị hợp thành. Vì vậy, cấu trúc của hoạt động không
phải là sự kết hợp của các bộ phận tạo thành một khối chỉnh thể mà là cấu trúc chức năng và chuyển
hóa chức năng của các đơn vị của hoạt động.
◊ Cấu trúc là các đơn vị: Hoạt động ↔ Động cơ (đối tượng) ↔ Mục đích, hay Hoạt động

↔ Đối tượng ↔ Hành động và Hành động ↔ Mục đích ↔ Phương tiện, hay Hành động ↔ Mục
đích ↔ Thao tác.
b. Hoạt động chủ đạo trong sự phát triển của trẻ em và trong dạy học
+ Hoạt động chủ đạo: Là hoạt động mà sự phát triển của nó quy định những biến đổi chủ yếu nhất
trong các q trình tâm lí và trong các đặc điểm tâm lí của nhân cách trẻ em ở giai đoạn phát triển
nhất định của nó. Có 3 đặc điểm:
◊ Là hoạt động mà trong đó làm nảy sinh và diễn ra sự phân hóa thành những dạng hoạt
động mới khác.
◊ Là hoạt động mà trong đó các q trình tâm lí riêng biệt được hình thành hay được tổ chức
lại.
◊ Là hoạt động mà những biến đổi tâm lí cơ bản của nhân cách trẻ em trong giai đoạn đó,
phụ thuộc chặt chẽ vào nó.
+ Sự thay thế hoạt động chủ đạo trong các giai đoạn phát triển của trẻ em:

7


Logic chuyển hóa các hoạt động chủ đạo tương ứng với từng giai đoạn: Hoạt động vui chơi tuổi mẫu giáo; việc học tập có hệ thống trong nhà trường - tuổi học sinh; hoạt động chuẩn bị chuyên
môn hay lao động sản xuất ... - tuổi trưởng thành.
c. Vận dụng thành tựu lí luận của Leonchiep về hoạt động tâm lí vào dạy học
+ Hình thành hoạt động học từ hành động học:
Trong cấu trúc của hoạt động, giữa hoạt động và hành động có mối quan hệ đặc biệt, chuyển
hóa cho nhau. Động cơ có thể chuyển thành mục đích, hoạt động chuyển thành hành động và ngược
lại. Chỉ có bằng con đường chuyển hóa này, mới làm nảy sinh hoạt động mới từ hoạt động có trước
nên có thể vận dụng vào việc hình thành hoạt động học cho học sinh từ hành động trước, bằng cách
chuyển hóa mục đích học thành động cơ học.
+ Hình thành hành động và thao tác học cho học sinh:
Đòi hỏi phải xác định mục đích học tập và giúp học sinh ý thức được mục đích đó; huy
động các thao tác và các phương tiện kĩ thuật để thực hiện mục đích đã được ý thức. Có hai con
đường để làm:

◊ Con đường thứ nhất: Hình thành hành động học cho học sinh các lớp dưới, thường được
bắt đầu từ mẫu giáo và thông qua hoạt động chơi.
◊ Con đường thứ hai: Chuyển hóa hoạt động học thành hành động học, trên cơ sở chuyển
hóa động cơ thành mục đích học cho học sinh các lớp trên.
+ Hình thành thao tác học: Quy luật chung của việc chuyển hóa hoạt động học thành hành động
học và thao tác học là bất kì khái niệm khoa học nào cũng phải được hình thành như là một hành
động học tập và cũng đều có thể và phải trở thành phương tiện để hình thành khái niệm tiếp theo.
d. Mơ hình dạy học dựa theo các lí thuyết về hoạt động tâm lí từ Vưgôtxki, Leonchiep đến Galperin
+ Sự tất yếu của việc chuyển dạy học từ dạy tri thức sang dạy hoạt động và bắt đầu từ hoạt động
thực tiễn.
+ Cơ chế và con đường dạy học sinh học tập và hoạt động thực tiễn
Mơ hình dạy học mới trong nhà trường: Dạy hình thành hoạt động và tổ chức cho học sinh
hoạt động, từ xác định mục tiêu, thiết kế nội dung, lựa chọn phương pháp, kĩ thuật, phương thức tổ
chức dạy học và giáo dục học sinh. Trong đó, trục trung tâm là bắt đầu từ việc hình thành hoạt động
học → hành động học → thao tác học.
PHẦN III. NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN
1. Dạy học khái niệm
a. Đại cương về khái niệm và định nghĩa
- Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó một khái niệm được xem
xét theo hai phương diện: Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, cịn
tồn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này gọi là nội hàm của khái niệm đó.
- Định nghĩa khái niệm là một thao tác lơgic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này
với các đối tượng khác, bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó. Cấu trúc của định nghĩa khái
niệm thường có hai dạng:
◊ Dạng 1: Khái niệm mới X = Khái niệm đã biết A + Tính chất đặc trưng X.
◊ Dạng 2: Khái niệm đã biết A + Tính chất đặc trưng x = Khái niệm mới X.
+ Có những khái niệm khơng định nghĩa, được thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là khái niệm
nguyên thủy, chẳng hạn: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
b. Yêu cầu dạy học khái niệm
Việc dạy học các khái niệm ở phổ thông phải làm cho học sinh dần đạt được các yêu cầu

sau:
◊ Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
◊ Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm.
◊ Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
◊ Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và
ứng dụng vào thực tiễn.
8


◊ Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái
niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên
không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm.
c. Những con đường tiếp cận khái niệm
* Con đường quy nạp
+ Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn ra như sau:
◊ GV đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối
tượng nào đó.
◊ GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng
đang được xem xét.
◊ GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng
của khái niệm.
− Ưu điểm: Thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng
lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa.
- Nhược điểm: Tốn kém nhiều thời gian, vì vậy khơng phải bao giờ cũng có điều kiện thực hiện.
+ Con đường quy nạp thường sử dụng trong điều kiện:
◊ Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
◊ Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó
có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
* Con đường suy diễn

+ Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau:
◊ Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm
mà ta quan tâm.
◊ Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái
niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
◊ Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa.
- Ưu điểm: Tiết kiệm được thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học sinh tự học những khái
niệm Tốn học thơng qua sách và tài liệu.
- Nhược điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí tuệ chung như
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa.
+ Con đường này thường được sử dụng khi có thể gợi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm
điểm xuất phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một
khái niệm khác hẹp hơn.
* Con đường kiến thiết
+ Con đường tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:
◊ Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hướng vào
những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Tốn học hay từ thực tiễn.
◊ Khái qt hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho
khái niệm cần hình thành.
◊ Phát biểu định nghĩa khái niệm mới.
- Ưu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và rèn luyện cho họ
khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái niệm.
- Nhược điểm: Con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian.
+ Con đường kiến thiết sử dụng trong các điều kiện sau:
◊ Học sinh chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do đó con
đường quy nạp khơng thích hợp.
◊ Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với khái niệm cần định
nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
d. Hoạt động củng cố khái niệm
* Hoạt động nhận dạng và thể hiện

9


Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thể hiện một khái niệm, cần lưu ý
◊ Thứ nhất: Cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những đối tượng khơng
thuộc ngoại diên khái niệm đó (phản ví dụ).
◊ Thứ hai: Đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang xem xét thì cần
đưa ra cả những trường hợp đặc biệt của khái niệm đó.
◊ Thứ ba: Đối với những đối tượng khơng thuộc ngoại diên của khái niệm đang xem xét,
trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản ví dụ thường được xây dựng sao
cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúc hội, còn các thuộc tính thành phần khác đều được thỏa
mãn.
◊ Thứ tư: Trường hợp tính chất đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai điều kiện,
cần làm rõ cấu trúc này.
* Hoạt động ngôn ngữ
+ Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định nghĩa
dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
+ Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách tường minh hay ẩn
tàng.
* Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa
+ Khái quát hóa, tức là mở rộng khái niệm.
+ Đặc biệt hóa.
+ Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học, nhận biết mối
quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm
2. Dạy học định lí tốn học
a. u cầu dạy học định lí
+ Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận
dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
+ HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh định lí là một yếu tố
quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Tốn học.

+ HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại
được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh.
b. Hai con đường dạy học định lí
* Con đường có khâu suy đốn
+ Quy trình dạy học đinh lí theo con đường có khâu suy đốn:
◊ Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong
nội bộ Tốn học.
◊ Dự đốn và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp mang tính suy đốn: quy nạp
khơng hồn tồn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái qt hóa ...
◊ Chứng minh định lí
◊ Vận dụng định lí.
◊ Củng cố định lí.
- Ưu điểm:
◊ Khuyến khích tìm tịi, dự đốn, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề, tích cực hoạt
động để kiến tạo tri thức, chứ không phải là lĩnh hội tri thức có sẵn.
◊ HS có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh.
◊ Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa,
khái qt hóa...
+ Trong dạy học Tốn, con đường có khâu suy đốn thường được sử dụng khi GV tìm thấy một
cách tìm tịi, phát hiện, dự đốn định lí mà HS có thể hiểu và thực hiện được ở mức độ nhất định.
Trường hợp ngược lại có thể sử dụng con đường suy diễn sau đây.
* Con đường suy diễn
+ Quy trình dạy học định lí theo con đường suy diễn:
10


◊ Gợi động cơ học tập.
◊ Xuất phát từ những tri thức Tốn học đã biết, dùng suy diễn lơgic dẫn tới định lí.
◊ Phát biểu định lí.
◊ Vận dụng định lí.

◊ Củng cố định lí.
- Ưu điểm: Là ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinh tập dượt tự học theo những sách báo Tốn học.
Nó được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để học sinh có thể tìm tịi phát hiện định lí,
hoặc khi suy diễn dẫn tới định lí là đơn giản và ngắn gọn.
c. Những hoạt động củng cố định lí
+ Nhận dạng và thể hiện định lí.
+ Hoạt động ngơn ngữ:
◊ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định lí
dưới những dạng ngơn ngữ khác nhau.
◊ Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định lí một cách tường minh hay
ẩn tàng.
+ Khái qt hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa.
3. Dạy học các quy tắc, phương pháp
a. Những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
+ Thuật giải (hay thuật toán) được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác,
để sau khi thực hiện một loạt các thao tác sẽ đạt được mục đích đề ra hay giải được một lớp các bài
toán.
Các thuật giải phải thỏa mãn 3 u cầu: Tính chính xác, tính số đơng và tính hiệu quả
+ Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như là một bản quy định về trình tự các bước cần thực hiện khi
giải một lớp bài toán hoặc giải quyết một vấn đề nào đó.
+ Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:
◊ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mơ tả hành động một cách xác định.
◊ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể khơng đơn trị.
◊ Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời
giải của lớp bài toán.
b. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
+ Nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho họ nắm
vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các bước của quy tắc đó, chẳng hạn như công thức,
sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình.
+ Cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian

thích đáng.
+ Cần tập luyện cho học sinh thực hiện thành thạo các chỉ dẫn nêu trong thuật giải hay quy tắc tựa
thuật giải.
+ Cần làm cho học sinh ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định
trình tự các bước.
+ Thông qua dạy học các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải dần hình thành và phát triển tư duy
thuật toán cho học sinh.
+ Tư duy thuật giải được hiểu là sự suy nghĩ để giải quyết một vấn đề hay bài toán thoe các bước
được vạch ra với một trình tự hợp lí. Tư duy thuật giải thể hiện ở những hoạt động sau:
◊ Thực hiện những hoạt động theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật tốn cho
trước.
◊ Phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần, thực hiện một trình tự xác
định.
◊ Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
◊ Khái quát hóa hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành hoạt động trên lớp đối tượng.

11


◊ So sánh những con đường khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện ra con
đường tối ưu để giải quyết cơng việc đó.
c. Những quy tắc, phương pháp tìm đốn
Trong dạy học mơn Tốn, cùng với các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải, GV cần chú ý tới
việc trang bị cho HS các quy tắc và phương pháp tìm đốn như quy lạ về quen, quy nạp khơng hồn
tồn, khái qt hóa, tương tự hóa ... Hiện nay các quy tắc và phương pháp này không được dạy
tường minh trong nhà trường phổ thông. Trong hồn cảnh đó, GV thường thực hiện theo hai con
đường như sau:
Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.
Tập luyện cho HS những hoạt động ăn khớp với quy tắc phương pháp cần trang bị.
4. Dạy học các bài toán (Xem ở tài liệu thầy Hưng đã gửi – trang 34).

Phần Bài Tập
A. Phần Đại Số - Giải Tích
Bài 1.
Minh họa cho việc vận dụng các hoạt động trí tuệ chung trong giải và khai thác lời giải của bài
toán: Cho ba số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 b2 c2
+ + ≥ a+b+c
b
c a
Bài 2.
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn đẳng thức: x.y. z = 1. Chứng minh bất đẳng thức:
x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z
Bài 3.
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn đẳng thức: a + b + c = 1 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 + ab + b 2 + b2 + bc + c 2 + c 2 + ca + a 2 ≥ 3
Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì với ba cạnh a, b, c và diện tích S. Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S
Bài 5.
Cho tam giác ABC với các đường cao ha , hb , hc và bán kính đường trịn ngoại tiếp r. Chứng minh
đẳng thức:
1 1 1 1
+ + =
ha hb hc r
Bài 6.
Hướng dẫn học sinh lớp 10, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Chứng minh bất đẳng thức:
xy yz zx
+ + ≥ x+ y+ z

z
x
y
Bài 7.
Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh khi dạy học bài:
Cho ba số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
b+c c+a a +b
2
Bài 8.
Phân chia trường hợp trong giải các bài toán:
1. Cho tam giác ABC tùy ý. Chứng minh bất đẳng thức:
A
B
C
cosA.cosB.cosC ≤ sin sin sin
2
2
2
12


2
2

2. Tìm giá trị của m để phương trình: x − ( 2m + 1) x + m − 1 = 0 có nghiệm dương duy nhất.
2
3. Tìm giá trị của m để : 2 x − 2mx + m + 4 ≥ 0, ∀m ∈ ( 0; +∞ )

Bài 9.
Hướng dẫn học sinh lớp 10, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
2
Tìm m để phương trình: ( x − 1) ( x + 3) ( x + 5 ) = m có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 10.
Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Giải phương trình:
sin x + sin 2 x + sin 3 x
= 3
cos x + cos 2 x + cos 3 x
Bài 11.
Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải bài tốn theo 4 bước của Polia:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x 3 + 3 x 2 − 1 . Biết tiếp tuyến đi qua điểm
M ( 0; −2 )
Bài 12.
Hướng dẫn học sinh lớp 12, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3x + 1 = m x 2 + 1
Bài 13.
Hướng dẫn học sinh lớp 12, giải các bài tốn sau:
4
1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = cos 4 x + ( 1 − cos x )

2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 3 3 x 2 − 2 x + 1 trên tập D = [ −1; 2]
3. Cho các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2 + y 2 = 2 . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

3
3
nhất của biểu thức: T = 2 ( x + y ) − 3 xy
4. Cho hai số x, y khơng âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện
x+y=2.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

A = x 3 + y 3 + 8 xy + 2 x 2 + y 2

13


B. Hình Học - Giải Tích
Bài 1. Xác định mục tiêu dạy học bài:
1. Tổng và hiệu của hai vecto.
2. Cho tam giác ABC với trọng tâmuuG,
ur điểm
uuur M là
uuutrung
u
r r điểm CG. Chứng minh đẳng thức:
MA + MB + 4MC = 0
Bài 2. Tìm kiếm các kết quả mới nhờ tương tự hóa:
Cho đoạn thẳng AB với I là trung điểm, cịn M là điểm bất kì. Chứng minh rằng:
1
MA2 + MB 2 = 2MI 2 + AB 2
2
Bài 3. Minh họa cho việc vận dụng các hoạt động trí tuệ chung và khái qt hóa trong việc khai
thác đào sâu bài tốn:
Chứng minh rằng: Trong hình bình hành ABCD có đẳng thức:

AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2
Bài 4. Khai thác và tổ chức hoạt động của học sinh khi dạy học bài toán lớp 10:
Chứng minh rằng: Trong tứ giác ABCD bất kì với trung điểm hai đường chéo là M và N, ta ln có
đẳng thức:
AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 4 MN 2
Bài 5. Khai thác và tổ chức hoạt động của học sinh khi dạy học bài tốn lớp 10:
Cho tam giác ABC, có trọng tâm G và M là điểm bất kì. Chứng minh:
MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2
Bài 6. Hướng dẫn học sinh lớp 10, giải bài toán theo 4 bước của Polia:
Cho ∆ ABC với ba cạnh a, b, c có hai đường trung tuyến BB’ và CC’ vng góc với nhau. Chứng
minh rằng: b 2 + c 2 = 5a 2
Bài 7.
a. Cho ∆ ABC thỏa mãn điều kiện: tan A.tan B = 2, tan B.tan C = 6. Tính góc A.
b. Cho ∆ ABC, hãy tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng (ABC) sao cho:
uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB = MA + MC
Bài 8. Tiếp cận các khái niệm:
- Khái niệm Hai vecto cùng phương bằng con đường quy nạp.
- Khái niệm Hình hộp bằng con đường suy diễn.
- Khái niệm Đạo hàm bằng con đường kiến thiết.
Bài 9. Củng cố các khái niệm:
- Củng cố khái niệm hình chóp đều.
- Hệ thống hóa khái niệm hình lăng trụ.
- Hệ thống hóa khái niệm hàm số.
Bài 10. Dạy học định lý Toán học:
- Dạy học định lý Cosi, công thức đường trung tuyến,… theo con đường suy diễn.
- Dạy học định lý về điều kiện đủ để hàm số đồng biến và nghịch biến, điều kiện đủ để hàm số đạt
cực trị,… theo con đường khâu đoán.
14

Bài 11. Hoạt động củng cố định lý:
- Tổ chức họat động củng cố định lý Cosin trong tam giác.
- Nhận dạng và thể hiện định lý Sin trong tam giác.
- Hoạt động ngôn ngữ trong hoạt động củng cố định lý ba đường vng góc.
Bài 12. Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải các bài toán theo 4 bước của Polia:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, M là trung điểm CC’. Biết rằng
A’M vng góc với MB. Tính khoảng cách từ B’ tới mặt phẳng (A’MB).
Bài 13. Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải các bài toán theo 4 bước của Polia:
Cho tứ diện O.ABC, có OA = a, OB = b, OC = c và đơi một vng góc với nhau. Gọi H là trực tâm
của tam giác ABC. Chứng minh bất đẳng thức:
1
1 1 1
= 2+ 2+ 2
2
OH
a b c
Bài 14. Hướng dẫn học sinh lớp 11, giải các bài tốn sau:
a. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại A và có AB= a, BC = 2a, các đường thẳng
SA, SB, SC tạo với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau và bằng 60o . Tính góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (ABC).
b. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
(ABC), đường thẳng SC tạo với mp(SAB) góc bằng 30o .
Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).
c. Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Gọi α, β ,γ là góc giữa các đường thẳng
OA, OB, OC và mặt phẳng (ABC). Chứng minh đẳng thức:
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1
Bài 15. Hướng dẫn học sinh lớp 12, giải các bài tốn sau:
a. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng SA =a, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng

(ABC) bằng α . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC và tìm GTLN của V khi α thay đổi.
b. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = x, cạnh bên SA = b. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC theo x và b. Khi x thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của V.
Bài 16.
Hướng dẫn học sinh lớp 12, giải các bài tốn theo 4 bước của Polia:
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm: A(-2;1;0), B(1;0;1) và mặt phẳng (P) có phương
trình: x − y + 2z − 9 = 0 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
Bài 17.
Hướng dẫn học sinh lớp 12, giải các bài toán theo 4 bước của Polia:
Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA = SB = SC = 2a, tam giác ABC có cạnh AB = a, AC =
2a, góc A= 60o . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

15