Bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

1
ứònh nghóa[subsection] ứònh lí [subsection] [dn]Meảnh ựeà [dn]Boă ựeà
Chuù yù [subsection]

Mục lục

1

2

Các kiến thức liên quan
1.1

Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . .

1.2
1.3
1.4
1.5

Định lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh . . .
Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn
Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

7
7
12
12
13
13

Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài
toán parabolic ngược thời gian phi
tuyến với hệ số phụ thuộc vào
thời gian và không gian
16
2.1
2.2

Các kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
30


2

Lời cám ơn
Tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy TS. Lê Minh Triết
cùng thầy Trần Chí Hiếu vì đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy tôi rất nhiều điều trong
thời gian qua để thực hiện khóa luận này. Ngoài ra, tôi cũng xin chân thành bày tỏ
lòng biết ơn đến tất cả các thầy cô đã giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức
quan trọng, bổ ích trong suốt thời gian tôi học tại khoa Toán- Ứng dụng, trường Đại
học Sài Gòn.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đặc biệt các bạn cùng lớp đã giúp
đỡ, động viên, khích lệ tinh thần tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Ban giám hiệu, Ban
chủ nhiệm khoa Toán - Ứng dụng và các phòng ban khác của trường Đại học Sài Gòn,
đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa luận này.


3

Lời nói đầu
Trong khoa học ứng dụng, bài toán ngược được quan tâm từ lâu vì ứng dụng
trong lĩnh vực địa lí, cơ học, xử lí ảnh... Một trong những bài toán ngược được xét đến
là bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic. Hơn nữa, khi xét sự truyền
nhiệt trong vật thể, một trong những yếu tố quyết định là vật liệu của vật thể. Mỗi
vật liệu có một hệ số dẫn nhiệt khác nhau và có sự biến đổi theo thời gian và không

gian do sự ăn mòn, oxy hóa... Trong thực tế, dữ liệu thu được xuất phát từ việc đo
đạc và xử lý qua máy tính hay một số thiết bị nào đó, nên không tránh khỏi những sai
số, dù sai số của dữ liệu là rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn về nghiệm.
Do đó, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán vật lí, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho
nghiệm chính xác của bài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác và
nghiệm chỉnh hóa.Vì lí do đó, trong luận văn này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu:
"BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ
PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN".
Mục đích của luận văn này là thông qua tìm hiểu một bài báo về bài toán
parabolic ngược, trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả
liên quan tới vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo số 6 chứng minh còn vắn tắt và
đưa ra một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa. Với mục đích đó, luận văn
này chia thành hai chương:
Chương 1: Các kiến thức liên quan.
Chương này trình bày lại các kí hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toán
không chỉnh, sự chỉnh hóa, các bất đẳng thức: các bất đẳng thức sơ cấp, bất đẳng thức
Cauchy- Bunhiakovski- Schwarz, bất đẳng thức H¨older, không gian các hàm và tích
phân Lebesgue, mệnh đề, định nghĩa, nguyên lí, hệ quả, các bổ đề, các phép biến đổi
Fourier trong không gian L1 (R); L2 (R); định lí Plancherel được sử dụng trong trình
bày luận văn.
Chương 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi
tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian.
Đây là phần chính yếu, cốt lõi nhất của luận văn với các nội dung sau:
Phần 1: Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa, chứng minh
tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác
và nghiệm chỉnh hóa.
Phần 2: Ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa.


4

Trong những năm gần đây, bài toán truyền nhiệt ngược đã được nhiều tác giả quan
tâm như Lattes và Lions [10] , Showalter [8], Tautenhahn và Schr¨oter [9], Đinh Nho
Hào [2]. Cụ thể, Showalter đã dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát bài toán giá
trị cuối năm 1974 (trong [8]). Năm 1996, Tautenhahn và Schr¨oter nghiên cứu bài toán
truyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) và đã đưa ra ước lượng sai số tối ưu cho bài
toán (trong [9]). Gần đây, trong năm 2007, Fu, Xiong và Qian đã sử dụng phép biến
đổi Fourier cho bài toán truyền nhiệt ngược và đã đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm
chính xác và nghiệm xấp xỉ. Tuy nhiên, các tác giả trên chỉ xét bài toán parabolic với
hệ số hằng. Trong luận văn này, chúng tôi đề xuất việc nghiên cứu bài toán parabolic
ngược thời gian với hệ số không là hằng. Gần đây, có vài báo xem xét về bài toán
truyền nhiệt ngược với hệ số không là hằng.
Cụ thể, trong [7], các tác giả xét bài toán ngược cho phương trình parabolic với
hệ số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là tìm nhiệt độ u(x; t) thỏa mãn
a(t)ut (x; t) = uxx (x; t);
u(x; T ) = g(x);

(x; t) 2 R [0; T );
x 2 R;

với a(t); g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0; 8t 2 [0; T ):
Hơn nữa, các tác giả đã đưa ra ước lượng sai số dạng H¨older tại thời điểm ban
đầu t = 0 và dạng logarit tại thời điểm t > 0 giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh
hóa. Trong [2], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa
cho bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian
ut + A(t)u = 0;
ku(T ) f kH
;

0 < t < T;
f 2 H;

trong đó H là không gian Hilbert và A(t) (0 < t < T ) là toán tử dương tự liên hợp
không bị chặn từ D(A(t)) H đến H và f là hàm dữ liệu cho trước. Trong [2], các
tác giả xem xét bài toán sau (trong [2] trang 8)
wt + B(t)w = 0;
w(T ) = f;

0 < t < T;
> 0;

trong đó
B(t) =

A(t);
A(2T t);

0 t
T
T;
2T:

Khi đó, họ đặt w(2T ) = g và đề nghị bài toán chỉnh hóa của bài toán như sau
vt + B(t)v = 0;
v(0) + v(2T ) = g;

0 < t < T;
> 0:

Trong [2], họ đã chứng minh được bài toán trên là một trường hợp chỉnh và đưa

ra được dạng H¨older của ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác
(xem trong [2], định lí 3.4) với một vài giả thiết (xem trong [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang
7) của hàm A. Đến nay có nhiều bài viết nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với
hệ số hằng (xem [3]- [5], [9]). Mặt khác, rất ít bài viết nghiên cứu trong trường hợp


5
hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2], [7]). Vì thế, chúng tôi xét bài toán parabolic
ngược
ut (x; t)

(x; t) 2 R [0; T )
x 2 R:

a(x; t)uxx (x; t) = f (x; t; u; ux ; uxx );
u (x; T ) = g (x) ;

(1)
(2)

Trong đó, tồn tại các số p; q; L > 0 sao cho f (x; t; u; ux ; uxx ) và a(x; t) thỏa mãn:
0
a(x; t)

q;

(3)

và

jf (x; t; u1 ; v1 ; w1 )

f (x; t; u2 ; v2 ; w2 )j

L (ju1

u2 j + jv1

v2 j + jw1

w2 j) ;

với mọi (x; t; u1 ; v1 ; w1 ); (x; t; u2 ; v2 ; w2 ) 2 R [0; T ] R3 . Trong luận văn này, chúng
tôi xét nghiệm và dữ liệu của bài toán (1)-(2) lần lượt trong không gian H 2 (R) và không
gian L2 (R). Ở đây hệ số truyền nhiệt a(x; t) của (1) là một hàm phụ thuộc vào không
gian và thời gian.
Trong suốt bài luận văn, chúng ta dùng phép biến đổi Fourier F : L2 (R) ! L2 (R)
xác định bởi:
1
F(f )( ) = p
2

Z+1
f (x)e

i x

dx.

1

Trong luận văn này, chúng ta giả sử k(t) = lim a(x; t) và đặt
x!1

b(x; t) = a(x; t)
Từ (3), chúng ta có được 0 < p
Từ đó, ta có được
jb(x; s)j = ja(x; s)

k(t)

k(s)j

k(t).

q.

ja(x; s)j + jk(s)j

2q,

(4)

8(x; s) 2 R [0; T ].
Sau đó, chúng ta có được phương trình mới

ut (x; t)

k(t)uxx (x; t) = '(u; ux ; uxx )(x; t);
u (x; T ) = g (x) ;

(x; t) 2 R
x 2 R;

trong đó
'(u; ux ; uxx )(x; t) = b(x; t)uxx (x; t) + f (x; t; u; ux ; uxx ):

[0; T );

(5)
(6)


6
Dùng phép biến đổi Fourier, ta có thể tìm được nghiệm của bài toán (1) - (2) như
sau:
u(x; t) = P (x; t) K(x; t; u);
(7)
trong đó
Z+1
e

1
P (x; t) = p
2
2
Z+1 ZT
1
4 e
K(x; t; u) = p

2

2

[ (T )

(t)]

F(g)( )ei x d ;

1

[ (s)

(t)]

t

1

2

(8)
3

F ('(u; ux ; uxx )) ( ; s) ds5 ei x d :

(9)

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để chỉnh

hóa nghiệm của bài toán (1) - (2). Khi đó, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho (7)
như sau
u (x; t) = P (x; t) K (x; t; u );
(10)
trong đó
1
P (x; t) = p
2
2
Z+1 ZT
1
4 e
K (x; t; u ) = p
2
1

t

2

[ (s)

Z+1
e

2

[ (T )

(t)]

F(g)( )

1

(t)]

[ a ;a ] (

3

F ('(u ; u x ; u xx )) ( ; s) ds5

trong đó, ta chọn hàm a thỏa mãn a ! 1 khi ! 0.

)ei x d ;

[ a ;a ] (

(11)

)ei x d ;
(12)


7

Chương 1
Các kiến thức liên quan
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan được sử dụng trong

quá trình bày luận văn.

1.1

Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue

Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian Banach) Cho (X; +; :) là một không gian vectơ
trên R: Một ánh xạ
jj:jj : X ! R
x 7! jjxjj
được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x; y 2 X;
i) jjxjj

2 R;

0 và jjxjj = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;

ii) jj xjj = j j kxk ;
iii) jjx + yjj

jjxjj + jjyjj:

Không gian vectơ (X; +; :) với chuẩn jj:jj được gọi là không gian định chuẩn (X; +; :; jj:jj),
hay vắn tắt là (X; jj:jj); hay vắn tắt là X, khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầm
hiểu và không nhầm lẫn.
Định nghĩa 1.1.2. Cho (xn ) là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn
(X; jj:jj): Ta nói
Dãy (xn ) trong X được gọi là dãy Cauchy nếu ứng với mỗi > 0; tồn tại n0 2 N
sao cho

kxn xm k < ; 8n; m n0 :

Dãy (xn ) trong X được gọi là hội tụ về x0 2 X; kí hiệu là xn ! x0 khi n ! 1, nếu
lim kxn x0 k = 0; nghĩa là ứng với mỗi > 0, tồn tại n0 2 N sao cho

n!1

kxn

x0 k < ; 8n

n0 :


8
Định nghĩa 1.1.3. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu
mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Tích phân Lebesgue
Định nghĩa 1.1.4. Một tính chất P (x), x thuộc không gian Rn gọi là đúng hầu khắp
nơi nếu tồn tại một tập A có độ đo không, sao cho P (x) đúng với mọi x thuộc Rn nA:
Định nghĩa 1.1.5. (Tích phân của hàm đơn giản)
Cho A là tập đo được, f : A ! [ 1; +1] là hàm đơn giản, đo được trên A. Gọi
f1 ; f2 ; :::; fn là các giá trị khác nhau đôi một của f (x).
Đặt Ak = fx 2 A; f (x) = fk g ; k = 1; 2; :::; n.
A=

n
[

Ak và f (x) =

k=1

n
X

fk

k=1

Ak (x); 8x

2 A:

Khi đó, tích phân của hàm đơn giản f (x) trên A với độ đo
Z

f (x)d =

A

n
X

là số

fk (Ak ):

k=1

Định nghĩa 1.1.6. (Tích phân của hàm không âm) Cho A là một tập đo được
Lebesgue, hàm f : A ! [0; +1] là hàm đo được không âm. Khi đó, tồn tại dãy đơn
điệu tăng các hàm đơn giản đo được fn (x) 0 hội tụ hầu khắp nơi về f (x) trên A và
tích phân của hàm f (x) trên A đối với độ đo là
Z
Z
f (x)d = lim
fn (x)d :
n!+1 A

A

Định nghĩa 1.1.7. (Tích phân của hàm có dấu bất kì)
Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A ! R là hàm đo được trên A. Khi đó,
ta có
f (x) = f + (x)
với f + (x) = maxff (x); 0g

f (x),

0 và f (x) = maxf f (x); 0g

+

0:

Z

Các hàm số f (x); f (x) có các tích phân tương ứng trên A là
f + (x)d ,

A
Z
Z
Z
+
f (x)d . Nếu hiệu
f (x)d
f (x)d có nghĩa trên R thì tích phân của
A

A

A

hàm đo được f (x) trên A với độ đo là
Z
Z
f (x)d = f + (x)d
A

A

Z

A

f (x)d :


9

Không gian Lp (1

1)

p

Trong phần này, ta kí hiệu

là một tập đo được trong Rn .

Định nghĩa 1.1.8. Cho f đo được trên
định nghĩa

kf kLp (

)

, nếu jf jp (1

p

1) khả tích trên

ta

11
Z
p
pA
@

=
jf j
0

Không gian chứa tất cả các hàm f thỏa jf jp (1 p 1) khả tích trên gọi là
không gian Lp ( ).
Trong luận văn này để ngắn gọn, ta kí hiệu chuẩn trong không gian L2 (R) là k:k2 .
Ta định nghĩa
0 +1
11
Z
2
kwk2 = @ jw(x)j2 dxA ,
1

với w 2 L2 (R).
Định nghĩa 1.1.9. Tập hợp tất cả các hàm bị chặn hầu khắp nơi (h.k.n) trên
là L1 ( ), ta định nghĩa
kf kL1 (
Định lí 1.1.1. Với

)

= inff :

đo được trong Rn và 1

jf (x)j h:k:n trên
p

là một không gian Banach.

gọi

g:

1 thì không gian Lp ( ); k:kLp (

)

Không gian mêtríc đầy đủ
Định nghĩa 1.1.10. Cho tập X 6= ?. Một ánh xạ
d:X X!R
(x; y) 7! d(x; y)
được gọi là một mêtríc trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn 8x; y; z 2 X;
i) d(x; y)

0 và d(x; y) = 0 , x = y;

ii) d(x; y) = d(y; x);
iii) d(x; y)

d(x; z) + d(z; y):


10
Tập X với mêtríc d trên X được gọi là không gian mêtríc (X; d) hay vắn tắt là X
khi mêtríc d được ngầm hiểu và không nhầm lẫn.
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian mêtríc (X; d). Ta nói dãy phần tử (xn )
tụ về phần tử x 2 X nếu lim d(xn ; x) = 0: Kí hiệu

X hội

n!1

d

xn ! x
Nghĩa là ứng với mỗi > 0, tồn tại n0 2 N sao cho d(xn ; x) < , với mọi n

n0 :

Định nghĩa 1.1.12. Không gian mêtríc (X; d) được gọi là không gian mêtríc đầy đủ
nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.13. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K ( K = C hoặc
K = R). Một ánh xạ
h; i:X X!K
(x; y) 7! hx; yi
được gọi là một tích vô hướng trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa
8x; x0 ; y; y 0 2 X; 8 ;

2 K;

i h x + x0 ; yi =

hx; yi + hx0 ; yi ;

ii hx; y + y 0 i =

hx; yi + hx; y 0 i ;

iii hx; yi = hy; xi;
iv hx; xi

0;

v hx; xi = 0 , x = 0:
Bổ đề 1.1.1. Cho h:; :i là một tích vô hướng trên một không gian vectơ X, với mọi
x; y 2 X, ta có
i) Bất đẳng thức Schwarz
jhx; yij2

hx; xi : hy; yi :

ii) Bất đẳng thức Minkowski
1

hx + y; x + yi 2

1

1

hx; xi 2 + hy; yi 2 :

Định lí 1.1.2. Nếu h:; :i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ
h; i:X!R
1
x 7! hx; xi 2

11
là một chuẩn trên X, được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.14. Cho h:; :i là một tích vô hướng trên không gian vectơ X thì cặp
(X; h:; :i) gọi là một không gian tiền Hilbert. Do Định lí 1.1.2, ta có X là một không
gian định chuẩn và là một không gian mêtríc với mêtríc sinh bởi chuẩn. Nếu không
gian mêtríc này đầy đủ, ta gọi (X; h:; :i) là một không gian Hilbert.
là tập con của Rn đo được, đặt

Định lí 1.1.3. Cho
hf; gi =

Z

f (x)g(x)dx và kf k2 =

Z

2

1
2

jf (x)j

; 8f; g 2 L2 ( ) .

Không gian L2 ( ) là một không gian Hilbert.
Không gian Sobolev W m;p ( ) (1

Định nghĩa 1.1.15. Cho tập mở
L

1
( ) = ff :
loc

p

1)

Rk ; k 2 N. Ta đặt

! R đo được : f 2 L1 (w) với mọi w

Rk thỏa w là tập compac

chứa trong

g:

Rk ; k 2 N, ta kí hiệu C d ( ); d 2 N là không gian các
k
\
1
hàm khả vi liên tục đến cấp d và C ( ) =
C d ( ). Còn CC ( ) là không gian các

Định nghĩa 1.1.16. Với

d=1

hàm số f liên tục trên

sao cho giá của f , tức là tập hợp
sup pf = fx 2 ; f (x) 6= 0g

là compac chứa trong

, kí hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp. Đặt
\
1
C ( ) = C 1 ( ) CC ( ):
C

1
Định nghĩa 1.1.17. (Đạo hàm suy rộng) Cho f 2 L ( ), = ( 1 ; :::; k ) 2 Zk ,
loc
1
0 (i = 1; :::k). Hàm g 2 L ( ) gọi là đạo hàm riêng suy rộng cấp của f nếu
i
loc
Z
Z
j j
f D 'dx = ( 1)
g 'dx ,
với mọi ' 2 C

1

( ). Ở đây, j j =
C

1

+ ::: +

k

và D ' =

Định nghĩa 1.1.18. (Không gian Sobolev) Với m 2 N; 1
W m;p ( ) = ff 2 Lp ( ) : D f 2 Lp ( ); j j

@j j'
.
@x1 1 :::@xk k
p
mg ;

1; ta định nghĩa


12

với chuẩn kf kW m;p (

)

0

=@

X

j j m

1 p1

kD f kpLp ( ) A .

Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu H m ( ) = W m;2 ( ).
Trong luận văn này, tôi xét nghiệm của bài toán (1) và (2) trên không gian H 2 (R) =
W (R) là không gian các hàm f (x) 2 L2 (R) sao cho f có đạo hàm đến cấp 2 và
f (n) 2 L2 (R); 8n 2 f1; 2g. Khi đó, chuẩn trong H 2 (R) được định nghĩa là
2;2

kf kH 2 (R) = kf k22 + f (1)

2
2

+ f (2)

2
2

1
2

:

Định lí 1.1.4. Không gian H m ( ) là không gian Hilbert với tích vô hướng
X Z
hf; gi =
D f D gdx .
j j m

1.2

Định lí ánh xạ co

Định nghĩa 1.2.1. Cho T > 0 và X là không gian Banach với chuẩn k:kX . Không
gian C ([0; T ] ; X) là không gian Banach gồm các hàm liên tục u : [0; T ] ! X với chuẩn
jjjujjj = sup ku(t)kX . Một ánh xạ f : X ! X sao cho tồn tại số k thỏa 0 < k < 1 và
t2[0;T ]

kf (x1 )

f (x2 )kX

k kx1

x2 kX ,8x1 ; x2 2 X ,

được gọi là một ánh xạ co.
Định nghĩa 1.2.2. Điểm x 2 X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f : X ! X
nếu f (x) = x.
Định lí 1.2.1. (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho X là một không gian Banach.
Khi đó mọi ánh xạ co f : X ! X đều tồn tại điểm bất động duy nhất.

1.3

Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh

Định nghĩa 1.3.1. (Bài toán chỉnh ) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn,
K : X ! X là một ánh xạ. Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều
kiện sau
i)

Sự tồn tại: Với mỗi y 2 Y , có ít nhất một x 2 X sao cho Kx = y,

ii) Sự duy nhất: Với mỗi y 2 Y , có nhiều nhất một x 2 X với Kx = y,
iii) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mỗi dãy
(xn ) X sao cho Kxn ! Kx suy ra xn ! x.
Định nghĩa 1.3.2. (Bài toán không chỉnh ) Bài toán được gọi là không chỉnh nếu
không thỏa ít nhất một trong ba điều kiện của bài toán chỉnh.


13

1.4

Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn

Định lí 1.4.1. (Bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakovski- Schwarz)
Cho n 2 N; k = 1; n và xk ; yk 2 R, ta có
n
X

xk yk

k=1

!2

n
X

x2k

k=1

!

n
X

yk2

k=1

!

:

Định lí 1.4.2. (Bất đẳng thức H¨
older)
Giả sử 1

1;

p; q

1 1
+ = 1: Khi đó, nếu f 2 Lp ( ); g 2 Lq ( ) thì f g 2 L1 ( )
p q

và
kf gk1

kf kp kgkq :

Trong luận văn này, tôi áp dụng bất đẳng thức H o•lder với trường hợp f; g 2 L2 (R)
tức là ta có bất đẳng thức sau
0 +1
1 21
Z
Z+1
@ jf (x)j2 dx jg(x)j2 dxA .

Z+1
jf (x)g(x)j dx

1

1

1

Định lí 1.4.3. (Bất đẳng thức Gronwall- Bellman)
Giả sử u(t); f (t) là các hàm số thực, liên tục, u(t) dương trên [a; b], f (t) không âm
trên [a; b] và với mọi t; t0 thuộc (a; b); a; b 2 R, thỏa mãn
u(t)

c+

Zt

f (s)u(s)ds; t0

t ,

t0

trong đó, c là hằng số. Khi đó

u (t)

1.5

Zt

f (s)ds

cet0

.
; t0

t

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier trong L1 (R)
Định nghĩa 1.5.1. Cho f 2 L1 (R), hàm fb xác định bởi
1
fb( ) = p
2

Z+1
f (t)e
1

i t

dt, với

2R


14
được gọi là phép biến đổi F ourier của f .
Định lí 1.5.1. Giả sử f 2 L1 (R), thì fb 2 C0 , với C0 là không gian các hàm số liên
tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa
fb

1

1

p kf k1 .
2

Định lí 1.5.2. Giả sử f 2 L1 (R) và fb 2 L1 (R). Đặt
1
g(x) = p
2

Z+1
fb( )ei x d .
1

Khi đó
i) g 2 C0 , với C0 là không gian các hàm số liên tục trên R và tiến dần về 0 tại vô cực.
ii) g(x) = f (x) hầu khắp nơi trên R.
1
Định nghĩa 1.5.2. Hàm x 7! p
2

Z+1
F ( )ei x d được gọi là biến đổi F ourier ngược
1

của F . Tích phân ở trên là xác định nếu F 2 L1 (R).
Chú ý 1.5.1. Cho f; g 2 L1 (R) và c là một hằng số thuộc R. Khi đó, ta có
i) f[
+ g = fb + gb;
c = cfb;
ii) cf

iii) Nếu f

g 2 L (R) thì f[g = 2 fb:b
g ; với (f
1

Z+1
g) (x) =
f (x

y)g(y)dy:

1

Biến đổi Fourier trong L2 (R)
Ta có kết quả rất quan trọng, đó là phép biến đổi Fourier bảo toàn cấu trúc không
gian L2 (R).
Định lí 1.5.3. (Định lí Plancherel- 1910) Với mọi f 2 L2 (R); N > 0; ta đặt
1
FN ff g( ) = p
2

ZN

f (x)e

i x

dx.

N

Khi đó
i) FN (f ) hội tụ trong L2 (R) đến một hàm Fff g khi N ! 1. Hơn nữa


15

kFff gk22

Z+1
Z+1
2
=
jFff g( )j d =
jf (x)j2 dx = kf k22 .
1

1

ii) Nếu f 2 L2 (R) \ L1 (R) thì Fff g = fb hầu khắp nơi trên R.
1
iii) Đặt N (x) = p
2

ZN

Fff g( )ei x d , thì

N

hội tụ trong L2 (R) đến f khi N ! 1.

N

iv) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R).
Định lí 1.5.4. (Đẳng thức Plancherel) Cho f 2 L2 (R) và Fff g( ) là biến đổi
F ourier của f trong L2 (R). Khi đó, ta có
kFff gk2 = kf k2 .


16

Chương 2
Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài
toán parabolic ngược thời gian phi
tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời
gian và không gian
Trong chương này, chúng tôi trình bày chứng minh tính duy nhất nghiệm, tính ổn
định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm
chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu chính xác, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và
nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo.
Trong luận văn này, chúng tôi đặt ; a là các số dương và R(x) = 1 + x2 + x4 . Để
cho đơn giản, chúng tôi định nghĩa
'(u ; u x ; u xx )( ; s) = '(u )( ; s):

2.1

Các kết quả chỉnh hóa

Đầu tiên, chúng ta đến với kết quả khởi đầu sau. Định lí sau nêu lên tính duy nhất
nghiệm của bài toán chỉnh hóa.
Định lí 2.1.1. Cho g 2 L2 (R) và a(:; t) là hàm thỏa mãn điều kiện (3). Khi đó, nghiệm
chỉnh hóa u trong (10)của bài toán (1) (2) là duy nhất và u 2 C ([0; T ] ; H 2 (R)).
Chứng minh.
Đặt
W (u)(x; t) = P (x; t)

K (x; t; u) ;

trong đó
1
P (x; t) = p
2

Z+1
e

t

[ (T )

1

2
Z+1 ZT
1
4 e
K (x; t; u) = p
2

1

2

2

[ (s)

(t)]

(t)]

F(g)( )

[ a ;a ] (

3

F ('(u)) ( ; s) ds5

)ei x d ;

[ a ;a ] (

)ei x d ;


17

với (t) =

Zt

k(s)ds:

0

Chúng ta sẽ chứng minh được rằng 8u; v 2 C ([0; T ] ; H 2 (R)) ; k
W (k) (u)(:; t)

W (k) (v)(:; t)

t)k

(T

2
H 2 (R)

k!

T k K 2k Rk (a )e2ka

2

(T )

1; ta có
vjjj2 ; (2.1)

jjju

p
trong đó K = 3 (L + 2q) và jjj:jjj là chuẩn sup trong C ([0; T ] ; H 2 (R)) :
Chúng ta chứng minh (2:1) bằng phương pháp quy nạp.
Với k = 1; ta có
kW (u)(:; t)

W (v)] (:; t)k22

= k[W (u)
2

= (1 +

W (v)(:; t)k2H 2 (R)

+

4

@
[W (u)
+
@x

2

2

@2
W (v)] (:; t) +
[W (u)
@x2
2

W (v)] (:; t)
2

F(W (v))k22

) kF(W (u))

Z+1
=
R( ) jF(W (u))( ; t)

F(W (v))( ; t)j2 d :

1

Mặt khác
F(W (u))( ; t) = e

2

( (T )

(t))

F(g)( )

ZT

e

2

( (s)

[ a ;a ] (

(t))

)

F('(u))( ; s)ds

[ a ;a ] (

):

t

Khi đó
jF(W (u))( ; t)
=

ZT

e

2

( (s)

(t))

F(W (v))( ; t)j
[F (' (u)) ( ; s)

F (' (v)) ( ; s)] ds

[ a ;a ] (

) :

t

Từ đó, ta có
kW (u)(:; t)
Z+1
=
R( )
1

W (v)(:; t)k2H 2 (R)

[ a ;a ] (

)

ZT

2

e

2

[ (s)

(t)]

t

Áp dụng bất đẳng thức H o•lder, ta có

[F('(u))( ; s)

F('(v))( ; s)] ds d :


18

W (v)(:; t)k2H 2 (R)

kW (u)(:; t)
Z+1
R( )

[ a ;a

t

1

= (T

2 T
ZT
Z
4 e
] ( ) ds

Z+1
t) R( )

2

[ (s)

(t)]

2

F('(v))( ; s)] ds5 d

[F('(u))( ; s)

t

[ a ;a

2 T
Z
4 e2
]( )

2

[ (s)

(t)]

jF('(u))( ; s)

t

1

3

3

F('(v))( ; s)j2 ds5 d :

Khi đó, ta có
kW (u)(:; t)
(T

W (v)(:; t)k2H 2 (R)

t)R(a )e2a

2

(T )

ZT
t

= (T

t)R(a )e2a

2

(T )

ZT
t

2 +1
Z
4 jF('(u))( ; s)

3

F('(v))( ; s)j2 d 5 ds

1

2 +1
Z
4 j'(u)(x; s)

3

'(v)(x; s)j2 dx5 ds:

1

Mặt khác, ta có
j'(u)(x; s)

'(v)(x; s)j

= jb(x; s)uxx (x; s) + f (x; s; u; ux ; uxx )

b(x; s)vxx (x; s)

2q juxx (x; s)

vxx (x; s)j + jf (x; s; u; ux ; uxx )

2q juxx (x; s)

vxx (x; s)j + L(ju(x; s)

juxx (x; s)

f (x; s; v; vx ; vxx )j

f (x; s; v; vx ; vxx )j

v(x; s)j + jux (x; s)

vx (x; s)j +

vxx (x; s)j)

(L + 2q)(ju(x; s)

v(x; s)j + jux (x; s)

vx (x; s)j + juxx (x; s)

vxx (x; s)j):

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakovski- Schwarz, ta có
j'(u)(x; s)

'(v)(x; s)j2

3(L + 2q)2 (ju(x; s)
Từ đó

v(x; s)j2 + jux (x; s)

vx (x; s)j2 + juxx (x; s)

vxx (x; s)j2 ):


19
W (v)(:; t)k2H 2 (R)

kW (u)(:; t)

2a2

(T

t)R(a )e

(T )

K2

ZT
t

2 +1
Z
4 ju(x; s)
1

Z+1
v(x; s)j dx +

jux (x; s)
2

1

3

Z+1
+ juxx (x; s)
t)R(a )e2a

= (T

2

(T )

K2

vxx (x; s)j2 dx5 ds

1

ZT

ku(:; s)

ZT

jjju

vx (x; s)j2 dx

v(:; s)k2H 2 (R) ds

t

2a2

(T

t)R(a )e

(T )

K2

vjjj2 ds

0

2

= (T t)T K 2 R(a )e2a (T ) jjju vjjj2 :
Từ đó, (2:1) đúng với k = 1. Giả sử, (2:1) đúng với k = n. Ta sẽ chứng minh (2:1)
đúng với k = n + 1. Thật vậy, ta có
2

kW (u)n+1 (:; t)

W (v)n+1 (:; t)kH 2 (R)

Z+1
=
R( ) jF (W n+1 (u)) ( ; s)
=

1
+1
Z

R( ) jF (W (W n (u))) ( ; s)

2

F(W n+1 (v))( ; s)j d
F(W (W n (v)))( ; s)j2 d

1

Z+1
ZT
=
R( ) e

2
2

[ (s)

1

t

Z+1
R( )

[ a ;a ] (

(t)]

)(T

[F ('(W n (u))) ( ; s)

F ('(W n (v))) ( ; s)] ds

[ a ;a ] (

t)

1

2 T
Z
4 e2

2

( (s)

(t))

jF ('(W n (u))) ( ; s)

t

(T

t)R(a )e2a

2

(T )

ZT
t

Khi đó, ta có

F ('(W n (v))) ( ; s)j2 ds5 d

2 +1
Z
4 jF ('(W n (u))) ( ; s)
1

3

3

F ('(W n (v))) ( ; s)j2 d 5 ds:

) d


20

kW (u)n+1 (:; t)

2

W (v)n+1 (:; t)kH 2 (R)

t)R(a )e2a

(T

2

(T )

ZT
t

Mặt khác

2 +1
Z
4 j'(W n (u)) (x; s)

3

'(W n (v)) (x; s)j2 dx5 ds:

1

'(W n (v))(x; s)j2

j'(W n (u))(x; s)

3(L + 2q)2 (jW n (u)(x; s)

W n (v)(x; s)j2 + j(Wxn (u)(x; s)

Wxn (v)(x; s)j2

n
(v)(x; s)j2 ):
Wxx

n
(u)(x; s)
+ j(Wxx

Khi đó
kW (u)n+1 (:; t)

2

W (v)n+1 (:; t)kH 2 (R)
2a2

t)R(a )K 2 e

(T

(T )

ZT

W n (v)(:; s)k2H 2 (R) ds

kW n (u)(:; s)

t

2a2

T R(a )K 2 e

(T )

ZT

s)n

(T
n!

T n K 2n Rn (a )e2na

2

(T )

jjju

vjjj2 ds

t

=T

n+1

R

n+1

(a )K

2n+2 2(n+1)a2 (T )

e

jjju

2

vjjj

ZT

s)n

(T
n!

ds

t

(T t)n+1 n+1 n+1
2
=
T
R (a )K 2n+2 e2(n+1)a
(n + 1)!

(T )

jjju

vjjj2 :

Tức (2:1) đúng với k = n + 1. Như vậy, bằng phương pháp quy nạp chúng ta đã
chứng minh được
k

W (u)(:; t)

(T

k

W (v)(:; t)

H 2 (R)

k

t) 2 k k k
2
p
T 2 K R 2 (a )eka
k!

(T )

jjju

8u; v 2 C ([0; T ] ; H 2 (R)) :
Khi đó, chúng ta có được
jjjW k (u)

W k (v)jjj =

max jjW k (u)(:; t)

t2[0;T ]

k
Tk
2
p K k R 2 (a )eka
k!

W k (v)(:; t)jjH 2 (R)
(T )

jjju

vjjj:

vjjj;


21
Chúng ta xét ánh xạ W : C ([0; T ] ; H 2 (R)) ! C ([0; T ] ; H 2 (R)) : Với
Tk k k
2
K R 2 (a )eka
k!

(T )

! 0,

khi k ! +1: Khi đó, tồn tại một số nguyên dương k0 sao cho

T k0 k0 k0
2
K R 2 (a )ek0 a
k0 !

(T )

< 1:

Do đó ánh xạ W k0 là ánh xạ co.
Khi đó, chúng ta có được phương trình W (u ) = u có một nghiệm duy nhất
u 2 C ([0; T ] ; H 2 (R)).
Kết thúc chứng minh.

Định lí sau nêu lên tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa.

Định lí 2.1.2. Cho a(:; t) là hàm thỏa điều kiện như Định lí 2.1.1, là một số dương,
g và g là các hàm thuộc L2 (R) sao cho kg g k2
. Giả sử u và v lần lượt là hai
nghiệm chỉnh hóa (10) tương ứng với dữ liệu chính xác g và dữ liệu đo g trong L2 (R).
Khi đó, ta được
ku (:; t)

v (:; t)kH 2 (R)

trong đó, a ! 1 khi

p

2ea

2(

(T )

(t))

p

R(a )eK

2 T 2 R(a

)

;

! 0:

Chứng minh. Từ (10), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu
chính xác
2
Z+1
1
4e
u (x; t) = p
2

2

( (T )

(t))

F(g)( )

ZT

e

2

( (s)

t

1

(t))

3

F('(u ))( ; s)ds5

( ) ei x d :

[ a ;a ]

(2.2)

Và nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo g
2
Z+1
1
4e
v (x; t) = p
2
1

2

( (T )

(t))

F(g )( )

ZT

e

t

Từ (2:2) và (2:3) chúng ta có đánh giá sau

2

( (s)

(t))

3

F('(v ))( ; s)ds5

[ a ;a ]

( ) ei x d :

(2.3)


22
v (:; t)k2H 2 (R)

ku (:; t)

Z+1
=
R( ) jF(u )( ; t)

F(v )( ; t)j2 d

1

=

Za

R( ) e

2

( (T )

(t))

ZT

F(g )( )]

[F(g)( )

2

( (s)

(t))

F('(v ))( ; s)] ds

[F('(u ))( ; s)

t

a

Za

R( ) e

Za

ZT

2

e

2

( (T )

(t))

2

F(g )( )] d

[F(g)( )

a

+2

R( )

a

2

e

2

( (s)

(t))

t

2a2 (

2R(a )e

(T )

(t))

Za

[F('(u ))( ; s)

F('(v ))( ; s)] ds d

F(g )( )j2 d

jF(g)( )

a

+2(T

ZT
2
t)R(a ) e2a (

(s)

(t))

t

2a2 (

= 2R(a )e

(T )

(t))

Za

2
4

Za

jF('(u ))( ; s)

a

3

F('(v ))( ; s)j2 d 5 ds

F(g )( )j2 d

jF(g)( )

a

+2(T

t)R(a )e

2a2 (t)

ZT

e2a

2

(s)

t

2
4

Za

jF('(u ))( ; s)

a

3

F('(v ))( ; s)j2 d 5 ds

= N1 (t) + N2 (t);
trong đó
2a2 (

N1 (t) = 2R(a )e

(T )

(t))

Za

jF(g)( )

F(g )( )j2 d ;

(2.4)

a

và
N2 (t) = 2(T

t)R(a )e

2a2 (t)

ZT
t

e2a

2

(s)

2
4

Za
a

jF('(u ))( ; s)

3

F('(v ))( ; s)j2 d 5 ds:

(2.5)

23
Từ (2:4), ta có

2a2 ( (T )

N1 (t)

2R(a )e

(t))

Z+1
jF(g)( )

F(g )( )j2 d

1

2a2 ( (T )

= 2R(a )e

(t))

Z+1
jg(x)

g (x)j2 dx

1

= 2R(a )e2a

2(

(T )

(t))

g k22 :

kg

Và (2:5) dẫn đến

N2 (t)

2(T

t)R(a )e

2a2 (t)

ZT

e2a

2

t

= 2(T

t)R(a )e

2a2 (t)

1

ZT

e2a

ZT

e2a

2

t

2(T

t)R(a )e

2a2 (t)

2 +1

Z
(s) 4
jF('(u ))( ; s)
2 +1
Z
(s) 4
j'(u )(x; s)
(s)

F('(v ))( ; s)j2 d 5 ds
3

'(v )(x; s)j2 dx5 ds

1

2

3

v (:; s)k2H 2 (R) ds:

K 2 ku (:; s)

t

Từ đó, chúng ta có được

ku (:; t)

v (:; t)k2H 2 (R)

2R(a )e2a

+2(T

2(

(T )

(t))

t)R(a )e

g k22

kg

2a2 (t)

ZT

e2a

2

(s)

K 2 ku (:; s)

v (:; s)k2H 2 (R) ds:

t

Ta suy ra được
e2a

2

(t)

ku (:; t)

v (:; t)k2H 2 (R)

2R(a )e2a

2

(T )

+2T R(a )K 2

ZT
t

g k22

kg
e2a

2

(s)

ku (:; s)

v (:; s)k2H 2 (R) ds:


24
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, chúng ta có

e2a

2

(t)

ku (:; t)

v (:; t)k2H 2 (R)

2R(a )e2a

2

2a2

2R(a )e

= 2R(a )e2a

2

(T )

ZT

2T R(a )K 2 ds

g k22 e t

kg
ZT

2T R(a )K 2 ds

(T ) 2 0
e

(T ) 2 2T 2 R(a )K 2

e

:

Suy ra
ku (:; t)

v (:; t)kH 2 (R)

p

2ea

2(

(T )

(t))

Kết thúc chứng minh.

p

R(a )eT

2 R(a

)K 2

:

Các định lí sau, chúng tôi đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm
chỉnh hóa.
Định lí 2.1.3. Cho a(:; t) là hàm thỏa điều kiện (3) và ; m là các số dương. Cho u là
một nghiệm chỉnh hóa (10) tương ứng với dữ liệu chính xác g 2 L2 (R) và u là nghiệm
chính xác của bài toán (1) (2) thỏa
8

9
=
4+
0
C ;m0 = sup
e2m j j jF(u)( ; t)j2 d : t 2 [0; T ] < 1;
:
;
R

3
trong đó m0 = (T ) + m + > 0:
2 4+
(

i) Nếu 0 < < min e

3K 2 T 2
m

ku (:; t)
với mọi t 2 [0; T ).

(

ii) Nếu 0 < < min e

ku (:; t)
với mọi t 2 [0; T ).

1

;e

)

và a =
p

u(:; t)kH 2 (R)

3K 2 T 2
m

4+

e

;e

u(:; t)kH 2 (R)

1

)

p

C

ln

C

ln ln

1
;m0

ln

. Khi đó

(t)+ m
2

;m0

và a =

1
4+

1

1

!

;
1
4+

1

. Khi đó

(t)+ m
2

;


25
Chứng minh.
Ta chứng minh i)
Từ cách chứng minh của Định lí 2.1.1, chúng ta có được
ku (:; t)

u(:; t)kH 2 (R)

Z+1
=
(1 +

2

4

+

) jF(u )( ; t)

F(u)( ; t)j2 d :

1

Ta có

2

F(u )( ; t) = 4e

2

( (T )

(t))

ZT

F(g)( )

e

2

( (s)

(t))

t

Do đó nếu 2 Rn [ a ; a ] thì F(u )( ; t) = 0:
Từ (7) và (10), ta suy ra
ku (:; t)

Z

u(:; t)kH 2 (R) =

3

F('(u ))( ; s)ds5

[ a ;a ] (

):

R( ) jF(u)( ; t)j2 d

Rn[ a ;a ]

+

Za

R( )

a

ZT

2

e

2

( (s)

(t))

[F('(u ))( ; s)

F('(u))( ; s)] ds d :

t

Dẫn tới
ku (:; t)

u(:; t)kH 2 (R) = I1 (t) + I2 (t):

Trong đó

Z

I1 (t) =

(2.6)

R( ) jF(u)( ; t)j2 d ;

(2.7)

Rn[ a ;a ]

I2 (t) =

Za

R( )

a

ZT

2

e

2

( (s)

(t))

[F ('(u )) ( ; s)

F (' (u)) ( ; s)] ds d :

(2.8)

t

Từ (2:7), ta có
I1 (t) =

Z

R( ) jF(u)( ; t)j2 d

Z

R( )e2j

Rn[ a ;a ]

=

j4+ ( (t)+m) 2j j4+ ( (t)+m)

jF(u)( ; t)j2 d :

Rn[ a ;a ]

Mặt khác
2 Rn [ a ; a ] thì j j

a suy ra
Zt
ZT
(t) = k(s)ds
k(s)ds = (T ).
0

0

2 j j4+ ( (t) + m) <

2a4+ ( (t) + m) và