Luận văn thạc sĩ Áp dụng phương pháp không lưới trong phân tích kết cấu

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là đề tài tìm hiểu của riêng tôi. Các số liệu tính toán, kết quả
thu được trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong các đề tài
nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Bá Duẩn

LỜI CẢM ƠN


2
Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với thầy Nguyễn Tiến
Dũng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và có nhiều định hướng khoa học giúp tác giả
hoàn thành luận văn. Quá trình làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy giúp tác
giả nâng cao năng lực và phương pháp nghiên cứu khoa học.
Tác giả chân thành cảm ơn tập thể Bộ môn Cơ học kết cấu, Khoa Sau đại học,
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu. Tác giả xin chân thành
cảm ơn những người bạn, những người đồng nghiệp đã cung cấp cho tác giả nhiều
tài liệu quý và nhiều lời khuyên bổ ích, có giá trị.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ tình cảm của mình với lòng biết ơn đối với
những người thân yêu trong gia đình đã thông cảm, động viên và chia sẻ những khó
khăn với tác giả trong suốt thời gian làm luận văn.
Hà nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Bá Duẩn

MỤC LỤC


3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Diễn giải tên các ký hiệu
Các hệ thức tương ứng của véc tơ đa thức cơ sở pT(x)
Diện tích miền khảo sát
Véc tơ lực phân bố trên miền bài toán
Ma trận đàn hồi của vật liệu
Bán kính miền ảnh hưởng
Chiều dài đặc trưng của miền ảnh hưởng
Mô đun đàn hồi của vật liệu

EFG

Phương pháp phần tử tự do Galerkin
Véc tơ lực nút do ngoại lực trên biên gây ra
Véc tơ lực nút do tải trọng phân bố trên miền gây ra
Véc tơ lực nút bổ sung theo phương pháp phạt
Ma trận Jacobi
Tổng các bình phương sai số chuyển vị nút
Ma trận độ cứng
Ma trận độ cứng bổ sung theo phương pháp phạt
Hàm Lagrange
Toán tử Laplace

MLPG
MLS

Phương pháp không lưới cục bộ Petrov-Galerkin
Phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu

Véc tơ pháp tuyến trên biên ngoại lực
Hàm dạng của phần tử cơ sở
Ma trận hàm dạng của phần tử cơ sở
Số nút rời rạc trên miền khảo sát


4
Véc tơ đa thức cơ sở
РАМ

Phương pháp lắp ráp điểm

PIM

Phương pháp nội suy điểm
Khoảng cách từ tọa độ đến nút thứ i

RKPM
SPH

Phương pháp hạt Kernel tái sinh
Phương pháp thủy động lực học hạt trơn
Động năng
Véc tơ ngoại lực trên biên ngoại lực
Véc tơ chuyển vị nút trên toàn miền
Véc tơ chuyển vị tại nút thứ i
Chuyển vị thực tại tọa độ x
Chuyển vị xấp xỉ tại tọa độ x
Chuyển vị cho trước trên biên chuyển vị
Công của ngoại lực tác dụng lên hệ

Trọng số Gauss bài toán một chiều
Trọng số Gauss bài toán hai chiều
Hàm trọng số
Hàm trọng số tại nút thứ i khi xét tọa độ x
Tọa độ của một điểm trong miền phẳng
Tọa độ của nút thứ i trong miền phẳng
Hệ số phạt
Ma trận đường chéo của các hệ số phạt
Hệ số kích thước miền ảnh hưởng
Biên chuyển vị
Biên ngoại lực
Véc tơ biến dạng


5
Véc tơ nhân tử Lagrange trên toàn miền
Véc tơ nhân tử Lagrange tại nút thứ i
Tọa độ tự nhiên trong phần tử cơ sở
Thế năng
Mật độ khối lượng
Véc tơ ứng suất
Hệ số Poisson
Hàm dạng xấp xỉ chuyển vị
Hàm dạng xấp xỉ chuyển vị tại nút thứ i
Miền bài toán


6

DANH MỤC BẢNG BIỂU

7

DANH MỤC HÌNH VẼ


8
DANH MỤC ĐỒ THỊ

MỞ ĐẦU
1 TỔNG QUAN
Các phương pháp số từ lâu đã được sử dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu.
Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, đặc biệt là sự phát triển
nhanh chóng của khoa học máy tính, công việc giải quyết các bài toán kỹ thuật phức
tạp được hỗ trợ thêm bởi công cụ máy tính. Các công cụ này giúp đơn giản hóa việc
mô hình hóa, tính toán, kiểm tra các bài toán kỹ thuật mà phương trình cân bằng của
hệ kết cấu thường được biểu diễn dưới dạng các phương trình vi phân với các điều
kiện biên và các điều kiện ban đầu phức tạp. Thực tế là các phương pháp số ngày
càng được ứng dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu cũng như trong nhiều lĩnh vực
kỹ thuật khác trong thời đại công nghệ tin học phát triển.
Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số được áp dụng rộng rãi
và thu được hiệu quả cao trong vấn đề xử lý các bài toán kỹ thuật do tính tổng quát,
linh hoạt và đơn giản phù hợp với công cụ tin học. Cho đến nay, phương pháp phần
tử hữu hạn đã được ứng dụng giải quyết có hiệu quả với hầu hết các bài toán kỹ
thuật trong Cơ học vật rắn, Cơ học thủy khí, Cơ học đất đá. Hình 1 minh họa một
ứng dụng phân tích số gần đây theo phương pháp phần tử hữu hạn.


9

Hình 1 Mô hình ứng dụng phương pháp số trong phân tích kết cấu.
Nguồn: public.cranfield.ac.uk
Tuy vậy, trong một số trường hợp, việc ứng dụng phương pháp phần tử hữu
hạn gặp một số khó khăn [7]:
• Cần dành nhiều thời gian cho việc tạo lưới các phần tử hữu hạn, đặc biệt
trong hệ có sơ đồ hình học và biên phức tạp.
• Khó khăn khi xử lý các bài toán biến dạng lớn do phần tử hữu hạn có thể bị
gập, xoắn.
• Khó khăn khi xử lý các bài toán nứt có đường dẫn tùy ý, phức tạp hoặc các
bài toán phát triển vết nứt.
Một số phương pháp mới đã được nghiên cứu và ứng dụng nhằm khắc phục
những khó khăn nêu trên, trong số đó, các phương pháp không lưới đã được đề xuất
gần đây [7] và nhận được nhiều sự quan tâm. Có thể nêu tên một số phương pháp
không lưới được đề xuất gần đây như phương pháp thủy động lực học hạt trơn-SPH
(Lucy, 1977; Gingold và Monaghan, 1977), phương pháp sai phân hữu hạn với lưới
bất thường tùy ý (Liszka và Orkisz, 1980; Jensen, 1980), phương pháp hạt Kernel
tái sinh-RKPM (Liu, W. K, 1993), phương pháp phần tử tự do Galerkin-EFG
(Belytschko, 1994), phương pháp hữu hạn điểm (Onate, 1996), phương pháp không
lưới cục bộ Petrov-Galerkin-MLPG (Atluri và Zhu, 1998), phương pháp nội suy
điểm-PIM (Liu, G. R. và Gu, 1999), phương pháp lắp ráp điểm-РАМ (Liu, G. R,
1999).
Đặc điểm cơ bản của phương pháp không lưới là dùng một tập hợp các nút rời
rạc nằm bên trong cũng như trên biên của miền khảo sát, thay vì lưới các phần tử
hữu hạn. Không cần phải định nghĩa các phần tử hữu hạn, do đó mối liên hệ giữa
các nút cũng không cần được mô tả trước. Do miền khảo sát trong phương pháp


10
không lưới được đại diện bởi tập hợp các nút rời rạc và có thể phân bố tùy ý, việc

tạo lập mô hình tính toán của phương pháp không lưới trở nên đơn giản và linh hoạt
hơn. Có thể thay đổi dễ dàng sơ đồ rời rạc bằng cách bỏ đi hoặc thêm nút ở bất kỳ
vị trí nào và bất cứ khi nào cần thiết. Khi phân tích ứng suất của một miền vật thể
có ứng suất tập trung, người ta có thể thêm nút một cách tùy ý vào khu vực tập
trung ứng suất để mô tả chính xác các giá trị các đại lượng vật lý của bài toán tại
đây. Trong các bài toán phát triển vết nứt, các nút có thể dễ dàng được thêm vào
xung quanh đầu vết nứt để mô tả chính xác hiện tượng tập trung ứng suất.
Tuy nhiên phương pháp không lưới còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu,
làm rõ hoặc cải tiến nhằm tăng cường tính hiệu quả. Một trong các vấn đề khó khăn
trong áp dụng phương pháp không lưới là xử lý điều kiện biên. Bên cạnh đó, việc
chọn các tham số cho hàm xấp xỉ được cho là nhạy cảm, ảnh hưởng lớn đến kết quả
phân tích số.


11
2 MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
2.1 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của luận văn bao gồm:
•
•
•
•

Tìm hiểu nội dung và phương pháp luận của phương pháp không lưới.
Tìm hiểu và áp dụng các phương pháp xử lý điều kiện biên.
Chọn mô hình rời rạc hóa, lập thuật toán và viết chương trình.
Ứng dụng khảo sát một số bài toán cơ bản có lời giải tin cậy cao để so
sánh.

2.2 Phạm vi nghiên cứu

Luận văn giới hạn phân tích các bài toán phẳng, đàn hồi tuyến tính, chịu tải
trọng tác dụng tĩnh. Phương pháp EFG được chọn lựa nghiên cứu do đây là một
phương pháp không lưới đơn giản giúp cho việc nghiên cứu được thuận lợi.
3 BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN
Sau phần Mở đầu, luận văn được bố cục như sau
Chương 1 trình bày cơ sở mô hình tính toán cho bài toán phẳng, những cơ sở
lý thuyết cơ bản của phương pháp EFG và một số khái niệm liên quan;
Chương 2 tập trung vào việc xử lý điều kiện biên. Trong đó phương pháp nhân
tử Lagrange và phương pháp hàm phạt được áp dụng;
Chương 3 trình bày các ví dụ áp dụng và khảo sát kết quả. Trong luận văn, hai
bài toán ví dụ được lập trình, thực hiện tính toán số bằng phương pháp EFG;
Sau cùng là phần kết luận và phụ lục chương trình tính.

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ SỞ CHO BÀI TOÁN PHẲNG
Phương trình cơ sở mô tả các điều kiện cân bằng lực, cân bằng động học, điều


12
kiện vật lý và các điều kiện biên của bài toán.
Xét vật thể đàn hồi hai chiều , có đường biên được ký hiệu là , như Hình 1.1.
Các điều kiện biên được chia thành điều kiện biên chuyển vị và điều kiện biên lực.
Véc tơ chuyển vị cho trước được ký hiệu là trên đường biên và véc tơ ngoại lực
được ký hiệu là trên biên . Ký hiệu là véc tơ pháp tuyến trên biên . Bài toán vật thể
đàn hồi hai chiều chịu tải trọng phân bố trên miền được phát biểu: tìm trường
chuyển vị và trường ứng suất thỏa mãn
(1.1)
(1.2)
(1.3)

13


14
Hình 1.1 Bài toán phẳng, đàn hồi
trong đó là toán tử Laplace
(1.4)
là véc tơ ứng suất
(1.5)
là véc tơ chuyển vị
(1.6)
và là véc tơ lực phân bố trên miền bài toán
(1.7)
1.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN CHO BÀI TOÁN PHẲNG
Cũng như các phương pháp số khác, các phương pháp không lưới được xây
dựng trên các phương trình biến phân hay phương trình trọng số. Việc sử dụng các
phương trình biến phân cho phép giảm bậc của phương trình cơ sở và thuận tiện cho
việc triển khai phương pháp không lưới trong các bước tiếp theo. Trong thực tế có
hai phương pháp thường được sử dụng để xây dựng các phương trình biến phân, sử
dụng phương pháp năng lượng và phương pháp trọng số dư.
Trong phạm vi luận văn, phương pháp năng lượng được sử dụng. Theo
nguyên lý Hamilton, trong tất cả các chuyển động khả dĩ của một hệ cơ học thì
chuyển động thực sự xảy ra là chuyển động làm cho hàm Lagrange có giá trị cực
tiểu
(1.8)
(1.9)
trong đó là động năng, là thế năng và là công của các ngoại lực tác dụng lên
hệ được xác định theo các phương trình sau
(1.10)

trong đó là mật độ khối lượng,
(1.11)
v
à

(1.12)


15
Khi xét hệ chịu tác dụng tĩnh, không có thành phần động năng . Thay thế các
phương trình (1.9), (1.11),(1.12) vào phương trình (1.8), ta có
(1.13)
Đây là phương trình biến phân của hệ phẳng, đàn hồi, tuyến tính.
1.3 MIỀN ẢNH HƯỞNG
Trong phương pháp không lưới, miền khảo sát được đại diện bằng tập hợp các
điểm nút rời rạc nằm bên trong và trên biên. Quy luật phân bố của các điểm nút rời
rạc trên miền có thể tùy ý như Hình 1.2.

Điểm nút rời rạc

Hình 1.2 Miền bài toán được đại diện bằng tập hợp các nút rời rạc.
Cũng giống như trong phương pháp phần tử hữu hạn, chuyển vị tại tọa độ bất
kỳ được xấp xỉ theo chuyển vị các nút thông qua các hàm dạng. Trong phương pháp
không lưới, chuyển vị tại tọa độ tùy ý được nội suy theo chuyển vị của các nút rời
rạc trong các miền nhất định gọi là miền ảnh hưởng, xem Hình 1.3. Chuyển vị tại
tọa độ được xấp xỉ trong miền ảnh hưởng theo phương trình sau.
(1.14)
trong đó là tổng số điểm nút bên trong miền ảnh hưởng của tọa độ , là véc tơ
chuyển vị tại điểm nút thứ , có tọa độ , bên trong miền ảnh hưởng của , là giá trị
của hàm dạng tại vị trí nút thứ .

16
Miền ảnh hưởng của x2
+
+

x2

x1
+

x3

Miền ảnh hưởng của x1
Miền ảnh hưởng của x3

Hình 1.3 Miền ảnh hưởng của các tọa độ x khác nhau.
Miền ảnh hưởng của tọa độ có nhiệm vụ xác định tất cả các nút tham gia vào
công thức xấp xỉ chuyển vị tại . Miền ảnh hưởng có thể là dạng hình chữ nhật, elip
hoặc tròn. Trong đó dạng hình tròn thường được sử dụng. Bán kính miền ảnh hưởng
được xác định như sau [7].
(1.15)
trong đó là hệ số kích thước miền ảnh hưởng, không thứ nguyên, thường cho
là chiều dài đặc trưng liên quan đến khoảng cách giữa các nút trong miền ảnh
hưởng của tọa độ .
Trong bài toán hai chiều, khoảng cách trung bình giữa các nút được xác định
theo công thức sau [7].
(1.16)
trong đó là diện tích toàn miền khảo sát, là số nút trên miền.

Dễ dàng nhận thấy trong trường hợp các nút cách đều nhau, chính là khoảng
cách giữa các nút. Trong trường hợp các nút không cách đều nhau, là giá trị trung
bình của khoảng cách giữa các nút trong miền ảnh hưởng của tọa độ .
1.4 HÀM DẠNG THEO PHƯƠNG PHÁP EFG
Có thể thấy hàm dạng trong phương trình (1.14) có vai trò tương tự như hàm
dạng trong phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên đặc điểm và cách xây dựng
hàm dạng trong phương pháp EFG trên miền ảnh hưởng có một số điểm khác biệt.
Phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu (Moving least square-MLS) được sử
dụng để xây dựng các hàm dạng trong phương pháp EFG [3], [7].


17
Ký hiệu là hàm chuyển vị thực tại tọa độ trên miền , là giá trị xấp xỉ của
chuyển vị tại tọa độ . Biểu thức xác định hàm chuyển vị xấp xỉ được viết dưới dạng
sau
(1.17)
trong đó là véc tơ đa thức cơ sở, là véc tơ các hệ thức tương ứng. Véc tơ
được xác định theo phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu. Lưu ý véc tơ là hàm
của tọa độ , không phải là hệ số như trong phương pháp phần tử hữu hạn.
1.4.1 Hàm cơ sở
Trong bài toán phẳng, các véc tơ đa thức cơ sở sử dụng được cho dưới dạng
sau
(1.18)
trong đó là bậc của đa thức cơ sở. Véc tơ các hệ thức tương ứng của véc tơ đa
thức cơ sở được cho dưới dạng sau
(1.19)
trong đó là số số hạng của véc tơ đa thức cơ sở . Để xây dựng các đa thức cơ
sở , tam giác Pascal quen thuộc thể hiện trên Hình 1.4 được sử dụng.
1
x

x2
x3

x 2y

x 4 x 3y

Hằng số, m=1
y

xy

Bậc nhất, m=3
y2

xy 2
x2y2

Bậc hai, m=6
y3

xy 3

Bậc ba, m=10
y4

Bậc bốn, m=15

Hình 1.4 Tam giác Pascal xây dựng đa thức cơ sở của bài toán hai chiều.
Như đã được nghiên cứu trong phương pháp phần tử hữu hạn, việc sử dụng

tam giác Pascal trong xây dựng đa thức cơ sở đảm bảo tính đầy đủ của đa thức và là
một trong những điều kiện cần đảm bảo tính hội tụ của bài toán.
1.4.2 Xấp xỉ bình phương tối thiểu và hàm trọng số
Chuyển vị tại vị trí nút rời rạc thứ trên miền được xác định theo biểu thức sau


18
(1.20)
Chuyển vị xấp xỉ tại nút thứ thường sai khác so với chuyển vị thực. Xấp xỉ
bình phương tối thiểu được sử dụng như điều kiện cực tiểu hóa tổng bình phương
sai số. Theo phương pháp này, tại một tọa độ tùy ý, véc tơ các hệ thức được chọn
sao cho biểu thức đạt cực trị [7],
(1.21)
trong đó

ha
y

(1.22)

là hàm trọng số, là chuyển vị tại nút thứ có tọa độ . Hàm trọng số đóng hai
vai trò quan trọng trong việc xây dựng hàm dạng theo phương pháp xấp xỉ bình
phương tối thiểu. Thứ nhất, cung cấp trọng số cho phần dư của các nút khác nhau
trong miền ảnh hưởng. Các nút ở xa tọa độ có trọng số của phần dư nhỏ và ngược
lại, các nút bên ngoài miền ảnh hưởng của tọa độ có trọng số của phần dư bằng
không, các nút ở xa tọa độ sẽ ít ảnh hưởng đến việc xây dựng hàm dạng. Thứ hai,
đảm bảo rằng các nút đi ra hoặc vào miền ảnh hưởng thì giá trị phần dư của chúng
thay đổi một cách từ từ (giúp mịn hóa hàm xấp xỉ). Vai trò thứ hai rất quan trọng,
đảm bảo các điều kiện tương thích trong một bài toán cơ học. Dưới đây là một số
hàm trọng số thông dụng [7].

Hàm trọng số bậc 3
(1.23)

Hàm trọng số bậc 4
(1.24)
Hàm trọng số mũ
(1.25)
trong đó là hằng số, thông thường . Trong các phương trình trên, được xác


19
định như sau
(1.26)
trong đó là kích thước miền ảnh hưởng của điểm nút thứ , là khoảng cách từ
tọa độ đến nút thứ . Đồ thị 1.1 biểu diễn các hàm trọng số nêu trên trong bài toán
một chiều.

Đồ thị 1.1 Các hàm trọng số trong bài toán một chiều
Trong bài toán hai chiều, được xác định như sau
(1.27)
Trong phạm vi luận văn, hàm trọng số bậc bốn được sử dụng. Triển khai đạo
hàm của hàm trọng số bậc 4 với bài toán 2 chiều theo tọa độ , ta có
(1.28)
trong đó
(1.29)
(1.30)
v
à
Đồ thị 1.2 biểu diễn hàm trọng số bậc 4 trong bài toán 2 chiều.

(1.31)


20

Đồ thị 1.2 Hàm trọng số bậc bốn trong bài toán hai chiều
1.4.3 Xây dựng hàm dạng
Trong bài toán phẳng, đa thức cơ sở tuyến tính và véc tơ các hệ thức tương
ứng có dạng , . Triển khai phương trình (1.21), ta có
(1.32)
ha
y

(1.33)

Ký hiệu
(1.34)
(1.35)
(1.36)
trong đó phương trình (1.33) trở thành
(1.37)
ha
y

(1.38)

Thay vào phương trình (1.20), ta có
(1.39)
Ta có công thức xác định hàm dạng như sau
(1.40)

Phương trình trên giúp chúng ta xác định được hàm dạng để tính toán chuyển


21
vị tại điểm tọa độ bất kỳ.
Trong lập trình tính toán, ma trận đa thức cơ sở của tất cả các nút nằm bên
trong miền ảnh hưởng của tọa độ được biểu diễn dưới dạng

(1.41)

trong đó là số nút nằm bên trong miền ảnh hưởng của tọa độ . Để chuẩn bị
cho các triển khai đạo hàm riêng, ma trận được xây dựng dưới dạng
(1.42)
(1.43)
(1.44)
trong đó . Theo phương trình (1.34), ma trận và các đạo hàm riêng của nó
được triển khai như sau

(1.45)

(1.46)
v
à

(1.47)

Đặt . Ma trận hàm dạng và các đạo hàm riêng của nó có dạng
(1.48)
(1.49)
(1.50)

trong đó


22
(1.51)
(1.52)
(1.53)
v

(1.54)

à
1.4.4 Tính chất của hàm dạng

Hàm dạng xác định theo biểu thức (1.40) không có tính chất đặc trưng của
hàm dạng theo phương pháp phần tử hữu hạn, hay có thể khác đơn vị và có thể
khác không. Điều này dẫn đến giá trị hàm chuyển vị tại nút có thể khác chuyển vị
nút tính toán và kéo theo khó khăn trong xử lý điều kiện biên. Ví dụ ta không thể
loại bỏ hàng và cột tương ứng với bậc tự do có chuyển vị bằng không trong ma trận
độ cứng. Một số phương pháp khác, ví dụ phương pháp nhân tử Lagrange hay
phương pháp hàm phạt sẽ được sử dụng để xử lý các khó khăn này.
1.5 TÍCH PHÂN SỐ
1.5.1 Phần tử nền
Khi triển khai các phương pháp số cần xử lý các tích phân trong phương trình
biến phân (1.13). Thông thường phương pháp tích phân số được sử dụng. Khi sử
dụng phương pháp phần tử hữu hạn, các tích phân số được thực hiện trên phạm vi
từng phần tử. Do các phương pháp không lưới không sử dụng các phần tử hữu hạn
liên kết với nhau tại nút nên cần các phần tử nền để thực hiện tích phân số, xem
Hình 1.5. Lưu ý các phần tử này là cố định và không cần liên hệ với các nút.

Phần tử nền

Hình 1.5 Phần tử nền thực hiện tích phân số.
Trong luận văn, tích phân số Gauss được sử dụng [5]. Sau đây là các bước cơ
bản để xây dựng cách tính tích phân số Gauss.


23
1.5.2 Tích phân số Gauss cho bài toán một chiều
Trong bài toán một chiều có miền tích phân Gauss là , xét tích phân sau
(1.55)
Sử dụng tích phân số Gauss, biểu thức được xấp xỉ như sau
(1.56)
Sử dụng 1 điểm Gauss ( có thể tính toán chính xác giá trị tích phân của đa
thức bậc nhất. Thật vậy, cho đa thức bậc nhất , ta có
(1.57)
Từ các phương trình (1.56), (1.57), ta có
(1.58)
ha

(1.59)

y

Do là tùy ý nên Phương trình xấp xỉ tích phân số áp dụng cho bài toán một
chiều, một điểm Gauss như Hình 1.6 trở thành
(1.60)

-1

0

1

Hình 1.6 Tích phân số Gauss trong bài toán một chiều, một điểm Gauss.
Trong bài toán một chiều, sử dụng một điểm Gauss có thể tính toán chính xác
tích phân hàm bậc nhất hoặc hằng số bằng phương pháp tích phân số Gauss. Tương
tự khi sử dụng hai điểm Gauss, ta có
(1.61)
Biểu thức trên có thể tính chính xác giá trị tích phân của đa thức bậc ba . Thật


24
vậy
(1.62)
ha

(1.63)

y
Từ các phương trình (1.61), (1.63), suy ra

(1.64)
ha
y
(1.65)
Do là tùy ý nên
(1.66)
ha

(1.67)

y

Phương trình xấp xỉ tích phân số áp dụng cho bài toán một chiều, hai điểm
Gauss như Hình 1.7 trở thành
(1.68)

-1

0

1

Hình 1.7 Tích phân số Gauss trong bài toán một chiều, hai điểm Gauss.
Trong bài toán một chiều, sử dụng hai điểm Gauss có thể tính toán chính xác
tích phân hàm bậc ba trở xuống bằng phương pháp tích phân số Gauss. Khi tăng số
điểm Gauss, chúng ta lập luận tương tự. Kết quả được ghi trong Bảng 1.1, xem [5].
Bảng 1.1 Tích phân số Gauss của bài toán một chiều trên miền [-1,1].


25
Số
nút

Tọa độ Gauss ()

Giá trị trọng số ()

Bậc tối đa của

đa thức xấp xỉ

Trong luận văn, bốn điểm Gauss được sử dụng để xấp xỉ các tích phân trên
miền . Trong bài toán một chiều, sử dụng bốn điểm Gauss, chúng ta có thể tính
chính xác cho các biểu thức tích phân của hàm đa thức bậc 7.
1.5.3 Tích phân số Gauss cho bài toán hai chiều
Trong bài toán hai chiều, miền tích phân Gauss là miền hình vuông . Chúng ta
sử dụng điểm Gauss theo mỗi chiều, tổng số điểm Gauss trong bài toán hai chiều
bằng . Triển khai biểu thức tích phân bên dưới trong bài toán hai chiều bằng tích
phân số Gauss.
(1.69)
Áp dụng tích phân số Gauss cho bài toán một chiều, biến , ta có
(1.70)
Tiếp tục áp dụng tích phân số Gauss cho bài toán một chiều, biến, ta có
(1.71)
trong đó Như vậy, các giá trị trọng số Gauss và vị trí các điểm Gauss trong