Chuyên đề Tích phân ôn thi THPT

Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã nhận đ-ợc sự giúp đỡ, tạo điều kiện tốt
nhất từ Ban Giám hiệu, các tổ chuyên môn, các tổ chức đoàn thể trong nhà tr-ờng,
đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán - Lý - Tin đã đóng góp những ý kiến quý báu
để đề tài hoàn thiện hơn.
Nhân dịp này, tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu, các tổ chuyên
môn, các tổ chức đoàn thể trong nhà tr-ờng THPT Nguyễn Thị Giang, đặc biệt là
các thầy cô trong tổ Toán - Lý - Tin nói chung, các thầy cô trong nhóm Toán nói
riêng, đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.
Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, tôi rất mong nhận
đ-ợc sự đóng góp của các thầy cô và các độc giả để đề tài đ-ợc hoàn thiện hơn.

Vĩnh T-ờng, ngày 15/04/2014
Ng-ời thực hiện đề tài:

Hạ Trọng Liên

2


Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Kiến thức liên quan

8

1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2. Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định)

10

1.1.3. Một số ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm . . . . . . . .

11

1.2. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

b

1.2.3. Ph-ơng pháp tính tích phân xác định I =

f (x)dx . .

22

a

2

Ph-ơng pháp giải một số dạng tích phân xác định

25

2.1. Tích phân của các hàm hữu tỉ và các hàm có thể hữu tỉ hóa . .

25

2.1.1. Ph-ơng pháp tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.2. Ph-ơng pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.3. Ph-ơng pháp đổi biến số

. . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.4. Ph-ơng pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . .

30

2.1.5. Sử dụng các ph-ơng pháp khác . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Tích phân của các hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2. Ph-ơng pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3


2.2.3. Ph-ơng pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . .

38

2.2.4. Sử dụng các ph-ơng pháp khác . . . . . . . . . . . . .

39

2.3. Tích phân của các hàm l-ợng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3.1. Biến đổi, sử dụng các nguyên hàm cơ bản . . . . . . .

43

2.3.2. Ph-ơng pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.3. Ph-ơng pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.4. Sử dụng nguyên hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4. Tích phân của các hàm siêu việt . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4.1. Biến đổi, sử dụng các nguyên hàm cơ bản . . . . . . .

51

2.4.2. Ph-ơng pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.4.3. Ph-ơng pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . .

53

2.4.4. Kết hợp nhiều ph-ơng pháp . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.5. Tích phân của các hàm chứa giá trị tuyệt đối

. . . . . . . . .

57

2.6. Công thức tích phân truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.6.1. Ph-ơng pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.6.2. Ph-ơng pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.6.3. Ph-ơng pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Kết luận và h-ớng phát triển của đề tài

65

Tài liệu tham khảo

66

4


mở đầu

I. Lí do chọn đề tài
Để có thể đáp ứng đ-ợc yêu cầu của thời đại mới, trong những năm qua,
ngành giáo dục không ngừng tổng kết kinh nghiệm, đổi mới về mọi mặt, trong
đó có đổi mới ph-ng pháp dạy học, thay thế ph-ơng pháp truyền thụ áp đặt
bằng ph-ơng pháp tích cực, sáng tạo. Ng-ời giáo viên đóng vai trò tổ chức
định h-ớng, phát huy tính chủ động tích cực của học sinh để học sinh tự chiếm
lĩnh tri thức, hình thành kĩ năng, xây dựng thế giới quan và nhân cách.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của
ch-ơng trình giáo dục phổ thông. Mục tiêu chung của môn Toán là: Cung cấp
cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, ph-ơng pháp Toán học phổ thông, cơ
bản, thiết thực. Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình

thành cho học sinh những ph-ng pháp luận đặc tr-ng của Toán học, rất cần
thiết cho thực tiễn cuộc sống. Từ đó hình thành và phát triển cho học sinh các
phẩm chất đạo đức, tác phong lao động khoa học, ý chí và khả năng tự học,
tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học lên ĐH, CĐ và THCN và đi vào thực tiễn
cuộc sống. Ng-ời giáo viên dạy Toán muốn dạy tốt thì cần phải th-ờng xuyên
tổng kết, rút kinh nghiệm giảng dạy, để có thể thiết kế ra những bài giảng có
tính hệ thống và tính s- phạm cao.
Phép tính tích phân là một trong những nội dung chủ yếu của ch-ơng trình
toán THPT. Vì vậy, việc học tốt nội dung này là rất cần thiết đối với các em
học sinh. Phép tính tích phân là một trong những phép tính cơ bản của giải
tích. Không những thế, phép tính tích phân còn giúp chúng ta giải lớp các bài
toán về tính diện tích và thể tích của các vật thể, lớp các bài toán về giới hạn
và rất nhiều các bài toán khác... Từ đó, ta thấy đ-ợc tầm quan trọng của bài
toàn tích phân. Tuy nhiên, để sử dụng ứng dụng của tích phân một cách triệt để
5


thì việc thành thạo các dạng tích phân, ph-ơng pháp giải của chúng là điều vô
cùng quan trọng. Cho đến nay, ph-ơng pháp giải các dạng tích phân đã đ-ợc
nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc. Tuy nhiên, để có thêm một tài liệu tham khảo
cho học sinh, tôi muốn tổng hợp lại một số dạng tích phân và ph-ơng pháp
cơ bản tính tích phân trong đề tài: Ph-ơng pháp tính một số dạng tích
phân trong ch-ơng trình THPT.

II. Mục đích và nhiệm vụ
1. Mục đích
Với những lí do ở trên, tôi đặt ra mục đích đi nghiên cứu và trình bày cơ sở
lí thuyết của các ph-ơng pháp tính một số dạng tích phân có ví dụ minh hoạ,
cuối cùng là đ-a ra một số bài tập đề nghị.
2. Nhiệm vụ

Nhiệm vụ cơ bản khi thực hiện đề tài là:
- S-u tầm và nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan đến các vần đề
của đề tài.
- Xây dựng đề c-ơng tổng quát và đề c-ơng chi tiết.
- Thực hiện các nội dung nghiên cứu của đề tài: tập hợp và trình bày chính xác
các kiến thức liên quan đến tích phân và ph-ơng pháp giải.
- Thông qua nội dung nghiên cứu đề xuất h-ớng pháp triển tiếp theo của đề tài.
III. Ph-ơng pháp nghiên cứu
- Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết: Tập hợp, s-u tầm nghiên cứu tài liệu, nhất
quán hoá và trình bày hoàn chỉnh những nội dung kiến thức liên quan đến đề
tài.
- Ph-ơng pháp thảo luận nhóm, tham khảo ý kiến chuyên gia.
IV. Cấu trúc của đề tài
Nội dung của đề tài đ-ợc trình bày thành hai ch-ơng. Ch-ơng một là một
số kiến thức liên quan: tôi trình bày một số kiến thức liên quan nh- nguyên
6


hàm, các công thức nguyên hàm, một số ph-ơng pháp tính nguyên hàm, định
nghĩa tích phân xác định, tính chất và ph-ơng pháp tính của nó. Ch-ơng hai tôi
trình bày nội dung chính của đề tài là ph-ơng pháp giải một số dạng tích phân
xác định nh-: Tích phân các hàm hữu tỉ, Tích phân các hàm vô tỉ, Tích phân
các hàm l-ợng giác, Tích phân các hàm siêu việt, Tích phân các hàm chứa trị
tuyệt đối...

7


Ch-ơng 1
Kiến thức liên quan

1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
1.1.1. Định nghĩa
1.1.1.1. Nhắc lại khái niệm vi phân
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x
(a; b). Cho x số gia x sao cho: x + x (a; b). Khi đó ta gọi tích f (x)x
hoặc y x là vi phân của hàm số y = f (x) tại x ứng với số gia x và kí hiệu
là dy hoặc df (x). Nh- vậy ta có:
dy = y x (1);

hoặc df (x) = f (x)x (1 )

Mặt khác, với y = x ta có dy = dx = x x dx = x

(2)

Thay (2) vào (1) hoặc (1'), ta đ-ợc:
dy = y dx (3);

hoặc df (x) = f (x)dx (3 )

1.1.1.2. Định nghĩa nguyên hàm
a) Định nghĩa. Hàm số F (x) đ-ợc gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x)
trong khoảng (a; b) nếu F (x) = f (x), x (a, b)
b) Định lý. (Ta thừa nhận định lý này)
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a; b) thì:
i) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của f (x) trên khoảng đó.
8


ii) Ng-ợc lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f (x) trên khoảng (a.b)

thì có thể viết G(x) = F (x) + C (C = const). Khi đó: {F (x) + C, C R}
đ-ợc gọi là họ nguyên hàm của f (x) trên khoảng (a; b).
c) Tính chất
Tính chất 1. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x), H(x) là nguyên
hàm của hàm số h(x) thì:
i) F (x) + H(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) + h(x)
ii) F (x) H(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) h(x)
Tính chất 2. Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số h(x), k là một số thực thì
kF (x) là nguyên hàm của hàm số kf (x)
Tổng quát: k1 , k2 , ..., kn là các số thực và F1(x), F2 (x), ..., Fn (x) lần l-ợt là

nguyên hàm của các hàm số f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) thì k1 F1(x)k2 F2(x)ã ã ã
kn Fn (x) là một nguyên hàm của hàm số k1 f1(x) k2 f2(x) ã ã ã kn fn (x).
1.1.1.3. Định nghĩa tích phân bất định
a) Định nghĩa. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng (a; b) gọi
là tích phân bất định của hàm f (x). Kí hiệu:
f (x)dx = F (x) + C,
trong đó:

f (x)dx. Nh- vậy, ta có:

C hằng số tuỳ ý

là dấu tích phân bất định.
f (x) Hàm số d-ới dấu tích phân bất định.
f (x)dx biểu thức vi phân d-ới dấu tích phân bất định.

Chú ý. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng (a; b) là tích phân bất

định của f (x) trong khoảng đó.

b) Tính chất.
1. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Khi đó, ta có:
F (x)dx = F (x) + C
2.
3.

d

f (x)dx = f (x)dx
[f (x) g(x)]dx =

f (x)dx

g(x)dx
9


4.

f (x)dx = f (x)

5.

kf (x)dx = k

6.

f (t)dt = F (t) + C
n

f (x)dx

ki fi (x)dx =

7.

f (u(x))u (x)dx = F (u(x)) + C

n

i=1

ki

fi (x)dx

i=1

c) Sự tồn tại nguyên hàm.
Ta thừa nhận định lí: Mọi hàm số f (x) liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm
trên đoạn đó.
Chú ý. Để tính

f (x)dx ta phải tìm một hàm số nào đó sao cho đạo hàm của

nó bằng f (x).

1.1.2. Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định)
1.1.2.1. Bảng các họ nguyên hàm cơ bản
dx = x + C

x dx =

x+1
+ C ( = 1)
+1

dx
= ln |x| + C
x
ex dx = ex + C
ax
+ C (0 < a = 1)
a dx =
ln a
x

cos xdx = sin x + C
sin xdx = cos x + C
1
dx = tan x + C
cos2 x
1
dx = cot x + C
sin2 x
Bảng 1.

10


1.1.2.2. Các họ nguyên hàm mở rộng

u+1
+ C ( = 1)
u u dx =
+1
u
dx = ln |u| + C (u = 0)
u
1
1
dx = ln |ax + b| + C (a = 0)
ax + b
a
1
eax+b dx = eax+b + C (a = 0)
a
1
cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C
a
1
sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C
a
1
1
dx
=
tan(ax + b) + C
cos2 (ax + b)
a
1
1

cot(ax + b) + C
dx
=

a
sin2(ax + b)


Bảng 2.

1.1.3. Một số ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm
Cơ sở lý thuyết của ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm là ta tìm cách đ-a các
nguyên hàm đó về một trong những nguyên hàm cơ bản (hoặc mở rộng) đ-ợc
trình bày ở phần 1.1.2. Trong phần này, mỗi ph-ơng pháp tôi chỉ đ-a ra một,
hai ví dụ minh hoạ. Chúng ta, sẽ nghiên cứu các ph-ơng pháp này ở ch-ơng 2.
Ph-ơng pháp 1. Biến đổi, áp dụng các công thức họ nguyên hàm
Ph-ơng pháp này ta dùng với những bài tập cơ bản, ta dùng các phép biến
đổi thông th-ờng để đ-a về các nguyên hàm cơ bản.
Ví dụ 1. Tính họ các nguyên hàm sau:
a)
c)

(2x + 5)4 dx
e2x
dx
e2x + 3

b)
d)
Giải

11

sin3 x cos xdx
(ln x + 3)2
dx
x


a) Ta có: (2x + 5)4 dx =
=
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:

1
1 (2x + 5)5
(2x + 5)4 d(2x + 5) =
+C
2
2
5

(2x + 5)5
+C
10

sin4 x
+C
sin x cos xdx = sin xd(sin x) =
4

e2x
1 d(e2x+3 ) 1
= ln(e2x + 3) + C
dx =
2x
2x+3
e +3
2
e
2
(ln x + 3)2
(ln x + 3)3
2
dx = (ln x + 3) d(ln x + 3) =
+C
x
3
3

3

Bài tập đề nghị

Bài 1. Tính họ các nguyên hàm sau:

a)
4x3 2x4 + 6dx
3 sin 2x.ecos

c)

x

+3

b)

dx

d)

ex(1 ex )dx

e)
Đáp số:
a)

1
3

f)

2

x+3

(tan7 x + tan5 x)dx

ex + ex + 2dx

2
+C
3(x2 + 6x + 10)3
tan6 x
+C
d)
6
x
x
f) 2 e 2 e 2 + C

(2x4 + 6)3 + C

c) 3ecos

(4x + 12)dx
(x2 + 6x + 10)4

b)

+C

e) ex x + C

Ph-ơng pháp 2. Xác định họ nguyên hàm bằng ph-ơng pháp phân tích
Ph-ơng pháp phân tích thực chất là dùng các đồng nhất thức để biến đổi
biểu thức d-ới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi
nhân tử đó có thể nhận đ-ợc từ bảng nguyên hàm hoặc bằng các phép biến đổi
đơn giản đã biết.
Ph-ơng pháp chung:

n

B-ớc 1: Biến đổi f (x) về dạng f (x) =

i fi (x)dx
i=1

trong đófi (x) có nguyên hàm trong bảng công thức cơ bản và i = const.
(i = 1, n)
12


B-ớc 2: áp dụng tính chất 7 của tích phân bất định. Ta có:
n

f (x)dx =

n

i fi (x)dx =
i=1

i

fi (x)dx

i=1

x(1 x)2007dx.

Ví dụ 1. Tính họ nguyên hàm sau: I =
Giải

Sử dụng đồng nhất thức: x = 1 (1 x). Ta đ-ợc:
x(1 x)2007 = [1 (1 x)](1 x)2007 = (1 x)2007 (1 x)2008
Khi đó, ta có:
x(1 x)2007dx =

I=
=

(1 x)2007dx

(1 x)2008d(1 x)

(1 x)2008 dx

(1 x)200d(1 x)

(1 x)2009 (1 x)2008

+C
=
2009
2008
Tổng quát. Tính họ nguyên hàm sau

I=

x(ax + b)dx (a = 0; = 1 và = 2)

Giải
1
1
Sử dụng đồng nhất thức: x = ax = [(ax + b) b], ta đ-ợc:
a
a
1
1
x(ax + b) = [(ax + b) b](ax + b) =
(ax + b)+1 b(ax + b)
a
a
Khi đó, ta đ-ợc:
1
(ax + b)+1 b(ax + b) dx
a
1 1
b
=
(ax + b)+1 d(ax + b)
(ax + b)d(ax + b)
a a
a
1 (ax + b)+2 b(ax + b)+1

+C
= 2
a
+2

+1

I=

Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm sau: I =
Giải
13

dx
x(x + 1)2


Ta có:
B
A(x + 1)2 + Bx + Cx(x + 1)
A
C
1
=
= +
+
x(x + 1)2
x (x + 1)2 x + 1
x(x + 1)2
Xét đồng nhất thức: 1 = A(x + 1)2 + Bx + Cx(x + 1)

(4)

Chọn x = 1, ta có: (4) 1 = B B = 1
Chọn x = 0, ta có: (4) 1 = A

Chọn x = 1, ta có: (4) 1 = 4A + B + 2C

(5)

Thay A = 1 và B = 1 vào (5), suy ra C = 1.
Khi đó, ta có:
dx
dx
dx
dx

=

x(x + 1)2
x
(x + 1)2
x+1
x
1
1
ln |x + 1| + C = ln
+
+C
= ln |x| +
x+1
x+1
x+1

I=

Chú ý. Ph-ơng pháp dùng tích phân bất định trên là một trong những ph-ơng

pháp cơ bản để tính tích phân hàm hữu tỉ.

Bài tập đề nghị

Bài 1. Tính họ các nguyên hàm sau:
dx
(x2 2)dx
a)
b)
x(x10 + 1)2
(x2 + 5x + 1)(x2 3x + 1)
(1 x7 )dx
x3 + 3x2 + 3x 1
c)
d)
dx
x(1 + x7 )
x2 + 2x + 1
Đáp số:
1
x10
1
1
x2 3x + 1
a)
ln 10
+
+C

b) ln 2
+C
10
x + 1 x10 + 1
8
x + 5x + 1
1
|x|7
2
x2
c) ln
+
x
+
+C
+
C
d)
7 (1 + x7 )2
2
x+1
Bài 2. Tính họ các nguyên hàm sau:
sin xdx
cos x + 2 sin x
a)
b)
dx
cos x + sin x
4 cos x + 3 sin x
x 1

Đáp số: a) ln | sin x + cos x| + C
2 2
2x 1
ln |4 cos x + 3 sin x| + C
b)
5
5
14


Ph-ơng pháp 3. Xác định họ nguyên hàm bằng ph-ơng pháp đổi biến
Kiến thức cơ bản: Ph-ơng pháp đổi biến số đ-ợc sử dụng phổ biến trong việc

tính các tích phân bất định cũng nh- tích phân xác định (ta xét ở ch-ơng sau).
Ph-ơng pháp đổi biến để tính nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lí sau:
Định lí.
1) Nếu

f (x)dx = F (x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì

f (u)du = F (u) + C.
2) Nếu hàm số f (x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với
đạo hàm (t) là những hàm số liên tục thì

f (x)dx =

f [(t)] (t)dt.

Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ thông th-ờng

Dấu hiệu


x = |a| sin t với 2 t


x = |a| cos t với 0 t



a2 x2

x=


x=



x2 a2

ax
a+x

(x a)(b x)
f (x,
f (x) =

(x))

với t 2 ; 2 \ {0}

|a|
cos t

với t [0; ] \ { 2 }

a sin x + b cos x
c sin x + d cos x + e

x = a cos 2t
x = a + (b a) sin2 t
t=

(x)

t = tan x2 (cos x2 = 0)
Bảng 3.
15


2

|a|
sin t


x = |a| tan t với 2 < t <

x = |a| cot t với 0 < t <


a2 + x2
a+x
hoặc
ax

Cách đặt




2


Ví dụ 1. Tính họ nguyên hàm sau: I =

dx
x 1 + x2


Giải
xdx
1
(x2 + 1)
dx

=
=
Ta có: I =
2
2 1 + x2
2 1 + x2
2
x
1
+
x
x
x

Đặt t = 1 + x2 1 + x2 = t2 x2 = t2 1. Ta có:
1
dt2
I=
=
2
(t2 1)t

1
1 + x2 1
Hay I = ln
+C
2
1 + x2 + 1

1

t1
dt
=
ln
+C
t2 1 2
t+1

Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm sau: I =

dx
(1 x2 )3

Giải
Đặt x = sin t :
I=



< t < dx = d sin t = cos tdt. Ta có:
2
2

dx

=

cos tdt

=

cos tdt

=

dt
cos2 t

(cos2 t)3
(1 sin2 t)3
x
sin x
+C =
+C
= d tan t = tan t + C =
cos x
1 x2


Chú ý. ở ví dụ trên ta có (1 x2 )3 = cos3 t vì < t < cos t > 0 và
2
2

2
2
từ đó suy ra cos t = 1 sin t = 1 x
(1 x2 )3

Bài tập đề nghị

Bài 1. Tính họ các nguyên hàm sau:

a) I = 4x 3 2x4 + 6dx

b) I =

(4x + 12)dx
(x2 + 6x + 10)4

a+x
dx (a > 0)
d) I = x5
ax
1
(2x4 + 6)3 + C
Đáp số: a) I =
3
2
+C
b) I =
3(x2 + 6x + 10)3
x
c) I = a arccos a2 x2 + C
a
3
4
(20x 4x2 3) 3 (1 2x2 )2 + C
d) I =
320
c) I =

16

3

(1 2x2 )2 dx


Bài 2. Tính họ các nguyên hàm sau:
a) I =

3 sin 2xecos

2

x+3

dx

b) I =

c) I = (tan7 x + tan5 x)dx

d) I =

tan2(tan x)
dx
cos2 x
4 sin x
dx

cos2 x + 2 cos x + 5

Đáp số:
2

a) I = 3ecos x+3 + C
b) I = tan(tan x) tan x + C
cos x + 1
tan6 x
+C
d) I = 2 arctan
+C
c) I =
6
2
Ph-ơng pháp 4. Xác định họ nguyên hàm bằng ph-ơng pháp tích phân từng
phần
Công thức:

Trong đó

udv = uv

vdu

vdu có nguyên hàm đơn giản hơn so với

udv

Dấu hiệu nhận biết cách đặt:

Nếu f (x) = f1 (x)f2(x) thì ta đặt:


u = f1 (x)
du = f (x)dx
1

dv = f (x)dx
v = f (x)dx
2
2
Nếu f (x) = P (x) sin x (hoặc f (x) = P (x) cos x); P R[x], R thì
ta đặt:






du = P (x)dx

u = P (x)





1
v = cos x

dv = sin xdx







1
(hoặc dv = cos xdx)

(hoặc v = sin x)

ax
ax
Nếu f (x) = e cos bx (hoặc f (x) = e sin bx), ab = 0 thì ta đặt:





du = b sin bxdx


u
=
cos
bx

(hoặc du = b cos bxdx)
(hoặc u = sin bx)






1
dv = eax dx

v = eax
a
Chú ý. Nhiều bài phải từng phần nhiều lần.
Nếu f (x) = P (x)ex ; P R, R thì ta đặt:


du = P (x)dx
u = P (x)

v = 1 ex
dv = ex dx

17


Nếu f (x) = x ln x thì ta đặt:

1

u = ln x
du = dx
x+1

x
dv = x dx

v=
+1
Các ví dụ

Ví dụ 1. Tính I = (4x + 1) sin xdx
Giải
áp dụng ph-ơng pháp tích phân từng phần, ta đặt:


u = 4x + 1
du = 4dx

dv = sin xdx
v = cos x

Khi đó: I = (4x + 1) sin xdx = (4x + 1)( cos x) ( cos x)4dx
= 4 sin x (4x + 1) cos x + C
Ví dụ 2. Tính tích phân bất định I = (4x + 1) ln xdx
Giải

áp dụng ph-ơng pháp tích phân từng phần, ta đặt:


u = ln x
du = dx
x

dv = (4x + 1)dx

v = 2x2 + x

dx
x
2
2
= (2x + x) ln x (2x + 1)dx = (2x + x) ln x (x2 + x) + C

Khi đó: I = (4x + 1) ln xdx = (2x2 + x) ln x (2x2 + x)

Bài tập đề nghị

Tính các tích phân bất định sau:
ln3 x
dx
1)
x3

2)

x2 ex

dx
(x + 2)2

cos x. ln(1 + cos x)dx
4) (x2 2x + 1) sin 2xdx
1
3
3
3
Đáp số: 1) 2 ln3 x + ln2 x + ln x +
+C
2x
2
2
4
3)

18


x2 ex x
x2 x
e (x 1) + C =
e +C
x+2
x+2
3) sin x ln(1 + cos x) + x sin x + C
1
1
1

4) (x2 2x + 1) cos 2x + (x 1) sin 2x + cos 2x + C
2
2
4
2)

Ph-ơng pháp 5. Xác định họ nguyên hàm bằng ph-ơng pháp dùng nguyên
hàm phụ
Cơ sở lý thuyết. Xác định nguyên hàm của f (x) bằng cách dùng nguyên hàm

phụ là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f (x) g(x)
dễ xác định hơn so với hàm f (x). Từ đó, suy ra nguyên hàm của hàm f (x).
Các b-ớc thực hiện.

+) Chọn hàm g(x)
+) Xác định họ nguyên hàm của các hàm f (x) g(x), tức là:

F (x) + G(x) = A(x) + C1
F (x) G(x) = B(x) + C

(6)

2

1
+) Từ (6), ta nhận đ-ợc F (x) = (A(x) + B(x)) + C là họ nguyên hàm của
2
hàm f (x)
Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =

sin x
sin x cos x

Giải
cos x
sin x cos x
Gọi F (x) và G(x) là nguyên hàm của hàm f (x) và g(x). Ta có:
sin x + cos x
f (x) + g(x) =
sin x cos x
d(sin x cos x)
sin x + cos x
=
F (x) + G(x) =
sin x cos x
sin x cos x
Chọn hàm g(x) =

= ln | sin x cos x| + C1
Suy ra F (x) G(x) =

dx = x + C2
1
Từ (7) và (8), suy ra F (x) = (ln | sin x cos x| + x) + C
2
19

(7)

(8)


Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin2 x cos 2x
Giải
Chọn g(x) = cos2 x cos 2x. Ta có:
f (x) + g(x) = sin2 x cos 2x + cos2 x cos 2x = cos 2x
f (x) g(x) = sin2 x cos 2x cos2 x cos 2x = cos 2x
Gọi F (x), G(x) lần l-ợt là nguyên hàm của các hàm số f (x) và g(x).
Khi đó, ta có:
1
sin 2x + C1
2
1
1
1 + cos 4x
dx =
x+
+ C2
F (x) G(x) =
2
2
4
1
1
1 1
sin 2x
x + sin 4x
+C
Suy ra: F (x) =

2 2
2
4
1
1
sin 2x x sin 4x + C
=
4
4
F (x) + G(x) =

cos 2xdx =

Bài tập đề nghị

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
2

1)

f (x) = 2 sin x sin 2x

3)

f (x) =

Đáp số: 1)
2)
3)
4)

2)

ex
f (x) = x
e + ex
cos4 x
f (x) =
sin4 x + cos4 x

sin x
4)
sin x + cos x
1
1
cos 2x + cos 4x + C
F (x) =
2
4
x
x
F (x) = (ln |e e + x| + C
1
F (x) = (x ln | sin x + cos x|) + C
2

1
1
sin 2x 2

F (x) =
x ln
2
2 2
sin 2x + 2

20


1.2. Tích phân xác định
1.2.1. Định nghĩa
1.2.1.1. Công thức Newton-Leibnitz
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và F (x) là nguyên hàm của f (x)
trên đoạn [a; b]. Khi đó, hiệu số F (b) F (a) đ-ợc gọi là tích phân từ a đến b
b

(hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f (x). Ký hiệu là

f (x)dx
a

(theo Giải tích lớp 12), vậy ta có:
b

b

f (x)dx = F (x)

= F (b) F (a)

a

a

b

f (x)dx chỉ phụ thuộc vào a, b, f mà không phụ thuộc vào

Chú ý. Tích phân
a

biến số. Vì vậy, ta có thể viết:
b

b

f (x)dx =
a

b

f (u)du =
a

f (t)dt = ã ã ã
a

1.2.1.2. ý nghĩa hình học của tích phân
b

f (x)dx

Nếu hàm f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
a

là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đ-ờng:
(C) : y = f (x); trục Ox, : x = a và : x = b
y


(C)



(S)

O

a

b

Hình 1.1:

21

x


1.2.2. Tính chất

a

Tính chất 1.

f (x)dx = 0
a
b

Tính chất 2.

a

f (x)dx =

f (x)dx

a
b

Tính chất 3.

b
b

kf (x)dx = k
a
b

Tính chất 4.

a
b

[f (x) g(x)]dx =
a
b

Tính chất 5.

(k R)

f (x)dx

b

f (x)dx
a

c

f (x)dx =
a

g(x)dx
a

b

f (x)dx +

f (x)dx

a

c
b

Tính chất 6. Nếu f (x) 0, x [a; b] thì

f (x)dx 0
a
b

Tính chất 7. Nếu f (x) g(x), x [a; b] thì

b

f (x)dx
a

g(x)dx.
a

Tính chất 8. Nếu m g(x) M với x [a; b] và g(x) khả tích trên [a; b]
b

g(x)dx M(b a).

thì m(b a)
a

Tính chất 9. Nếu f (x) = c không đổi trên [a; b] thì:
b

b

f (x)dx =
a

cdx = c(b a)
a

Tính chất 10. Nếu f (x) là hàm số liên tục trên [a; b] thì:
b

b

f (x)dx
a

|f (x)|dx
a

Tính chất 11. (Công thức giá trị trung bình)
Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì [a; b] sao cho:
b
1 b
f (x)dx = f ()(b a) f () =
f (x)dx
ba a

a
b

1.2.3. Ph-ơng pháp tính tích phân xác định I =

f (x)dx
a

Ph-ơng pháp 1. Sử dụng công thức Newton - Leibnitz
Chúng ta sẽ sử dụng tất cả các ph-ơng pháp đã nếu ở phần 1.1.3. để tìm
nguyên hàm của hàm số d-ới dấu tích phân rồi sử dụng công thức Newton Leibnitz để tính tích phân xác định đó.
22


Chú ý.

1. Đối với ph-ơng pháp đổi biến: ta cũng dựa vào các dấu hiệu ở phần
nguyên hàm để đặt ẩn phụ và phải đổi cận theo ẩn mới.
2. T-ơng tự với ph-ơng pháp từng phần ta cũng dựa vào dấu hiệu phần
nguyên hàm để đặt u và tính du, v.
b) Các ví dụ.
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
1
xdx
a) I =
(Học viện Kĩ thuật Quân sự-95)
2
+
1)
0 (x

e
1 + 3 ln x
dx (Đề tuyển sinh Khối B-2004)
b) I =
x
1
Giải
a) Ta có:
1

I=
0

1
1
1
x+11

dx
dx
=
2
x + 1 (x + 1)2
0 (x + 1)
0
1
1
1 dx
1

1
1
dx

=
ln
|x
+
1|
+
=
ln
2

=
2
x+1 0
2
0 x+1
0 (x + 1)
0

xdx
=
(x + 1)2

1

b) Ta có:

e
e
1 + 3 ln x
dx =
I=
1 + 3 ln xd ln x
x
1
1
e
1 e
2
14
12
3
=
(1 + 3 ln x) d(3 ln x + 1) =
(1 + 3 ln x) =
31
9
9
1
sin x
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) =
cos x + sin x
cos x sin x
a) Tìm hai số A, B sao cho f (x) = A + B
cos x + sin x

2

b) Tính I =

f (x)dx.
0

Giải
a) Ta có:
cos x sin x (A + B) cos x + (A B) sin x
sin x
=A+B
=
cos x + sin x
cos x + sin x
cos x + sin x
Suy ra: sin x = (A + B) cos x + (A B) sin x. Ta có:


A+B = 0
A= 1
2

AB =1
B = 1
2

23


b) Từ kết quả câu a) ta có:

2
2
1 1 cos x sin x

dx
I = f (x)dx =
2
2
cos
x
+
sin
x
0
0


2
2
1
1 d(cos x + sin x) 1
= x
= ln(cos x + sin x)
2 0 2 0 cos x + sin x
4 2
Ví dụ 3. Tính
tích phân sau

2
2

a) I =
0

x2 dx

1 x2



7

b) I =

(ĐHTCKT-97)

0


2

=
0


4

x3 dx

3
1 + x2

Giải
Đặt x = sin t dx = cos tdt.

2
t=
Đổi cận: x = 0 t = 0; x =
2
4
x2 dx
sin2 t cos tdt
sin2 t cos tdt
= sin2 tdt
Ta có:
=
=
2
cos t
1x
1 sin2 t

1
= (1 cos 2t)dt (Vì t 0;
cos t > 0)
2
4

4
1
1
1
1 4
t sin 2t
(1 cos 2t)dt =
=
Vậy, ta có: I =
20
2
2
8 4
0

3
3
2
2
b) Đặt: t = x2 + 1 t = x + 1 3t dt = 2xdx.

Đổi cận: x = 0 t = 1; x = 7 t = 2
t3 1 3 2
x2 .xdx
3
3
x3 dx
=
. t dt = t(t3 1)dt = (t4 t)

=
Ta có:
3
t
t 2
2
2
1 + x2
Bài tập đề nghị

Tính các tích phân sau

4

1) I =

2

x(2 cos2 x 1)dx

2) I =

0
e

3) I = (x ln x)2dx

1

2

4) I =

0

ln(1 + x)
dx
x2
e2x sin 3xdx

0

Đáp án
2
8
7e3 1
3) I =
27
1) I =

3
2) I = ln 3 + 3 ln 2
2
3 2ex
4) I =
13

24

Ch-ơng 2
Ph-ơng pháp giải một số dạng tích phân
xác định

2.1. Tích phân của các hàm hữu tỉ và các hàm có thể hữu tỉ
hóa

ở bài toán này, chúng ta cần linh hoạt lựa chọn đúng một trong các ph-ơng

pháp cơ bản sau để tìm nguyên hàm của hàm số d-ới dấu tích phân. Sau đó áp
dụng công thức Newton - Leibnitz để tính tích phân xác định.
1. Ph-ơng pháp tam thức bậc hai
2. Ph-ơng pháp phân tích
3. Ph-ơng pháp đổi biến
4. Ph-ơng pháp tích phân từng phần
5. Sử dụng các ph-ơng pháp khác
Phần cơ sở lí thuyết của các ph-ơng pháp này đã đ-ợc trình bày ở ch-ơng 1
phần 1.1.3. ở phần này chúng ta sẽ áp dụng để tính nguyên hàm của các hàm
số d-ới dấu tích phân. Sau đâu chúng ta sẽ đi cụ thể từng ph-ơng pháp
25


2.1.1. Ph-ơng pháp tam thức bậc hai
Bằng cách đ-a tam thức bậc hai về dạng chính tắc và dùng các công thức sau:
xdx
1
1.
=
ln |x2 a| + C

2
x a 2
xa
1
dx
ln
+C (a = 0)
=
2.
x2 a2
2a
x+a
Chúng ta sẽ tính đ-ợc nguyên hàm của một lớp các hàm hữu tỉ
1
xdx
Ví dụ 1. Tính tích phân sau I =
4
2
0 2x + 2x 1
Giải
Ta có:

2
d(
2x + 12 )
1
xdx


I=

=
2 + 1 )2 3
(
2x
2
2
(
2x2 + 12 )2 32
0
0
2
2
2 2+3 1

2x + 2
1
1
2+1

= ln
= ln
4 3
4 3
2+3
2x2 + 23
0
2
1

1

2

2.1.2. Ph-ơng pháp phân tích
Chúng ta đã làm quen với ph-ơng pháp này ở ch-ơng 1 phần 1.1.3. ở đây
chúng ta sẽ xét cụ thể hơn về việc sử dụng ph-ơng pháp này để tìm nguyên
Q(x)
. Thực chất đây là một dạng của ph-ơng
hàm của hàm số hữu tỉ dạng
P (x)
pháp hệ số bất định, nh-ng ở đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc.
Sau đây là một số dạng cụ thể và cách phân tích
x1
Ax + B
dx phân tích thành
+) Dạng I =
2 + bx + c
ax
x0
x1
x1
2ax + b
dx
I =
dx
+

b 2

2

x0 ax + bx + c
x0 (x + 2a ) 4a2
x1
Ax2 + Bx + C
dx phân tích thành
+) Dạng I =
2
x0 ax + bx + c
x1
x1
A x1
2ax + b
I=
dx + (x+ bdx
dx +

2
2
2a ) 4a2
a x0
x0 ax + bx + c
x0
x1
P (x)
+) Dạng I =
dx phân tích thành
n
x0 (x a)
x1 dx
x1

x1
dx
dx
+
I =
+
ã
ã
ã
+

2
n
x0 x a
x0 (x a)
x0 (x a)
26