Xây dựng một hệ thống thông tin hỗ trợ đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ

Xây dựng một hệ thống thông tin hỗ trợ đánh
giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ
Nguyễn Văn Thông
Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên
Chuyên ngành: Bảo đảm Toán học cho máy tính và hệ thống tính toán
Mã số: 60 46 35
Ngƣời hƣớng dẫn: PGS.TSKH Bùi Công Cƣờng
Năm bảo vệ: 2011
Abstract: Tổng quan kiến thức cơ sở về lý thuyết tập mờ và số mờ. Giới
thiệu phƣơng pháp mới để đánh giá bài làm của học sinh sử dụng tập
mờ. Đánh giá kết quả học tập của học sinh bằng cách sử dụng hàm thuộc
và luật mờ
Keywords: Lý thuyết tập mờ; Toán học; Công nghệ thông tin; Toán tin
Content
Từ khi lí thuyết tập mờ đƣợc Zadeh đề xuất năm 1965, lí thuyết tập mờ và logic
mờ phát triển rất nhanh và đa dạng. Công nghệ mờ và công nghệ mạng nơ-ron phát
triển mạnh, áp dụng vào các ngành công nghiệp làm ra nhiều sản phẩm thông minh,
đáp ứng nhu cầu thị trƣờng. Những năm gần đây, một số nghiên cứu ứng dụng lý
thuyết tập mờ vào giáo dục đào tạo đã đƣợc tiến hành và có những kết quả cụ thể nhƣ
đánh giá học sinh, xếp hạng hệ thống giáo dục..
Việc chấm điểm bài làm của học sinh nhƣ hiện tại đạt độ chính xác chƣa cao, vì
thực chất điểm mà học sinh đạt đƣợc trong mỗi bài kiểm tra có tính chất "mờ". Ví dụ
trong số những học sinh đƣợc điểm 8 thì có những học sinh đạt “cỡ 8 điểm”, tức là có
thể thấp hơn hay cao hơn 8 điểm một chút…
Trên cơ sở đã tìm hiểu những kiến thức cơ bản về logic mờ, là ngƣời trực tiếp
làm nhiệm vụ quản lý giáo dục, tôi chọn đề tài "Xây dựng một hệ thống thông tin hỗ
trợ đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ" cho luận văn của mình, nhằm nghiên cứu
một cách mới để đánh giá học sinh chính xác hơn, khách quan hơn, công bằng hơn.
Tôi dùng phần mềm Matlab để cài đặt chƣơng trình tính và đƣa ra những kết quả đánh
giá cụ thể.
Luận văn gồm 3 chƣơng:

Chƣơng 1: Kiến thức cơ sở về lý thuyết tập mờ và số mờ.


Chƣơng 2: Phƣơng pháp mới để đánh giá bài làm của học sinh sử dụng tập mờ.
Chƣơng 3: Đánh giá kết quả học tập của học sinh bằng cách sử dụng hàm thuộc
và luật mờ.
Do thời gian có hạn và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót, tôi rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô giáo, các
bạn học viên để hoàn thiện hơn bản luận văn của mình.

2


Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ
VÀ SỐ MỜ
1.1. Tập mờ
1.1.1. Định nghĩa [3]:
Cho tập X  , ta sẽ gọi X là không gian nền.
A là tập mờ trên không gian nền X nếu A đƣợc xác định bởi hàm:

 A : X [0,1] (  A ( x) [0,1], x  X )
 A gọi là hàm thuộc (membership function);
 A ( x) là độ thuộc của x vào tập mờ A.

Tập A đƣợc gọi là tập rỗng nếu nó không có phần tử nào. Kí hiệu là: A  
1.1.2. Ví dụ [3]:
Cho không gian nền X = [0, 150] là tập chỉ tốc độ của ngƣời đi xe máy (km/h).
Tập mờ A = ”Đi nhanh” xác định bởi hàm thuộc  A : X [0,1] nhƣ đồ thị sau:
 A ( x)

1
0.8

45 50

25

x

Nhƣ vậy:
- Với x ≥ 50 (tốc độ từ 50km/h trở lên) thì  A (x) = 1 (đi nhanh);
- Với x = 45 (km/h) thì  A (x) = 0.8 (đi khá nhanh);
…
1.2. Số mờ
1.2.1. Định nghĩa [3]:
Tập M trên đƣờng thẳng số thực R1 là một số mờ nếu :
a) M chuẩn hóa, tức là có điểm x’ sao cho M ( x ') =1;
b) Ứng với mỗi   R1, tập mức { x: M ( x)   } là đoạn đóng trên R1;
c) M ( x) là hàm liên tục.

3


1.2.2. Ví dụ [3] : Số mờ tam giác: Số mờ tam giác đƣợc xác định bởi 3 tham số. Khi
đó hàm thuộc của số mờ tam giác M(a,b,c) cho bởi:

0
( z  a ) / (b  a)

 M ( z )  1

 (c  z ) / (c  b )

0

nếu z ≤ a
nếu a ≤ z ≤ b
nếu z = b
nếu b ≤ z ≤ c
nếu c ≤ z

M ( z )
1

a

z b

c

Z

Hình 1.1. Số mờ tam giác
1.3. Luật mờ
Xét Ui ≠ là tập nền của biến ngôn ngữ vào xi, i=1,2,..,n
V≠ là tập nền của biến ngôn ngữ ra y
1.3.1. Định nghĩa [3]:
Một luật mờ dạng tổng quát với n biến vào, 1 biến ra R có dạng:
“IF (x1 is A1)(x2 is A2)...(xn is An) THEN (y is B)”
trong đó Ai  F(Ui), i=1,2,..,n; B F(V).
1.3.2. Ví dụ:

x1 là biến ngôn ngữ thời gian trả lời câu hỏi;
tập U1=[1,45] là không gian nền của biến ngôn ngữ x1(phút);
A1=’ngắn’ là một tập mờ trên không gian nền U1;
x2 là biến ngôn ngữ độ chính xác trong câu trả lời;
tập U2=[0,1] là không gian nền của biến ngôn ngữ x2;
A2=’cao’ là một tập mờ trên không gian nền U2;
y là biến ngôn ngữ độ khó của câu trả hỏi;
tập V=[0,1] là không gian nền của biến ngôn ngữ y;
B=’thấp’ là một tập mờ trên không gian nền V,
Một luật mờ suy ra độ khó của câu hỏi là:

4


IF (x1 is A1)  (x2 is A2) THEN (y is B) (nếu thời gian trả lời ngắn và độ chính
xác cao thì độ khó của câu hỏi là thấp (câu hỏi dễ).

5


Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP MỚI ĐỂ ĐÁNH GIÁ BÀI LÀM
CỦA HỌC SINH SỬ DỤNG TẬP MỜ
2.1. Phương pháp của Biswas để đánh giá bài làm của học sinh: [7]
- Cho 2 tập mờ A, B trên không gian nền X.
A = {fA(x1)/x1, fA(x2)/x2, ..., fA(xn)/xn}
B = {fB(x1)/x1, fB(x2)/x2, ..., fB(xn)/xn}
X = {x1, x2, ..., xn}
Để cho gọn, ta dùng vectơ để biểu thị các tập mờ A, B nhƣ sau:
A = {fA(x1), fA(x2), ..., fA(xn)}
B = {fB(x1), fB(x2), ..., fB(xn)}

Độ tƣơng tự S( A , B ), đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
S ( A, B) 

A.B
Max( A. A, B.B)

Ở đó S( A , B )  [0, 1]; A . B chỉ tích vô hƣớng 2 véc tơ biểu thị 2 tập mờ A, B.
- Tập không gian nền:
X = {0, 20, 40, 60, 80, 100} là tập không gian nền nhằm phân định mức độ
hoàn thành công việc của học sinh tƣơng ứng với: 0%, 20%, 40%, 60%, 80%, 100%.
- Tập mờ chuẩn:
Tuyệt vời, ký hiệu E = {0/0; 0/20; 0.8/40; 0.9/60; 1/80; 1/100} (Excellent).
Rất tốt, ký hiệu V = {0/0; 0/20; 0.8/40; 0.9/60; 0.9/80;0.8/100} (Very good)
Tốt, ký hiệu G ={0/0; 0.1/20; 0.8/40; 0.9/60; 0.4/80; 0.2/100} (Good).
Đạt yêu cầu, ký hiệu S = {0.4/0; 0.4/20; 0.9/40; 0.6/60; 0.2/80; 0/100}
(Satisfactory).
Không đạt yêu cầu, ký hiệu U ={1/0; 1/20; 0.4/40; 0.2/60; 0/80; 0/100}
(Unsatisfactory).
Để cho gọn ta dùng các véc tơ E , V , G , S , U để biểu thị các tập E, V, G, S,
U một cách tƣơng ứng:
E = {0, 0, 0.8, 0.9, 1, 1},

V = {0, 0, 0.8, 0.9, 0.9, 0.8}

G = {0, 0.1, 0.8, 0.9, 0.4, 0.2},

S = {0.4, 0.4, 0.9, 0.6, 0.2, 0},

U = {1, 1, 0.4, 0.2, 0, 0}

6


- Gọi A, B, C, D, E là các chữ chỉ các mức giá trị của 5 điểm mờ nêu trên theo thứ tự
tƣơng ứng với E, V, G, S, U với ý nghĩa nhƣ sau: 0≤E<30, 30≤D<50, 50≤C<70,
70≤B<90; 90≤A≤100.
Ký hiệu: P(E) là trung điểm của khoảng E, theo ý nghĩa đó ta có:
P(E) =15, P(D) =40, P(C) = 60, P(B) = 80; P(A) = 95.
- Trang điểm mờ (Fuzzy grade sheet) để đánh giá bài làm học sinh:
Thứ tự
Câu hỏi 1

Điểm mờ

Mức

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0

0.1

0.2

0.4

0.6

0.4

Câu hỏi 2
Câu hỏi 3
....
Tổng số điểm:
Bảng 2.1: Trang chấm điểm mờ
2.1.1. Thuật toán đánh giá bài làm của học sinh theo trang điểm mờ
Bƣớc 1:
- Ngƣời đánh giá điểm cho câu hỏi thứ i bằng điểm mờ Fi và đƣợc biểu thị bởi vectơ
Fi :
Fi = {fi1/0, fi2/20, fi3/40, fi4/60, fi5/80, fi6/100},

hay viết gọn Fi = {fi1, fi2, …, fi6}
- Tính mức tƣơng tự: S( E , Fi ), S( V , Fi ), S( G , Fi ), S( S , Fi ) và S( U , Fi ), với E , V ,
G , S , U lần lƣợt là các vectơ biểu thị các tập mờ chuẩn E, V, G, S, U

- Tìm max {S( E , Fi ), S( V , Fi ), S( G , Fi ), S( S , Fi ), S( U , Fi )}.
- Tìm P(gi), trong đó gi là chữ chỉ mức ứng với giá trị max vừa tìm đƣợc
(gi  {A, B, C, D, E})
Bƣớc 2: Tính tổng số điểm theo công thức sau:

Tổng số điểm =

1 n
[T (Qi ).P( gi )]
100 i 1

Trong đó: T(Qi) là điểm của câu hỏi thứ i.
Các công việc trên có thể thực hiện bằng chƣơng trình máy tính.
2.1.2. Ví dụ 2.1:
Một bài kiểm tra gồm 3 câu hỏi, điểm của các câu hỏi lần lƣợt là 2, 3, 5
(T(Q1)=2, T(Q2)=3, T(Q3)=5)

7


Một giáo viên đã đánh giá bài làm của một học sinh và ghi vào bảng nhƣ sau:
Thứ tự

Điểm mờ

Mức

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Câu hỏi 1

0

0

0

0.5

0.8

1

B

Câu hỏi 2

0

0.3

0.4

0.9

0.5

0

C

Câu hỏi 3

0

0.1

0.3

0.7

0.5

0

C

Tổng số điểm: 6.4
Nhận xét: Phƣơng pháp chấm điểm đã trình bày ở trên vẫn còn 2 hạn chế:
- Thứ nhất: Việc sử dụng hàm S để tính độ tƣơng tự giữa các tập mờ chuẩn và
tập mờ là điểm của mỗi câu hỏi cần khá nhiều thời gian, nhất là với số lƣợng câu hỏi
lớn;
- Thứ hai: Trong thuật toán trên để tính gi chúng ta đã tìm max {S( E , Fi ),
S( V , Fi ), S( G , Fi ), S( S , Fi ), S( U , Fi )}. Tuy nhiên có khả năng xảy ra là Fi ≠ Fj
nhƣng max{(Y, Fi)} = max{(Y, Fj)}, Y{ E , V , G , S , U }, tức là gi=gj, điều này dẫn

đến việc đánh giá là không công bằng.
Để khắc phục các nhƣợc điểm trên ta có phƣơng pháp mới để đánh giá bài làm
của học sinh nhƣ sau.
2.2. Phương pháp mới để đánh giá bài làm của học sinh [7]
- Giả sử có 11 cấp để đánh giá độ thỏa mãn với mỗi câu trả lời của học sinh nhƣ bảng
sau:
Cấp thỏa mãn

Độ thỏa mãn

EG (Extremely good - Tuyệt vời)

100%

VVG (Very very good - Rất rất tốt)

91% - 99%

VG (Very good - Rất tốt)

81% - 90%

G (Good - Tốt)

71% - 80%

MG (More or less good - Khá tốt)

61% - 70%

F (Fair - Trung bình)

51% - 60%

MB (More or less bad - Khá yếu)

41% - 50%

B (Bad - Yếu)

25% - 40%

VB (Very bad - Rất yếu)

10% - 24%

VVB (Very very bad - Kém)

1% - 9%

EM (Extremely bad - Cực kém)

0%

8


Bảng 2.1: 11 cấp độ đánh giá độ thỏa mãn
Đặt X = {EG, VVG, VG, G, MG, F, MB, B, VB, VVB, EB},
và T : X -> [0, 1] là hàm đo độ thỏa mãn cao nhất của mỗi cấp thỏa mãn. Từ bảng 2.4

ta có:
T(EG) = 1, T(VVG) = 0.99, T(VG) = 0.90, T(G) = 0.80, T(MG) = 0.70,
T(F) = 0.60, T(MB) = 0.50, T(B) = 0.40, T(VB) = 0.24, T(VVB) = 0.09,
và T(EB) = 0.

(1)

Thứ
tự

Cấp thỏa mãn
EG VVG

VG

G

MG

F

MB

Độ
B

VB

VVB

EB

thỏa
mãn

Câu
hỏi 1
Câu
hỏi 2
...

Câu
hỏi n
Tổng số điểm:
Bảng 2.2: Trang chấm điểm mờ mở rộng
2.2.1. Thuật toán mới đánh giá bài làm của học sinh:
Bƣớc 1:
Giả sử điểm mờ cho câu hỏi i (Qi) của học sinh đƣợc ghi nhƣ ở bảng 2.3
Thứ
tự

Cấp thỏa mãn
EG VVG

VG

G

MG

F

MB

Độ
B

VB

VVB

EB

thỏa
mãn

...

Câu

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

y10

y11

hỏi i
...
Tổng số điểm:
Bảng 2.3: Điểm mờ cho câu hỏi i trong trang chấm điểm mờ mở rộng

9


Độ thỏa mãn D(Qi) của câu hỏi i đƣợc tính bằng công thức:
D(Qi) =

y1 x T ( EG)  y2 x T (VVG)  ...  y11 x T ( EB)
y1  y2  ...  y11

(2)

D(Qi) [0,1], D(Qi) lớn thể hiện độ thỏa mãn cao.
Bƣớc 2:

Giả sử bài kiểm tra có n câu hỏi, tổng số điểm là 100.
Gọi Si là điểm dành cho câu hỏi thứ i (Qi), với 0≤ Si ≤ 100 (1≤ i ≤ n) và
n

S
i 1

i

= 100.

Giả sử độ thỏa mãn của câu hỏi i (Qi) tƣơng ứng là DQi) (1≤ i ≤ n), khi đó điểm
đánh giá toàn bài của học sinh đƣợc tính theo công thức:
n

Tổng số điểm =

 S x D(Q )
i 1

i

(3)

i

Sau đây là ví dụ minh họa cho quá trình đánh giá này.
2.2.2. Ví dụ 2.3:
Xét một bài kiểm tra có tổng số điểm là 100, gồm 4 câu hỏi, điểm của mỗi câu
hỏi là:

Câu hỏi 1: 20 điểm
Câu hỏi 2: 30 điểm
Câu hỏi 3: 25 điểm
Câu hỏi 4: 25 điểm
và điểm của một học sinh đƣợc cho nhƣ trong bảng dƣới đây:
Thứ
tự

Cấp thỏa mãn
EG VVG

Câu
hỏi 1
Câu
hỏi 2
Câu
hỏi 3
Câu
hỏi 4

VG
0.9

G

0

0.8

0

0

0 0.6

0

0

0.8 0.7

0

0

0

0

0

MG

VB VVB

EB

mãn

MB

B

0

0

0

0

0

0 0.9424

0.9 0.5

0

0

0

0

0 0.705

0.5

0

0

0

0

0

0 0.815

0

0

0 0.5

0.9

0.2

0

F

Độ thỏa

0 0.27125

Tổng số điểm = 67

Nhận xét:

10


- Với thuật toán này do việc cải tiến các bƣớc tính toán và cấu trúc trang tính
điểm mờ (Fuzzy grade sheet) nên quá trình tính toán đơn giản, nhanh hơn và cho ra kết
quả tƣơng tự;
- Việc tính độ thỏa mãn của mỗi câu hỏi theo công thức (2) chính xác hơn, đảm
bảo công bằng hơn trong đánh giá;
- Ta có thể mở rộng trang chấm điểm mờ để đánh giá bài làm của học sinh chi
tiết hơn, chính xác hơn bằng cách thêm các tiêu chí cho mỗi câu hỏi, cụ thể nhƣ phần
trình bày dƣới đây:
2.3. Một phương pháp đánh giá tổng quát: [7]
Bƣớc 1:
Giả sử bài kiểm tra có n câu hỏi với thang điểm 100:
Câu hỏi 1: S1 điểm;
Câu hỏi 2: S2 điểm;
...
Câu hỏi n: Sn điểm.
Với mỗi câu hỏi, ta sẽ đánh giá theo 4 tiêu chuẩn:
C1: Độ chính xác;
C2: Đầy đủ;
C3: Ngắn gọn, súc tích;
C4: Rõ ràng, mạch lạc.
và quy định trọng số của các tiêu chuẩn là:
Tiêu chuẩn C1 có trọng số w1
Tiêu chuẩn C2 có trọng số w2
Tiêu chuẩn C3 có trọng số w3
Tiêu chuẩn C4 có trọng số w4

(Trong đó: wi [0,1], 1 ≤ i ≤ 4).
Ngƣời đánh giá sử dụng bảng chấm điểm mờ mở rộng tổng quát nhƣ hình dƣới
đây:

11


Chƣơng 3.

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH
BẰNG CÁCH SỬ DỤNG HÀM THUỘC VÀ LUẬT MỜ

3.1. Đặt vấn đề:
Ở chƣơng 2 chúng ta đã có một phƣơng pháp mới để chấm điểm bài kiểm tra
của học sinh, đánh giá kết quả học tập của học sinh bằng trang chấm điểm mờ mở
rộng. Phƣơng pháp này đảm bảo chính xác hơn, công bằng hơn trong đánh giá. Trong
chƣơng này chúng ta xét một phƣơng pháp nữa, dùng hàm thuộc và luật mờ để đánh
giá kết quả học tập của học sinh, một cách hữu ích để phân biệt thứ tự xếp hạng những
học sinh có điểm số nhƣ nhau. Phƣơng pháp này xét đến cả độ khó, độ phức tạp của
câu hỏi nên đảm bảo tính chính xác, công bằng trong đánh giá học sinh.
3.2. Thuật toán: [6]
Giả sử có m câu hỏi và n học sinh trả lời những câu hỏi này. Đặt Qi là câu hỏi
thứ i, Sj là học sinh thứ j, 1≤i≤m và 1≤j≤n. Ta có ma trận về độ chính xác và ma trận
về thời gian trả lời nhƣ sau:

S1

S2 ... Sn

Q1

 a11 a12
a
a22
A  ...  21
 ... ...
Qm 
 am1 am 2
Q2 

S1
Q1

a1n 

 a2 n 
... ... 

 amn 



S2 ... Sn

 t11 t12
Q2 
t
t
T  ...  21 22
 ... ...

Qm t
 m1 tm 2

t1n 

 t2 n 
... ... 

 tmn 



Ở đây aij biểu thị độ chính xác trong câu trả lời của học sinh Sj đối với câu hỏi
Qi, aij[0,1]; tij là thời gian trả lời của học sinh Sj đối với câu hỏi Qi, tij[0,1], 1≤i≤m
và 1≤j≤n.
Đặt G là ma trận điểm của các câu hỏi của bài kiểm tra:

12


Q1
Q2
G
...
Qm

 g1 
g 
 2
... 

 
 gm 

với gi là điểm của câu hỏi Qi, gi[1,100], 1≤i≤m.
Đặt IM là ma trận xác định độ quan trọng, C là ma trận về độ phức tạp của các câu hỏi:

ImS1 ImS2 ImS3 ImS4 ImS5
Q1

 im11 im12
im22
im
IM  ...  21
 ...
...

Qm
imm1 imm 2
Q2 

im13 im14
im23 im24
...

...

imm3 imm 4

im15 
im25 

... 

imm5 

CS1 CS2 CS3 CS4 CS5
Q1

C

Q2
...
Qm

c11
c
 21
 ...

cm1

c12 c13 c14 c15 
c22 c23 c24 c25 
... ... ... ... 

cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 

với ImS1, ImS2, ImS3, ImS4 và ImS5 là các cấp độ quan trọng: ImS1 = "thấp",
ImS2 ="khá thấp", ImS3 = "trung bình", ImS4 = "khá cao" và ImS5 = "cao". imij là độ
thuộc của độ quan trọng của câu hỏi Qi vào cấp độ quan trọng ImSj, imij[0,1], 1≤i≤m
và 1≤j≤5; CS1, CS2, CS3, CS4 và CS5 thể hiện các cấp độ phức tạp: CS1 = "thấp", CS2

= "khá thấp", CS3 = "trung bình", CS4 = "khá cao" và CS5 = "cao"; cij là độ thuộc của
độ phức tạp của câu hỏi Qi vào cấp độ phức tạp CSj, cij[0,1], 1≤i≤m và 1≤j≤5.
Theo ma trận về độ chính xác A và ma trận điểm G, chúng ta có thể tính tổng
điểm TSj của học sinh thứ j nhƣ sau:
m

TS j   aij x gi với 1≤j≤n

(1)

i 1

Nếu có nhiều học sinh có cùng tổng điểm, phƣơng pháp đƣợc trình bày dƣới
đây có thể xếp hạng chúng, cụ thể nhƣ sau:
Bƣớc 1:
Dựa vào ma trận về độ chính xác A và ma trận thời gian trả lời T, tính độ chính
xác trung bình AvgAi và thời gian trả lời trung bình AvgTi cho câu hỏi Qi:

13


n

AvgAi 

 aij
j 1

n

n

; AvgTi 

t
j 1

n

ij

với 1≤i≤m

(2)

Sau đó làm mờ chúng dựa vào 5 tập mờ "thấp", "khá thấp", "trung bình", "khá
cao" và "cao" nhƣ trên hình 3.1 và tính độ thuộc của chúng vào mỗi tập mờ một cách
tƣơng ứng.
thấp

1.0

khá thấp

trung bình

khá cao

cao

0.8
0.6
0.4
0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

X

Hình 3.1: Hàm thuộc của các tập mờ "thấp", "khá thấp", "trung bình",

"khá cao" và "cao"
Ta có ma trận mờ FA cho độ chính xác trung bình và ma trận mờ FT cho thời
gian trả lời trung bình nhƣ sau:
FAS1 FAS2 FAS3 FAS4 FAS5
Q1

 fa11
Q2 
fa
FA  ...  21
 ...
Qm 
 fam1

fa12 fa13

fa14

fa22 fa23

fa24

...

...

...

fam 2 fam3

fam 4

fa15 
fa25 
... 

fam5 

FTS1 FTS2 FTS3 FTS4 FTS5
Q1

 ft11
Q2 
ft
FT  ...  21
 ...
Qm 
 ftm1

ft12 ft13

ft14

ft22 ft23

ft24

...

...

...

ftm 2 ftm3

ft15 
ft25 
... 

ftm5 

ftm 4

14


với FAS1, FAS2, FAS3, FAS4 và FAS5 lần lƣợt biểu thị các tập mờ "thấp", "khá
thấp", "trung bình", "khá cao" và "cao", faij là giá trị thuộc của độ chính xác trung bình
của câu hỏi Qi vào tập FASj, faij[0,1], 1≤i≤m và 1≤j≤5; FTS1, FTS2, FTS3, FTS4 và
FTS5 lần lƣợt biểu thị các tập mờ "ngắn", "khá ngắn", "trung bình", "khá dài" và "dài",
ftij là giá trị thuộc của thời gian trả lời trung bình của câu hỏi Qi vào tập FTSj,
ftij[0,1], 1≤i≤m và 1≤j≤5.
Bƣớc 2:
Để đánh giá độ khó của mỗi câu hỏi ta sử dụng những luật mờ trên bảng 3.2. Ta
có thể cho độ chính xác và thời gian trả lời những trọng số khác nhau, trong luận văn
này tôi chọn trọng số của độ chính xác là 0.6 và trọng số của thời gian trả lời là 0.4.
Thời gian
trả lời

Độ chính xác

Thấp

Khá thấp

Trung bình

Khá cao

Cao

Ngắn

Trung bình

Khá thấp

Khá thấp

Thấp

Thấp

Khá ngắn

Khá cao

Trung

Khá thấp

Khá thấp

Thấp

bình
Trung bình

Khá cao

Khá cao

Trung bình

Khá thấp

Khá thấp

Khá dài

Cao

Khá cao

Khá cao

Trung bình

Khá thấp

Dài

Cao

Cao

Khá cao

Khá cao

Trung bình

Bảng 3.2: Ma trận luật mờ suy ra mức khó
Dựa vào ma trận mờ FA và FT, những luật mờ trong bảng 3.2 và trọng số của
độ chính xác và thời gian trả lời, ta tiến hành suy luận mờ để suy ra mức khó của câu
hỏi Qi thể hiện bằng một vectơ

.thấp
DQi  
 di1

khá thấp trung bình

di 2

khá cao

di 3

di 4

cao 

di 5 

với 1 ≤ i ≤ m, đƣợc tính nhƣ sau:
Theo bảng 3.2, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra mức khó của câu hỏi Qi là "thấp" nhƣ
sau:
Nếu độ chính xác là "khá cao" và thời gian trả lời là "ngắn" thì mức khó là
"thấp",
Nếu độ chính xác là "cao" và thời gian trả lời là "ngắn" thì mức khó là "thấp",
Nếu độ chính xác là "cao" và thời gian trả lời là "khá ngắn" thì mức khó là
"thấp",
Từ đó ta tính di1 theo công thức:

15


di1=max{(0.6 x fai4 + 0.4 x fti1), (0.6 x fai5 + 0.4 x fti1),
(0.6 x fai5 + 0.4 x fti2)}

(3)

di1 là độ thuộc của độ khó của câu hỏi Qi vào tập mờ "thấp", di1[0,1], 1≤i≤m.
Theo bảng 3.2, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra mức khó của câu hỏi Qi là "khá thấp"
nhƣ sau:
Nếu độ chính xác là "khá thấp" và thời gian trả lời là "ngắn" thì mức khó là
"khá thấp",
…
Từ đó ta tính di2 theo công thức:
di2=max{(0.6 x fai2 + 0.4 x fti1), (0.6 x fai3 + 0.4 x fti1),

(0.6 x fai3 + 0.4 x fti2), (0.6 x fai4 + 0.4 x fti2),
(0.6 x fai4 + 0.4 x fti3), (0.6 x fai5 + 0.4 x fti3),

(4)

(0.6 x fai5 + 0.4 x fti4)}
di2 là độ thuộc của độ khó của câu hỏi Qi vào tập mờ "khá thấp", di2[0,1],
1≤i≤m.
Theo bảng 3.2, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra mức khó của câu hỏi Q i là "trung
bình" nhƣ sau:
Nếu độ chính xác là "thấp" và thời gian trả lời là "ngắn" thì mức khó là "trung
bình ",
...
Từ đó ta tính di2 theo công thức:
di3=max{(0.6 x fai1 + 0.4 x fti1), (0.6 x fai2 + 0.4 x fti2),
(0.6 x fai3 + 0.4 x fti3), (0.6 x fai4 + 0.4 x fti4),

(5)

(0.6 x fai5 + 0.4 x fti5)}
di3 là độ thuộc của độ khó của câu hỏi Qi vào tập mờ "trung bình", di3[0,1],
1≤i≤m.
Theo bảng 3.2, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra mức khó của câu hỏi Qi là "khá cao"
nhƣ sau:
Nếu độ chính xác là "thấp" và thời gian trả lời là "khá ngắn" thì mức khó là
"khá cao",
...
Từ đó ta tính di4 theo công thức:
di4=max{(0.6 x fai1 + 0.4 x fti2), (0.6 x fai1 + 0.4 x fti3),
(0.6 x fai2 + 0.4 x fti3), (0.6 x fai2 + 0.4 x fti4),

16


(0.6 x fai3 + 0.4 x fti4), (0.6 x fai3 + 0.4 x fti5),

(6)

(0.6 x fai4 + 0.4 x fti5)}
di4 là độ thuộc của độ khó của câu hỏi Qi vào tập mờ "khá cao", di4[0,1],
1≤i≤m.
Theo bảng 3.2, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra mức khó của câu hỏi Qi là "cao" nhƣ
sau:
Nếu độ chính xác là "thấp" và thời gian trả lời là "khá dài" thì mức khó là "cao",
...
Từ đó ta tính di1 theo công thức:
di5=max{(0.6 x fai1 + 0.4 x fti4), (0.6 x fai1 + 0.4 x fti5),

(7)

(0.6 x fai2 + 0.4 x fti5)}
di5 là độ thuộc của độ khó của câu hỏi Qi vào tập mờ "cao", di5[0,1], 1≤i≤m.
Do đó ta có ma trận khó D nhƣ sau:
DS1 DS2 DS3 DS4

Q1  d11
d12

Q2 d 21 d 22


D
...  ...
...

Qm  d m1 d m 2

d13 d14
d 23

d 24

...

...

d m3

dm4

DS5

d15 
d 25 
... 

d m5 

với DS1="thấp", DS2 = "khá thấp", DS3 = "trung bình", DS4 ="khá cao" và
DS5="cao"
Bƣớc 3:

Để đánh giá tổn phí của mỗi câu hỏi ta sử dụng những luật mờ ghi trên bảng
3.3. Ta có thể cho độ khó và độ phức tạp những trọng số khác, trong luận văn này tôi
chọn trọng số của độ khó là 0.7 và trọng số của độ phức tạp là 0.3.
Độ phức
tạp
Thấp

Độ khó
Thấp

Khá thấp

Trung bình

Khá cao

Cao

Thấp

Thấp

Khá thấp

Khá thấp

Trung
bình

Khá thấp

Thấp

Khá thấp

Khá thấp

Trung bình

Khá cao

Trung bình

Khá thấp

Khá thấp

Trung bình

Khá cao

Khá cao

Khá cao

Khá thấp

Trung bình

Khá cao

Khá cao

Cao

Cao

Trung bình

Khá cao

Khá cao

Cao

Cao

Bảng 3.3: Ma trận luật mờ suy ra tổn phí

17


Dựa vào ma trận lớp mờ D và C, những luật mờ trong bảng 3.3 và trọng số của
độ khó và độ phức tạp, ta tiến hành suy luận mờ để suy ra tổn phí của câu hỏi Qi thể
hiện bằng một vectơ

. thấp
COQi  
 aci1

khá thấp

trung bình

aci 2

aci 3

khá cao

aci 4


aci 5 

cao

với 1≤i≤m, đƣợc tính nhƣ sau:
Theo bảng 3.3, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra tổn phí của câu hỏi Qi là "thấp" nhƣ
sau:
Nếu độ khó là "thấp" và độ phức tạp là "thấp" thì tổn phí là "thấp",
…
Từ đó ta tính aci1 theo công thức:
aci1=max{(0.7 x di1 + 0.3 x ci1), (0.7 x di1 + 0.3 x ci2),

(8)

(0.7 x di2 + 0.3 x ci1)}
aci1 là độ thuộc của tổn phí của câu hỏi Qi vào tập mờ "thấp", aci1[0,1],
1≤i≤m.

Theo bảng 3.3, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra tổn phí của câu hỏi Qi là "khá thấp"
nhƣ sau:
Nếu độ khó là "thấp" và độ phức tạp là "trung bình" thì tổn phí là "khá thấp",
…
Từ đó ta tính aci2 theo công thức:
aci2=max{(0.7 x di1 + 0.3 x ci3), (0.7 x di1 + 0.3 x ci4),
(0.7 x di2 + 0.3 x ci2), (0.7 x di2 + 0.3 x ci3),

(9)

(0.7 x di3 + 0.3 x ci1), (0.7 x di3 + 0.3 x ci2),
0.7 x di4 + 0.3 x ci1)}
aci2 là độ thuộc của tổn phí của câu hỏi Qi vào tập mờ "khá thấp", aci2[0,1],
1≤i≤m.
Theo bảng 3.3, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra tổn phí của câu hỏi Qi là "trung bình"
nhƣ sau:
Nếu độ khó là "thấp" và độ phức tạp là "cao" thì tổn phí là "trung bình",
…
Từ đó ta tính aci3 theo công thức:
aci3=max{(0.7 x di1 + 0.3 x ci5), (0.7 x di2 + 0.3 x ci4),
(0.7 x di3 + 0.3 x ci3), (0.7 x di4 + 0.3 x ci2),

18

(10)


0.7 x di5 + 0.3 x ci1)}
aci3 là độ thuộc của tổn phí của câu hỏi Qi vào tập mờ "trung bình", aci3[0,1],
1≤i≤m.

Theo bảng 3.3, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra tổn phí của câu hỏi Qi là "khá cao"
nhƣ sau:
Nếu độ khó là "khá thấp" và độ phức tạp là "cao" thì tổn phí là "khá cao",
…
Từ đó ta tính aci4 theo công thức:
aci4=max{(0.7 x di2 + 0.3 x ci5), (0.7 x di3 + 0.3 x ci4),
(0.7 x di3 + 0.3 x ci5), (0.7 x di4 + 0.3 x ci3),

(11)

(0.7 x di4 + 0.3 x ci4), (0.7 x di5 + 0.3 x ci2),
0.7 x di5 + 0.3 x ci3)}
aci4 là độ thuộc của tổn phí của câu hỏi Qi vào tập mờ "khá cao", aci4[0,1],
1≤i≤m.
Theo bảng 3.3, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra tổn phí của câu hỏi Qi là "cao" nhƣ
sau:
Nếu độ khó là "khá cao" và độ phức tạp là "cao" thì tổn phí là "cao",
…
Từ đó ta tính aci5 theo công thức:
aci5=max{(0.7 x di4 + 0.3 x ci5), (0.7 x di5 + 0.3 x ci4),
(0.7 x di5 + 0.3 x ci5)}

(12)

aci5 là độ thuộc của tổn phí của câu hỏi Qi vào tập mờ "cao", aci5[0,1],
1≤i≤m.
Từ đó ta lập đƣợc ma trận tổn phí nhƣ sau:

CoS1

Q1
Q2
CO 
...
Qm

CoS2 CoS3 CoS4

ac12
 ac11

 ac21 ac22
 ...
...

 acm1 acm 2

ac13 ac14
ac23
...
acm3

ac24
...
acm 4

CoS5

ac15 
ac25 

... 

acm5 

với CoS1="thấp", CoS2 = "khá thấp", CoS3 = "trung bình", CoS4 ="khá cao" và
CoS5 = "cao".
Bƣớc 4:

19


Để tính toán điều chỉnh giá trị của mỗi câu hỏi ta sử dụng những luật mờ ghi
trong bảng 3.4. Ta có thể cho độ quan trọng và tổn phí những trọng số ngang nhau: 0.5
và 0.5.
Độ quan trọng
Tổn phí
Thấp

Thấp

Khá thấp

Trung bình

Khá cao

Cao

Ít

Ít

Khá ít

Khá ít

Trung
bình

Khá ít

Ít

Khá ít

Khá ít

Trung bình

Khá nhiều

Trung bình

Khá ít

Khá ít

Trung bình

Khá nhiều

Khá nhiều

Khá cao

Khá ít

Trung bình

Khá nhiều

Khá nhiều

Nhiều

Cao

Trung bình

Khá nhiều

Khá nhiều

Nhiều

Nhiều

Bảng 3.4: Ma trận luật mờ điều chỉnh giá trị của câu hỏi
Dựa vào ma trận IM và CO, những luật mờ trong bảng 3.4 và trọng số vừa xác
định, ta suy luận mờ để có điều chỉnh giá trị của câu hỏi Qi đƣợc thể hiện bởi vectơ

VQi :

.ít
VQi  
vi1

khá ít

trung bình khá nhiều nhiều 

vi 2

vi 3

vi 4

vi 5 

với 1≤i≤m, đƣợc tính nhƣ sau:
Theo bảng 3.4, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra điều chỉnh giá trị của câu hỏi Q i là
"ít" nhƣ sau:
Nếu độ quan trọng là "thấp" và tổn phí là "thấp" thì điều chỉnh "ít",
…
Từ đó ta tính vi1 theo công thức:
vi1=max{(0.5 x imi1 + 0.5 x aci1), (0.5 x imi1 + 0.5 x aci2),

(13)

(0.5 x imi2 + 0.5 x aci1)}
vi1 là độ thuộc của độ điều chỉnh giá trị của câu hỏi Qi vào tập mờ "ít",

vi1[0,1], 1≤i≤m.
Theo bảng 3.4, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra điều chỉnh giá trị của câu hỏi Q i là
"khá ít" nhƣ sau:
Nếu độ quan trọng là "thấp" và tổn phí là "trung bình" thì điều chỉnh "khá ít",
...
Từ đó ta tính vi2 theo công thức:
vi2=max{(0.5 x imi1 + 0.5 x aci3), (0.5 x imi1 + 0.5 x aci4),

20


(0.5 x imi2 + 0.5 x aci2), (0.5 x imi2 + 0.5 x aci3),

(14)

(0.5 x imi3 + 0.5 x aci1), (0.5 x imi3 + 0.5 x aci2),
(0.5 x imi4 + 0.5 x aci1)}
vi2 là độ thuộc của độ điều chỉnh giá trị của câu hỏi Qi vào tập mờ "khá ít",
vi2[0,1], 1≤i≤m.
Theo bảng 3.4, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra điều chỉnh giá trị của câu hỏi Q i là
"trung bình" nhƣ sau:
Nếu độ quan trọng là "thấp" và tổn phí là "cao" thì điều chỉnh "trung bình",
...
Từ đó ta tính vi3 theo công thức:
vi3=max{(0.5 x imi1 + 0.5 x aci5), (0.5 x imi2 + 0.5 x aci4),
(0.5 x imi3 + 0.5 x aci3), (0.5 x imi4 + 0.5 x aci2),

(15)

(0.5 x imi5 + 0.5 x aci1)}

vi3 là độ thuộc của độ điều chỉnh giá trị của câu hỏi Qi vào tập mờ "trung bình",
vi3[0,1], 1≤i≤m.
Theo bảng 3.4, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra điều chỉnh giá trị của câu hỏi Q i là
"khá nhiều" nhƣ sau:
Nếu độ quan trọng là "khá thấp" và tổn phí là "cao" thì điều chỉnh "khá nhiều",
...
Từ đó ta tính vi4 theo công thức:
vi4=max{(0.5 x imi2 + 0.5 x aci5), (0.5 x imi3 + 0.5 x aci4),
(0.5 x imi3 + 0.5 x aci5), (0.5 x imi4 + 0.5 x aci3),

(16)

(0.5 x imi4 + 0.5 x aci4), (0.5 x imi5 + 0.5 x aci2),
(0.5 x imi5 + 0.5 x aci3)}
vi4 là độ thuộc của độ điều chỉnh giá trị của câu hỏi Qi vào tập mờ "khá nhiều",
vi4[0,1], 1≤i≤m.
Theo bảng 3.4, ta tìm đƣợc những luật mờ suy ra điều chỉnh giá trị của câu hỏi Q i là
"nhiều" nhƣ sau:
Nếu độ quan trọng là "khá cao" và tổn phí là "cao" thì điều chỉnh "nhiều",
...
Từ đó ta lập đƣợc ma trận điều chỉnh V nhƣ sau:
VS1 VS2

Q1
Q2
...
Qm

VS3 VS4

VS5

21


v12 v13
 v11

 v21 v22 v23
 ...
... ...

vm1 vm 2 vm3

V

v15 
v25 
... 

vm5 

v14
v24
...
vm 4

với VS1="ít", VS2 = "khá ít", VS3 = "trung bình", VS4 ="khá nhiều" và
VS5="nhiều". Từ đó ta điều chỉnh giá trị cuối cùng của câu hỏi Qi bằng tính toán sau:
advi 

0.1 x vi1  0.3 x vi 2  0.5 x vi 3  0.7 x vi 4  0.9 x vi 5
0.1  0.3  0.5  0.7  0.9

(18)

với 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 và 0.9 lần lƣợt là các giá trị đƣợc giải mờ của các tập mờ
"ít", "khá ít", "trung bình", "khá nhiều" và "nhiều"; advi là giá trị điều chỉnh cuối cùng
của câu hỏi Qi, 1 ≤ i ≤ m.
Bƣớc 5:
Giả sử có k học sinh có cùng tổng số điểm, ta xây dựng ma trận EA cho nhóm
học sinh này, cụ thể nhƣ sau:
ES1

ES2

...

Q1  ea11 ea12
Q2  ea21 ea22

EA 
...  ...
...

Qm eam1 eam 2

ESk

ea1k 


... ea2 k 
... ... 

... eamk 

...

với eaij là độ chính xác trong câu trả lời câu hỏi Qi của học sinh thứ j (ESj),
eaij[0,1], 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ k.
Bƣớc 6:
Dựa vào các điều chỉnh advi (1 ≤ i ≤ m), tính tổng của sự chênh lệch của những
học sinh có cùng tổng số điểm theo công thức sau:
k

m

SOD j   (eaij  eaip ) x gi x (0.5  advi )
p 1 i 1

(19)

với 1 ≤ j ≤ k. Rồi sắp xếp các giá trị SODj (1 ≤ j ≤ k) theo thứ tự giảm dần, ta
đƣợc thứ tự mới của những học sinh này.
3.3. Ví dụ: [6]
Giả sử có 5 câu hỏi Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 và 10 học sinh tham gia trả lời với độ
chính xác (A), thời gan trả lời (T), điểm cho các câu hỏi (G), độ quan trọng (IM) và độ
phức tạp (C) nhƣ sau:

S1

Q1
Q2
Q3

S2

S3 S4

S5

S6 S7

22

S8 S9 S10


A

0.59 0.35 1 0.66 0.11 0.08 0.84 0.23 0.4 0.24 
0.01 0.27 0.14 0.04 0.88 0.16 0.04 0.22 0.81 0.53 


0.77 0.69 0.97 0.71 0.17 0.86 0.87 0.42 0.91 0.74 


0.73 0.72 0.18 0.16 0.50 0.02 0.32 0.92 0.90 0.25 
0.93 0.49 0.08 0.81 0.65 0.93 0.39 0.51 0.97 0.61 

Q1

Q2
T  Q3
Q4
Q5

S1
0.7
1.0

 0

0.2
 0

Q1
Q2
G  Q3
Q4
Q5

10 
15 
 
 20 
 
 25 
30 

S2
0.4

0
0.1
0.1
0.1

S3
0.1
0.9
0
0
1

S4
1
0.3
0.1
1
1

S5 S6 S7 S8
0.7 0.2 0.7 0.6
1 0.3 0.2 0.8
0.9 1 0.2 0.3
1 0.3 0.4 0.8
0.6 1 0.8 0.2

S9
0.4
0
0.1

0.7
0.8

S10
0.9 
0.3 
0.4 

0.5 
0.2 

IMS1 IMS2 IMS3 IMS4 IMS5

Q1
Q2
IM  Q3
Q4
Q5

0
0
0
0 0.33 0.67

0 0
0

0
1 0
0 0.07 0.93

1 
0 0 
0.15 0.85

0
0 
0
0 
0

CS1 CS2 CS3 CS4 CS5
Q1
Q2
C  Q3
Q4
Q5

0 0.85 0.15
0 0 0.33

0 0
0

0.56 0.44 0
0 0 0.7

0 
0.67 0 
0.69 0.31


0
0 
0.3 0 
0

Từ ma trận A, ma trận G và công thức (1), ta tính đƣợc tổng điểm của mỗi học
sinh là: S1=67.6, S2=54.05, S3=38.4, S4=49.7, S5=49.7, S6=48.8, S6=46.1, S7=52.3,
S8=85.95 và S10=49.7.
Vì 3 học sinh S4, S5, S10 có cùng tổng số điểm (49.7) nên chúng đƣợc xếp cùng
một mức: S9>S2>S8>S4=S5=S10>S6>S7>S3. Ta sẽ vận dụng phƣơng pháp trên để phân
biệt 3 học sinh này.
Theo thuật toán trên ta tính đƣợc SOD1 = 3.15; SOD2 = -5.3 ; SOD3 = 2.15.

23


Vì SOD1 > SOD3 > SOD2 nên thứ tự của 3 học sinh này là S4 >S10 > S5.
Vậy thứ tự của cả 10 học sinh là:
S9 > S2 > S8 > S4 > S10 > S5 > S6 > S7 > S3.

24


KẾT LUẬN
Trên cơ sở những kiến thức cơ bản về tập mờ, luật mờ tôi đã nghiên cứu việc
xây dựng một hệ thống thông tin hỗ trợ đánh giá học sinh gồm phƣơng pháp mới để
chấm điểm bài làm của học sinh dùng trang chấm điểm mờ và phƣơng pháp đánh giá
kết quả học tập của học sinh dùng hàm thuộc và luật mờ.
Phƣơng pháp mới để chấm điểm (chƣơng 2) đảm bảo tính chính xác, công bằng

hơn. Nếu độ quan trọng của bài kiểm tra là cao ta có thể mở rộng trang chấm điểm mờ
để đánh giá bài làm của học sinh chi tiết hơn, chính xác hơn bằng cách thêm các tiêu
chí cho mỗi câu hỏi nhƣ ở bảng 2.7; ngƣợc lại nếu tính quan trọng của để kiểm không
cao ta có thể dùng ít hơn 11 cấp để đánh giá độ thỏa mãn với mỗi câu trả lời của học
sinh (Ví dụ 9 cấp, 7 cấp) - việc chấm điểm vì thế mà đơn giản hơn. Tôi cũng đã trình
bày cách sử dụng trang chấm điểm mờ để đánh giá toàn diện học sinh theo các tiêu chí
nhƣ kết quả học tập, ý thức học tập, thái độ học tập...
Phƣơng pháp đánh giá kết quả học tập của học sinh dùng hàm thuộc và luật mờ
(chƣơng 3) xét đến cả độ khó, độ phức tạp của câu hỏi, giúp phân biệt đƣợc thứ tự xếp
hạng những học sinh có điểm số nhƣ nhau, đánh giá độ khó, độ phù hợp của đề kiểm
tra. Tùy theo yêu cầu của từng loại đề kiểm tra, mức điểm của những học sinh bằng
điểm nhau mà thay đổi trọng số của độ chính xác, thời gian trả lời, độ khó, ... của câu
hỏi cho phù hợp.
Cuối các chƣơng 2 và chƣơng 3 đều có chƣơng trình máy tính để tính điểm, chỉ
cần nhập dữ liệu cần thiết, chạy chƣơng trình là có ngay kết quả. Việc tính toán này
cũng có thể thực hiện trong bảng tính.
Với yêu cầu đổi mới kiểm tra đánh giá trong giáo dục hiện nay, tôi hy vọng
những nhà quản lý giáo dục, các thày cô giáo nghiên cứu, áp dụng các phƣơng pháp
đánh giá trên trong đánh giá học sinh của mình.

25