Dao động tử biến dạng tổng quát

Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS- TS
Nguyễn Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô trong
suốt quá trình học tập đến hoàn thành luận văn này. Chính sự quan tâm và tận
tình chỉ bảo của cô đã tạo động lực và cho em có thêm niềm tin, sự cố gắng để
thực hiện luận văn này và mong muốn có những phát triển tiếp theo.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, các thầy giáo, cô giáo
khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, quan
tâm chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp
đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn
thành luận văn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Kiều Văn Thực


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu riêng của tôi.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và lòng biết ơn sâu
sắc nhất.
Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ công
trình nào khác.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Học viên

Kiều Văn Thực

MỤC LỤC
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................... 5
NỘI DUNG
CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ .............................................. 7
1.1 Dao động tử Boson biến dạng .............................................................. 7
1.1.1 Dao động tử Boson ............................................................................ 7
1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q ....................................................... 10
1.2 Dao động tử Fermion biến dạng .......................................................... 12
1.2.1 Dao động tử Fermion ...................................................................... 12
1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q .................................................... 13
1.3 Dao động tử có thống kê vô hạn .......................................................... 14
1.4 Dao động tử biến dạng q - tổng quát .................................................. 15
1.5 Dao động Paraboson biến dạng .......................................................... 20
1.5.1 Dao động Paraboson ....................................................................... 20
1.5.2 Dao động Paraboson biến dạng ...................................................... 20
1.6 Đại số lượng tử SU(2) ......................................................................... 22
1.6.1 Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) .................................................. 22
1.6.2 Đại số biến dạng một tham số SU(2)q .............................................. 25
1.6.3 Đại lượng biến dạng hai tham số SU (2) pq ......................................... 28
CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT ................... 32
2.1 Dao động tử biến dạng tổng quát ......................................................... 32
2.2 Các vấn đề cơ bản của lý thuyết biến dạng ......................................... 35
2.2.1 Tác dụng của toán tử a, a+ lên vector riêng của toán tử số N ........... 35
2.2.2 Cấu trúc đại số Lie biến dạng ........................................................... 36


2.2.3 Phép đồng nhân, hệ số Clebsh- Gordan ............................................. 39
CHƯƠNG III. THỐNG KÊ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ
3.1 Phân bố thống kê của toán tử F .......................................................... 42

3.2 Phân bố thống kê.................................................................................. 42
3.2.1 Phân bố thống kê của dao động tử Boson bién dạng – q .................... 42
3.2.2 Phân bố thống kê của dao động từ Fermion biến dạng – q ................ 43
3.3 Phân bố thống kê của dao động tử có có thống kê vô hạn .................... 44
3.4 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng – q tổng quát .................. 45
3.5 Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson....................................... 46
3.6 Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng – q ................ 47
KẾT LUẬN .............................................................................................. 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... 50


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi nghiên cứu các hệ vật lý, ta thường gặp các tính chất đối xứng của
chúng. Đối xứng đóng một vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Đối xứng
chuẩn dẫn đến những lý thuyết chuẩn, đối xứng không gian tinh thể là cơ sở
của vật lý chất rắn, đối xứng conform là đối xứng quan trọng trong lý thuyết
dây…… Vì vậy, sự phát triển của vật lý hiện đại gắn liền với việc nghiên cứu
đối xứng.
Trong những năm gần đây đối xứng lượng tử mà cấu trúc toán học của
nó dựa trên nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào
nhiều lĩnh vực của vật lý. Phát minh của Macfarlane và Biedenham về sự thực
hiện, đại số lượng suq(2) trong thuật ngữ q- dao động tử đã làm nảy sinh ra
việc áp dụng đối xứng lượng tử trong các vấn đề hiện thực của vật lý. Nhìn
vào lịch sử vật lý, ta thấy rằng các nhà vật lý đã nhiều lần biến dạng các quy
luật vật lý cơ bản. Lý thuyết mới (đã biến dạng) là tổng quát hơn và chứa lý
thuyết ban đầu như là một trường hợp giới hạn khi tham số biến dạng tiến đến
một giá trị đặc biệt. Ví dụ: Cơ học tương đối tính sẽ trở thành cơ học Newton
khi tham số biến dạng  

v
 0 hay cơ học lượng tử cho lại các kết quả của
c

cơ học cổ điển trong giới hạn

S
S
v
  (S là tác dụng). Vì các tham số và


c

là các tham số không có thứ nguyên, ý nghĩa vật lý của biến dạng q cũng sẽ
kết hợp với một hằng số vật lý cơ bản nào đó.
Phải nói rằng ý tưởng về nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử là một ý
tưởng mới mẻ, có tính đột phá. Nội dung của ý tưởng này đưa lý thuyết thoát
khỏi phạm vi các nhóm cổ điển, điều này đã dẫn đến nhiều thống kê mới với


các hạt được đoán nhận: Thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q- biến dạng
(hạt quon), thống kê- biến dạng (hạt guon), thống kê para (parafermion,
paraboson …). Nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử có khả năng đưa đến một
phát triển mới trong lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ
học và đặt ra những vấn đề toán học như lý thuyết biểu diễn của những nhóm
lượng tử.
Nghiên cứu đối xứng lượng tử là một công việc cần thiết, hiện đại và có
thể dẫn đến nhiều kết quả mới.
Với mong muốn nghiên cứu một số vấn đề theo các phương hướng phát

triển mới của biến dạng lượng tử trong lý thuyết trường lượng tử vật lý hạt cơ
bản, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài ‘Dao động tử biến dạng tổng quát’ .
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số kiến thức tổng quan về nhóm lượng tử và dao
dộng tử biến dạng tổng quát .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về dao động tử biến dạng tổng quát.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đại số lượng tử của các dao động tử biến dạng ,Dao động tử biến dạng
tổng quát. và tính thống kê của các dao động tử lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của VLLT - VLT.
-Các phương pháp của nhóm đối xứng lượng tử.
6. Những đống góp mới của đề tài
Đưa ra tổng quan về các dao động lượng tử, biểu diễn của các dao động
lượng tử và tính thống kê của các dao động lượng tử
Đây là tài liệu hữu ích cho những ai quan tâm tới dao động lượng tử


CHƯƠNG I

DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ
1.1 Dao động tử Boson biến dạng.
1.1.1 Dao động tử Boson.
Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đơn mode thỏa mãn hệ thức
 a, a    1

(1.1)

Toán tử số dao động N có dạng:

N  aa

(1.2)

Trong đó:
a: là toán tử hủy dao động tử

a  : là toán tử sinh dao động tử
Kết hợp (1.1) với (1.2) ta có:
(1.3)

 N , a   aa  , a  
 a  a  , a    a, a  a   a
 N , a    aa  , a   
 a  a  , a     a, a   a   a 

(1.4)

Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 thỏa mãn điều kiện
a 0 =0

(1.5)

Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong
không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:
 n

n

a 



n!

0

n = 0, 1, 2, …

(1.6)


Ta có toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử
dao động a, a  như sau:
Q


a  a 

2m

Pi

m 
a  a
2

Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P
là:
i
 a   a  a   a   


2
i
 a, a     a  , a 

2
 i  a, a  

 Q, P  





(1.7)

Thế (1.1) vào (1.7) suy ra:

 Q, P   i

(1.8)

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau:
2
2
1 2 1
 
 
P  m 2Q 2  
a  a 

a  a 


2m
2
4
4
 


a a  aa   
2a  a   a, a   

2
2
(1.9)


2
N

1


2

H





Phổ năng lượng của dao dộng điều hòa được xác định bởi phương trình
hàm riêng và trị của toán tử H:

H n  En n
H
Suy ra:



 2 N  1 n   2n  1 n
2
2


En 


 2n  1
2

n= 0, 1, 2,…

(1.10)

Nhận xét: Công thức (1.10) là công thức xác định năng lượng của dao
động tử điều hòa một chiều đã được cơ học lượng tử giải một cách chính xác.
Từ hệ thức (1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:

 Q 

2

 P 

2

2
2
2
  2n  1 
4
4

(1.11)

Thật vây, ta thấy:
(1.12)

Q  nQ n 0
P  n P n 0

Do đó độ lệch toàn phương

 Q 

2

,  P 

2

của tọa độ và xung lượng

là:

 Q 

2



Q 

Q



2

 Q 2 

2
2
n  a  a  n 
2m
2

n a  a n  n aa  n 

2m
2

n 2N  1 n 
2m








2

 2n  1
2m

 P 

2

P 



P



2

 P

2



2
m
n  a  a  n 
2
2


n a  a n  n aa  n 
2m
2

n 2N  1 n 
2m
2

 2n  1
2m







Suy ra:

 Q 

2

 P 

2
2
2
  2n  1 
4
4

2

(1.13)

1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q.
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử
hủy và sinh dao động tử a, a  theo hệ thức sau:
aa   qa  a  q  N

(1.14)

Với q là thông số biến dạng
Trong phương trình ( 1.14) nếu q=-1 thì trở về hệ thức dạng dao động

tử (1.1).
Toán tử số dao động tử thỏa mãn phương trình hàm riêng,trị riêng:
N n q n n

(1.15)

q

Trong đó:
 n

n

q

a 


 nq !

0

(1.16)


 nq 

Với:

qn  qn

q  q 1

(1.17)

Thật vậy:

1

N n q  aa n q  aa



1

 nq !
n

 nq !
1

 nq !

n n

 n

a 

aa  a  0 

an  a 

n 1

0 

0 

1

n
a   a,  a    0 

 nq ! 

1

 nq !

 n

a 

0 
(1.18)

q

Và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 N , a   a
 N , a    a 

(1.19)

Ta có thể chứng minh được:
a  a n q   nq n

q

aa n q   n  1q n

(1.20)



q

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái n q thì:
a  a   n q

(1.21)

aa    n  1q

Trong khi đó ta có:
 n

n

Với

q

a 


 nq !

0

 nq !  1q  2q 3q ... nq

(1.22)


Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và xung
lượng P có dạng:
1 2 1
1
P  m 2Q 2    a  a  aa   
2m
2
2
1
H    N q   N  1q
2
H



(1.23)



Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q:
H n q  En n

(1.24)

q

1
   N q   N  1q n q  En n
2
1
 En    N q   N  1q
2







q

n = 0,1,2,… (1.25)



Khi q=1 thì phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q sẽ trở về phổ
năng lượng của dao động tử một chiều (1.10).

En 


 2n  1
2

n= 0, 1, 2,…

1.2 Dao động tử Fermion biến dạng.
1.2.1 Dao động tử Fermion
Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức

b, b   1
b  b   0


2

 2

(1.26)

Toán tử số dao động N có dạng:

N  b b
Trong đó:

b: là toán tử hủy dao động tử
b : là toán tử sinh dao động tử

(1.27)


Tương tự: N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 N , b   b

(1.28)

 N , b    b 

Đại số (1.13) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là
vector đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:
n

n   b  0

n= 0, 1

( N= 0,1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli)
Khi ấy tác dụng của toán tử b, b lên trạng thái n :
b 0 0

b1 0

b 0  1

b 1  0

1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q
Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh
dao động tử b và hủy dao động tử b như sau:

bb   qb b  q  N
2

b2   b   0

(1.29)

Trong phương trình (1.27) nếu q=1 thì trở về hệ thức dạng dao động tử (1.13).
Toán tử số dao động tử N thỏa mãn điều kiện :

 N , b   b
 N , b    b 

(1.30)

Và N cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng,trị riêng như sau:
N n

q

n n

(1. 31)

q

Với trạng thái riêng đã chuẩn hóa của N được viết dạng:
 n

nq

b 

nq !

0

(1.32)


n

nq

Ở đây:

q  n   1 q n

q  q 1

(1.33)

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái n q thì:
b  b   N q

bb    N  1q

(1.34)

Khi q=1 thì ta có dao động Fermion điều hòa (1.13).

 Q 

2

 P 

2

2
2
2
  2n  1 
4
4

1.3 Dao động tử có thống kê vô hạn
Khái niệm thống kê vô hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là
biểu diễn qua những số hạng của toán tử sinh a  ,toán tử hủy a trong khuôn
khổ lý thuyết trường:
aa   1

(1.35)

Toán tử số dao động tử N thỏa mãn  N , a   a có dạng:

k



N  a a  a a aa  ...    a








a

k

(1.36)

k 1

Trạng thái riêng chuẩn hóa của toán tử N:
n

N   a  0

(1.37)

N n n n

(1.38)

Khi đó:

Ta có thể thấy rằng:


k



N n  a



a

k

k 1
k



 a



 n

 a a 
k

0 

k 1
k



 a



 n k

 a 

0

k 1

n



 a





0 n n

k 1

Và ta cũng có:

n0

aa n  n

(1.39)

Thật vậy:
n

aa n  aa  a  0
 a  aa   a  
 a  a 

n 1

n 1

0

0

n

  a  0  n
Nhận xét: trạng thái n

 n  0  là

trạng thái riêng của a  a với trị

riêng tương ứng bằng 1.
Đặc biệt n=0 thì

aa 0  0 .

1.4 Dao động tử biến dạng q tổng quát
Gần đây trong công trình nghiên cứu của GS.TSKH Đào Vọng Đức đã
đề nghị một dạng biến dạng q tổng quát bao gồm các dao động tử biến dạng q
thông thường và cả các dao động tử có thống kê vô hạn.
Hệ dao động tử Boson thỏa mãn:

aa   qa  a  q cN
Trong đó: q,c là các tham số
Thật vậy,với c=-1 thì (1.40) trở về (1.14)

(1.40)


aa   qa  a  q  N

Đây chính là biến dạng q thông thường.
Với c  0; q  0 thì (1.40) trở về (2.33)

aa n  n

Đây chính là dao động tử có thống kê vô hạn.
Từ (1.40) suy ra:
n

n

c

a  a    q n  a   a   nq  a  
c

 nq

Với:

n 1

q cN

(1.41)

q n  q cn

q  q c

Toán tử số dao động tử N được thực hiện trong không gian Fock với cơ
sở là các vector riêng đã chuẩn hóa n :
 n

n

Với :

c 
q



a 

c 

 n q

(1.42)

0
!

 n q !  1q   2q  3q  ... nq 
c

c

c

c

c

Và thỏa mãn hệ thức sau:
c

a  a   N q

(1.43)

c

aa    N  1q

Ta có thể chứng minh bằng phương pháp qui nạp hệ thức như sau:
c

a  a n   n q n
Với n = 0:
c 

a  a 0  0 0   0q 0
Với n=1:


 1

 1

a 

aa 1  aa

c

0 

a 

c

1q

aa 0 

1q

!

q

 qa  a  0 

!

 1



a 

1q  !
c

cN

 1



a 

c

1q  !
c

q 0 0  1 1  1q 1

Với n=2
 2



a a2

a 
a a

 2



1 

 2q 
c

a 

 2q 
c

aa 1 

 2



a 

q
 
c

 2q

cN

 qa  a  1 

 2



a 

c

q  a 

q1 

c

 2q

 qc 2 

a1

 2q
q  a 

2

c

 2q
 qc 2 

2

q  a 

cN

 qa  a  0

!

2

c

 2q

q
0
!

c

  q c  q  2   2q 2
c

 a  a 2   2q 2
c

Như vậy: a  a 2   2q 2 đúng với n=0,1,2. Giả thiết nó vẫn đúng với
n=k tức là:

c

a  a k   k q k
Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n=k+1,nghĩa là:
c

a  a k  1   k  1q k  1
Ta có:

aa



a a k 1 



a k

 k  1q 
c

a

 k  1q 
c

a



aa  k

q
 

cN

c

 k  1q
q

a

cN

c 

 qa  a  a  a k
qa 

k 

c 

 k  1q

 k  1q
c 

 q cN k  1 

qa   k q

c 

 k  1q


q k  q ck 
  q cN  q
k 1
c 
q

q


c

  k  1q k  1
Suy ra điều phải chứng minh.
c

Vì vậy:

a  a n   n q n

Ta chứng minh:

aa    N  1q

Từ (1.40) ta có:

c

k

aa k


c 

aa   q cN  qa  a  q cN  q  N q
q N  q cN
q
 q cN
c
qq
q N 1  q cN 1  q cN 1  q cN c

q  qc
c 

 aa    N  1q
Cuối cùng (1.43) đã được chứng minh.
Hệ thức giao hoán giữa Q và P:

Q, P   i  a, a  
 i  aa   a  a 



(1.44)

c

 c

 i  N  1q   nq



Và sử dụng đồng nhất thức sau:

  x q   q c1  xq 
c

c

1

 x  y q   q y  x q   qcx  y q 
c

c

c

Tương tự với hệ Fermion thì biến dạng q tổng quát thỏa mãn hệ thức:

bb   qb b  q cN

(1.45)

Ta cũng chứng minh được:
n

n

n

c

b  b     1 q n  b   b  nq  b  

n 1

q cN

(1.46)

 n

Và: n

c

q



b 

c

nq

0
!
n 1

Với:

c

nq

q cn   1 q n

q  qc

(1.47)


Trong không gian Fock trên ta có hệ thức sau:
c

b  b   N q

c 

bb    N  1q

1.5 Dao động Paraboson biến dạng
1.5.1 Dao động Paraboson
Dao động parabose đơn giản tuân theo quy tắc giao hoán
N

 a, a    1   1 ( p  1)

ở đây p là bậc của thống kê para. Toán tử số N là
N

1
p
 aa   a  a  
2
2

Toán tử a  và a là những toán tử sinh và hủy. Tác dụng của chúng lên
n

trạng thái riêng n   a   0 cho

an 


a n 

f (n) n  1

(1.48)

f (n  1) n  1

1
f (n)  n  1  ( 1) N  ( p  1)
2

Với

1.5.2 Dao động Paraboson biến dạng
Quy tắc giao hoán của dao động paraboson biến dạng
1  p 1 1

aa   q

N

N
1
a  a   1   1
2



 p  12 1   1  p  2 q

c

q

N

c

c  2 p

q

(1.49)
Ở đây dùng ký hiệu

 x q  
c

q x  q cx
q  qc

Trong đó q và c là những thông số

(1.50)

 cN
q


Khi p=1 thì công thức (1.50) đưa về quy tắc giao hoán của dao động
boson thông thường

aa   qa  a  q cN

(1.51)

Trong không gian Fock véctơ trạng thái:
N

n   a  0

(1.52)

Từ hệ thức (1.50) và (1,52) có:

1
c
(c) 
N
N
1
aa  n   1   1  n  p q  1   1  n  1q  n
2
2

1
(c)
(c ) 
N

N
1
a  a n   1   1  n q  1   1  n  p  1q  n
2
2










aa  n  q

1
n
n  1 1
2








 p 1 1

N

ana 

1
2



 n 1
 2 

q

2 1 c  K

f ( N ) q cN  a  

(1.53)

n 1

K 0

  n2 

n 1
N
1    2(1c ) K


 q
 1 q c 1( p 1)( 1) f ( N  1) q cN  a  
2  K 0




(1.54)
Trong đó



f ( N )  1   1

N

 p   1   1  p  2
c 

N

q

(c)
q

q c  2 p

(1.55)

Những phương trình (1.53), (1.54) cho ta hệ thức sau đối với trạng thái
n

chuẩn  a   0


N
1
0 a n a  n 0  q c ( n1)
2

 n1

  n2 

 
2
n




2(1c ) k
f (n  1)    q 2(1c ) k  1 q c1( p 1)( 1) f (n) 
 q
 k 0

 k 0







(1.56)
1.6 Đại số lượng tử SU(2)
1.6.1 Biểu diễn dao động tử đại số SU (2).
Giả sử có các toán tử boson ai( i=1,2) thỏa mãn các hệ thức giao hoán

 ai , a j    ij
 ai , a j   0

(1.57)

Đưa vào định nghĩa toán tử số hạt

N i  ai ai ,
 N i , N j   0
các véc tơ riêng trực chuẩn của toán tử số hạt là:
n1 , n2

 n1
1

 n2
2

a  a 


n1 !n2 !

0

(1.58 )

Xét toán tử

Ji 

1  
 a1 a2  i
2

 
a1
a2

Trong đó  i là những ma trận Pauli
Tức là:

1 
a1 a2  a2 a1  ,

2
1
J 2   a1 a2  a2 a1  ,
2i
1
J 3   a1 a1  a2 a2  ,

2
J1 

(1.59)


Có thể thấy rằng dựa vào các hệ thức giao hoán ( 1.57) ta tìm được hệ
thức giao hoán của các Ji
 J i , J j   i ijk J k

(1.60)

Đây chính là đại số Lie SU (2). Vậy có thể biểu diễn đại số SU (2) qua
các toán tử boson. Biểu thức ( 1.58) chính là các véc tơ trong không gian
Hilbert của biểu diễn. Tuy nhiên vấn đề của ta là từ không gian biểu diễn
( 1.58) tìm ra các không gian con bất khả quy
Xét toán tử Casimir:

C  J12  J 22  J 32

Đặt

J


1
 N1  N 2 
2

1 

a1 a1  a2 a2 

2

(1.61)

Ta có:
C= J ( J+1)

(1.62)

Đối với biểu diễn bất khả quy toán tử Casimir có giá trị xác định cho
nên từ dạng ( 1.62) của C ta thấy có thể đặc trưng cho biểu diễn SU (2) bởi
các giá trị riêng của toán tử J mà ta ký hiệu là j
Theo định nghĩa của Ni thì từ ( 1.61) ta có:
j

1
 n1  n2 
2

(1.63)

Ta thấy j làm một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm.
Để xác định các véc tơ riêng của không gian con của không gian
Hibert, biểu diễn bất khả quy của đại số SU (2) ta nhận xét rằng biểu diễn này
phải được xác định bởi hai giá trị riêng ( do không gian chung được xác định
bởi hai số n1 và n2). Ta nhận xét rằng toán tử J3 giao hoán với J tức là nó có

giá trị riêng xác định. Ta ký hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của J3 ở
(1.59) ta có:
m

1
 n1  n2 
2

(1.64)

Vậy biểu diễn bất khả quy của SU(2) trong không gian các véc tơ cơ sở
có thể đặc trưng bởi j và m liên hệ với n1 và n2 như sau:
n1  j  m

(1.65)

n2  j  m

Từ đó không gian con của các véc tơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là:

j, m 

jm

a  a 

1


2

j m

 j  m ! j  m !

0

(1.66)

Từ (1.64) và ( 1.63) ta thấy rằng với một j xác định thì m lấy 2j+ 1 giá trị
m=j, j-1,….., -j + 1, - j

(1.67)

vậy không gian biểu diễn bất khả quy có 2j + 1 chiều ta có thể tính được

1
1
j  m  1 j  , m  ,
2
2
1
1
a2 j , m  j  m  1 j  , m  ,
2
2
1
1
a1 j , m  j  m j  , m  ,
2

2
1
1
a2 j , m  j  m j  , m  ,
2
2
a1

j , m 

Từ đó ta tính được:
a1 a1

j , m   j  m  j , m 

Do đó suy ra

N1 j , m  n1 j , m ,
Đồng thời ta cũng tính được

(1.69)

(1.68)


a2 a2 j , m   j  m  j , m 

Vì vậy mà
j , m  (1.70)

N 2 j , m  n2

Hơn nữa biểu thức:

1
 N1  N 2 
2
J 3 j , m  m j , m 
J3 

(1.71)

Thì ta có

J

j , m 

J

j , m 

 j  m  1 j  m 

j , m  1 ,

 j  m  1 j  m 

j , m  1 ,

(1.72)

1.6.2 Đại lượng biến dạng một thông số SU(2)q
Nhóm lượng tử SU(2)q của những toán tử tự liên hợp J1, J2, J3 được mô
tả bởi những hệ thức
i
2
 J1, J 3   i J 2

 J1, J 2    2 J 3 4

 J1 , J 3   i

(1.73)

J1

Hay là:
1
2
 J3 , J     J 

 J  , J     2 J 3 q

(1.74)

Ở đây chúng ta đưa vào ký hiệu

 x q 

q x  qx
q  q 1

( 1.75)

Đại số này là sự biến dạng của đại số SU (2) được đặc trưng bởi thông
số biến dạng q. Trong trường hợp giới hạn q  1 thì  x q  x và đại số