Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdös-szekeres

1
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ..................................................................................................... 1
Lời cam doan .................................................................................................. 2
Lời mở đầu.....................................................................................................3-4

Chương 1 Tổng quan về giả thuyết Erdös-Szekeres và các bài
toán liên quan...................................................................................5
§1.1 Giả thuyết Erdös-Szekeres ......................................................................5
§1.2 Đánh giá cận trên và cận dưới của N (n) .............................................11
§1.3 Bài toán về đa giác lồi rỗng ................................................................... 13
§1.4 Đánh giá số đa giác lồi tạo thành từ n điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng
quát .................................................................................................................15

Chương 2 Một số công thức đánh giá số đa giác lồi rỗng trong
tập điểm trên mặt phẳng...............................................................22
§2.1 Mômen đan dấu của các đa giác lồi rỗng ...............................................22
§2.2 Đánh giá cận trên và cận dưới cho T2 và các cận liên quan...................31
§2.3 Các đánh giá trong không gian có số chiều cao hơn 2............................38
§2.4 Các bất đẳng thức liên quan đến X k .......................................................42
Kết luận..........................................................................................................68
Tài liệu tham khảo........................................................................................69


2

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội II, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn.

Tôi xin được cảm ơn Khoa sau đại học, Các Thày Cô trường Đại học Sư
phạm Hà Nội II và Viện Toán học, trường Phổ thông Trung học đã nhiệt tình
truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học.
Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình đã động viên và khích lệ tôi rất nhiều
trong thời gian nghiên cứu và học tập.

Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2011

Nguyễn Văn Toàn


3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Tạ Duy Phượng. Sô liệu và các kết
nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài
khác.
Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2011

Nguyễn Văn Toàn


4

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1935, Erdős-Szekeres đã đưa ra giả thuyết sau đây:
Giả thuyết Erdős-Szekeres

Mọi tập không ít hơn 1  2n2 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát (không có
ba điểm nào thẳng hàng) đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi.
Giả thuyết Erdős-Szekeres có ý nghĩa triết học sâu sắc: Từ một tập hợp (các
điểm bất kì trên mặt phẳng) hỗn độn, không có trật tự, nhưng (có số lượng
phần tử) đủ lớn, ta có thể tìm được một tập con có cấu trúc đẹp (đa giác lồi).
Bất chấp sự cố gắng của hàng trăm nhà toán học, giả thuyết Erdős-Szekeres
mới chỉ được chứng minh cho các trường hợp n  3,4,5,6. Trường hợp n  6
mới được chứng minh gần đây (2006) bởi Szekeres và Peters nhờ máy tính.
Trên con đường chứng minh giả thuyết Erdős-Szekeres, rất nhiều phương
pháp và bài toán mới đã xuất hiện. Năm 1978, Erdős đã phát biểu một bài
toán mới, đó là
Bài toán Erdős (về đa giác lồi rỗng)
Cho n là một số tự nhiên bất kì. Tồn tại hay không số nguyên dương nhỏ nhất
H (n), sao cho từ mọi tập chứa tối thiểu H ( n) điểm ở vị trí tổng quát trên

mặt phẳng, đều có thể chọn ra được n điểm là đỉnh của một đa giác lồi rỗng.
Liên quan đến hai bài toán trên, bài toán tính số đa giác lồi rỗng k đỉnh tạo
được từ tập n điểm trên mặt phẳng (ở vị trí tổng quát) là thú vị và quan trọng.
Luận văn Một số hệ thức liên quan đến giả thuyết Erdős-Szekeres có mục
đích trình bày tổng quan về giả thuyết Erdős-Szekeres và một số bài toán liên


5
quan, trong đó đặc biệt chú ý đến các hệ thức (đẳng thức và bất đẳng thức)
liên quan đến số các đa giác rỗng tạo được từ tập n điểm trên mặt phẳng.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là trình bày chứng minh các đẳng thức và bất đẳng
thức liên quan đến các đối tượng hình học nêu trong [4] và một số tài liệu liên
quan. Dựa vào các hệ thức này, một số công thức giải tích và công thức đánh
giá trong giả thuyết Erdős-Szekeres cũng sẽ được trình bày. Trong chừng

mực có thể, chúng tôi cũng cố gắng đi sâu tìm hiểu để thực hiện những tính
toán trong các trường hợp cụ thể và tìm ra các kết quả mới.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ nghiên cứu một hướng tiếp cận (qua các công thức giải
tích) giả thuyết Erdős-Szekeres và một số mở rộng của giả thuyết này.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn được giới hạn trong giả
thuyết Erdős-Szekeres trên mặt phẳng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để chứng minh các công thức, cần sử dụng các phương pháp: Qui nạp, phản
chứng, đánh giá,…và các công cụ của Giải tích, giải tích hàm, đại số tuyến
tính, hình học tổ hợp…
6. Giả thuyết khoa học
1. Trình bày tổng quan về một hướng tiếp cận giả thuyết Erdős-Szekeres qua
các công thức biểu diễn và công thức đánh giá.
2. Cố gắng đưa ra một số nhận xét, quan sát và đóng góp mới nhằm làm sáng
tỏ giả thuyết Erdős-Szekeres cho trong một số trường hợp cụ thể.


6

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT ERDöS-SZEKERES VÀ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
§1.1 Giả thuyết Erdös-Szekeres
Năm 1933, Esther Klein đã phát biểu và chứng minh bài toán sau đây.
Bài toán 1.1
Với năm điểm cho trước ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng)
bao giờ ta cũng tìm được bốn điểm tạo thành một tứ giác lồi.

Hình 1.1: ACDE là tứ giác lồi, nhưng ABCE không phải là tứ giác lồi.
Dưới đây là chứng minh của Klein.
Xét bao lồi của năm điểm (tập lồi nhỏ nhất chứa năm điểm đã cho) ở vị trí
tổng quát. Chỉ có ba khả năng khác nhau sau đây.
Khả năng 1 (Hình 1.2): Bao lồi của năm điểm là một ngũ giác ABCDE. Khi
ấy mọi bộ bốn điểm từ năm điểm ấy đều tạo thành tứ giác lồi (và điểm còn lại
nằm ngoài tứ giác lồi đó). Trong trường hợp này có tất cả C54  5 tứ giác lồi.


7
Đó chính là các tứ giác ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE. Tất cả các tứ
giác này đều không chứa điểm còn lại bên trong (điểm còn lại ở bên ngoài tứ
giác). Ta gọi các tứ giác này là tứ giác rỗng.
Ngoài ra, ta có tất cả C53  10 tam giác được tạo thành từ năm điểm A, B, C,
D, E (ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE). Và tất
cả các tam giác này đều là các tam giác rỗng.

Hình 1.2

Hình 1.3

Hình 1.4

Khả năng 2 (Hình 1.3): Bao lồi là một tứ giác chứa một điểm còn lại ở bên
trong (điểm trong). Trong trường hợp này ta có một tứ giác lồi (kí hiệu là
ABCD) chứa một điểm E ở bên trong. Tứ giác lồi ABCD (chỉ chứa đúng một
điểm E ở bên trong) được gọi là tứ giác gần rỗng. Vì không có ba điểm nào
thẳng hàng nên E phải nằm về cùng phía với B (hoặc với D) của đường thẳng
AC. Và ta có tứ giác AECD (hoặc ABCE) là tứ giác lồi rỗng, còn tứ giác
ABCE (hoặc tương ứng AECD) là tứ giác lõm. Tương tự, điểm E phải ở cùng

phía với A (hoặc với C) của đường chéo BD. Khi ấy tứ giác BEDC (hoặc tứ
giác ABED) là tứ giác lồi rỗng và tứ giác ABED (hoặc tứ giác BCDE) là tứ
giác lõm. Như vậy, trong Trường hợp 2 ta có hai tứ giác lồi rỗng, một tứ giác
lồi gần rỗng và hai tứ giác lõm.

.

Ngoài ra, trong trường hợp này, ta có tất cả 10 tam giác được tạo thành từ
năm điểm A, B, C, D, E. Đó là các tam giác: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE,
ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Trong đó tất cả 6 tam giác có đỉnh E đều là


8
tam giác rỗng (không chứa hai điểm còn lại bên trong). Vì khi kẻ đường chéo
AC (hoặc BD) của tứ giác lồi ABCD thì do các điểm không thẳng hàng nên E
phải nằm trong một trong hai tam giác ABC hoặc ACD (ABD hoặc BCD).
Như vậy ta có hai tam giác gần rỗng (chứa điểm E) và hai tam giác rỗng.
Khả năng 3 (Hình 1.4): Bao lồi chứa ba điểm tạo thành tam giác, thí dụ,
ABC. Hai điểm còn lại E và D nằm bên trong tam giác. Do không có ba điểm
nào thẳng hàng (các điểm ở vị trí tổng quát) nên hai điểm E và D xác định
một đường thẳng chia mặt phẳng tam giác thành hai phần sao cho có hai đỉnh
của tam giác ABC, thí dụ, A và B, nằm trên cùng một nửa mặt phẳng mở. Hai
điểm E và D cùng với A và B tạo thành một tứ giác lồi rỗng ABDE. Tứ giác
này là tứ giác lồi duy nhất. Bốn tứ giác ABDC, ABEC, BDCE, ADCE còn lại
là các tứ giác lõm.
Ngoài ra, ta có tất cả 10 tam giác được tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E.
Đó là các tam giác: ABC (chứa hai điểm D, E bên trong), ACD và BEC chứa
một điểm bên trong (tam giác gần rỗng). Bảy tam giác còn lại ABD, ABE,
ACE, ADE, BCD, BDE, CDE là các tam giác rỗng.
Từ quan sát trên, E. Klein đã đề nghị một bài toán tổng quát sau đây.

Bài toán 1.2
Với mỗi số tự nhiên n  3 , hãy xác định số nguyên dương nhỏ nhất N (n) sao
cho mọi tập tạo thành từ tối thiểu N (n) điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng
quát phải chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi n cạnh.
Bài toán 1.2 được phát biểu trong [8] và sau này được gọi là Bài toán ErdösSzekeres. Erdös đã gọi bài toán này là bài toán có kết hạnh phúc (happy end
problem hay happy ending problem), vì không lâu sau khi bài báo [8] ra đời
(1935), György Szekeres và Esther Klein đã tổ chức đám cưới (1937) và sống
hạnh phúc bên nhau 60 năm.


9
Trong [8], Bài toán 1.2 đã được tách ra thành hai bài toán:
Bài toán 1.2a
Tồn tại hay không tồn tại số N (n) ?
Bài toán 1.2b
Nếu số N (n) tồn tại thì làm thế nào xác định được N (n) như một hàm của n .
Trong [8] đã chứng minh sự tồn tại số N (n) bằng hai cách. Cách thứ nhất do
Szekeres chứng minh không lâu sau khi E. Klein phát biểu bài toán, dựa trên
định lí Ramsey (mà Ông đã tự tìm lại do không biết định lí này). Từ đó ta có
bất đẳng thức N (n)  R4 (n,5) , trong đó R4 ( n,5) là số Ramsey. Tuy nhiên,
đánh giá này là quá lớn so với thực tế. Thí dụ, với n  5 thì R4 5,5  210000 , quá
xa so với thực tế N (5)  9 . Cách thứ hai do Erdös chứng minh dựa trên một
số quan sát hình học và được một đánh giá tốt hơn N (n)  C n 2  1.
2 n 4

Như vậy, Bài toán 1.2a đã được trả lời khẳng định.
Rõ ràng ba điểm không thẳng hàng là đủ để tạo ra một tam giác nên N (3)  3 .
E. Klein đã chứng minh (như đã trình bày ở trên) rằng N (4)  5 .
Bài toán 1.3
Với chín điểm cho trước ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng)

bao giờ ta cũng tìm được năm điểm tạo thành một ngũ giác lồi.
Theo Erdős và Szekeres [11], E. Makai đã chỉ ra ví dụ (Hình 1.5) tồn tại tám
điểm mà không có năm điểm nào trong số đó tạo thành ngũ giác lồi, tức là
N (5)  9. Bài toán 2 đã được Hoàng Chúng giới thiệu với bạn đọc Việt Nam

trong Toán học và Tuổi trẻ số 4, tháng 2 năm 1967. Ngay sau đó, công thức
E (5)  9 đã được Đoàn Hữu Dũng chứng minh trong Toán học và Tuổi trẻ số


10
6 tháng 6, 1967. Hoàn toàn độc lập (nhưng cùng phương pháp) với Đoàn Hữu
Dũng, công thức này cũng được chứng minh bởi Bonnice [4] năm 1974.

Hình 1.5: Tập tám điểm không có năm điểm tạo thành ngũ giác lồi
Như vậy, với n  5 ta có N (5)  9 và công thức này đã được chứng minh bởi
Đoàn Hữu Dũng vào năm 1967 và Bonnice vào năm 1974.
Với n  6 ta có
Bài toán 1.4
Chứng minh rằng từ mọi tập 17 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng có thể
tìm được sáu điểm là đỉnh của lục giác lồi.
Nói cách khác, ta phải chứng minh công thức N (6)  262  1  17. Tất nhiên,
Bài toán 1.4 là trường hợp riêng của Bài toán 1.2 khi n  6. Mặc dù vậy,
trường hợp cụ thế này của Bài toán Erdös-Szekeres đã thách thức các nhà
toán học trong 70 năm. Nó chỉ vừa mới được G. Szekeres và L. Peters chứng
minh năm 2006 (xem [16]) bằng máy tính.
Dựa trên các đẳng thức N (3)  3 , N (4)  5 và N (5)  9, Erdős và Szekeres
đưa ra giả thuyết sau đây.
Giả thuyết Erdős-Szekeres (1935, [8])
N (n)  1  2n 2 với mọi n  3 .

11
Sau đó, Erdős và Szekeres đã chỉ ra rằng tồn tại các tập với 2n2 điểm trên
mặt phẳng với vị trí tổng quát không chứa n điểm tạo thành đa giác lồi n
đỉnh. Nghĩa là đánh giá dưới N (n)  1  2 n2 không thể làm tốt hơn được nữa.
Bài toán Erdős-Szekeres nhận được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán
học. Đã có hàng trăm bài báo viết về giả thuyết này và những bài toán liên
quan (xem Tài liệu tham khảo của [1]).
§1.2 Đánh giá cận trên và cận dưới của N (n)
Vì giả thuyết Erdős-Szekeres chưa được chứng minh, nên một trong những
hướng nghiên cứu số N (n) là đánh giá cận trên và cận dưới của N (n) .
2.1 Đánh giá cận dưới của N (n)
P. Erdős và G. Szekeres đã xây dựng ví dụ tập gồm 2n2 điểm, với n  3 , ở vị
trí tổng quát trên mặt phẳng, mà không có n điểm nào trong số chúng xác
định một đa giác lồi. Như vậy, ta có
N ( n)  2 n  2  1 .

2.2 Đánh giá cận trên của N (n)
Năm 1935, P. Erdős và G. Szekeres đã chứng minh
Định lí 2.1 (Erdős và G. Szekeres, 1935, [8])
N (n)  C2nn24  1: N 0 (n),

trong đó Cnk là tổ hợp của của n theo k , tức là Cnk 

n!
.
k ! n  k !

Trong hơn 60 năm, công thức đánh giá cận trên N (n)  C2nn24  1  c

4n
đã
n

không được cải thiện. Sau P. Erdős, R. Graham đã đặt giá cho bài toán này là
100 US$.


12
 4n 
Bài toán 2.1 Chứng minh rằng N (n)  O 
.
 n

Năm 1998, hai vợ chồng Fan Chung và R. Graham (xem [7]) đã chứng minh
Định lí 2.2 (Chung và Graham, 1998, [7])

N (n)  C2nn24 .
Tức là, sau hơn 60 năm, đánh giá của P. Erdős và G. Szekeres được giảm
xuống 1 đơn vị!
Kết quả của F. Chung và R. Graham đã thổi một luồng gió mới vào giả
thuyết Erdős-Szekeres. Ta có
Định lí 2.3 (Kleitman và Pachter, 1998)
Với n  4 ta có

N (n)  C2nn24  7  2n : N1 (n). .
Định lí 2.4 (Géza Tóth và Pavel Valtr, 1998)

E (n)  C2nn35  2 : N 2 ( n).
Năm 2005, chính Géza Tóth và Pavel Valtr lại chứng minh được

Định lí 2.5 (Géza Tóth và Pavel Valtr, 2005)
N (n)  C2nn25  1: N 3 ( n).

Vì 2C2nn25  C2nn24 nên đánh giá của Tóth và Valtr đã giảm một nửa so với
đánh giá ban đầu của Erdős và Szekeres.
Với n  6 , các đánh giá N 0 (n), N1 ( n), N 2 (n), N 3 (n) tương ứng là 71, 65 và 36.
Như vậy, với n  6 ta có đánh giá tốt nhất là 17  N (6)  36 . Hơn nữa, G.
Szekeres và L. Peters (2006) đã chứng minh bằng máy tính N (6)  17.


13
Như vậy, đánh giá trên tốt nhất hiện nay là N 3 (n)  C2nn25  1. Với n  6,7,8,9
thì N 3 (n) tương ứng là 36, 127, 463, 1717, còn khá xa so với N (n)  1  2n2
(với n  6,7,8,9 thì N (n) tương ứng bằng 17, 33, 65, 129.

Công thức Stirling chỉ ra rằng C2nn35 nhỏ hơn 4n và do tính đối xứng, lớn hơn

4  c

n

với mọi hằng số c  0 . Năm 1997, F. Chung và R. Graham đã đề



nghị trả 100 US$ cho chứng minh đầu tiên rằng N (n)  O  4  c 

n

 với một

hằng số c  0 nào đó.

§1.3 Bài toán về đa giác lồi rỗng
Năm 1978 Erdős đã đặt một bài toán mới liên quan tới giả thuyết ErdősSzekeres: Bài toán về đa giác lồi rỗng.
Bài toán về đa giác lồi rỗng
Cho P là một tập hữu hạn điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng. Tập con Q
của tập P, Q  n được gọi là n -lỗ thủng ( n -hold, đa giác lồi rỗng n đỉnh)
trong P nếu bao lồi của nó không chứa các điểm khác của P.
Ở đây, S là kí hiệu số phần tử của tập S .
Kí hiệu H (n) là số dương nhỏ nhất sao cho mọi tập P các điểm trên mặt
phẳng ở vị trí tổng quát với P  H (n), chứa đa giác lồi rỗng n đỉnh.
Bài toán 1.1 có thể phát biểu lại như sau: Chứng minh rằng từ năm điểm bất
kì ở vị trí tổng quát bao giờ cũng có thể chọn ra được bốn điểm tạo thành một
tứ giác lồi rỗng.
Bài toán 3.1 (Erdős, 1978, [7])
Cho n là một số tự nhiên bất kì, n  3. Hãy xác định số nguyên dương nhỏ
nhất H (n), nếu nó tồn tại, sao cho từ mọi tập X chứa tối thiểu H (n) điểm ở


14
vị trí tổng quát trên mặt phẳng, đều có thể chọn ra được n điểm là đỉnh của
một đa giác lồi rỗng.
Dễ dàng thấy rằng H (3)  3 ; H (4)  5 (xem Hình 1.1-Hình 1.4). Sử dụng
cách tiếp cận trực tiếp hình học, Harborth (1978) đã chứng minh rằng
H (5)  10 (xem [10]). Bất đẳng thức H (5)  9 suy ra từ Hình 1.6, trong đó

tập chín điểm ở vị trí tổng quát không chứa năm điểm nào tạo thành ngũ giác
lồi rỗng (có hai ngũ giác lồi, nhưng cả hai đều không rỗng).

Hình 1.6: Tập 9 điểm không chứa năm điểm tạo thành ngũ giác lồi rỗng
Tuy nhiên, Horton (1983, [11]) đã thiết kế một ví dụ H ( n) là vô hạn với mọi
số tự nhiên n  7. Nói cách khác, với mỗi n, Horton đã xây dựng tập n điểm
ở vị trí tổng quát không chứa đa giác lồi rỗng bảy đỉnh nào.
Erdős và sau đó là Horton đã đặt câu hỏi sau đây.
Bài toán 3.2 H (6) là hữu hạn hay vô hạn?
Nicolás (2007) và Gerken (2008, [9]) đã chứng minh rằng mọi tập đủ nhiều
các điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng chứa lục giác lồi rỗng. Ta có


15
Định lí 3.1 (Định lí về lục giác lồi rỗng)
Tồn tại một số nguyên H (6) sao cho mọi tập với tối thiểu H (6) điểm ở vị trí
tổng quát trên mặt phẳng có lục giác lồi rỗng.
Cố gắng tìm đánh giá dưới của H (6), Avis và Rappaport [2] đã xây dựng một
phương pháp để xác định, khi nào một tập các điểm đã cho trên mặt phẳng
chứa lục giác lồi rỗng. Và đã tìm ra tập 20 điểm ở vị trí tổng quát không chứa
lục giác lồi rỗng.
Overmars, Scholen và Vincent (1989, [14]), đã xây dựng một thuật toán có độ
phức tạp O(n 2 ) về thời gian để giải bài toán sau đây: Cho trước tập V trên
mặt phẳng không chứa lục giác lồi rỗng và cho điểm z V , hãy xác định khi
nào tập  z  V chứa lục giác lồi rỗng. Sử dụng thuật toán này, họ đã tìm ra
tập gồm 26 điểm chứa lục giác lồi rỗng. Do đó, H (6)  27.
Bằng máy tính, Overmars (2003, [13]) đã tìm ra tập 29 điểm ở vị trí tổng quát
trên mặt phẳng không chứa lục giác lồi rỗng, tức là H (6)  30.
Gần đây, Koselev [12] đã chứng minh rằng H (6)  463.
Như vậy, cho đến nay ta có đánh giá 30  H (6)  463.

§1.4 Đánh giá số đa giác lồi tạo thành từ n điểm trên mặt phẳng
ở vị trí tổng quát

Sau khi câu hỏi về sự tồn tại đa giác lồi k đỉnh từ một tập với số điểm đủ lớn
trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát được Erdős và Szekeres trả lời, câu hỏi tự
nhiên tiếp theo là: Có bao nhiêu các đa giác như vậy?- Năm 1974, Erdős và
Guy đã phát biểu bài toán sau.
Bài toán 4.1 Có tối thiểu bao nhiêu đa giác lồi k đỉnh được xác định từ một
tập P gồm n điểm trên mặt phẳng?


16
Hiển nhiên, với n điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát, ta có Cn3 tam giác.
Số tứ giác lồi tạo thành từ n điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát không nhỏ
hơn Cn32 (Bài thi vô địch toán Quốc tế lần thứ 17, 1969).
Bài toán tính số đa giác lồi rỗng k đỉnh được xác định từ một tập P gồm n
điểm trên mặt phẳng được quan tâm đặc biệt. Ta có
Bài toán 4.2 Có tối thiểu bao nhiêu tam giác, tứ giác, ngũ giác,..., k -giác lồi
rỗng có thể tạo thành từ n điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát?
Câu hỏi này được quan tâm vào khoảng 30 năm trước đây, sau khi Horton
[11] xây dựng ví dụ tập hợp có số điểm tùy ý trên mặt phẳng không chứa thất
giác ( 7 – giác) lồi rỗng nào (và do đó không có k – giác lồi rỗng với mọi
k  7 ).

Cho k  0 . Kí hiệu X k ( P ) là số các k -giác lồi rỗng trong tập bao lồi convP
của P. Thí dụ, X 0 ( P) : 1, X 1 ( P)  n, X 2 ( P)  Cn2 , vì đoạn thẳng nối hai
điểm (đa giác 2 đỉnh) không chứa điểm trong nào thuộc tập P do P không có
ba điểm thẳng hàng.
Một cách trực quan, điều này nói rằng tập rỗng có thể được coi là 0 – giác lồi
rỗng, mỗi điểm của P có thể coi như là 1 –giác lồi rỗng, và mỗi cạnh tạo ra từ
hai điểm của P có thể coi như là 2 –giác lồi rỗng.
Với kí hiệu trên thì ta có X k ( P)  0 với mọi k  7 (Horton, 1983). Purdy đã
khẳng định đẳng thức X 3 ( P)  O( n 2 ), trong khi đó Harborth đã chỉ ra rằng

X 3 ( P)  n 2  5n  7 với 3  n  9 và X 3 (10)  58. Katchalski và Meir đã tiếp
tục khảo sát X k ( P ) với k nhỏ và đã chứng minh rằng Cn2  X 3 ( P)  Kn 2 với
K  200. Năm 1987, Bárány và Furedi [3] đã chứng minh một số công thức

đánh giá mới:


17
n 2  O  n log n   X 3 ( P)  2n 2 ;

1 2
n  O  r   X 4 ( P)  3n 2 ;
2

1 2
n
2
10   X 5 ( P)  2n ; X 6 ( P)  2 n .

Các đánh giá này đã được cải tiến thêm bởi Valtr và Dumitrescu:

X 3 ( P)  1.68n 2 ;

1 2
n  O  n   X 4 ( P)  2.132n 2 ;
2

n  4
2

2
 6   X 5 ( P)  1.229n ; X 6 ( P)  0.298n .
n  4
Từ đánh giá số lượng ngũ giác lồi rỗng 
 X 5 ( P) suy ra kết quả của
 6 

Harborth [10] với H (5)  10, tức là trong 10 điểm bất kỳ bao giờ cũng có 5
điểm tạo thành một ngũ giác lồi rỗng.
Từ các đánh giá trên ta thấy rằng, cận dưới không thể vượt quá bậc hai. Với
k  6 , đánh giá tốt nhất được biết hiện nay là:

n 2  5n  10  X 3 (n)  1,6195...n 2  o( n 2 ) ;
Cn23  6  X 4 ( n)  1,9396...n 2  o( n 2 ) ;

n
3    X 5 ( n)  1,0206...n 2  o(n 2 ) ;
12 

0  X 6 (n)  0,2005...n 2  o(n 2 )
Có một số đẳng thức và bất đẳng thức chỉ ra mối quan hệ giữa các số X k ( P ) .
Bằng công cụ của tôpô đại số, hình học tổ hợp và lí thuyết matroid, Arhens,
Gordon và McMahon (1999) đã chứng minh một đẳng thức tổng quát thú vị
dưới đây (cho các số X k ( P) ):


18

  1

k

X k ( P)  0 ;

k 0

  1

k

kX k ( P)   P  int P ,

k 1

trong đó P  int P là số điểm trong của P .
Pinchasi, Radoičić và Sharir (2005, [15]) đã chứng minh hai đẳng thức này
bằng một kĩ thuật đơn giản (kĩ thuật chuyển động liên tục) và đưa ra thêm một
số đẳng thức và bất đẳng thức mới. Thí dụ,
1
X 4 ( P )  X 3 ( P )  n 2  O ( n ) , X 5 ( P )  X 3 ( P )  n 2  O ( n) .
2

Nếu có n điểm bất kì trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát. Khi ấy với mỗi bộ n
điểm ta có một tập (một cấu hình) P và các số X k ( P ) tương ứng. Với mỗi
k  0, giả sử Yk ( n)  min X k ( P) là số tối thiểu các tập k -giác lồi rỗng có thể
P n

xây dựng được từ các tập khác nhau (do đó có các cấu hình khác nhau)
nhưng cùng gồm n phần tử.
Ba bài toán mở liên quan với nhau (xem [15]) trong vấn đề này là:

(P3) Số tam giác rỗng có ít nhất là 1  c  n 2 , với hằng số c  0 ,
1

(P4) Số tứ giác lồi rỗng có ít nhất là   c  n 2 , với hằng số c  0 ,
2


và
(P5) Số ngũ giác lồi rỗng có ít nhất là cn 2 , với hằng số c  0 .
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày nội dung bài báo [15], trong đó đã xây
dựng một kĩ thuật (chuyển động liên tục) có thể có ích cho việc giải quyết các
bài toán này và chứng minh giả thuyết Erdős-Szekeres.
Các kết quả đầu tiên trong bài báo này là các đẳng thức tuyến tính liên quan
đến số lượng X k  p  . Tất cả những đẳng thức này liên quan đến các tổng


19
M 0  P     1

k 1

X k  P  và

1

k r 1
Ck r 1 X k  P , với k  1,
r

2

k 3

Mr  P     1
k 3

k 1

và những công thức được biểu diễn dưới dạng hiển, chúng liên quan với các
thông số hình học của tập hợp điểm P . Chúng ta có thể coi M r P  như là r 
mômen đan dấu thay đổi của tập  X k  P k 3 . Các hệ số của X k  P  trong
biểu thức M r  P  là số cách chọn r phần tử từ một danh sách liệt kê gồm k
phần tử, sao cho không có hai phần tử liền nhau nào được chọn. Ví dụ, chúng
ta có
M 0  P   Cn2  n  1
k 1

M 1  P     1 kX k  P   2Cn2  H  P 
k 3

M 2  P     1
k 4

k 1

k  k  3
X k  P   T2  P  ,
2

ở đây H  P  số cạnh của đa giác bao lồi của P , và T2 P  là số cặp cạnh

ab, cd được giới hạn bởi bốn điểm phân biệt của P ở vị trí lồi, và sao cho
chúng chính là biên bị giới hạn bởi những đường thẳng tựa và cả hai cùng
không chứa bất kỳ điểm trong nào của P ; Tr P , với r  2 là số các r - bộ kề
e1 , e2 ,..., er căng bởi P ở vị trí lồi và miền   e1 , e2 ,..., er  là giao của r nửa

mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng tựa e1 , e2 ,..., er và chứa các cạnh
khác, không chứa điểm trong nào của P . Chúng ta cũng mở rộng định nghĩa
này bằng cách đặt T0  P   0, T1  P   H  P  . Khi ấy các đẳng thức 1 và

 2  có thể viết đưới dạng
M r*  P  :

  1

k 2 r

k

k r 1
Ck r 1 X k  P   Tr  P  với mỗi r  0 .
r


20
Tuy nhiên, ta sẽ vẫn sử dụng cách viết cũ vì nó giải thích kết quả một cách tự
nhiên hơn và cũng bởi vì M 0 , M 1 đã được sử dụng trong các nghiên cứu
trước.
Đẳng thức đầu tiên (cho M0  P  ), được cho trong Định lí 2.1 Chương 2 được
chứng minh bởi Edelman và Jaminson trong bài tổng quan về hình học lồi. Và

nó cũng suy ra từ một kết quả tổng quát hơn gần đây của Edelman và những
người khác (xem [6]).
Đẳng thức thứ hai (cho M1  P  ), được cho trong Định lí 2.2 trong Chương 2,
đã nhận được gần đây bởi Ahrens và những người khác bằng cách sử dụng
các công cụ của lý thuyết matroid hoặc lý thuyết greedoid, đặc biệt hóa cho
hình học lồi xác định bởi các tập điểm trên mặt phẳng. Tuy nhiên, chứng
minh các Định lí này trong [15] là sơ cấp và đơn giản, có thể mở rộng để suy
ra các đẳng thức cho tất cả các mômen M r P  .
Việc xác định cận của T2  P  (hoặc tổng quát Tr  P  với r  3 ) là một vấn đề
chưa được xem xét trước đây, và nó là một kết quả quan trọng của [15].
Trong [15] đã chứng minh rằng T2  P   n  n  1  2 H  P  (Định lí 3.1).
Phân tích trong [15] chỉ ra rằng mọi đánh giá cận trên của T2 P  có dạng

1  c  n2 , với

c  0 cố định. Đánh giá này cho phép cải thiện đánh giá cận

trên cho cả ba bài toán mở (P3) – (P5) ở trên.
Một vấn đề thậm chí còn thú vị hơn là đánh giá số T2*  P  những tứ giác lồi
rỗng mà không thể mở rộng thành một ngũ giác lồi rỗng bằng cách thêm một
đỉnh từ tập P . Trong [15] đã chỉ ra T2*  P   Cn2  H  P  . Trong [15] cũng
thiết lập một số bất đẳng thức liên quan đến T2* P  và X k P  và sử dụng chúng
1

để chỉ ra rằng mọi cận trên của T2* P  có dạng   c  n 2 , với c  0 cố định.
2



21

Điều này cải tiến đánh giá cận dưới của X k  P  với k  3,4,5,6 , các đánh giá
này liên quan đến các bài toán (P3) – (P5). Trong [15] cũng đưa ra trường
hợp cận dưới xấu nhất của T2 P  là

3 2
n  O n
4

và của T2*  P  là

1 2
n  O n .
4

Tiếp theo, trong [15] đưa ra một số bất đẳng thức liên quan đến số lượng
X k P  . Nhóm các bất bẳng thức chính có liên hệ với các mômen M r P  cho

phép khẳng định rằng tất cả các phần dư trong chuỗi định nghĩa M r P  là
không âm với mọi k  0 . Chính xác hơn, chúng ta có

X t  P   X t 1  P   X t 2  P   ...  0 ,
tX t  P    t  1 X t 1  P    t  2  X t  2  P   ...  0 ,

với mọi t  3 và

t r 1
t  1 r 1
t  2 r 1
Ct r 1 X t  P  
Ct r X t 1  P  

Ct r 1 X t  2  P   ...  0
r
r
r
với r  2 và với mọi t  2r .
Tổ hợp các bất đẳng thức này cùng các công thức biểu diễn dạng hiển, chúng
ta có được các bất đẳng thức tương đương liên quan đến chỉ số của các chuỗi.
Ví dụ, ta có:

X 3  P   X 4  P   ...  X t  P   Cn2  n  1 với t chẵn, t  4 ,
và
X 3  P   X 4  P   ...  X t  P   Cn2  n  1 với t lẻ, t  3 .

Một loạt các bất đẳng thức liên quan nhiều đến số X 3  P  , X 4  P  , X 5  P 
được suy ra trực tiếp từ các bất đẳng thức nói đến ở trên. Quan trọng nhất
trong số đó là:


22
X 4  P  X3  P 

n2
 O  n ,
2

X 5  P   X 3  P   n2  O  n 

Các bất đẳng thức này cho ta một liên kết chặt chẽ giữa các bài toán (P3) –
(P5). Đặc biệt, các hằng số c trong (P4) và (P5) ít nhất cũng lớn như hằng số
trong bài toán (P3). Thêm vào đó, trong [15] cũng rút ra được các bất đẳng

thức tương tự liên quan đến T2 P  và T2* P  và chỉ ra rằng bất kỳ cận trên của
T2 P  của 1  c  n sẽ có thể giải ba bài toán (P3) – (P5), và những cải thiện
2

tương tự cho cận trên của T2* P  sẽ có ứng dụng tương tự.
Mặc dù đã có rất nhiều đẳng thức và bất đẳng thức trong [15], các bài toán
(P3) – (P5) vẫn còn là bài toán mở. Tuy nhiên, hi vọng rằng những kỹ thuật
đã phát triển trong [15] sẽ tạo thuận lợi và mở ra hướng tiếp cận để giải các
bài toán này và để chứng minh giả thuyết Erdős-Szekeres.


23

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐÁNH GIÁ SỐ ĐA GIÁC LỒI
RỖNG TRONG TẬP ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG
§2.1 Mômen đan dấu của các đa giác lồi rỗng
Cho P là tập gồm n điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng. Với mỗi k  3,
kí hiệu X k  P  là số các k - giác lồi rỗng xác định bởi P. Nhắc lại rằng, với

r  0, mômen đan dấu thứ r của P được định nghĩa là:
M 0  P     1

k 1

X k P ,

k 3

và

M r  P     1
k 3

k 1

k r 1
Ck r 1 X k  P 
r

với r  1.

Trong Mục này ta sẽ đưa ra các công thức biểu diễn hiển cho tất cả các
mômen được định nghĩa ở trên.
Để đơn giản hóa các ký hiệu, khi đã cố định P , ta sẽ không viết P trong các
công thức, tức là X k  P  được viết đơn giản là X k , và M r  P  được viết đơn
giản là M r (và tương tự cho các kí hiệu H  P  , T2  P  , …dưới đây).
Các công thức biểu diễn cho M 0 (Định lý 2.1) và cho M 1 (Định lý 2.2) là đã
được biết từ trước, xem, thí dụ, [6]. Tuy nhiên như đã trình bày trong cuối
Chương 1, các chứng minh trong [6] và trong các tài liệu khác, phải sử dụng
đến các công cụ phức tạp của tôpô hình học, lý thuyết matroid,.... Ngược lại,
các chứng minh trình bày dưới đây theo [15] là cơ bản và đơn giản hơn nhiều.
Các công thức biểu diễn cho M r với r  2 (Định lý 2.3 trong [15]) là hoàn
toàn mới, với kĩ thuật chứng minh đơn giản.


24
Định lý 2.1
M 0  Cn2  n  1.

Chứng minh

Trước tiên ta khẳng định rằng mọi chuyển động liên tục của các điểm của P,
(khi P ở vị trí đủ tổng quát) không làm thay đổi giá trị của M 0 . Chữ “đủ
tổng quát” chúng ta hiểu là trong quá trình chuyển động các điểm của P vẫn
còn là phân biệt và ở vị trí tổng quát, ngoại trừ một số hữu hạn lần mà khi đó
có một bộ ba điểm trở nên thẳng hàng. Rõ ràng, cho đến khi trường hợp các
điểm thẳng hàng xảy ra thì giá trị của M 0 không thay đổi.
Giả sử rằng ba điểm p, q, r  P trở nên thẳng hàng, với r nằm giữa p và q .
Chỉ có các đa giác lồi căng bởi P ở trạng thái rỗng (hoặc lồi) mới có thể thay
đổi trạng thái khi chúng chứa cả p và q (và có thể cả r ) là các đỉnh, hoặc
ngay trước khi hoặc ngay sau khi trường hợp thẳng hàng xảy ra.
Lấy Q là một k -giác lồi mà không nhận r là đỉnh (xem Hình 2.1).
Nếu Q là rỗng trước khi thẳng hàng và r sau đó thuộc phần trong của Q thì
Q không còn là rỗng, và  k  1 -giác Q xác định bằng cách thay thế cạnh

pq của Q bởi đường gấp khúc prq thì Q trở thành đa giác (lồi và rỗng
trước khi thẳng hàng) không còn là lồi rỗng.
Vì số đỉnh của Q lớn hơn số đỉnh của Q là 1 nên tổng (đại số) các thành
phần tham gia vào M 0 trước khi thẳng hàng và sau khi thẳng hàng là 0, và vì
thế chúng không ảnh hưởng đến giá trị của M 0 . Do tính đối xứng, nếu r là
điểm ra ngoài Q sau khi thẳng hàng và chỉ là điểm trong Q trước khi thẳng
hàng, thì đa giác Q mới trở thành rỗng và Q mới trở thành lồi và rỗng. Một
lần nữa điều này không làm thay đổi giá trị của M 0 . Và không còn khả năng


25
nào khác ngoài sự kiện này có thể làm thay đổi giá trị của M 0 tại cấu hình suy
biến.
Ta có thể nhận được giá trị của M 0 bằng cách tính toán trong trường hợp P ở
vị trí lồi. Trong trường hợp này, ta có X k  Cnk , với mọi k  3 . Do đó,
M 0  Cn3  Cn4  Cn5  ...  Cn2  n  1 .

r

p
p

p
q

q
r

Q

Q

Hình 2.1: Minh họa chuyển động liên tục trong chứng minh Định lý 2.1
Nói cách khác, M 0 không phụ thuộc vào hình dạng của P mà chỉ phụ thuộc
vào số điểm của P . Bài toán không còn đơn giản như vậy với trường hợp các
mômen đan dấu bậc cao hơn, tuy nhiên ta vẫn có
Định lý 2.2
M 1  2Cn2  H , trong đó H là số cạnh của bao lồi của P.

Chứng minh
Cố định cạnh có định hướng e  pq mà p , q nằm trong P , và xác định với
mỗi k  3, X k  e  là số k  giác lồi rỗng chứa e như là một cạnh và nằm hẳn
về bên trái của e . Kí hiệu

M 0 (e ) =

k+1

å (- 1)
k³ 3

X k (e ).