Khóa luận tốt nghiệp toán học:TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


NGUYỄN THỊ LÀNH

TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT












KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC






NGUYỄN THỊ LÀNH

TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT






CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2013
Lời cảm ơn!

Trong quá trình hoàn thành khóa luận này tôi luôn nhận được sự giúp
đỡ và chỉ bảo tận tình của Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý, các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Lí - Tin, phòng đào tạo, phòng quản lý khoa học và quan
hệ quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc. Cùng các thầy cô giáo và các
em học sinh trường THPT Tân Lạc, trường THPT Mường Bi, sự động viên và
góp ý của các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý,
các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ tôi
trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Khóa luận của tôi đã hoàn thành nhưng không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh
viên để khóa luận này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!


Sơn La, tháng 05 năm 2013
Sinh viên


Nguyễn Thị Lành

BẢNG KÍ HIỆU CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt và kí hiệu
Nghĩa
DH
Dạy học
ĐH
Đại học
GV
Giáo viên
HĐ
Hoạt động
HS
Học sinh
NXB ĐHSP
Nhà xuất bản đại học sư phạm
NXB GD
Nhà xuất bản giáo dục
PP
Phương pháp
SGK
Sách giáo khoa
THPT
Trung học phổ thông

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng nghiên cứu 2
5. Phạm vi nghiên cứu 2
6. Phương pháp nghiên cứu 3
7. Cấu trúc khóa luận 3
8. Đóng góp của khóa luận 3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Cơ sở lí luận 4
1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập Toán học 4
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 4
1.1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán 5
1.1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán 6
1.1.5. Một số kiến thức về nhị thức Niu-tơn 6
1.2. Cơ sở thực tiễn 8

1.2.1. Điều tra giáo viên 9
1.2.2. Điều tra đối với học sinh. 12
CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ
THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT 14
2.1. Bài toán 1: Khai triển lũy thừa của các biểu thức 14
2.2. Bài toán 2: Tìm số hạng trong khai triển Niu-tơn 16
2.3. Bài toán 3: Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn 19
2.3.1. Tìm hệ số của
k
x
trong khai triển nhị thức 19
2.3.2. Xác định hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Niu-tơn. 23
2.4. Bài toán 4: Chứng minh đẳng thức chứa tổ hợp 26
2.4.1. Trực tiếp khai triển nhị thức Niu-tơn 26
2.4.2. Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2 28
2.4.3. Dùng tích phân 30
2.5. Bài toán 5: Tính tổng một biểu thức chứa tổ hợp 33
2.5.1. Sử dụng trực tiếp khai triển Niu-tơn 34
2.5.2. Dùng đạo hàm cấp 1, 2 36
2.5.3. Dùng tích phân 39
2.5.4. Dùng số phức 42
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 47
3.1. Mục đích thực nghiệm 47
3.2. Nội dung thực nghiệm 47
3.3. Phương pháp thực nghiệm 47
3.4. Đối tượng thực nghiệm 47
3.5. Tổ chức thực nghiệm 48
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm 48
3.6.1. Biện pháp 48
3.6.2. Kết quả 48

3.7. Kết luận rút ra từ thực nghiệm 50
KẾT LUẬN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong thời đại chúng ta đang sống, nhân loại đang bước vào ngưỡng cửa
của nền kinh tế tri thức mà cơ sở của nó là sự phát triển mạnh mẽ như vũ bão
của cuộc cách mạng khoa học - công nghệ. Những phát minh khoa học được áp
dụng nhanh vào sản xuất vật chất và tinh thần.
Các thành tựu khoa học - kĩ thuật - công nghệ trên không chỉ làm biến đổi
quá trình sản xuất của xã hội mà còn kéo theo sự thay đổi cả nội dung, phương
pháp và quá trình giảng dạy, học tập ở mọi cấp học trong nền giáo dục các nước,
kéo nhà trường vào các hoạt động sản xuất, kinh doanh, dịch vụ, biến nhà
trường thành trung tâm nghiên cứu, phát minh, tạo ra và ứng dụng những thành
tựu khoa học đó.
Mô hình, nội dung và phương pháp giáo dục truyền thống “Học một lần
để có kiến thức sử dụng suốt đời” không còn phù hợp.
Do vậy, động lực của nghiên cứu khoa học và ứng dụng những kết quả
của những phát minh mới của khoa học chính là những đòi hỏi bức bách của
cuộc sống vật chất và tinh thần con người hiện nay.
Giáo dục đào tạo ngày nay không chỉ phục vụ cuộc sống mà còn là cơ
sở để con người phát hiện ra những năng lực tiềm ẩn trong bản thân mình,
khẳng định những năng lực ấy bằng đổi mới bản thân, tạo ra con người mới,
cuộc sống mới.
Những năm gần đây, tình hình dạy học môn toán ở trường THPT đạt được
những thành tựu đáng kể qua các kì thi học sinh giỏi và thi Đại học. Tuy nhiên, thực
trạng dạy và học môn Toán còn không ít vấn đề cần khắc phục.

Trong quá trình dạy học môn Toán để nâng cao chất lượng dạy học và khả
năng nhận thức của học sinh bằng nhiều biện pháp và nhiều phương pháp khác
nhau. Trong đó giải bài tập toán là một trong những nội dung có tác dụng tích
cực đối với việc giáo dục và rèn luyện, phát triển trí tuệ cho học sinh. Mặt khác
nội dung này cũng là thước đo để đánh giá thực chất khả năng nắm vững kiến
thức và kĩ năng thực hành của học sinh.
Trong chương trình toán THPT các bài toán về nhị thức Niu-tơn luôn được
quan tâm và là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương “Tổ
hợp và xác suất”. Các bài toán liên quan đến “Nhị thức Niu-tơn” rất đa dạng và
cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình Toán ở trường THPT.

2
Trong những năm gần đây trong các kì thi tốt nghiệp và thi vào các
trường đại học và cao đẳng, thường thấy xuất hiện các bài toán phải vận dụng
đến công thức “Nhị thức Niu-tơn” để giải, do hạn chế về thời gian lên lớp và đối
tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra một số tình huống
cơ bản của bài toán này, vì vậy học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng
như khả năng phân tích khi giải các bài toán này.
Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức ở chương trình 11 chỉ giải
được một số dạng toán với số mũ nguyên.
Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này
nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn”
một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết.
Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu khóa luận: “Tìm hiểu một số bài
toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình Toán THPT” nhằm giúp
học sinh có được hướng tiếp cận dễ dàng hơn đối với những bài toán về “Nhị
thức Niu-tơn”, để từ đó nâng cao khả năng giải toán và hứng thú học tập cho học
sinh. Bên cạnh đó đề tài này cũng giúp tôi - giáo viên Toán tương lai, hiểu hơn
đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong
quá trình thực hành nghề nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu việc vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” vào
việc giải các bài toán liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan.
- Tìm hiểu, phân dạng một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn.
- Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nhị thức Niu-tơn” trong việc
giải một số bài toán ở THPT.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả.
4. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình toán
THPT.
5. Phạm vi nghiên cứu
Toán lớp 11.


3
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp Điều tra - Quan sát.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, danh mục, tài liệu tham khảo khóa
luận gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Tìm hiểu một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong
chương trình toán THPT.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.
8. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho các giáo viên và học sinh ở trường phổ

thông, giúp học sinh có kĩ năng giải các bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn
một cách linh hoạt sáng tạo.


4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập Toán học
+ Vị trí: Ta biết rằng dạy học Toán học là dạy HĐ toán học. Đối với HS có
thể xem việc giải bài tập toán học là hình thức chủ yếu của HĐ toán học. HĐ
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích DH toán. Vì vậy, tổ
chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quan trọng quyết định
đối với chất lượng DH toán.
+ Chức năng: Trong môn Toán, các bài tập mang các chức năng sau:
 Đối với chức năng DH: Bài tập nhằm hình thành củng cố cho HS những
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH.
 Với chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người
lao động mới.
 Với chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của
HS, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành tư duy khoa học.
 Với chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.
Hiệu quả của việc DH toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực
hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập toán học. Các chức
năng của mỗi bài tập phụ thuộc vào nội dung cũng như PP khai thác lời giải của
nó. Điều đó định hướng việc lựa chọn bài tập của GV, tránh tìm ra bài tập cho HS
một cách tùy hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần túy.
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Ở bất cứ nội dung toán học nào cũng đều có cơ sở lý thuyết và phần bài
tập tương ứng. Dựa vào lý thuyết để giải quyết các bài tập. Ngược lại bài tập có
tác dụng củng cố lý thuyết, giúp HS hiểu và nắm chắc hơn về lý thuyết. Trong
dạy học nhất thiết phải có bài tập.
Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán. Căn bản là bài tập có
vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua bài tập, học sinh phải thực
hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những

5
hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và
những hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập toán thể hiện trên ba bình diện:
- Bình diện mục tiêu dạy học
+ Hình thành củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau
trong quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng trong thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành
phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm
chất đạo đức của con người lao động mới.
- Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập toán là giá mang hoạt
động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương diện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần
lý thuyết.
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ chức
cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo thực
hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Như vậy bài tập toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển

năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành
phẩm chất tư duy khoa học mà còn kiểm tra mức độ, kết quả dạy và học, đánh
giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
1.1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán
Không có một phương pháp giải chung nào cho mọi bài tập mà chỉ có những
gợi ý về cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán. Những gợi ý chi tiết về
phương pháp chung giải bài tập toán (theo Pôlya) gồm bốn bước sau:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài.
Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh. Có thể dùng công thức, kí
hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2. Tìm cách giải.
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:

6
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho
hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài
toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài
toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán
như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa
kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lý nhất.
Bước 3. Trình bày lời giải.
Từ cách giải đó được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

1.1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu đối với lời giải. Nói một cách vắn tắt lời giải cần đạt được một số yêu
cầu sau:
+) Lời giải không có sai lầm.
+) Lập luận phải lôgic, phải có căn cứ chính xác, cô đọng, xúc tích.
+) Lời giải phải đầy đủ, phải gọn gàng, dễ hiểu.
Ngoài ba yêu cầu trên trong dạy học bài tập còn yêu cầu lời giải đơn giản
nhất, ngắn gọn nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí.
1.1.5. Một số kiến thức về nhị thức Niu-tơn
a. Công thức nhị thức Niu-tơn
   
n
n
0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n k n k k
n n n n n
k0
a b C a C a b C ab C b C a b 1
   

      


b. Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn
Trong biểu thức ở vế phải của công thức
 
1
:
- Số các số hạng của công thức là
n1

.

7

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
thức:
 
n k k n.  

- Số hạng tổng quát của nhị thức là:
k n k k
k 1 n
T C a b .




(Đó là số hạng thứ
k1
trong khai triển
 
n
ab
)
- Hệ số trong khai triển nhị thức có tính chất đối xứng:
k n k
nn
C C .



Chú ý:
0n
nn
C C 1
.
c. Một số kết quả

       
nn
n
n k k
n n k n n k k
kk
k 0 k 0
a b a b C a b 1 C a b


       



.
Trong khai triển
 
n
ab
:
 Trường hợp
a1

,
b1
ta có:
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2    
.
 Trường hợp
a1
,
 
b 1
ta có:
0 1 2 3 n n
n n n n n
C C C C ( 1) C 0      
.
 Trường hợp
a1
,
bx
ta có:
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
(1 x) C C x C x C x C x      
.
 Trường hợp
a1
,
 

bx
ta có:

n 0 1 2 2 3 3 n n n
n n n n n
(1 x) C C x C x C x ( 1) C x       
.
Chú ý
 Đối với
n
(1 x)
thì hệ số của
k
x
là
k
n
C
.
 Đối với tích
nm
(1 x) (1 x)
thì hệ số của
k
x
là
k
mn
C


và được xác định bởi:
k i j
m n n m
C C C



(i + j = k).
 Đối với
 
n
m
ax
thì hệ số của
m.k
x
là
n k k
n
aC

.


8
d. Tam giác Paxcan và hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn.
Lũy
thừa
n của
(a + b)

Tam giác Paxcan trong
khai triển hệ số
 
n
ab

Dạng khai triển
1
1 1
(a + b)
1
= 1a + 1b
2
1 2 1
(a + b)
2
= 1a
2
+ 2ab + 1b
2
3
1 3 3 1
(a + b)
3
= 1a
3
+ 3a
2
b + 3ab

2
+ 1b
3

4
1 4 6 4 1
(a + b)
4
= 1a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ 1b
4
5
1 5 10 10 5 1
(a + b)
5
= 1a
5
+5a
4
b +10a
3

b
2
+10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ 1b
5




* Nhận xét:

0n
nn
C C 1
: các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1.

 
k n k
nn
C C 0 k n

  
: các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng
nhau.


k k 1 k 1
n n n 1
C C C (0 k n)


   
: tổng 2 số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng
số hạng giữa 2 số hạng ở hàng dưới.

0 1 n n
n n n
C C C 2   
: tổng các số hạng trong hàng ứng với
 
n
ab
là
n
2.

1.2. Cơ sở thực tiễn
Để tìm hiểu thực trạng dạy và học “Nhị thức Niu-tơn” trong giải một số bài
toán ở trường THPT tôi đã tiến hành điều tra trên hai trường THPT Tân Lạc (Tân
Lạc - Hòa Bình) và THPT Mường Bi (Tân Lạc - Hòa Bình) đối với 2 đối tượng:
Giáo viên và học sinh.
Quá trình điều tra thu được kết quả như sau:



9

1.2.1. Điều tra giáo viên
Bảng 1
Tên
Trường
Số
lượng
giáo
viên
Tuổi nghề (năm)
Hệ đào tạo
Chất lượng
giảng dạy
1-
10
10-
20
Trên
20
ĐH
CĐ
Trên
ĐH
Giỏi
khá
TB
THPT
Tân Lạc
7
4
2

1
6
0
1
4
3
0
THPT
Mường
Bi
8
3
3
2
6
0
2
7
1
0

Nhận xét: Qua bảng điều tra trên ta thấy giáo viên của cả 2 trường đều
đạt trình độ ĐH theo đúng quy định của Luật giáo dục. Đa số giáo viên có tuổi
nghề từ 1 - 10 năm, cùng với lòng yêu nghề và nhiệt huyết của tuổi trẻ họ luôn
tìm tòi, sáng tạo, vận dụng một cách hiệu quả các phương pháp dạy học tích cực
vào quá trình giảng dạy. Tuy nhiên do tuổi nghề còn trẻ nên chưa có nhiều kinh
nghiệm, đây là một hạn chế. Bên cạnh đó một số giáo viên có thâm niên công
tác trên 20 năm nên có kinh nghiệm giảng dạy, trình độ chuyên môn khá vững.

10
Bảng 2
STT
Nội dung
THPT
Tân Lạc
THPT
Mường Bi

1
Sự phân bố chương
trình môn Toán bậc
THPT so với trình độ
nhận thức của học
sinh.
Phù hợp
5
6
Chưa phù
hợp
1
1

Nhận xét
khác
1
1

2
Sự phù hợp lượng kiến
thức phần “Nhị thức
Niu-tơn” trong chương
trình Toán THPT
Hợp lý
4
6
Chưa hợp lý
1
0
Ý kiến khác
2
2

Nhận xét: Qua bảng thống kê trên ta thấy đa số giáo viên cho rằng phân
phối chương trình môn Toán và phân phối chương trình phần “Nhị thức Niu-tơn”
môn Đại số và giải tích 11 ở bậc THPT là phù hợp với trình độ nhận thức của học
sinh và thời gian của một tiết học.

11
Bảng 3
STT
Nội dung
THPT
Tân Lạc
THPT
Mường
Bi



1


Phương pháp dạy
học bài tập phần
“Nhị thức Niu-tơn”
Yêu cầu học sinh chữa bài
tập
1
2
Phân dạng toán trong tiết

bài tập, yêu cầu học sinh
chữa rồi đưa ra các bước
giải bài toán đó.
2
3
GV chữa, HS chép
4
3
Ý kiến khác
1
1


2

Độ khó khi dạy bài
tập phần “Nhị thức
Niu-tơn”
Dễ
2
3
Khó
1
1
Bình thường
3
4
Ý kiến khác
1
0

3
Những khó khăn
gặp phải khi dạy
bài tập phần “Nhị
thức Niu- tơn”
Lý thuyết
1
1
Bài tập
2
4
Mở rộng
4
3

Nhận xét: Kết quả điều tra cho thấy đa số giáo viên khi dạy học phần
“Nhị thức Niu-tơn” đều chưa chú trọng tới việc phân dạng bài tập cho học sinh.
Vì thế khi gặp các bài toán về “Nhị thức Niu-tơn” học sinh ít xác định được
hướng giải và khi gặp dạng bài tập này thì hầu như giáo viên đều giải toán theo
kiểu: GV giải, học sinh chép.




12
1.2.2. Điều tra đối với học sinh
Bảng 4
STT
Tên

trường
Lớp
Tổng
số học
sinh
Dân
tộc
thiểu
số
Học lực
Giỏi
Khá
TB
Yếu
1
THPT
Tân Lạc
11A
35
28
1
10
24
0
2
THPT
Mường
Bi
11A
30

25
5
20
5
0

Nhận xét: Kết quả điều tra cho thấy cả hai lớp ở hai trường điều tra đều
có lực học tương đối tốt, tuy nhiên do đa số các em đều là học sinh thiểu số nên
số học sinh đạt loại khá giỏi còn chưa cao, kết quả học tập của trường THPT
Mường Bi có phần trội hơn so với trường THPT Tân Lạc, có sự chênh lệch đó là
do hoàn cảnh và điều kiện của mỗi trường là khác nhau. Trường THPT Tân Lạc
vì kinh nghiệm quản lí còn chưa thực sự vững mạnh, đội ngũ giáo viên còn non
trẻ nên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy. Hầu hết cơ sở vật chất của cả hai
trường đều còn nhiều khó khăn, các em học sinh đều ở ngoại trú, hoàn cảnh và
điều kiện sống chưa đảm bảo nên chưa có đầy đủ điều kiện để học tập.











13
Bảng 5
STT
Nội dung

THPT
Tân Lạc
THPT
Mường Bi
1
Lớp
11A
11A
2
Học nội dung “Nhị
thức Niu-tơn”
Khó, nhàm chán
8
6
Dễ, thú vị
4
5
Bình thường
14
12
Rất khó
9
7
3
Những khó khăn
gặp phải khi làm
bài tập về “Nhị
thức Niu-tơn”
Nhớ lý thuyết
8

5
Phân dạng bài tập
9
7
Vận dụng lý thuyết vào
bài tập
13
11
Ý kiến khác
5
7
4
Phương pháp làm
bài tập về “Nhị
thức Niu-tơn”

Phân dạng bài tập
10
11
Tích cực vận dụng lý
thuyết vào bài tập
13
8
Làm bài tập khi chưa
học lý thuyết
7
7
Ý kiến khác
5
4

5
Để làm tốt dạng
bài tập này cần
Nắm vững công thức
nhị thức Niu-tơn, tổ
hợp
14
7
Nắm vững dạng bài tập
và phương pháp giải
10
13
Tất cả các ý kiến trên
11
10

Nhận xét: Hầu hết các học sinh chưa biết phân dạng bài tập nên gặp nhiều
khó khăn khi làm các bài toán về “Nhị thức Niu-tơn”, như vậy để làm tốt dạng bài
tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các bước giải và phân loại bài tập.

14
CHƯƠNG 2
TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

2.1. Bài toán 1: Khai triển lũy thừa của các biểu thức
 Phương pháp
- Biến đổi biểu thức đã cho về dạng
n
(a b)

hoặc
n
(a b)
.
- Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn để khai triển biểu thức đã biến đổi.
Chú ý:
- Khi khai triển nhị thức
n
(a b)
, ta cần nắm được kĩ năng như sau:
+ Số hạng tổng quát trong khai triển là:
 
k n k k
n
C a b 0 k n


.
+ Từ đó ta có các số hạng trong khai triển như sau:
Khi
k0
ta có số hạng thứ nhất là:
0n
n
Ca

Khi
k1
ta có số hạng thứ hai là:
1 n 1

n
C a b


Khi
k2
ta có số hạng thứ 3 là:
2 n 2 2
n
C a b


……………………………………………
Khi k = n ta có số hạng thứ n + 1 (số hạng cuối) là:
n n n n n n
nn
C a b C b



- Nếu khai triển
n
(a b)
thì ta cần chú ý qui tắc đan dấu, số hạng thứ k sẽ
có dấu là:
   
k
1 0 k n  
.
 Ví dụ

Ví dụ 1. Khai triển nhị thức sau:
 
5
2a b
.
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn ta có:

 
5
0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
5 4 3 2 2 3 5 5
2a b C (2a) C (2a) b C (2a) b C (2a) b C 2ab C b
32a 80a b 80a b 40a b 10ab b
      
     


15
Nhận xét: Trong khai triển trên ta đã vận dụng công thức (1), tuy nhiên
trong một số khai triển nhị thức Niu-tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta có thể vận dụng
hệ số khai triển nhị thức trong tam giác Pax-can để khai triển:
Từ tam giác Pax-can ta thấy hệ số khai triển lũy thừa 5 là:
1 5 10 10 5 1
         
5 5 4 3 2
2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 5 5
2a b 1 2a 5 2a b 10 2a b 10 2a b 5.2ab 1b

32a 80a b 80a b 40a b 10ab b .
      
     

Ví dụ 2. Khai triển
12
3
2
32
xx
43




đến số hạng thứ 4.
Giải
Áp dụng khai triển nhị thức
 
12
ab
với
2
3
2
3
33
a x x
44


,
1
2
22
b x x
33


Ta có:
12 k
k
12 k
2 24 2k
1k
12 k
12 k
3
2 k k
33
22
12 12
k 0 12
3 2 3 2 3 2
x x C x x C x x
4 3 4 3 4 3







     


  
     


     



20 20 18
13
12 11 10 2 9 3
0 8 1 2 3
3 3 3
22
12 12 12 12
3 3 2 3 2 3 2
C x C x x C x x C x x
4 4 3 4 3 4 3
           
    
           
           
47 20
15
12 11 9
6

8
63
2
7
3 3 3 3
x 8 x 22 x 55 x
4 4 4
4
     
    
     
     

Ví dụ 3. Khai triển biểu thức sau:
 
10
2
1 x 3x
.
Giải
Ta thấy:
   
 
10
10
10
22
1 x 3x 1 x 3x 1 x 1 3x

       





Áp dụng khai triển nhị thức
 
10
ab
với
a = 1
,
2
b x 3x
ta được:
   
 
10
10
10
22
1 x 3x 1 x 3x 1 x 1 3x

       




       
2 3 10
0 1 2 2 3 3 10 10

10 10 10 10 10
C C x 1 3x C x 1 3x C x 1 3x C x 1 3x         
       
2 3 10
2 3 10
1 10x 1 3x 45x 1 3x 120x 1 3x x 1 3x .         


16
Nhận xét: Khi giải bài toán trên ta có thể áp dụng cho
 
2
a 1, b 3x  
.
 Bài tập đề nghị
Khai triển các biểu thức sau:
a)
5
(2x 1)
; b)
6
(x 2y)
; c)
5
1
x
x





;
d)
6
(a 2)
; e)
6
2
x
y




; f)
 
6
2
2 x x
.
2.2. Bài toán 2: Tìm số hạng trong khai triển Niu-tơn
 Phương pháp
- Viết khai triển Niu-tơn (1) với a, b được chọn từ đầu bài. Trong một số
trường hợp phải xác định số n trước (thường n là nghiệm của một phương trình
có liên quan đến số tổ hợp).
- Từ (1) sử dụng số hạng thứ
k n k n
n
k+1: C a b


của khai triển và kết hợp với
yêu cầu của đề bài để thiết lập nên một phương trình (mà ẩn của nó thường là k).
- Từ nghiệm tìm được sẽ cho ta kết quả cần tìm.
Chú ý:
- Số hạng thứ k trong khai triển
 
n
ab
là:
 
n k 1
k 1 k 1
kn
T C a b



.
- Số hạng chính giữa trong khai triển
 
n
ab
:
+ Nếu n chẵn: Có một số hạng chính giữa là số hạng thứ
n
1
2

.
+ Nếu n lẻ: Có 2 số hạng chính giữa là số hạng thứ

n1
2

và số hạng thứ
n1
1
2


.
 Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm số hạng thứ 7 của khai triển biểu thức
10
1
x , x 0
x




.


17
Giải
Áp dụng khai triển nhị thức Niu-tơn ta có:
10 10 k
11
10 k
10

k
22
10
k0
1 1 1
x x C x
x x x


   
   
   
   
   
   
   
   


Ta có số hạng thứ k+1 trong khai triển trên là:
10 k
1
k
k
2
k 1 10
1
T C x
x












Suy ra:
10 6
1
66
6 6 2 6
2
7 10 10 10
4
1 1 1
T C x C x C
xx
x


   

  
   

   



Vậy số hạng thứ 7 trong khai triển
10
1
x
x




là
6
10
4
1
C
x
.
Ví dụ 2. Tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển biểu thức
 
7
3
16 3
.
Giải
Áp dụng khai triển nhị thức Niu-tơn ta có:
 
7 7 k
k

1 1 7 k
1 1 k
77
7
kk
3
3 3 3
2 2 2
77
k 0 k 0
16 3 16 3 C 16 3 C 16 3



   

   

    
   


   


Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:
7k
k
k
3

2
k 1 7
T C 16 3




Số hạng hữu tỷ trong khai triển thỏa mãn:




    


  
    
  
  
   

  



7k
N
3
7 k 3m k 7 3m (m Z)
k

N k ch½n k ch½n k 4
2
0 k 7 0 k 7
0 k 7,k N

Vậy số hạng cần tìm là
42
7
C 16.3
.

18
Ví dụ 3. Trong khai triển
n
28
3
15
x x x






hãy tìm số hạng không phụ thuộc

x
biết rằng
n n 1 n 2
n n n

C C C 79

  
.
Giải
Ta có:
   
 
n n 1 n 2
n n n
2
n! n!
C C C 79 1 79
n 1 ! 2! n 2 !
n 13
n n 1
n 78 n n 156 0
n 12
2

      




       




Do
nN
nên
n 12

Ta có:

12 12
28 4 28
3
15 3 15
12 k k
4 28 16
12 12
16 k
kk
3 15 5
12 12
k 0 k 0
x x x x x
C x x C x




   
   
  
   
   

   
   

   
   


Số hạng tổng quát của khai triển trên là
16
16 k
k
5
k 1 12
T C x




Số hạng không phụ thuộc
x
thỏa mãn điều kiện:
16
16 k 0
k5
5
k N,k n










Vậy số hạng cần tìm là:
 
5
12
12!
C 792
5! 12 5 !


.
Ví dụ 4. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau:
a)
 
21
3
x xy
b)
 
20
4
2
3
1
xx
xy









19
Giải
a) Khai triển
 
21
3
x xy
có
21 1 22
số hạng nên có 2 số hạng đứng giữa là
11 và 12.
 Số hạng thứ 11 là
 
 
21 10
10
10 3 10 43 10
21 21
C x xy C x y


.

 Số hạng thứ 12 là
 
 
21 11
11
10 3 10 41 11
21 21
C x xy C x y


.
b) Khai triển
 
20
4
2
3
1
xx
xy






có
20 1 21
số hạng. Nên số hạng đứng giữa
trong khai triển trên là số hạng thứ:

20
1 11
2

.
Số hạng thứ 11 là
 
10
10
65 20
7
2
10 10
63
4
3
20 20
C x xy C x y











.

 Bài tập đề nghị
a) Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển
 
25
2 3x
.
b) Tìm số hạng không chứa căn của khai triển
 
24
7
5
32
.
c) Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển.
 
7
3
4
1
f x x
x




với
x0
(ĐH Khối D năm 2004)

d) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển
16
2
x
x




.
2.3. Bài toán 3: Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn
2.3.1. Tìm hệ số của
k
x
trong khai triển nhị thức
 Phương pháp
- Viết khai triển Niu-tơn (1) với a, b được chọn từ đầu bài. Trong một số
trường hợp phải xác định số n trước (thường n là nghiệm của một phương trình
có liên quan đến số tổ hợp).