Nghiên cứu tính chất từ và nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

BỘ GIÁO
VÀƠN
ĐÀO TẠO
LỜI DỤC
CẢM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS.
Lưu Thị Kim Thanh, cô đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư
ĐỖ NGỌC THỊNH
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và các thầy cô trong Khoa Vật lý đã
giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình
học và luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên
tôi, cổ vũ, động viên tôi và giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT TỪ
VÀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ
Hà nội, tháng 11 năm 2011
TỰ DO TRONG KIM LOẠI
Tác giả

thành luận văn.

Đỗ Ngọc Thịnh

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

HÀ NỘI, 2011


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không
trùng lặp với các đề tài khác.

Tác giả

Đỗ Ngọc Thịnh


1

M U
Kim loi l loi vt rn cú tớnh dn in tt, dn in vo khng t 106
n 108 1 m-1. ú l vỡ trong kim loi cú cha rt nhiu electron cú th chuyn
ng t do khp tinh th kim loi. Nu mi nguyờn t cho mt electron thỡ trong
1cm3 ó cú khong 1022 electron húa tr, liờn kt rt yu vi cỏc lừi nguyờn t.
Chỳng cú th chuyn ng t do trong tinh th tr thnh cỏc ht ti in, quyt
nh tớnh dn in ca kim loi, nờn c gi l cỏc electron dn [ 4], [5], [6].
Nu coi mt cỏch n gin rng cỏc in t t do ny khụng tng tỏc vi
nhau (núi chớnh xỏc hn l coi rng chỳng ch tng tỏc vi nhau theo mt cỏch
duy nht l va chm), thỡ khi ú cỏc in t ny to thnh mt cht khớ lý tng,
cũn nu coi cỏc in t ny cú tng tỏc vi nhau thỡ chỳng to thnh mt cht
lng. Vic nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim
loi ó thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh khoa hc trong v ngoi nc c v lý
thuyt ln thc nghim.
Tựy vo vic dựng hm phõn b no xột khớ in t t do m ta s cú

cỏc lý thuyt khỏc nhau [1], [2], [3]:
- Lý thuyt Drude, coi cỏc in t t do cú cựng mt giỏ tr nng lng,
ta cú h khớ c in n gin nht.
- Nu dựng phõn b Maxwell - Boltzmann c in, h khớ in t t do l
h khớ c in, c kho sỏt trong Lý thuyt Lorentz.
- Lý thuyt Sommerfeld dựng phõn b Fermi - Dirac lng t, h khớ
in t t do l h khớ Fermi lý tng.
Các tính toán lý thuyết được xây dựng đối với mô hình lý tưởng, do đó vẫn
có những sai khác giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm thu được. Khi đó người
ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lượng tử mà cấu
trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, là một phương
pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử.


2

Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình
thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc nghiên
cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm
ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose Einstein và thống kê Fermi - Dirac như thống kê para Bose, para - Fermi, thống
kê vô hạn, các thống kê biến dạng...., với tư cách là các thống kê mở rộng [7, 8,
9, 10]. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số
biến dạng.
Trong quỏ trỡnh hc tp, tụi ó nhn thc c vic nghiờn cu tớnh cht
t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi l mt vic cú ý ngha khoa
hc trong nhiu lnh vc ca khoa hc k thut v i sng. Vỡ vy tôi đã chọn
đề tài Nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do trong
kim loi.
Mục đích của đề tài là nghiờn cu mt cỏch cú h thng, y v cỏc
thuyt nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi c c in v lng t;

Nghiờn cu cỏc tớnh cht t ca khớ in t t do. Xây dựng phõn b Fermi Dirac bin dng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử. p dng phõn b
Fermi - Dirac bin dng -q kho sỏt h khớ in t t do trong kim loi, tớnh
nhit dung v cm t ca khớ in t t do; S dng phn mm toỏn hc tớnh
nhit dung i vi mt s kim loi c th, thụng qua vic bin lun tham s bin
dng q cho kt qu lý thuyt phự hp tt vi kt qu thc nghim.
Cỏc phng phỏp chớnh ca ti l phng phỏp gii tớch toỏn hc,
phng phỏp lý thuyt trng lng t v cỏc phng phỏp nghiờn cu ca vt
lý cht rn.


3

Chương 1
LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO
TRONG KIM LOẠI
1.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng
vào khoảng đầu thế kỷ XX. Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các electron
hóa trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể. Các electron
dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác. Khi chuyển
động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai lần va chạm
liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do.
1.1.1. Lý thuyết Drude
Các giả thuyết chính của Drude bao gồm:
- Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng.
- Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như nhau:


mvT2 3
3kT

)
 kT (với vT 
2
2
m

- Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển động
có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ cuốn là vd ,
tuy vậy:
v d << vT

Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà nó đã
có trước đó.
1.1.2. Lý thuyết Lorentz
Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem
như chất khí electron lý tưởng. Các electron tự do tham gia vào chuyển động
nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với


4

chúng. Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả thiết
là yếu không đáng kể. Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron chỉ bao
gồm động năng, bỏ qua thế năng. Các electron tự do này tuân theo định luật
phân bố vận tốc Maxwell - Boltzmann.
mv 2

3



 m 
2
f (v)  4 
 . v .e 2 kT
 2kT 

(1.3)

Từ hàm phân bố này ta sẽ đi xác định giá trị của vận tốc vT


 m 
v =  v . f (v)dv  4 

 2kT 
0
2
T

2

3

m  3
= 4 
 .



 2kT  8  m 



 2kT 

 vT  3

5

3

v

2

2

.v .e



mv 2
2 kT

dv

0

3

kT

m

kT
m

(1.4)

Động năng trung bình của một phân tử khí:
Eđ 

mvT2 3
 kT
2
2

Vì động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể coi là
bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nên ta nói mỗi electron có
năng lượng là
3
2

 đ  kT

(1.5)

1.1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng
với một điện tử tự do. Khi đó năng lượng trung của các điện tử tự do trong kim
loại bằng
E  N . đ 

3
3
NkT  RT
2
2

Ở đây N: là hằng số Avôgađrô.

(1.6)


5

k: là hằng số Boltzmann.
R: là hằng số khí, R  1,99 Kcall/độ.
Vậy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại là:
C el 

dE 3
 R
dT 2

(1.7)

Mặt khác, như ta đã biết đóng góp của dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung
ở các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là:
 ion  3NkT  3RT
 C ion 

d  ion
 3R
dT

(1.8)
(1.9)

Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và nhiệt
dung của điện tử:
CV  C el  Cion 

3
9
R  3R  R
2
2

(1.10)

Nhưng thực tế chỉ quan sát thấy CV  3R đối với mọi chất rắn (định luật
Duylong - Petit). Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) chuyển
động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệt dung của kim
loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên).
Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không phù
hợp. Lý thuyết này không chỉ ra được sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung.
Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết lượng tử để nghiên cứu.
1.2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld
là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử
dụng thống kê Fermi - Dirac thay cho thống kê cổ điển Maxwell - Botltzmann,

nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô hình cổ điển của Drude và
Lorentz.


6

Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau như có
cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin... được coi là các hạt đồng nhất.
Trong cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa. Thực
ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất ở một vị trí đã cho của hạt thuộc hệ đồng nhất
là bao nhiêu. Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt trong hệ đồng nhất
dù đã đánh dấu chúng. Đó chính là nội dung của nguyên lí không thể phân biệt
được các hạt đồng nhất.
Theo thuyết lượng tử:
-

Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson) như photon,

 - meson, K-meson... thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm trên một mức

năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi khi hoán vị
các hạt. Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein.
-

Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron,

proton, neutron, positron... thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng
lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau).
Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli. Hàm sóng của hệ Fermion là đối
xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì hàm sóng của hệ đổi dấu.

Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi - Dirac.
1.2.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển
động dọc theo một trục ox nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F=-kx.
Toán tử Hammiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng
pˆ 2 1
Hˆ  x  kxˆ 2
2m 2

Với xˆ  x là toán tử tọa độ.
pˆ x  i



d
là toán tử xung lượng.
dx

k
là tần số góc của dao động.
m

(1.11)


7

Thay toán tử tọa độ xˆ và toán tử xung lượng pˆ x bằng toán tử tọa độ và xung
lượng chính tắc mới qˆ , pˆ ,
xˆ  qˆ  m x

(1.12)

i d
m dx

pˆ x  pˆ  

Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ :

 pˆ , qˆ   pˆ qˆ  qˆpˆ  

 i d 
i d
( m x)  m x 

m dx
m dx 


i



m

. m

i
m

. m x.

d
i
d

. mx
 i
dx
dx
m

(1.13)

Từ (1.12) suy ra
qˆ

x

m
2 d 2
d2
m
pˆ 2  

  2 pˆ 2
2
2
m dx

dx


(1.14)

Thay (1.14) vào (1.11) ta được:
1
Hˆ  ( pˆ 2   2 qˆ 2 )
2

(1.15)

Đặt

aˆ  aˆ 
2



qˆ 



 
pˆ  i
aˆ  aˆ
2



(1.16)



Khi đó
pˆ 2  i


qˆ 2 

 
 
aˆ  aˆ .i
aˆ  aˆ
2
2







  2
aˆ  aˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ 2
2






aˆ  aˆ  .
aˆ  aˆ 
2
2














8



2
 2
aˆ  aˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ 
2





Thay pˆ 2 , qˆ 2 vào (1.15) ta được
1    2
Hˆ  
aˆ  aˆ  aˆ  aˆ aˆ   aˆ 2
2 2



  12  2 . aˆ
2

2



2 
 aˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ  



 
Hˆ 
(2aˆ  aˆ  2aˆaˆ  ) 
(aˆ aˆ  aˆaˆ  )
4
2

Dựa vào (1.13) ta xét

 pˆ , qˆ   pˆ qˆ  qˆpˆ
=

i


2

 
 
aˆ  aˆ aˆ  aˆ   i
(aˆ  aˆ  )(aˆ   aˆ )
2
2 2







2
2
i 
aˆ aˆ  aˆ   aˆ 2  aˆaˆ   aˆaˆ   aˆ 2  aˆ   aˆ  aˆ
2
i

2aˆ  aˆ  2aˆaˆ 

2





 







Vậy
aˆ  aˆ  aˆaˆ   1
 aˆaˆ   aˆ  aˆ  1

Hay: aˆ , aˆ    1

(1.17)

Ta cũng có:
 
 
1

Hˆ 
aˆ aˆ  aˆaˆ  
aˆ aˆ  1  aˆ  aˆ    aˆ  aˆ  

2
2
2










Đặt: Nˆ  aˆ  aˆ
Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ với các toán tử aˆ  , aˆ .

Nˆ , aˆ   Nˆ aˆ  aˆNˆ  aˆ aˆaˆ  aˆaˆ aˆ  aˆ aˆ  aˆaˆ aˆ  aˆ


Nˆ , aˆ   Nˆ aˆ


Vậy:









 aˆ  Nˆ  aˆ  aˆaˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  (aˆaˆ   aˆ  aˆ )  aˆ 

(1.18)


9

Nˆ , aˆ   aˆ
(1.19)

Nˆ , aˆ   aˆ




Kí hiệu n là vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, ta có phương
trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Nˆ như sau:
Nˆ n  n n

(1.20)

Từ (1.20) ta có: n 
2

n Nˆ n
nn



n aˆ  aˆ n
nn

0

(1.21)



Vì n n    n r  dr  0
Mà Nˆ , aˆ  , aˆ là các toán tử Hermite nên ta có

n Nˆ n  n aˆ  aˆ n   aˆ n r  dr 0
2

(1.22)

 Kết luận 1: n  0 nghĩa là các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm.
 Kết luận 2: Nếu n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, thì
aˆ n cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1),
aˆ 2 n cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-2),

... aˆ p n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-p)...
Và aˆ  n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+1),
2
aˆ  n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+2),

P

... aˆ  n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+p)...
Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau:
Nˆ n  n n

Mà Nˆ , aˆ   aˆ
 Nˆ aˆ  aˆ  aˆNˆ
 Nˆ aˆ n  aˆ n  aˆNˆ n
 Nˆ aˆ n  aˆNˆ n  aˆ n  aˆn n  aˆ n  n  1aˆ n


10

Vậy aˆ n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1).
Ta có:

Nˆ , aˆ aˆ  aˆ

2

 Nˆ aˆ 2  aˆNˆ aˆ  aˆ 2
 Nˆ aˆ 2 n  aˆNˆ aˆ n  aˆ 2 n

 aˆ n  1aˆ n  aˆ 2 n
 n  1aˆ 2 n  aˆ 2 n  n  2 aˆ 2 n

Vậy aˆ 2 n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-2).
Chứng minh tương tự ta được aˆ p n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị
riêng (n-p)...
Đối với vector trạng thái aˆ  n , ta cũng tác dụng lên vector trạng thái này
toán tử Nˆ và sử dụng công thức (1.19) ta có:

Nˆ aˆ  n  aˆ  Nˆ n  aˆ  n
 Nˆ aˆ  n  aˆ  n n  aˆ  n  (n  1)aˆ  n

Vậy aˆ  n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n +1).
Ta có: Nˆ , aˆ  aˆ   aˆ 

2

2
2
 Nˆ aˆ  n  (n  2)aˆ  n

2

Điều này chứng tỏ aˆ  n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n
+2).
...Tương tự ta cũng chứng minh được aˆ  p n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với
trị riêng (n+p)...
 Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin=0.
Vì n  0  nmin=0.
Trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không: n  0
Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình aˆ 0  0


11

Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử Nˆ thì chuỗi các số không âm
(n-1), (n-2), (n-3)... cũng là trị riêng của toán tử Nˆ . Chuỗi này giảm dần nên
phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để aˆ nmin  0 .
Nếu aˆ nmin  0 thì đó là vector trạng thái ứng với trị riêng nmin - 1< nmin, điều

này trái với giả thiết nmin là nhỏ nhất.
Vậy aˆ nmin  0 hay aˆ 0  0 .
Trong trạng thái chân không này ta cũng có:
aˆ 0  0 tỉ lệ với trị riêng 1 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n=1.
2
aˆ  0  0 tỉ lệ với trị riêng 2 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n=2.

n

... aˆ  0  0 tỉ lệ với trị riêng n của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n.
1
Từ công thức (1.18) ta có: Hˆ    Nˆ  

(1.23)

2



Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng
Hˆ n  E n

(1.24)

Từ (1.23) ta cũng có:
1
1


Hˆ n   Nˆ   n   n   n

2
2



(1.25)

1
Từ (1.24) và (1.25) suy ra: E n   n  


(1.26)

2

1
Nên: 0 là vector riêng của toán tử Hˆ ứng với trị riêng E 0   .
2

 1
1 là vector riêng của toán tử Hˆ ứng với trị riêng E1  1   .
 2
1
... n là vector riêng của toán tử Hˆ ứng với trị riêng E n   n   .


2

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn
với các giá trị cách đều nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau

luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  .


12

Trạng thái 0 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E0.
Trạng thái 1 ứng với mức năng lượng là E1= E0+  , có thể được xem là kết
quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0
Trạng thái 2 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E2= E1+  , có thể được
xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 ,
hay thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 ...
Nếu lấy gốc năng lượng là E 0 


thì E n  n.
2

Ta có thể coi 0 là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào.
là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng.

1

... n là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng.
Toán tử Nˆ có các trị riêng không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận
là toán tử số lượng tử năng lượng nên gọi Nˆ là toán tử ‘‘số hạt’’.
Toán tử aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n  1 , do đó aˆ được
đoán nhận là toán tử ‘‘hủy’’ lượng tử năng lượng, hay aˆ được gọi là toán tử
‘‘hủy’’ hạt.
Toán tử aˆ  khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n  1 , do đó aˆ  được
đoán nhận là toán tử ‘‘sinh’’ lượng tử năng lượng, hay aˆ  gọi là toán tử ‘‘sinh’’

hạt.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể
coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  .
Cuối cùng, ta đi tính các hệ số n Nˆ n trong các hệ thức
aˆ n   n n  1
aˆ  n   n n  1
n

n   n aˆ  0

Để cho các vector trạng thái là trực giao, chuẩn hóa

(1.27)


13

(1.28)

m n   m ,n
n Nˆ n

Từ (1.21) và (1.28) ta có n 

nn

 n Nˆ n

(1.29)

Vì aˆ , aˆ  là các vector Hermite nên:
n aˆ   n* n  1

- n aˆ    n* n  1
n  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n

  n* n  1  n n  1   n
 n

2

n 1 n 1

2

Coi  n là số thực nên  n  n
Mặt khác ta lại có:
n  n Nˆ n  n aˆaˆ   1 n

 n aˆaˆ  n  n n
  n* n  1  n n  1  1
2

 n 1

Coi  n là số thực nên:  n  n  1 .
n

n 1

aˆ  0  aˆ  aˆ  0  aˆ 

n 1

n 2

11

 1aˆ  aˆ  1  1aˆ 

...  1.2...n aˆ 

nn

n2

22

n

 n! n

n 

1
n!

Vậy ta có các công thức sau:
aˆ n  n n  1
aˆ  n  n  1 n  1

n 

1
n!

n

aˆ  n

(1.30)


14

Yếu tố ma trận của aˆ , aˆ  , Nˆ trong n biểu diễn có thể tính nhờ các biểu thức
sau:
n , aˆ n  n n , n  1  n n, ,n 1
n , aˆ  n  n  1 n , n  1  n  1 n, , n1
n , Nˆ n  n n , n  n n, ,n

Dạng ma trận của các toán tử aˆ , aˆ  , Nˆ là:
0

0
aˆ    0
0

0

1


0
Nˆ   0

 ...
0


 

1

0

0

...

0

2

0

...

0
...

0

...

3 ...
... ...

0

0

0

0
2
0
...
0

0
0
3
...
0

0
0
0
...
0

... 

... 

... 
... 

n 1

...

aˆ 


0

 1
0

0
 ...

0


0

0

...

0

2
0

0 ...
0 ...
3 ...

...
0

...
0

...
...

... 

... 
... 

... 
... 
n  1 

...

...
...


...
n 

(1.31)

1.2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi - Dirac
1.2.2.1 Dao động tử Fermion
Các hạt Fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh hạt, hủy hạt Fermion
bˆ  , bˆ và toán tử số hạt Nˆ  bˆ  bˆ .

Hàm sóng của hệ N hạt Fermion đồng nhất  k ,k ,,,k ( x1 , x 2 ,...x N ) có thể lựa chọn
1

2

N

là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng  k x1  của từng hạt Fermion
 k ,k
1

2 ,...k N

x1 , x 2 ,...x N  

1

  1
N!

v



Pv  k1 ( x1 ) k2 ( x 2 )... k N ( x N )



v

=

 k x1   k ( x 2 ) ...  k ( x N )
1  k ( x1 )  k ( x 2 ) ...  k ( x N )
1

1

2

2

...
N ! ...
 k N ( x1 )  k N ( x 2)

1

2

...
...
...  k N ( x N )

Xét trạng thái được mô tả bởi hàm sóng  (0) .

(1.32)


15

bˆk (0)   k ( x)

(1.33)

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái  (0) ta được
1
bˆk1 bˆk2  (0) 
(1) v Pv  k1 ( x1 ) k 2 ( x 2 )

2! v



1



2!



k1




( x1 ) k2 ( x 2 )   k1 ( x 2 ) k2 ( x1 )

1
bˆk1 bˆk2 bˆk3  (0) 
 (1) v Pv  k1 ( x1 )k2 ( x 2 )k3 ( x3 )
3! v





1
3!



k1



( x1 ) k2 ( x 2 ) k3 ( x3 )   k1 ( x1 ) k2 ( x3 ) k3 ( x 2 )

  k1 ( x 2 ) k2 ( x1 ) k3 ( x3 )   k1 ( x3 ) k2 ( x 2 ) k3 ( x1 )

  k1 ( x 2 ) k2 ( x3 ) k3 ( x1 )   k1 ( x3 ) k2 ( x1 ) k3 ( x 2 )
1
... bˆk bˆk ...bˆk  (0) 
1

 (1) P 
N!

N

2

v

v

k1

( x1 ) k 2 ( x 2 )... k N ( x N )




(1.34)

v

Khi hoán vị k i , k j thì tổng (1.34) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu. Ta có:
bˆk, bˆk bˆk1 bˆk2 ...bˆkN  (0)  bˆk bˆk, bˆk1 bˆk2 ...bˆkN  (0)





 bˆk bˆk,  bˆk, bˆk  bˆk , bˆk,  0 (tính chất giao hoán)

(1.35)

Vì toán tử bˆk liên hiệp với toán tử bˆk nên

bˆ , bˆ  0
k

(1.36)

k,

Khi k  k , ta thấy: bˆk bˆk  bˆk bˆk  0
Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n1 hạt ở trạng thái k1, n2 hạt ở trạng thái
k2,...ns hạt ở trạng thái ks. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt Fermion trong
biểu diễn số lấp đầy có dạng:

  bˆ  ...bˆ 

 (n1 , n 2 ,...n s )  bˆk1

n1


k2

Với: N = n1 +n2+...ns
Chú ý rằng

 

bˆk bˆk

nk

bˆ 
nk  0
  k khi
nk  1
0

n2


ks

ns

 0

(1.37)


16

 

bˆk bˆl

nl

bˆk
nl  0
khi

nl  1, l  k
 bˆl bˆk

n
l n
Suy ra: bˆk bˆk   (1  nk )bˆk 
k

 

bˆk bˆl

nl

 

 (1) nl bˆl

nl

k

bˆk khi l  k

(1.38)

Sử dụng (1.38) ta xét tác dụng của toán tử bˆk lên hàm sóng của hệ N hạt
Fermion (n1 , n2 ,...n s ) ta có

  bˆ  ...bˆ   (0)
bˆ  bˆ  ...bˆ bˆ  ...bˆ   (0)
 (1)
 (1)
(1  n )bˆ  bˆ  ...bˆ  ...bˆ 

bˆk  (n1 , n2 ,...n s )  bˆk bˆk1

n1


k2

n2

n1  n2 ... nk 1


ks



k1

ns

n1


k2

n1  n2 ... nk 1

k

n2


k1


k

n1


k2


k

nk

n2


ks


k

ns

1 nk


ks

ns

 (0)

 (1) v (1  nk ) (n1 , n2 ,...(1  nk ),...ns )

(Với v k  n1  n2  ...nk 1 : tổng các số lấp đầy đứng trước k).
Vậy bˆk (n1 , n2 ,...ns )  (1) v (1  nk )(n1 , n2 ,...(1  nk ),...n s )
k

(1.39)

Tương tự, cho toán tử bˆk tác dụng lên hàm sóng (n1 , n2 ,...n s ) và dựa vào định
nghĩa sau

bˆk  (n1 , n 2 ,...0k ,...n s )  bˆk  (n1 , n2 ,...1k ,...n s )
  1k  (n1 , n2 ,...,0k ,...n s )

(1.40)

Với  là hệ số cần xác định.
Ta có thể viết: bˆk (n1 , n2 ,...nk ,...ns )   nk  (n1 , n2 ,...,1  nk ,...n s )

(1.41)

Với  nk  thỏa mãn điều kiện  nk  0  0 .
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có:
(n1 , n 2 ,..., (1  n k ),...n s ) bˆk  (n1 , n 2 ,..., nk ,...n s )
 bˆk  (n1 , n2 ,...(1  nk ),...n s )  (n1 , n2 ,...n k ,...n s )
 (1) vk 1  (1  n k )  (n1 , n2 ,...1  (1  n k ),...n s  (n1 , n2 ,...nk ,...n s )
 (1) vk nk  (n1 , n 2 ,...n k ,...n s ) (n1 , n 2 ,...n k ,...n s )  (1) vk n k


17

Vậy  nk = (1) v nk
k

Suy ra: bˆk (n1 , n2 ,...n s )  (1) v nk  (n1 , n2 ,...,1  nk ,...ns )
k

(1.42)

Toán tử Nˆ k  bˆk bˆk là toán tử số hạt và nk=0 ;1 (do nguyên lý loại trừ Pauli).
Nˆ k  (n1 , n2 ,...nk ,...n s )  bˆk bˆk  (n1 , n 2 ,...n k ,...n s )

 (1) vk .n k bˆk (n1 , n 2 ,...(1  n k ),...n s )
 (1) vk .n k .(1) vk 1  (1  n k ) (n1 , n 2 ,...1  (1  n k ),...n s )
 nk2 (n1 , n 2 ,...nk ,...n s )

Vì nk=0 ;1 nên nk2  nk
Suy ra: Nˆ (n1 , n2 ,...nk ,...n s )  nk  (n1 , n2 ,...nk ,...ns )

(1.43)

Sử dụng các công thức (1.41),(1.42) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử bˆk , bˆk
tuân theo hệ thức phản giao hoán sau

bˆ , bˆ  bˆ , bˆ  0
bˆ , bˆ  
l

k


l

l


k

l ,k


k

(1.44)

1.2.2.2 Thống kê Fermi - Dirac
Để xây dựng thống Fermi - Dirac ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử như sau
Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F, tương
ứng với toán tử Fˆ trên tập hợp chính tắc lớn:

  
  

 


Tr exp   Hˆ  Nˆ .Fˆ
Fˆ 
Tr exp   Hˆ  Nˆ

trong đó

(1.45)

 : Thế hóa học
Hˆ : Toán tử Hamiltonian của hệ



1
với k: Là hằng số Boltzmann

kT

T: Nhiệt độ của hệ.
Chọn gốc tính năng lượng là E 0 


.
2


18

Thì Hˆ n  .n , hay Hˆ  Nˆ (với  là năng lượng của một lượng tử năng
lượng).
Chú ý rằng
TrFˆ   n Fˆ n
n

f ( Nˆ ) n  f (n) n

Ta tính số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng là

  
 
  

Ta có: Tr exp  Hˆ  Nˆ .Nˆ   Tr exp     Nˆ .Nˆ 
Tr exp   Hˆ  Nˆ .Nˆ
Nˆ  bˆ  bˆ 
Tr exp   Hˆ  Nˆ

1

(1.46)

1

ˆ

  n e       N .Nˆ n   e      .n .n
n 0

e

  

Tr exp   Hˆ  Nˆ

  Tr e

n 0

     

      Nˆ

1


ˆ

1

  n e       N n   e       n
n 0

 1 e
e   (   )
Vậy Nˆ 

  (   )
1 e

n 0

     

1
e

 (   )

1

Đây chính là công thức xác định số hạt trung bình trong một trạng thái lượng
tử, nên ta có thể viết
1

n ( )  f ( ) 
e

(   )
kT

(1.47)
1

Đây chính là hàm phân bố Fermi - Dirac. Ý nghĩa của phân bố này là nó biểu
diễn xác suất có điện tử nằm trên mức năng lượng  tại nhiệt độ T
Bây giờ ta sẽ xem xét một số tính chất của hàm phân bố này.
a) Tại T=00K.
Các điện tử sẽ lấp đầy các mức năng lượng từ dưới lên trên đến một mức cao
nhất là mức Fermi  F trong đó  F  lim  . Thật vậy
T 0


19

(   F )
1
lim f ( )   khi
T 0
(   F )
0

Vậy khác với lý thuyết cổ điển, ngay cả tại T=00K cũng có thể có trường hợp
tất cả các điện tử cùng nằm trên một mức năng lượng. Ở nhiệt độ 00K, các điện
tử phân bố rất đặc biệt, mỗi một trạng thái ứng với mức năng lượng    F đều
chứa một electron, còn các trạng thái    F đều bỏ trống. Nếu kể đến spin thì


2

ứng với mỗi mức năng lượng sẽ có hai trạng thái lượng tử riêng biệt s   . Khí
điện tử tự do ở 00K là khí điện tử suy biến hoàn toàn.
b) Tại T  00K.
Khi được cung cấp thêm năng lượng từ bên ngoài thì nhiệt độ của hệ sẽ tăng
lên. Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng
lượng nằm trên mức Fermi. Đến nhiệt độ T0 nào đó, electron ở mức thấp nhất
  0 cũng có thể nhảy lên mức Fermi.

Ta đã biết  F  lim  , nhưng vì đối vời kim loại  phụ thuộc rất nhiều vào
T 0

yếu tố nhiệt độ,    F cho đến tận nhiệt độ phòng nên thực tế trong phân bố
Fermi - Dirac người ta thường dùng luôn  F thay cho  và viết:
1

f ( ) 
e

(   F )
kT

1

- Khi    F  f ( )  1  các mức năng lượng thấp hơn nhiều so với mức
Fermi đều bị lấp đầy hoàn toàn.
( F   ) 
  
  đối với các mức cao

  A exp 
 kT 
 kT 

- Khi    F  f ( )  exp

hơn nhiều so với mức Fermi thì xác suất lấp đầy giảm theo hàm exp (đây
chính là phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển).
- Khi    F  ta có vùng nhạy cảm.


20

1
2
    F  2kT  f ( )  0,12
    F  f ( ) 

    F  2kT  f ( )  0,88

Có thể nói rằng, trong một vùng chuyển tiếp có độ rộng chỉ cỡ  2kT xác suất
các mức năng lượng quanh  F có bị chiếm giữ hay không đã thay đổi rất mạnh.

Hình 1: Hàm phân bố Fermi - Dirac tại các nhiệt độ khác nhau

Đáng chú ý là phân bố của các điện tử tại các nhiệt độ thường gặp trên thực tế
không sai khác bao nhiêu so với phân bố của chúng tại 00K, lý do là vì
kT   F . Thật vậy, ta thường có  F  1,5eV  15eV đối với các kim loại, còn kT~

0,03 eV tại các nhiệt độ thông thường, do đó kT ~  F chỉ khi T ~ 105 0K.

1.2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
1.2.3.1 Cách tình gần đúng đơn giản
Nhiệt dung của khí điện tử tự do lượng tử tuân theo định luật:


21

CVel ~ T

Ta có thể rút ra định luật này từ nguyên lý loại trừ Pauli một cách đơn giản như
sau
- Nguyên lý Pauli làm cho ngay cả tại 00 K các điện tử cũng không phải
cùng nằm trên mức năng lượng thấp nhất, mà chúng lấp đầy một loạt các
mức năng lượng liền nhau từ mức thấp nhất đến một mức cao nhất nào đó
gọi là mức Fermi (  F ) .
- Khi tăng nhiệt đô, không phải tất cả các điện tử đều có thể thay đổi năng
lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức năng lượng cao hơn, vì các
mức này nói chung đều đã bị lấp đầy, chỉ có các điện tử nằm ở các mức
năng lượng gần  F mới có khả năng này.
- Giả sử chỉ có các điện tử nằm trên các mức năng lượng trong vùng kT
quanh mức Fermi  F mới có khả năng thay đổi năng lượng của mình. Khi
đó, số điện tử này được tính bằng kT.g(  F ).
- Mỗi một điện tử như vậy khi chuyển mức sẽ thu thập thêm năng lượng cỡ
kT. Do đó ta có
  kT .kT .g ( F )  kT  .g ( F )
2

- Từ đây tính ra: CVel  2k 2T .g ( F )  3Nk

kT

F

(1.48)

Chú ý rằng theo công thức này CVel ~ T , và như vậy đã khác xa công thức tính
CVel theo lý thuyết cổ điển, vì lý thuyết cổ điển cho kết quả CVel  const , không

phụ thuộc vào nhiệt độ. Ví dụ công thức cổ điển viết cho kim loại kiềm là:
 

3
 3
NkT  CVel 
 Nk
2
T 2

1.2.3.2. Nhiệt dung của Khí lý tưởng Fermi
Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng
không giữa các nút mạng. Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một


22

chất khí. Các ion dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra
hiệu ứng chắn, nên tương tác giữa các electron yếu đi nhiều, song các electron tự
do này vẫn có thể di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể. Nếu bỏ qua tương tác,
tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lý tưởng Fermi
Electron có khối lượng rất nhỏ ( me ~ 10 31 kg ) , spin của electron s 

1
(tính
2

theo đơn vị hằng số Planck  ). Mật độ electron tự do trong kim loại rất lớn
(thông thường cỡ 1022 - 1024/cm3). Khí electron tự do trong kim loại tuân theo
phân bố Fermi - Dirac. Do đó số electron trung bình trong một trạng thái lượng
tử bằng:
1

n ( )  f ( ) 
e

(   )
kT

1

Thế hóa học  phụ thuộc vào nhiệt độ T. Khi T  0 thì    0   F .
Vì các electron lần lượt chiếm các mức năng lượng từ 0 đến  0 nên  0 phải phụ
thuộc vào số electron.
Tổng số điên tử tự do ở nhiệt độ T được tính theo công thức sau:


(1.49)

N    ( )n ( ).d ( )
0

Với  ( ) là mật độ trạng thái, và  ( ) 

g ( ).V
2m 3 / 2 . 1 / 2
2 3
4 

g ( ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng  .

Vì mỗi mức năng lượng  ứng với hai trạng thái s  

1
nên g ( )  2s  1  2 .
2

n ( ) là sô hạt trung bình có năng lượng  .


Vậy N  
0



2.V
(2m) 3 / 2 . 1 / 2 .
4 2 . 3

V .(2m) 3 / 2
2 2  3



 1/ 2


0

 

e

kT

1

1

d

 

e

d

kT

1

(1.50)

23

Năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T là:




 .2.V
2m 3 / 2  1 / 2
2
3
0 4 .

1

E    ( )n ( )d  
0





V .(2m) 3 / 2
2 2  3

 3/ 2



0

 

e

kT

d

 



kT

1

d

(1.51)

1

3/ 2

Đặt  

V .2m 
2. 2 . 3



 1/ 2

N 
0

 

e



(1.52)

d

(1.53)

1

 3/ 2

E 
0

kT

d

 

e

kT

1


F ( )

Xét các tích phân: I P  
0

Với F ( )   P

(P 

 

e

kT

d

(1.54)

1

1
3
;P  )
2
2

Khi đó: N  I 1 / 2 , E  I 3 / 2
Đặt biến số mới:  

 
kT


Khi đó ta có:

IP  





0

 IP  





   kT      

F (   )
d
e  1




F (   )
F (   )
d   
d

e 1
e  1
0



Thay    trong tích phân đầu tiên và chú ý:
1
1
 1 
e 1
e 1


Khi đó IP có dạng:

(1.55)