Phương pháp Laplace trong khai triển tiệm cận của tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ MẠNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG
KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội-2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ MẠNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG
KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 604601

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Hào

Hà Nội-2011

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 13 chuyên
ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên
giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện
đề tài nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình
chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những
hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
học viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Lê Mạnh Hùng


Lời cam đoan

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "PHƯƠNG
PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA
TÍCH PHÂN" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân
tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Lê Mạnh Hùng


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Một số kiến thức về giải tích phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.4. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.5. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2. Khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.1. Một số khái niệm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.2. Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.2.3. Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.2.4. Chuỗi lũy thừa tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.5. Tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . .
2.1. Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
40

2.1.1. Tích phân Euler loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.2. Tích phân Euler loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2. Hàm Gamma không hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3. Tích phân Fresnel và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4. Bài toán của Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Chương 3. Phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

53
53


3.2. Chứng minh của xấp xỉ Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.3. Một số áp dụng của xấp xỉ Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.4. Mở rộng của phương pháp xấp xỉ Laplace . . . . . . . . . . . . . . .

62

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tế thường xảy ra rằng, những chuỗi phân kỳ có thể được
sử dụng cho sự tính toán giá trị số của một đại lượng mà theo nghĩa nào
đó có thể được xem như là “tổng” của chuỗi. Trường hợp điển hình là
đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số số hạng đầu tiên của
chuỗi thực sự đem lại hiệu quả mong muốn. Trong hầu hết các trường
hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi biến số độc lập
tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó), nhưng những số hạng sau bắt
đầu tăng trở lại. Các chuỗi như vậy được gọi là chuỗi bán hội tụ, và
việc tính toán giá trị số thường được thực hiện bởi một số các số hạng
đầu của chuỗi.
Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành
từ các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết
tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi T. J. Stieltjes và
H. Poincaré. Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là lý
thuyết chuỗi tiệm cận. Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó
được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận. Thường thì các dãy hàm đó
được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như
nghiệm của phương trình vi phân.
Có một số phương pháp để nghiên cứu tiệm cận của các tích phân

3


như phương pháp tích phân từng phần, phương pháp điểm yên ngựa,
phương pháp dừng pha, . . . . Để tiếp cận với lý thuyết này, được sự
định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP
LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH
PHÂN” để hoàn thành Luận văn khóa đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành

Toán giải tích.
Bố cục của luận văn được trình bày trong 03 chương
Chương 1. Chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản về lý
thuyết hàm số biến số phức và về lý thuyết tiệm cận.
Chương 2. Một trong những phương pháp đơn giản nhất để thu
được xấp xỉ tiệm cận của tích phân là phương pháp tích phân từng
phần. Để hình dung được một cách đơn giản nhất, trong chương này
của luận văn chúng tôi minh họa phương pháp bằng các ví dụ cụ thể
để thu được xấp xỉ tiệm cận của các tích phân: tích phân Euler loại
một và loại hai; hàm Gamma không hoàn chỉnh; tích phân Fresnel và
tính chất; bài toán của Stieltjes.
Chương 3. Đây là phần chính của luận văn, ở đây chúng tôi trình
bày ý tưởng của phương pháp Laplace trong việc xấp xỉ tiệm cận của
tích phân có dạng.
β

φ(x)evh(x) dx.
α

Tuy nhiên, việc đưa ra một chứng minh hoàn chỉnh của phương pháp
Laplace theo con đường gợi ý trên đây là rất phức tạp. Trong phần này,
chúng tôi giới thiệu một phép chứng minh của G. Pólya và G. Szego
với các điều kiện đủ tổng quát cho nhiều áp dụng. Cuối cùng, chúng
4


tôi trình bày một kết quả mở rộng của phương pháp Laplace đối với
tích phân chứa tham số dạng
β

φ(x, υ).eh(x,υ) dx.
α

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về lý thuyết tiệm cận và phương pháp Laplace
đối với xấp xỉ tiệm cận của tích phân.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp Laplace đối với tiệm cận của tích phân trong trường
hợp một chiều. Ngoài ra, chúng tôi cũng mở rộng thêm cho trường hợp
tích phân tham số.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.

5. Dự kiến các đóng góp của luận văn
Hệ thống hóa các kiến thức căn bản về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận;
Trình bày phương pháp tích phân từng phần xấp xỉ một số tích phân đặc
biệt như tích phân Euler, tích phân Fresnel, bài toán của Stieltjes,. . . ;
Đưa ra một chứng minh đầy đủ đối với phương pháp Laplace về xấp xỉ
5


của tích phân với những giả thiết đáp ứng được yêu cầu trong những
áp dụng thực tiễn.

6

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số kiến thức về giải tích phức
1.1.1. Số phức và mặt phẳng phức
Số phức là số có dạng z = x + iy với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo
mà i2 = −1 . Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu
x = Re z, y = Im z.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C và được đồng nhất với mặt
phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
và
z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 )
= x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
7


Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá
trị |z| =

x2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký

hiệu và xác định bởi z¯ = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra
được
Re z =

z + z¯
z − z¯
, Im z =
2
2i

và
|z|2 = z.¯
z,

z¯
1
= 2 , với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ , với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là arg z (argument
của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một
bội của 2π). Argument của số phức z thỏa mãn 0 ≤ arg z < 2π được
gọi là argument chính, ký hiệu là phz. Ta có
eiθ = cosθ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục
Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối
cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2. Các tập hợp trong mặt phẳng phức
Cho z0 ∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} .
Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp

Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} .
8


Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}.
Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, kí hiệu là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} .
Cho tập Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn
tại r > 0 sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là int Ω gồm
tất cả các điểm trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó
đều là điểm trong.
Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm
z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các
điểm zn ∈ C sao cho zn = z và lim zn = z. Chúng ta có thể kiểm tra
n→∞

được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.
Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký
¯ Biên của Ω kí hiệu là ∂Ω = Ω\
¯ int Ω.
hiệu là Ω.
Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| < M với mọi z ∈ Ω. Nếu
tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} .
Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Ω ⊂ C
được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng
Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1

Ω2 . Một tập mở liên thông trong C được gọi

là một miền. Tập đóng F là liên thông nếu không thể viết F = F1
ở đó F1 và F2 là các tập đóng rời nhau.

9

F2


1.1.3. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là
chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
h

(1.1)

khi h → 0, ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z)
tại điểm z0 . Như vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f (z) gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của
Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f (z) là chỉnh hình trên M nếu
f (z) là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M . Hàm f (z) chỉnh
hình trên C được gọi là hàm nguyên.

Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong C và
f (z) = 1. Thật vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
(z + h) − z
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f (z0 ) = lim

Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n chỉnh hình trên
mặt phẳng C và
P (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 .
Trong khi đó, hàm f (z) = z¯ là không chỉnh hình trên toàn mặt phẳng.
Thật vậy, ta thấy
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h
=
=
=
h
h
h
h
10

không có giới hạn khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và
chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
h→0

ta có a = f (z0 ).
Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm
hai biến có sự khác biệt đáng kể. Như ta đã thấy hàm f (z) = z¯ không
khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ
F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo
hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức
Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ.
Mối quan hệ giữa hai khái niệm khả vi đó được phản ánh qua kết quả
dưới đây
Định lý 1.1. (Điều kiện Cauchy-Riemann) Điều kiện cần và đủ để
hàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại
điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng
thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann
∂u
∂v
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y),

(x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x

11

(1.3)


1.1.4. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n + · · · ;

(1.4)

n=0

trong đó an ∈ C, n = 0, 1, 2, ....
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z0 nào đó,
thì nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Hơn nữa, ta cũng biết
rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối.
∞

Định lý 1.2. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

an z n . Khi đó, tồn tại

n=0

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi
là đĩa hội tụ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng
phức là các hàm lượng giác
∞

z 2n
cos z =
và sinz =
(−1)
(2n)!
n=0
n

∞

z 2n+1

(−1)
.
(2n
+
1)!
n=0
n

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
eiz + e−iz
eiz − e−iz
cosz =
và sinz =
.
2
2
12


∞

Định lý 1.3. Chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n xác định một hàm chỉnh

n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi
lũy thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm

f (z), tức là
∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f (z) có cùng bán kính hội tụ với f (z).
1

Chứng minh. Bởi vì lim n n = 1, nên ta có
n→∞

1

1

lim sup |an | n = lim sup |nan | n .

n→∞
∞

n→∞

∞

n

nan z n−1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng

an z và

Do đó, chuỗi
n=0

n=0

minh khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi
∞

nan z n−1

g(z) =
n=1

bằng đạo hàm của f (z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f (z) và giả
sử |z0 | < r < R. Ta viết
f (z) = Sn (z) + EN (z)
với

∞

N

an z n .

n

SN (z) =

an z và EN (z) =
n=0

n=N +1

Khi đó, nếu chọn h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
− g(z0 ) =
h

SN (z0 + h) − SN (z0 )
− S N (z0 )
h

+ (S N (z0 ) − g(z0 ))
+

EN (z0 + h) − EN (z0 )
.
h
13


Ta thấy
EN (z0 + h) − EN (z0 )
≤
h

∞

n=N +1
∞

(z0 + h)n − z0 n
|an |
h
|an |nrn−1 .

≤
n=N +1

Ở đó ta đã sử dụng |z0 | < r và |z0 + h| < r. Biểu thức ở vế phải là phần
dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệt đối với mọi |z| < R.
Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi N ≥ N1 ta có
EN (z0 + h) − EN (z0 )
ε
< .
h
3
Từ lim S N (z0 ) = g(z0 ) nên ta tìm được N2 mà với mọi N ≥ N2 ta có
N →∞

ε
|S N (z0 ) − g(z0 )| < .
3
Cố định N > max {N1 , N2 } thì ta có thể tìm được δ > 0 sao cho |h| < δ
thì
SN (z0 + h) − SN (z0 )
ε

− S N (z0 ) < .
h
3
Do đó
f (z0 + h) − f (z0 )
− g(z0 ) < ε
h
khi |h| < δ.
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của
nó. Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng
cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc
có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy
14


∞

thừa

an (z − z0 )n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho

n=0
∞

an (z − z0 )n

f (z) =
n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f (z) có khai triển chuỗi lũy
thừa tại mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f (z) giải tích trên Ω.
Từ định lý 1.3, ta thấy rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh
hình trên đó.
1.1.5. Tích phân phức
Đường cong tham số. Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên
đoạn [a, b] và z (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b
các đại lượng z (a) và z (b) được hiểu như các giới hạn một phía
z (a) = lim+
h→0

z(a + h) − z(a)
z(b + h) − z(b)
và z (b) = lim−
.
h→0
h
h

Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b]
và tồn tại các điểm a0 = a < a1 < · · · < an = b, ở đó z(t) là trơn trên
mỗi đoạn [ak , bk+1]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có
thể khác nhau với mọi k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d]
15

đến [a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Điều kiện t (s) > 0 đảm
bảo hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a
đến b. Họ của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác
định một đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu
được từ γ bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được
xác định như sau
z − :[a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường
cong. Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) =
z(b); được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa
là nếu t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra
s = a và t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là
một đường cong.
Ví dụ 1.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π].
Định nghĩa 1.1. Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương. Cho
đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C và
16


f (z) là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f (z) dọc theo γ được
xác định bởi
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Giả sử z¯ là một tham số hóa tương đương xác
định như trên thì
b

d

f (z(t)) .z (t)dt =
a

f (z(t(s))) .z (t(s)) .t (s)ds
c
d

f (¯
z (s)) z¯ (s)ds.

=
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
n−1

ak+1

f (z)dz =

f (z(t)) z (t)dt.
k=0 a
k

γ

Từ định nghĩa 1.1, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Ví dụ 1.2. Tính tích phân
n

(z − z0 ) dz; n = 0, ±1, ±2, ...;
γ

trong đó γ là đường tròn z = z0 + reit , t ∈ [0,2π].
Ta có
n

2π

(re ) (ireit )dt = i

(z − z0 ) dz =
γ

2π
it n

0

rn+1 ei(n+1)t dt.
0

17


Nếu n = −1, thì tích phân trên trở thành
2π

dz
=i
z − z0

dt = 2πi.

γ

0

Nếu n = −1 thì ta có


n

(z − z0 ) dz = irn+1 
γ



2π

[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt = 0.
0

Ví dụ 1.3. Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham
số z = z(t), t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó
b

dz =
γ

b

z (t)dt =
a

b

dx(t) + i
b

dy(t)
b

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a),
b

zdz =
γ

b

1
z(t).z (t)dt =
2
a

d z 2 (t) =

1 2
z (b) − z 2 (a) .
2

a

Định lý 1.4. Nếu hàm f (z) liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω,
và γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2 , thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Chứng minh. Nếu γ là một đường cong trơn và z(t) : [a, b] → C là
phương trình tham số của đường cong γ thì

18


b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) .z (t)dt
a
b

=

F (z(t)) .z (t)dt
a
b

d
F (z(t)) dt
dt

=
a

= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2 ) − F (ω1 ).

Nếu γ trơn từng khúc thì ta có
n−1

[F (z(ak+1 )) − F (z(ak ))]

f (z)dz =
γ

k=0

= F (z(an )) − F (z(a0 ))
= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2 ) − F (ω1 ).

Hệ quả 1.2. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu hàm
f (z) liên tục và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.3. Nếu f (z) chỉnh hình trong miền Ω và f (z) = 0 thì f (z)
là hàm hằng.
Chứng minh. Cố định điểm ω0 ∈ Ω. Bởi vì Ω liên thông nên với điểm
19


bất kỳ ω ∈ Ω, tồn tại đường cong γ nối ω với ω0 . Ta có
f (z)dz = f (ω) − f (ω0 ).
γ

f (z)dz = 0. Do đó f (ω) = f (ω0 ).

Bởi vì f (z) = 0 nên
γ

Từ các ví dụ 1.2 và 1.3, chúng ta thấy rằng các tích phân trên không
phụ thuộc vào hình dạng của đường cong và tích phân bằng 0 theo
đường cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo
đường cong đối với hàm chỉnh hình là
Định lý 1.5. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n- liên trong
C với biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f (z) là hàm
chỉnh hình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
f (z)dz = 0.
∂D

Chứng minh. Chúng ta viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi đó
(udx − vdy) + i(vdx + udy).

f (z)dz =
∂D

∂D

Theo định lý Green, ta có
F =
∂D

dF .
D

Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta có

udx − vdy =
∂D

−

∂v ∂u
−
dxdy = 0.
∂x ∂y

D

Tương tự, tích phân của phần ảo trong cũng bằng 0 và định lý được
chứng minh.
20


Định lý 1.6. (Công thức tích phân Cauchy) Nếu f (z) là hàm chỉnh
hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến đóng bất
kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z) =

f (ζ)
dζ, với mọi z0 ∈ Dγ .
ζ − z0

1
2πi
γ

¯ với ∂D là một chu tuyến đóng thì
Hơn nữa, nếu f (z) liên tục trên D
với mọi z ∈ D ta có
f (z0 ) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
ζ −z
∂D

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0 sao cho
Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0 , ρ) tâm z0 bán kính ρ chứa
trong Dγ . Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0 , ρ) và Dγ, ρ = Dγ \S(z0 , ρ).
Bởi vì f (ζ)/ζ −z0 là hàm chỉnh hình với mọi z ∈ Dγ \S(z0 , ρ) nên chúng
ta có

γ+Cρ−

f (ζ)
dζ = 0.
ζ − z0

Từ đó, chúng ta suy ra
f (ζ)
dζ =
ζ − z0
γ

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
Cρ

Thực hiện phép đổi biến đối với tích phân ở vế phải ζ − z0 = ρeit ,
0 ≤ t < 2π, thì dζ = iρeit dt và chúng ta nhận được

21