Chủ đề tự chọn Bất đẳng thức

Tuần 19 , 20, 21 CHỦ ĐỀ BÁM SÁT TỰ CHỌN
( 3 tiết)
MỤC TIÊU:
Kiến thức:
Ôn tập và củng cố kiến thức về bất đảng thức : Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhâncủa hai số. Bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối
Kỹ năng:
- Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức , dùng phép biến đổi tương đương , bất đẳng
thức Cauchy và hệ quả để chứng minh một số bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức đơn giản
- Biết biểu diễn các điểm trên trục số thỏa mãn các bất đẳng thức x < a ; x > a ( với a > 0) chuẩn
bị cho bài học tiếp theo ở phần tìm tập nghiệm của bất phương trình
CHUẨN BỊ :
HS: Ôn tập lý thuyết, xem lại các ví dụ, áp dụng đã học. Làm một số bài tập GV cho về nhà và theo
SGK trang 79. Bảng phụ hoạt động nhóm ( 4 bảng cho 4 nhóm )
GV : Bài soạn theo tài liệu tự chọn ( chủ đề 2 ) từ trang 16 đến 22.
Một số bảng phụ hỗ trợ ( tóm tắt định lý bđt Cauchy, tính chất cơ bản bđt, tính chất bđt có dấu
giá trị tuyệt đối, câu hỏi trắc nghiệm… )
TIẾN TRÌNH CÁC HOẠT ĐỘNG:
Nội dung Hoạt động của Thầy Hoạt động của trò
Chủ đề: BẤT ĐẲNG THỨC
Tiết 1 :
1. Điền vào chỗ trống để có kết quả
đúng ;
a)
[ ]
⇔∈
bax ;
……………….
b)
⇔≤

3x
………………….
c)
2
≥
x

⇔
…………………
d)
≥+
ba
…………………
2. Nêu định lý BĐT Cô-si và chứng
minh bất đẳng thức:

2
1
≥+
x
x
với x > 0
Bài tập :
Phần A : BẤT ĐẲNG THỨC VỀ
Hoạt động 1:
Kiểm tra bài cũ :
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt
đối.
- Bđt Cauchy và các hệ quả

Trả lời kiểm tra
1. Điền vào chỗ trống
a) …
bxa
≤≤

b) …- 3 ≤ x ≤ 3
c) …x ≥ 2 hoặc x ≤ - 2
d) …
≥+
ba

ba
+
2. Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số
dương x và
x
1
ta có
x
x
x
x
1
.2
1
≥+

2
1

≥+⇔
x
x

Hoạt động theo nhóm. Hai nhóm
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Cho x
∈
[ - 3 ; 7 ]. Chứng minh
rằng
52
≤−
x

2. Chứng minh rằng
121
≥−+−
xx
với mọi x
∈
R
Hoạt động 2:
Bài tập vận dụng phần bất đẳng
thức có dấu GTTĐ.
Cho HS thực hiện theo nhóm
sau khi nhắc lại kết luận phần
kiểm tra câu 1a,b,d để áp dụng.
một bài. Trình bày kết quả trong
bảng phụ trên bảng
1. x

∈
[ - 3 ; 7 ]
73
≤≤−⇒
x
27223 −≤−≤−−⇒ x
5255
≤−⇒≤≤−⇒
xx
đpcm
2.
xxxx
−+−≥−+−
2121
=1
Phần B : BẤT ĐẲNG THỨC
CÔ-SI , HỆ QUẢ
3. Cho hai số dương a và b. Cmr:
(a + b)
4
11
≥






+
ba

4. Cho x > 2. Tìm gía trị nhỏ nhất
của biểu thức :
f(x) =
2
3
−
+
x
x
Bài tập tương tự :
1. Cho các số dương a, b, c. Cmr
(a + b + c )
9
111
≥






++
cba

2. Với mọi số thực a, b, c ,chứng
minh rằng :
cbbaca
−+−≤−
3. Tìm GTNN của

f(x) =
x
x 2
8
+
với x > 0
4. Cho 0 ≤ x ≤ 1. Tìm GTLN của
biểu thức g(x) = x(1- x)
Hoạt động 3:
Cho HS sửa bài tập về nhà ở
tiết trước ( có đánh giá cho
điểm)
Gợi ý (a + b) ≥ ?

≥






+
ba
11
?
Nhắc lại tính chất nhân vế với
vế của hai BĐT cùng chiều
Đưa bảng phụ có ghi tóm tắt
tính chât bất đẳng thức , BĐT
Cô-si và hệ quả; chú ý các bđt

tương đương .
Mở rộng bđt (1) với tổng ba
số không âm a+ b + c ≥ ?
Nhận xét bài tập 4 có liên quan
đến kiến thức nào ? Chú ý từ “
giá trị nhỏ nhất”
Nhắc lại các hệ quả 2 và 3.
GV gợi ý cách giải cho HS :
Chú ý không thể xác định tích
của x và
2
3
−
x
nên phải biến
đổi
f(x) = (x – 2) +
2
3
−
x
+ 2
Tìm được x =
23
+
thay vào
f(x) để xác định GTNN

HS sửa bài tập 3 đã cho :
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số

dương , ta có
(a + b) ≥
ab2
(1)

baba
1
.
1
2
11
≥






+
(2)
Nhân từng vế hai BĐT (1) và (2)
(a + b)
ab
ab
ba
4
11
≥







+

Giải BT 4: Xác định f(x) là tổng
hai số dương suy ra cách giải:
Vì x > 2 nên x – 2 > 0
x – 2 .
2
3
−
x
= 3 không đổi
f(x) nhỏ nhất khi và chỉ khi
x – 2 =
2
3
−
x

3)2(
2
=−⇔
x
x =
23
+
và x =

23
+−
Chọn x =
23
+
thỏa đk x > 2
khi đó f(x) = 2
23
+
là GTNN
Hướng dẫn bài 1: sử dụng hệ quả
Với ba số dương a, b, c , ta có
(a + b + c ) ≥ 3
3
.. cba

Hoạt động 4:
Củng cố : Nêu lại phương pháp
giải các dạng bài tập trên
Chuẩn bị tiết tiếp theo cùng
chủ đề , giải bài tập tương tự.
Tuần 20 ( tiết 2 )
BÀI TẬP TỰ CHỌN(tt)
I. Giải bài tập ở nhà ( 4 bài )
Hoạt động 1:
Sửa bài tập về nhà:
Bài tập 1: Nhắc lại bđt Cô-si
1) (a + b + c ) ≥ 3
3
.. cba

(1)
3
1
.
1
.
1
3
111
cbacba
≥






++
(2)
Áp dụng hệ quả bđt Cô-si cho tổng
ba số dương
Áp dụng tính chất bdt có dấu GTTĐ
cho tổng ba số dương và hướng
dẫn HS trình bày bài làm
Bài tập 2 vận dụng tính chất bất
đẳng thức có dấu GTTĐ
≥+
ba

ba

+
baba
+≤+⇔
Bài tập 3 và 4 vận dung hệ quả
2, hệ quả 3
Cần xác định các số trong BĐT
là số dương hoặc không âm

⇒
(a + b + c )
9
111
≥






++
cba

2)
cbbaca
−+−=−
()(

cbba
−+−≤

3) Ta có
4
12
.
8
=
x
x
không đổi ,vậy
tổng
x
x 2
8
+
lớn nhất khi và chỉ khi
⇔=
x
x 2
8
x
2
= 16 , x = ± 4 , chọn x
= 4 , GTNN là f(4) = 1
4) Theo đề bài ta có x > 0 và
(1- x) > 0 . Tổng x + (1 – x) = 1
không đổi nên tích x(1 – x) lớn
nhất khi và chỉ khi x =1 – x suy ra
x =
2
1

khi đó GTLN là g(
2
1
) =
4
1

II. Bài tập tương tự :
1. Cho ba số dương a, b, c. Chứng
minh rằng:
8111
≥






+






+







+
a
c
c
b
b
a
2. Cho các số dương x, y, z. Cmr :
(x + y)(y+ z)(z + x) ≥ 8 xyz
3. Cho ba số dương a, b, c, chứng
minh rằng
≥++
b
ca
a
bc
c
ab
a + b + c
Hoạt động 2 :
Hướng dẫn HS giải bài tập
tương tự
Bài 1, 2 : Cho HS nhận xét các
dấu hiệu quen thuộc trong BĐT
: tổng 2 số dương. dấu ≥
viết thành ba BĐT áp dụng
BĐT Cô-si cho tổng hai số và
nhân từng vế của các BĐT đó

Bài 3 : Gợi ý cho HS khá giải
hoặc GV hướng dẫn giải
nhóm mỗi tổng hai số để có ba
tổng hai số rồi vận dụng tính
chất cộng từng vế ba BĐT ta
được đpcm
Hai nhóm giải 2 bài cùng dạng
1) Phân tích theo gợi ý của GV
b
a
b
a
.121
≥






+

c
b
c
b
.121
≥







+

a
c
a
c
.121
≥






+
suy ra đpcm
2) Chứng minh tương tự
HS khá giải bài 3
Bài tập : củng cố bằng cách thay
đổi các chữ a, b, c thành x,y,z hoặc
tổng x + y thành x + 1, x + 2 …
Hoạt động 3:
Nhắc lại phương pháp chung
để chứng minh bđt, cho bài tập
tương tự. Làm BT SGK
Làm các bài tập SGK trang 79

Tiết 3
A. Giải bài tập SGK (trang 79)
Hoạt động 1:
Hướng dẫn HS giải các bài tập
3, 4 trang 79 SGK .
ф HS thực hiện theo hướng dẫn
(dành cho HS khá, giỏi)
Vận dụng các hằng đẳng thức, các
bất đẳng thức đã học để chứng
minh bất đẳng thức.
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài tam giác
ABC. Chứng minh:
a) (b – c)
2
< a
2

a) a
2
+ b
2
+ c
2
< 2 ( ab + bc + ca)
Bài 4: Cho 2 số không âm x, y.
Chứng minh : x
3
+ y
3
≥ x

2
y + xy
2

Các dạng bài tập này thường vận
dụng đưa về bđt tương đương có
dạng hằng đẳng thức đúng.
Bài 3: Nhận xét điều kiện của
a, b, c ? Bất đẳng thức tam giác
?
Theo đề bài ta phải cm
(b – c)
2
< a
2
tương đương phải
cm điều gì ? viết lại bđt
Đưa vế trái về dạng hằng đẳng
thức rồi phân tích thành dạng
tích của hai thừa số dương
Câu b được suy từ câu a với
các bđt tương tự . Áp dụng
cộng từng vế ba bđt và rút gọn
để được kết luận
Bài 4 :
Nhắc lại hằng đẳng thức
hiệu của hai lập phương,
chuyển vế phải sang vế trái,
khai triển và phân tích vế trái
thành dạng một tích. Đưa về

một bđt tương đương với bđt
ban đầu.
Nêu phương pháp chung?
* Nhận xét a, b, c là các số dương,
và a – b < c < a + b, tương tự ta
suy ra a + b – c > 0 ; a + c – b > 0
Ta có : (b – c)
2
< a
2
(1)
⇔
a
2
– (b – c)
2
> 0
⇔
(a + b –c ) (a – b + c) > 0 đúng
* Tương tự, viết được các bđt
( a – b)
2
< b
2
(2) ; (c – a)
2
< c
2
(3)
Cộng các vế tương ứng của ba bđt

(1), (2) và (3), rút gọn:
2 (a
2
+ b
2
+ c
2
) – 2 ( ab + bc + ca) <
a
2
+ b
2
+ c
2
suy ra đpcm
ф Thực hiện theo hướng dẫn :
(x
3
+ y
3
) – ( x
2
y + xy
2
) ≥ 0
Vế trái bằng
(x – y )(x
2
– xy + y
2

) – xy(x + y) =
(x + y)(x – y)
2
≥ 0
0,0
≥∀≥∀
yx
B. Bài tập áp dụng:
1. Chứng minh rằng:
x
2
+ 2y
2
- 2xy + 1 > 0 ,
∀
x, y
2. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ ab ≥ 0
với mọi a, b
Hoạt động 2:
Bài tập cho HS tự giải.
gợi ý cho học sinh tách được
các hạng tử vế tráivà làm xuất
hiện một hằng đẳng thức, đưa
về một bđt đúng.
Chú ý :
Trong các bài dạng này không

áp dụng bđt Cô-si. Vì sao ?
Hoạt động theo nhóm
Nhận xét đề và tìm ra được dạng
hằng đẳng thức trong vế trái:
x
2
+ y
2
- 2xy + y
2
+ 1 =
= (x – y)
2
+ y
2
+ 1 > 0,
∀
x, y
Bài 2 chứng minh tương tự ví dụ ở
bài học ( a
2
+ b
2
- ab ≥ 0
∀
a, b )
Câu hỏi: Chọn khẳng định đúng :
1) a > b
⇒
a

2
> b
2

2) a > b
⇒
ac > bc
3)
dbca
dc
ba
+<+⇒



<
<
4) a + b > 2
⇒



>
>
1
1
b
a
Hoạt động 3:
Câu hỏi trắc nghiệm củng cố

kiến thức:
Đưa bảng phụ ghi câu hỏi ttrắc
nghiệm.
Yêu cầu HS đưa phản ví dụ,
lập mệnh đề đảo của mđ ở câu
4 cho biết đúng / sai.
Bài tập về nhà :
Xem thêm bài tập về bđt ở sách
BT ĐS 10 từ trang 102 đến 106
. Xem bài “ Bất PT ”
Đọc câu hỏi và trả lời, chú ý
phương pháp loại trừ
Câu 1, 2 sai trong trường hợp có số
âm. Câu 4 sai vì khi a + b > 2, thì
có thể a = 0, b = 3
Chuẩn bị chủ đề tiếp theo. Ôn tập
về phương trình, bất phương trình.