CHUYÊN đề LƯỢNG GIÁC(CS+ĐA) NVR version 2016

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

LNG GIC QUA CC K THI
VERSION 2016

A. MT S KIN THC CN NH
I. Cụng thc lng giỏc
Trờn ng trũn lng giỏc, ly im M x0 ; y0 sao cho
AM .
s o cung
Khi ú, cos x0

sin y0

tan

tan AP cú ngha k.v.c.k


2

y0
x0

cot

x0
y0

cot BQ cú ngha k.v.c.k k

k

k

sin k 2 sin

cos k 2 cos

sin k 1 sin

tan k tan

cot k cot

cos k 1 cos

1. H thc c bn gia cỏc HSLG
sin
cos
tan
cot
cos
sin
1
1
1 tan 2
1 cot 2
2

cos
sin 2
sin 2 cos 2 1
sin 2 1 cos 1 cos

cos 2 1 sin 1 sin

1 sin 2 sin cos

k

2. Giỏ tr lng giỏc ca cỏc gúc (cung) c bit



0

sin

0

cos

1

tan

0

cot

2

sin 4 cos 4 1 2sin 2 cos 2
sin 6 cos6 1 3sin 2 cos 2









6
1
2

4
2
2
2
2
1

3
3
2

1
2

2
1

1

3
3

3
2
3
3
3

3

0


0

3. Hm s lng giỏc ca nhng gúc (cung) cú liờn quan c bit
a. Hai gúc i nhau
cos cos

b. Hai gúc bự nhau
cos cos

d. Hai gúc hn kộm
cos cos

sin sin

sin sin

sin sin

tan tan

tan tan

tan tan

cot cot

cot cot

cot cot

c. Hai gúc ph nhau




cos sin
sin cos
2

2





tan cot cot tan
2

2


e. Hai gúc hn kộm



cos sin
2

1


tan cot
2



2

sin cos
2



cot tan
2



ThS. Nguyeón Vaờn Rin

4. Cụng thc cng
cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin
tan

tan tan
1 tan tan

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

5. Cụng thc nhõn ụi
sin 2 2sin cos
cos 2 cos 2 sin 2

6. Cụng thc nhõn ba

sin 3 3sin 4sin 3
cos3 4cos3 3cos
3tan tan 3
tan 3
1 3tan 2

2cos 2 1 1 2sin 2
2 tan
tan 2
1 tan 2

8. Biu din qua tang gúc chia ụi

7. Cụng thc h bc
1 cos 2
1 cos 2
cos 2
sin 2
2
2
1 cos 2
tan 2
1 cos 2
3sin


sin
3

cos3 3cos

sin 3
cos3
4
4
9. Cụng thc bin i tng thnh tớch


cos cos 2cos
cos
2
2


cos cos 2sin
sin
2
2


sin sin 2sin
cos
2
2


sin sin 2cos
sin
2
2
sin

tan tan
cos cos

t t tan

2t
1 t2
2t
tan
1 t2

sin


2

. Khi ú,

1 t2
1 t2
1 t2
cot
2t
cos

10. Cụng thc bin i tớch thnh tng
1
cos cos cos cos
2
1

sin sin cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
1
cos sin sin sin
2

11. Phộp bin i hm s y a sin x b cos x a 2 b 2 0

Cng cú th bin i



a
b
y a2 b2 2
sin x
cos x
2
2
2
a b
a b


y a 2 b 2 sin sin x cos cos x

a 2 b 2 cos sin x sin cos x

b
a 2 b 2 sin x vi tan .
a

a
a 2 b 2 cos x vi tan .
b

c bit, ỏp dng cụng thc bin i tng thnh tớch ta cú





sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4






sin x cos x 2 sin x 2 cos x .
4
4

sin x 3 cos x 2sin x 2cos x
3
6






3 sin x cos x 2sin x 2cos x
6
3


2


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

II. Phng trỡnh lng giỏc
1. Phng trỡnh lng giỏc c bn
a. Phng trỡnh sin x m
- Nu m 1 thỡ phng trỡnh vụ nghim.

b. Phng trỡnh cos x m

- Nu m 1 thỡ phng trỡnh vụ nghim.

- Nu m 1 thỡ chn gúc sao cho sin m .

- Nu m 1 thỡ chn gúc sao cho cos m .

x k 2
Khi ú, sin x sin
k
x





k
2


c bit, sin x 0 x k
2.

sin
x

1

x

k 2

k
3.
2
4.

sin x 1 x
k 2
5.
2
6.
k 2
*Tng quỏt sin sin
k 2

x k 2
Khi ú, cos x cos
k
x k 2

c. Phng trỡnh tan x m
Chn gúc sao cho tan m .
Khi ú, tan x tan x k k

d. Phng trỡnh cot x m
Chn gúc sao cho cot m .
Khi ú, cot x cot x k k

Phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m .
*Tng quỏt tan tan k

Phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m .
*Tng quỏt cot cot k



k
2
cos x 1 x k 2
k
cos x 1 x k 2
cos x cos cos x cos

c bit, cos x 0 x

k 2
*Tng quỏt cos cos
k 2

2. Phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc
Phng phỏp gii.
- Dng a sin 2 x b sin x c 0 , t t sin x, 1 t 1.
- Dng a cos 2 x b cos x c 0 , t t cos x, 1 t 1.
- Dng a tan 2 x b tan x c 0 , t t tan x .
3. Phng trỡnh bc nht i vi sin x v cos x
Phng trỡnh cú dng a sin x b cos x c
iu kin phng trỡnh cú nghim:
a2 b2 c2 .
Phng phỏp gii.

b

a
a
phng trỡnh v dng c bn nh sau:
b
c
c
sin x cos x sin x tan cos x
a
a
a
c
sin x cos
a
Phng phỏp 1. Dựng tan

Phng phỏp 3.
(Thng dựng khi phng trỡnh cha tham s)
x
Dựng n s ph t tan thỡ phng trỡnh tr thnh:
2
2t
1 t2
a.

b
.
c
1 t2
1 t2
b c t 2 2at c b 0

(õy l phng trỡnh bc hai theo t ).

Phng phỏp 2*. Chia 2 v cho a 2 b 2
a phng trỡnh v dng c bn nh sau:
a
b
c
sin x
cos x
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
c
cos x
a 2 b2
a
b
vi sin
v cos
.
2
2
2
a b
a b2

3


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

Cỏch s dng MTBT a biu thc dng a sin x b cos x v dng X sin x Y hoc

X cos x Y .
* a v dng X sin x Y
- Chuyn mỏy qua ch raian: SHIFT MODE 4
- Nhp vo mn hỡnh: Pol(a,b bng cỏch bm SHIFT +, nhp a, bm SHIFT ) mỏy tớnh xut hin
du ,, nhp b.
- Bm ALPHA ) = xem giỏ tr ca X.
- Bm ALPHA S D = xem giỏ tr ca Y.
- Khi ú, a sin x b cos x X sin x Y .
* a v dng X cos x Y thỡ lm tng t, nhp Pol(b,a ta c X, Y.
Khi ú, a sin x b cos x X cos x Y .
Chỳ ý:
Chuyn v sin thỡ bm h s ca sin trc v gúc cựng du.
Chuyn v cos thỡ bm h s ca cos trc v gúc trỏi du.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh 3 sin 2 x cos 2 x 3
Cỏch 1 - a v trỏi v sin bm: Pol ( 3, 1 ta c X 2 v Y


6

.

3




sin
3 sin 2 x cos 2 x 3 2sin 2 x 3 sin 2 x
6 2
3
6








2 x 6 3 k 2
2 x 2 k 2
x 4 k
.



5

2 x k 2
2 x 5 k 2

x
k



6
6
3
12
2
Cỏch 2 - a v trỏi v cos bm: Pol (1, 3 ta c X 2 v Y
.
3
2
3

2


cos
Gii: 3 sin 2 x cos 2 x 3 2 cos 2 x

3 cos 2 x
3 2
6
3


2
5

5



2
x



k
2

2
x


k
2

x

k



3
6
6
12
.

2 x 2 k 2
2 x k 2
x k



3
6
4
2
Vớ d 2: Gii phng trỡnh 2sin x 2cos x 2
3
Cỏch 1 - a v trỏi v sin bm: Pol (2, 2 ta c X 2 2 v Y
.
4
3
3 1



Gii: 2sin x 2cos x 2 2 2 sin x
2 sin x
sin ...
4
4 2
6

Gii:

Cỏch 2 - a v trỏi v cos bm: Pol (2, 2 ta c X 2 2 v Y


4

.


1



Gii: 2sin x 2cos x 2 2 2 cos x 2 cos x cos ...
4
4 2
3


Vớ d 3: Gii phng trỡnh sin 3 x 3 cos3 x 1

1



Gii: sin 3 x 3 cos3x 1 2sin 3 x 1 sin 3x sin ...
3
3 2

6


4


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin


1



hoc sin 3 x 3 cos3 x 1 2 cos 3x 1 cos 3x cos ...
6
6 2
3


Ngc li, ta cng cú th a biu thc X sin x Y hoc X cos x Y v dng a sin x b cos x .
* a biu thc X sin x Y v dng a sin x b cos x .
- Chuyn mỏy qua ch raian: SHIFT MODE 4
- Nhp vo mn hỡnh: Rec(X,Y bng cỏch bm SHIFT -, nhp X, bm SHIFT ) mỏy tớnh xut hin
du ,, nhp Y.
- Bm ALPHA ) = xem giỏ tr ca a.
- Bm ALPHA S D = xem giỏ tr ca b.
- Khi ú, X sin x Y a sin x b cos x .
* a biu thc X cos x Y v dng b cos x a sin x .

- Chuyn mỏy qua ch raian: SHIFT MODE 4
- Nhp vo mn hỡnh: Rec(X,Y bng cỏch bm SHIFT -, nhp X, bm SHIFT ) mỏy tớnh xut hin
du ,, nhp Y.
- Bm ALPHA ) = xem giỏ tr ca b.
- Bm ALPHA S D = xem giỏ tr ca a.
- Khi ú, X cos x Y b cos x a sin x .



Vớ d 4: a biu thc 2sin 2 x v dng a sin 2 x b cos 2 x .
6





- Bm Rec 2, ta c a 3 ; b 1 . Vy 2sin 2 x 3 sin 2 x cos 2 x .
6
6




Vớ d 5: a biu thc 2 2 cos x v dng a cos x b sin x .
4

- Bm Rec 2 2, ta c a 2 ; b 2 . Vy 2 2 cos x 2cos x 2sin x .
4
4


4. Phng trỡnh i xng i vi sin x v cos x
Phng trỡnh cú dng a sin x cos x b sin x cos x c 0
Phng phỏp gii.



Dựng n s ph t sin x cos x 2 sin x t 2 .
4

t 2 1
.
t 2 1 2sin x cos x sin x cos x
2
t2 1
c 0 bt 2 2at 2c b 0.
Phng trỡnh tr thnh at b.
2
(õy l phng trỡnh bc hai theo t vi t 2 ).





5. Phng trỡnh ng cp i vi sin x v cos x
- ng cp bc 2 cú dng a sin 2 x b cos 2 x c sin x cos x d

Phng phỏp gii.
Phng phỏp 1.
i. Nu cos x 0 khụng tha phng trỡnh thỡ chia 2 v cho cos 2 x ta c phng trỡnh bc hai i
vi t tan x l a tan 2 x b c tan x d 1 tan 2 x a d tan 2 x c tan x b d 0.
ii. Nu cos x 0 tha phng trỡnh thỡ t cos x lm tha s chung ri gii, bng cỏch thay
sin 2 x 1 cos 2 x .
5


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

Phng phỏp 2. Dựng cụng thc h bc sin 2 x
v sin x cos x

1 cos 2 x
1 cos 2 x
; cos 2 x
2
2

sin 2 x
a phng trỡnh ó cho v dng ó bit.
2

- ng cp bc 3 cú dng a sin 3 x b cos3 x c sin x cos 2 x d sin 2 x cos x esin x f cos x 0
Phng phỏp gii.
i. Nu cos x 0 khụng tha phng trỡnh thỡ chia 2 v cho cos3 x ta c phng trỡnh bc ba i
vi t tan x l a tan 3 x b c tan x d tan 2 x e tan x 1 tan 2 x f 1 tan 2 x 0

a e tan 3 x d f tan 2 x c e tan x b f 0.
ii. Nu cos x 0 tha phng trỡnh thỡ t cos x lm tha s chung ri gii, bng cỏch thay
sin 2 x 1 cos 2 x .
x


6. i. Phng trỡnh dng f sin x,cos x, tan , tan x,cot x 0
2


x
ii. Phng trỡnh dng
Phng phỏp gii. t t tan , ri ỏp dng cụng thc
2
f sin 2 x, cos 2 x, tan x, tan 2 x,cot 2 x 0
tang gúc chia ụi biu din sin x,cos x, tan x,cot x theo t .
Phng phỏp gii. t t tan x , ri
ỏp dng cụng thc tang gúc chia ụi
biu din sin 2 x,cos 2 x, tan 2 x,cot 2 x
theo t .

B. MT S PHNG PHP CHNH GII PHNG TRèNH LNG GIC
I. Phõn tớch thnh nhõn t
Phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t thng chim a s trong cỏc thi i hc. tỡm mt nhõn
t ca phng trỡnh, ta thng s dng mỏy tớnh b tỳi ri nhúm tha s chung theo nhõn t ú .
Phng phỏp
- Bc 1: S dng MTBT nhm nghim.
Chuyn phng trỡnh v dng f x 0 .
Nhp vo MTBT hm s f x .

2 3 5
Tin hnh th ln lt cỏc gúc lng giỏc c bit 0; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 vi chc nng
6 4 3 2

3

4

6

CALC ca MTBT.
- Bc 2: Gi s ta tỡm c nghim x


3

. Khi ú, th tip vi cỏc gúc lng giỏc cú liờn quan c

bit vi nú.
Th vi gúc i: x


3

nu tha món thỡ phng trỡnh cú nghim x sao cho cos x

1
hay
2

phng trỡnh cú mt nhõn t l 2 cos x 1 .
2
Th vi gúc bự: x
nu tha món phng trỡnh thỡ phng trỡnh cú nghim x sao cho
3

3
hay phng trỡnh cú mt nhõn t l 2sin x 3 .
2
4
2
x
Th vi gúc hn kộm : x
hoc
nu tha món phng trỡnh thỡ
sin x

3

3

6


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

phng trỡnh cú nghim x sao cho tan x 3 hay phng trỡnh cú mt nhõn t l
sin x 3 cos x .

Trong trng hp ny, nu phng trỡnh cú h s t do a thỡ ta thay bi a sin 2 x cos 2 x ri tin hnh
nhúm nhõn t chung.
- Bc 3: Nhúm tha s chung theo nhõn t ó bit.
- Bc 4: Gii phng trỡnh tớch.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0 (KD 2010)
Nhp vo MTBT sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 . S dng chc nng CALC ca MTBT ta tỡm c
mt nghim x


6

.


khụng tha phng trỡnh.
6
5
1
Th vi gúc bự: x
tha phng trỡnh. Vy phng trỡnh cú nghim x sao cho sin x
6
2
hay phng trỡnh cú mt nhõn t l 2sin x 1 .
Gii:
Ta cú sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0
2sin x cos x 1 2sin 2 x 3sin x cos x 1 0
Th vi gúc i: x

cos x 2sin x 1 2sin 2 x 3sin x 2 0

cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 2 0



1

x

k 2

sin x
6

2
2sin x 1 sin x cos x 2 0

k .

5

x
k 2
sin x cos x 2 VN

6

5
k 2 .
Vy nghim ca phng trỡnh l x k 2 ; x
6

6
Chỳ ý: Trong bi trờn cos 2x cú 3 cụng thc, õy phng trỡnh cú nhõn t l 2sin x 1 nờn ta ỏp
dng cụng thc a v sin , tc l cos 2 x 1 2sin 2 x .





Vớ d 2: Gii phng trỡnh 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 (KB 2012)





Nhp vo MTBT 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 . S dng chc nng CALC ca MTBT ta

2
.
3
2
Th vi gúc i: x
tha phng trỡnh. Vy phng trỡnh cú nghim x sao cho
3
1
cos x hay phng trỡnh cú mt nhõn t l 2 cos x 1 .
2
Gii:
Ta cú 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1
tỡm c mt nghim x

2cos 2 x 2 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 0
2cos 2 x cos x 1 3 sin x 2cos x 1 0

cos x 1 2cos x 1 3 sin x 2cos x 1 0

2cos x 1





3 sin x cos x 1 0
7


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

1

cos x
2


2 cos x 1 0

x
k 2
2




k .
3


1


3
sin
x

cos
x

1


sin x
x k 2

6 2
2
k 2 ; x k 2 .

Vy nghim ca phng trỡnh l x
3





Vớ d 3: Gii phng trỡnh 2cos 2 x 2 3 sin x cos x 1 3 sin x 3 cos x (DBII KA 2007)





Nhp vo MTBT 2cos 2 x 2 3 sin x cos x 1 3 sin x 3 cos x . S dng chc nng CALC ca
MTBT ta tỡm c mt nghim x

2
khụng tha phng trỡnh.
3

Th vi gúc i: x
Th vi gúc bự: x

2
.
3


3

khụng tha phng trỡnh.

5
tha phng trỡnh. Vy phng trỡnh cú nghim x sao cho
3
tan x 3 hay phng trỡnh cú mt nhõn t l sin x 3 cos x .
Khi ú nhúm c nhõn t sin x 3 cos x , ta thay h s t do 1 sin 2 x cos 2 x .
Gii:
2
Ta cú 2cos x 2 3 sin x cos x 1 3 sin x 3 cos x
Th vi gúc hn : x









2cos 2 x 2 3 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 3 sin x 3 cos x 0





sin 2 x 2 3 sin x cos x 3cos 2 x 3 sin x 3 cos x 0


sin x

2


3 cos x sin x



sin x 3 cos x 3 sin x 3 cos x 0



3 cos x 3 0

sin x 3 cos x 0

tan x 3 x
k k .

3
sin x 3 cos x 3 VN

k .
Vy nghim ca phng trỡnh l x
3
Vớ d 4: Gii phng trỡnh 4cos 2 x sin x 1 2 3 cos x cos 2 x 2sin x 1 0
Nhp vo MTBT 4cos 2 x sin x 1 2 3 cos x cos 2 x 2sin x 1 . S dng chc nng CALC ca MTBT

2
.

3
2
Th vi gúc i: x
khụng tha phng trỡnh.
3

ta tỡm c mt nghim x

Th vi gúc bự: x


3

khụng tha phng trỡnh.

5
tha phng trỡnh. Vy phng trỡnh cú nghim x sao cho
3
tan x 3 hay phng trỡnh cú mt nhõn t l sin x 3 cos x .
thay h s t do 1 sin 2 x cos 2 x .
Khi ú nhúm c nhõn t sin x 3 cos x , ta
Th vi gúc hn : x

8


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Gii:
4sin x cos x 4 cos x 2 3 cos x 2 cos x 1 2sin x sin 2 x cos 2 x 0
2

2

2





4cos x sin x 3 cos x 2 sin x 3 cos x sin x
sin x 3 cos x 4cos x 2 sin x 3 cos x 0
sin x 3 cos x 2cos 2 x sin x 3 cos x 0

4sin x cos 2 x 4 3 cos3 x 2sin x 2 3 cos x sin 2 x 3cos 2 x 0
2





3 cos x sin x 3 cos x 0

2

tan x 3
sin x 3 cos x 0

5

cos 2 x cos x
2 cos 2 x sin x 3 cos x


6





x



k

x


k



3
3

5
5
2x x
k 2 x
k 2 k .


6
6


2 x x 5 k 2
x 5 k 2

6
18
3


5
5
2
k 2 ; x
k
.
3
6
18
3

II. Bin i phng trỡnh v dng a sin x b cos x c
Du hiu: Trong phng trỡnh lng giỏc cú xut hin 3 sin kx hoc 3 cos kx thỡ phng
trỡnh ú cú th a c v dng a sin x b cos x c .
1 2sin x cos x 3 I
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
(KA 2009)
1 2sin x 1 sin x
Gii:


x k 2
Vy nghim ca phng trỡnh l x


sin x 1



iu kin:
1
x
sin
x



2

x

k ; x

2

k 2 .
6
7
k 2
6

Vi iu kin trờn, ta cú I cos x sin 2 x 3 1 sin x 2sin 2 x

cos x sin 2 x 3 cos 2 x sin x
sin 2 x 3 cos 2 x 3 sin x cos x

5

5




2sin 2 x 2sin x
sin 2 x sin x

3
6

3
6





5



2 x 3 x 6 k 2
x 2 k 2


k .


k
2

2 x x 5 k 2
x





3
6

18
3

k 2

i chiu vi iu kin, ta c nghim ca phng trỡnh x
.
18
3

9


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

Vớ d 2: Gii phng trỡnh sin x cos x sin 2 x 3 cos3 x 2 cos 4 x sin 3 x (KB 2009)
Gii:
Ta cú sin x cos x sin 2 x 3 cos3 x 2 cos 4 x sin 3 x

1 2sin 2 x sin x cos x sin 2 x 3 cos3 x 2 cos 4 x
sin x cos 2 x cos x sin 2 x 3 cos3 x 2cos 4 x
sin 3x 3 cos 3x 2cos 4 x




4
x

3
x


k
2

x

k 2




6
6
cos 3 x cos 4 x

k .
6

4 x 3x k 2
x k 2




6

42

7



2
k 2 ; x
k
.
6
42
7
Vớ d 3: Gii phng trỡnh 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 (KB 2012)
Vy nghim ca phng trỡnh l x





Gii:
Ta cú 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1





2cos 2 x 1 2 3 sin x cos x cos x 3 sin x
cos 2 x 3 sin 2 x cos x 3 sin x

2 x x k 2

x




3
3
cos 2 x cos x

3
3


2 x x k 2
x


3
3

2
k 2
3
k .
k 2

3

2
k 2
k 2 ; x
.
3
3
III. Bin i v phng trỡnh bc cao i vi mt hm s lng giỏc
Vớ d 1: Gii phng trỡnh sin 3 x cos 2 x sin x 0 (KD 2013)
Gii:
Ta cú sin 3 x cos 2 x sin x 0
3sin x 4sin 3 x 1 2sin 2 x sin x 0
4sin 3 x 2sin 2 x 2sin x 1 0
2sin x 1 2sin 2 x 1 0
Vy nghim ca phng trỡnh l x



x 6 k 2
1


2sin x 1 0
sin
x

7

k 2 k .
2 x
2

6
2sin x 1 0
cos 2 x 0 k
x

4 2


7
k
.
k 2 ; x
k 2 ; x
6
6
4 2
Vớ d 2: Gii phng trỡnh cos3 x cos 2 x cos x 1 0 (KD 2006)
Gii:
Ta cú cos3 x cos 2 x cos x 1 0
4cos3 x 3cos x 2cos 2 x 1 cos x 1 0
4cos3 x 2cos 2 x 4cos x 2 0
Vy nghim ca phng trỡnh l x

10

Lượng giác qua các kỳ thi

ThS. Nguyễn Văn Rin


 cos x  1
 x  k

  cos x  1  
k   .
2

x



k
2


1
3

 cos x 

2

2
 k 2 .

3
 Ví dụ 3: Giải phương trình cos3 x  4cos 2 x  3cos x  4  0 (KD – 2002)
Giải:
Ta có cos3 x  4cos 2 x  3cos x  4  0
 4cos3 x  3cos x  4  2cos 2 x  1  3cos x  4  0  4cos3 x  8cos 2 x  0
Vậy nghiệm của phương trình là x  k ; x  

 cos x  0

 4cos 2 x  cos x  2   0  
 x   k
2
 cos x  2 VN 

Vậy nghiệm của phương trình là x   k .

k   .

2

C. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
 Phương pháp: Áp dụng các cơng thức lượng giác ở mục I.
 Chú ý: - Nếu điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và IV thì cos  0 .
- Nếu điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và II thì sin  0 .
 Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức P  1  3cos 2  2  3cos 2  , biết sin  

2
.
3

(THPT QUỐC GIA 2015)
Giải:
2
1 
1  14
2 1

Ta có cos 2  1  2sin 2   1  2.   . Do đó, P   1  3.  2  3.   .
9 
9 9

3 9

3
tan 
 Ví dụ 2: Cho góc  thỏa mãn     và sin   . Tính A 
.
2
5
1  tan 2 
(ĐỀ MINH HỌA MƠN TỐN 2015)
Giải:
2
16
4
3
 cos    .
Ta có sin 2   cos 2   1     cos 2   1  cos 2  
25
5

5

4
Vì     nên cos   0  cos    .
2
5
3
3

12
sin 
3
4
Suy ra, tan  
 .
 5   . Vậy A 
2
25
cos  4
4
 3
1




5
 4
2
 Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức P  sin 4   cos 4  , biết sin 2  .

3
(ĐỀ DỰ BỊ THPT QUỐC GIA – 2015)
Giải:
2

2

2

Ta có P  sin 4   cos 4    sin 2     cos 2     sin 2   cos 2    2sin 2  cos 2 
2

 1  2  sin  cos  

2

2

1 2
1 2
7
 sin 2 
 1 2
  1  sin 2  1  .    .
2
2 3
9
 2 
11

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

2sin 3cos
.
5cos 7 sin
(CHUYấN VNH PHC 2015)
Gii:
Vỡ tan 2 nờn cos 0 . Chia c t v mu ca B cho cos ta c:
2sin 3cos
2 tan 3 2. 2 3
1
cos
B


.
5cos 7 sin 5 7 tan 5 7 2
19
cos
7


Vớ d 4: Bit rng s thc ; v tha món sin 2 .
9
2

Vớ d 3: Cho gúc tha món tan 2 . Tớnh B

Tớnh giỏ tr ca biu thc C cos 2 4cos 4 sin 2 4sin 4 .
(CHUYấN I HC VINH 2015)
Gii:
Ta cú

C

cos 2

2



sin 2

2

cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 4 sin cos .

2

Mt khỏc sin cos 1 sin 2 1

7 16
4
sin cos .
9 9
3

4


Vỡ ; nờn sin 0 ; cos 0 . Suy ra sin cos 0 . Do ú sin cos .
3
2

4 16
Vy C 4 .
3 3





2 v tan 1 .
2
4



Tớnh giỏ tr ca biu thc D cos sin .
6

(THPT HNG VNG PH TH 2015)
Gii:



Theo gi thit tan 1 k k k .

4
4 4



1
Vỡ 2 nờn k 2 k 2 .
2
2
2
5
3
sin
Do k nờn k 1 . Vy D cos
.
6
2

3
Vớ d 6: Cho 0 x v x y
. Tớnh giỏ tr ca biu thc E 1 tan x 1 tan y .
4
4
(S GD V T VNH LONG 2015)
Gii:
3
tan
tan y
3
3

1 tan y
3

4
x
y nờn tan x tan
Ta cú x y
.
y

4
4
4
1 tan 3 tan y 1 tan y
4
1 tan y
Do ú E 1
1 tan y 1 tan y 1 tan y 2 .
1

tan
y



Vớ d 5: Cho gúc tha món

12

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Vớ d 7: Cho gúc tha món


2

0 v cos

4
.
5




Tớnh giỏ tr ca biu thc E sin cos .
4
4


(THPT TH C TPHCM 2015)
Gii:
1
1
Ta cú E sin 2 sin 2sin cos 1 .
2
2 2

2

9
3
4
sin .
Mt khỏc sin cos 1 sin 1 sin 2
25
5
5

3
Vỡ 0 nờn sin 0 sin .
2
5
1 3 4
49
Vy E 2. . 1 .
2 5 5
50
2

2

2

D. LNG GIC QUA CC K THI
2
.
3

(THPT QUC GIA 2015)

3
tan
ii. Cho gúc tha món v sin . Tớnh A
.
2
5
1 tan 2
( MINH HA THPT QG 2015)
2
iii. Tớnh giỏ tr ca biu thc P sin 4 cos 4 , bit sin 2 .
3
( D B THPT QUC GIA 2015)
Gii cỏc phng trỡnh sau:
1. sin x 4cos x 2 sin 2 x
(KA A1 2014)


2. 1 tan x 2 2 sin x
(KA A1 2013)
4

3. 3 sin 2 x cos 2 x 2 cos x 1
(KA A1 2012)
1 sin 2 x cos 2 x
2 sin x sin 2 x
4.
(KA 2011)
1 cot 2 x

1 sin x cos 2 x sin x 1
4

5.
(KA 2010)

cos x
1 tan x
2
1 2sin x cos x 3
6.
(KA 2009)
1 2sin x 1 sin x
i. Tớnh giỏ tr ca biu thc P 1 3cos 2 2 3cos 2 , bit sin

7

4sin
x
3

4

sin x

2

8. 1 sin 2 x cos x 1 cos 2 x sin x 1 sin 2 x
7.

9.

1

sin x

1

2 cos 6 x sin 6 x sin x cos x

2 2sin x
2
10. cos 3x cos 2 x cos 2 x 0

(KA 2008)

(KA 2007)

0

(KA 2006)
(KA 2005)
13


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

11. cot x 1

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

cos 2 x
1
sin 2 x sin 2 x
1 tan x
2

(KA 2003)

cos3x sin 3 x

12. Tỡm nghim thuc khong 0;2 ca phng trỡnh 5 sin x
cos 2 x 3
1 2sin 2 x

(KA 2002)
13. 2 sin x 2 cos x 2 sin 2 x
(KB 2014)
14. sin 5 x 2cos 2 x 1
15. 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1

(KB 2013)
(KB 2012)

16. sin 2 x cos x sin x cos x cos 2 x sin x cos x
17. sin 2 x cos 2 x cos x 2cos 2 x sin x 0

(KB 2011)
(KB 2010)

18. sin x cos x sin 2 x 3 cos3 x 2 cos 4 x sin 3 x

(KB 2009)

19. sin 3 x 3 cos3 x sin x cos 2 x 3 sin 2 x cos x
20. 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x
x

21. cot x sin x 1 tan x tan 4
2

22. 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
23. 5sin x 2 3 1 sin x tan 2 x

(KB 2008)
(KB 2007)





(KB 2006)
(KB 2005)
(KB 2004)

2
sin 2 x
2
2

2
sin 3x cos 4 x sin 5 x cos 2 6 x
sin 3 x cos 2 x sin x 0
sin 3 x cos3 x sin x cos x 2 cos 2 x
sin 2 x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0
3 cos 5 x 2sin 3 x cos 2 x sin x 0
2sin x 1 cos 2 x sin 2 x 1 2cos x

24. cot x tan x 4sin 2 x

(KB 2003)

25.
26.
27.

(KB 2002)
(KD 2013)
(KD 2012)

28.
29.
30.
31.

(KD 2011)
(KD 2010)

(KD 2009)
(KD 2008)

2

32.
33.
34.
35.

x
x

sin cos 3 cos x 2
2
2

cos3 x cos 2 x cos x 1 0

3

cos 4 x sin 4 x cos x sin 3 x 0
4
4 2

2cos x 1 2sin x cos x sin 2 x sin x

(KD 2007)
(KD 2006)
(KD 2005)

(KD 2004)

x
x
36. sin 2 tan 2 x cos 2 0
(KD 2003)
2
2 4
37. Tỡm x thuc 0;14 nghim ỳng phng trỡnh cos3 x 4cos 2 x 3cos x 4 0
(KD 2002)
5x
3x
38. 4cos cos 2 8sin x 1 cos x 5
(CD - KA 2010)
2
2
2
39. 1 2sin x cos x 1 sin x cos x
(C KA,B,D 2009)
40. sin 3 x 3 cos 3x 2sin 2 x
41. 3 sin x 2cos x cos 2 x 1 0

(C KA,B,D 2008)
(DBI KA,A1 2012)
14


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

2 sin x cos x
1

tan x cot 2 x
cot x 1
43. cos 2 x 2cos x sin x cos x cos 2 x sin 2 x
42.

(DB KA - 2011)
(DBI KB 2010)

1





44. cos 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 vi x ;
4
4

4

4 4
(DBII KB 2010)
2
2
45. 2sin 2 x sin 6 x 2cos x
(DBI KD 2010)

2
cos2 x (DBII KD 2010)
46. 2 3 cos x 2 sin x 4 cos x 1 cos x
cos x
2sin 2 x cos x 3 sin 2 x cos x sin 4 x
0
47.
(DBI KA 2009)
2sin x 3
48. 3 2cos 2 x cos x 2 3 2cos x sin x 0
(DB II KA 2009)

3 cos3x 4sin x cos 2 x
3
cos x
50. 4 sin 4 x cos 4 x cos 4 x sin 2 x 0
49.

51. 3sin x cos 2 x sin 2 x 4sin x cos 2

(DB KD 2009)
(DBI KD 2008)

x
2

(DBII KB 2008)


1

52. 2sin x sin 2 x
3
6 2




3


53. sin 2 x sin x
4
4 2


54. tan x cot x 4cos 2 2 x
55. 1 tan x 1 sin 2 x 1 tan x


56. 2 2 sin x cos x 1
12

sin 2 x cos 2 x

tan x cot x
57.
cos x
sin x

3x
5x
x
58. sin cos 2 cos
2
2 4
2 4
59. 2cos 2 x 2 3 sin x cos x 1 3 sin x 3 cos x



(DBI KB 2008)
(DBII KA 2008)
(DBI KA 2008)
(DBII KD 2007)
(DBI KD 2007)
(DBII KB 2007)
(DBI KB 2008)



(DBII KA 2007)

1
1

2 cot 2 x
2sin x sin 2 x
61. 4sin 3 x 4sin 2 x 3sin 2 x 6cos x 0
62. sin 3 x cos3 x 2sin 2 x 1

63. cos 2 x 1 2cos x sin x cos x 0
60. sin 2 x sin x

(DBI KA 2007)
(DBII KD 2006)
(DBI KD 2006)
(DBII KB 2006)

64. 2sin 2 x 1 tan 2 2 x 3 2cos 2 x 1 0

(DBI KB 2006)



65. 2sin 2 x 4sin x 1 0
6


(DBII KA 2006)

23 2
8
cos 2 x 1


67. tan x 3tan 2 x
cos 2 x
2

66. cos3x.cos3 x sin 3 x.sin 3 x

(DBI KA 2006)
(DBII KD 2005)
15


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

68. sin x.cos 2 x cos 2 x tan 2 x 1 2sin 3 x 0
69. Tỡm nghim trờn 0; ca phng trỡnh 4sin 2
70. sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 2 0
sin x
3

x
2
71. tan
2
1 cos x

(DBI KD 2005)

x
3

3 cos 2 x 1 2cos 2 x

2

4

(DBII KB 2005)
(DBI KB 2005)
(DBII KA 2005)



72. 2 2 cos3 x 3cos x sin x 0
4

73. sin x sin 2 x 3 cos x cos 2 x
74. 2sin x cos 2 x sin 2 x cos x sin 4 x cos x
75. sin 4 x sin 7 x cos3x cos 6 x

1
1


76. 2 2 cos x
4 sin x cos x


(DBI KA 2005)
(DBII KD 2004)
(DBI KD 2004)
(DBII KB 2004)
(DBI KB 2004)

77. 1 sin x 1 cos x 1

78. 4 sin 3 x cos3 x cos x 3sin x

(DBII KA 2004)
(DBI KA 2004)

2 cos 4 x
sin 2 x
2
cos x cos x 1
2 1 sin x
sin x cos x
x
2 3 cos x 2sin 2
2 4 1
2cos x 1
3cos 4 x 8cos 6 x 2cos 2 x 3 0
3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0

79. cot x tan x

(DBII KD 2003)

80.

(DBI KD 2003)



81.
82.

83.



(DBII KB 2003)
(DBI KB 2003)
(DBII KA 2003)

84. cos 2 x cos x 2 tan x 1 2

(DBI KA 2003)

85. Xỏc nh m phng trỡnh 2 sin 4 x cos 4 x cos 4 x 2sin 2 x m 0 cú ớt nht mt nghim


thuc 0; .
(DBII KD 2002)
2
1
sin x
86.
(DBI KD 2002)
8cos 2 x
sin 4 x cos 4 x 1
1
cot 2 x
87.
(DBII KB 2002)
5sin 2 x
2

8sin 2 x
2 sin 2 2 x sin 3 x

4
88. tan x 1
(DBI KB 2002)
cos 4 x
x

89. tan x cos x cos 2 x sin x 1 tan x tan .
(DBII KA 2002)
2

2sin x cos x 1
a. (a l tham s) (DBI KA 2002)
90. Cho phng trỡnh
sin x 2 cos x 3
1
a. Gii phng trỡnh khi a .
b. Tỡm a phng trỡnh cú nghim.
3
91. 2cos 2 x sin 2 x cos x sin x cos 2 x 2 sin x cos x
(HSP HL TPHCM)
16


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

92. 4 sin 4 x cos 4 x 3 sin 4 x 2

(HSP TPHCM)

1
93. sin 8 x cos8 x cos 4 x 0
8
94. cos3 x 2 cos 2 3x 2 1 sin 2 2 x

(TT TBD CBYT TPHCM)
(HVNH TPHCM)

95. sin x sin 2 x sin 3 x 0
96. 1 cos x cos 2 x cos3 x 0
97. 4sin 4 2 x 4cos 4 2 x cos 4 x 3
98. sin 3 x cos3 x cos 2 x
99. 2sin 2 x 3tan x 1
3 sin x tan x
2cos x 2
100.
tan x sin x
5



101. sin x cos x
sin 2 x
2
2

102. 2sin 2 x cos 2 x 7 sin x 2cos x 4

(HVNH HKT TPHCM)
(HNL TPHCM)
(HTS)
(HDL NN TH TPHCM)
(CSP TPHCM)
(H CT)
(H AG)
(HQG HN)

E. THI TH I HC NM 2014
103. sin 3 x 2cos 2 x 3 4sin x cos x 1 sin x
104.

2 cos 2 x sin x cos x
2

1 tan x

2



(i hc Vinh)

3

sin 4 3x sin 4 x (THPT Hng Quang)
2 2






cos 2 x 2 sin x 2
4

105.
1
1 sin x
106. 1 cos x cot x cos 2 x sin x sin 2 x

(THPT Quc Oai)
(THPT Lng Ngc Quyn)

107. 2sin 2 x sin 2 x 3sin x cos x 2 0
sin x
1
108.

cot x 2
1 cos x 1 cos x

1

109. 1 sin x sin 2 x 1 cot x 1 tan x
4
2
4



1
1
sin x cos x sin 2 x 1
2
110.
1 cot x

2

1 tan x
4

1 sin x 2sin 2 x 6cos x 2sin x 3 2
111.
2cos x 1
sin 2 x sin x 4 cos x 2 0
112.
2sin x 3
3
113. 2sin x cos 2 x cos x 0

114. 1 sin x 1 sin x sin 2 x cos 2 x
115. sin 3 x cos3 x 3sin 2 x 4sin x cos x 2 0
116. cos x tan x 1 tan x sin x
117. 2cos 6 x 2 cos 4 x 3 cos 2 x sin 2 x 3

(THPT Hng Quang)
(i hc Vinh)
(THPT H Huy Tp)

(THPT H Huy Tp)

(THPT Chuyờn Lờ Quý ụn)
(THPT Qunh Lu 1)
(THPT Lng Th Vinh)
(THPT Lng Th Vinh)
(THPT Chuyờn Lý T Trng)
(THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu)
(THPT Hựng Vng)

17


ThS. Nguyễn Văn Rin

Lượng giác qua các kỳ thi



sin 2 x  cos 2 x  4 2 sin  x    3cos x
4


1
118.
cos x  1

 1  cos 2 x
119. 2 cos   x  .
 1  cot x
4
 sin x
120. 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x
121.

(THPT Chun Nguyễn Quang Diêu)
(THPT Chun Lương Văn Chánh)
(THPT Chun Vĩnh Phúc)

 tan x  1 sin 2 x  cos 2 x  2  3  cos x  sin x  sin x

1
122. cos 2 2 x  sin 12  4 x   cos  2013  2 x   0
2
3sin 2 x  7sin 3 x  2sin 4 x  1
2
123. sin 3 x  cot x 
sin 2 x
124. sin 2 x  cos 2 x  2 sin x  0
 5

125. 5sin 

 x   3 1  cos x  cot 2 x  2
 2

126. sin 3 x  2cos 2 x  3  4sin x  cos x 1  sin x 

(THPT Chun Vĩnh Phúc)
(THPT Chun Nguyễn Đình Chiểu)
(THPT Chun Nguyễn Đình Chiểu)
(THPT Chu Văn An)
(THPT Chu Văn An)
(Đại học Vinh)

127. 2cos 2 2 x  2cos 2 x  4sin 6 x  cos 4 x  1  4 3 sin 3x cos x (THPT Triệu Sơn 4)
128.  tan x  1 sin 2 x  cos 2 x  0
(THPT Chun Quốc Học – Huế)

2
cos 2 x

sin 2 x cos x
1


130. 2sin x   sin  2 x  
2
6

129. cot x 

(THPT Chun Quốc Học – Huế)

(THPT Phan Châu Trinh)



131. sin 2 x  cos 2 x  4 2 sin  x    4 cos x  1  0
4

132. 4  3sin x  sin 3 x  3cos 2 x  cos 6 x
133. cos 2 3 x  3cos 2 2 x  cos 2 x  cos 2 x  2
134. 2cos 2 x  3cos x  2cos3 x  4sin x sin 2 x
135. 3cos x  2  3  cos x  1 cot 2 x





(THPT Chun Nguyễn Quang Diêu)
(THPT Chun Nguyễn Đình Chiểu)
(THPT Chun Nguyễn Đình Chiểu)
(THPT Lạng Giang số 1)
(THPT Lạng Giang số 1)

136. 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cos x

(THPT Chun Hạ Long)

137. cot x  cos 2 x  sin x  sin 2 x  cos x cot x
2 3 sin 2 x 1  cos 2 x   4 cos 2 x sin 2 x  3
0
138.

2sin 2 x  1
3sin 2 x  2sin x  3
139.
 3  2sin 3 x  0
cot x
140. 3  sin 2 x  sin x   cos 2 x  cos x  2

(THPT Thuận Thành số 3)
(Hà Nội Amsterdam)
(THPT Nguyễn Khuyến)
(THPT Chun Vĩnh Phúc)

1  2sin x  2sin 2 x  2 cos x
 cos 2 x  3 1  cos x 
2sin x  1


142. 5cos x  sin x  3  2 sin  2 x  
4

143. 2cos5 x cos3 x  sin x  cos8 x
144. cos 2 x  5  2  2  cos x  sin x  cos x 
141.

(THPT Chun Vĩnh Phúc)
(THPT Đồn Thượng)
(THPT Ngơ Gia Tự)
(THPT Ngơ Gia Tự)

145. 8  sin 6 x  cos 6 x   3 3 cos 2 x  11  3 3 sin 4 x  9sin 2 x (THPT Hậu Lộc 2)

146.

 2 tan

2

x  1 cos x  2  cos 2 x

(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
18


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

x


sin x cos 2 x cos 2 x 2 cos x
2
4

2
4sin x
1 cot 2 x
1 cos 4 x
sin x cos x 2sin x cos 2 x sin x cos x
6 cos 2 x

sin x
4

x
7

4 cos 2 2cos 2
x 3 cos 2 x 3 3
2
4

0
1 sin x
3
tan x 1 sin 2 x 3cos2 x sin 2 x 0
2
3
2
2sin x 3 3sin x 2sin x 3 tan x

147. 2sin x cos 2

(S GD & T Vnh Phỳc)

148.

(S GD & T Vnh Phỳc)

149.

150.
151.
152.









153. 3 1 3 cos 2 x 3 1 3 sin 2 x 8 sin x cos x



(THPT c Th)

(THPT Chuyờn Tnh Lo Cai)
(THPT H Huy Tp)
(THPT Chuyờn Vnh Phỳc)



3 sin 3 x cos3 x 3 3 3
(THPT Chuyờn Vnh Phỳc)

154.
155.

156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.

163.
164.
165.



2 sin 2 x 2sin x 1
4




4 sin x
cos 2 x cos 2 x
2
3

3

sin 4 x 2 cos3x 4sin x cos x
1 cos x
7

sin x 2 sin 2 x

tan x
4

cos 2 x cos x cos x sin 2 x sin x
2sin x cos3 x sin 2 x 1 sin 4 x




sin x sin 5 x 2cos 2 x 2cos 2 2 x
4

4

sin 2 x cos 2 x

cot 2 x 1
cos x
sin x
sin x
1

cot x 2
1 cos x 1 cos x


2sin 3 x 2 3 sin 2 x cos x 2sin 2 x cos 2 x

3

0
2cos x 3
1 sin 3 x sin 3x cos3 x cos3x
5cos 2 x 1
sin 2 x
3 2 cos 2 x cos x 2 sin x 3 2cos x 0

1 cos x cos 2 x cos3 x 2
3 3 sin x
cos x cos 2 x
3
3

sin 2 x sin
x 2sin x 1
2

0
167.
2 cos x 3


4cos 2 2 x

168. tan 2 x tan 2 x
4
4 tan x cot x

166.





(THPT ngThỳc Ha)
(S GD & T Vnh Phỳc)
(S GD & T Vnh Phỳc)
(S GD & T Vnh Phỳc)
(THPT Qu Vừ 1)
(THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu)
(THPT Chuyờn Quc Hc Hu)
(THPT Can Lc)
(i hc Vinh)

(THPT CN Vit Trỡ)
(THPT Chuyờn Lý T Trng)
(THPT Chuyờn Lý T Trng)
(THPT Chuyờn Lờ Quý ụn)

(THPT Chuyờn Trn Phỳ)
(THPT Chuyờn Trn Phỳ)
19


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

169. 8cos 2 x 2cos x 6 2 3 sin x

1
0
cos x

(THPT Nam Sỏch)



2 cos x 2cos x sin 2 x 1 sin 2 x
4

171. sin x cos 2 x 2cos x cos 2 x cos x 1
170.





(Nguoithay.vn)
(i hc Vinh)



172. cos x cos3 x 2 3 sin x 4 3 sin x 2 3 sin 3x

173. cos x cos 2 x sin 3 x
6
3


3x
x


174. 2cos x 4sin sin 1 4 2 sin x
2
2
4


(VNMATH.COM)
(THPT Chuyờn Lờ Hng Phong)
(THPT Hai B Trng Hu)

3


sin 4 x cos x cos x
2
4
4

0
175.
2sin x 1
3
1
2
2 3



176.
1 cos 2 x sin 2 x cot x
3
sin 3x sin x

(THPT Nguyn Hu - Hu)
(VNMATH.COM)

F. THI TH THPT QUC GIA NM 2015
177. sin 2 x 1 6sin x cos 2 x
S. x k
178. cos 2 x 1 2cos x sin x cos x 0



(THPT Phan ỡnh Phựng H Ni)

k 2 ; x k
3
2cos x 3 sin x cos x 1 1

S. x
180.

k ; x

(THPT Minh Chõu Hng Yờn)

k 2 ; x k 2
4
2
sin 3 x sin 2 x sin x

S. x
179.



(THPT Thanh Chng III Ngh An)



S. x
183.

k 2 ; x

k 2 ; x k

2
sin x



k

(THPT Yờn Lc 2 Vnh Phỳc)

(THPT chuyờn H Tnh)



2
3 sin x cos x 1 cos x 0

S. x k 2 ; x
184.



(THPT Nguyn Vn Tri)

2
3
9

3
181. sin 3 x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x

5
k 2 ; x k
S. x k 2 ; x
6
6
182. cos3 x 2sin 2 x cos x 0
S. x







(THPT chuyờn Nguyn Hu)



k 2
3
2
cos x sin x 3 cos 2 x 1 2cos x

(THPT chuyờn Hựng Vng)

4
2

k
; x k 2
9
3
3
1 2
1

1
cos 2 x 2sin x 3
sin x
2sin x

S. x
185.

(THPT Cao Bỏ Quỏt QN)
20


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

5

k 2 ; x k 2
6
6
1 tan x
cot 2 x

1 tan x

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

S. x
186.

S. x
187.

4

k

x

1 sin x cos x 2 sin x cos 2
2


(THPT chuyờn Lờ Quý ụn Nng)



k 2
2
2 cos x sin 2 x 1 4sin x 1 cos 2 x

S. x
188.

(THPT chuyờn Lờ Quý ụn Bỡnh nh)

5
k
3
12
12
2




189. sin 2 x sin x
4

4
2


5
k 2
S. x k ; x k 2 ; x
4
6
6
190. sin 2 x 2cos 2 x 3sin x cos x

7
k 2
S. x k 2 ; x
6
6
191. 2cos 2 x 8sin x 5 0

5
k 2
S. x k 2 ; x
6
6
192.
3 cos 2 x sin x cos x 2sin x 1 0
S. x



k ; x

(S GD v T k Nụng)

(THPT Nguyn Hu - k Lk)

(S GD v T Thanh Húa)

(THPT Trn Phỳ)

5
2

k
2
18
3
193. sin 2 x cos x sin x 1

3
k 2
S. x k ; x k 2 ; x
4
2
194. sin 2 x cos x 2sin x cos 2 x 3sin 2 x
S. x



k 2 ; x



(THPT Thun Thnh 2 Bc Ninh)

k 2 ; x

(THPT Mc nh Chi)

(THPT Nguyn Cụng Tr)


2

1
S. x k 2 ; x 2 k 2 vi sin
;cos
2
2
5
5
x
195. cos x 2cos 2 3 0
(THPT chuyờn Nguyn Bnh Khiờm QN)
3
S. x k 6
196. cos 2 x cos 2 x sin x 2 0
(S GD v T Lo Cai)

197.



k 2
2
sin x sin x 1 cos x 1 cos x

S. x

(THPT Gia Vin A)



k 2 ; x k 2

2
198. 2cos 2 2 x 5sin 2 x 1 0

7
k
S. x k ; x
12
12
199. sin 2 x 2cos x sin x 1 0
S. x

(THPT Mang Thớt)

(THPT Hu Lc 2 Thanh Húa)
21


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

S. x
200.

2

k 2 ; x


3

k 2

1
sin 2 x 3 cos 2 x cos x 0
2



k 2 ; x

(THPT Nh Thanh Thanh Húa)



k 2
6
2
sin 2 x cos 2 x 2sin x 1

S. x
201.



Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

S. x k ; x


2

(THPT Triu Sn 5)

k 2

x
3 sin x 1 2sin 3 x
2

5

k
S. x k ; x
12
24
2
x
sin x 2 3 cos 2 3
2
203.
0
2sin x 3
202.

2cos 2



S. x k ; x
205.

2sin 2

S. x
206.

k 2

k



;x



k

(THPT Trn Phỳ Thanh Húa)


(THPT Ngụ Gia T - Bc Ninh)

5
k 2
4

k ; x

(THPT Hn Thuyờn Bc Ninh)



k ; x

(THPT ụng Sn 1 Thanh Húa)



k 2 ; x k 2
4
2
cos 2 x cos x 2 tan 2 x 1 2

(THPT Nghi Sn Thanh Húa)



k 2
3
sin 2 x sin x 2 4cos x

S. x
211.

6

x
cos5 x 1
2

S. x k ; x
210.



k ; x k 2
2
4
cos 2 x 1 2cos x sin x cos x 0

S. x
209.

2

k 2 ; x



cos x cos3 x 1 2 sin 2 x
4


S. x
208.

(THPT ng Thỳc Ha Ngh An)

6
3
4
2
sin 2 x 2 2 sin x cos x 5

S. x
207.

(THPT S 3 Bo Thng)

k 2
3
cos 2 x 2sin x 1 3 sin 2 x

S. x
204.

(THPT Lờ Xoay)


3

k 2

Cho gúc tha món

S. A

(THPT Nguyn Trung Thiờn)

4 3 3
10

3
3


v cos . Tớnh giỏ tr ca biu thc A sin .
2
5
3

(THPT chuyờn Lờ Hng Phong)
22


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

212.

Cho gúc tha món

S. A

213.







2 v tan 1 . Tớnh A cos sin .
2
4
6



3
2

(THPT Hựng Vng Phỳ Th)

Cho gúc tha món 0

S. A
214.

ThS. Nguyeón Vaờn Rin

4

v sin cos

3
2

Cho gúc tha món

S. A



5
. Tớnh A sin cos .
2
(S GD v T Qung Nam)



1
v sin . Tớnh giỏ tr ca biu thc A sin 2 cos 2 .
2
3

74 2
9

(S GD v T Bc Liờu)

3
4
1 cot

v sin . Tớnh giỏ tr ca biu thc A
.
2
5
1 cot
S. A 7
(THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu ng Thỏp)
3
2
cot
2 v cos . Tớnh giỏ tr ca biu thc A
216. Cho gúc tha món
.
2
3
1 cot 2
2 5
S. A
(THPT Bc Bỡnh)
9

2
1 sin 2 cos 2
217. Cho gúc tha món 0 v sin . Tớnh giỏ tr ca biu thc A
.
2
3
sin cos
2 5
S. A

(THPT Qung Xng 1 Thanh Húa)
3
sin 2cos3
218. Bit rng s thc tha món tan 2 . Tớnh giỏ tr ca biu thc A
cos 2sin 3
4
S. A
(THPT chuyờn H Vinh)
7

4



219. Cho gúc tha món 0 v cos . Tớnh E sin cos .
2
5
4
4


49
S. E
(THPT TH C TPHCM 2015)
50
3
220. Cho gúc tha món
v sin 2cos 1 . Tớnh A 2 tan cot .
2
1

S. A
(THPT ng Thỳc Ha Ngh An)
6

4
221. Cho gúc tha món v sin . Tớnh giỏ tr ca biu thc A sin 2 .
2
5
24
S. A
(S GD v T H Tnh)
25
3
3


222. Cho cos x v x
. Tớnh giỏ tr ca A sin x .
5
2
6

3 4 3
S. A
(S GD v T Cn Th)
10
215.

Cho gúc tha món

23


ThS. Nguyeón Vaờn Rin

Lửụùng giaực qua caực kyứ thi

G. P N LNG GIC QUA CC K THI
i.

P

14
.
9

1. x


3

ii. A

12
25
22. x



k ; x k 2 .

4
3

2
k 2 .
3. x k ; x k 2 ; x
2
3

5.
6.
7.
8.
9.



k ; x



24. x

k 2 .

25. x k

2
4

7
x
k 2 ; x
k 2 .
6
6

2
x
k
.
18
3


5
x
k ; x
k ; x
k .
4
8
8


x
k ; x k 2 ; x k 2 .
4
2
5

x
k 2 .
4

10. x k
11. x
12. x


4


3


2

28. x

31.

k .

32.

5
.
3

33.

3
k 2
4

2

2
k
;x
k
14. x
.
6
3
14
7
2
2
k 2 ; x k
15. x
.
3
3


2
16. x k 2 ; x k
.
2

3
3
13. x

17. x
18.
19.
20.
21.



k

3


9

k .
;x k


3

34. x



k

2

.

;x

k 2 .

5
k 2 .
6
6




x k ;x
k .
18
3
6
2
2

x
k 2 ; x k .

3
4


x k 2 ; x
k 2 .
2
6
2
x k ; x
k 2 .
3

29. x
30.






7
k 2 ; x
k 2 .
4
2
6
6

7

k 2 ; x
k 2 .
27. x k ; x
4
2
12
12
26. x

.

;x

7
9


2
k ; x
k 2 .
4
3

5
k 2 .
23. x k 2 ; x
6
6

k 2

2. x

4. x

iii. P


4

35. x

k 2 ; x

k .


3

k 2 ; x


k .
4

3
5
7

x ;x
;x
;x
.
2
2
2
2

5
x k ; x
k .
12
12


5
x
k 2 ; x k ; x
k .
2
12
12

4
2
x k 2 ; x
k
.
3

15
5
2
x k 2 ; x
k 2 .
3

x
k 2 .
4

36. x k 2 ; x
37.



.
4
2


2
x
k 2 ; x
k
.
6
42
7

x k ;x
k .
4
2
3



2
5
2
x k ;x k
;x
k
.
8
4
18
3
18
3

5
x k ; x
k .
12
12

38.
39.
40.
41.
42.
24


k .
4


Lửụùng giaực qua caực kyứ thi
43. x



k ; x k 2 ; x k 2 .
4
2

44. x
45. x

ThS. Nguyeón Vaờn Rin




8

67. x

.

k



;x



k



;x




2



k 2 ; x

68. x

3

70. x

71. x

56. x

4


4

57. x
58. x



k ; x


3


3

k .

75. x

k

78. x

k .


4

64. x


6

k



5

k 2 ; x k 2 ; x k 2 .
6
2

k 2 ; x

6



k ; x

5
k 2 .
6




20

k


4


3


4


10

3

k .

;x

3

k .

2

k .
; k 3l.

k ; x






3

k .

k .


k 2 ; x k 2 .

2
4
k 2 .
81. x
3

.



6

k 2 ; x

80. x

82. x

k ; x



k 2 ; x

79. x


2

4

83. x

4
2

2
k 2 ; x
k 2 .
61. x
2
3


k ; x k 2 ; x
k 2 .
62. x
4
2
63. x



77. x k

2

; x k 2 ; x k 2 .
3

2



.


k .
4

76. x

3
2
k .
59. x
3
60. x

2

74. x k ; x

k 2 .

k



k .

2
4
2
2
k
; x k 2 .
73. x
9
3
72. x

k 2 .
3




k .
54. x k ; x
4
2
8
2

k ; x k .
55. x
4
53. x

k ; x

16

k

5
k 2 .
6
6
5
17
5
;x
;x
69. x
.
18
18
6

k .

6
3
8
2
4
2

k .
46. x
3



2
k 2 ; x k
.
47. x k ; x
2
6
18
3

2

k 2 ; x
k .
48. x k 2 ; x
3
3
6

k .
49. x k ; x
6

k .
50. x

4

7

k 2 ; x
k 2 ; x k 2 .
51. x
6
6
2
52. x



66. x

84. x
85.

k 2 ; x k 2 .


8

.

87. x

25

3


3


2

; x k .

k .
k 2 ; x k 2 .

10
m 2 .
3

86. x

2
7
k 2 .
65. x k ; x
6

k

k 2 ; x

6

k .

3
5
7
k 2 ; x
k 2 ; x
k 2
8
8
8