khai thác kiến thức bdhsg

A - mở đầu
I - lý do chọn đề tài
Trong lịch sử phát triển của toán học thì toán học là một trong bộ môn
khoa học đợc ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế cuộc sống
đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học không những góp phần
không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học khác. Có thể nói
toán học là cơ sở của nhiều môn khoa học khác. Chính vì vậy trong nhà trờng
phổ thông, môn toán là một trong những bộ môn cơ bản và việc nâng cao
kiến thức toán cho học sinh đơng nhiên là cần thiết.
Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì môn toán có
thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm đợc lợng kiến thức khá rộng
và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh hoạt sáng tạo.
Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiều vì vậy không phải
kiến thức bài tập nào giáo viên cũng có thể khai thác và mở rộng ra đợc.
Giáo viên chỉ mở rộng cho những kiến thức chính, những dạng bài tập quan
trọng, cách mở rộng cũng nhiều hớng khác nhau.
Khái quát hoá để mở rộng thành những bài toán tổng quát khó hơn. T-
ơng tự hoá để giới thiệu thêm những bài toán có cùng phơng pháp giải. Đặc
biệt hoá để đa bài toán về dạng đặc biệt hơn dễ nhớ hơn, có khi chỉ đơn giản
là phân tích thêm những kiến thức có liên quan để hớng dẫn học sinh giải
theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêm yêu cầu mới cho bài toán. Điều đó
thôi thúc tôi chọn và nghiên cứu đề tài.
Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáo khoa để bồi d-
ỡng học sinh khá giỏi.
II - Nhiệm vụ nghiên cứu:
Học sinh khá, giỏi hiện nay phần lớn chỉ đầu t vào việc giải hết bài
toán khó này đến bài toán khó khác mà cha nâng cao đợc nhiều năng lực
toán học. Mà theo quan niệm của tôi cho rằng: Việc ôn tập bồi dỡng học sinh
giỏi môn toán cần phải:
+ Hình thành ở học sinh năng lực toán học bắt đầu từ:
- Các bài toán đợc nghiên cứu không quá phức tạp, đã có lời giải, các

thao tác t duy dạng sơ cấp.
- Năng lực học toán phải tiến hành thơng xuyên liên tục trớc hết thông
qua các tiết luyện tập.
Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai
4
- Cần xác định những năng lực toán học nào cần bồi dỡng cho học
sinh, hệ thống bài tập cho phù hợp.
B - Nội dung
Một trong các chức năng của dạy học sáng tạo qua các bài toán ở tr-
ờng trung học là hình thành ở học sinh năng lực sáng tạo bài toán mới. Xuất
pháp từ bản chất tri thức toán học lôgíc ẩn láu dới vỏ ngôn ngữ , có thể sử
dụng các biện pháp sau để hìmh thành năng lực sáng tạo bài toán mới cho
học sinh.
Biện pháp 1: Hớng dẫn học sinh nhìn thấy cấu trúc lôgíc của bài
toán đặc biệt là nhìn thấy sự tơng đơng của các mệnh đề toán học.
Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử
dụng các hệ thống khái niệm khác nhau. Hớng dẫn cho học sinh nhận ra
sự thống nhất về cấu trúc lôgíc của các bài toán có các biểu tợng trực quan
hình học ứng với các hệ thống khái niệm sau đó.
Sau đây là một số ví dụ:
I - Phần số học
Ví dụ 1: Khai thác từ một bài toán lớp 6, chúng ta bắt đầu từ bài toán sau:
Bài toán 1: Tổng sau có chia hết cho 3 không?
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2

5
+ 2
6
+ 2
7
+2
8
+ 2
9
+ 2
10

(Bài 210 trang 27 SBT Toán 6 tập 1)
Lời giải:
Ta có: A = (2 + 2
2
)+ (2
3
+ 2
4
)+ (2
5
+ 2
6
)+ (2
7
+2
8
)+ (2
9

+ 2
10
)
= 2.(1 + 2) + 2
3
. (1 + 2) + 2
5
. (1 + 2) + 2
7
. (1 + 2) + 2
9
. (1 + 2)
= 2.3 + 2
3
. 3 + 2
5
. 3 + 2
7
. 3 + 2
9
. 3
Vậy A chia hết cho 3.
Từ bài toán này ta giải đợc một số bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... +2

57
+ 2
58
+ 2
59
+2
60
.
Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Lời giải:
Tơng tự nh Bài toán 1.
Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai
5
Bài toán 1.2: Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... +2
57
+ 2
58
+ 2
59
+2
60
.
Chứng minh rằng A chia hết cho 105.
Lời giải:

Ta có: 105 = 7.15 và (7, 15) = 1.
Thật vậy:
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... +2
57
+ 2
58
+ 2
59
+2
60
.
= (2 + 2
2
+ 2
3
) + (2
4
+ 2
5
+ 2
6
) + ... + (2
58
+ 2

59
+2
60
)
= 2.(1 + 2 + 2
2
) + 2
4
.(1 + 2 + 2
2
) + ... + 2
58
.(1 + 2 + 2
2
)
= 2.7 + 2
4
.7 + ... + 2
58
.7
=> A chia hết cho 7. (1)
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... + 2
57
+ 2

58
+ 2
59
+2
60
.
= (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + ... + (2
57
+ 2
58
+ 2
59
+2
60
).
= 2. (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + ... + 2
57
. (1 + 2 + 2
2
+ 2

3
).
= 2.15 + ... + 2
57
.15
=> A chia hết cho 15. (2)
Vì (7, 15) = 1 nên kết hợp (1) và (2) suy ra A chia hết cho 105.
Nhận xét:
Với A = 2 + 2
2
+ ... + 2
n

a) Các Bài toán 1 và Bài toán 1.1 đúng khi số các số hạng n là số chẵn.
b) Bài toán 1.2 đúng khi số các số hạng n chia hết cho 3 và 4. Từ đó
suy ra n chia hết cho 12
Bài toán 1.3:
Chứng minh rằng: 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... +2
5n - 3
+ 2

5n - 2
+ 2
5n - 1
chia
hết cho 31 nếu n là số nguyên dơng bất kỳ.
Lời giải:
Nhóm 5 số hạng rồi đặt thừa số chung của từng nhóm:
2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... +2
5n - 3
+ 2
5n - 2
+ 2
5n - 1

= (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4

) + 2
5
(1+ 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + 2
5. 2
(1 + 2 + 2
2
+
2
3
+ 2
4
) + ... ...+ 2
5(n - 1)
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
)
= (1 + 2 + 2
2
+ 2
3

+ 2
4
)(1 + 2
5
+ 2
5. 2
+ ... + 2
5(n - 1)
)
= 31.(1 + 2
5
+ 2
5. 2
+ ... + 2
5(n - 1)
) chia hết cho 31.
Vậy 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... +2
5n - 3
+ 2
5n - 2

+ 2
5n - 1
chia hết cho 31.
Bài toán 1.4:
Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai
6
a) Tính tổng S
n
= 1 + a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n

b) áp dụng tính các tổng sau:
S = 1 - 2
1
+ 2
2
- 2
3
+ 2
4
- ... +2
100

T = 3 - 3

2
+ 3
3
- 3
4
+ ... +3
1999
- 3
2000
Lời giải:
a) Xét tổng S
n
= 1 + a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n

Khi a = 1 ta có ngay: S
n
= n + 1.
Khi a 1 ta có: a.S
n
= a + a
2
+ ... + a
n

+ a
n + 1

Suy ra: a.S
n
- S
n
= a
n + 1
- 1
S
n
= (a
n + 1
- 1) / (a - 1)
b)
S
100
= 1 + a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
100
= (a
101 + 1
- 1) / (a - 1)
Với a = -2, ta đợc:

S = 1 - 2 + 2
2
- 2
3
+ 2
4
- ... +2
100

= [(- 2)
101
- 1] / [-2 - 1] = (- 2
101
- 1)/ -3 = ( 2
101
+ 1)/ 3.
T = 3 - 3
2
+ 3
3
- 3
4
+ ... +3
1999
- 3
2000
= 3. (1 - 3 + 3
2
- 3
3

+ ... +3
1998
- 3
1999
)
= 3. [(- 3)
2000
- 1] / [-3 - 1] = 3. ( 3
2000
- 1)/ - 4
Bài toán 1.5:
a) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với:
A = 4 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ ... +2
20

b) Chứng minh rằng 2.A + 3 là một luỹ thừa của 3 với:
A = 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ ... +3
100

Bài toán 1.6:
Cho số tự nhiên A = 7 + 7
2
+ 7
3
+ 7
4
+ 7
5
+ 7
6
+ 7
7
+ 7
8
.
a) Số A là chẵn hay lẻ.
b) Số A có chia hết cho 5 không?
Bài toán 1.7:
Cho S = 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... +2
2000
. Hỏi S có chia hết cho 6 không?
Bài toán 1.8:
Chứng minh rằng tổng:
P = 3 + 3

2
+ 3
3
+ 3
4
+ 3
5
+ 3
6
+ 3
7
+ 3
8
+ 3
9
chia hết cho 13.
II. Phần đại số:
Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai
7
Trong chơng trình Đại số 8, ở học kỳ I, học sinh đợc học về các hằng
đẳng thức đáng nhớ, trong đó:
A
2
+ 2AB + B
2
= ( A + B )
2
A
2
- 2AB + B

2
= ( A - B )
2
và có nhận xét: ( A + B )
2
0 với mọi A, B.
( A - B )
2
0 với mọi A, B.
dấu = xảy ra khi A + B = 0 hay A = - B và A - B = 0 hay A = B
từ kiến thức này ta mở rộng và xây dựng nên nhiều bài toán khác. Sau đây là
một số ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng biểu thức sau viết đợc dới dạng tổng các bình phơng
của hai biểu thức:
x
2
+ 2( x + 1)
2
+ 3( x + 2)
2
+ 4( x + 3)
2

Lời giải:
x
2
+ 2( x + 1)
2
+ 3( x + 2)
2

+ 4( x + 3)
2

= 10x
2
+ 40x + 50
= (x
2
+ 10x + 5 ) + ( 9x
2
+ 30x + 25 )
= ( x + 5)
2
+ ( 3x + 5)
2

Bài 2: Hãy viết biểu thức sau dới dạng tổng của ba bình phơng.
( a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2

H ớng dẫn :
( a + b + c)
2
+ a

2
+ b
2
+ c
2
= ( a + b)
2
+ ( b + c)
2
+( a + c)
2

Bài 3: Tìm x, y biết:
4x
2
- 16x + y
2
+ 4y + 20 = 0
H ớng dẫn :
4x
2
- 16x + 16 + y
2
+ 4y + 4 = 0
( 2x - 4)
2
+ ( y + 2)
2
= 0

=
=




=+
=
2
2
02
042
y
x
y
x
Bài 4: Tìm x biết :
x
2
+ 2( x + 1)
2
+ 3( x + 2)
2
+ 4( x + 3)
2
= 0
H ớng dẫn :
Từ kết quả của Bài 1 ta có phơng trình tơng đơng:

Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai
8
( x + 5)
2
+ ( 3x + 5)
2
= 0





=
=




=+
=+
3
5
5
053
05
x
x
x
x
Vậy không có giá trị nào của x để vế trái bằng 0.

Bài 5: Tìm x, y biết:
4x
2
- 16x + y
2
+ 4y + 24 = 0
H ớng dẫn :
4x
2
- 16x + 16 + y
2
+ 4y + 4 + 4 = 0
( 2x - 4)
2
+ ( y + 2)
2
+ 4 = 0
VT 4 với mọi giá trị của x, y.
=> Không có giá trị nào của x, y thoả mãn bài tán.
Với cách làm nh trên, học sinh dễ dàng làm bài tập sau:
Bài 6: Tìm a, b, c để ( a - b)
2
+ ( b - c)
2
+( a - c)
2
= 0
H ớng dẫn :
( a - b)
2

+ ( b - c)
2
+( a - c)
2
= 0
<=>





0
0
0
=
=
=
ac
cb
ba
<=> a = b = c
Học sinh có thể phân tích đề bài: phá ngoặc chuyển vế ta đợc:
a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca ta suy ra đợc bài toán mới
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a

2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca thì a = b = c.
Dựa vào kết quả bài 6, học sinh tự giải
Với hớng dẫn nh bài tập 7 ta có thể đa ra một loạt bài tập có phơng
pháp làm tơng tự.
Bài 8: Chứng minh rằng nếu (a + b)
2
= 2.(a
2
+ b
2
) thì a = b.
Bài 9: Cho a
2
+ b
2
+ c
2
+ 3 = 2(a + b + c), chứng minh rằng a = b = c = 1.
Bài 10: Cho (a + b + c)
2
= 3(ab + bc + ca), chứng minh rằng a = b = c .
Bài 11:
Cho (a - b)
2
+ (b - c)

2
+ (a - c)
2
= (a + b - 2c)
2
+ (b + c - 2a)
2
+ (a +c - 2b)
2
chứng minh rằng a = b = c .
Bài 12: Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0, chứng minh rằng x = y = z.
Từ bài tập 7, ta đa ra bài toán tổng quát hơn
Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai
9
Bài 13: Chứng minh rằng với 3 số a, b, c bất kỳ, ta có: a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc
+ ca
H ớng dẫn:
Cách 1: Nhân 2 vế với 2, làm tơng tự bài 7 (biến đổi tơng đơng).
Cách 2: (a + b + c)
2
- (ab + bc + ca) =
( ) ( ) ( )
[ ]
222

2
1
accbba ++
0 =>
đpcm
Cách 3: Phơng pháp phản chứng.
Cách 4: Sử dụng bất đẳng thức đã biết, ta có:
ca
ac
bc
cb
ab
ba

+

+

+
2
,
2
,
2
222222
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:
a
2
+ b
2

+ c
2
ab + bc + ca.
Từ bài 13, ta đề xuất thêm một số bài toán mới:
+ Xét trờng hợp đặc biệt hơn: cho c = 1
ta có a
2
+ b
2
+ 1 ab + b + a
+ Kết hợp với hằng đẳng thức:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
<=> a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b + c)
2
- 2(ab + bc + ca)
ta có a

2
+ b
2
+ c
2
3(ab + bc + ca).
b)
ta có
( )
( )
2
222
2
cbacba
cabcab
++++
=++

( )
( )
2
222
2
222
cbacba
cba
++++
++

<=> 2(a

2
+ b
2
+ c
2
) (a + b + c)
2
- (a
2
+ b
2
+ c
2
)
<=> (a + b + c)
2
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
Ta có thể khai thác những bài toán dạng này theo hớng khác là dạng
toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài 14: (Suy ra từ bài 5)
Tìm giá trị bé nhất của A = 4x
2
- 16x + y
2

+ 4y + 24
H ớng dẫn :
Đỗ Văn Tâm Trờng THCS Cẩm Đoai
10