PP GIAI TOAN DAI SO 9 MOI .doc

- 1 -
CHƯƠNG TRÌNH
A. ĐẠI SỐ :
I/ Rút gọn biểu thức.
II/ Thực hiện phép tính.
III/ Chứng minh đẳng thức.
IV/ Chứng minh bất đẳng thức.
V/ Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.
VI/ Giải PT và HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
VII/ Giải phương trình Vô tỉ – phương trình chứa giá trò tuyệt đối.
VIII/ Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất.
IX/ Các bài toán liên quan đến hàm số.
X/ Hệ thức Viét - áp dụng
B. HÌNH HỌC:
20 BÀI TOÁN MẪU.

- 2 -
A. ĐẠI SỐ
I. RÚT GỌN BIỂU THỨC :
1) Phương pháp: Để rút gọn một biểu thức ta thực hiện các bước sau:
+ Quy đồng mẫu (nếu có).
+ Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn.
+ Trục căn thức ở mẫu( nếu có).
+ Thực hiện các phép tính.
+ Rút gọn.
2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

2
2 1 1
1) ; 2)
1

1
a b ab a b a a a
A B a
a
a b a b a
  
+ − − − −
= − = +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
− + −
  

Giải:
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
3 2
3
2
0, 0
0, 0
1) : 0
0
2 ( )
0
0
0

0
2) : 1 0
1
1 0
1 1 (1 )(1 ) 1
( )
1 1
1 1
a b
a b
DK a b
a b
a b
a b a b
a ab b a b a b
A
a b a b a b a b
a b a b
A
a
a
DK a
a
a
a a a a a a
B a a
a a
a a
≥ ≥


≥ ≥


− ≠ ⇔
 
≠


+ ≠

+ −
− + − −
= − = −
− + − +
= − − − =
⇒ =
≥

≥


− ≠ ⇔
 
≠


− ≠

   
 

− − − + + −
 ÷
 
= + = +
 ÷

 ÷
− −
− −
 
 
   
2
2
2
2 2
2 2
2 2
(1 )
(1 ).
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
1
(1 ) (1 )
1
a
a a a
a a
a a
a a

B
÷
−
= + + +
− +
+ −
= =
− +
⇒ =
3) Rút gọn rồi tính gía trò của biểu thức:
2 2 2 2
5
2 1 2 1 :
2
C a a a a khi a= + − − − − =
Giải:
Điều kiện: a
2
–1
≥
0
- 3 -
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1
( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1
( 1 1) ( 1 1) 1 1 1 1
1 1 1 1

C a a a a
a a a a
a a a a
a a
= − + − + − − − − +
= − + − + − − − − +
= − + − − − = − + − − −
= − + − − −
Với a =
5
2
, Ta được: C = 1
4) Rút gọn biểu thức: D =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
b c a c a b a b c
+ +
+ − + − + −
; biết a + b + c = 0.
Giải:
Có: a + b + c = 0
b c a⇒ + = −

2 2 2 2 2
2 2 2
( ) 2
2
b c a b c bc a
b c a bc
⇔ + = ⇔ + + =

⇔ + − = −
Tương tự ta có: c
2
+ a
2
– b
2
= -2ab
a
2
+ b
2
– c
2
= -2 ac

1 1 1 ( )
0
2 2 2 2
a b c
D
bc ab ac abc
− + +
⇒ = + + = =
− − −
( vì a+ b + c = 0)
Vậy khi a + b + c = 0 thì D = 0
5) Cho a,b,c > 0. Rút gọn:

2 2 2 2

2 2
2 2
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( )
2 ;
2 ;
M a b c ac bc a b c ac bc
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
a b khi a b c
c Khi a b c
= + + + + + + + − +
= + + + + + + + − +
= + + + + −
= + + + + −

+ + ≥

=

+ <



- 4 -
II. THỰC HIỆN PHÉP TÍNH:
1) Phương pháp: Dùng các phép biến đổi về căn thức, đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng (a
±
b)

2

để đưa ra thừa số ra ngoài căn….
2) Các ví dụ: Tính:
8 2 15 8 2 15 ; 49 20 6 49 20 6
4 10 2 5 4 10 2 5 ; 4 7 4 7 2
A B
C D
= − − + = + + −
= + + + − + = + − − −
Giải:
( )
2 2 2 2
2 2
2
2
8 2 15 8 2 15
5 2 5.3 3 5 2 5.3 3
5 2 5.3 3 5 2 5.3 3
( 5 3) ( 5 3) ( 5 3) ( 5 3)
2 3
2 :
8 2 15 8 2 15 8 2 15 8 2 15 2 (8 2 15)(8 2 15)
16 2 4 16 4 12
: 0 12 2 3
49 20 6 49 20 6
A
A
Cach
A

Do A A
B
= − − +
= − + − + +
= − + − + +
= − − + = − − +
= −
= − − + = − + + − − +
= − = − =
< ⇒ = − = −
= + + −
HS Tự giải: Đáp số: B = 10 ; C =
5 1+
2 2
4 7 4 7 2
8 2 7 8 2 7
2
2 2
( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1
2 2
2 2
2 2
7 1 7 1
2 2 2 0
2
D = + − − −
+ −
= − −
+ − + −
= − − = − −

+ − +
= − = − =
3) Bài Tập:Tính: H =
2006 2005.2007 2006 2005.2007
2 2
+ −
+
(4 15)( 10 6)( 4 15 ); 13 160 53 4 90E F= + − − = − − +
Đáp số : E = 2 ; F = -4 5

2 2 2 2
2
2 2
1991 1990.1992 1991 1990.1992
2 2
1991 1991 1 1991 1991 1 1991 1991 1 1991 1991 1
2 .
2 2 2 2
1991 1991 (1991 1)
1991 1 1992
G
G
+ −
= +
+ − − − + − − −
= + +
= + − −
= + =

Vì G > 0 Suy ra G = 1992

- 5 -
III. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: A = B (1)
1) Phương pháp giải :
a) Phương pháp 1 :Dựa vào đònh nghóa: A = B
⇔
A – B = 0
+ Lập hiệu số : A – B.
+ Biến đổi biểu thức: A – B và chứng tỏ A – B = 0
+ Kết luận A = B.
b) Phương pháp 2 : Biến đổi trực tiếp A = A
1
= A
2
= A
3
= ………….= B
c) Phương pháp 3: Sử dụng giả thiết để biến đổi.
d) Phương pháp 4: Chứng minh: A = C và B = C
⇒
A = B
e) Phương pháp 5: Biến đổi tương đương
Ta có: A = B
/ / // // (*)
.....A B A B⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔
(*) đúng suy ra A = B
f) Phương pháp 6: Quy nạp
g) Phương pháp 7: Dùng biểu thức phụ
2) Các ví dụ :
Ví dụ 1: Chứng minh: (x +y)
2

– y
2
= x(x+2y)
Giải:
Ta có: (x +y)
2
– y
2
- x(x+2y) = x
2
+ 2xy + y
2
– y
2
– x
2
– 2xy = 0
Vậy: (x +y)
2
– y
2
= x(x+2y)
Ví dụ 2:C/m
2 2
2 1 2 2 1 2 2 ; : 0m m m m m m m Khi m+ + + − + − + = >
Giải:
2 2
( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1)
( 1 ) ( 1 )
1 ( 1 ) 2

VT m m m m m m m m
m m m m
m m m m m m m VP
= + + + + − + − + +
= + + − + −
= + + − + − = + = =
Vậy khi m > 0 thì:
2 2
2 1 2 2 1 2 2m m m m m m m+ + + − + − + =
Ví dụ 3: Cho a + b + c = 0. chứng minh: a) a
2
+ b
2
– c
2
+ 2ab = 0
b) a
3
+ b
3
+ c
3
= 3 abc
Giải:
a) Ta có: a + b + c = 0
2 2 2 2 2
( ) 2 0a b c a b c a b ab c⇒ + = − ⇒ + = ⇒ + + − =
(đpcm)
b) Có:
3 3

a + b + c = 0 a+b=-c (a+b) c⇒ ⇒ = −

3 2 2 3 3 3 3 3 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 0 3 3
3 ( ) 3 ( )
3
a a b ab b c a b c a b ab
a b c ab a b a b c ab c
a b c abc
⇒ + + + + = ⇔ + + = − −
⇔ + + = − + ⇔ + + = − −
⇔ + + =
Ví dụ 4:
Ví dụ 5: Chứng minh:
( )
2 3 2 3 6 1+ + − =
Giải:

2
(1) ( 2 3 2 3) 6
........ 2 2 2 6
⇔ + + − =
⇔ ⇔ + + =