Lý thuyết và bài tập về hai quy tắc đếm cơ bản, hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp ( có đáp án chi tiết)

Đặng Thị Linh Chi

HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP
I. Lý thuyết
1. Hai quy tắc đếm cơ bản
1.1. Quy tắc cộng
- Định nghĩa: Một công việc sẽ được hoàn thành theo n phương án
+ Phương án 1: Có m1 cách thực hiện
+ Phương án 2: Có m2 cách thực hiện
.....
+ Phương án n: Có mn cách thực hiện
Mỗi cách thực hiện trong từng phương án này không trùng với cách thực hiện trong
phương án khác thì có tất cả m1 + m2 +....+ mn cách thực hiện công việc.
- Ví dụ: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà các chữ số
trong mỗi số tự nhiên đó là khác nhau ( Số tự nhiên đó không có quá 2 chữ số)
Giải
TH1 : Số đó có 1 chữ số
Ta có tập hợp các số thỏa mãn { 1; 2; 3; 4} => có 4 số
TH2 : Số đó có 2 chữ số.
Ta có tập hợp các số thỏa mãn {12; 13; 14; 23; 24; 21; 31; 32; 34; 41;42; 43}
=> có 12 số
Theo quy tắc của phép cộng ta có 4 + 12 = 16 số.
1.2. Quy tắc nhân
- Định nghĩa: Một công việc sẽ được hoàn thành nếu phải thực hiện qua n giai đoạn
+ Giai đoạn 1: Có m1 cách thực hiện
+ Giai đoạn 2: Ứng với mỗi cách thực hiện giai đoạn 1 có m2 cách thực
hiện giai đoạn 2
....
+ Giai đoạn n: Ứng với mỗi cách thực hiện giai đoạn 12...(n-1) có mn
cách thực hiện giai đoạn n.
Vậy sẽ có m1.m2...mn cách thực hiện công việc.

Ví dụ: Xét ví dụ ở quy tắc cộng
TH1: Số đó có 1 chữ số thì có 4 số
TH2: Số đó có 2 chữ số.
Gọi hai số cần tìm là ab
+ Giai đoạn 1: a có 4 cách chọn
+ Giai đoạn 2: Ta đi chọn số b sao cho b  a thì có 3 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân ta có 4.3 = 12 số
Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có 4 + 12 =16 số.
2. Hoán vị, chỉnh hợp. tổ hợp
2.1. Hoán vị.
- Một tập hợp gồm n phần tử ( n  1), mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử gọi là 1 hoán
vị của n phần tử.
- KH: Pn: số hoán vị của n phần tử.
Ta có Pn  n!
* Nhắc lại kiến thức về giai thừa:
+ n! nn 1n  2...2.1

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

1


Đặng Thị Linh Chi
+ n! nn 1!
+ Quy ước: 0! = 1
2.2. Chỉnh hợp:
- Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử n  1. Mỗi kết quả của việc chọn ra k
phần tử 1  k  n trong số n phần tử và sắp xếp thứ tự k phần tử đó gọi là 1 chỉnh hợp
chập k của n phần tử.

- Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
k
+ KH: An : số chỉnh hợp chập k của n phần tử
+ Định lý

k

A

n

 nn  1...n  k  1 

n!
1  k  n
(n  k )!

+ Quy ước: An  1
2.3. Tổ hợp:
- Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử n  1. Mỗi tập con k phần tử 0  k  n
trong số n phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
- Số tổ hợp chập k của n phần tử:
k
+KH: C n - số tổ hợp chập k của n phần tử.
0

+ Định lý:

C

k
n



n!
k!n  k !

2.4. Các tính chất cơ bản của số

C

k
n

C  1, C  n , C  1
+ C  C 0  k  n
+

0

n

k

nk

n

n

1

n

n

n

Chứng minh
VP  C n 
k

n!
n!
k

 C n  VT
n  k !(n  (n  k ))! (n  k )!k!

+ Công thức Pa-xcan:

C

k 1
n 1

 C n1  C n 0  k  n 
k

k

Chứng minh
(n  1)!
(n  1)!
VT 

(k  1)!(n  k )! k!(n  k  1)!
(n  1)!
 nk
1 

(k  1)!(n  k )! 
k 
(n  1)!
n
n!
k

. 
 C n  VP
(k  1)!(n  k )! k k!(n  k )!



+ k C n  n C n1 1  k  n 
k 1

k

Chứng minh

k 1

VP  n C n 1  n.


(n  1)!
n.(n  1)!

.k
(n  k )! (k  1)! (n  k )! (k  1)!.k

n!
k
.k  k C n  VT
(n  k )!.k!

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

2


Đặng Thị Linh Chi

+

1
1

k
k 1
.C n 
.C n1 1  k  n 
k 1
n 1

Chứng minh

1
(n  1)!
1
(n  1)n!
.

.
n  1 (n  k )! (k  1)! n  1 (n  k )! (k  1).k!
1
n!
1
k

.

. C n  VT
k  1 (n  k )! k! k  1

VP 

II. Bài tập

1. Bài tập về hai phép đếm cơ bản
Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự
luận và trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận
và một trắc nghiệm,trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi
học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?
Giải
- Số cách chọn 1 đề tự luận là 12 cách
- Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách
Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề
thi
Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}
1. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác
nhau
2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một
khác nhau
Giải
1. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: n = abcd
Để có số n ta phải chọn các chữ số a, b, c, d
+ a có 6 cách chọn
+ b có 5 cách chọn
+ c có 4 các chọn
+ d có 3 cách chọn
Theo quy tắc phép nhân thì có 6.5.4.3 = 360 số
2. Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số là n  abcde
+ Vì n chẵn nên e  2 => e có 1 cách chọn
+ a có 5 cách chọn
+ b có 4 cách chọn
+ c có 3 cách chọn
+ d có 2 cách chọn
Theo quy tắc phép nhân thì có 1.5.4.3.2 = 120 số

Bài 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số lấy ra từ
tập A
Giải
Gọi số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số là n  abcde
Để có số n ta phải chọn các chữ số a, b, c, d, e
+ a có 9 cách chọn ( vì a  0 )
+ b có 10 cách chọn
+ c có 10 cách chọn

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

3


Đặng Thị Linh Chi
+ d có 10 cách chọn
+ e có 10 cách chọn
Theo quy tắc phép nhân thì có 9.10.10.10.10 = 90000 số
Bài 4: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
1. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số đôi một
khác nhau và số tự nhiên đó chia hết cho 5
2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4
Giải
1. Gọi số tự nhiên có 5 chữ số cần tìm là n  abcde
+ Vì n là số tự nhiên lẻ, chia hết cho 5 nên e  5 => e có 1 cách chọn
+ a có 7 cách chọn ( vì a  0, a  5 )
+ b có 7 cách chọn
+ c có 6 cách chọn

+ d có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có tât cả 1.7.7.6.5 = 1470 số
2. Gọi số cần tìm là n  abcde
Vì số cuối cùng chia hết cho 4 nên e  {0;4;8}
TH1: e  0 => có một cách chọn e
+ a có 8 cách chọn
+ b có 7 cách chọn
+ c có 6 cách chọn
+ d có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1. 8.7.6.5 = 1680 số
TH2: e  0 => e có 2 cách chọn
+ a có 7 cách chọn
+ b có 7 cách chọn
+ c có 6 cách chọn
+ d có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 2.7.7.6.5 = 2940 số
Vậy, theo quy tắc cộng ta có tất cả 1680 + 2940 = 4620 số
Bài 5:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9}
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
và lớn hơn 54000
Giải
1. Gọi số tự nhiên 5 chữ số cần tìm là n  abcde
Vì n  54000 nên a  {5;6;7;8;9}
TH1: a = 5 => a có một cách chọn
Khi đó b  {6;7;8;9} => b có 4 cách chọn
+ c có 6 cách chọn
+ d có 5 cách chọn
+ e có 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1.4.5.6.4 = 480 số
TH2: a  5 => a có 4 cách chọn

+ b có 7 cách chọn
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

4


Đặng Thị Linh Chi
+ c có 6 cách chọn
+ d có 5 cách chọn
+ e có 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 4.7.6.5.4 =3360 số
Vậy theo quy tắc phép cộng ta có 480 + 3360 = 3840 số
Bài 6: Một nữ sinh trung học khi đến trường có thể chọn một trong hai bộ trang
phục là quần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi. Nữ sinh có 7 chiếc
quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách
chọn trang phục?
Giải
Nữ sinh được chọn một trong hai bộ trang phục là quần trắng áo dài hoặc quần
xanh áo sơ mi nên sẽ xảy ra hai trường hợp
TH1: Quần trắng - áo dài
+ Có 7 cách chọn quần trắng
+ Có 5 cách chọn áo dài
Theo quy tắc nhân có 7.5 = 35 cách
TH2: Quần xanh - áo sơ mi
+ Có 4 cách chọn quần xanh
+ Có 6 cách chọn áo sơ mi
Theo quy tắc nhân ta có 4.6 = 24 cách
Vậy, theo quy tắc cộng ta có 35 + 24 = 59 cáchw
Bài 7: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này
chia hết cho 5
Giải
Gọi số cần tìm là n  abcdef
Vì n chia hết cho 5 nên f  {0;5}
TH1: f  5 => f có một cách chọn
+ a có 8 cách chọn
+ b có 8 cách chọn
+ c có 7 cách chọn
+ d có 6 cách chọn
+ e có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1.8.8.7.6.5 = 13440 số
TH2: f  0 => f có một cách chọn
+ a có 9 cách chọn
+ b có 8 cách chọn
+ c có 7 cách chọn
+ d có 6 cách chọn
+ e có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1. 9.8.7.6.5 = 15120 số
Vậy, theo quy tắc cộng ta có 13440 + 15120 = 28560 số
Bài 8: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 125
Giải
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

5


Đặng Thị Linh Chi

Gọi số cần tìm là n  abcde
Ta đi đếm số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau
+ e có 4 cách chọn
+ a có 7 cách chọn
+ b có 6 cách chọn
+ c có 5 cách chọn
+ d có 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 4.7.6.5.4 = 3360 số
Ta đi đếm số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau bắt đầu bởi 125
+ a có 1 cách chọn
+ b có 1 cách chọn
+ c có 1 cách chọn
+ e có 3 cách chọn
+ d có 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1.1.1.3.4 = 12 số
Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 125 là
3360 - 12 = 3348 số
Bài 9: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số trong đó
hai chữ số liền kề nhau phai khác nhau
Giải
Gọi số cần tìm là n  abcd
+ a có 7 cách chọn a  0
+ b có 7 cách chọn b  a 
+ c có 7 cách chọn c  b
+ d có 7 cách chọn d  c 
Theo quy tắc nhân có 7.7.7.7 = 2401
Bài 10: Một trận thi đấu bóng đá bắt buộc phải phân thắng bại bằng sút 11m. Ở một
đội bóng huấn luyện viên cần phải chọn ra 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ ( Phải
sắp thứ tự lần lượt các cầu thủ để đá phạt). Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu
cách thực hiện?

Giải
Chọn cầu thủ sút quả số 1 có 11 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 2 có 10 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 3 có 9 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 4 có 8 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 5 có 7 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 11.10.9.8.7 = 55440 cách chọn
2. Bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Bài 1: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách
Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất
cả các cuốn sách trên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp
kề nhau?
Giải

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

6


Đặng Thị Linh Chi
Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài có 3! cách.
Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:
Nhóm sách Toán có 2! cách.
Nhóm sách Văn có 4! cách.
Nhóm sách Anh có 6! cách.
Vậy có 3!. 2!. 4!. 6! = 207360 cách xếp thỏa điều kiện bài toán
Bài 2: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một
người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:
a) Hai người đó là vợ chồng.

b) Hai người đó không phải là vợ chồng
Giải
a) Có 10 cách chọn đàn ông.
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có một cách chọn người đàn bà (là vợ
của người đàn ông đó)
Vậy theo qui tắc nhân có 10×1=10 cách chọn.
b)Có 10 cách chọn người đàn ông
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 9 cách chọn người đàn bà ( trừ vợ của
người đàn ông đó)
Vậy theo qui tắc nhân có 10×9=90 cách chọn.
Bài 3: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ
số khác nhau
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abcd
Vì n chẵn nên d  {0;2;4}
TH1: n chứa 0
+ d = 0 => d có một cách chọn
3
Các số còn lại có A5 cách chọn
3

=> có 1. A5 = 60 số
+ d  0 => d có 2 cách chọn
Số 0 có thể ở 2 vị trí
2
Các số còn lại có A4 cách chọn
2

Theo quy tắc nhân có 2.2. A4 = 48 số
TH2: n không chứa 0

+ d có 2 cách chọn
3
+ 3 số còn lại có A4 cách chọn
3

Theo quy tắc nhân có 2. A4 = 48 số
Vậy có tất cả 60 + 48 + 48 = 156 số
Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau chia hết cho 9
Giải
Các số chia hết cho 9 là các số có tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 9
Ta có các bộ số sau 0;4;5; 1;3;5; 2;3;4 là các bộ số có tổng các chữ số trong bộ số
chia hết cho 9 tạo bởi các chữ số đã cho
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

7


Đặng Thị Linh Chi
Gọi số tự nhiên cần tìm là abc
+TH1: (0; 4; 5)
a có 2 cách chọn
b có 2 cách chọn
c có 1 cách chọn
=> có 2.2 = 4 số
+ TH2: ( 1; 3; 5)
Mỗi số là một hoán vị của 3 số nên có P3 = 3! = 6 số
+ TH3: (2; 3; 4)
Tương tự TH2 ta có 6 số

Vậy ta có tất cả 4 + 6 + 6 = 16 số
Bài 4: Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu trắng, 6 viên bi màu xanh. Chọn
ra 4 viên bi. Có bao nhiêu cách chọn mà không đủ cả 3 màu
Giải
+ Ta đi đếm số cách chọn 4 viên bi bất kỳ lấy từ trong hộp ra
4
Mỗi cách lấy 4 viên bi sẽ là 1 tổ hợp chập 4 của 15 phần tử vì vậy có C15 cách lấy
+ Ta đi đếm số trường hợp mà cả 4 viên bi có đủ 3 màu
TH1: 4 viên bi có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng, 1 viên bi xanh
2
Cách lấy 2 viên bi đỏ từ 4 viên bỉ đỏ là 1 tổ hợp chập 2 của 4 phần tử => có C 4 cách
Tương tự vậy có

C

1
5

cách lấy viên bi trắng và có
2

1

C

1
6

cách lấy viên bi xanh

1

Theo quy tắc nhân ta có C 4 .C 5 .C 6 = 180 cách
TH2: 4 viên bi có 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng, 1 viên bi xanh
1
2
1
Tương tự như TH1 ta có C 4 .C 5 .C 6  240 cách
TH3: 4 viên bi có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 2 viên bi xanh
1
1
2
Có C 4 .C 5 .C 6  300 cách
Vậy số cách chọn mà 4 viên bi không đủ cả 3 màu là
4
C15  180  240  300  645 cách chọn
Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau bé hơn 345.
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abc
Vì n < 345 nên a  {1;2;3}
+ TH1: a  3 => a có 2 cách chọn
2
2 số còn lại có A5 cách chọn
2

=> có 2. A5 = 40 số
+ TH2: a = 3 => a có 1 cách chọn
Khi đó b  4  b  {0;1;2;4}
* b = 4 => b có 1 cách chọn

Khi đó c có 3 cách chọn
Vậy có 1.1.3 = 3 số
* b  4 => b có 3 cách chọn
Khi đó c có 4 cách chọn
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

8


Đặng Thị Linh Chi
=> có 1.3.4 = 12 số
Theo quy tắc cộng ta có 40 + 3 + 12 = 55 số
Bài 6: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hàng dọc vào lớp. Có bao nhiêu cách
xếp sao cho 2 học sinh nam xen kẽ giữa 3 học sinh nữ
Giải
Đánh số từ 1 đến 9
Để hai học sinh nam xen kẽ giữa 3 học sinh nữ thì học sinh nữ đứng ở các vị trí

1;3;5; 2;4;6; 3;5;7; 4;6;8; 5;7;9

Cách sắp xếp 3 học sinh nữ vào 3 vị trí là 3!
Cách sắp xếp 6 học sinh nam xen kẽ giữa 3 học sinh nữ là 6!
Vậy có 5.3!.6! = 21600 cách
Bài 7:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}
1. Có bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy từ tập A
2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số đôi một khác
nhau
3. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác
nhau sao cho tổng hai chữ số đầu và cuối chia hết cho 10

Giải
1. Gọi số có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy từ A là n  abcde
Năm chữ số này được chọn từ A,đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự
nhất định nên số cần tìm là chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử
5
=> có tất cả A7  2520 số
2. Gọi số cần tìm là n  abcdef
Vì n là số tự nhiên chẵn nên f có 3 cách chọn
Các số còn lại có
=> có 3.

5

A

6

cách chọn

5

A = 2160 số
6

3. Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abcdef
Vì tổng hai chữ số đầu và số cuối chia hết cho 10 tức là a  f  chia hết cho 10
=> a; f   {3;7; 4;6 }
Khi đó ứng với mỗi bộ a có 2 cách chọn, ứng với mỗi cách chọn a có 1 cách
chọn f
Chọn 4 chữ số còn lại có

4

A

5

cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có 2.2.1.

4

A = 480 số
5

Bài 8: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có
đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ
Giải
Gọi số cần tìm là n  abcdef
Chọn được 3 chữ số chẵn trong tổng số 4 chữ số chẵn của tập A có

3

A

4

cách chọn

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

9


Đặng Thị Linh Chi
Chọn được 3 chữ số lẻ trong tổng số 5 chữ số lẻ của tập A có
Theo quy tắc nhân có

3

3

4

5

3

A cách chọn
5

A . A = 1440 số

Bài 9: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu
cách chia số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học
sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Giải

Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách tạo
thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có một học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.
Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
* Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
+Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi
2
+ Chọn 2 học sinh khá có C 5 = 10 cách chọn
5

+ Chọn 5 học sinh trung bình có C 8 = 56 cách chọn
Vậy có 3.10.56 = 1680 cách chọn
* Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
+ Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.

C
+ Có C
+ Có

3
5
4
8

= 10 cách chọn 3 học sinh khá.
=70 cách chọn 4 học sinh trung bình.

Vậy có 3.10.70 = 2100 cách chọn
Theo quy tắc cộng có 1680 + 2100 = 3780 cách chọn

Bài 10: Người ta xếp ngẫu hiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.

a) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu có số chẵn luôn ở cạnh nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẽ riêng biệt
(chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
Giải
a. + Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2!
cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là 3! cách.
=> có 2.6 = 12(cách).
+ tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải và nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy có 12 + 12 = 24 cách
b. + Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! cách.
+ Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy có: 2.24 = 48 (cách)
Bài 11: Giải phương trình sau

1
a.

x



1
x



1

2

x

b.

C C C
c. C  C  7 x  3

d.

e. C x  6.C x  6.C x  9 x 2  14

f.

4

1

5

x 1

x

x4

x 3

2

A

x 1

 C x  7  3.P4
1

6

3

x 1

Ax .C x  48

C

2

3
x

 5C x
1

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

10

Đặng Thị Linh Chi

g.

C

i. 5.

3

C

 20.C x

2

2x

x 1
x

h.

 Cx
3

k.

x2

C

12
x

 C x 1
2

3

A

 Cx
8

Giải

1
a.

x



1

C C
4



x

1

C

5

x
6

ĐKXĐ: 4  x  0 , x  Z
Từ điều kiện xác định ta có x  {0;1;2;3;4}
Thử từng giá trị của x vào phương trình ta thấy x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Ax1  C x  7  3.P4
1

2

b.

ĐKXĐ: x  3 , x  Z
( x  1)!
x!

 7  3.4!
( x  3)! 1!.( x  1)!

( x  1)( x  2)( x  3)! x( x  1)!


 7  72
( x  3)!
( x  1)!
 ( x  1)( x  2)  x  7  72
pt 

 x 2  3 x  2  x  7  72
 x 2  4 x  77  0
 x  11

 x  7

Kết hợp điều kiện ta được x  11
Vậy phương trình có nghiệm x  11
c.

C

x 1
x4

 C x 3  7x  3
x

ĐKXĐ: x  0 , x  Z
( x  4)! ( x  3)!


 7( x  3)
3!( x  1)!
3! x!
( x  4)( x  3)( x  2)( x  1)! ( x  3)( x  2)( x  1) x!


 7( x  3)
6.( x  1)!
6.x!
( x  4)( x  3)( x  2) ( x  3)( x  2)( x  1)


 7.( x  3)
6
6
 ( x  4)( x  3)( x  2)  ( x  3)( x  2)( x  1)  42.( x  3)
 ( x  4)( x  2)  ( x  2)( x  1)  42 ( vì x  3 > 0)
pt 

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

11


Đặng Thị Linh Chi
 x 2  6 x  8  ( x 2  3x  2)  42
 3x  6  42  3x  36  x  12(T / m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 12

d.

2

x 1

x

x

A .C

 48

ĐKXĐ: x  2 , x  Z
x!
x!
.
 48
( x  2)! ( x  1)!.1!
x.( x  1)( x  2)! x( x  1)!

.
 48
( x  2)!
( x  1)!
pt 

 x( x  1).x  48  x 3  x 2  48  0
 x  4(t. / m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4
e. (-17). C x  6.C x  12.C x  9 x 2  14
1

2

3

ĐKXĐ : x  3 , x  Z
x!
x!
x!
 6.
 12.
 9 x 2  14
1!.( x  1)!
2!.( x  2)!
3!.( x  3)!
x( x  1)!
x( x  1)( x  2)!
x( x  1)( x  2)( x  3)!
 (17).
 6.
 12.
 9 x 2  14
( x  1)!
2.( x  2)!
6.( x  3)!
pt  (17).

 (17). x  3 x( x  1)  2.x( x  1)( x  2)  9 x 2  14
 (17). x  3 x 2  3 x  2 x 3  6 x 2  4 x  9 x 2  14  0
 2 x 3  12 x 2  16 x  14  0
 x 3  6 x 2  8x  7  0
 ( x  7)( x 2  x  1)  0


x7

1 5
 x 
2


1 5
x 
2


Kết hợp điều kiện xác định ta có x = 7
Vậy phương trình có nghiệm x = 7.
f.

C

3
x

 5C x

1

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

12


Đặng Thị Linh Chi

ĐKXĐ: x  3 , x  Z
x!
x!
 5.
3!( x  3)!
1!( x  1)!
x( x  1)( x  2)( x  3)!
x( x  1)!

 5.
6.( x  3)!
( x  1)!
x( x  1)( x  2)

 5.x  x( x  1)( x  2)  30 x
6
 ( x  1)( x  2)  30 vì x  3
 x 2  3 x  28  0
pt 

 x7

 x  4

Kết hợp điều kiện xác định ta có x = 7
Vậy phương trình có nghiệm x = 7
g.

C

3
2x

 20.C x

2

ĐKXĐ: x  2 , x  Z
(2 x)!
x!
 20.
3!(2 x  3)!
2!( x  2)!
2 x.(2 x  1).( 2 x  2).( 2 x  3)!
x( x  1)( x  2)!

 20.
6.(2 x  3)!
2( x  2)!
x(2 x  1)( 2 x  2)


 10 x( x  1)
3
 x(2 x  1)( 2 x  2)  30 x( x  1)
 x(2 x  1).2.( x  1)  30( x  1)
 (2 x  1).2  30 (vì x  2 )
 x  8 ( thỏa mãn)
pt 

Vậy phương trình có nghiệm x = 8
h.

3

A

x2

 C x 1
2

ĐKXĐ: x  5 , x  Z

( x  2)!
( x  1)!

( x  5)! ( x  3)!.2!
( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)! ( x  1)( x  2)( x  3)!



( x  5)!
( x  3)!.2
 2.( x  2)( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2)
 2.( x  3)( x  4)  x  1 (vì x  5 )
pt 

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

13


Đặng Thị Linh Chi
 2( x 2  7 x  12)  x  1  0
 2 x 2  15 x  25  0
x  5
5

 x  2

Kết hợp điều kiện xác định ta có x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = 5
i. 5.

C

x 1
x

 Cx

3

ĐKXĐ: x  3 , x  Z
x!
x!

( x  1)!.1! 3!.( x  3)!
x( x  1)!
x( x  1)( x  2)( x  3)!

.5 
( x  1)!
6.( x  3)!
 30 x  x( x  1)( x  2)
 30  ( x  1)( x  2) (vì x > 0)
 x 2  3x  28 = 0
 x7

 x  4
pt  5.

Kết hợp điều kiện ta có x = 7
Vập phương trình có nghiệm x = 7
k.

C

12
x

 Cx
8

ĐKXĐ: x  12 , x  Z
x!
x!

( x  12)!.12! 8!( x  8)!
( x  8)! 12!


( x  12)! 8!
( x  8)( x  9)( x  10)( x  11)( x  12)!

 11880
( x  12)!
 ( x  8)( x  9)( x  10)( x  11)  11880
pt 

 ( x 2  17 x  72).( x 2  21x  110)  11880
 x 4  38 x 3  539 x 2  3382 x  3960  0
 ( x  20)( x 3  18 x 2  179 x  198)  0
 ( x  20)( x  1)( x 2  19 x  198)  0
 x  20 ( vì x  12)

Vậy phương trình có nghiệm x = 20
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

14

Đặng Thị Linh Chi
Bài 12: Giải bất phương trình sau
5 2
4
3
a. C n 1  C n 1  An  2  0
4

A  2.C  P
c. 2.C  3. A  20
A  14P
d.
C
b.

3

3

n

n 1

2

2

2

n 1

n

4

n 1
n 3

3

n 1

Giải
5
a. C n 1  C n 1 
4
4

3

2

A

n2

0

ĐKXĐ: n  5 , n  Z
(n  1)!
(n  1)!
5 (n  2)!

 .
0
4!.(n  5)! 3!.(n  4)! 4 (n  4)!
(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)( n  5)! (n  1)( n  2)( n  3)( n  4)! 5 (n  2)( n  3)( n  4)!



0
24(n  5)!
6.(n  4)!
4
(n  4)!
(n  1)( n  2)( n  3)( n  4) (n  1)( n  2)( n  3) 5


 .(n  2)( n  3)  0
24
6
4
1

(n  2)( n  3)(n  1)( n  4)  4(n  1)  30  0
24
 (n  1)( n  4)  4(n  1)  30  0

bpt 

 n 2  5n  4  4n  4  30  0
 n 2  9n  22  0
 2  n  11

Kết hợp điều kiện xác định ta có n  {5;6;7;8;9;10}
b.

An  2.C n1  P2
3

3

ĐKXĐ: n  4 , n  Z

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

15


Đặng Thị Linh Chi
n!
(n  1)!
 2.
 2!
(n  3)!
3!.(n  4)!
n(n  1)( n  2)( n  3)!

(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)!

 2.
2
(n  3)!
6.(n  4)!
1
 n(n  1)( n  2)  (n  1)( n  2)( n  3)  2
3
 3n(n  1)( n  2)  (n  1)( n  2)( n  3)  6  0

bpt 

 3n 3  9n 2  6n  (n 3  6n 2  11n  6)  6  0
 2n 3  3n 2  5n  0
 2n 2  3n 2  5  0  1  n 

5
2

Kết hợp điều kiện xác định thì không có giá trị của n
Vậy bất phương trình vô nghiệm.
c. 2.

C

 3. An  20
n 1

2

2

ĐKXĐ: n  2 , n  Z
(n  1)!
n!
 3.
 20
2!.(n  1)!
(n  2)!
(n  1).n.(n  1)!
n(n  1)( n  2)!
 2.
 3.
 20
2.(n  1)!
(n  2)!
 n(n  1)  3.n.(n  1)  20

bpt  2.

 n 2  n  3n 2  3n  20  0
 4n 2  2n  20  0
 2  n 

5
2

Kết hợp với điều kiện ta có n = 2
Vậy bất phương trình có nghiệm n = 2

4

A
d.
C

n 1
n 3

 14P3

n 1

ĐKXĐ n  3 ; n  Z
(n  1)!
(n  1)n(n  1)( n  2)( n  3)!
(n  3)!
(n  3)!
bpt 
 14.3! 
 84
(n  1)!
(n  1)( n  2)( n  3)!
2!(n  3)!
2.(n  3)!
(n  1)n(n  1)( n  2)

 42
(n  1)( n  2)
 n(n  1)  42  n 2  n  42  0

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

16


Đặng Thị Linh Chi
 7  n  6

Kết hợp điều kiện ta có n  {3;4;5}
Bài 13: Giải các hệ phương trình sau

 m  m 2
Cn 2 Cn
a. 
 C n  153

 x  x 1
Cy Cy
b.  2
 Ay  20

Giải

 m  m 2
Cn 2 Cn
a. 
 C n  153
m  0, m  Z


ĐKXĐ:  n  1, n  Z
 nm


n!
n!


 m!(n  m)! (n  m  2)!(m  2)!
hpt  
n!

 153

(n  2)!.2!
1
1

 m!(n  m)( n  m  1)( n  m  2)!  (n  m  2)!(m  2)( m  1)m!

n(n  1)( n  2)!

 153

(n  2)!.2
1
1




  (n  m)( n  m  1) (m  2)( m  1)

n(n  1)  306
(n  m)( n  m  1)  (m  2)( m  1)

n 2  n  306  0

(n  m)( n  m  1)  (m  2)( m  1)

 n  18(t / m)

n  17(loai )



n  18


(18  m)(17  m)  (m  2)( m  1)
n  18


2
2
306  35m  m  m  3m  2
n  18

m  8
Vậy m; n  8;18 là nghiệm của hệ phương trình

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

17


Đặng Thị Linh Chi
 x  x 1
Cy Cy
b.  2
 Ay  20
 x  0, x  Z

ĐKXĐ:  y  2, y  Z
x  y


y!
y!

 ( y  x)!.x!  ( x  1)!.( y  x  1)!
hpt  
y!

 20

( y  2)!
1
1


 x!.( y  x)( y  x  1)!  ( x  1) x!.( y  x  1)!

y ( y  1)( y  2)!

 20

( y  2)!
 2x  y  1
 x 1  y  x
 2x  y  1


 2
  y  5(t / m)
 y ( y  1)  20
 y  y  20  0
 y  4(loai )

x  2

y  5
Vậy x; y   2;5 là nghiệm của hệ phương trình

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

18