de thi chon doi tuyen vn du thi imo 2008

Bài 1. Trên mặt phẳng, cho góc xOy. Xét điểm M thay đổi trên tia Ox và điểm N thay đổi
trên tia Oy. Kí hiệu d là đường phân giác ngoài của góc xOy và gọi I là giao điểm của d với
đường trung trực của đoạng thẳng MN. Trên d lấy 2 điểm P, Q sao cho IP = IQ = IM = IN.
Gọi K là giao điểm của các đường thẳng MQ và NP.
1. CMR K luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M, N chuyển đọng trên Ox, Oy.
2. Xét các điểm M, N trên các tia Ox, Oy sao cho đường thẳng d1 vuông góc với IM tại M
và đường thẳng d2 vuông góc với IN tại N đều cắt đường thẳng d. Gọi E, F tương ứng là
giao điểm của d1, d2 với d. CMR các đường thẳng EN, FM, OK đồng quy.
Bài 2. . Hãy xác định tất cả các số nguyên dương m sao cho tồn tại các đa thức với hệ số
thực P(x), Q(x), R(x,y) thỏa mãn điều kiện: Với mọi số thực a, b mà a^m - b^2 = 0, ta luôn
có P(R(a,b)) = a và Q(R(a,b)) = b.
Bài 3. Cho số nguyên n>3. Kí hiệu T là tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên. Một tập
con S của T được gọi là "tập khuyết" trong T nếu S có tính chất: Tồn tại số nguyên dương
c không vượt quá n/2 sao cho với s1, s2 là 2 số bất kì thuộc S ta luôn có . Hỏi tập
khuyết trong T có thể có tối đa bao nhiêu phần tử.