thi tich hợp liên môn toán 12 ứng dụng của đạo hàm

Equation Chapter 1 Section 1Ngày soạn: 27/8/2015.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Tiết thứ: 8
A. Mục tiêu:
1.Về kiến thức: Biết cách tìm GTLN, NN của hàm số trên một tập hợp số.
Tìm hiểu thêm các ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán Vật lý, Hóa
học, Sinh học,…
2.Kĩ năng: Biết cách tìm GTLN,GTNN của hàm số
Biết cách đưa bài toán thực tiễn trong các bộ môn khác về bài toán
trong toán học
3-Về thái độ, tư duy:
Rèn luyện tư duy logic, tư duy lý luận.
Tích cực, chủ động nắm kiến thức, tham gia xây dựng bài.
Biết liên hệ toán học với ứng dụng thực tiễn.
B-Chuẩn bị
1/Thầy: Giáo án, sgk, thước kẻ.
2/Trò: sgk, vở ghi, thước kẻ
C-Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp:
Lớp
Ngày giảng
Sĩ số

12A2

2-Kiểm tra bài cũ: Bài 20- SGK, trang 22 (Giải tích 12 – Nâng cao).
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện
tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
P (n) = 480 − 20n ( gam)
.
Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu

hoạch được nhiều cá nhất?
Hướng dẫn:


Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn
vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng
f (n) = n.P (n) = 480n − 20n 2 ( gam)
.
2
f (x) = 480 x − 20 x
∞
Xét hàm số
trên khoảng (0; + ).
(Biến số n lấy các giá trị nguyên dương được thay thế bằng biến cố x lấy các giá trị trên
∞
khoảng (0;+ )).
f '(x) = 480 − 40 x; f '( x) = 0 ⇔ x = 12.
Bảng biến thiên
X

0

f '( x)

+∞

12
+

0

f (x)

-

f (12)

Trên khoảng

(0; +∞)

f
, hàm số

x = 12

đạt giá trị lớn nhất tại điểm
. Từ đó suy ra rằng
f
¥
trên tập hợp
các số nguyên dương, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm n = 12.
Vậy muốn thu hoạch được nhiều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt
hồ phải thả 12 con cá.
Giáo viên : Nhận xét và chính xác hóa kết quả.
*

Trên đây là ví dụ về ứng dụng đạo hàm trong đời sống thực tiễn
3-Nội dung bài giảng:
Hoạt động 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong số những ứng dụng nổi bật nhất của việc tính toán là những cái phụ thuộc vào các
giá trị cực đại hay các giá trị cực tiểu của các hàm số.
Thực tế cuộc sống hàng ngày được phong phú với những bài toán như vậy và điều
tự nhiên là các nhà toán học và những người khác sẽ tìm ra điều quan trọng và thú vị của
chúng. Một nhà kinh doanh tìm kiếm lợi nhuận tối đa và giá cả tối thiểu. Một số kĩ sư
tìm kiếm một động cơ và mong muốn tối đa hiệu quả của nó. Một phi công hàng không


c gng lm ti thiu thi gian chuyn bay v s tiờu th cht t. Trong khoa hc,
chỳng ta thng thy rng bn cht t nhiờn hot ng theo con ng lm cc i hoc
lm cc tiu mt hin tng no ú.
Mi khi chỳng ta dung nhng t nh rng nht, nh nht, nht, tt nht, . Nú l
lý do gi ý rng mt vi bi toỏn cc i v cc tiu ang n khut bờn cnh. Nu bi
toỏn ny cú th c biu din theo nhng bin s v nhng hm s, m hon ton
khụng th theo cỏch khỏc, thỡ nhng phng phỏp Gii tớch sn sng .
Tt c cỏc bi toỏn nh vy u cú th s dng cụng c o hm gii quyt.
Cỏc em cú bit trong mi gia ỡnh hin nay u cú mỏy tớnh o hm trong nh
khụng?
Một ứng dụng rất vui trong đời sống hàng ngày mà ta không để ý đến đó chính là:
Đồng hồ đo công tơ mét của xe máy ở nhà ta.

Lúc xe máy khởi hành là x=10 giờ thì đồng hồ công tơ mét chỉ quãng đờng xe
đã đi trớc đó f(x)= 30025 km. Quãng đờng đi đợc f(x+a)-f(x)=4km, thời gian a=6
phút hay 1/10 giờ. Vậy tôi đang đi tốc độ là [ f(x+a)-f(x)]=40km. Khi đó kim tốc độ
sẽ chỉ 40km/h.
Hóa ra kim tốc độ chính là chiếc máy tính đạo hàm mà con đờng ta đi theo thời
gian. Khi kim chỉ số 0 tức là quãng đờng không tăng không giảm tức là ta đang đứng
yên.

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán
Vật lý, Hóa học, Sinh học …
Hoạt động 2: Ứng dụng trong môn Vật lí.
Ví dụ 1: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc
dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng
lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

E (v ) = cv 3t ,

trong đó c là một hằng số, E được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi của

con cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Trên con sông, dòng chảy đứng yên, một
con thuyền chạy vận tốc v thuyền .
Trên con sông có dòng nước chảy với vận
tốc v0.
Khi thuyền xuôi dòng thì vận tốc xuôi
dòng bằng : v thuyền + v dòng nước .
Khi thuyền ngược dòng thì vận tốc ngược
dòng bằng : v thuyền – v dòng nước .
Học sinh lên bảng trình bày.
Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là v-6
(km/h). Thời gian cá bơi để vượt khoảng

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
- Nêu công thức tính vận tốc của vật
chuyển động ngược dòng nước, xuôi
dòng nước?

Energy: năng lượng

-Yêu cầu học sinh nêu hướng làm?


t=

-Để tìm vận tốc v sao cho năng lượng
tiêu hao là ít nhất ta phải làm gì?

300
v−6

cách 300km là
(giờ)
Năng lượng tiêu hao của cá để vượt
khoảng cách đó là
v3
3 300
E (v) = cv .
= 300c
( jun), v > 6.
v−6
v−6
- Coi E(v) là một hàm số với ẩn là v áp
dụng các kiến thức về tìm giá trị lớn nhất
nhỏ nhất của hàm số để giải quyết bài toán.
v−9
E '(v) = 600cv 2
;

(v − 6) 2
E '(v) = 0 ⇔ v = 9; v = 0

(loại do v>6)

BBT
X
6
+∞
E’
(x
)
E(
x)

- Nhận xét và chính xác hóa kết quả

9

-

0

+

E(9)

Để tiêu hao năng lượng ít nhất thì cá
phải bơi với vận tốc (khi nước đứng
yên ) là 9 (km/h).

Ví dụ 2: Giả sử một tia sáng đi từ điểm A tới điểm P trên một gương phẳng… nó phản
xạ đến điểm B như trong hình vẽ lúc đó sự đo lường cẩn thận chỉ ra rằng tia tới và tia
phản xạ đã làm với mặt gương một góc

α =β

. Giả sử rằng tia sáng đi theo con

đường ngắn nhất từ A đến B bằng con đường gương và kiểm tra luật phản xạ này bằng
cách chỉ ra rằng con đường APB là ngắn nhất khi.

A

B


x

c-x
P

HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
-

L = a 2 + x 2 + b 2 + (c − x ) 2
-

cố định. Biểu thị mối liên hệ giữa

Bài toán đưa về tìm giá trị nhỏ nhất

các đại lượng với quãng đường đi

của hàm số
f ( x ) = a 2 + x 2 + b 2 + (c − x ) 2
f '( x) =

f '(x) = 0 ⇔

x
a +x
2

2

x
a +x
2

2

(0 < x < c ) -

L?
Tìm giá trị nhỏ nhất của quãng

-

đường
Để tìm giá trị lớn nhất trên một

c−x

−

b + (c − x )
2

=

2

khoảng ta giải phương trình
f '( x) = 0

c−x
b + (c − x )
2

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
Yêu cầu học sinh nêu các đại lượng

2

-

một cách dễ dàng theo x. Tuy nhiên

Và phương trình được biến đổi về
b 2 + (c − x ) 2

a2 + x2
=
x
c−x
a
b 2
⇔ ( )2 + 1 = (
) +1
x
c−x
a
b
⇔ =
x c−x

.
Có thể giải phương trình cuối này
không cần thiết làm điều này vì ta có
thể tính đạo hàm cấp hai của hàm số
f(x).

-

a2

b2
f ''( x) =
+ 2
>0
2 3

(a 2 + x 2 )3 [b +(c-x) ]

với

0< x
. Nên tại giá trị x tìm

được của phương trình

f '( x) = 0

chính là giá trị nhỏ nhất của L. Từ
đó, ta có

tan α = tan β

hay

α = β.


Chú ý: Luật phản xạ được tranh luận trong ví dụ 1 Đã được biết đến trong thời Hi Lạp
cổ đại. Tuy nhiên, sự thật là tia sáng phản xạ theo con đường ngắn nhất được phát hiện
muộn hơn nhiều bởi Herôn của thành Alexandria, ở thế kỉ thứ nhất trước công nguyên.
Sự chứng minh hình học của Herôn thì đơn giản nhưng đã tính khéo léo. Bằng chứng
làm như sau: Đặt A và B là những điểm như hình và đặt B’ là ảnh của B qua gương vì
rằng bề mặt của gương vuông góc với đường BB’. Đoạn AB’ cắt mặt gương tại điểm P
và đây là điểm mà tại đó tai sáng tới thì phản xạ khi nó đi từ A tới B. Vì
nên

α =β

α =γ, γ = β

B

A

.

P’ ’

P
B’

Chiều dài toàn bộ đường đi của tia sáng là

AP + PB = AP + PB ' = AB '

Đối với điểm P’ bất kì khác ở trên mặt gương chiều dài toàn bộ của đường đi tia sáng là
AP '+ P ' B = AP '+ PB ' > AB '

vì tổng hai cạng trong một tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ

ba. Điều này chỉ ra rằng đường đi thực sự của tia phản xạ của tia sáng là đường đi ngắn
nhất từ A tới B bởi mặt gương.

Hoạt động 3: Ứng dụng trong môn sinh học (Giáo dục sức khỏe cho thanh thiếu niên).
Cho học sinh xem vi deo về 10 nguyên nhân chính gây nên bệnh cao huyết áp.

1.
2.

Tuổi tác.
Di truyền


3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Giới tính
Thừa cân
Ăn mặn
Rượu
Bia
Căng thẳng
Thuốc ngừa thai
Lười biếng
Tác hại của bệnh cao huyết áp

Việc cấp cứu kịp thời cho những người bị cao huyết áp là rất cần thiết để không để lại
những di chứng về sau. Một trong những cách giảm huyết áp là tiêm thuốc nhưng tiêm
bao nhiêu để mức giảm huyết áp là nhiều nhất và tính độ giảm đó?
Ví dụ 3:Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức

G ( x) = 0,025 x 2 (30 − x),

trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x

được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp
giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN


G ( x ) = 0,75 x 2 − 0,025 x 3 , x > 0.
G '( x) = 1,5 x − 0,075 x 2 ;

-

Yêu cầu học sinh nêu hướng giải

-

quyết bài toán?
Gọi học sinh trình bày.

G '( x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 20.
X
f '( x)

0
0

12
+ 0

f (x)

+∞

-

100

max G ( x ) = G(20) = 100
x >0

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để

-Nhận xét và chính xác kết quả.

huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. Khi đó, độ
giảm huyết áp là 100.
Hoạt động 4: Ứng dụng trong môn Hóa học
Ví dụ 4: Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ôxít từ nitơ (II) ôxít và ôxy.
Hãy xác định nồng độ khí ôxy tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất. (Biết

theo thực nghiệm vận tốc phản ứng

v = k[NO]2 [O 2 ]

)

Các yếu tố ảnh hưởng đến tốc độ phản ứng hóa học

Nồng độ

Áp suất

Nhiệt độ

Diện tích bề mặt

Chất xúc tác

Chú ý:
Biểu thức vận tốc phản ứng :
- Vận tốc phản ứng tỉ lệ thuận với tích nồng độ của các chất tham gia phản ứng, với số
mũ là hệ số hợp thức của các chất tương ứng trong phương trình phản ứng hóa học.


- Xét phản ứng: aA + bB → pC + qD => Biểu thức vận tốc tức thời:

v = k [ A]

m

[ B]

n

(1)

+ k: hằng số tốc độ (hằng số vận tốc chính là tốc độ phản ứng khi nồng độ các chất = 1 ).
+ [A], [B]: nồng độ mol của chất A và B.
+ m, n gọi là bậc của phản ứng, cho biết nồng độ mỗi chất tác dụng ảnh hưởng như thế
nào đến tốc độ p/ ứng.
+ Ở biểu thức (1) thì : m là bậc của phản ứng đối với chất A.
n là bậc của phản ứng đối với chất B.
(m + n) là bậc chung của phản ứng
Lưu ý: + Các số m, n, k chỉ có thể xác định bằng thực nghiệm
+ Tuy nhiên một số phản ứng đơn giản thì m, n có thể trùng với a, b
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
Phương trình phản ứng:
2NO + O2 = 2NO2
v = kx 2 y
Vận tốc của phản ứng:
= kx 2 (100 − x) = −kx3 + 100kx 2 (0 < x < 100)
v' = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =

200
3

. Áp dụng đạo hàm
200
x=
3
ta có vận tốc lớn nhất khi
. Lúc này
100
y=
3
nồng độ phần trăm khí oxy là

.

4. Củng cố: Hệ thống ND bài.

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
-Yêu cầu học sinh viết phương trình
phản ứng hóa học.
Gọi


T ìm gtln, nn của hàm số: y = cos2x +cosx-2.
Giải:
Đặt t = cosx ; đk -1 t 1.
Bài toán trở thành tìm gtln, nn của hàm số:
y = 2t 2 + t 3 tr ên [ -1;1] .
5. Hng dn v nh: Lm BT (SBT)
c trc bi mi.
kim tra 15 phỳt
s 1

s 2

Cõu 1. Tỡm cỏc khong n iu ca hm

Cõu 1. Tỡm cỏc khong n iu ca hm

s

y = x 4 + 8 x2 1

.

s

Cõu 2. Tỡm GTLN v GTNN ca hm s
y = 6 3x

trờn on

[ 1,1]

y = x 3 + 3x 2 2.

Cõu 2. Tỡm GTLN v GTNN ca hm s
y=

2x 5
5x 2

trờn on

[ 3; 4]