SỬ DỤNG CHIẾN LƯỢC “ ĐOÁN THÔNG MINH VÀ THỬ” ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

BÀI KIỂM TRA
Môn: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Đề tài:

SỬ DỤNG CHIẾN LƯỢC “ ĐOÁN THÔNG MINH
VÀ THỬ” ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Sinh viên thực hiện: Cao Thị Ngọc Thuý
Lớp: Toán 3A

Huế, tháng 10/2012
1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

BÀI KIỂM TRA
Môn: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Đề tài:

SỬ DỤNG CHIẾN LƯỢC “ ĐOÁN
THÔNG MINH VÀ THỬ” ĐỂ GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Sinh viên thực hiện: Cao Thị Ngọc Thuý

Lớp: Toán 3A
Huế, tháng 10/2012
2


LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay, con người hằng ngày phải đối mặt với những vấn đề của
cuộc sống. Để giải quyết vấn đề một cách hiệu quả và tối ưu thì ta phải có
một chiến lược sao cho phù hợp. Trong Toán học cũng vậy, hằng ngày
chúng ta phải đương đầu với những bài toán mà cần có lời giải đáp và đưa
ra những hướng giải mà có thể chưa biết được ngay. Vì vậy, có những
chiến lược để giải quyết vấn đề là điều cần thiết.
Cuốn sách Problem-solving strategies for efficient and elegant
solutions cung cấp cho người đọc những chiến lược cụ thể để tiếp cận vấn
đề, đưa ra những phương pháp thích hợp để giải quyết vấn đề. Cách tiếp
cận vấn đề gần gũi, ví dụ minh họa thực tế, phong phú với hướng dẫn chi
tiết là những gì mà cuốn sách này mang đến cho người đọc, từ đó giúp
người đọc hiều biết thêm và áp dụng chiến lược thích hợp để giải quyết vấn
đề một cách hiệu quả và tối ưu nhất.
Huế, tháng 11/2012

3


MỤC LỤC


 
I.
  GIỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH PROBLEM-SOLVING

STRATEGIES FOR EFFICIENT AND ELEGANT SOLUTIONS ................................ 5
 
A.
 

Tác giả Alfred S. Posamentier và Stephen Krulik ............................................ 5
 

B.
 
Cuốn sách Problem-solving strategies for efficient and elegant solutions
(Chiến lược giải quyết vấn đề cho lời giải hiệu quả và tối ưu)..................................... 5
 
II.
  GIỚI THIỆU CHƯƠNG 8: CHIẾN LƯỢC ĐOÁN THÔNG MINH VÀ THỬ ...... 6
 
A.
  Chiến lược Đoán thông minh và thử để giải quyết vấn đề trong những tình
huống của cuộc sống thường nhật ................................................................................ 6
 
B.
 

Áp dụng chiến lược Đoán thông minh và thử để giải Toán ............................... 7
 

C.
 

Những bài toán sử dụng chiến lược “ Đoán thông minh và thử” ....................... 8

 

Bài toán 1 .................................................................................................................. 8
 
Bài toán 2 .................................................................................................................. 9
 
Bài toán 3 ................................................................................................................ 10
 
Bài toán 4 ................................................................................................................ 10
 
Bài toán 5 ................................................................................................................ 11
 
III.
 

BÀI TOÁN LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHIẾN LƯỢC ............................................ 11
 

IV.
 

ĐÁNH GIÁ VỀ CUỐN SÁCH ........................................................................... 14
 

V.
  KẾT LUẬN ............................................................................................................ 15
 

4

I.
GIỚI
 THIỆU
 VỀ
 TÁC
 GIẢ
 VÀ
 CUỐN
 SÁCH
 PROBLEM-­‐SOLVING
 
STRATEGIES
 FOR
 EFFICIENT
 AND
 ELEGANT
 SOLUTIONS
 
A.
Tác
 giả
 Alfred
 S.
 Posamentier
 
 và
 Stephen
 Krulik
 

 
Alfred S. Posamentier là một trong những nhà giáo dục Mỹ nổi bật nhất
trong nước và là một nhà bình luận chính về toán học Mỹ và giáo dục khoa học,
thường xuyên đóng góp cho The New York Times và các ấn phẩm thông tin khác.
Ông là tác giả hoặc đồng tác giả của hơn 55 cuốn sách. Posamentier nhận được
bằng tiến sĩ của mình tại Đại học Fordham (New York) trong toán học giáo dục
và kể từ đó đã mở rộng danh tiếng của mình trong toán học giáo dục ngoài Hoa
Kỳ đến châu Âu.Ông là một viên danh dự tại Đại học South Bank (London,
Anh). Ông là giáo sư thỉnh giảng tại một số trường Đại học Áo, Anh, và Đức.Gần
đây, ông đã được tặng thưởng Huân chương danh dự quốc gia từ chính phủ Áo.
Stephen Krulik là giáo sư toán học giáo dục tại Đại học Temple ở
Philasdelphia, nơi ông chịu trách nhiệm cho việc chuẩn bị đại học và sau đại học
của giáo viên toán học cho các lớp K-12, cũng như các đợt huấn luyện tại chức
này trong việc đào tạo giáo viên dậy toán ở cấp đại học. Ông giảng dạy nhiều
khóa học, trong đó có lịch sử của Toán học, Phương pháp Giảng Dạy Toán, và
giảng dạy của các giải quyết vấn đề. Trên toàn quốc, Krulik đã phục vụ như là
một thành viên của ủy ban chịu trách nhiệm chuẩn bị các tiêu chuẩn chuyên môn,
nghiệp vụ cho giảng dạy Toán học của Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán học
(NCTM). Ông là tác giả hoặc đồng tác giả của hơn 20 cuốn sách cho giáo viên
toán học. Krulik nhận được bằng cử nhân của mình trong toán học từ Brooklyn
College của Đại học Thành phố New York, và MA của mình và EDD trong toán
học giáo dục từ Đại học Columbia Teachers Colleges
B.
Cuốn
 sách
 Problem-­‐solving
 strategies
 for
 efficient
 and

 
elegant
 solutions
 (Chiến
 lược
 giải
 quyết
 vấn
 đề
 cho
 lời
 giải
 hiệu
 
quả
 và
 tối
 ưu)
 
Cuốn sách được trình bày có hệ thống theo một cách rất dễ hiểu với nhiều
ví dụ và bài tập cùng với nhiều hình ảnh, nhiều đồ thị đẹp mắt, tiêu biểu và chính
xác. Cuốn sách đưa ra cho người đọc những chiến lược để giải quyết vấn đề
trong cuộc sống cũng như trong việc giải Toán. Như chúng ta đã biết, hầu như
không có một cách duy nhất để giải quyết vấn đề. Sách cung cấp một số cách
thức để sử dụng các chiến lược giải quyết vấn đề, chúng ta sẽ tiếp cận vấn đề
bằng cách sử dụng một trong số các chiến lược được nêu. Trong mỗi chương,
nêu ra những ứng dụng của các chiến lược trong các vấn đề thực tế, đưa ra nhiều
bài tập sử dụng chiến lược đó và liên hệ với một số chiến lược khác…
Các chiến lược được xét đến là:
1. Làm ngược

2. Tìm quy luật
3. Nhìn dưới góc độ khác
4. Giải bài toán tương tự đơn giản hơn
5


5. Xét những trường hợp đặc biệt
6. Vẽ hình
7. Đoán thông minh và thử
8. Xác định tất cả các trường hợp
9. Sắp xếp dữ liệu
10. Suy luận logic

II.

THỬ
 

GIỚI
 THIỆU
 CHƯƠNG
 8:
 CHIẾN
 LƯỢC
 ĐOÁN
 THÔNG
 MINH
 VÀ
 

Kỹ thuật này thường được nhắc đến như là phương pháp thử nghiệm
lỗi.Đây là một sự đơn giản hoá, bởi vì chiến lược giải quyết vấn đề này khá tinh
vi. Nó đặc biệt hữu ích khi cần hạn chế các giá trị cho một biến để làm cho các
giải pháp dễ vận dụng hơn. Nó cũng hữu ích khi trường hợp chung là phức tạp
hơn rất nhiều so với một trường hợp cụ thể, mà bạn có thể thu hẹp lựa chọn trong
nỗ lực để tập trung vào đáp án đúng. Trong cách sử dụng chiến lược này, chúng
ta đưa ra phán đoán và sau đó kiểm tra nó đã thoả điều kiện của bài toán chưa.
Mỗi lần đoán thành công được dựa trên thông tin chúng ta có được từ kiểm tra
đoán trước đó. Hãy nhớ rằng có rất nhiều sự khác biệt giữa "đoán" và "đoán
thông minh."
Thật thú vị khi lưu ý rằng việc giải quyết một phương trình thực sự chỉ là
một biến thể của đoán thông minh và thử nghiệm. Trong phần "giải quyết" chúng
ta đưa ra một đoán, đến thông minh bằng một số thao tác toán học cẩn thận.
Trong "Kiểm tra" hoặc một phần xác minh, chúng ta kiểm tra đoán ấy rằng nó
thực sự là chính xác.
A.
Chiến
 lược
 Đoán
 thông
 minh
 và
 thử
 
 để
 giải
 quyết
 vấn
 đề
 

trong
 những
 tình
 huống
 của
 cuộc
 sống
 thường
 nhật
 
Một sử dụng phổ biến cho phương pháp này là thử nghiệm “thọc” mà
chúng ta thực hiện trong nấu nướng để xác định xem nó đã sẵn sàng để được
phục vụ. Chúng ta thọc một nhiệt kế vào chính giữa miếng thịt, chứ không phải
là cắt thịt quay đó sớm. Chúng ta có thể đọc nhiệt độ bên trong thịt để xác minh
đoán của mình, cho phép xác định chính xác tình trạng sẵn sàng. Chúng ta đang
đoán và thử nghiệm. Nếu chúng ta đoán ban đầu rằng thịt quay chín là không
chính xác khi kiểm tra với nhiệt kế, chúng ta tiếp tục nấu thịt một vài phút cho
đến khi sẵn sàng đoán một lần nữa.
Phương pháp này tương tự cũng được sử dụng bởi một người thợ mộc không thể
đo được chính xác hình dáng một miếng gỗ để phù hợp với một địa điểm cụ thể.
Nguời thợ mộc cũng ước tính kích thước và hình dạng của các mảnh gỗ và sau
đó, bằng cách liên tục thử nghiệm và sửa đổi nó sao cho phù hợp, giải quyết các
vấn đề xây dựng.
Một luật sư muốn xác định việc có tội hay vô tội của một người có thể sẽ
thông minh chọn một câu hỏi quan trọng và kiểm tra họ. Câu trả lời bất ngờ và
diễn đạt khéo léocó thể chứng minh khá hiệu quả trong việc "đoán" về sự vô tội
6


hoặc tội lỗi trong một sơ thẩm. Điều này có thể sẽ là đủ để giúp các luật sư trong

việc quyết định có hay không để đại diện cho khách hàng.
B.
Áp
 dụng
 chiến
 lược
 Đoán
 thông
 minh
 và
 thử
 để
 giải
 Toán
 
Xét bài toán sau đây:
Barbara làm bài kiểm tra 20 câu hỏi trắc nghiệm . Trong bài kiểm tra, mỗi câu
trả lời đúng được +5 , -2 cho mỗi câu trả lời sai, và 0 nếu câu hỏi đã được bỏ
qua. Barbara ghi được 44, mặc dù cô bỏ qua một số câu hỏi. Có bao nhiêu câu
hỏi Barbara đã bỏ qua?
Chúng ta hãy cố gắng để giải bài toán theo phương pháp đại số.
Đặt x = số lượng câu hỏi trả lời đúng.
Đặt y = số lượng câu hỏi trả lời sai.
Đặt z = số lượng câu hỏi bỏ qua.
Khi đó,
x + y + z = 20
5x-2y + 0z = 44.
Chúng ta có chỉ có hai phương trình có chứa ba biến. Học sinh sẽ tìm thấy một
phương trình khác và đi đến câu trả lời duy nhất . Hơn nữa, chúng ta biết rằng
phải có một số giá trị khác không cho z, bởi vì bài toán nói rằng Barbara bỏ qua

một số câu hỏi.
Nếu bây giờ chúng ta tiếp tục với quá trình giải, chúng ta có được phương trình
7x + 2z = 84.
Giải z,
84 − 7 x
z=
2
Bởi vì z là một số nguyên dương, x phải lớn hơn hay bằng 10 nếu chúng ta muốn
được một điểm số 44. (Bởi vì mẫu số của phân số là 2, x phải chia hết cho 2. Hơn
nữa, nếu x có bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn 10, chúng ta sẽ không thể tìm thấy z
mang lại một số điểm là 44). Điều này dẫn đến bảng sau
X
10
12
14
Y
3
8
13
Z
7
0
-7
Các điều kiện của bài toán dẫn chúng ta đến câu trả lời duy nhất là Barbara
bỏ qua 7 câu hỏi, bởi vì chúng ta biết cô ấy đã không bỏ qua 0 cũng không có thể
bỏ qua một số câu hỏi âm.
Bây giờ chúng ta hãy giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng Đoán thông minh và
thử.
Kiểm tra số lượng câu hỏi Barbara đã đúng. Nó phải được ít nhất là 10,
bởi vì nếu cô ấy đã trả lời chỉ có 9 câu chính xác, cô sẽ nhận được số điểm

9 · 5 = 45, và bằng cách trừ đi một số chẵn, cô không bao giờ có thể kết thúc với
44. Với 10 đúng, Barbara đã có 3 câu sai cho một điểm số 44. Vì vậy, cô đã bỏ
qua 7 câu hỏi. Đây là một câu trả lời chính xác, nhưng nó có là duy nhất không?
Giả sử Barbara đã được trả lời 11 câu hỏi một cách chính xác. Không có cách cô
có thể đạt được 44 bằng cách trừ đi một số chẵn cho 55. Do đó 11 là
7


không thể. Giả sử chúng ta đoán 12 đúng. Sau đó, 12. 5 = 60 và 60 - 16 = 44, có
nghĩa là cô đã có 12 chính xác, 8 sai lầm, và không bỏ qua. Tuy nhiên, mâu thuẫn
với giả thuyết của bài toán ban đầu. Vì vậy, "bỏ qua 7" lựa chọn là người duy
nhất. Bằng cách đoán và thử nghiệm, chúng ta đến câu trả lời hiệu quả hơn và có
niềm tin rằng câu trả lời của chúng ta là duy nhất.
C.
Những
 bài
 toán
 sử
 dụng
 chiến
 lược
 “
 Đoán
 thông
 minh
 và
 
thử”
 
Trong cuốn sách, chương này giới thiệu 20 bài toán sử dụng chiến lược

này. Sau đây, tôi xin trình bày một số bài toán.

Bài
 toán
 1
 
Evelyn có năm thùng táo.Khi cô ấy cân chúng một lần hai thùng, thu được số
cân như sau:
110 112 113 114 115 116 117 118 120 121.
Trọng lượng của các thùng táo là bao nhiêu?
Lời giải.Học sinh có thể bắt đầu bằng cách thiết lập một loạt các phương trình.
Hãy đặt năm trọng lượng thu được, theo thứ tự tăng dần, a, b, c, d, e (trong đó e
là số lẻ duy nhất )
Sau đó, chúng ta có được 10 phương trình sau đây:
a + e = 113
b + e = 115
c + e = 117
a + b = 110
a + c = 112
a + d = 114
b + c = 116
b + d = 118
c + d = 120
d + e = 121.
Trừ hai phương trình đầu tiên thu được b - a = 2, nhưng phương trình thứ tư cho
chúng ta biết rằng b + a = 110. Như vậy, b = 56 và c = 54 . Bây giờ, vì a + c =
112 nên c = 58. Cuối cùng, vì a + e = 113, e = 59. Vì vậy, bởi vì d + e = 121, d =
62. Đây là một phương pháp tốt nếu chúng ta khéo léo chọn các phương trình kết
hợp chính xác. Hơn nữa, 10 phương trình 5 biến cho thấy rằng các câu trả lời
không thể là duy nhất.

Chúng ta có thể giải bài toán này một cách dễ dàng hơn nhiều bằng cách sử dụng
chiến lược Đoán thông minh và thử. Chúng ta bắt đầu bằng cách đoán một nửa
trong tổng số 110 là 55 và 55, là hai trong số trọng lượng thùng. Tuy nhiên, điều
này làm cho vô nghĩa, bởi vì không có sự trùng lặp về trọng lượng. Vì vậy, một
đoán mới 56 và 54. (Điều này giải thích số 110). Bây giờ ta thử 58. Điều này cho
phép ta giải thích cho số 110
(54 + 56), 112 (54 + 58), và 114 (56 + 58). Bây giờ, làm thế nào chúng ta có thể
có được số đầu tiên số lẻ, 113? Chúng ta có thể thử 57. Bây giờ ta hãy thử. Điều
này là không đúng, bởi vì 54 + 57 = 111, trọng lượng không được đưa ra. Chúng
ta hãy thử 59. Chúng ta có được 54 + 59 = 113, 56 + 59 = 115, 58 + 59 = 117, và
8


cuối cùng, 62 + 59 = 121. Do đó, năm trọng lượng là 54, 56, 58, 59, và 62 lb. Để
kiểm tra tính duy nhất của câu trả lời, chúng ta có thể thử trọng lượng nhỏ hơn 54
và lớn hơn 62.Trong mỗi trường hợp, đưa đến trùng lặp trọng lượng, hoặc trọng
lượng lớn hơn hoặc nhỏ hơn so với số cân đạt được. Vì vậy,tập hợp ban đầu của
5 cân nặng là duy nhất.

Bài
 toán
 2
 
 
Một mảnh dây thép dài 52in được cắt thành hai phần.Mỗi một phần được
uốn cong để tạo thành một hình vuông. Tổng diện tích của hai hình vuông là
97in2 . Cạnh của hình vuông lớn hơn cạnh của hình vuông nhỏ hơn là bao nhiêu?
(Hãy xem xét độ dài chỉ tích hợp cho hai bên).
Lời giải.Hầu hết các học sinh sẽ giải bài toán theo phương pháp đại số như sau.
Đặt x đại diện cho một cạnh của hình vuông lớn hơn và y đại diện cho cạnh của

hình vuông nhỏ hơn.Vì vậy, ta có được hai phương trình sau đây:
x2 + y2 = 97
4 x + 4y = 52.
Chia phương trình thứ hai cho 4 và giải cho y, ta có được
y = 13 - x.
Thay thế vào phương trình đầu tiên
x 2+ (13 - x)2 = 97
x 2 + 169 - 26 x + x 2 = 97
2 x2 - 26 x + 72 = 0
x2 - 13x + 36 = 0
(x - 9) (x - 4) = 0
x=9
x=4
y=4
y = 9.
Các cạnh của các hình vuông là 9 inch và 4 inch, sự khác biệt giữa chúng là 5.
Mặc dù phương pháp này là tương đối đơn giản, nó đòi hỏi một kiến thức và khả
năng để giải phương trình bậc hai. Hãy xem xét bài toán này bằng cách sử dụng
chiến lược Đoán thông minh và thử. Ta chuẩn bị một bảng của các diện tích có
tổng là 97 và thử cho những diện tích mà là hình vuông hoàn hảo như sau:
Diện tích ô vuông nhỏ

Diện tích ô vuông lớn

Tổng diện tích

1
96
97
4

93
97
9
88
97
16
81
97*
25
72
97
36
61
97
Dấu (*) cho thấy chỉ có diện tích có tổng là 97 và nơi mà mỗi diện tích một hình
vuông hoàn hảo. Hai hình vuông có diện tích 16 và 81, và cạnh là 4 và 9, tương
ứng. Sự khác biệt giữa hai bên là 5in.
Nếu chúng ta tiếp tục xét bảng, các mục hàng tiếp theo sẽ là 49 - 48 - 97,
9


và các diện tích trong cột đầu tiên sẽ không còn nhỏ hơn so với các diện tích cột
thứ hai. Bảng đảm bảo rằng chúng ta có một tập hợp các câu trả lời cho bài toán.

Bài
 toán
 3
 
 
Giải hệ phương trình cho w, x, y, z với w, x, y, và z là số nguyên dương:

w + x + y + z = 10
w2 + x2 + y2 + z2 = 30
w3 + x3 + y3 + z3 = 100
wxyz = 24.
Lời giải. Mặc dù đây không phải là một chủ đề xuất hiện trong các chương trình
giảng dạy ở trường trung học, học sinh đã quen thuộc với các hệ ba phương trình
tuyến tính ba biến, và sẽ có thể "xử lý" chúng. Hầu hết học sinh thấy một hệ bốn
phương trình bốn biến sẽ giải phương trình tuyến tính cho một biến và sau đó
thay thế vào các phương trình khác với hy vọng giải bằng phương pháp cộng và
trừ. Bởi vì bậc của các phương trình, phương pháp này là có thể dẫn đến thất bại.
Thay vào đó, hãy sử dụng chiến lược Đoán thông minh và thử. Bởi vì tổng nhỏ
(10) trong phương trình đầu tiên, chúng ta có thể tập trung vào giá trị nhỏ cho các
biến. Chúng ta có thể đoán 2, 2, 3, 3 là giá trị có thể, chúng có tổng là 10. Tuy
nhiên, thử nghiệm các giá trị trong phương trình thứ tư mang lại một kết quả là
36, không phải 24. Chúng ta cần những số nhỏ hơn có tổng là 10. Đoán là 1, 2, 3,
và 4 là các giá trị có thể cho w, x, y và z tương ứng. Ta kiểm tra trong phương
trình thứ tư. Nó có kết quả đúng, nhưng chúng có thoả hai phương trình kia
không? Chúng thoả. Bây giờ chúng ta có một tập hợp các giá trị w, x, y, và z. Tuy
nhiên, do tính chất đối xứng của các biến trong các phương trình, tất cả các hoán
vị của bốn số này cũng sẽ thoả mãn hệ.
Như vậy, chúng ta có 4! hoặc 24 bộ các câu trả lời, cụ thể là, tất cả sự sắp xếp
của 1, 2, 3, và 4. Hơn nữa, vì là tích của các số là 24, có đúng 24 bộ câu trả lời.
Một giải pháp khác cũng sử dụng trong chiến lược Đoán thông minh và thử là
đảo ngược thứ tự. Chúng ta bắt đầu với wxyz = 24. Hãy xét các số 6, 4, 1, và 1có
tích là 24, nhưng có tổng là 12 (khác10). Hãy xét các số 6 , 2, 2, và 1, có tích là
24, nhưng có tổng là 11, và không phải là 10. Bây giờ chúng ta xem xét các số 4,
3, 2, và 1, có tích là 24 và có tổng là 10. Nó phù hợp.Bây giờ chúng ta phải kiểm
tra các giá trị còn lại trong hai phương trình để xem chúng có phù hợp hay
không. Nó có, và ta có câu trả lời.

 
Bài
 toán
 4
Tổng của một số nguyên, bình phương của nó, và căn bậc hai của nó là 276. Số
nguyên đó là số nào?
Lời giải. Học sinh " được đào tạo" sẽ dễ dàng thiết lập phương trình
x + x 2 + x = 276.
Các cách giải của phương trình này có thể được tìm thấy một vài cách. Một liên
quan đến việc cô lập x ở một bên của phương trình để có được:
2
x = 276 – x – x . Bình phương hai vế dẫn đến phương trình bậc bốn khá
cồng kềnh, mà không được giải quyết một cách dễ dàng bởi một học sinh trung
học cơ sở: x4 + 2 x3 - 553 x2 - 553 x + (276)2 = 0
10


Chúng ta có thể, tuy nhiên, cách tiếp cận bài toán này với chiến lược đoán thông
minh và thử. Chúng ta thử sử dụng bình phương lớn nhất bé hơn 276. đó là 256.
Nếu đây là "bình phương" của một số, thì nó là "số" là 16, và căn bậc hai của nó
là 4. Bây giờ chúng ta phải kiểm tra xem x +x 2 + x = 276. Có, 16 + 256 + 4 =
276.
Đây không phải là câu hỏi mà các phương pháp được sử dụng ở đây là đơn giản
hơn giải phương trình bậc bốn. Không phải các trường hợp là luôn luôn như vậy.
Có thể có những lần các chiến lược của chúng ta không thể sử dụng, nhưng ít
nhất chúng ta phải cố gắng để xem nếu chúng có thể được áp dụng.


 

Bài
 toán
 5
Mỗi ai của dãy số a0, a1, 25, a3, a4 là một số nguyên dương. Trong dãy có một cặp
số hạng liên tiếp mà bình phương của chúng sai khác nhau 399. Tìm số hạng lớn
nhất của dãy.
Lời giải. Loại bài toán này phần nào dựa nhiều vào chiến lược Đoán thông minh
và thử. Tuy nhiên, cách thức mà chiến lược này được sử dụng có thể khác nhau.
Bởi vậy ở đây, ta sẽ chỉ ra hai phương pháp tiếp cận.
Phương pháp đầu tiên cho chiến lược đoán thông minh và thử là đặt ao=
25 -2d. Như vậy, a1 = 25 – d, a3 = 25+d, a4 =25 + 2d. Chúng ta thử 252 – ( 25 –d)2
= 399. Hay d2 -50d + 399 = 0. Biệt thức bằng 904, bởi vậy d không là số nguyên
bởi vậy câu trả lời này bị loại bỏ.
Bây giờ ta thử số hạng thứ ba và thứ tư của dãy: (25+d)2- 252 = 399. Như vậy
d2 + 50d – 399 =0 hay (d -7)(d+57) = 0 cho kết quả là d =7 và d = -57. Với giá
trị d = 7, ta thu được a3 = 32 và một a 4 = 39. Với giá trị d = -57, trình tự là 139,
82, 25, -32, -89. Với sự điều kiện của bài toán mỗi ai là một số nguyên dương,
kết quả này bị loại bỏ.Nếu bài toán được thay đổi để ai là một số nguyên, thì 139
là kết quả được chấp nhận.
Giải pháp này được dựa chủ yếu vào đại số. Thu hẹp các thừa số của
phương trình các có thể là một nhược điểm. Ta sẽ sử dụng chiến lược đoán thông
minh và thử theo cách khác và đại số ít tham gia. Đối với phương pháp thứ hai
này chúng ta thử 252 – a12 = 399. Như vậy a12 = 226. Câu trả lời này phải bị loại
bỏ, bởi vì a1 không là một số nguyên. Hãy thử a32 – 252 = 399. Khi đó, a3 = 1024
= 322 ... a3 = 32 và sự khác biệt giữa các số hạng của dãy số là 7. Do đó, số hạng
lớn nhất của dãy là a4 = 32 + 7 = 39.
Chú ý rằng chúng ta không thể tránh sử dụng chiến lược đoán thông minh
và thử vì bản chất của bài toán. Tuy nhiên, điều quan trọng là chỉ ra rằng thường
có nhiều cách khác nhau mà chúng ta có thể sử dụng phương pháp đoán và thử.

III.

BÀI
 TOÁN
 LIÊN
 HỆ
 GIỮA
 CÁC
 CHIẾN
 LƯỢC
 

Đặt các con số từ 1 đến 9 vào lưới ô vuông bên dưới để tổng của mỗi hàng, cột,
và đường chéo là như nhau.(Nó được gọi là hình vuông ma thuật).

11


Lời giải. Giải pháp đầu tiên sẽ được sử dụng là suy luận logic. Tổng của các số
trong tất cả chín ô sẽ là 1 + 2 + 3 + ... +7 + 8 + 9 = 45. Nếu mỗi hàng phải có
cùng một tổng, thì mỗi hàng phải có tổng là 15.
Bước tiếp theo có thể là xác định số phải được đặt trong ô trung tâm. Sử
dụng đoán thông minh và thử cùng với một số suy luận logic, chúng ta có thể bắt
đầu bằng cách thử một số trường hợp đặc biệt. 9 có thể ở ô trung tâm không?
Nếu được, thì 8 sẽ ở một số hàng, cột, hoặc đường chéo cùng với 9, tạo nên tổng
lớn hơn 15. Do đó, 9 không thể ở ô trung tâm. Tương tự như vậy, 6, 7, hoặc 8
không thể ở ô trung tâm, bởi vì khi đó chúng sẽ ở cùng hàng, cột, hoặc đường
chéo với 9 và tổng ba số sẽ không là 15. Xét một trường hợp đặc biệt khác. 1 có
thể ở ô trung tâm không? Nếu có, nó sẽ ở cùng hàng, cột hoặc đường chéo với 2,
do đó cần có 12 để được tổng là 15. Tương tự như vậy, 2, 3 hoặc 4 không thể ở ô

trung tâm. Với việc xét tất cả các trường hợp, chỉ có thể 5 ở ô trung tâm.
5

Bây giờ, sử dụng đoán thông minh và thử, chúng ta có thể thử đặt 1 ở ô góc. Bởi
vì tính đối xứng, không quan trọng các góc trong việc đoán này. Trong bất kỳ
trường hợp nào, điều này buộc chúng ta phải đặt 9 ở góc đối diện, để có được
một tổng ở đường chéo là 15
1
5
9
Với 9 ở một góc, hai số còn lại trong hàng với 9 phải có tổng là 6, đó là 2 và
4.Một trong những con số (2 hoặc 4) sau đó trong một hàng hoặc một cột với
1,để có được tổng 15 là không thể ở hàng hoặc cột. Như vậy, 1 không thể ở một
góc. Đặt nó ở ô giữa hàng hoặc cột thì 9 sẽ ở ô đối diện.
1
5
9
12


7 không thể được trong cùng hàng hoặc cột với 1, bởi vì thêm một lần 7 thì mới
đạt được tổng là 15.
7 1 ?
5
9

Bằng cách này, chúng ta có thể thấy rằng 8 và 6 phải ở trong cùng hàng hoặc cột
(và tại các vị trí góc) với 1.
8
1

6
5
4

9

2

Điều này xác định hai ô ở góc ( 4 và 2)
Để hoàn thành các hình vuông ma thuật, ta chỉ đơn giản là đặt hai số còn lại, 3 và
7, thành hai ô còn lại để có tổng 15 ở cột thứ nhất và thứ ba
8
1
6
3

5

7

4

9

2

.
Trong giải pháp cho bài toán này, quan sát các chiến lược khác nhau đã được sử
dụng cho mỗi bước của bài giải.
Các vấn đề có thể (và nên) được giải quyết trong nhiều cách. Hãy kiểm tra

một phương pháp khác để giải quyết cùng bài toán này.
Chọn ra các điểm mà tại đó thành lập tổng của mỗi hàng, cột, hoặc chéo là 15,
liệt kê tất cả các khả năng của ba số từ bộ chín có một tổng là 15.
Bằng cách sắp xếp dữ liệu theo cách này, câu trả lời đến khá nhanh chóng:
1,5,9 2,6,7
1,6,8

3,4,8

2,4,9

3,5,7

2,5,8 4,5,6
Bây giờ chúng ta hãy nhìn theo một hướng khác và xem xét vị trí của một ô và số
lần nó được tính vào tổng của 15 (suy luận logic).Ô trung tâm phải được tính bốn
lần: hai lần trong các đường chéo và một lần cho mỗi một hàng và cột.Số duy
nhất mà xuất hiện bốn lần trong danh sách là 5.Vì vậy, nó phải thuộc trong ô
trung tâm.
13


5

Các ô góc được sử dụng ba lần.Vì vậy chúng tôi đặt số được sử dụng ba lần
(ngay cả con số, 2, 4, 6, và 8) trong góc.
8
6
5
4

2

Các con số còn lại (số lẻ) được sử dụng hai lần trong các ô trên, và do đó phải
được đặt trong các ô giữa phía ngoài và hoàn thành hình vuông ma thuật :
8
1
6
3

5

7

4

9

2

Suy luận logic này đã được thực hiện đơn giản bằng cách sử dụng một đại diện
cho bài toán. Điều quan trọng là học sinh có nhận ra rằng ta giải quyết cùng một
bài toán trong hai cách rất khác nhau. Họ nên cố gắng phát triển các lựa chọn
thay thế khác vào đó, và họ cũng có thể xem xét việc sử dụng số thứ khác hơn 1
đến 9.
Nói chung, rất khó để tìm thấy một vấn đề duy nhất mà có thể được giải quyết
một cách hiệu quả bằng cách sử dụng mỗi của 10 chiến lược giải quyết vấn đề đã
được liệt kê.

IV.

ĐÁNH
 GIÁ
 VỀ
 CUỐN
 SÁCH
 

Tác dụng của cuốn sách
• Giúp cho người học chiếm lĩnh được kiến thức một cách có hiệu quả, dễ
dàng, với tâm lý thích thú. Do đó, nâng cao được chất lượng học tập.
• Cung cấp cho người học những phương pháp để tiếp cận một bài toán.
Qua việc giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc sống, cuốn sách sẽ
giúp ta thấy được Toán học có những ứng dụng vô cùng quan trọng trong
mọi lĩnh vực của cuộc sống chứ không phải khô khan và tính toán máy
móc như nhiều người thường nghĩ.
• Hình thức trình bày đẹp, bắt mắt có nhiều hình ảnh minh họa, gây hứng thú
cho người học, liên quan đến vấn đề đưa ra.
14


V.

KẾT
 LUẬN
 

Với những gì đã trình bày ở trên, bài này giúp bạn đọc nắm được nội dung
chính, những điểm hay trong cuốn sách. Bằng cách tiếp cận gần gũi, dễ hiểu,
cách trình bày kiến thức một cách có hệ thống, cuốn sách sẽ giúp người đọc

khám phá ra nhiều điều, vận dụng được những gì đã được học vào thực tế cuộc
sống.

15