Cấu trúc hình học của các đa tạp đầy với bất đẳng thức poincare có trọng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN

CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA CÁC ĐA TẠP ĐẦY
VỚI BẤT ĐẲNG THỨC POINCARE CÓ TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN

CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA CÁC ĐA TẠP ĐẦY
VỚI BẤT ĐẲNG THỨC POINCARE CÓ TRỌNG

Chuyên ngành:
Mã số:

TOÁN GIẢI TÍCH
60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THẠC DŨNG

Hà Nội - 2016


Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Thạc
Dũng. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành
nhất tới Thầy. Người đã cho tôi biết muốn làm khoa học thì phải học, phải đọc
như thế nào. Được làm việc dưới sự hướng dẫn của Thầy, tôi thấy mình trưởng
thành hơn rất nhiều. Thầy cũng là Người đã dành nhiều thời gian, công sức để
hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội về
những kiến thức, những điều tốt đẹp mà tôi đã nhận được trong suốt quá trình
học tập tại Khoa. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học của nhà
trường đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành các thủ tục trong học tập và bảo vệ
luận văn này.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè.
Những người luôn bên cạnh động viên ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần
trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù bản thân tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn khó
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Phùng Thị Diệu Tuyền

1

Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.0.1 Định nghĩa về đa tạp tô pô, đa tạp trơn . . . . . . . . . .
1.0.2 Ví dụ về đa tạp trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Các tensơ và phân thớ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa về tensơ hiệp biến, tensơ phản biến và tensơ
thay phiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phân thớ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các chỉ số thăng và giáng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Liên thông và độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Đạo hàm hiệp biến của các trường vectơ . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Liên thông Levi - Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Hình học của các đa tạp đầy với bất đẳng
trọng
2.1 Một số bổ đề phụ trợ . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính liên thông tại vô hạn của M . . . . . . .
2.3 Các định lí về sự triệt tiêu . . . . . . . . . . .

.
.
.

6
6

6
8

.
.
.
.
.
.

8
10
11
14
15
17

thức Poincare có
21
. . . . . . . . . . . . 21
. . . . . . . . . . . . 25
. . . . . . . . . . . . 36

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

47

2


Mở đầu
Trong giải tích hình học, người ta đã biết rằng không gian các dạng vi phân điều
hòa và lý thuyết hàm điều hòa trên các đa tạp Riemann đầy đủ có mối liên hệ
mật thiết với cấu trúc hình học và topo của đa tạp đó. Chẳng hạn, trong nghiên
cứu của Witten - Yau [10], các tác giả đã chứng minh rằng nếu M n là đa tạp
Einstein compact có biên, n chiều (n ≥ 3) và có hằng số Yamabe dương thì đa
tạp M chỉ có một end, tức là đa tạp M là liên thông tại vô hạn. Kết quả của
Witten-Yau sau đó được cải tiến bởi Cai và Galloway [1], với điều kiện biên của
M có hằng số Yamabe không âm. Trong [9], X.Wang đã tổng quát hóa các kết
quả trên và chứng minh kết quả sau. Giả sử M là đa tạp Riemann compact, bảo
giác, n chiều với n ≥ 3, với độ cong Ricci bị chặn dưới bởi một hằng số thích hợp.
Nếu giá trị riêng thứ nhất λ1 (M ) của toán tử Laplace có một cận dưới phù hợp
thì M hoặc là liên thông tại vô hạn hoặc là có cấu trúc topo giống như là hình
trụ. Ngay sau công bố của Wang, Li và Wang đã tiếp tục phát triển ý tưởng
của Wang và chứng minh được một kết quả mạnh hơn trên các đa tạp đầy đủ
không nhất thiết là compact, bảo giác (xem [6]). Do λ1 (M ) > 0, nguyên lý biến
phân cho λ1 (M ) chỉ ra rằng bất đẳng thức Poincare sau
|∇φ|2 ,

φ2 ≤

λ1 (M )
M

M

là đúng với mọi hàm φ ∈ Co ∞ (M ) là hàm trơn và có giá compact. Trong tài liệu
[4], các tác giả đã xét đa tạp thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng và đã
khái quát được nhiều kết quả của họ trong [6] cho đa tạp thỏa mãn một bất
đẳng thức Poincare có trọng. Nhắc lại rằng, đa tạp Riemann M n được nói là
thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng với hàm trọng ρ(x) dương nếu
|∇φ|2 dV ,

ρ2 (x)φ2 (x)dV ≤
M

M

với mọi hàm φ ∈ Co∞ (M ) là hàm trơn và có giá compact. Đặc biệt, khi ρ(x) =
λ1 (M ) là hằng số dương thì M là đa tạp với phổ dương và thỏa mãn bất đẳng
3


thức Poincare có trọng với hàm trọng ρ ≡ λ1 (M ). Chúng ta nói rằng đa tạp
Riemann đầy đủ M có tính chất (Pρ ) nếu một bất đẳng thức Poincare có trọng,
với hàm trọng ρ không âm xảy ra và metric cảm sinh bởi ρ được định nghĩa bởi
dsρ 2 = ρdsM 2 .

là một metric đầy. Ta định nghĩa
S(R) = sup

√
ρ,

Bρ (R)

với Bρ (R) là quả cầu trắc địa bán kính R trong metric ds2ρ . Trong tài liệu [7],
các tác giả đã chứng minh được định lí sau.
Định lý 0.1. (Li -Wang). Cho M n là đa tạp đầy với số chiều n ≥ 3. Giả sử rằng
M thỏa mãn tính chất (Pρ ) với hàm trọng, khác không, ρ > 0. Giả sử
RicM (x) ≥ −

n−1
ρ(x), ∀x ∈ M.
n−2

Nếu ρ thỏa mãn ước lượng
lim inf

R→∞

với F (R) =

exp

n−3
n−2 R

R

S(R)
= 0,
F (R)

trên n ≥ 4
. Khi đó,

trên n = 3

1. hoặc là M chỉ có một end nonparabolic;
2. hoặc là M có hai end nonparabolic và được xác định bởi M = R × N với
warped metric product như sau
dsM 2 = dt2 + η 2 (t)dsN 2 ,

trong đó, η(t) là hàm dương và N là đa tạp compact. Hơn nữa, ρ(t) chỉ là
hàm số phụ thuộc t thỏa mãn η η −1 = ρ và lim infρ(x) > 0;
R→∞

3. hoặc là M có một end parabolic và một end nonparabolic, được cho bởi
M = R × N với warped metric product
dsM 2 = dt2 + η 2 (t)dsN 2 ,

trong đó, η(t) là hàm dương và N là đa tạp compact. Hơn nữa, ρ(t) chỉ là
hàm số phụ thuộc t thỏa mãn η η −1 = ρ và lim infρ(x) > 0.
R→∞

4


Từ kết quả trên, một câu hỏi rất thú vị được đặt ra là liệu chúng ta có một
định lý tương tự định lý trên, với những giả thiết tương tự định lý trên nhưng
lại chỉ thỏa mãn trong một tập con compact của M . Trong bài báo [3], Lam đã
nghiên cứu bài toán này và chứng minh được rằng nếu độ cong Ricci của M là
bị chặn dưới bên ngoài một tập compact K ⊂ M bởi một hàm của λ1 (M ) thì đa
tạp M chỉ có hữu hạn end có thể tích vô hạn. Bên cạnh đó, tác giả cũng chứng
minh rằng với các điều kiện phù hợp về cận dưới của đo cong Ricci và độ tăng
của hàm trọng thì không gian các 1-dạng vi phân bình phương khả tích là tầm

thường. Hệ quả là, đa tạp chỉ có một thành phần liên thông tại vô hạn.
Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu một cách chi tiết và hệ thống các
kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán nói trên của Lam. Luận văn đã trình
bày lại một cách tường minh và tính toán lại một cách cẩn thận các lập luận,
chứng minh các kết quả chính trong bài báo [3]. Với mục tiêu như vậy, luận văn
được viết thành hai chương. Trong chương một, chúng tôi trình bày lại các kiến
thức cơ bản về đa tạp Riemann, toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp Riemann,
các khái niệm về liên thông Levi-Civita và độ cong Ricci. Chương hai là phần
chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết
các kết quả và chứng minh trong bài báo nói trên. Chương hai bắt đầu bằng
một vài bổ đề phụ trợ, trong đó, chúng tôi trình bày lại ước lượng gradient cho
hàm điều hòa dương trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci bị chặn dưới, và
trình bày một ước lượng liên quan đến công thức Bochner cho các hàm điều
hòa.Trong phần thứ hai, chúng tôi trình bày lại kết quả chính trong bài báo của
Lam về tính hữu hạn end của các đa tạp Riemann đầy đủ với độ cong Ricci bị
chặn dưới bên ngoài một tập compact. Phần cuối cùng của chương này, chúng
tôi dùng để trình bày lại một vài định lý kiểu triệt tiêu cho lớp các 1-dạng vi
phân điều hòa với năng lượng hữu hạn trên các đa tạp Riemann thỏa mãn một
bất đẳng thức Poincare có trọng.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.0.1

Định nghĩa về đa tạp tô pô, đa tạp trơn

Định nghĩa 1.1. Cho M là không gian tô pô. Đa tạp M là một đa tạp tô pô

nếu
1. M là không gian Hausdorff;
2. M thuộc phạm trù đếm được thứ hai ;
3. Với mọi p ∈ M cố định, tồn tại bản đồ địa phương (ϕ, U, V ) trong đó U ⊂ M
là một tập con mở, V là tập mở nằm trong Rn , p ∈ U và ϕ : U → V là một
đồng phôi .
Định nghĩa 1.2. Hai bản đồ địa phương (ϕ1 , U1 , V1 ) , (ϕ2 , U2 , V2 ) được gọi là
tương thích nếu hàm chuyển
ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ V2 )

là vi phôi.
Đa tạp tô pô M là một đa tạp trơn nếu tồn tại một Atlas cực đại gồm các
họ bản đồ {(ϕ, U, V )} sao cho ∪U = M và các bản đồ là tương thích.

1.0.2

Ví dụ về đa tạp trơn

Ví dụ 1.1. Mặt cầu n chiều Sn =

(x1 , x2 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 ,

n+1

xi 2 = 1

i=1

đa tạp trơn với Atlas A = Ui ± ∩ Sn , ϕi ± . Thật vậy, đặt

Ui + = x = (x1 , x2 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 , xi > 0, i = 1, 2, ...n + 1
Ui − = x = (x1 , x2 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 , xi < 0, i = 1, 2, ...n + 1 .

6

là một


Khi đó, Ui + và Ui − là các tập mở trong Rn+1 , với mọi i = 1, 2, ..., n. Từ đó ta
có Ui ∩ Sn là các tập mở trong Sn , với i = 1, 2, ..., n. Xét hình cầu
n
n

B =

ui 2 < 1

n

u = (u1 , u2 , ..., un ) ∈ R ,

,

i=1

và ánh xạ f xác định bởi

f : Bn → R
1 − |u|2 .

u→

Sử dụng hàm f , ta xây dựng các bản đồ địa phương như sau
ϕi ± : Ui ± ∩ Sn → Bn
(x1 , ..., xi−1 , ±f (x1 , ..., xi , ..., xn+1 ) , xi+1 , ..., xn+1 ) → (x1 , ..., xi , ..., xn+1 ) ,

là ánh xạ đồng phôi của tập mở trên Rn , với
Ui ± ∩ Sn = {(x1 , x2 , ..., xi−1 , ±f (x1 , ..., xi , ..., xn+1 ) , xi+1 , ..., xn+1 )} .

Ta sẽ chứng minh Ui ± ∩ Sn , ϕi ± gồm các bản đồ tương thích. Thật vậy,
xét hai bản đồ địa phương Ui + ∩ Sn , ϕi + và Uj + ∩ Sn , ϕj + , với i = j . Ta sẽ
chứng minh hai bản đồ này là tương thích với nhau.
Lấy x ∈ Ui + ∩ Sn ∩ Uj + ∩ Sn . Khi đó, xi > 0, xj > 0. Bởi định nghĩa của
+ −1 : Bn → U + ∩ Sn được xác định bởi
ϕ+
j
j , ta có ϕj
ϕj +

−1

(x1 , x2 , ..., xn ) = (x1 , ..., xj−1 , f (x1 ...xn ) , xj+1 , ...xn ) .

Tương tự, bởi định nghĩa ϕi + : Uj + ∩ Sn → Bn xác định bởi
(x1 , ..., xj−1 , f (x1 ...xn ) , xj , ...xn ) → (x1 , ..xi , ..xj−1 , f (x1 ...xn ) , xj+1 , ...xn )

là hàm trơn từ Bn sang Bn .
Khi đó, ta có hàm chuyển tọa độ
ϕi + ◦ ϕj +

−1

(x1 , x2 , ..., xn ) = (x1 , ..xi , ..xj−1 , f (x1 ...xn ) , xj+1 , ...xn ) ,
−1

là hàm trơn với mọi i = j . Tương tự, ta cũng có các ánh xạ ϕi + ◦ ϕj −
và
−1
−
−
ϕi ◦ ϕj
là các hàm trơn.
Do đó, A = Ui ± ∩ Sn , ϕi ± là một Atlas trơn nên nó xác định một cấu trúc
trơn duy nhất trên Sn . Vì vậy, Sn là đa tạp trơn.
Định nghĩa 1.3. Cho M là đa tạp trơn, p ∈ M cố định. Ánh xạ ω : C ∞ (M ) → R
được gọi là phép lấy đạo hàm tại p ở trên C ∞ (M ) nếu thỏa mãn các tính chất
sau với mọi hàm trơn f, g ∈ C ∞ (M ), với mọi a, b ∈ R,
7


1. ω là ánh xạ tuyến tính, tức là ω(af + bg) = aω(f ) + bω(g);
2. ω thỏa mãn luật Leibnitz
ω (f g) = f (p) ω (g) + g (p) ω (f ) .

Tập hợp các phép lấy đạo hàm trên không gian C ∞ (M ) tại p được gọi là
không gian tiếp xúc với M tại p và được kí hiệu là Tp M . Người ta chứng minh
được Tp M là một không gian vectơ và dim Tp M = n.
Ta định nghĩa không gian đối ngẫu của Tp M là không gian đối tiếp xúc với
M tại p và ký hiệu là Tp ∗ M .
Tp M , ở đây ta hiểu phép hợp là hợp rời rạc các phần tử của

Đặt T M =
p∈M

Tp M . Khi đó, người ta có thể trang bị một cấu trúc tô pô trên T M để T M là

một đa tạp trơn, T M được gọi là không gian tiếp xúc của M .
Định nghĩa 1.4. Cho M, N là hai đa tạp trơn có biên hoặc không có biên và
ánh xạ F : M → N là ánh xạ trơn. Khi đó, với mọi p ∈ M , vi phân của ánh xạ
F tại p là ánh xạ
dFp : Tp M → TF (p) N
v → dFp (v) ∈ TF (p) N

xác định bởi dFp (v) f := vp (f ◦ F ), với mọi f ∈ C ∞ (N ).
Chú ý 1.1. Cho F : M → Rn với M là đa tạp trơn có biên hoặc không có biên.
Nếu đồng nhất TF (p) R với R thì dFp (Xp ) = Xp (F ).
Định nghĩa 1.5. Trường vectơ trơn X trên M là ánh xạ X : M → T M xác định
bởi X biến p ∈ M thành Xp ∈ Tp M sao cho với mọi f ∈ C ∞ (M ) thì Xf (p) = Xp f
là hàm trơn.

1.1
1.1.1

Các tensơ và phân thớ vectơ
Định nghĩa về tensơ hiệp biến, tensơ phản biến và tensơ
thay phiên

Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và V ∗ là không gian vectơ đối ngẫu
của V . Cặp giữa V và V ∗ là ánh xạ
, :V∗×V →R
(ω, X) → ω, X

xác định bởi ω, X := ω (X).
8


Định nghĩa 1.6. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và V ∗ là không gian
vectơ đối ngẫu của V . Với k ∈ N, ta định nghĩa một k -tensơ hiệp biến trên V là
một ánh xạ đa tuyến tính
F : V ⊗ ... ⊗ V → R
k

Số k còn được gọi là hạng của k -tensơ F . Không gian tất cả các k -ten sơ hiệp
biến hạng k được ký hiệu là T k (V ∗ ).
Định nghĩa 1.7. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và V ∗ là không gian
vectơ đối ngẫu của V . Với l ∈ N, ta định nghĩa một l-tensơ phản biến trên V là
một ánh xạ đa tuyến tính
G : V ∗ ⊗ ... ⊗ V ∗ → R.
l

Số l còn được gọi là hạng của l-tensơ G. Không gian tất cả các l-tensơ phản
biến được ký hiệu là Tl (V ).
Định nghĩa 1.8. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều, α ∈ T k (V ∗ ). Khi
đó, α được gọi là k -tensơ thay phiên nếu với mọi v1 , ..., vk ∈ V và với mọi cặp chỉ
số (i, j) thì
α (v1 , ..., vi , vj , ..., vk ) = −α (v1 , ..., vj , vi , ..., vk ) .

Một k -tensơ hiệp biến thay phiên được gọi là một k -dạng vi phân trong hoặc
được gọi là k -đối vectơ. Kí hiệu Λk (V ∗ ) là không gian các k -tensơ hiệp biến thay
phiên trên V .
Giả sử rằng {E1 , E2 , ..., En } là một cơ sở của V và e1 , e2 , ..., en là cơ sở đối

ngẫu của nó trong V ∗ . Người ta chứng minh được
∧k (V ∗ ) = span ei1 ∧ ei2 ∧ ... ∧ eik ; 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n ,

trong đó ei1 ∧ ei2 ∧ ... ∧ eik : V × V × ... × V → R xác định bởi
(ei1 ∧ ei2 ∧ ... ∧ eik ) (v1 , v2 , ..., vk ) = det eij (vi ) , 1 ≤ i, j ≤ k.

trong đó vi ∈ V với mọi i = 1, k .
Định nghĩa 1.9. Một tensơ kiểu (l, k) trên V ∗ ⊗ ... ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ ... ⊗ V là ánh xạ
đa tuyến tính
F : V ∗ ⊗ ... ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ ... ⊗ V → R.
l

k

9


Giả sử {E1 , E2 , ..., En } là cơ sở của V và e1 , e2 , ..., en là cơ sở đối ngẫu của
V ∗ . Tương tự, như đối với không gian các k -tensơ hiệp biến, người ta chứng
minh được rằng
Tl k (V ) = span Ej1 ⊗ ... ⊗ Ejl ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ eik

trong đó
Ej1 ⊗ ... ⊗ Ejl ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ eik

1.1.2

l

es1 , ..., es , Er1 , ..., Erk

= δjs11 ...δjsll δri11 ...δrikk .

Phân thớ vectơ

Định nghĩa 1.10. Cho M là đa tạp tô pô và cho E là một không gian tô pô.
Một bộ ba (π, E, M ) được gọi là một phân thớ vectơ hạng k trên M nếu
(i) π : E → M là toàn ánh liên tục.
(ii) Với mọi p ∈ M , thớ Ep := π −1 (p) là không gian vectơ thực k -chiều.
(iii) Với mọi p ∈ M , tồn tại lân cận U mở của p nằm trong M và một đồng
phôi ϕ : π −1 (U ) → U × Rk thỏa mãn πU ◦ ϕ = π , trong đó πU : U × Rk → U
là phép chiếu tọa độ thứ nhất. Ngoài ra, với mọi q ∈ U thì hạn chế của ϕ
trên Eq , ϕ|Eq : Eq → {q} × Rk là đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian
vectơ. Đồng phôi ϕ xác định như trên được gọi là một tầm thường hóa địa
phương của E trên U .
Nếu M và E là các đa tạp trơn, còn π là ánh xạ trơn và các tầm thường hóa
địa phương ϕ là vi phôi thì phân thớ vectơ (π, E, M ) được gọi là phân thớ trơn.
Định nghĩa 1.11. Cho (π, E, M ) là một phân thớ vectơ hạng k . Một nhát cắt của
E là một ánh xạ liên tục σ : M → E sao cho π ◦ τ = idM hay σp ∈ Ep ⊂ E, ∀p ∈ M
Đặt
Tl k (M ) =

Tlk (Tp M ),
p∈M

và
Λk (M ) =

Λk (Tp M ).
p∈M

Khi đó, người ta có thể trang bị một cấu trúc tô pô trên Tl k (M ) và Λk (M )
để biến chúng thành các đa tạp trơn. Đa tạp Tl k (M ) được gọi là phân thớ tensơ
l-phản biến, k -hiệp biến hay phân thớ tensơ kiểu (l, k). Đa tạp Λk (M ) được gọi
10


là phân thớ tensơ k -hiệp biến thay phiên.
Một nhát cắt trơn trên Tl k M gọi là một trường tensơ kiểu (l, k). Một nhát
cắt trơn trên Λk (M ) được gọi là một k -dạng vi phân.

1.2

Các chỉ số thăng và giáng

Định nghĩa 1.12. Cho M là đa tạp trơn. Một metric Riemann trên M là một
trường 2-tensơ hiệp biến, g ∈ T 2 (M ) sao cho
(i) g là đối xứng, g(Xp , Yp ) = g(Yp , Xp ) với mọi trường vectơ trơn X, Y , với mọi
p ∈ M.
(ii) g xác định dương
g (X, X) > 0 , với mọi X = 0

Đa tạp Riemann M cùng với một metric Riemann g được gọi là đa tạp
Riemann.
Cho g là metric Riemann trên M . Khi đó ta có thể xác định một tích vô
hướng , trên Tp M xác định bởi
Xp , Yp = g (Xp , Yp ) ,

với mọi X, Y ∈ Tp (M ). Giả sử (M, g) là một đa tạp Riemann, xét ánh xạ giáng
: T M → T ∗M

X→X

trong đó ta định nghĩa X (Y ) := g X, Y . Khi đó biểu diễn của toán tử giáng
trong các hệ tọa độ địa phương có dạng
X = g X i ∂i , · = gij X i dxi .

Lưu ý rằng trong công thức trên nếu X có dạng
X = Xj dxj ,

thì
Xj := gij X i .

11

(1.1)


Như vậy, X nhận từ X bằng cách hạ chỉ số xuống. Trong âm nhạc, việc hạ
một nốt nhạc xuống một nửa cung thì nốt nhạc đó gọi là một nốt giáng, đây
cũng là lý do mà ta gọi X là ánh xạ giáng.
Trong hệ tọa độ địa phương, ánh xạ có biểu diễn dạng ma trận là (gij ). Do
g là metric Riemann nên ma trận (gij ) là ma trận khả nghịch. Ma trận ngược
của nó được ký hiệu là g ij . Do vậy, ánh xạ có ánh xạ ngược
: T ∗M → T M
ω→ω

Giả sử ω = ωj dxj và ω = ω i ∂xi . Khi đó, (ω ) = ω . Theo công thức (1.1), ta
có
ωj = gij ω i ,

tức là,
ω i = g ij ωj

Như vậy ω nhận được từ ω bằng cách nâng chỉ số lên. Trong âm nhạc, khi
một nốt nhạc được nâng lên một nửa cung thì nốt nhạc đó được gọi là nốt thăng.
Do đó, toán tử được gọi là toán tử thăng.
Cho f là một hàm trơn trên đa tạp Riemann (M, g). Ta định nghĩa
gradf := df .

Khi đó, với mọi Y ∈ T M , ta có
(df ) (Y ) = gradf, Y .

Từ đó, ta nhận được
gradf = g ij ∂i f ∂j .

Chú ý 1.2. Toán tử biến tensơ phản biến thành tensơ hiệp biến và toán tử
biến tensơ hiệp biến thành tensơ phản biến.
Ví dụ 1.2. Cho B là tensơ kiểu (2, 1), Bik j = B E1 , ej , Ek . Bijk := gij Bik l . Khi
đó, B thành 3-tensơ hiệp biến
B (X, Y, Z) := B X, Y , Z

Nếu h là 2-tensơ hiệp biến đối xứng thì h là một tensơ kiểu (1, 1) xác định
bởi
h (X, ω) := h(X, ω ).
12


Do đó ta có thể xem h như là một ánh xạ tuyến tính (cũng vẫn ký hiệu là
h ) từ T M vào T M sao cho
h (X)(ω) = h (X, ω),

với mọi ω ∈ T ∗ M . Do đó, ta có thể đưa ra định nghĩa ánh xạ vết của 2-tensơ
hiệp biến.
Định nghĩa 1.13. Cho h là 2-tensơ hiệp biến đối xứng, ta định nghĩa trg h := trh
Trong hệ tọa độ địa phương ta có,
trg h = hi i = g ij hij .

Cho ω là k -dạng vi phân (k ≥ 1) còn X là một trường vectơ trơn trên M .
Định nghĩa 1.14. Tích trong iX (ω) của k -dạng vi phân ω và một trường vectơ
trơn X trên M là một (k − 1)-dạng vi phân xác định bởi
(iX ω) (X1 , ..., Xk−1 ) = ω (X, X1 , ..., Xk−1 )

Nhờ khái niệm tích trong ta có thể định nghĩa toán tử div như sau
div : T (M ) → C ∞ (M)
d (iX dV ) = (divX) dV

với dV = det (gij )dx1 ∧ ... ∧ dxn . Cuối cùng, chúng ta định nghĩa toán tử Laplace
trên đa tạp Riemann M .
Định nghĩa 1.15. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann với metric Riemann g và
f là một hàm trơn trên M , định nghĩa
∆f := div(gradf ).

Ví dụ 1.3. Cho (Rn , g) là một đa tạp Riemann với metric Riemann
n

dxi ⊗ dxi

g=
i=1

trong hệ tọa độ toàn cục (x1 , . . . , xn ). Do metric Riemann g có biểu diễn dạng
ma trận là ma trận đơn vị In nên ta tính được
n

gradf =
i=1

∂f ∂
.
∂xi ∂xi

Từ đó, người ta tính được
n

∆f =
i=1

13

∂ 2f
.
∂x2i


1.3

Liên thông và độ cong

Cho π : E → M là một phân thớ vectơ trơn trên đa tạp trơn M n và E(M ) là
không gian các nhát cắt trơn của E .

Định nghĩa 1.16. Một liên thông trong E là ánh xạ
∇ : T (M ) × E (M ) → E (M )
(X, Y ) → ∇X Y

thỏa mãn
(i) ∇X Y là tuyến tính trên C ∞ (M ) theo X , tức là
∇f X1 +gX2 Y = f ∇X1 Y + g∇X2 Y, ∀f, g ∈ C ∞ (M ) .

(ii) ∇X Y là tuyến tính trên R theo Y , tức là
∇X (aY1 + bY2 ) = a∇X Y1 + b∇X Y2 , ∀a, b ∈ R.

(iii) ∇ thỏa mãn luật Leibnitz, tức là
∇X f Y = f ∇X Y + (Xf )Y, ∀f ∈ C ∞ (M ).

Nếu ∇ là một liên thông trong E thì đại lương ∇X Y được gọi là đạo hàm
hiệp biến của Y theo hướng X .
Nếu E = T M, E (E) = E(T M ) thì ∇ : T M × E(T M ) → E(T M ) được gọi là một
liên thông tuyến tính trên M .
Gọi {Ei } là trường frame địa phương cho T M trên tập U mở nằm trong M
tương ứng với trường tọa độ frame Ei = ∂i . Khi đó, tồn tại n3 số Γij k sao cho
∇Ei Ej = Γij k Ek .

Như vậy, một liên thông tuyến tính là hoàn toàn xác định bởi n3 -hệ số Γij k .
Các hệ số Γij k được gọi là các ký hiệu Chirstoffel. Bằng định nghĩa, ta dễ dàng
chứng minh được tính chất sau đây.
Tính chất 1.1. Cho ∇ là liên thông tuyến tính trên M , X = X i Ei , Y = Y j Ej .
Ta có,
∇X Y = XY k + X i Y j Γij k Ek .
14

Ví dụ 1.4. Cho M = Rn , X = X i ∂i , Y = Y j ∂j . Ta định nghĩa
∇X Y = ∇X i ∂i (Y j ∂j ) = X i ∂i (Y j )∂j .

Khi đó ∇X Y là một liên thông tuyến tính trên Rn . Hơn nữa, ∇X Y là đạo
hàm của trường vectơ Y theo hướng X .
∂
∂
∂
∂
Một cách cụ thể, nếu n = 2, X = x ∂x
− y ∂y
, Y = xy ∂x
− ∂y
thì
∇X Y =

1.4

xy

x

∂
∂
−y
∂x
∂y

, (−1) x

∂
∂
−y
∂x
∂y

Đạo hàm hiệp biến của các trường vectơ

Cho ∇ là liên thông tuyến tính trên đa tạp trơn M . Chúng ta biết rằng, khi đó,
tồn tại duy nhất một liên thông trên Tl k (M ) (cũng được kí hiệu là ∇) sao cho
(i) Trên T M , ∇ là liên thông tuyến tính cho trước.
(ii) Trên T 0 (M ) = C ∞ (M ) thì ∇X f = Xf với mọi f ∈ C ∞ (M ).
(iii) ∇ thỏa mãn luật Leibnitz
∇X (F ⊗ G) = ∇X F ⊗ G + F ⊗ ∇X G

với mọi trường tensơ F, G.
(iv) ∇ giao hoán với phép chập chỉ số
C : Γ∞ (⊗r,s T M ) → Γ∞ ⊗r−1,s−1 T M
C∇X T = ∇X CT.

Mệnh đề 1.1. Xét ∇ như trên với ω là 1-dạng. Khi đó,
(∇X ω)Y = ∇X (ω(Y )) − ω(∇X Y )

Chứng minh. Xét T = ω ⊗ Y , ta có
∇X CT = ∇X ω, Y
= ∇X (ω (Y ))

15

(1.2)


Mặt khác, ta có
C∇X T = C(∇X (ω ⊗ Y ))
= C(∇X ω ⊗ Y + ω ⊗ ∇X Y )
= (∇X ω)Y + ω(∇X Y ).

(1.3)

Từ (1.2) và (1.3), ta có
(∇X ω)Y = ∇X (ω(Y )) − ω(∇X Y ).

Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2. Nếu g là 2-tensơ hiệp biến, g = gij dxi ⊗ dxj thì
(∇X g)(Y1 , Y2 ) = ∇X g(Y1 , Y2 ) − g(∇X Y1 , Y2 ) − g(Y1 , ∇X Y2 )

Chứng minh. Đặt
T = gij dxi ⊗ dxj ⊗ Y1 ⊗ Y2 .

Khi đó, do điều kiện (iv) ta có
C 2 ∇X T = ∇X C 2 T.

Lại có,
∇X C 2 T = ∇X g(Y1 , Y2 ).

Cũng do điều kiện (iii) thì
∇ X T = ∇ X g ⊗ Y1 ⊗ Y2 + g ⊗ ∇ X Y1 ⊗ Y2 + g ⊗ Y1 ⊗ ∇ X Y2 .

Từ đó,

C 2 (∇X T ) = C 2 (∇X g ⊗ Y1 ⊗ Y2 + g ⊗ ∇X Y1 ⊗ Y2 + g ⊗ Y1 ⊗ ∇X Y2 )
= ∇X g(Y1 , Y2 ) − g(∇X Y1 , Y2 ) − g(Y1 , ∇X Y2 ).

Ta có điều phải chứng minh.
Cho ∇ là liên thông tuyến tính trên M, F ∈ Tl k (M ). Ta định nghĩa ánh xạ
∇F : τ 1 (M ) × ... × τ 1 (M ) × τ (M ) × ...τ (M ) ×τ (M ) → C ∞ (M )
l

k

xác định bởi
(∇F )(ω 1 , ..., ω l , Y1 , ..., Yk , X) = (∇X F ) (ω 1 , ..., ω l , Y1 , ..., Yk ).
16


Bởi định nghĩa trên, nếu f ∈ C ∞ (M ) thì (∇f )X = ∇X f = df (X). Do đó
∇f = df . Ta định nghĩa
Hessf = ∇∇f,

trong đó fij := (Hessf )ij = ∇Xi ∇Xj f với Xi , i = 1, n là cơ sở của không gian tiếp
xúc Tp M .

1.5

Liên thông Levi - Civita

Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Liên thông tuyến tính ∇ được gọi là tương
thích với metric g nếu g là song song, tức là ∇g = 0. Do Mệnh đề 1.2, điều này
tương đương với
∇X (Y, Z) = ∇X Y, Z + Y, ∇X Z .

Định nghĩa 1.17. Cho ∇ là liên thông tuyến tính, tensơ xoắn được định nghĩa
là
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ].

Nếu T = 0 thì ∇ được gọi là liên thông không xoắn hay liên thông đối xứng.
Giả sử rằng
∇∂i ∂j = Γij k ∂k .

Khi đó, người ta chứng minh được liên thông ∇ là không xoắn khi và chỉ khi
Γij k = Γji k .

Định nghĩa 1.18. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Liên thông tuyến tính
∇ trên (M, g) được gọi là liên thông Levi - Civita nếu
(i) ∇ là liên thông tương thích với metric g .
(ii) ∇ là liên thông không xoắn.
Định lí dưới đây là định lí cơ bản của hình học Riemann.
Định lý 1.1. Trên đa tạp Riemann (M, g) bất kỳ, tồn tại duy nhất một liên
thông Levi - Civita. Hơn nữa, các ký hiệu Christoffel xác định bởi
1
Γij k = g jk (∂j gki ) + ∂i gjk − ∂k gij .
2

17


Định nghĩa 1.19. Cho (M, g) là đa tạp Riemann, ∇ là liên thông Levi - Civita,
ta định nghĩa:
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M )
(X, Y, Z) → R(X, Y )Z

với R(X, Y )Z = −∇X ∇Y Z + ∇Y ∇X Z + ∇[X,Y ] Z.
Khi đó, R là C ∞ tensơ kiểu (3, 1), ta có định nghĩa tương tự
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → R
R(X, Y, Z, W ) = g(R(X, Y )Z, W )

với R(∂i , ∂j )∂k = Rijk l ∂l , và Rijk l = −Γjk s Γis l + Γik s Γjs l − ∂i Γjk l + ∂j Γik l .
Trong trường hợp này thì R là tensơ kiểu (4, 0).
Chú ý 1.3. Ở đây, ta dùng chung ký hiệu R để định nghĩa 2-tensơ độ cong kiểu
(3, 1) và kiểu (4, 0)
Định nghĩa 1.20. Cho πp là không gian vectơ con hai chiều của Tp (M ) và Xp , Yp
là cơ sở của πp . Ta định nghĩa,
K(Xp , Yp ) :=

R(Xp , Yp , Xp , Yp )
Xp , Xp Yp , Yp − Xp , Yp

2

là độ cong nhắt cắt của (M, g) tại p ứng với πp .
Trong đa tạp hai chiều, độ cong nhát cắt chính là độ cong Gauss
K=

R1212
.
g11 g22 − g12 2

Ví dụ 1.5. Cho đa tạp Riemann hai chiều S2 , g , trong đó
1
dz 2 + (1 − z 2 )dθ2 .

1 − z2
√
1
Xét hai trường vectơ X = 1 − z 2 ∂z và Y = √1−z
∂θ. Khi đó, X và Y là hai
2
g=

vectơ đơn vị ứng với g . Dễ dàng thấy rằng
[X, Y ]f =

Do vậy,

z ∂f
.
1 − z 2 ∂θ

z
[X, Y ] = √
Y.
1 − z2
18


Bởi định nghĩa của tích Lie, ta có
∇X Y, X = ∇Y X, X + [X, Y ] , X = 0.

Do liên thông là tương thích với metric, lấy ∇ tác động lên Y, Y = 1 ta thấy
∇X Y, Y = 0. Vì vậy,
∇X Y = 0.

Cũng bởi tính tương thích của liên thông với metric, lấy ∇ tác động lên
X, Y = 0, ta thu được
∇X X, Y = − X, ∇X Y = 0.

Từ đó, ta có ∇X X = 0.
Mặt khác, ta tính được
∇Y X, Y = ∇X Y, Y − [X, Y ] , Y = − √

Do vậy,
∇Y X = − √

z
1 − z2

z
1 − z2

.

Y.

Tương tự, ta cũng có
∇Y Y, X = − X, ∇Y X = √

Vì thế
∇Y Y = √

z
1 − z2

z
1 − z2

.

X.

Tổng hợp các tính toán trên ta nhận được độ cong nhát cắt của S2 là
K = R(X, Y, X, Y ) = −∇X ∇Y X, ∇Y ∇X X + ∇[X,Y ] X, Y

= 1.

Cho tensơ độ cong R kiểu (3, 1). Xét ánh xạ Ricp xác định bởi
Ricp (Xp , Yp ) := T r(Zp ) → R(Xp , Zp )Yp .

Dễ thấy,

n

Ricp (Xp , Yp ) =

R (Xp , Ei , Yp , Ei ).
i=1

Ở đây {Ei } là cơ sở của không gian tiếp xúc Tp (M ).
Do đó, Ricp (·, ·) là một tensơ kiểu (2, 0) và được gọi là độ cong Ricci của M
tại p.
Tensơ Ricp (Xp ) = Ric(Xp , Xp ) được gọi là độ cong Ricci của M tại p theo
hướng Xp với mọi Xp là vectơ tiếp xúc đơn vị.

19


Định nghĩa 1.21. Đa tạp M n được nói là thỏa mãn bất đẳng thức Poincare
với hàm trọng ρ(x) dương nếu
|∇φ|2 dV ,

ρ2 (x)φ2 (x)dV ≤
M

M

với mọi hàm φ ∈ Co∞ (M ) là hàm trơn và có giá compact. Đặc biệt, khi ρ(x) =
λ1 (M ) là hằng số dương thì M là đa tạp với phổ dương.
Chúng ta nói rằng đa tạp M có tính chất (Pρ ) nếu M thỏa mãn bất đẳng thức
Poincare có trọng, với hàm trọng ρ không âm và metric ds2ρ được định nghĩa bởi
dsρ 2 = ρdsM 2 ,

là metric đầy.

20


Chương 2
Hình học của các đa tạp đầy với
bất đẳng thức Poincare có trọng
2.1

Một số bổ đề phụ trợ

Bổ đề 2.1. Với mọi hàm l (x), giả sử
RicM (x) ≥ −

n−1
l (x) .
n−1

Nếu f là hàm điều hòa dương trong M thì
|∇f | (x) ≤

(n − 1) sup

l(y) + C1 sup

Bρ (x,1)

ρ(y)

f (x) ,

Bρ (x,1)

với C1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào n, trong đó n là số chiều của đa tạp M .
Đặc biệt, nếu cận dưới của độ cong Ricci của M thỏa mãn
RicM \K (x) ≥ −

n−1
ρ(x) + ε,
n−1

với K là tập compact trong đa tạp M và ε > 0, thì
|∇f | (x) ≤ C

sup

√

ρ

f (x),

Bρ (x,1)

với C = C (n) , Bρ (x, 1) ∩ K = ∅.
Chứng minh. Theo ước lượng của Cheng và Yau trong [2], ta ước lượng gradient
cho hàm điều hòa dương với mọi R > 0,
|∇f | (x) ≤

(n − 1) sup

√

l + CR−1

B(R)

21

f (x), C = C (n) .

(2.1)


−1

Xét hàm g(r) = r −
sup

√

√

sup

. Khi đó, với mọi r < 1, ta có sup

ρ

√

ρ≤

B(x,r)

B(x,r)

ρ nên

B(x,1)
−1

g(r) = r −

−1

√
sup ρ


√

sup

.

ρ

B(x,1)

B(x,r)

√
√
ρ ≥ sup ρ nên

Cho r → 0, ta có g(r) < 0. Tương tự, nếu r > 1 thì sup
B(x,r)

B(x,1)

−1

g(r) = r −

−1

√
sup ρ

>r−

sup

√

.

ρ

B(x,1)

B(x,r)

Cho r → +∞ thì g(r) → +∞. Vì vậy, theo định lí về giá trị trung bình, ta có
−1

thể chọn Ro > 0 sao cho g(Ro ) = 0. Khi đó, Ro =

√

sup

.

ρ

B(x,Ro )

Với mọi y ∈ B (x, Ro ), gọi γ là đường trắc địa cực tiểu nối x và y , ta có
rρ (x, y) ≤

ρ (γ (t))dt
γ

≤

sup

ρ(y)

Ro

B(x,Ro )

≤ 1.

Điều này chứng tỏ rằng B(x, Ro ) ⊂ Bρ (x, 1). Khi đó, với R = Ro , bất đẳng
thức (2.1) trở thành
|∇f | (x) ≤

√

(n − 1) sup

l + C sup

B(x,Ro )

≤

(n − 1) sup

ρ(y)

f (x)

B(x,R0 )

√
l + C sup

B(x,1)

ρ(y)

f (x).

B(x,1)

Mặt khác, do RicM \K bị chặn dưới bởi − n−1
n−1 ρ(x) + ε và do bất đẳng thức
(2.1) đúng trên M nên cũng đúng trên M \K với Bρ (x, 1) ∩ K = ∅ nên ta có
|∇f | (x) ≤ C

sup
Bρ (x,1)

Ta có điều phải chứng minh.
22

√
ρ

f (x) .


Bổ đề 2.2. ([11]) Cho M n là đa tạp Rienmann với số chiều n ≥ 2. Giả sử độ
cong Ricci của M thỏa mãn điều kiện cận dưới
RicM (x) ≥ − (n − 1) τ (x), ∀x ∈ M.

Giả sử rằng, hàm f là hàm khác hàm hằng trên đa tạp M . Khi đó, hàm
h = |∇f | thỏa mãn bất đẳng thức
h∆h ≥ − (n − 1) τ h2 +

|∇h|2
.
n−1

n−1

Ngoài ra, nếu g = h n−2 thì bất đẳng thức trên trở thành
∆g ≥ − (n − 2) τ g.

Chứng minh. Chọn hệ tọa độ trực chuẩn địa phương {e1 , e2 , ..., en } sao cho f1 :=
e1 f = |∇f | , fα := eα f = 0, ∀α = 2; 3; ...; n tại x. Ta có,
h2 = |∇f |2 = f1 2 + f2 2 + ... + fn 2 .

Lấy đạo hàm theo ej hai vế ta được
n

hhj =

fij fi .
i=1

Tiếp tục lấy đạo hàm theo ej hệ thức trên, ta nhận được
n

hhjj + h2j

(fijj fi + fij2 ).

=
i=1

Do đó, tại x ta có hhj = f1j f1 mà f1 = e1 f = |∇f | = h nên hj = f1j . Vì thế,
ta thu được
n
2

n
2

|∇h| =

f1j 2 .

hj =
j=1

j=1

Lại có, do hàm f là hàm điều hòa nên fjj = 0, hệ quả là
n
2

hj 2 + hhjj

|∇h| + h∆h =
j=1
n

fij 2 + fijj fi

=
i,j=1
n

fij 2 + fjji fi + Rij fi fj

=
i,j=1
n

fij 2 + Rij fi fj .

=
i,j=1

23

(2.2)