Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC 8

SỬ DỤNG ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC 8
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán là một môn học khó với nhiều học sinh đặc biệt là hình học, thực tế ở
trường THCS Vĩnh Tân cho thấy là học sinh thích học số học và đại số hơn. Vậy
nguyên nhân do đâu?
Qua quá trình giảng dạy tôi rút ra một số nguyên nhân như sau: Học sinh
thường hay quên kiến thức cũ, chỉ học “vẹt” các định lí và quy tắc.
Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài toán hình học, việc vẽ
thêm đường phụ làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn.
Tuy nhiên vẽ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn
gọn và hay là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy rằng
không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các đường phụ. Tùy từng định lí
hay bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lí để có
thể đưa đến nhiều cách giải hay và độc đáo.Song công việc sáng tạo này không thể
tùy tiện. Việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng
hình cơ bản mà chúng ta đã biết.
Do vậy tôi chọn đề tài này nhằm giúp học sinh biết một số cách vẽ đường
phụ thường gặp để giải toán, giúp các em dễ dàng tìm ra lời giải bài toán từ đó
thích học hình học hơn.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1.

Cơ sở lý luận

•

Khi làm các bài tập hình học, hay học các định lí hình học ta hay bắt
gặp các bài toán đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ.

•

Trước khi thực hiện đề tài thì học sinh gặp khó khăn khi gặp các bài
toán hình học có vẽ đường phụ.

•

Trên thực tế học sinh thường gặp khó khăn khi vẽ đường phụ do đó đa
số các em đều thấy hình học rất khó không thích học kể cả các em học sinh
giỏi cũng ngại hình học.
•
Vẽ đường phụ cần có sự sáng tạo cao, khi vẽ thêm đường phụ thì phải
có mục đích, không vẽ tùy tiện mà phải dựa vào đề bài phân tích, tổng hợp để
có cách vẽ hợp lí phục vụ cho mục đích chứng minh của mình (trích dẫn từ lời
mở đầu của sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8 – Tác
giả: Nguyễn Đức Tấn).
2.

Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.

Tôi đã áp dụng thực tế giảng dạy và nghiên cứu nội dung chương trình hình
học 8 tôi thấy việc vẽ thêm đường phụ được sử dụng như sau:


2.1. Sử dụng đường phụ để chứng minh định lí hình học 8.
- Khi dạy học chứng minh các định lí hình học, trừ một số định lí dễ ta có thể
chứng minh trực tiếp được mà không cần vẽ thêm đường phụ, phần nhiều phải vẽ
thêm đường phụ mới chứng minh được. Trong khi dạy hình học 8 tôi thấy các định
lí sau cần vẽ đường phụ để chứng minh.
Ví dụ1: Để chứng minh định lí 1: “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh
của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba”
trong bài: “Đường trung bình của tam giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường

phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau.

GT ∆ ABC , AD = DB, DE / / BC
KL
AE = EC
Phân tích: Để chứng minh AE = EC, ta cần chứng minh đây là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Ta thấy ở hình vẽ đã có ∆ADE chứa cạnh
AE nên ta cần tạo ra tam giác chứa cạnh EC và bằng ∆ADE , điều này giúp ta nghĩ
đến vẽ đường phụ như sau: Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F
nhằm tạo ra đoạn thẳng bằng nhau: EF = DB (vì DEFB là hình thang có hai cạnh
ˆ = EFC
ˆ (cùng bằng Bˆ ),
bên EF, BD mà EF// BD) và tạo ra góc bằng nhau: ADE
·
·
(đồng vị, EF// AB). Do đó ∆ADE = ∆EFC ( g .c.g ) , suy ra AE = EC.
DAE
= FEC

Ví dụ2: Để chứng minh định lí 2: “Đường trung bình của tam giác thì song
song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy” trong bài: “Đường trung bình của tam
giác, của hình thang” ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên các đoạn thẳng bằng
nhau.

GT ∆ ABC , AD = DB, AE = EC
KL DE / / BC , DE = 1 BC
2


1

2

Phõn tớch: T kt lun l DE // BC, DE = BC nờn ta cú BC = 2.DE giỳp ta cú ý tng
l phi gp ụi on thng DE cú on thng bng on thng BC, do ú ta v
yu t ph nh sau: V im F sao cho E l trung im ca DF nhm to ra hai
ã
ã
on thng, hai gúc bng nhau:CF = AD v DAE=FCE
(vỡ AED = CEF (c.g .c) ).
ã
ã
T CF = AD v AD = DB (gt) ta suy ra: CF = DB, t DAE
suy ra
= FCE
CF//AD tc l CF//DB.
Do ú BDFC l hỡnh thang cú hai cnh ỏy l CF, DB m CF = DB (chng
minh trờn) nờn hai cnh bờn DF, BC song song v bng nhau.
1
1
Do ú DE // BC, DE = DF = BC .
2
2
Vớ d 3: chng minh nh lớ: Trong tam giỏc, ng phõn giỏc ca mt
gúc chia cnh i din thnh hai on thng t l vi hai cnh k hai on y
trong bi: Tớnh cht ng phõn giỏc ca tam giỏc ta phi v thờm yu t ph.
ã
GT ABC , AD laứ tia phaõn giaực cuỷa BAC
( D BC )
DB AB
KL

=
DC AC

Phõn tớch: Kt lun ca nh lớ l

DB AB
=
õy l h thc hai on thng t l
DC AC

nờn ta ngh n nh lớ Ta-lột v h qu ca nh lớ Ta-lột (phi cú ng thng
song song) nờn ta v ng ph nh sau: Qua nh B v ng thng song song
vi AC, ct ng thng AD ti im E, mc ớch nhm to ra hai gúc bng nhau:
ã
ã
ã
ã
ã
ã
(so le trong) m BAE
do ú tam giỏc
BEA
= CAE
= CAE
( gt ) , suy ra BEA
= BAE
ABE cõn ti B, suy ra: BE = AB (1). p dng h qu ca nh lớ Ta-lột i
vi tam giỏc DAC, ta cú:

DB BE

DB AB
=
=
(2). T (1) v (2) suy ra
.
DC AC
DC AC


Ví dụ4: Để chứng minh định lí: “Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng” trong bài 5: “Trường hợp
đồng dạng thứ nhất”, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ.

∆ ABC , ∆ A ' B ' C '
A ' B ' A 'C ' B 'C '
=
=
GT AB
AC
BC
KL
∆ ABC ∆ A ' B ' C '

Phân tích: Vì hai tam giác ∆ABC ; ∆A ' B ' C ' chưa có yếu tố chung mà theo bài 4
ta có định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho” nên
ta cần tạo ra ∆AMN trên ∆ABC sao cho ∆AMN = ∆A ' B ' C ' và MN // BC.
Do đó ta vẽ yếu tố phụ như sau: Trên tia AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’. Vẽ
đường thẳng MN // BC ( N ∈ AC ) nhằm mục đích tạo ra tam giác mới AMN bằng
với tam giác A’B’C’ và đồng dạng với tam giác ABC.

Ví dụ5: Để chứng minh định lí: “Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai
cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam
giác đồng dạng” trong bài 6: “Trường hợp đồng dạng thứ hai” ta phải vẽ thêm yếu
tố phụ.

ΔABC,ΔA'B'C'
A'B' A'C' ˆ µ
=
, A=A'
GT AB AC
KL
ΔABC ΔA'B'C'


Phân tích: Tương tự như ví dụ 4 ở trên, ta vẽ yếu tố phụ như sau: Trên tia
AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’. Vẽ đường thẳng MN // BC ( N ∈ AC ) nhằm mục
đích tạo ra tam giác mới AMN bằng với tam giác A’B’C’ và đồng dạng với tam
giác ABC.
Ví dụ6: Để chứng minh định lí: “Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng
hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau” trong bài 7:
“Trường hợp đồng dạng thứ ba” ta phải vẽ thêm yếu tố phụ.

∆ABC , ∆A ' B ' C '
µ = A',
µ B
µ =B'
µ
GT A
KL ∆A ' B ' C ' ∆ABC

Phân tích: Tương tự như ví dụ 4 ở trên, ta vẽ yếu tố phụ như sau: Trên tia
AB, đặt đoạn thẳng AM = A’B’. Vẽ đường thẳng MN // BC( N ∈ AC ) nhằm mục
đích tạo ra tam giác mới AMN bằng với tam giác A’B’C’ và đồng dạng với tam
giác ABC.
2.2. Sử dụng đường phụ để giải các bài toán.
Việc vẽ đường phụ để giải bài toán hình học rất phong phú và đa dạng, qua
tìm tòi tôi thấy sau đây là một số cách thường dùng.
2.2.1. Vẽ thêm đường song song.


Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm
của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào ? (bài 126/tr 73- sách bài tập Toán 8 tập 1).

Phân tích: Theo đề bài ta có I là trung điểm của AM nên ta nghĩ tạo ra đường
trung bình của tam giác bằng cách qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB
và AC theo thứ tự ở P và Q.
∆AMB có AI = IM, IP // BM nên P là trung điểm của AB. Chứng minh tương

tự, Q là trung điểm của AC.
Các điểm P và Q cố định. Vậy điểm I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ
tự là trung điểm của AB, AC).
Ví dụ 2: Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Tính góc tạo bởi
hai đường chéo của hình thang (ví dụ 3/tr 77- sách nâng cao và phát triển Toán 8
tập 1).

Phân tích: Theo đề bài ta có: BH =

AB + CD
(1)

2

Yêu cầu của bài toán là tính góc của hai đường chéo nên ta cần tạo ra các
tam giác đặc biệt để có góc đặc biệt, ta thấy ∆BDH vuông tại H, chứa đường chéo
BD nên ta vẽ đường phụ như sau: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt
DC ở E. Khi đó ta có: BE = AC mà AC = BD nên BE = BD. Tam giác BDE cân tại
B, đường cao BH nên DH = HE =

DE
(2)
2

Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE

(3)


Từ (1), (2), (3) suy ra BH = DH = HE.
·
Do đó ∆BDH , ∆BEH vuông cân tại H nên DBE
= 900

suy ra BD ⊥ BE , mà AC // BE nên BD ⊥ AC
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E
trên cạnh AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI
và BC. Chứng minh rằng ADKE là hình bình hành (bài 48/tr 88- sách nâng cao và
phát triển Toán 8 tập 1).

Phân tích: Để chứng minh ADKE là hình bình hành mà đã có I là trung điểm
của đường chéo DE nên ta cần phải chứng minh I là trung điểm của AK . Từ đó ta

vẽ yếu tố phụ như sau: Kẻ IN // BC , DM // BC ( N ∈ AC ; M ∈ AC ) mục đích để tạo
ra điểm N là trung điểm của AC từ đó có được I là trung điểm của AK.
Để chứng minh N là trung điểm của AC ta chứng minh AM = CE, MN = NE.
Suy ra I là trung điểm của AK.
* Đặc biệt việc vẽ thêm đường phụ là đường thẳng song song để tạo thành
các cặp đoạn thẳng tỉ lệ thường được sử dụng ở lớp 8 nhằm sử dụng định lí Ta-lét
và hệ quả của nó, sau đây là một số ví dụ.
Ví dụ 4: Trong hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 28 cm, CD = 70cm,
AD = 35cm, vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD, BC theo thứ tự ở
E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10cm (bài 171/tr 81- sách nâng cao và phát
triển Toán 8 tập 2).


Phân tích: Để tính EF với giả thiết đề bài ta cần nghĩ cách chia đoạn thẳng
EF sao cho việc sử dụng các giả thiết trở nên đơn giản, cụ thể ta đã biết AB=
28cm,CD = 70cm nên ta tạo ra trên đoạn EF một đoạn bằng 28cm bằng cách kẻ
AK // BC ( K ∈ CD ). Khi đó ta tính được
IF = AB = KC = 28cm, từ đó tính được DK = 42cm,từ đó tính được EI bằng
cách sử dụng định lí Ta-lét.
Ví dụ 5:
0
µ
a) Cho tam giác ABC có A=120
, AB = 3cm, AC = 6cm. Tính độ dài đường
phân giác AD.

b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn

1
1

1
=
+
.
AD AB AC

Tính số đo góc BAC (bài 177/tr 81- sách nâng cao và phát triển Toán 8 tập
2).

Phân tích: ở câu a) để tính được AD ta phải tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ với
nhau bằng cách qua D kẻ DE //AB khi đó ta có được ∆ADE là tam giác đều, từ đó
tính được AD.
Ở câu b) tương tự ta kẻ DE // AB nhằm tạo ra ∆ADE cân tại E
Nên ta đặt DE = EA = x, kết hợp với giả thiết

1
1
1
=
+
AD AB AC

·
Ta tìm được AD = x, nên ∆ADE đều suy ra BAC
= 1200

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt
cạnh AB ở D, cắt cạnh BC ở K, và cắt tia đối của tia CA ở E sao cho BD = CE thì
tỉ số

KE
không đổi (bài 178/tr 81- sách nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2).
KD


Phân tích: Để xuất hiện tỉ số

KE
ta kẻ DG // BC, khi đó theo định lí Ta-lét ta
KD

có hệ thức:
KE CE
KE BD
=
=
, kết hợp với giả thiết BD = CE ta được
, tiếp tục sử dụng
KD CG
KD CG
BD AB
AB
=
định lí Ta-lét ta có:
, mà
là không đổi.
CG AC
AC

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC ( AC>AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự

nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường
thẳng DE, BC. Chứng minh rằng:

KE AB
=
(bài 5/tr 121- sách vẽ thêm yếu tố phụ
KD AC

để giải một số bài toán hình học 8).

KE AB
=
không dễ dàng. Để tìm tỉ số
KD AC
trung gian, ta vẽ đường phụ EF // AB, F ∈ BC

Phân tích: Việc chứng minh trực tiếp


Khai thác bài toán: Tỉ số

KE AB
=
không phụ thuộc vào cách chọn các
KD AC

điểm D và E nên ta có bài toán sau:
Cho tam giác ABC (AC>AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên
các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE,
BC. Chứng minh rằng tỉ số

KE
không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E.
KD

Phân tích: Theo ví dụ trên ta có

KE AB
=
, mà độ dài AB, AC không đổi nên
KD AC

tỉ số
KE
không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E.
KD

Ví dụ 8: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng d quay quanh A cắt
BC, CD lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng tích BE.DF không đổi (bài 6/tr 122sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích: Tích BE.DF không đổi nên ta cần chứng minh tích này bằng tích
hai cạnh hay đường chéo hình bình hành, mà để có tích này ta phải có đoạn thẳng
tỉ lệ nên ta vẽ yếu tố phụ là đường song song như sau: Vẽ thêm đường phụ FG //
AD, G ∈ AB
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kì qua
G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng

AB AC
+
=3 (bài 12/tr

AM AN

129- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).


AB
AC
;
và có cùng mẫu ta
AM AN
nghĩ đến các đường phụ BD, CE song song với MN( D, E ∈ AC ). Ta chứng minh
∆IBD = ∆ICE , sau đó để xuất hiện tỉ số ta áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào các

Phân tích: Để tạo ra các tỉ số bằng các tỉ số

tam giác AMG và ANG ta có điều phải chứng minh.
2.2.2. Vẽ thêm đường vuông góc
Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8,
đây là cách vẽ thường gặp trong bài toán về các tứ giác đặc biệt như hình thang
vuông, hình chữ nhật, hình vuông.
Ví dụ 1: Tìm x trên hình 90 (bài 63 sgk Toán 8 – Tập 1/ tr 100).

Phân tích: Để tìm x hay là độ dài AD ở trên hình ta cần tạo ra đoạn thẳng
bằng đoạn thẳng AD, ta thấy trên hình đã có hai góc vuông là góc A và góc D nên
ta tạo ra đoạn thẳng BH = AD bằng cách kẻ BH ⊥ CD ( H ∈ CD ). Khi đó ABHD là
hình chữ nhật vì có ba góc vuông.
Từ đó ta có: AB = DH và AD = BH. Mà AB = 8 nên DH = 8, từ đó tính được HC
= 5. Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông BHC ta tính được BH = 12. Do đó
tìm được x = 12.
0

µ
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ( A=90
), điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo
thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

a) So sánh các độ dài AM, DE.


b) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất (bài 127/tr
73- sách bài tập toán 8 – tập 1).

Phân tích : Dễ thấy, tứ giác DAEM là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
Nên DE = AM. Do đó DE nhỏ nhất tức là AM nhỏ nhất, mà A cố định, M di
động trên cạnh BC, do đó: AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên đường
thẳng BC nên ta vẽ thêm AH là đường cao của tam giác ABC, ta sẽ tìm ra lời giải
bài toán.
Ví dụ 3: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox sao cho OA = 3cm. Lấy
B là một điểm bất kì thuộc tia Oy. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Khi B di
chuyển trên tia Oy thì điểm C di chuyển trên đường nào? (bài 125/tr 73- sách bài
tập toán 8 – tập 1).

Phân tích: Ta thấy độ dài OA không đổi, AO ⊥ Oy và BA = BC nên ta vẽ
thêm CD ⊥ Oy ( D ∈ Oy ) để tạo ra ∆BDC = ∆BOA , suy ra CD = AO =3cm nên CD có độ
dài không đổi. Do đó điểm C di chuyển trên tia C’z.
Khai thác bài toán: Nếu ta thay giả thiết: C là điểm đối xứng với A qua B
bằng giả thiết: C là điểm trên tia đối của tia BA sao cho BC = 2.AB thì ta được bài
toán tổng quát hơn như sau: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox sao cho OA
= 3cm. Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Oy. Gọi C là điểm trên tia đối của tia
BA sao cho BC = 2.BA. Khi B di chuyển trên tia Oy thì điểm C di chuyển trên
đường nào?

Phân tích: Ta thấy độ dài OA không đổi, AO ⊥ Oy và BC = 2.BA nên ta vẽ
thêm CD ⊥ Oy ( D ∈ Oy ) và lấy M là trung điểm BC để tạo ra ∆BEM = ∆BOA
suy ra ME = AO =3cm nên CD = 2.ME = 6 cm có độ dài không đổi. Do đó
điểm C di chuyển trên tia C’z.
0
µ µ
Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) và B=C=90
.

Chứng minh rằng: BC < AD (bài 7/tr 11- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải
một số bài toán hình học 8).

Phân tích: Để chứng minh BC < AD ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng đoạn
thẳng AD hoặc bằng đoạn thẳng BC, theo đề bài Bµ = Cµ = 900 nên ta tạo ra đoạn
thằng bằng đoạn thẳng BC bằng cách kẻ AH ⊥ CD .Khi đó:AH < AD từ đó rút ra
điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC ( H ∈ AC ).
0
·
Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC. Chứng minh rằng : ADE=45
(bài 55/tr 56- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích : Để chứng minh ·ADE = 450 , ta nghĩ đến việc tạo ra tam giác vuông
cân nên ta vẽ thêm đường phụ EF sao cho EF ⊥ AD, F ∈ AD
Từ ∆ABC = ∆BKE ta chứng minh được FD = FE. Từ đó tìm ra lời giải bài
toán.

Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc các
đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho MP ⊥ NQ . Chứng minh rằng: MP = NQ
(bài 69/tr 68- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích: Để chứng minh MP = NQ ta chứng minh MP, NQ là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau nên ta vẽ thêm MH ⊥ DC và NK ⊥ AD (
H ∈ DC , K ∈ AD ), sau đó tìm cách chứng minh ∆KNQ = ∆HMP từ đó suy ra: NQ =
MP.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông
ABDE, ACFG.
Chứng minh rằng đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm M của đoạn
thẳng EG (bài 76/tr 73- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học
8).

Phân tích : Để chứng minh ME = MG ta cần tạo ra một hình bình hành có
EG là đường chéo nên ta vẽ hai đường phụ EI, GK (
EI ⊥ AH , GK ⊥ AH ; I ∈ AH , K ∈ AH ). Chứng minh tứ giác EKGI là hình bình hành ta
sẽ có điều phải chứng minh.
Vẽ EI ⊥ AH , GK ⊥ AH ; I ∈ AH , K ∈ AH . Ta chứng minh ∆AKG = ∆CHA (cạnh
huyền – góc nhọn), suy ra KG = HA (1)


Tương tự, ta chứng minh ∆AEI = ∆BAH (cạnh huyền – góc nhọn),
Suy ra EI = HA (2)
Từ (1), (2) suy ra KG = EI.
Mặt khác EI ⊥ AH , GK ⊥ AH nên KG // EI.
Vậy tứ giác EKGI là hình bình hành.
* Đặc biệt vẽ thêm đường phụ là đường vuông góc để sử dụng công thức
tính diện tích ta hay gặp trong các bài toán về diện tích.
Ví dụ 8: Cho hình thoi ABCD. Chứng minh rằng: AC.BD ≤ 2. AB 2 (bài 20/tr

103- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích : Vì tích AC.BD có liên hệ với công thức tính diện tích hình thoi (
1
AC.BD ) nên ta cần vẽ thêm đường phụ để tính diện tích hình thoi theo
2
cạnh do đó ta vẽ thêm đường phụ BH ⊥ AD . Ta có BH ≤ AB
S ABCD =

S ABCD = BH . AD ≤ AB. AD = AB 2

Từ hai cách tính diện tích hình thoi như trên ta có điều phải chứng minh.
1
2

Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: S ABCD ≤ AC.BD (bài 21/tr
104- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).


Phân tích : Kết luận bài toán có S ABCD mà S ABCD = S ABC + S DAC . Để tính S BAC ,

S DAC ta phải có đường cao nên ta vẽ

DK ⊥ AC , BH ⊥ AC từ đó

1
1
BH . AC + DK . AC
2
2

1
= AC.( BH + DK )
2

S ABCD = S ABC + S DAC =

Mặt khác, BH ⊥ OH ⇒ BH ≤ OB và DK ⊥ OH ⇒ DK ≤ OD
Mà OB + OD = BD nên BH + DK ≤ BD.
Vậy S ABCD ≤

1
AC .BD
2

2.2.3. Vẽ thêm đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước
Đây là cách vẽ đường phụ thường hay gặp trong các bài toán hình học 8
nhằm mục đích tạo ra các tam giác bằng nhau, tam giác đặc biệt, tứ giác đặc biệt.
Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của
góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE (bài tập 154/tr 76- sách
bài tập Toán 8 - tập 1).

Phân tích: Để làm xuất hiện tổng AK + CE, ta lấy điểm M trên tia đối của tia
CD sao cho CM = AK. Ta có AK + CE = CM + CE = EM.
µ ·
Ta cần chứng minh EM = BE. Ta sẽ chứng minh ∆EBM có M=EBM
.
¶ =M
µ ,B
µ =B
¶ .

Thật vậy, ∆BAK = ∆BCM (c.g .c ) suy ra: K
1

1

4

µ =B
¶ nên B
¶ =B
¶ .
Mặt khác: B
1
2
2
4

·
µ +B
¶ =B
µ +B
¶ = KBC
·
¶ =M
¶ .
=B
=K
Từ đó, EBM
3
4

3
2
1
0
ˆ ˆ
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có B+D=180
, CB = CD. Chứng minh rằng AC là
tia phân giác của góc A (Ví dụ 1/tr 75- sách nâng cao và phát triển Toán 8 tập 1).


·
·
·
Phân tích: Ta cần chứng minh BAC
mà BAC
là góc của ∆ABC nên ta
= CAD
cần tạo ra tam giác mới bằng ∆ABC bằng cách lấy điểm E trên tia đối của tia DA
sao cho DE = AB.
·
µ (1)
Từ ∆ABC = ∆EDC (c.g .c) ⇒ BAC
=E
·
µ (2)
∆CAE có AC = EC nên là tam giác cân, do đó CAD
=E

Từ (1) và (2) suy ra AC là tia phân giác của góc A.
0

ˆ ˆ
Ví dụ 3: Cho tứ giác lồi ABCD có A+C=180
, AB < AD, AC là tia phân

·
giác của BAD

Chứng minh rằng: BC = DC (bài 1/tr 5- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một
số bài toán hình học 8).

Phân tích: Rõ ràng không thể chứng minh trực tiếp BC = DC, do đó phải
dùng đoạn thẳng trung gian để chứng minh.
·
Vì AC là tia phân giác của BAD
, ta nghĩ đến việc tìm điểm E trên cạnh AD
sao cho AE = AB. Từ ∆ABC = ∆AEC ⇒ BC = CE và ta cũng chứng minh được tam
giác CDE cân đỉnh C.


Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD( AB//CD) có AB = AD + BC. Chứng minh
rằng các tia phân giác của các góc C, D cắt nhau tại một điểm trên cạnh AB (bài
6/tr 10- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích : Thử vẽ tia phân giác của góc D, gọi E là giao điểm của tia phân
giác này và AB. Dễ thấy rằng tam giác ADE cân tại A. Điểm phụ E trên AB sao
cho AE = AD giúp ta có lời giải bài toán.
Ví dụ 5: Cho hình thang cân ABCD (AB//DC) có AB < DC.
Chứng minh rằng: DC – AB < 2AD (bài 8/tr 12- sách vẽ thêm yếu tố phụ để
giải một số bài toán hình học 8).

Phân tích : Chắc hẳn chúng ta nghĩ đến tìm một tam giác cân có cạnh bên là
AD và cạnh đáy có độ dài bằng DC – AB .
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho CE = AB.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông
ABDE, ACFG.
Chứng minh rằng đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm M của đoạn
thẳng EG (bài 76/tr 73- sách vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học
8).


Phân tích : Ví dụ này là ví dụ 7 ở trên ta đã vẽ đường phụ vuông góc.
Sau đây ta có cách khác: Để chứng minh M là trung điểm của EG ta cần tạo ra tam
giác nhận MA là đường trung bình nên ta vẽ điểm phụ Q trên tia đối của tia AE sao
cho: AQ = AE.
Chứng minh MA // GQ. Từ đó có được M là trung điểm của EG
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Sau một năm thực hiện đề tài vào năm học 2014 -2015 vào lớp 8.8, 8,9 với
78 học sinh tôi thấy đa số học sinh đã biết cách vẽ đường phụ để chứng minh các
định lí hình học và làm giải bài toán đơn giản, học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi
học hình học (thể hiện qua quan sát thái độ, cử chỉ của học sinh, các em không còn
thấy chán nản). Riêng đối với học sinh khá, giỏi thì các em đã biết cách vẽ đường
phụ để giải quyết các bài toán, tôi thấy các em đã thích học hình hơn, khơi dậy
được sự sáng tạo của các em. Chất lượng bài làm cũng được cải thiện thể hiện qua
số liệu bài kiểm tra định kì cuối năm bằng hình thức viết được thống kê như sau:


IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đối với học sinh trung bình, yếu: Để nâng cao chất lượng học sinh
ngoài việc nâng cao chất lượng các giờ dạy chính khóa, rất cần các buổi
phụ đạo cho học sinh trung bình, yếu để các em có nhiều hơn thời gian thực

hành giải bài tập và khắc sâu kiến thức. Từ đó rèn luyện cách vẽ hình, cách
vẽ đường phụ cho học sinh.
Đối với học sinh khá, giỏi: Cần tạo điều kiện để bồi dưỡng thêm kiến
thức cho các em, đặc biệt là phần hình học. Đa số những bài toán khó ở
phần hình học đều có vẽ đường phụ, do đó cần có nhiều thời gian để các
em có thể nắm chắc các cách vẽ đường phụ thường dùng ở trên.
Vì vậy, mong nhà trường tạo điều kiện về cơ sở vật chất, phòng ốc để
các lớp phụ đạo, bồi dưỡng được tiến hành thường xuyên.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Nâng cao và phát triển Toán 8
Tác giả: Vũ Hữu Bình
Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.

2.

SGK Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục

3.

SGV Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục

4.

SBT Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục

5. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8
Tác giả: Nguyễn Đức Tấn
Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam- Năm 2013