Sáng kiến kinh nghiệm ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MÔN TOÁN 8

CH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
MÔN TOÁN 8
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Qua quá trình giảng dạy môn toán học,tôi nhận thấy một số điểm đáng chú ý như
sau:
• Một số HS có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên chỉ chú trọng đến các công
việc gia đình, còn việc học thì lơ là không quan tâm lắm.
• Ý thức học tập của một số học sinh chưa cao, chưa xác định được tầm quan
trọng của việc đọc trước bài và làm bài tập ở nhà.
• Trong môn toán thì các tranh ảnh mô hình quá ít,chưa tạo được sự thích thú
của HS.
• Học sinh có tâm lí không yêu thích môn toán học, vì nó quá khó và khá khô
khan và đây là một môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt,
đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, suy xét và tư duy logic.
• Phần lớn học sinh bị hổng kiến thức về phân môn này, không vận dụng
được các định nghĩa, tính chất, phương pháp …. vào việc giải các bài tập nói
chung,chưa nắm được các phương pháp phân tích một đa thức thành nhân
tử,một cách có hệ thống và nhất là còn mơ hồ khi không biết nên sử dụng
phương pháp nào phù hợp cho từng bài toán.
•

Đôi khi, do sẵn có tâm lí ngại học hay sợ môn toán học nên càng khiến việc
giải một bài toán trở nên khó khăn hơn.Học sinh không biết bắt đầu từ đâu,
bắt đầu như thế nào? Trình bày ra sao? Lập luận như thế nào? Thậm chí có
cả những em học sinh khá giỏi vẫn mắc không ít lỗi trong cách lập luận.

Để khắc phục vấn đề này thì vai trò của người giáo viên giảng dạy lúc này rất quan
trọng.Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh định hướng các bước
giải cho bài toán một cách có hệ thống, giúp học sinh tìm phương pháp phù hợp
với bài toán đó, từ đó hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và trình bày
lời giải. Giúp HS phát triển tư duy và khả năng lập luận. Đồng thời đáp ứng nhu

cầu đổi mới phương pháp dạy học.
Với những lý do khách quan và chủ quan nêu trên, bản thân tôi đã mạnh dạn
chọn cho mình giải pháp “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8” để làm đề tài nghiên cứu trong năm học 2015 – 2016.


II.TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lí luận:
Trong trường THCS môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng
và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt là phân môn đại số kiến
thức trong bài tập lại rất phong phú rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học.
Bên cạnh đó yêu cầu bài tập lại cao, nhiều bài toán ở dạng đòi hỏi phải suy diễn
chặt chẽ lôgic và có trình tự.
Để có được cách giải cho một bài toán, người giáo viên cần đưa ra các bước giải
bài toán một cách cụ thể, có hệ thống từ việc tìm hiểu đề bài đến phân tích tìm
cách giải, cách trình bày bài giải và kiểm tra, sử dụng kết quả.
Trong các bước giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử thì bước tìm
tòi phương pháp phù hợp cho bài toán là bước quan trọng và khó khăn nhất, vì vậy
cần phải lựa chọn một phương pháp thích hợp nhất cho bước này.
Trong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì phương pháp nào
cũng đóng vai trò quan trọng nhưng các em phải tìm cho được phương pháp phù
hợp với bài mình cần giải. Từ đó giúp các em hệ thống lại kiến thức đã học có liên
quan.
2. Nội dung và biện pháp thực hiện đề tài:
Để phân tích được đa thức thành nhân tử thì học sinh cần phải nắm vững các
phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các
hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp. Ngoài ra, đối với học sinh khá, giỏi có thể
giới thiệu thêm một số phương pháp phân tích : Tách một hạng tử; thêm bớt cùng
một hạng tử……Vì vậy, giáo viên phải thực hiện được một số việc sau:
• Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.

• Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản.Bằng cách cho học sinh ghi nhớ
kiến thức liên quan hoăc sử dụng bản đồ tư duy để củng cố các phương
pháp


•

Tìm tòi thêm cho các em các cách giải mới hay có nhiều cách giải cho một
bài toán.Đối với các em khá giỏi có thể giới thiệu thêm một số phương
pháp khác

•

Tìm ra các sai lầm thường gặp của học sinh và biện pháp khắc phục các sai
lầm của các em

•

Trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử cần nêu cho các em những
chú ý quan trọng để trong quá trình làm bài các em không bị vấp phải sai
lầm hoặc vấp lại các sai lầm mà các em đã từng vấp phải

2.1.Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử:
2.1.1) Các phương pháp cơ bản:
* Phương pháp đặt nhân tử chung:
Phương pháp:
- Viết mỗi hạng tử thành dạng tích trong đó có một thừa số là nhân tử chung
- Đặt nhân tử chung đó ngoài dấu ngoặc phần trong ngoặc là các nhân tử còn lại
của dạng tích mỗi hạng tử
Theo công thức: A.B + A.C = A.(B + C).

Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên:
- Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử
- Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa
là số mũ nhỏ nhất của nó.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3x2 – 9x thành nhân tử.
Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của hs
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 3, Nhân tử chung của hệ số là 3
9 trong các hạng tử trên?
vì ƯCLN(3,9 ) = 3.
-Tìm nhân tử chung của các biến x2 Nhân tử chung của các biến x2 và x là x.
và x ?
Nhân tử chung của đa thức là 3x
-Khi đó nhân tử chung của đa thức là
bao nhiêu?
Giải:
3x2 – 9x = 3x.x – 3x.3 = 3x.(x – 3).


Ví dụ 2: (Bài 39e sgk/19 )
Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của hs
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10, 8 Nhân tử chung của hệ số là 2
trong các hạng tử trên?
vì ƯCLN(10;8)= 2
-Tìm nhân tử chung của của:
x(x – y) và y(y – x) ?

Nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x)
không có

- Sau đó giáo viên hướng dẫn thực hiện
đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích –8y(y –
x) để có nhân tử chung (x – y) hoặc (y –
x)?

Cách 1: Nếu đổi dấu tích
10x(x – y)= -10x(y - xy) thì nhân tử
chung của đa thức là (y –x).
Cách 2: Nếu đổi dấu tích
-8y(y –x)= 8y(x – y) thì nhân tử chung
của đa thức là (x – y)

Giải:
Cách 1: 10x(x – y) – 8y(y – x) = -10x(y –x) – 8y(y –x)
= (y –x)(-10x – 8y)
Cách 2: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x –y) + 8y(x-y)
= (x – y ) (10x + 8y)
 Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
* Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
Phương pháp:
Biến đổi đa thức về dạng một vế của hằng đẳng thức quen thuộc. Nhưng trước
khi làm các bài tập giáo viên nên cho học sinh viết lại các hằng đẳng thức hoặc viết
lại dưới dạng điền khuyết:
1. A2 + ....... + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = ...........
3. A2 – B2 = ..........
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = ..........

5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = ............
6. A3 + B3 = .............
7. A3 – B3 = …………
Giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng:


- Xác định các hạng tử và dạng hằng đẳng thức
- Sử dụng công thức hằng đẳng thức tương ứng để biến đổi đa thức thành dạng
tích
Ví dụ 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x2 + 6x + 9
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của hs
- Đa thức này có nhân tử chung không? - Không
-Đa thức có dạng hằng đẳng thức nào - Có dạng A2 + 2AB + B2 = (A + B )2
không?
- GV có thể hướng dẫn viết :
x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 để các em
thấy rõ nó có dạng A2 + 2AB + B2
- Yêu cầu hs làm bài:
Giải:
x2 + 6x + 9 = x2 – 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Hoạt động của giáo viên
- Đa thức này có nhân tử chung không?

8x3 -

1
8

Hoạt động của hs
- Không

-Đa thức có dạng hằng đẳng thức nào - Có dạng:
không?
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
- Chỉ rõ đâu là A và đâu là B
1
- Hãy viết :8x - dưới dạng A3 – B3
8
3

- Yêu cầu hs làm bài:

- Ta có : A=2x , B=

1
2
3

1
1
8x - = (2x)3 –  ÷
8
2
3

Giải:
3

1
1
8x - = (2x)3 –  ÷
8
2
3

3

1
= (2x) –  ÷
2
1
1
= (2x - )( 4x + x + )
2
4
3

* Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp: Nếu hạng tử của đa thức không có nhân tử chung hoặc không
có dạng hằng đẳng thức thì ta dùng tới phương pháp nhóm bằng cách:


- Sử dụng tính chất giao hoán , kết hợp của phép cộng ta nhóm các hạng tử
của đa thức cần phân tích một cách hợp lý sao cho mỗi nhóm xuất hiện nhân tử
chung hoặc hằng đẳng thức.
- Phân tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử
- Đặt nhân tử chung đối với đa thức thu được

. Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – xy +x –y thành nhân tử.
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của hs
- Đa thức này có nhân tử chung không? - Không
-Đa thức có dạng hằng đẳng thức nào - Không
không?
- GV có thể hướng dẫn nếu nhóm :
-Nhân tử chung là (x – y) vì :
2
(x – xy )+(x –y) có nhân tử chung
(x2 – xy )=x (x – y )
không ?
- Yêu cầu hs làm bài:
Giải: x2 – xy +x –y = (x2 – xy )+(x –y)
= x (x – y ) + (x –y)
= (x – y) ( x + 1)
. Nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức:
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 + 6x + 9 – y2 thành nhân tử.
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của hs
- Đa thức này có nhân tử chung không? - Không
-Đa thức x2 + 6x + 9 có dạng hằng đẳng - Có dạng : A2+2AB+B2=(A+B)2
thức nào không?
- GV có thể hướng dẫn nếu nhóm :
Vậy :
2
2
2
2

x + 6x + 9 – y = (x + 6x + 9) – y
x2 + 6x + 9 – y2 = (x2 + 6x + 9) – y2
-Biểu thức (x+3)2– y2 có dạng hằng
= (x+3)2– y2
đẳng thức nào?
- có dạng :A2 - B2 =(A – B)(A + B)
- Chỉ rõ đâu là A và đâu là B
- Với A = x+3, B =y ta có :
x2 + 6x + 9 – y2 = (x2 + 6x + 9) – y2
= (x+3)2– y2
= (x+3 – y)(x+3 +y)
Lưu ý: - Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải
thực hiện lại.
- Có những đa thức ta có thể có nhiều cách nhóm mà vẫn có thể phân tích được
Ví dụ 3 : Phân tích đa thức 2xy + 3z + 6y +xz thành nhân tử.


Giáo viên có thể cho 2 em lên nhóm theo 2 cách khác nhau để cho các em khác
trong lớp thấy được có những bài có thể có nhiều cách nhóm khác nhau nhưng
chúng đều đưa về cùng một kết quả
Giải:
HS1 :
HS2 :
2xy + 3z + 6y +xz
2xy + 3z + 6y +xz
= (2xy + 6y) + (3z + xz)
= (2xy + xz) + (3z + 6y)
= 2y(x + 3 ) + z (3 + x )
= x(2y + z ) + 3 (z + 2y )

= (x + 3 ) (2y + z )
= (x + 3 ) (2y + z )
* Phối hợp nhiều phương pháp :
Phương pháp:
- Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử
chung ra ngoài dấu ngoặc,sau đó phân tích tiếp đa thức trong ngoặc bằng
phương pháp nhóm nhiều hạng tử hay dùng hằng đẳng thức
- Trường hợp các hạng tử của đa thức không có nhân tử chung thì xét xem đa
thức có dạng hằng đẳng thức không ?nếu có ta thực hiện phân tích tiếp nếu
cũng không có dạng hằng đẳng thức thì ta suy nghĩ tới phương pháp nhóm
Ví dụ1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x3 + 2x2y + xy2 - 9x
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của hs

- Đa thức này có nhân tử chung - Nhân tử chung là x
không?
x3 + 2x2y + xy2 - 9x = x(x2 + 2xy + y2 - 9)
Đa thức trong ngoặc ta có thể phân - Nhóm hạng tử xuất hiện hằng đẳng thức
tích được nữa hay không ?
dạng :
A2+2AB+B2=(A+B)2 và dạng
A2 – B2 = ( A- B )(A+B)
Vậy : x3 + 2x2y + xy2 - 9x
= x(x2 + 2xy + y2 - 9)
= x[(x2 + 2xy + y2) – 9]
= x[(x+y)2 – 32]
= x(x+y – 3)(x+y + 3)

Ví dụ 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 2xy – x2 – y2 + 16
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của hs
- Đa thức này có nhân tử chung không?
- Không
- Nhóm đa thức như thế nào ?
Gợi ý : sử dụng tính chất giao hoán và 2xy – x2 – y2 + 16=16 –( x2 – 2xy + y2)
kết hợp của phép cộng
- Trong ngoặc có phân tích được nữa - Trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức
không ?
A - 2AB+B2=(A - B)2
2xy – x2 – y2 + 16=16 –( x2 – 2xy + y2)
= 42 - ( x – y)2
- Biểu thức 42 - ( x – y)2 có dạng hằng - Có dạng A2 – B2 = (A – B) ( A + B)
đẳng thức nào
Chỉ rõ đâu là A và đâu là B
- Với A = 4 và B = (x – y )
- Yêu cầu hs giải tiếp
Giải :
2xy – x2 – y2 + 16=16 –( x2 – 2xy + y2)
= 42 - ( x – y)2
= (4 - x + y) (4 + x - y)
2.1.2. Củng cố các phương pháp cơ bản :
Để học sinh nắm vững các phương pháp phân tích một cách tổng quát giáo viên
yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại các phương pháp cơ
bản để phân tích đa thức thành nhân tử dưới dạng sơ đồ tư duy và cho học sinh trình
bày lại.Sau đây là một ví dụ minh họa về cách tóm tắt các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử.

2.1.3. Một số dạng toán cơ bản :
Ngoài việc vận dụng các phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử
còn phải vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng dạng toán như:
- Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức:
+Ở dạng này giáo viên cần hướng dẫn các em không nên thay x vào tính
giá trị liền như vậy rất rối mà nên phân tích đa thức thành nhân tử trước
+ Sau đó mới thay x vào để tính giá trị thì phép tính sẽ gọn gàng hơn
Ví dụ :
Tính nhanh giá trị của các biểu thức P = x2- y 2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.
Gợi ý: Phân tích đa thức P = x2- y 2 – 2y – 1 thành nhân tử rồi thay số vào
tính.
Giải:
P = x2- y 2 – 2y – 1 = x2 –( y2 + 2y + 1) = x2– (y + 1)2= (x– y + 1)(x + y + 1).
Thay x = 93 và y = 6 vào biểu thức P ta được:
P = (93- 6 + 1) (93+ 6 + 1) = 88.100 = 8800.
- Dạng toán tìm x (dạng phương trình đưa được về dạng phương trình tích):
+ Đưa các hạng tử sang vế trái(hoặc phải) và cho vế còn lại bằng 0
+ Phân tích vế trái (Phải) thành nhân tử
+ Khi đó biểu thức có dạng pt tích là : A . B = 0
+ Đi giải A= 0 hoặc B= 0 để tìm x
1
4

Ví dụ : Tìm x biết: x3 − x = 0
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử.


1
1
1 

1

x 3 − x = 0 ⇔ x( x 2 − ) = 0 ⇔ x  x − ÷ x + ÷ = 0
4
4
2 
2

1

⇔ x = 0 hoặc  x − ÷ = 0 hoặc
2


⇔ x = 0 hoặc x =

1

 x + ÷= 0
2


1
1
hoặc x = −
2
2

- Dạng toán rút gọn phân thức đại số :
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử(nếu có) để có nhân tử chung

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó
7 x 2 + 14 x + 7
Ví dụ : Rút gọn phân thức
.
3x 2 + 3x

Gợi ý: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Giải:
7 x 2 + 14 x + 7 7( x 2 + 2 x + 1) 7( x + 1) 2 7( x + 1)
=
=
=
3x 2 + 3x
3 x( x + 1)
3 x( x + 1)
3x

- Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên cần giúp các em tìm tòi
những cách giải hay, khai thác bài toán một cách triệt để và giới thiệu cho học sinh
một số phương pháp khác:
2.2 Một số phương pháp dành cho hs khá – giỏi :
* Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác :
Tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học
như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết
sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.
Ví dụ : (Bài tập 53a sgk/24)
Phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử.
Giải:
Cách 1 : (tách hạng tử : –3x = –x–2x)
x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 = x(x – 1) – 2(x – 1)

= (x – 1)(x – 2)
Cách 2 : (tách hạng tử : 2 = - 4 + 6 )
x2 – 3x + 2 = x2 – 3x – 4 + 6 = (x2 – 4 ) – (3x – 6)
= (x- 2 ) (x + 2) – 3 (x – 2 )
= (x – 2 ) (x+ 2 – 3) = = (x – 2 ) (x- 1)
* Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử:
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.


Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Ta có thể phân tích:
Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm
Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất
xuất hiện hằng đẳng thức)
hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung)
Giải:
Giải:
x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= x4 + 2x2 +1 – x2
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
= x(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + 1)2 – x2
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d)-SGK-tr 25)
Gợi ý: Thêm 4x2 và bớt 4x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức).

Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 +
2x)
* Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp này dùng để hỗ trợ các em khi làm bài tập trắc nghiệm nhanh
và khi các em giải các bài toán qua mạng
Khi học phần phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa được học về phương
trình nhưng đối với các em khá giỏi giáo viên có thể trình bày phương pháp này
bằng cách cho các em sử dụng máy tính làm các thao tác của giải pt bậc 2;bậc 3
một ẩn để tìm nghiệm (các loại máy tính cầm tay thông dụng (fx500A, fx500MS,
fx570MS, fx500ES, fx570ES)).
* Phương trình bậc hai và bậc 3 có dạng: ax2 + bx + c = 0 ;
Giải phương trình dạng này trên máy tính FX 570MS PLUS thế hệ mới nhất
Ta ấn vào mode mà hình máy sẽ hiện ra các các dòng
1

:COMP

2

:CMPLX

3

:STAT

4

:BASE-N

5

:EQN

6

:MATRIX

7

:TABLE

8

:VECTOR

Ta ấn

5

rồi chọn

4

để giải phương trình bậc 3 và chọn

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 - 3x + 2
Ấn MODE 1lần màn hình hiện thị chọn 5 chọn

3

3

để giải pt bậc 2


Ấn tiếp hệ số 1 = ; hệ số -3 = ; hệ số 2 =
Ta được x1 = 2, ấn tiếp = , ta được x2 =1
Khi đó đa thức x2 - 3x + 2sẽ phân tích đươc là : x2 - 3x + 2= (x- 2)(x – 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 + x2 – x – 1
Cách làm tương tự
Ta được x1 = 1, ấn tiếp = , ta được x2 =1 ấn tiếp = , ta được x3 = -1
Khi đó đa thức x3 + x2 – x – 1 sẽ phân tích đươc là :
x3 + x2 – x – 1 = (x- 1)(x – 1)(x+1) =(x- 1)2(x+1)
2.3. Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán:
Trong tính toán, do học sinh chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên học
sinh thường nhầm lẫn. Từ đó, dẫn đến kết quả tính toán sai mà học sinh không hề
phát hiện ra.
* Sai lầm 1: Sử dụng sai tính chất phân phối:
Ví dụ : Khi phân tích đa thức 3(x - y) + 5x(x - y)thành nhân tử học sinh làm như
sau: 3(x - y) + 5x(y - x) = 3(x -y)+5x(x -y) =(x -y)+ (3+5x)
Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử là biến
đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức. Khi đặt nhân tử chung xong các
em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–”.
Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phép tính
tiếp theo là phép nhân.
Lời giải đúng:
3(x - y) + 5x(y - x) = 3(x -y)+5x(x -y) =(x -y)(3+5x)
* Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
Ví dụ : Phân tích đa thức 5 x + 10 x 2 y + 5 xy 2 thành nhân tử.

5 x + 10 x 2 y + 5 xy 2 = 5 x(2 xy + y 2 ) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Lời giải sai:
Sai lầm của học sinh là: Sau khi đặt nhân tử chung hạng tử thứ 1 chỉ có 5x nên
khi đặt nhân tử chung là 5x thì hạng tử đó bằng 0
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích 5x = 1.5 x thì
khi đặt nhân tử chung 5x thì học sinh vẫn còn nhìn thấy số còn lại là 1.
Lời giải đúng: 5 x + 10 x 2 y + 5 xy 2 = 1.5 x + 10 x 2 y + 5 xy 2 = 5 x(1 + 2 xy + y 2 )
* Sai lầm 3: Thực hiện thiếu dấu ngoặc trong quá trình phân tích:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

8x3 -

1
8

Lời giải sai:
3
1
1
3
8x = 2x –
8
2

3

3

1
(thiếu dấu ngoặc (2x) và  ÷ )

2
3

2

2
1
1
1
2
= (2x - )( 2x + x + ) (thiếu dấu ngoặc(2x)2 và  ÷ )
2
2
2
1
1
= (2x - )( 2x2 + x + ) ( kết quả sai)
2
2


Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả sai.
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A3 – B3).
Chỉ rõ đâu là A và đâu là B.Giáo viên nhấn mạnh cho hs khi A,B là các đa thức
thì cần phải phải dùng dấu ngoặc để ngoặc từng đa thức lại tránh sai dấu.
Lời giải đúng:
3

2

1
1
1
1
8x = (2x)3 –  ÷ = (2x - )[( 2x)2 + x +  ÷ ]
8
2
2
2
1
1
= (2x - )( 4x2 + x + )
2
4
3

Ở trường hợp này, giáo viên nên rèn cho học sinh cách trình bày ngay từ khi
học về những hằng đẳng thức. Nếu A hoặc B có từ hai nhân tử hoặc từ hai hạng tử
trở lên hoặc là phân số thì khi dùng hằng đẳng thức nên bỏ vào trong dấu ngoặc.
* Sai lầm 4: Phân tích chưa triệt để :
Ví dụ : (?2 sgk, trang 22, toán 8, tập 1)
Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đề bài: Hãy phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 –
9x thành nhân tử.
Bạn Thái làm như sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
Bạn Hà làm như sau:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9)= (x – 9)(x3 +
x)
Bạn An làm như sau:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 + x2)– (9x3 + 9x)
= x2 (x2 + 1)– 9x (x2 + 1)

= (x2 + 1)(x2– 9x)
= x(x– 9) (x2 + 1)
Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn.
Giáo viên cho học sinh nêu ý kiến của mình. Sau đó giáo viên chốt lại và nêu
ra các sai lầm mà Thái và Hà đã mắc phải đó là phân tích chưa triệt để còn bài
của bạn An đã phân tích triệt để.
Ví dụ:
Bạn Thái
Lời giải chưa triệt để
4
x – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
Lời giải hoàn chỉnh
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x– 9)]= x(x – 9)(x2 +
1)
Bạn Hà


Lời giải chưa triệt để
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x )
Lời giải hoàn chỉnh
x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x )
= (x – 9).x.(x2 + 1)
Ở trường hợp này giáo viên cần rèn cho học sinh cách đặt nhân tử chung
một cách triệt để. Nên tìm hết nhân tử chung của các hạng tử và chỉ dừng lại công
việc phân tích khi không còn phân tích được nữa.
* Sai lầm 5: Không biết cách đổi dấu :
Ví dụ: Phân tích đa thức x(x – 1) – y(1 – x) thành nhân tử.

Lời giải sai:
x(x – 1) – y(1 – x) = (x – 1) (x – y)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Các em cho rằng (x – 1 ) = (1 – x)
Lời giải đúng:
x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) + y(x – 1)= (x – 1) (x + y)
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và
nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
Lưu ý: (A – B)2 = (B – A)2 còn (A- B) ≠ (B-A) và chú ý tới tính chất A = -(-A)
* Sai lầm 6: Đổi dấu sai khi đặt ngoặc để nhóm hạng tử :
Ví dụ : Phân tích đa thức 3x2y – 27y – 5x y+ 15y2 thành nhân tử.
Lời giải sai:
3x2y – 27y – 5x + 15 = (3x2 y– 27y) – (5x+ 15) (đặt dấu sai)
= 3x(x2 – 9) – 5(x + 3)
= 3x(x – 3)(x+3) – 5(x + 3)
= (x+3)[3x (x-3)-5]= (x+3)[3x2 -9x -5)]
Sai lầm của học sinh là:
Khi đặt ngoặc nhóm hạng tử đẳng trước ngoặc là dấu trừ mà không đổi dấu
Lời giải đúng:
3x2y – 27y – 5x + 15 = (3x2 y– 27y) – (5x - 15)
= 3x(x2 – 9) – 5(x - 3)
= 3x(x – 3)(x+3) – 5(x - 3)
= (x- 3)[3x (x+3)-5]= (x+ 3)[3x2 + 9x -5)]
Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:


Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú
ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu:

- Nếu nhóm các hạng tử và đặt dấu “+” ở trước dấu ngoặc thì giữ nguyên dấu
tất cả các hạng tử mang vào.
- Nếu nhóm các hạng tử và đặt dấu “–” ở trước dấu ngoặc thì phải đổi dấu tất
cả các hạng tử mang vào.
* Sai lầm 7: Vận dụng hằng đẳng thức chưa thành thạo.
Ví dụ : Phân tích đa thức x2 – 10xy + 25y2 thành nhân tử.
Lời giải sai: x2 – 10xy + 25y2 = (x- 25y)2
Sai lầm của học sinh là: dùng hằng đẳng thức A2 – 2AB + B2 chưa thấy rõ
đâu là B và đâu là B2 ( B2 = 25y2 = (5y)2 do đó B = 5y)
Lời giải đúng: x2 – 10xy + 25y2 = x2 – 2 . x .5y + (5y)2= (x- 5y)2
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng các hằng đẳng
thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa các hạng tử về đúng dạng.
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khó
khăn trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :
Qua thực tế giảng dạy,Việc rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì
kết quả nhận được là:
- Học sinh từ chỗ “sợ” không biết bắt đầu một bài tập từ đâu đã trở nên biết
cách giải một bài toán qua các bước cụ thể, có hệ thống.
- Phương pháp này đã giúp học sinh nhận ra vấn đề rõ ràng hơn. Biết tìm hướng
giải quyết cho một bài toán cụ thể góp phần nâng cao chất lượng học toán nói
chung và môn Đại số nói riêng.
- Giúp các em giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. Qua đó,
tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai
thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự
nghiên cứu của các em.
- Số liệu thống kê trước và sau khi thực hiện đề tài :


IV.ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:

Qua thực tế giảng dạy, Khi rèn kĩ năng dể giải bài toán Phân tích đa thức
thành nhân tử, tôi nhận thấy có một số ưu điểm nổi bật sau:
- Phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo giúp học sinh có “chìa khoá” để
“mở” hầu hết các bài toán trong phân môn đại số.
- Xây dựng phương pháp khoa học, logic, không sót các yếu tố liên quan.
- Phương pháp tìm tòi lời giải cho bài toán có thể được sử dụng rộng rãi với
nhiều loại bài toán khác nhau. Khi đã thành thạo Phân tích đa thức thành nhân tử
thì nhiều khi không cần phải ghi rõ các bước trung gian mà có thể tư duy trong
đầu, rồi tiến hành ngay việc trình bày lời giải để tiết kiệm tối đa thời gian cần thiết.
- Qua rèn kĩ năng để phân tích một bài toán một bài toán sẽ giúp học sinh rèn kĩ
năng phân tích, tổng hợp, tư duy logic và kĩ năng trình bày bài giải.
Để giải được bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử một cách hiệu quả cần
lưu ý một số điều sau:
*Đối với giáo viên:
-Nghiên cứu kĩ tài liệu, chuẩn bị trước các bài tập về: Kiến thức có liên quan,
phương pháp giải, hệ thống câu hỏi, các cách giải khác nhau ……
-Có thể phân loại đối tượng HS để có phương pháp hướng dẫn và hệ thống câu
hỏi phù hợp.
-Trong quá trình giảng dạy, cần tạo cho HS sự yêu thích, động cơ để tìm cách
giải của bài toán.
-Phát huy tính tích cực, năng động, sáng tạo của HS.
*Đối với HS:
-Nắm chắc kiến thức cơ bản bao gồm các định nghĩa, tính chất, công thức …..
có liên quan đến bài toán.
-Đồ dùng học tập đầy đủ, ghi chép cẩn thận, chú ý trong giờ học.
-Có thể tham khảo thêm các dạng tài liệu có liên quan.
Khi viết đề tài, tôi đã cố gắng nghiên cứu thực trạng môn Đại số của học sinh
trong trường THCS Vĩnh Tân. Song cũng không tránh khỏi những thiếu sót do

kinh nghiệm và năng lực còn hạn chế. Rất mong quý thầy cô đóng góp để đề tài
được hoàn thiện hơn.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán 8 Tập I, II - Phan Đức Chính (Chủ biên) – NXB Giáo dục – năm 2004.
2. Sách giáo viên Toán 8 Tập I, II - Phan Đức Chính– NXB Giáo dục – năm 2004.
3. Vở Bài tập Toán 8 Tập I, II-Nguyễn Văn Trang – NXB Giáo dục–năm 2004
4. Sách Thiết kế bài giảng Toán 8 - tập I, II - Nguyễn Hữu Thảo - NXB Hà Nội –
năm 2004.
5. Một số vấn đề về đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS môn Toán - Bộ
Giáo dục và Đào tạo – năm 2004.
6. Tài liệu tập huấn “Dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn kiến thức, kĩ năng
trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp THCS – năm 2010” của Bộ
Giáo dục và đào tạo.
7. Sách thiết kế bản đồ tư duy dạy – học môn Toán – Trần Đình Châu – Đặng Thị
Thu Thủy – NXB Giáo Dục Việt Nam
8. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm đại số 8 - Nguyễn Văn Lộc – NXB Giáo
dục Việt Nam
9. Toán 8 cơ bản và nâng cao – Vũ Thế Hữu - NXB Giáo dục Việt Nam
10.
SỞ DG&ĐT ĐỒNG NAI
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Tân
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Vĩnh Tân, ngày

tháng

năm 2015

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2015 – 2016
Tên sáng kiến kinh nghiệm: RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
NHÂN TỬ
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thương , Đơn vị (Tổ): Toán - Tin
Lĩnh vực:
Quản lý giáo dục

Phương pháp dạy học bộ môn : Toán

Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác

1. Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

2. Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng trong toàn ngành có hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 


- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng tại đơn vị có hiệu quả

3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính

sách:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực
hiện và dễ đi vào thực tiễn: Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt 
Khá 
Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Kí tên và ghi rõ họ tên)

Phòng GD & ĐT Vĩnh Cửu
Trường THCS Vĩnh Tân
Tổ Toán - Tin

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Kí tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – tự do – Hạnh phúc

PHIẾU ĐÁNH GIÁ CHUYÊN ĐỀ / SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thị Thương
Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Tân
Tên đề tài: RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
ĐÁNH GIÁ

Các mặt
Yêu cầu
Điểm
Có thể áp dụng cho nhiều bài, nhiều chương,
Phạm vi đề tài
cả chương trình (Tối đa 1.5 điểm)
Trình bày đẹp, bố cục hợp lý, diễn đạt mạch
Hình thức
lạc (Tối đa 1.5 điểm)
Nội dung
Có tính khoa học, chính xác (tối đa 2 điểm)
Tính sáng tạo ( Tối đa 2 điểm)
Có thực tiễn, hiệu quả sự dụng cao (Tối đa 3
điểm)
Tổng điểm:……../10


Xếp loại:……….
Giám khảo 1
(Chữ ký, họ tên)

Giám khảo 2
(Chữ ký, họ tên)

Giám khảo 3
(Chữ ký, họ tên)

………………………

…………………………

……………………….