Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 43 trang )

Trờng thcs hồng thủy

CC DNG ễN THI VO THPT
-

Phơng pháp:

Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất.
Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài.

*Tính giá trị của A tại x=?
* Tìm giá trị của xz
* Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A
* Tìm giá trị của x để A.f(x) =g(x)
* Tìm giá trị của x để A=k; A k;A k
* Tìm x để A > A .
*Tìm x để A > A .

Dạng 1

x
2
1

+
):
x 1 x x
x 1
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x 1.
x
2
1
x
2
1
+
):
=(
+
):
Rút gọn A = (
x 1 x x
x 1
x 1
x 1
x( x 1)
Bài 1 Cho biểu thức

A=(

( x )2 + 2

x 1 (x + 2)( x 1) x + 2
A=
.
=
=
x ( x 1) 1
x ( x 1)
x
b. Khi x= 3-2 2 = ( 2 1) 2

A=

3 2 2 + 2
( 2 1) 2

=

(

)(

52 2
52 2
=
1
2 1

) =1+ 3

2 +1

2
Bài 2: Cho biểu thức

1
3
1
A=

:
ữ
x +3 x 3
x 3
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
1
b) Với giá trị nào của xthì A >
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
Bài giải:

Gv: Nguyễn Văn Lợi

1

Trờng thcs hồng thủy
a) ĐKXĐ x 0; x 9

(
)(

x + 3
1
3
1
A=

:
=
ữ
x + 3 x 3
x 3
x 3

(

).
x + 3)
x 3

x 3=
3

(

6

x 3

)(

x +3

).

x 3
3
2
x +3
1
b) A >
3
A=

2
1
>
x +3 3

2
1
3 x
>0
>0
x +3 3
3 x +3

(

)

3 x > 0 ( vì 3( ( x + 3) > 0) x < 9 x < 9
Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 x 9 thì A > 1/3.
2
c) A =
đạt giá trị lớn nhất khi x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất.
x +3

(

)

2
= 3 x = 0 x = 0 lúc đó AMax= x = 0.
min
3
1
1
3
Bài 3: Cho biểu thức P =
+
:
ữ
x +1 x +1
x 1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
5
b) Tìm các giá trị của x để P =
4
x + 12 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
.
x 1 P
x +33

Mà

x +3

Bài giải:
a) ĐKXĐ x 0; x 1

3
1
3+ x 1
x +1

P=
=
+
=
.
1
x 1 x +1
x + 1 ( x 1) x + 1

x +2
x +1
x +2

=
x 1
x +1 x 1

(
(

(

)(
)(

)(

)
)

)

(

b) P = 5 x + 2 = 5 4 x + 2 = 5
4
x 1 4
x = 13 x = 168 (TMĐK)

(

) (

)

)

x 1 4 x + 8 = 5 x 5.

Gv: Nguyễn Văn Lợi

2

Trờng thcs hồng thủy
c) M = x + 12 . 1 = x + 12 . x 1 = x + 12 = x 4 + 16 =
x 1 P
x 1 x + 2
x +2
x +2
16
16
16
x 2+
= x +2+
4 ta có
x +2+
2 16 = 2.4 = 8
x +2
x +2
x +2
16
M 8 4 = 4 M min = 4 x + 2 =

x +2

(
(

)
x + 6) (

2

x + 2 = 16

)

(

x +2+4

)(

)

x +24 =0

x 2 = 0 x 2 = 0 x = 4(TMDK)
Vậy Mmin= 4 x = 4 .
2 x
x
3x + 3 2 x 2

Bài 4: Cho biểu thức: D =
+

1ữ
ữ:
x

9
x
+
3
x

3
x

3

a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
1
b) Tìm x để D < 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Dạng 2

a+2 a
a a

Bài 1 :Cho biểu thức: P =

1ữ:
+ 1ữ
a +2
a 1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a z để P nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ: a 0;a 1
a a +2
a a 1

a 1
P=
1
+ 1 = a 1 : a + 1 =

a +2
a 1
a +1

b) P = a 1 = 1 2
a +1
a +1
2
để P nhận giá trị nguyên thì
nhận giá trị nguyên dơng. a + 1 thuộc ớc da +1

ơng của 2.
a +1 =1
a = 0
a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)

a
=
1

a + 1 = 2
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
1
1

Bài 2: Cho biểu thức B =
2 x + 3 1 2 x + 3 +1
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.

(

)

(

)

(

(

)(

) (

Gv: Nguyễn Văn Lợi

)

)

3

Trờng thcs hồng thủy
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ x 3; x 2
B=

2

(

1

) 2(

x + 3 1

1

)

x + 3 +1

b) B nhận giá trị nguyên khi

x + 3 +1

=

(

)=

x + 3 1

2 ( x + 3 1)

2
1
=
2( x + 2) x + 2

1
nhận giá trị nguyên.
x+2

x + 2 Ư(1)
x + 2 = 1
x = 1
thoả mãn điều kiện

x
+
2
=

1
x
=

3

Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên
2
2 x 1)
Bài 3: Cho biểu thức: P = x x 2x + x + (
x + x +1
x
x 1
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức Q = 2 x nhận giá trị nguyên.
P

Dạng 3

1
x +1
1
+
:
Bài 1: Cho biểu thức: P =
2
ữ
x x 1 x 1 x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0

(

)

Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x 1
2

1

x
1
1
x +1
1+ x

1 x
P=
+
:
.
=
2 =
x 1 x 1 x 1 x
x +1
x
x 1 x

b) P > 0 1 x > 0 1 x > 0 ( vì x > 0) x < 1 x < 1.
x
Kết hợp với ĐKXĐ: 0 < x < 1 thì P > 0
1 a +1
a +2
1
Bài 2: Cho biểu thức: P =

:

ữ
ữ
a a 2
a 1
a 1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P

b) Tìm giá trị của a để P > 0
2
x 2
x + 2 (1 x)
Bài 3 : Cho biểu thức: P =

ữ.
2
x

1
x
+
2
x
+
1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

(

)

(

)

(

Gv: Nguyễn Văn Lợi

)

(

)

4

Trờng thcs hồng thủy
b) Tìm x để P <
Bài 4:

1
2

Cho biểu thức: P =

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
1
b) Tìm x để P <
2

x
3
6 x 4
+

x 1
x 1
x +1

1 a a
1 + a a

Bài 5: Cho biểu thức: B =
+ a ữ
aữ
1 a
1 + a

a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B
b)Tìm a để B < 7- 4 3
a
1 1
2
Bài 6: Cho biểu thức: K =

ữ:
ữ
a 1 a a a +1 a 1
a) Rút gọn biểu thức K
b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0

Dạng 4

x
1
1
Bài 1 : Cho biểu thức: A =

ữ:
x 1 x x x 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A. x = m x có nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x 1

x

x
1
1
1
: 1
A=

=

ữ:
x x 1 x 1
x 1 x x x 1 x 1

(

=

(

( x)

2

1

)

x 1

b) A < 0
A<0

x

.

)

x 1 x 1
=
1

x

x 1
< 0 x 1 < 0 (vì
x

x < 0 ) x < 1 kết hợp với ĐKXĐ 0
Gv: Nguyễn Văn Lợi

5

Trờng thcs hồng thủy
x 1
. x = m x x 1 = m x (1)
x
x 1 = m x x + x ( m + 1) = 0(*)
Đặt x = t >0 ta có phơng trình t 2 + t ( m + 1) = 0 ( *) để phơng trình (1) có nghiệm
thì phơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
= 1 + 4 ( m + 1) 0
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì: ( m + 1) < 0

c) P.t: A. x = m x

5

4m + 5 0
m

4 m > 1 Vậy m>-1 và m 1 thì pt A x = m x có
m + 1 > 0

m > 1

nghiệm.

1
1

Bài 2: Cho biểu thức: P = 1 +
ữ.
x 1 x x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P. 5 + 2 6.

(

)

2

x 1 = x 2005 + 2 + 3.

Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x 1

1
1
x
1

P = 1 +
=

ữ.
x 1 x x x 1

x x 1

1
1
2 =
b) Khi x= 25 P =
16
25 1

(

c)

P. 5 + 2 6.

(

ữ P=
ữ

(

)

(

2+ 3 .

1

(

)

x 1

2

)

)

x 1

2

= x 2005 + 2 + 3

1

(

)

x 1

.

2

) (
2

)

2

x 1 = x 2005 + 2 + 3

2 + 3 = x 2005 + 2 + 3 x = 2005 TMĐK
Vậy x = 2005 thì P. 5 + 2 6

(

)

2

x 1 = x 2005 + 2 + 3
Dạng 5

1
1
1
Bài 1: Cho biểu thức A =
+
ữ.1 +
ữ
x +1
x
x 1
a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.

Gv: Nguyễn Văn Lợi

6

Trờng thcs hồng thủy
1
b)Tính giá trị của A khi x= .
4
c)Tìm giá trị của x để A > A.
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .
1

1
1
A=
+
ữ. 1 +
ữ=
x + 1
x
x 1

(
( x 1) (
2 x

)
x + 1)

x +1

x

A =

x + 1+ x 1

(

)(

)

x 1

x +1

x +1
=
x

.

2
x 1

1
A=
b) Khi x = 4

2
2
=
= 4
1
1
1
1
2
4
2
c) A > 0 0 < A < 1 0 <

< 1.
x 1
2
+0 <
x 1 > 0 x > 1( 1)
x 1
2
2
x 3
<1 1
>0
>0
x 1
x 1
x 1
x 3 > 0

x > 9 Vậy x > 9 thì A > A
x 1 > 0
x
2 x 1

Bài 2: Cho biểu thức: A =
x 1
x x 1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A > A
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .

+

(

A=

x
2 x 1

x 1
x x 1

(

)

( x)
=

x

2

(

)

2 x +1

)

x 1

=

(
x

(

)

x 1

2

)

x 1

=

x 1
x

b) Khi x=36 A = 36 1 = 5
6
36
c) A > A A < 0 x 1 < 0 x 1 < 0 (vì x > 0 )
x

x < 1 x < 1 Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A > A

Gv: Nguyễn Văn Lợi

7

Trờng thcs hồng thủy

Chuyên đề tam thức bậc hai
A.lý thuyết

I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiêm
phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax 2 +bx+c=0(a 0)
= b 2 4ac .Nếu b =2b ' thì ' = b ' 2 - ac

1. Phơng trình có nghiệm khi .
Ta có thể xét hai trờng hợp:
+Trờng hợp 1:

- Nếu a = 0,phơng trình có nghiệm x=
+Trờng hợp 2 :

{
{

c
.
b

{

a 0
a 0
hoặc
0
' 0
2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi .
a 0
a 0
hoặc
>0
' > 0

{

3.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{

{

{

{

a 0
a 0
hoặc

= 0
' =0
4. Phơng trình vô nghiệm khi.
a 0
a 0
hoặc
<0
' <0
Ví dụ1:
Cho phơng trình 2x 2 -(4m+3)x+2m 2 -1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:
=(4m+3) 2 -4.2(2m 2 -1)=24m+17.
a.Phơng trình có nghiệm khi .

Gv: Nguyễn Văn Lợi

8

Trờng thcs hồng thủy

{

{

a 0

20
17

m
24m +17 0
0
24
b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.

{

a 0
>0

{

2 0
24m +17 > 0

m>

c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{

a 0

= 0

17
2 0

m
=
24m +17 =0
24

d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{

a 0
<0

17
24

{

20
24m +17 < 0

m<

17

24

Ví du 2 :
Cho phơng trình mx 2 -2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:
Ta có :a 0 m 0 , ' = b '2 -ac= ( (m 1) ) 2 -m(m-4)=m 2 -2m+1-m 2 +4m=2m+1
a.Phơng trình có nghiệm khi .
+Trờng hợp 1:
c m 4
- Nếu a=0 m=0 ,phơng trình có nghiệm x=
=2.
b 2(m 1)
+Trờng hợp 2 :

{

a 0
0

{

m 0
2m +10

m 0

m 1
2

b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi.

{

a 0
>0

{

m0
2m +1>0

mo
1
m 2

Gv: Nguyễn Văn Lợi

9

Trờng thcs hồng thủy
c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{

a 0
=0

{

m0
1
m = 2

m 0
2m +1=0

d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{

a 0

< 0

{

m 0
2m +1<0

m 0
1
m < 2

II . Hệ thức vi-ét và ứng dụng.
1. Hệ thức vi- ét

Nếu x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0) thì x 1 + x 2 =
1

.x 2 =

b
và
a

x

c
a

Ví dụ . Tính nhấm nghiêm của phơng trình x 2 -7x+12=0
Giải.
Ta có = b 2 4ac =(-7) 2 -4.12=49-48=1>0
Theo định lý Vi-ét x 1 + x 2 =

b
c
=7, x 1 .x 2 = =12 x 1 =3; x 2 =4
a

a

2.áp dụng để tính nhấm nghiệm .
Cho phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0)
-Nếu a+b+c=0 thì x 1 =1và x 2 =

Ví dụ :

c
a

Giải phơng trình 3x 2 -7x+4=0
Giải. Ta có a+b+c=3+(-7)+4=0
x 1 =1và x 2 =

c 4
=
a 3

-Nếu a-b+c=0 thì x 1 =-1và x 2 =

Ví dụ :

c
a

Giải phơng trình 7x 2 -5x-12=0
Giải.
Ta có a-b+c=7-(-5)+(-12)=0
x 1 =-1và x 2 =

c 12
=
a
7

3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm
Cho phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0)
cú 2 nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm .
Ta lp bng xột du sau:
Du nghim

x1

x2

S = x1 + x2

P = x1 x2

Gv: Nguyễn Văn Lợi

iu kin chung
10

Trờng thcs hồng thủy
trỏi du

cựng du,
cựng dng,
cựng õm

m

+

+

P<0
P>0
P>0
P>0

S>0
S<0

0
0
0

0

0 ; P < 0.
0 ;P>0
0 ;P>0;S>0
0 ; P > 0 ; S < 0.

Ví dụ :

Cho phơng trình x 2 +(2m+2)x+m 2 -4=0
Có hai nghiệm trái dấu
Có hai nghiệm cùng dấu
Có hai nghiệm dơng
Có hai nghiệm âm
Giải :
= b 2 - 4ac = (2m+2) 2 - 4(m 2 -4) = 4m 2 + 8m + 4 - 4m 2 -16 = 8m -12
* Có hai nghiệm trái dấu
c
x 1 .x 2 = = m 2 - 4 = (m+1)(m-1)<0
a
-Trờng hợp 1. -1< m <1
-Trờng hợp 2. m <-1 và 1 < m
*Có hai nghiệm cùng dấu

{

8m120
x .x = c =m 4>0

a

'

0 ( 0)

x1 .x 2 > 0

1

2

2

*Có hai nghiệm dơng

{

0( ' 0)

x1 + x 2 >0;x1 .x 2 >0

3
m

2

m <2;m > 2

m>2

8m 120
x + x = b = ( 2 m+ 2)>0;x .x = c = m 4>0

a
a
1

2

1

2

2

m 32
m<1;m<2;m >2

m>2

{

=8m 12 b0
c
x + x = = ( 2m + 2) < 0;x .x = = m 4 > 0

a

a

*Có hai nghiệm âm khi
0( ' 0)
x1 + x 2 <0;x1 .x 2 >0

m>2

1

2

1

2

2

3
m

m >21;m <2;m > 2

4.áp dụng để xác định hai số biết tổng S và P của chủng
-Nếu hai số x 1 ,x 2 sao cho x 1 +x 2 =S, x 1 .x 2 =P thì x 1 ,x 2 là nghiệm phơng trình
x 2 -Sx+P=0

Ví dụ:

Tìm hai số, biết tổng của chủng là 15 và tích của chủng là 54.
Giải :

Gv: Nguyễn Văn Lợi

11

Trờng thcs hồng thủy
Nếu hai số phải tìm là x 1 ,x 2 sao cho x 1 +x 2 =S =15, x 1 .x 2 =P=54 thì x 1 ,x 2 là nghiệm phơng trình
x 2 -15x+54=0
=(-15) 2 -4.54=225-216=9; =3
15 + 3
15 3
x1 =
= 9; x2 =
=6
2
2
Vậy hai số cần tìm là 9 và 6.

b.Bài tập
Bài tập 1.

Cho phơng trình (m-4)x 2 -2mx+m-2=0,trong đó m là tham số
a.Giải phơng trình khi m=3.
b.Tìm m để phơng trình có nghiệm x= 2 .
c.Tìm m để

-phơng trình có nghiệm kép
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Giải :
a.với m=3 ta có -x 2 -6x+1=0
' =(-3) 2 +1=10; ' = 10
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x 1 =-3- 10 ; x 2 =-3+ 10
b. Phơng trình có nghiệm x= 2 ,thay vào phơng trình ta có
(m-4)2-2 2 m+m-2=0 m=10(3+2 2 )
c.-Phơng trình có nghiệm kép khi

{

a 0
'=0

{

m 4
'= m2 (m 4)(m 2) = 0

m 4
4
m= 3

4
3

m
1
b
=
=
=
a m4 4 4 2
3
-Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Ta có x 1 = x 2 =

{

a 0

' >0

'

m 4
m >4
3
4

4

Công thức tính nghiệm của phơng trình là x 1 = m + m 3 ; x 2 = m m 3

Bài tập 2.

m4

Giải và biện luận phơng trình
a.2x 2 - (2-k)x=k(k-2).
b.(2k-1) 2 x 2 -4kx+1=0.

Gv: Nguyễn Văn Lợi

m4

12

Trờng thcs hồng thủy
Giải :
a.Phơng trình đã cho có thể viết 2x 2 -(2-k)x-k(k-2)=0
=(2-k) 2 +8k(k+2)=4-4k+k 2 +8k 2 +16k=9k 2 +12k+4=(3k+2) 2 0 với mọi k.
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi k .
1
1
b.- Nếu 2k-1=0 hay k= thì -4kx+1=-2x+1=0,ta có nghiệm x= .
2
2
1
- Nếu 2k-1 0 hay k thì ta tìm đợc ' =(-2k) 2 -(2k-1) 2 =4k 2 -4k 2 +4k-1=4k-1 0
2
1
Tức là k ,phơng trình có nghiệm.
4
1

1
Vậy với k > và k phơng trình có hai nghiệm phân biệt
4
2
2k + 4k 1
2k 4k 1
x1 =
;x 2 =
2
(2k 1)
(2k 1) 2
1

'
2k
1
b
2 = 2
Với k = phơng trình có một nghiệm kép x 1 = x 2 =- =
=
2
4
a (2k 1) ( 1 1) 2
2
1
Với k < thì phơng trình vô nghiệm
4

Bài tập 3.

Cho phơng trình x+7x-5=0.Không giải phơng trình hãy tính .
a.Tổng và tích của hai nghiệm
b.Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm
c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm
Giải :
Ta thấy rằng phơng trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu.
a.Tổng của hai nghiệm là S=x 1 +x 2 =-7 và tích của hai nghiệm là P= x 1 .x 2 =-5.
1 1 x 2 + x1 7 7
+
=
=
=
b. Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là
x1 x 2
x1.x 2
5 5
c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
x12 + x 2 2 = (x1 + x 2 ) 2 2x1x 2 = ( 7) 2 2(5) = 49 + 10 = 59
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm là (x1 x 2 ) 2 = x12 + x 2 2 2x1.x 2 = 59+10=69.
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm là
x13 + x 23 = (x1 + x 2 )3 3x1.x 2 (x1 + x 2 ) = (7)3 3( 5)(7) = 343 105 = 448.

Bài tập 4.

Cho phơng trình 2x 2 +(2p-1)x+p-1=0
a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
b.Tìm p để cả hai nghiệm đều dơng.
c.Tìm một hệ thức không phụ thuộc vào p.

Giải :

Gv: Nguyễn Văn Lợi

13

Trờng thcs hồng thủy
a.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi =(2p-1) 2 - 4.2(p-1)=(2p-3) 2 > 0 p
b.Phơng trình có hai nghiệm đều dơng ta giải hệ phơng trình

3
2

x + x = ab >0 122p >0 p< 12
x .x = c >0 p1>0 p>1

a
2

1

1

2

2

Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều dơng.
1 2p

p 1
1 2p 2p 2
1
c. Do S= x1 + x 2 =
và P= x1.x 2 =
nên ta có :S+2P=
+
=
2
2
2
2
2
1
Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào p là x1 + x 2 + 2x1.x 2 =
2

Bài tập 5.

Cho phơng trình x 2 - mx + m-1=0 với m là tham số .
a.Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b.Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm .Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x12 + x 2 2 .
Giải .
a.Ta có = m 2 4(m 1) = m 2 4m + 4 = (m 2) 2 0m ,vậy phơng trình luôn có
nghiệm với mọi m .
b. A= x12 + x 2 2 = x12 + x 2 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = m 2 -2(m-1)= m 2 -2m+2=
m 2 -2m+1+1=(m-1) 2 +1 1 m A nhỏ nhất bằng 1 khi (m-1) 2 =0 m=1

Bài tập 6.

Cho phơng trình x 2 - 2x + m =0 với m là tham số .
a.Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 đều là số dơng.
b. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 thỏa mãn :
x1 x 2
10
+
=
x 2 x1
3
Giải:
a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là :

{

' > 0
S>0,P >0

{

1 m >0
2 >0,m >0

{ mm<>10 0 < m < 1

b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt ' =1-m > 0 m<1(1)
Khi đó S=x 1 +x 2 =2 và P= x 1 .x 2 = m nên :
x1 x 2
10

x 2 + x 2 2 10
(x + x 2 ) 2 2x1x 2 10
+
= 1
=
1
=
x 2 x1
3
x1.x 2
3
x1x 2
3
S2 2P 10
4 2m 10
Điều kiện m 0 (2)
=

=
P
3
m
3
Ta có 3(4-2m)=-10m 4m=-12 m=-3 thỏa mãn (1),(2).

Bài tập 7.

Cho phơng trình x 2 + 2(m+1)x + m 2 =0 ,với m là tham số .
a.Giải phơng trình khi m=2 .

Gv: Nguyễn Văn Lợi

14

Trờng thcs hồng thủy
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
c.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một
nghiệm bằng (-2).
Giải:
a.Khi m=2 thay vào phơng trình ,ta có x 2 + 6x + 4=0
' =3 2 -4=5, = 5
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x 1 = -3+ 5 , x 2 =-3- 5 .
b.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi ' =(m+1) 2 - m 2 =2m+1>0 m >
c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2).
1
- Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi ' >0 m >
2
- Theo hệ thức Vi- ét ta có

x + x = ab
x .x = c

a
1

2

1

2

{

x1 + x 2 =2( m +1)
x1 .x 2 = m 2

1
2

(1)

- Theo giá thiết , phơng trình có một nghiệm bằng (-2) , giả sử x 1 =-2 .Từ hệ phơng trình
(1) ta có

x =2(m +1)+ 2
(2)
m
x = 2
2

2

2

-Từ hệ phơng trình (2), rút gọn hai vế ta có m 2 +4m=0 m(m+4)=0

{

m =0
m =4

1
.
2
Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng
(-2).
Với m=-4 (loại),m=0 (thỏa mãn) điều kiện m >

Bài tập 8.

Cho phơng trình (m+1)x 2 + 5x + m 2 -1=0 ,với m là tham số .
a.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có
một nghiệm bằng 4.
Giải:
a.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi

a 0
m +10
m 1
m 1
x .x = c <0 m 1 { m 1<0 { m<1
a

m +1 <0
2

1

2

b.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4.

Gv: Nguyễn Văn Lợi

15

Trờng thcs hồng thủy
-áp dụng hệ thức Vi-ét ta có

x + x = ab
x .x = c

a
1

2

1

2

x + x = m5+1

(I)

m 1

x .x = m +1
1

2

2

1

2

Thay giá trị x 1 =4 vào (I) ta có m 2 +16m+35=0 m 1 =-8+ 29 ;m 2 =-8- 29
Các giá trị m 1 , m 2 đều thỏa mãn điều kiện m<1 và m -1
Vậy m=-8+ 29 ;m=-8- 29 phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó
có một nghiệm bằng 4.

Bài tập 9.

Cho phơng trình (m+1)x 2 - 2(m-10x + m-3 =0 ,với m là tham số .
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m khác (1).
b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
c. Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm đó có nghiệm
này gấp đôi nghiệm kia .
Giải :
a.Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi

{

a 0
'

>0

{

m 1

{
4>0
( m 1) (m +1)(m 3) > 0
m +1 0

2

Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m -1.
b.-Theo câu a ,ta đã có >0 với mọi giá trị m -1
-Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi
c
m3
x1.x 2 = > 0
>0
a
m +1

{
{

m >
3 0
m+
1>
0
m <
3 0
m+
1<
0

{
{

m>3
m>1
m<3
m<1

m >3
m <1

Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi m>3 hoặc m<-1
c.Theo câu a ,b phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi >0 và x1.x 2 =
hoặc m<-1.
Mặt khác theo hệ thức Vi-ét ta có :

x + x = ab
x .x = c

a
1

1

2

2

c
> 0 ta có m>3
a

2( m 1)
x +x =

x x = m 3m +1 (I)
m +1
1

2

1 2

Với giả thiết cho x 1 =2x 2 ,thay vào (I) ta có

Gv: Nguyễn Văn Lợi

16

Trờng thcs hồng thủy

3x = 2(mm+11)
2x = m 3
m +1
1

2
1

2

2(m 1)
m3

=

3(m + 1) 2(m + 1)

Rút ra ta đợc : m 2 - 2m- 35 = 0 m 1 =-5 ;m 2 =7 .Với giá trị m 1 ;m 2 đều thỏa mãn điều
kiện m >3 và m <-1.
Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi m=-5
hoặc m=7.

Bài tập 10.

Cho phơng trình m(x 2 -4x+3)+2(x-1)=0
1
a.Giải phơng trình khi m=- .
2
b. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c.Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên.
Giải:
1
a.Với m=- .Ta có x 2 -8x+7=0
2
c
Có a+b+c = 1+(-8)+7 = 0 x 1 =1;x 2 = =7.
a
b.Phơng trình đã cho trở thành : mx 2 -2(m-1)x+3m-2=0 (1)
+ Với m=0 ,(1) 2x-2=0 x=1.
+ Với m 0 : ' = 4m 2 4m + 1 3m 2 + 2m = m 2 2m + 1 = (m 1) 2 0 m .
Vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c.Ta có m(x 2 -4x+3)+2(x-1)= (x-1) [ m(x 3) + 2] = 0
Xét phơng trình m(x-3)+2 = 0
3m 2
2
Để phơng trình có hai nghiệm thì m 0 khi mx-3m+2=0 x=
=3- .
m
m
Để phơng trình có hai nghiệm nguyên thì 2Mm hay m= 1;m= 2

Bài tập 11.

Cho phơng trình x 2 - (m+2)x+2m = 0 (1)
a.Giải phơng trình khi m=-1
b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn (x 1 +x 2 ) 2 - x 1 .x 2 5.
Giải:
a.Với m=-1 .Ta có x 2 - x-2 = 0 Có a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0 x 1 =-1,x 2 =2
b. Ta có: =(m+2) 2 -4.2m=m 2 + 4m + 4- 8m = m 2 - 4m + 4 = ( m- 2) 2 0 m . Vậy phơng trình có nghiệm m .
Ta có (x 1 +x 2 ) 2 - x 1 .x 2 =m 2 +2m+4 5 m 2 +2m+ 1+3 5 m 2 +2m+ 1 5-3
(m+1) 2 2 - 2 m+1 2 -1- 2 m 2 -1
Bài tập 12.
Cho phơng trình x 2 - px + p-1 = 0
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p .
b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x 1 2 +x 2 2 - 6x 1 .x 2 .
17
Gv: Nguyễn Văn Lợi

Trờng thcs hồng thủy
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Giải:
a.Ta có = p 2 4p + 4 = (p 2) 2 0p .Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có nghiệm với
mọi giá trị của p .
b.Ta có M=x 1 2 +x 2 2 - 6x 1 .x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 .x 2 - 6x 1 .x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -8x 1 .x 2
= p 2 - 8(p-1) = p 2 - 8p + 8 = p 2 - 8p + 16 - 8 = (p-4) 2 - 8.
c.M=(p-4) 2 - 8 -8,vậy M đạt giá trị nhỏ nhất M=-8 khi (p-4) 2 =0 p-4=0 p=4.

Bài tập 13.

Chứng minh rằng nếu các hệ số của hai phơng trình bậc hai x 2 +p 1 x+q 1 =0 và
x 2 +p 2 x+ q 2 =0 ,liên hệ với nhau bởi hệ thức p 1 p 2 =2(q 1 +q 2 ) thì ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghịêm.

Giải
Gọi phơng trình x 2 +p 1 x+q 1 =0 (1) và x 2 +p 2 x+ q 2 =0 (2)
Ta có 1 =p 1 2 -4 q 1 ; 2 = p 2 2 -4 q 2 ;
1 + 2 = p 1 2 -4 q 1 + p 2 2 -4 q 2 = p 1 2 + p 2 2 - 4(q 1 + q 2 ).
Vì 2(q 1 +q 2 )= p 1 p 2 4(q 1 + q 2 ) = 2p 1 p 2 .
2
Do đó 1 + 2 = p 1 2 + p 2 2 - 4(q 1 + q 2 )= p 1 2 + p 2 2 -2p 1 p 2 = ( p1 p 2 ) 0
Điều này chứng tỏ ít nhất một trong hai biệt thức 1 hoặc 2 phải >0 .Vậy ít nhất một
trong hai phơng trình có nghiệm.

Bài tập 14.

Chứng minh rằng phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu một trong hai điều kiện
sau
a) a( a + 2b + 4c ) < 0
b) 5a + 3b + 2c = 0
Giải:
Ta có = b 2 4ac .
a) a( a + 2b + 4c ) = a 2 +2ab+4ac < 0 a 2 +b 2 +2ab < b 2 -4ac b 2 -4ac > ( a+b) 2 0
0,phơng trình có nghiệm .
b) 5a + 3b + 2c = 0 10a 2 +6ab+4ac=0 (3a+b) 2 + a 2 = b 2 -4ac 0 0,phơng
trình có nghiệm .

Bài tập 15.

Chứng minh rằng nếu hai phơng trình bậc hai x 2 +p 1 x+q 1 =0 và x 2 +p 2 x+ q 2 =0 có
nghiệm chung thì : (q 1 - q 2 ) 2 +(p 1 -p 2 )(q 2 p 1 -q 1 p 2 )=0.
Giai:
Hai phơng trình có nghiệm chung

{

x 2 + p1x + q1 = 0
x 2 + p2 x + q 2 = 0

Đặt y=x 2 ,ta có

có nghiệm

{

y + p1x + q1 = 0
y + p2 x + q 2 =0

-Nếu p 1 p 2 ,giải hệ phơng trình ta có x=

p 2 p1
q p p1q 2
và y= 1 2
.Do y=x 2 suy ra
p1 p 2
p 2 p1

Gv: Nguyễn Văn Lợi

18

Trờng thcs hồng thủy
q1p 2 p1q 2 p 2 p1 2

=(
) ,khai triển biến đổi ta có :(q 1 -q 2 ) 2 +( q 1 -q 2 )( q 2 p 1 -q 1 p 2 )=0.
p 2 p1
p1 p 2

{

p1x + y = q1
Hệ này có nghiệm ,suy ra q 1 =q 2 .Do đó đẳng thức
p1x + y = q 2
cần chứng minh có dạng 0 = 0, hiến nhiên đúng.
-Nếu p 1 =p 2 ta có hệ

Chuyên đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.

A) tóm tắt lý thuyết

Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ ohơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết.
c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình bậc nhất một ẩn,
hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế....
B) Các dạng toán

Dạng 1: Toán về quan hệ các số.