SKKN giải toán bằng cách lập hệ pt

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN 9
I/ MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các em
học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu học, các bài toán
số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương trình ở lớp 9, phương
trình bậc hai ở lớp 9. Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung (các bước giải).
Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài
tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan
giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình. Mà dạng toán này là một dạng
toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp
10 THPT, nhưng đại đa số học sinh bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải,
cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý.
Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về giải
bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáo viên và
học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham khảo ở các
trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu.
Trường tôi đang giảng dạy là một trường vùng cao nên đa số các em đều là đồng
bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất hạn chế đặc biệt là về các môn khoa học
tự nhiên, nhiều em con đọc viết rất chậm khi lên lớp 6 do đó quá trình tiếp thu môn Toán
của các em tương đối còn yếu, còn chậm.


Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình môn Toán lớp 9” đã thôi thúc tôi ý tưởng trình bày
sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong quá trình dạy
học môn Toán.

2. Mục đích nghiên cứu
Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình môn Toán lớp 9”, ứng dụng của Toán học
trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích, tìm hiểu môn Toán cũng như các môn khoa học
khác.
3. Thời gian – Địa điểm
Đề tài được nghiên cứu và áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS ở lớp 9 trên cơ
sở các bài toán về “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” của Chương III - Đại
số Toán 9 tập 2, các bài toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” của Chương
IV - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
trong các sách tham khảo.
4. Đóng góp mới về mặt thực tiến
Kinh nghiệm “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
môn Toán lớp 9” đã được vận dụng trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9 và bước
đầu đã giúp cho học sinh hứng thú hơn trong việc học Toán.
Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy môn Toán, đặc biệt là đối với học sinh
lớp 8, lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu môn Toán, yêu
thích môn Toán cũng như các môn khoa học khác.
II/ NỘI DUNG
1. Tổng quan
1.1 Cơ sở lý luận


Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học.
Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng: “Ai không hiểu
biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể
phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20, nhà vật lí học nổi tiếng
(P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi quan
niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể

không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời tiên
đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được
phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo và
xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ
phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực
hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện
đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn
luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp
tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu
cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những phương
pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có tính đặc thù cao là
môn Toán.
1.2 Cơ sở thực tiễn
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học
hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc biệt là
môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức
một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập môn toán có kết
quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà


điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng
tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
2. Nội dung vấn đề nghiên cứu
2.1 Thực trạng
Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội
nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình học
tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được giải

phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số thích hợp vào ô
trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và cao hơn nữa các
em phải làm một số bài toán phức tạp. Đến lớp 8, lớp 9 các đề toán trong chương trình
đại số về phương trình là bài toán có lời. Các em căn cứ vào lời bài toán đã cho phải tự
mình thành lập phương trình, hệ phương trình và giải phương trình, hệ phương trình. Kết
quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình mà
còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương trình, hệ phương trình. Đó là dạng
toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. Dạng toán này
tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các
kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố
của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống. Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh
không đáp ứng được những khả năng trên nên không giải được các dạng của bài toán lập
phương trình.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với học
sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phương trình, hệ
phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh
phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối
quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các
hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá trình giải học
sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý. Một đặc thù


riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế.
Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó
khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng có thể
trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở
mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái
quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu,
cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất

lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối với việc giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen
với dạng toán tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên
kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng
khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có
kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận
dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh
khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần
phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và
tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng,
tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm
thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ
phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh
có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài
là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp
các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập


cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn
kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
Từ những lí do nêu trên, do đó giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những
kiến thức như trong sách giáo khoa (SGK) mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập.
Giáo viên khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên các quy
tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương
trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập
được phương trình dễ dàng. Và khi lập được phương trình rồi thì đòi hỏi phải giải cho
chính xác, tìm ra kết quả rồi sau cùng mới kết luận bài toán. Đây là bước đặc biệt quan

trọng và khó khăn không những đối với học sinh mà còn đối với giáo viên. Do đó giáo
viên không những cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà cần khuyến khích học
sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi
tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý
ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
2.2 Các giải pháp
2.2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình
và hệ phương trình”
Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác,
tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao trong công
tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách lập phương
trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng
nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để các em nhận thức
chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi
và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng
nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi


nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm
với bản thân và tập thể.
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng bộ
nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một quy tắc
chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. Cụ thể như sau :
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn và

phù hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm của
hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng
bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất quyết
định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị và
điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2.2.2 Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần đảm
bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học sinh
tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài,
đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã cho
những gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá trình


giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề bài là tiền
đề quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn,
đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, …
Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với
điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán.
Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn
số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho
Phân tích :
Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:
+ số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a + b
Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số

cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số
có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Giải :
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK : 0 < x ≤ 9 )
chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK : 0 < y ≤ 9 )
Theo đề bài ta có :
Số ban đầu cần tìm là : xy = 10 x + y
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx = 10 y + x
Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :
( 10 y + x ) − ( 10 x + y ) = 63
− x + y = 7
⇔

x + y = 9
( 10 x + y ) + ( 10 y + x ) = 99
x = 1

Giải hệ ta được : 
y = 8
Vậy số ban đầu cần tìm là : 18


x = 1

Sau khi tìm ra 
, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu của
y = 8
đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa.
Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận

phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài giải đều liên
quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán. Do đó giáo viên cần phải giúp học
sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ đó dựa vào
những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số để lập luận và lập
nên phương trình. Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập
phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương pháp biểu diễn sự
tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó ẩn số đại diện cho
một đại lượng nào đó chưa biết. Học sinh có thể sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngoài
giấy nháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các
quan hệ của chúng.
Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày,
phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm
xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
Phân tích :
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là
xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung

1
công việc. Tương
24

tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn
thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc


+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :

Công việc
Đội A

1

Đội B

1

Cả hai
đội

Năng suất

Thời gian

1
x
1
y

x ngày (x > 0)
y ngày (y > 0)

1 1 1
+ =
x y 24

1

24 ngày

1 1 1
 x + y = 24

1 = 3. 1
 x 2 y

Hệ PT

Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác :
Nếu gọi :
+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A
+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B
Ta có bảng sau :
Công việc

Năng suất

Đội A

1

x

Đội B

1

y

Cả hai đội

1

Hệ PT

x+ y=

Thời gian
1
ngày (x > 0)
x
1
ngày (y > 0)
y

1
24

24 ngày

1

 x + y = 24

x = 3 .y

2

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp hơn
so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến việc chọn ẩn.
Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.


Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính
toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không thừa
cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không bỏ sót
một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện của bài toán,
lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải chú ý đối chiếu
kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết luận bài toán cho
chính xác. Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện nhất.
Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h
thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm
hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại
A.
Hướng dẫn giải :
Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)
thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)
Ta có bảng sau :
Dự định

Quãng đường (km)
x (x > 0)

Vận tốc (km/h)
-

Đi chậm

x

35 km/h

Đi nhanh

x

50 km/h

Thời gian (giờ)
y (y > 0)

x
 35 + 2 = y

 x −1 = y
 50

Hệ PT
 x = 350

Giải hệ ta được : 
y = 8

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt

x

giờ
35
x
giờ
50


Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính
toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm
được
Ví dụ 4: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”
Hướng dẫn :
Gọi số con gà cần tìm là x ( x ∈ Z + ,0 < x < 36 )
và số con chó cần tìm là y ( y ∈ Z + ,0 < y < 36 )
 x + y = 36

Theo đề ra ta có hệ phương trình : 
 2 x + 4 y = 100
Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương trình
dễ giải hơn
Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :
Gọi số chân gà là x ( x ∈ Z + ,0 < x < 100 ) và số chân chó là y ( y ∈ Z + ,0 < y < 100 )
 x + y = 100

Theo đề ra ta có hệ phương trình :  x y

 2 + 4 = 36

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai lầm
hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập
luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có
thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước lập luận


biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự
kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối. Không nên
diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước.
Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc nhắc nhở học
sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm
vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập,
nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do người giáo viên. Để học
sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để giải bài tập thì trước hết
giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài
tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh. Phân tích thật rõ
ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ
các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải
các bài tập khác. Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm
có một nhóm trưởng tổ chức thảo luận các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có
thể hiểu được bài một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự,
làm cho các em không chán nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách
lập phương trình. Từ đó giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn. Do
vậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần
phải phân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương

trình để từ đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
2.2.3 Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình
2.2.3.1 Dạng bài toán về chuyển động
- Phương pháp giải
Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian.
S = v.t

quãng đường = vận tốc ´ thời gian


t=

S
v

thời gian = quãng đường : vận tốc

v=

S
t

vận tốc = quãng đường : thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;
Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :
Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi
hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h
nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

+

Dạng

thực, tìm vận tốc

Đk: x > 0

S(km)

v(km/h)

Bác Hiệp (nhanh)

30

x

Cô Liên (chậm)

30

x+3

Phương trình

30
30 1
−
=
x+3 x 2

t(h)
30
x
30
x+3

“Tìm
xuôi

dòng”:
Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên.
vxuôi = vthực + vdòng
vdòng = (vxuôi - vngược ) : 2
Ví dụ 6: Bài 52 /Trang 60 (SGK)

vngược = vthực - vdòng
vthực = (vxuôi + vngược ) : 2.

vận

tốc

(ngược)


Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến B,
nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất
cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước
chảy là 3 km/h.
Đk: x > 3

S(km)

v(km/h)

t(h)

x

Ca nô đi khi nước đứng yên
Khi xuôi dòng

30

x+3

30
x+3

Khi ngược dòng

30

x−3

30
x−3

30
30
2
+
+ =6
x+3 x −3 3

Phương trình

+ Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”:
Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK).
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài
120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi
theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5
km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Đk: x >0

S(km)

v(km/h)

Lúc đi (nhanh)

120

x

Lúc về (chậm)

125

x−5

Phương trình

120
125
+1 =
x
x −5

2.2.3.2 Loại toán “lao động sản xuất”
- Phương pháp giải

t(h)
120
x
125
x −5


Tổng số lượng công việc = số đối tượng × lượng c.việc của mỗi đối tượng
Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng)

Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,…
Đối tượng : số xe, số người, số tàu,…
Thường chọn số đối tượng làm ẩn.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 8:
Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56 cây.
Vì có 1 bạn trong tổ được phân công đi làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi
bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc đầu. Hỏi tổ học sinh có
bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau.
(ĐS: 8 h/s).
Đk: x

Lúc đầu
Lúc sau

Số cây

Số h/s

Số cây của mỗi h/s

(cây)

(nguời)

(cây/ người)

x



56
x



x −1



56
x −1



56
56

Phương trình

56 56
−
=1
x −1 x

2.2.3.3 Loại toán “công việc”
- Phương pháp giải
Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Lượng công việc = thời gian ´ năng suất
⇒ Năng suất = lượng công việc : thời gian

Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.


Thường chọn thời gian làm ẩn.
“Công việc” = 1
Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn;
làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
công việc = thời gian × năng suất
Năng suất = công việc : thời gian
Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai.
Phương trình thường là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 9:
Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” cùng làm chung
trong 4 giờ thì xong công việc đã được phân công. Nếu để mỗi đội làm một mình thì đội I
làm nhanh hơn đội II là 6 giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì phải bao nhiêu
thời gian mới xong công việc.
(Đáp số: 6 giờ và 12 giờ)

Đk : x > 4

Công việc

Thời gian (giờ)

Năng suất ( cv/giờ)

Đội I (nhanh)

1

x



Đội II (chậm)

1

x+6



Cả hai đội

1

Phương trình

4

1
1
1
+
=
x x+6 4

1

x
1
x+6
1
4





2.2.3.4 Loại toán “liên quan đến hình học”
- Phương pháp giải
Nên vẽ hình (ngoài nháp cũng được).
Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình.
Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để vận
dụng vào bài toán.
Đối với hình chữ nhật:
diện tích = dài ´ rộng

chu vi = ( dài + rộng). 2 ;
Þ

Dài =

chu vi
2

- rộng

;

Rộng =

chu vi
2

- dài

Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng <
Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là:

chu vi
.
4

chu vi
chu vi
< dài <
:
4
2

Đối với tam giác vuông:
Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =

ñaùy ´ cao
2

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa

Ví dụ 10:
Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém
nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đó.
Giải
Gọi độ dài của cạnh góc vuông nhỏ là x (m),( 0 < x < 10 );
Độ dài của cạnh góc vuông lớn là x + 2 (m)
Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)2 + x2 = 102
Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK)


T mt ming tụn hỡnh ch nht ngi ta ct 4 gúc bn hỡnh vuụng cú cnh bng
5 dm lm thnh mt cỏi thựng khụng np cú dung tớch 1500 dm 3. Hóy tớnh kớch thc
ca ming tụn lỳc u, bit rng chiu di ca nú gp ụi chiu rng.
Gii

5 dm

Gi chiu rng ming tụn l x (dm), (x > 10)

5 dm

5 dm

Chiu di ming tụn l 2x (dm)

x

Chiu rng ca thựng l x 10 (dm)
5 dm

Chiu di ca thựng l 2x 10 (dm)

Vỡ th tớch ca thựng = di rng cao nờn ta cú phng trỡnh:

2x

1500 = (2x 10).(x 10). 5
(S: rng= 20dm v di =40 cm).
2.2.3.5 Loi toỏn liờn quan vt lớ, húa hc
- Phng phỏp gii
Cn nm vng cỏc cụng thc vt lý, húa hc cng nh cỏc cụng thc suy ra
vn dng vo bi toỏn.
D=

M
V

ỡù D : laứ khoỏi lửụùng rieõng (kg/m3 )
ùù
ùớ M : laứ khoỏi lửụùng (kg)
ị
ùù
ùù V : laứ theồ tớch (m3 ) :
ợ

V=

M
D

v

M = V. D

Vớ d v dung dch:
Nng dung dch mui l 12 % thỡ ta nờn hiu:
Trong 100 gam dung dch cú 12 gam mui.
mdd = mct + mH 2O
C% =

mct
.100%
mdd

Nu cỏc n v o ca cựng mt i lng cha cựng n v thỡ phi i v cựng
mt n v.
- Mt s dng bi tp thng gp v vớ d minh ha


Ví dụ 12 : Bài 50/Trang 59 (SGK)
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích
của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm 3, nhưng khối lượng
riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm 3. Tìm
khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
(ĐS: 8,8 g/cm3 và 7,8 g/cm3).
dụ

Đk: x >

Khối lượng (M)

(g)

Miếng thứ nhất

880

Miếng thứ hai

858

Phương trình

858 880
−
= 10
x −1
x

Thể tích (V)

Khối lượng riêng (D)

(cm3)

(g/cm3)

880
x

x

Ví

x −1

858
x −1

13 : Bài 51/Trang 59(SGK)
Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ của
dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu
nước ?
Đk: x > 0

Số gam nước

Lúc đầu

x

Lúc sau

x + 200

Phương trình

Số gam muối
40

Nồng độ dung dịch

40
x + 40

40
40
=
x + 200 + 40 x + 240
40
40
10
−
=
x + 40 x + 240 100

40

2.2.3.6 Loại toán “Quan hệ giữa các số”
- Phương pháp giải
Cần phân biệt tổng các bình phương với bình phương của tổng.
+ Tổng các bình phương của hai số a và b là a2 + b2


+ Bình phương của tổng hai số a và b là (a + b)2.
a
b
1
và là nghịch đảo của nhau. Số x có nghịch đảo là .
b
a
x

Phân tích một số ra hai thừa số là biến đổi số đó thành hai số khác nhân với nhau.
Ví dụ: 6 = 2 . 3
Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ nhất là x, thì số thứ hai là: Tổng – x
Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn là x, thì số nhỏ là : x – hiệu .
Nếu gọi số nhỏ là x, thì số lớn là : x + hiệu.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 14: Bài 41/Trang 58 (SGK)
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một
số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn
Minh và Lan phải chọn những số nào ?

(ĐS: 10 và 15 hoặc: – 10 và –15).

Giải
Gọi số nhỏ mà một bạn đã chọn là x
Số lớn bạn kia chọn là x + 5
Theo bài ra ta có phương trình x(x + 5) = 150.

(HS tự giải tiếp)

Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK)
Đố. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với
một nửa của nó bằng một nửa đơn vị. (ĐS: 2 hoặc –1).
Giải :
Gọi số phải tìm là x thì một nửa của nó là

x
2

Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là

x 1
2 2

Theo bài ra ta có phương trình

æx 1ö
x 1
ç
- ÷
. =
÷
ç
÷
ç
è2 2 ø 2 2

Ví dụ 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK)


Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109.
Tìm hai số đó. (ĐS: 11 và 12).
Giải
Gọi số tự nhiên bé là x , (x Î N, x > 0)
Số tự nhiên liền sau là: x + 1
Tích của chúng là: x.(x + 1) = x2 + x
Tổng của chúng là: x + (x + 1) = 2x + 1
Theo bài ra ta có phương trình (x2 + x) – (2x + 1) = 109
2.2.3.7 Một số bài tập đề nghị :

Bài 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 50
cuốn thì số sách ở giá thứ hai bằng

4
số sách ở giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu ở mỗi
5

giá.
Bài 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1
xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng
so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng
mỗi xe chở như nhau)
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể.
Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp
trong 3 giờ nữa thì được

2
bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao
5

lâu?
Bài 4: Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút,
trên cùng tuyến đường đó một Ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn
hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi
xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km.


Bài 5: Một Ô tô khách và một Ô tô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa
điểm B đường dài 180 km do vận tốc của Ô tô khách lớn hơn Ô tô tải 10 km/h nên Ô tô
khách đến B trước Ô tô tải 36 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô. Biết rằng trong quá trình

đi từ A đến B vận tốc của mỗi Ô tô không đổi.
Bài 6: Một mô tô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc và thời gian đó dự
định. Nếu mô tô tăng vận tốc thêm 5km/h thỡ đến B sớm hơn thời gian dự định là 20
phút. Nếu mô tô giảm vận tốc 5km/h thì đến B chậm hơn 24 phút so với thời gian dự
định. Tính độ dài quảng đường từ thành phố A đến thành phố B.
Bài 7: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng
lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô
quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 8: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một Ô tô đi từ A đến B,
nghỉ 90 phút ở B, rồi lại từ B về A. Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận
tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của Ô tô.
Bài 9: Cho một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2. Tính độ dài các cạnh
của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài
của thửa ruộng đi 5m thì diện tích của thửa ruộng tăng thêm 5m2.
Bài 10: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và
nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây các
bạn nữ trồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây.
Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.
Bài 11: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng
lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km /h. Khi đến B ca nô quay lại
ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.


Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người
thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi
người làm một mình công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 13: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ
1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính
xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm
Bài 14: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nước 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi

hợp tác xã đã bán cho nhà nước. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà
nước nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tÊn.
Bài 15: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ
1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính
xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm
2.3 Kết quả
Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình hướng dẫn
cho học sinh giải các bài toán dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được quy tắc giải
bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại được các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan
hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình (hệ phương trình) dễ dàng, từ đó
việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm ra đáp số của bài toán chính xác không gặp
phải những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài toán này, kích thích học sinh lòng say
mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi
tìm lời giải bài toán.
2.4 Bài học kinh nghiệm
Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy giải bài toán bằng cách
lập phương trình, hệ phương trình có ý nghĩa thực tế rất cao. Nó rèn luyện cho học sinh tư duy
logic, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ toán học, … Do đó khi


giải dạng toán này ở lớp 8, lớp 9 giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm được các
mối quan hệ đã biết và chưa biết giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình.
Các bài toán, ví dụ được nêu lên đều chủ yếu là toán bậc nhất, nghĩa là các bài toán dẫn
đến phương trình có thể quy về bậc nhất. Lên đến lớp 9 thì việc giải bài toán bằng cách lập
phương trình cũng tuân theo các bước như ở lớp 8 nhưng phương trình có thể quy về phương
trình bậc hai hoặc hệ phương trình. Vì thế giáo viên cần phân tích kỹ các bước giải, cũng như
lưu ý rõ cho học sinh các yêu cầu trong khi giải và từng dạng toán cơ bản để học sinh có được
kiến thức vững chắc phục vụ cho việc giải toán.
Bên cạnh đó, giáo viên cũng tạo hứng thú cho học sinh trong các giờ học, hướng dẫn
học sinh cách học bài, làm bài và cách nghiên cứu trước bài mới ở nhà. Tăng cường phụ đạo

học sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh đã bị hổng để phụ đạo. Điều đó đòi hỏi người
giáo viên phải có lòng yêu nghề, yêu thương học sinh và phải có một lượng kiến thức vững
chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối tượng học sinh.