HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH HAY NHẤT

V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng

ơngI:Đạohàm
Ch

I)Địnhnghĩađạohàm:

Bà i1 :Dựavàođ ịnhnghĩa ,tínhđ ạohàm củacáchàm sốsauđâ y
tạiđ iểm x0đchỉra:
a)y=x2+x x0=2
1
b)y=
x0=2
x
x 1
c)y=
x0=0
x+ 1
Bài2:Dựavàođịnhnghĩatínhđạohàmcủacáchàmsốsauđây
(tạiđiểmxR)
a)y= x ưx

b)y=x3ưx+2

c)y=x3+2x

c)y=

2x 1
x1

Bài3:Tínhf'(8)biếtf(x)= 3 x
Bài4: Chođờngcongy=x3.Viếtphơngtrìnhtiếptuyếnvới
đờngcongđó,biết:
a)TiếpđiểmlàA(ư1;ư1).
b)Hoànhđộtiếpđiểmbằng2.
c)Tiếptuyếnsongsongvớiđờngthẳngy=3x+5.
x
d)Tiếptuyếnvuônggócvớiđờngthẳngy=ư +1
12
Bài5:Chof(x)=x(x+1)(x+2)(x+2004).
Dùngđịnhnghĩađạohàmtínhđạohàmf'(ư1000)
II)cácphéptínhđạohàm:

Bài1:Tínhcácđạohàmcủacáchàmsốsau:

(

)(

)

1)y= x2 3x + 4 x3 2x2 + 5x 3 2)

( 2x + 1)( 3x + 2)( 4x + 3)( 5x + 4 )

(

)

3)y= x3 3x2 + 3x + 1 2 2( x 1) 3

(



y



=

)

4)y= ( 2x + 1) 4 + ( 3x + 2) 4 x2 4x + 3 3
5)y= ( x + 1) 2 ( x + 2) 3 ( x + 3) 4

2
6)y= 2x 5x + 6
3x + 4

3
7)y= x x
x3 + x + 1

8)y=

( x + 1) 3
x2 x + 1

Trang:

1



Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
4
4
9 ) y =   2x + 1  +  1 + x 
 x− 1 
 1 − x

x + x2 + 1
2

1+ x − x

+

x2 + 1 − x
2

x+ 1+ x

10 )

y

 

= 

 
3
12 ) y =  1 + x
1 − x3
sinx − cosx
14 ) y = 
sinx + cosx

11 ) y =  ( 1 + x) 2 + x2 3 3 + x3
3

5
x
−
1
x− 3
13 ) y = 
4
x − 26 x − 6
15 ) y =  sin[ sin( sinx) ]

(

 

16 )

 

y

 

= 

)

1 − x2

1 + x2
sinx −
cosx e− x

2
 2

2

17 ) y =  3 1 − 3 1 + x2  + 3 ln 1 + 3 1 + x2 



2 
  Bµi2: TÝnh c¸c ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau :
1) y = xln x
3 ) y =   1 + x2 



2 ) y =  sinxcosx
2x

4 ) y = 

x

xx

x +x

x

xx

+x

3
4
5 ) y =  1 + x 3 + x 2 + x
5
x − 47 x − 5

III) ®¹o hµm mét phÝa vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i ®¹o hµm:

  Bµi1: Cho f ( x ) =

x
.  TÝnh f'(0 )
1+ x

  Bµi2: Cho f ( x ) = x x + 2 .     TÝnh f'(0 )
1 − cosx       
nÕ u x ≠ 0

  Bµi3: Cho f ( x ) =  x
0                  
nÕ u x = 0
   1 ) XÐ t tÝnh liªn  tôc cña f(x ) t¹i x = 0 .
2 ) XÐ t tÝnh kh¶ v i cña f(x ) t¹i x = 0 .
2
  Bµi4: Cho hµm sè : f ( x ) = x − 2 x + 3 .
3x − 1
   Chøng m inh r»ng f(x ) liªn  tôc t¹i x = ­3 nhng kh«ng cã ® ¹o 
hµm  t¹i x = ­3 .

 
Trang:
 2
 


V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
( x + 1) e x
nế ux > 0
Bài5: Cho f ( x ) =
.Tìm ađ ể f'(0 )
2
ưx ưax + 1nế ux 0
acosx b sinxnế ux 0

Bài6: Cho f ( x ) =
ax + b + 1nế ux> 0
IV)đạohàmcấpcao:
2
Bài1: Cho f ( x ) = x 3x + 2 .
2x2 + x 1

Bài2: Cho f ( x ) =

3x2 + 4x 8
3

2

x 6x + 11x 6

Tính :f(n)(x)

. Tính :f(n)(x)

3
2
2
x
+
x
4x 9 .
Bài3: Cho f ( x ) =
x4 7 x2 + 10

Tính :f(n)(x)

2
Bài4: Cho f ( x ) = 3x 5x 11 . Tính :f(n)(x)
x4 9x2 + 18
Bài5: Cho f ( x ) = cosx .
Tính : f (n)(x)
Bài6: Cho f ( x ) = cos (ax + b) .
Tính : f (n)(x)
Bài7: Cho f ( x ) = x .e x.
Tính:f(n)(x)

Bài8: Cho f ( x ) = x3 ln x .
Bài9: Cho f ( x ) = ln( ax + b) .

Tính :f(n)(x)
Tính :f(n)(x)

V)đẳngthức,ph

ơngtrình,bấtph

ơngtrìnhvớicácphéptoánđạo


hàm:

1
.
1+ x

Bài2: Cho y = e x sinx .
Bài1: Cho y = ln

CM R :xy '+1=ey
CM R :y ''+2y '+2y=0

Bài3: Cho y = s in ( l nx ) + cos ( l nx ) .
CMR: y + xy ' + x2y"=0
Bài4: Cho f ( x ) = s in 32x ;g(x)=4cos2xư5sin4x.Giải
phơngtrình:f'(x)=g(x)
1
Bài5: Cho f ( x ) = 5 2x+ 1 ;g (x )= 5 x + 4xln 5 .G iả ibấ t
2
phơngtrì nh :f'(x )2
Bài6: Cho y = x + x x2 + 1 + ln x + x2 + 1
2 2
CM R :2y=xy '+ln y '

IV)dùngđạohàmđểtínhgiớihạn:


Trang:
3



V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Tìm cácg iớih ạnsau :
1 )A= lim

x 0

3 ) lim

x 0

3

2

3

x2 + x + 1 x3 + 1
x

2 ) lim

x 0

1 + 2x 3 1 + 2 x

3 x cosx
x2

4 ) lim 1 2x + 1 + sinx
x 0
3x + 4 2 x

x2

ơngII:Khảosáthàmsốvàcácứngdụng
Ch

II)Tínhđơnđiệucủahàmsố:
1)
Tìmđiềukiệnđểhàmsốđơnđiệu:

2)

Bài1: Tìm m để hàm số : y = x 3+3x2+(m+1)x+4mnghịch
biếntrên(ư1;1)
Bài2: Tìm m để hàm số : y = x3ư3(2m+1)x2+(12m+5)x+2
đồngbiếntrên(ư ;ư1][2;+ )
3

Bài3: Tìm mđểhàm số :y= m x + 2( m 1) x2 + ( m 1) x + m
3

đ ồngb iế ntrên(ư ;0 )[2 ;+ )
m 1 3
x + m x2 + ( 3m 2) x đ ồngb iế n
Bài4: Tìm mđểhàm số :y=
3
trênR
Bài5: Tìm mđ ểhàm số :y=x3ư3(mư1)x2+3m(mư2)x+1
đồngbiếntrongcáckhoảngthoảmn:1 x 2

2)Ph
ơngpháphàmsốgiảiquyếtcácbàitoánchứathamsố:

Bài1: Chophơngtrì nh :x2ư(m+2)x+5m+1=0
1)Tìmmđểphơngtrìnhcó1nghiệmthoảmn:x>1.
2)Tìmmđểphơngtrìnhcó1nghiệmthoảmn: x >4.
3)Tìmmđểphơngtrìnhcó1nghiệmthoảmn:x<2.
4)Tìmmđểphơngtrìnhcónghiệm(ư1;1).

Trang:
4



V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Bà i2 : Tìm ađểphơngtrì nh :(a +1 )x 2 ư(8a+1)x+6a=0
cóđúng1nghiệm(0;1)
Bài3:Tìmmđểphơngtrình: 9 2 x

2

x

m .6 2x

2

x

+ ( 3m 8 ) 4 2x

2

x

= 0 có

1
nghiệmthoảmn: x
2
Bài4: Tìmmđểphơngtrình: 3 + x + 6 x ( 3 + x)( 6 x) =m có
nghiệm
Bài5:Tìmmđểphơngtrình:cos2xư(2m+1)cosx+m+1=0
có

nghiệm

3
x ;
2 2
Bài6: Tìmmđểphơngtrình: log23 x + log23 x + 1 2m 1 = 0 cóít
nhất

[

x 1;3

3

]

một



nghiệm

Bài7:Tìmmđểcácphơngtrìnhsaucónghiệm:

(

)

1) ( x 1)( x 2) x2 3x + m = 2
2) x4 2m x3 + ( m + 4 ) x2 2m x + 1 = 0
2

Bài8:Tìmađể: 3x 1 = 2x 1 +axcónghiệmduynhất
2x 1
Bài9:Tìmmsaocho:(x+3)(x+1)(x 2+4x+6) mnghiệm
đúngvớix
Bài10:Xácđịnhađểbấtphơngtrình:ư4 ( 4 x)( 2 + x) x2ư2x
+aư18nghiệmđúngvớix[ư2;4]
x2 + 3x 3
Bài11:Tìmmđể:

1
( m 1)

2

Bài12:Tìmmđể 9 2 x

2

x

cos2 x

1 + sin2 x

+2

( 2m + 1) .6 2x

2

x

+ 2m

+ m 4 2x

<0x
2

x

0nghiệmđúng

1
2
Bài13:Tìmmđểbấtphơngtrình: m x x 3 m+1cónghiệm
vớixthoảmn: x


3)Sửdụngph
ơngpháphàmsốđểgiảiph

ơngtrình,bấtph

ơngtrình,



hệph
ơngtrình,hệbấtph

ơngtrình:




Trang:
5



V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng

Bài1: Giả i các phơng t rình và các bất phơng t rình sau :
1)
x + 9 > 5 2x + 4

(

)

2
2
2 ) log2 x 5x + 5 + 1 + log3 x 5x + 7 2



3x2 + 2x 1 < 0
Bài2: Giả i hệ bất phơng t rình :

x3 3x + 1 > 0

( )

log22 x log2 x2 < 0

Bài3: Giả i hệ bất phơng t rình : 1 3

2
x

3
x

+
5
x
+
9
>
0

3
x = y3 + y2 + y 2

3
2
Bài4: Giả i hệ phơng t rình : x = z + z + z 2

3
2
z = x + x + x 2
4)Chứngminhbấtđẳngthức:

Chứngm inhcácbấ tđẳ ngthứcsau :
2
2
4
1 ) 1 x < cosx < 1 x + x
2
2 24
2

n

2 ) ex > 1 + x + x + ...+ x
2
n!

x>0
x>0 ;nN*

2

3)1ưx e x 1ưx+ x
2

x[0;1]

2

x
x4
e
4)1ưx
1ưx+
2( 1 + x)
1+ x
2

5) ln( 1 + x) > x x
2
x1
6) ln x <

x

x[0;1]

x>0
x>1

III)cựctrịvàcácứngdụng:

Bài1: Tìm các điểm cực t r ị của các hàm số sau đây:
2
x
x
2)y= x + 4x + 5
3)y= e + e
x+ 2
2
3
2
4)y=x (1ưx)
Bài2: Tìm cực t rị nếu có của mỗi hàm số sau đây (b iện l uận
theo tham số a)

1) y = x3+4x


Trang:
6

V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
a
1 )y=x3ư2ax2+a2x
2)y=xư1+

x 1
2
x
Bà i3 :Chứngm inhrằnghàm số :y= + 2x + m luôncóm ộtcực
x2 + 2
đ ạivàm ộtcựctiể uv ớim ọim .
g iátrịlớn nhấ tvàg iátrịnhỏnhấ t

Bà i1 : Tìm g iátrị nhỏnhấ tvàg iátrị lớn nhấ tcủacáchàm
số :
1 )y=s inx (1+cosx )
2 ) y = s in 4x + cos4x +
sinxcosx+1

3)y=5cosxưcos5xvớix ; 4)

y

=
4 4
1 + sin6 x + cos6 x
1 + sin4 x + cos4 x
Bài2:Chophơngtrình:12x2ư6mx+m2ư4+

12

=0
m2
Gọix1,x2lànghiệmcủaphơngtrình.TìmMax,Mincủa:S=
x13 + x32
a4

b4

a2 b2 a b
Bài3:Choa.b 0.TìmMincủa:y= 4 + 4 2 + 2 + +
b
a
a b a
b
Bài4: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Max, Min của: S =
y
x
+

y+ 1 x+ 1
Bài5:Chox,y 0;x+y=1.TìmMincủa:S=

y
x
+
1 x
1y

Bài6:Tuỳtheoatìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủa
hàmsố:
y=sin6x+cos6x+asinx.cosx
IV)tiệpcận:

Bài1:Tìmtiệmcậncủacáchàmsố:
2

1)y= x + 3x + 2
2x2 + x 1
2+x
4)y=
9 x2

3
2)y= x + x + 1
x2 + 1
x( 2x 1)
5)y=
( 2 x) 2



3)y=

x
2x

6)y= x2 + 1

Trang:
7



V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Bài2: Tìm các t iệm cận của hàm số (b iện l uận theo tham số m)
1) y =

x2 4
2

x m x+ 1



2 )y=

x+ 2
x2 2m x + 3



2
Bài3: Cho (C ) : y = ax + ( 2a + 1) x + a + 3 ,a ư1 ;a 0 .Chứng
x 2
m inhrằngtiệm cậnx iêncủa(C )luônđ iquam ộtđ iểm cốđ ịnh
2
Bài4: Cho đồ thị (C ) : y = f ( x ) = 2x 3x + 2
x 1

1 )Chứngm inhrằngtíchcáckhoảngcáchtừ M(C )đ ếnha i
tiệm cậnluônkhôngđổ i.

2 )Tìm M(C )đểtổ ngkhoảngcáchtừ M(C )đếnha itiệm
cậnđ ạtg iátrị nhỏnhấ t.
V)Khảosátvàvẽđồthị:

Bài1: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
1) y = 2x3+3x2ư1
2)y=x3+3x2+3x+5
3)y=x3ư3x2ư6x+8
4)y=ưx3+3x2ư4x+3
3

5)y=ư x ưx2+3xư4

3
Bài2: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
1) y = x4ư2x2
2)y=ưx4+2x2ư1
4
3 2
x +1
4)y= x ưx2+1
10
2
Bài3: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
2x 4
2x + 1
1) y =

2 )y=

x+ 1
x 3
Bài4: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :

3)y=x4+

2
x
+ 3x + 3
1) y =
x+ 2

2
x
2 )y=
x1

2
2
x
+
2
x

x
+ 6x + 13
3 )y=
4 )y=

x+ 1
2x + 1
Bài5: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :

1) y =

1 4 1 3
5
x x x2 +
4
3
3

2
2
x
+ 4x + 5
3 )y=

x2 + 1


Trang:
8


2
2 )y= 2x 8x + 11
x2 4x + 5
2

x
9x + 14
4 )y=
x2 15 x + 50


V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
2
5 )y= x + 2x + 1
2x2 2x

6 )y=x+ 2x2 + 1

VI)phépbiếnđổiđồthị:

V ẽđ ồthịcủacáchàm số :
1 )y=

x2 x + 1
x+ 1

2 )y=

x2 3x + 3
3 )y=
x 2
x2 + x
5 )y=
2 x 1

(

7 ) y = x 1 x2 + x 2

x2 2 x + 9
x2

4 )y=
6 )y=

)

x2 5x + 5
x1

x +1
x 1

VII)tiếptuyến:
1)Phơngtrìnhtiếptuyếntạimộtđiểmthuộcđồthị

Bài1: Cho hàm số : y = x3ư1ưk(xư1)(1)
1)Tìmkđểđồthịcủahàmsố(1)tiếpxúcvớitrụchoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao
điểmcủanóvớitrụctung.Tìmkđểtiếptuyếnđóchắntrêncác
trụctoạđộmộttamgiáccódiệntíchbằng5

Trang:
9

Bài2:

V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
V iết
phơng t rình t iếp tuyến của

(C ) :

y

=

x2 + 2x + 4 + cosx tạig iaođ iểm củađờngcongv ớitrụctung .
Bài3: Cho (C m):y=f(x)=x3+3x2+mx+1
a)Tìmmđể(Cm)cắtđờngthẳngy=1tại3điểmphânbiệt
C(0;1),D,E.
b)Tìmmđểcáctiếptuyếncủa(Cm)tạiDvàEvuônggóc
vớinhau.
(C ):y = f( x) = ( x + 1) 2 ( x 1) 2
Bài4: Cho 2 đồ thị
(P ):y = g( x) = 2x2 + m
1 )Tìm mđ ể(C )và(P )tiế pxúcv ớinhau .
2 ) V iế t phơng trì nh tiế p tuyế n chung tại các tiế p đ iểm
chungcủa(C )v ới(P ).
1
5

Bài5: Cho đồ thị (C ) : y = f ( x ) = x4ư3x2+
2
2
1)Gọitlàtiếptuyếncủa(C)tạiMcóxM=a.CMR:hoành
độ các giao điểm của t với (C) là nghiệm của phơng trình:

(

)

( x a) 2 x2 + 2ax + 3a2 6 = 0
2)Tìmađểtcắt(C)tạiPvàQphânbiệtkhácM.Tìmquỹ
tíchtrungđiểmKcủaPQ.
2
Bài6: Tìm m để t ạ i g iao điểm của (C ) : y = ( 3m + 1) x m + m v ới
x+ m

trụcOxtiế ptuyế ncủa(C )songsongv ới():y=xư10 .V iế t
phơngtrì nhtiế ptuyế nđ ó.
2x 1
Bài7: Cho (C ) : y =
và Mbấ tkỳ thuộc(C ).Gọ iIlà
x1
g iaođ iểm củaha itiệm cận .tiế ptuyế ntạiMcắ tha itiệm cận
tạiAvàB .
1 )CM R :Mlà trungđ iểm củaAvàB .


2 )CM R :S IABkhôngđổi
3)TìmmđểchuviIABđạtgiátrịnhỏnhất.

2
Bài8: Cho (C ) : y = 2x 3x + m (m 0 ,1 )
x m
Chứng m inh rằng tiế p tuyế n tại g iao đ iểm của (C ) v ới Oy
cắ ttiệm cậnđ ứngtạiđ iểm cótungđ ộbằng1
2
Bài9: Cho (C ) : y = 3x + m x + 4
4x + m


Trang:
10