BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ HAY NHẤT

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

-

§Ỉt t = log 2 ( x ) , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

t 4 − 13t 2 + 36 < 0 ⇔ 4 < t 2 < 9

-



1
1
−3 < log 2 x < −2
−3 < t < −2



⇔ 
⇔
⇔ 8
4
 2 < log 2 x < 3

24< x <8


1 1

VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm  ,  ∪ ( 4,8 ) .
8 4
52x −10−3

Ví dụ 3. Giải bất phương trình:
Lời giải:
x−2

x−2

− 4.5x −5 < 51+3

x−2

-

§Ỉt X = 5x −5 > 0, Y = 53

-

Do Y > 0 nªn
(1) ⇔ X 2 − 4XY < 5Y 2 ⇔ X 2 − 4XY − 5Y 2 < 0 ⇔

> 0 .Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng

⇔ X − 5Y < 0 ⇔ X < 5Y ⇔ 5x −5 < 51+3
-

X2
− 4X < 5Y

Y

( X + Y )( X − 5Y ) < 0

x −2

⇔ x − 5 < 1+ 3 x − 2 ⇔ x − 6 < 3 x − 2
BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hƯ sau
x − 2 ≥ 0
⇔ 2≤x<6
( I) 
x − 6 < 0

x−6≥ 0

x≥6
 x≥6

⇔ 
⇔ 6 ≤ x < 18

2 ⇔  2
3 < x < 18
9 ( x − 2 ) > ( x − 6 )
 x − 21x + 54 < 0
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ: 2 ≤ x < 18 .
BÀI TẬP
Giải các bất phương trình sau:
x
x

1
5 +1 +
5 − 1 = 2x
1)
4

( II )

(

2)

)

(

)

(

log 22 x + log 1 x 2 − 3 > 5 log 4 x 2 − 3

)

2

3) 32x − 8.3x +

x+4

x+4

− 9.9

> 0.

3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1.

Giải bất phương trình:

(

)

log 5 3 + x > log 4 x

Lời giải:
- ðiều kiện x > 0 .
- §Ỉt t = log 4 x ⇔ x = 4 t , bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh log 5 ( 3 + 2t ) > t
t

3 2
⇔ 3+ 2 > 5 ⇔ t +  >1
5 5
t

t

t

-

(1)

3 2
Hµm sè f ( t ) = t +   nghÞch biÕn trªn ℝ vµ f (1) = 1.
5 5
BÊt ph−¬ng tr×nh trë f ( t ) > f (1) ⇔ t < 1 , ta ®−ỵc log 4 x < 1 ⇔ 0 < x < 4.


Biờn son: GV HUNH C KHNH

-

Vậy bất phơng trình có nghiệm là: 0 < x < 4 .

Vớ d 2.

Gii bt phng trỡnh:

log 3

x2 + x +1
> x 2 3x + 2
2x 2 2x + 3

Li gii:
- Đặt u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v u = x 2 3x + 2 .
- Bất phơng trình đã cho tơng đơng với

u
log 3 = v u log 3 u log 3 v = v u log 3u + u > log 3 v + v
(1)
v
1
- Xét hàm số f ( t ) = log 3 t + t, ta co: f ' ( t ) =
+ 1 > 0, t > 0 nên hm s ủồng biến khi
t ln 3
t > 0. Từ (1) ta có f ( u ) > f ( v ) u > v
x 2 + x + 1 > 2x 2 2x + 3
x 2 3x + 2 < 0
1 < x < 2.
- Vậy bất phơng trình có nghiệm là: 1 < x < 2 .
Lu ý:
1. Với bất phơng trình dạng log a u < log b v , ta thờng giải nh sau:

Đặt t = log a u (hoặc t = log b v ) đa về bất phơng trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của
hàm số.
u
< v u log a u + u < log a v + v . Ta xét hàm số
v
f ( t ) = log a t + t đồng biến khi t > 0 , suy ra f ( u ) < f ( v ) u < v.

2. Với bất phơng trình dạng log a
BAỉI TAP
Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
1) log 6

(

3

)

x + x x log 64 x

2) 2.2 + 3.3 > 6 1.
3) 16x 3x < 4x + 9 x .
x

x

x

4. PHệễNG PHAP VEế ẹO THề

5+ x
5 x < 0
x
2 3x + 1
log

Vớ d .

Gii bt phng trỡnh:

Li gii:
- Bất phơng trình trên tơng đơng với hai hệ
5+ x
5+ x

>0
<0
log
log
và
( I) 5 x
( II ) 5 x
2x 3x + 1 < 0
2 x 3x + 1 > 0
- Giải hệ (I)
5+ x
5+ x
2x
+ log
>0
>1
>0 05x
5 x
5 x
+ 2x < 3x 1 , ta vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2 x và y = 3x 1 trên cùng một hệ trục toạ độ.
Khi đó ta đợc nghiệm là 1 < x < 3.
- Do đó hệ (I) có nghiệm 1 < x < 3.


Biờn son: GV HUNH C KHNH

-

Giải hệ (II)

-

5 < x < 5
5 < x < 5
5+ x
5+ x

+ log
<0 0<
< 1 2x

5 < x < 0.
5x
5x
x < 0 x > 5
5 x < 0
+ 2x > 3x 1 x < 1 hoặc x > 3 .
Do đó hệ (II) có nghiệm 5 < x < 0.
Vậy bất phơng trình có nghiệm (5, 0) (1,3) .

BAỉI TAP

21 x 2x + 1
0.
2x 1

Gii bt phng trỡnh sau:

5. MOT SO PHệễNG PHAP KHAC
Vớ d 1.

Gii bt phng trỡnh:

Li gii:
- Điều kiện x 2.
- Ta có nhận xét sau:
+
x 2 + 4 4 log 2

(

log 2

(

)

1

x 2 + 4 log 3
+ 8
x 1


)

x 2 + 4 2 VT 2.

1
1
x 1
1
1


+ 8 9 log 3
+ 8 2 VP 2
x 1
x 1

VT = 2
x 2 = 0
- Vậy bất phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi

x = 2.
VP = 2
x = 2
- Vậy bất phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
log x log 9 3x 9 < 1
Li gii:
- Để log 9 3x 9 có nghĩa, ta cần có 3x > 9 3x > 32 x > 2.

+

x 2 x 1 1

x 1 1

(

(

-

-

)

)

Với điều kiện trên bất phơng trình đã cho tơng đơng với

x>2
3x 9 > 1

log 9 ( 3x 9 ) > 0 x
x
3 9 < 9
log ( 3x 9 ) < x
9
t > 10
Đặt 3x = t, ( t > 0 ) , ta có hệ 2
t > 0 3x > 10 x > log 3 10 .
t

t

+
9
>
0


Vớ d 3.

Gii bt phng trỡnh: 5x + 6x 2 x 3 x 4 log 2 x > ( x 2 x ) log 2 x + 5 + 5 6 + x x 2

Li gii:

-

x>0

iu kin:
02
6 + x x 0

-

Bất phơng trình đã cho tơng đơng với ( x log 2 x 5 )

-

Do x 3 x log 2 x 3log 2 3 < log 2 32 = 5 . Vậy khi 0 < x 3 thì xlog 2 x 5 < 0, do đó

(

)

6 + x x2 +1 x > 0

( *)


Biờn son: GV HUNH C KHNH

0 05


2

2
2
2x 3x 5 > 0
6 + x x + 1 x < 0

( *)
-

Vậy nghiệm

Vớ d 4.

5
< x 3.
2

Gii bt phng trỡnh:

Li gii:
- iu kin: 2 x 2

-

(

)

4x + 8 2 x 2 > 4 + x 2 x .2x + x.2x +1 2 x 2

(

Bất phơng trình tơng đơng với 4 x.2

x

) ( x 1 + 2

2x

2

)>0

(1)
(2)

3

Từ (1) ta có x 2 x.2x 2.2 2 < 2.2 2 = 4. . Do đó (2) tơng đơng với
2 x 2
2 2 x2 > 1 x
(3)

2
x 1 + 2 2 x > 0
- (3) tơng đơng với hai hệ sau
2 x 2 0
+ ( I) :
1< x 2
1

x
<
0

x 1
1 x 0
x 1



+ ( II ) :

2
7 1 x 1
2
2
5x

2x

7
<
0
4
2

x
>
1

x

1
<
x
<
(
)

5
- Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là x 1; 2 .


1
1
>
Vớ d 5. Gii bt phng trỡnh:
log 2 ( x + 1) log 2 ( 3 2x )
Li gii:

1 < x 0
3

0 < x +1 1

1 < x <
- iu kin:

2
3
0 < 3 2x 1
1 x < 2
x 0;1


-

(

-

log 2 ( x + 1) > 0 x + 1 > 1 x > 0.

log 2 ( 3 2x ) > 0 3 2x > 1 x < 1.
Ta có bảng xét dấu
x
log2(x+1)
log2(3-2x)

-

)

3
2

1

0

-1
-

+

+

+

+

-

Từ đó ta có các trờng hợp sau
+ TH1: Với 1 < x < 0 thì VT < 0, VP > 0 suy ra bất phơng trình vô nghiệm
+ TH2: Với 0 < x < 1 thì VT > 0, VP > 0. Khi đó bất phơng trình tơng đơng với
log 2 ( x + 1) < log 2 ( 3 2x ) 3 2x > x + 1 0 < x < 1.


Biờn son: GV HUNH C KHNH

3
3
thì VT > 0, VP < 0, bất phơng trình có nghiệm với mọi 1 < x < .
2
2
3

- Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là 0 < x < \ {1} .
2

1
1
Lu ý:
Với bất phơng trình dạng
, ta thờng giải nh sau:
>
log a u log b v

+ Lập bảng xét dấu của log a u và log b v trong tập xác định của bất phơng trình.
+ Trong tập xác định đó nếu log a u và log b v cùng dấu thì bất phơng trình tơng đơng
với log a u < log b v.
+ TH3: Với 1 < x <

Vớ d 6.

( x; y ) của bất
nghiệm có tổng ( 2x + y ) lớn nhất.

Trong các nghiệm

phơng trình log x 2 + 2 y2 ( 2x + y ) 1 , chỉ ra các

Li gii:
- Bất phơng trình trên tơng đơng với hai hệ sau
0 < x 2 + 2y 2 < 1
( I ) : 2x + y x 2 + 2y2

2x + y > 0

-

và

x 2 + 2y 2 > 1
II
:
( )
2

2
2x + y x + 2y

Rõ ràng nếu ( x; y ) là nghiệm của bất phơng trình thì tổng ( 2x + y ) lớn nhất chỉ xảy ra khi

nó là nghiệm của hệ ( II )

-


x 2 + 2y 2 > 1

2
( II )
1 9
2

x

1
+
2y

)
(

2 2 8


1

1 9
Ta có 2x + y = 2 ( x 1) +
2y
+ .
2
2 2 4
1

1
p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số x 1; 2y
và 2;
, ta đợc
2 2
2


2
2

1
1
1
1 9 9 81

2
2 ( x 1) +
2y
( x 1) + 2y
4 + 2 8 . 2 = 16
2

2 2
2 2




9
1
1 9
9
2 ( x 1) +
2y

0 < 2x + y


4
2
2
2 2 4
9

2x + y =

2

x = 2
9

1

Du '' = '' xy ra khi v ch khi 2x + y =


2y
1
x

1
2
2
2

y = 2
=
1
2

2
1
Với x = 2, y = thoă mãn bất phơng trình x 2 + 2y 2 > 1.
2


-

-


Biờn son: GV HUNH C KHNH

1
Vậy trong các nghiệm của bất phơng trình thì nghiệm 2; là nghiệm có tổng ( 2x + y )
2

9
lớn nhất bằng .
2
BAỉI TAP
Gii bt phng trỡnh sau:
-

(

(

x
1) log x log 3 9 72

2)
3)

(

) >3

log a 35 x 3

log a ( 5 x )
1

log 1 2x 3x + 1
2

)) 1

vi 0 < a 1 .

>

1
.
log 1 ( x + 1)
3

3

4) Trong các nghiệm ( x; y ) của bất phơng trình log x 2 + y2 ( x + y ) 1 . Tìm nghiệm có tổng

(x

+ 2y ) lớn nhất.

BAỉI TAP LUYEN TAP
Gii cỏc bt phng trỡnh sau:

1)

2)

(

10 3

)

x +1
x +3

<

(

10 + 3

1
log 1 2x 3x + 1
2

>

)

x 3
x 1

(Hc vin GTVT nm 1998)

1
log 1 ( x + 1)

3

3

(

)

(

3)

1 + log 4 2x 2 + 3x + 2 > log 2 2x 2 + 3x + 2

4)

log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x.log 3 x

5)
6)

(H Quc gia TPHCM 1999)

2x 3
log 3
<1
1 x
1

log x x 2

4

log3 x x2

)

(H Thu li 1999)
(H NT 1998)
(H SP Vinh 1998)
(H Hu 1998)

<1

7)

5

8)

1
log 3 x 2 5x + 6 + log 1 x 2 > log 1 ( x 3) (H Bỏch khoa H Ni)
2
3
3

9)
10)
11)

(

log 2 x 2 9x + 8
log 2 ( 3 x )

(H ngõn hng TPHCM 1998)

)<2

1

log x x 2
4

log 2 7.10 x 5.25x > 2x + 1

(

)

(H Tng hp TPHCM 1964)
(H Hu 1998)
(H Thy sn 1999)


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

12)

(

log a 35 − x 3
log a ( 5 − x )

) >3

(ðH Y DƯỢC TPHCM)

13)

8 + 21+ x − 4x + 21+ x > 5

14)

15.2x +1 + 1 ≥ 2x − 1 + 2 x +1
2

1

+1

16)

 1 x
 1 x
  + 3.   > 12
3
3
x
2.14 + 3.49x − 4x ≥ 0

17)

(

15)

18)
19)

5+2

)

x −1

≥

(

5−2

)

x −1
x +1

2 ( 5x + 24 ) − 5x − 7 ≥ 5x + 7
x −3
x −1

x +1
x +3

(
) (
)
( 2 + 3 ) + ( 7 + 4 3 )( 2 − 3 ) > 4.( 2 + 3 )
( 2. 3 + 11 ) + ( 2 3 − 11) ≤ 4 3
10 + 3

< 10 − 3

x

20)
21)

x

2x −1

2x −1

22)

3 + 5x − 2x 2 + 3x > 3x.5− x. 3 + 5x − 2x 2 + 9x .5− x

23)
24)

−3x 2 − 5x + 2 + 2x > 3x.2x. −3x 2 − 5x + 2 + 4x 2 .3x
log 2 log 3 x − 3 < 1

2

3

(

(

))

25)

log x log 9 3x − 9 ≤ 1

26)

log 5 4x + 144 − 4 log 5 2 < 1 + log 5 2x − 2 + 1

(
(3

x

)

)

(

+ 2 + 2.log 3x + 2 2 − 3 > 0

27)

log 2

28)

log 2x 64 + log x 2 16 ≥ 3

29)
30)

2
1
1
1
log x 2 +3 ( x 2 − 6 ) < 2 + log 2
2
12
64
1
1
>
log 3 ( x + 1)
log
2x 2 − 3x + 1

3

31)
32)

(

)

log ( −3x −5) 4 − log ( −6x −2 ) 16 ≥ 0

(

lg x 2 − 3x + 2
lg x + lg 2

) >2

log 2 ( x + 1) − log 3 ( x + 1)
2

33)
34)
35)
36)

)

x 2 − 3x − 4

)

(2 +

3

>0

2 
x 2 − 7x + 12  − 1 ≤
x 
log 2 x 2 − 9x + 8
<2
log 2 ( 3 − x )

(

)

(

)

2
14x − 2x 2 − 24 . + log x  
x

log 2 x + 2 log 7 x ≤ 2 + log 2 x.log 7 x