Tài liệu bài tập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hay

Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 1. Giải các phương trình chứa căn thức sau:
1,
3 5 3 4x x− = − +
11,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + +
12,
3
2 1 1x x− = − −
3,
4 4
18 5 1x x− = − −
13,
3
3
1 2 2 1x x+ = −
4,
( )
3 2 2 2 6x x x+ − = + +
14,
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
5,
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
15,
3

2 3 2 3 6 5 8x x− + − =
6,
2
( 1) ( 2) 2x x x x x− + + =
16,
2 7 5 3 2x x x+ − − = −
7,
3 3
4 3 1x x+ − − =
17,
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +
8,
2 2
4 2 3 4x x x x+ − = + −
18,
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
9,
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =
19,
2
4 13 5 3 1x x x− + − = +

10,
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +
20,
2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x− + − + − − − = +
Bài 2. Giải các bất phương trình vô tỷ sau:
1,
2 2
( 3) 4 9x x x− − ≤ −
5,
1 3 4x x+ > − +
2,
3 2 8 7x x x+ ≥ − + −
6,
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + ≥ − −
3,
2
1 1 4
3
x
x
− −
<
7,
2

8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤
4,
3 1
3 2 7
2
2
x x
x
x
+ < + −
8,
2 1 3 2 4 3 5 4x x x x− + − < − + −
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
1,
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y

+ =




+ =



9,
3
1 1
2 1
x y
y x
y x

− = −



= +

2,
2
(3 2 )( 1) 12
2 4 8 0
x x y x
x y x
+ + =


+ + − =

10,
2 2
4
( 1) ( 1) 2

x y x y
x x y y y

+ + + =

+ + + + =

GV: Mai ThÞ Thuý
1
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3,
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y

+ =


− + =


11,
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y


+ + − + =


+ =


4,
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y

− =


− − =


12,
( )
( )
( )
( )
2
2
1 4
1 2
x y y x y

x y x y

+ + + =


+ + − =


5,
5 2 7
5 2 7
x y
y x

+ + − =


+ + − =


13,
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =


+ + =


6,
( )
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =



+ − + =


14,
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy

x x y
x x
xy
y y x
y y

+ = +

− +



+ = +

− +

7,
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
+ + = −


+ + + =

15,
( )
( )

( )
2 2
2 2
2 2
36 25 60
36 25 60
36 25 60
y x x
z y y
x z z

+ =


+ =


+ =


8,
2 2
2 2 2
3( ),
7( )
x xy y x y
x xy y x y

− + = −


+ + = −

16,
( )
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y

− = +


− = +


Bài 4. Giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá:
1,
2
2 10 3
x
x= −
5,
( )
( )
2
lg 6 lg 2 4x x x x− − + = + +
2,
( ) ( ) ( )

3
5 2 6 5 2 6 3
x x x
+ + − =
6,
( )
9 2 2 3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
3,
2 2
3 13 4 3 3 6x x x+ = − + +
7,
( )
2 3
log 1 logx x+ =
4,
4 4
1 17 2x x− + − =
8,
4 7 9 2
x x
x+ = +
Bài 5. Giải các phương trình mũ sau:
1,
( ) ( )
2 2
3 3
2 3 2 3 14
x x

+ + − =
6,
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x+
+ + − =
2,
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
7,
1 1 1
2.81 7.36 5.16 0
x x x
− − −
− + =
3,
4
2
8 4.3
x
x
x
−
+
=

8,
2
2
3
2 .3
2
x x x−
=
GV: Mai ThÞ Thuý
2
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
4,
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
9,
( )
9
9
3 log 1
log 3
3
x
x
x
−
−
=

5,
( )
2
3 2 9 .3 9.2 0
x x x x
− + + =
10,
3 1 3
.3 27 .3 9
x x
x x x x
+
+ = +
Bài 6. Giải các phương trình logarit sau:
1,
2
3 3
3
log log 1
x
x
x
+ =
5,
( )
2
3 2
8 10
2 5 2
log log 2 0

x
x x
x x
+
+ +
+ − =
2,
5 5
log 5 log 25 3
x
x+ =
7,
2 3
16 4
2
log 14log 40log 0
x x x
x x x− + =
3,
( ) ( )
3 2
2 2
2 4 3
log 3 log 3
x x x
x x
+ −
− = −
8,
2

2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
4,
( )
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
9,
( )
2
2 2
log 4 log 3 0x x x x+ − − + =
9,
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0x x x+ − − − − =
10,

(
)
(
)
2 2
2 2
log 2 3log 2 5x x x x− − + + − =
11,
1
3 3
log (3 1)log (3 3) 6
x x+
− − =
Bài 7. Giải các bất phương trình mũ:
1,
2
2
2
2
1
9 2 3
3
x x
x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 

4,
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0
x x x+
− + − =
2,
2 1 2 1
3 2 5.6 0
x x x+ +
− − ≤
5,
2 2
2 4 2 2 1
2 16.2 2
0
1
x x x x
x
− − − −
− −
≤
+
3,
2 35
2
12
2 1
x
x
x

+ >
−
6,
2 2
1 1 1
2 2 2 2
x x x x+ − − −
+ ≤ +
Bài 8. Giải các bất phương trình logarit:
1,
( )
1
log 2 2
x
x
+
− >
4,
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2 3 1 log 1
2 2
x x x− + + − ≥
2,
2
4 2

(log 8 log )log 2 0
x
x x+ ≥
5,
( )
2
3 1
2
log log 3 1x − <
GV: Mai ThÞ Thuý
3
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3,
2
2
2 3
log 0
3 8
x
x
x
−
+
<
+
6,
( ) ( )
2
3
3

log 1 log 2 1 2
0
2 1
x x
x
− + − −
≥
−
Bài 9. Giải các hệ phương trình mũ, logarit:
1,
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

5,
2 1
2 1
2 2 3 1

2 2 3 1
y
x
x x x
y y y

−
−

+ − + = +


+ − + = +


2,
2 2
1 1
3 3
10

log log 1 0
x y
x y

+ =


+ + =


6,
( )
( ) ( )
2 2
lg 1 lg13

lg lg 3lg2
x y
x y x y

+ − =


+ = − +


3,
( )
3
3 .2 972
log 2
x y
x y

=


− =


7,
( )
( )
5
27 .3 5
3log

y x
x y
x y x y
−

+ =


+ = −


4,
2 2
2
2 4 1
2 4 2 1
x y
x y x y+

+ =


+ + =


8,
1
2 2 1
2 1 1
1 2 2 1

x
x x
y y
y
+
+ +

= − + +


+ = − +


Bài 10. Tìm tham số m để phương trình:
1,
2
4
1x x m+ − =
có nghiệm
2,
4
4
13 1 0x x m x− + + − =
có đúng một nghiệm
3,
( )
( )
3
2 1
2

log 4 log 2 2 1 0x mx x m+ + − + =
có nghiệm
Bìa 11. Tìm tham số m để bất phương trình:
1,
( )
2
1
2
log 3 1
m
m
x
+
+
+ >
đúng với mọi
x R
∈
2,
.2 2 3 1
x x
m m− − ≤ +
có nghiệm
3,
(
)
2
2 2 1 (2 ) 0m x x x x− + + + − ≤
có nghiệm
0;1 3x

 
∈ +
 
Bài 12. Tìm tham số m để hệ phương trình:
1,
2 0
1
x y m
x xy
− − =



+ =


có nghiệm duy nhất 2,
2 1 2 1
2
7 7 2010 2010
( 2) 2 3 0
x x x
x
x m x m
+ + + +

− + ≤


− + + + ≥



có nghiệm
3,
( ) ( )
2 2
2
1 1 2
1
m y
x n
m nxy x y

+ + + =



+ + =

có nghiệm với mọi
n R∈
GV: Mai ThÞ Thuý
4
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 13. Chứng minh rằng hệ
2
2
2007
1
2007

1
x
y
y
e
y
x
e
x

= −

−



= −

−

có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
Bài 14. Xác định m để bpt:
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
9 2 .6 1 .4 0
x x x x x x
m a m
− − −
− − + + ≥

nghiệm đúng với mọi thỏa mãn
1x ≥
Bài 15. Xác định m để pt
( ) ( )
2 2
3 3 3 3
log .log 2 3 log 2log 2 3 2 0x x x m x x x m− + − − − + + =
có 3 nghiệm
phân biệt
Bài 1. 1,
3 5 3 4x x− = − +
- Đáp số:
4x =
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + +

- Đặt
2
1 0t x x= + + >
, pt đã cho trở thành:
( )
2
4 4 0
4
t x
t x t x
t
=


− + + = ⇔

=

Với
2
1 :t x x x x= ⇔ + + =
vô nghiệm
Với
2
1 61
4 15 0
2
t x x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
3,
4 4
18 5 1x x− = − −

- Ta đặt
4 4
4 4
18 0; 1 0 17u x v x u v= − ≥ = − ≥ ⇒ + =
, ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v giải hệ này
tìm được u, v suy ra x.- Đáp số: Hệ vô nghiệm
4,
( )
( )
3 2 2 2 6 *x x x+ − = + +

- Điều kiện:
2x
≥
- Ta có:
( ) ( )
( )
3
8 3
* 2 3
3 2 6
3 2 6 4
x
x
x
x x
x x
=

−
⇔ − = ⇔

− + +
− + + =

- Đáp số:
108 4 254
3;
25
x
 

+
 
=
 
 
 

5,
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
Đáp số:
25
; 1
7
x
 
= − ±
 
 
6,
2
( 1) ( 2) 2x x x x x− + + =
ĐS:
9
0;
8
x
 
=
 

 
7,
3 3
4 3 1x x+ − − =
Đáp số:
{ }
5;4x = −

GV: Mai ThÞ Thuý
5
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
8,
2 2 2
4 2 14
4 2 3 4 4 ;2 0;2;
3 3
x x x x t x x t x
 
− −
 
 
+ − = + − → = + − ⇒ = − ⇒ =
   
 
 
 

9,
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =

- Đặt
2 2 2
3 3 0 3 3t x x x x t= − + > ⇒ − + =
- Phương trình thành:
( )
2 2
2
2
3
3 3 3 3 1
3 3
t
t t t t t
t t
≥


+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =

+ = −


Suy ra
{ }
2
3 2 0 1;2x x x− + = ⇔ =
. Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
1;2x =

10,
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +
Điều kiện:
0x
≥
- Đặt
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
4
4
4 2; 0
2 0
2 3
u v
u v
u x v x
u v u v
u v uv


= +
= +
 
= + ≥ = ≥ ⇒ ⇒
 
− − =

+ =





Giải ra ta được
4
3
x =
(thỏa mãn)
11,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
Điều kiện:
1x
≥
- Khi đó:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +

( )
2
3 2 1 3 2 1
3 2 1 1
x x x x
x x
⇔ − + − = − + −
⇔ − + − =

Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm
1x =
12,
3
2 1 1x x− = − −
Đáp số:
{ }
1;2;10x =
13,
3
3
1 2 2 1x x+ = −

3
3
3
1 2
1 5
2 1 1;
2
1 2
y x
y x x y x
x y

 
+ =
− ±
  
→ = − ⇒ ⇒ = ⇒ =

  
+ =
 

 

14,
2 2
5 14 9 2 5 1x x x x x+ + − − − = +
ĐS:
9
1; ;11
4
x
 
= −
 
 
15,
3
2 3 2 3 6 5 8x x− + − =
Đáp số:
{ }
2x = −
16,
2 7 5 3 2x x x+ − − = −
Đáp số:
14
1;
3

x
 
=
 
 
17,
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +
- Điều kiện:
1 7x≤ ≤
GV: Mai ThÞ Thuý
6
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
- Ta có:
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +

( ) ( )
1 1 7 2 1 7x x x x x⇔ − − − − = − − −

1 2 5
4
1 7
x x
x
x x

− = =

⇔ ⇔



=
− = −



18,
( )
2
2
3 3
2 4 2 1 2
2 2
x x
x x x
+ +
+ = ⇔ + − =
- Đặt
3
1
2
x
y
+
+ =

( )
( )
2

2
2 1 3
2 1 3
x y
y x

+ = +

⇒

+ = +


Đáp số:
3 17 5 13
;
4 4
x
 
− ± − ±
 
=
 
 
 
19,
( )
2
2
4 13 5 3 1 2 3 4 3 1x x x x x x− + − = + ⇔ − − + + = +

- Đặt
( )
( )
2
2
2 3 3 1
2 3 3 1
2 3 4 2 3
y x
y x
x x y

− = +

− = + ⇒

− − + + = −


Đáp số:
15 97 11 73
;
8 8
x
 
− +
 
=
 
 

 
20,
2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x− + − + − − − = +
- Điều kiện:
1x ≤
- PT đã cho
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x x x⇔ − + + − − = +
. - Đáp số:
3
; 1
5
x
 
= −
 
 
Bài 2. 1,
2 2
( 3) 4 9x x x− − ≤ −
ĐS:
[
)

13
; 3;
6
x
 
∈∪ −∞ − ∪ ∞


 

2,
3 2 8 7x x x+ ≥ − + −
ĐS:
[ ] [ ]
4;5 6;7x∈ ∪

3,
2
2
2
1 1 4 4
3 3 3 1 4 4 3
1 1 4
x x
x x
x
x
− −
< ⇔ < ⇔ − > −
+ −

ĐS:
{ }
1 1
; \ 0
2 2
x
 
∈ −
 
 

4,
3 1 1
3 2 7 2 2
2
2 2
x x t x
x
x x
+ < + − → = + ≥
ĐS:
8 3 7 1 8 3 7
0; ;1 ;
2 4 2
x
   
− +
 
∈ ∪ ∪ ∞
 ÷  ÷

 ÷
 ÷  ÷
 
   
5,
1 3 4x x+ > − +
ĐS:
( )
0;x∈ ∞
6,
2 2 2
5 10 1 7 2 2x x x x t x x+ + ≥ − − → = +
ĐS:
( ) ( )
{ }
1; ; 3 \ 1 2 2x∈ ∞ ∪ −∞ − − ±
7,
2
8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤
ĐS:
1 1
;
2 4
x
   
∈ ∞ ∪
 
÷

   

GV: Mai ThÞ Thuý
7