PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

PHƢƠNG PHÁP PHẦN
TỬ HỮU HẠN
 Lý thuyết
 Bài tập
 Chƣơng trình MATLAB

i


PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) đƣợc biên soạn dựa
trên cuốn: Giáo trình Phƣơng pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và
chƣơng trình Matlab. GS.TS. Trần Ích Thịnh, TS. Ngô Nhƣ Khoa. NXB Khoa
học Kỹ thuật 2007. Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những
năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trƣờng Đại học Bách khoa Hà Nội và
học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trƣờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp
- Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên
các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Kỹ thuật cơ khí, v.v. Với các nội
dung:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phƣơng pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 11 chƣơng.
Sau phần giới thiệu phƣơng pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chƣơng 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phƣơng pháp khử Gauss (Chƣơng 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chƣơng 3). Phƣơng pháp Phần tử hữu
hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) đƣợc giới thiệu trong Chƣơng 4 và
ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chƣơng 5). Tiếp theo, giáo trình tập

trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chƣơng 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chƣơng 7). Chƣơng 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chƣơng 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung.
Chƣơng 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều.
Chƣơng 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn.

ii


Cuối mỗi chƣơng (từ chƣơng 4 đến chƣơng 11) đều có chƣơng trình Matlab
kèm theo và một lƣợng bài tập thích đáng để ngƣời đọc tự kiểm tra kiến thức
của mình.
Rất mong nhận đƣợc những góp ý xây dựng của bạn đọc.

iii


MỤC LỤC

Chƣơng 1. GIỚI THIỆU PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1
1. GIỚI THIỆU CHUNG
1
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
1
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
2
3.1. Nút hình học
2

3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
2
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
2
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
3
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
4
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
6
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
6
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 7
Chƣơng 2. ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 9
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
9
1.1. Véctơ
9
1.2. Ma trận đơn vị
10
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
10
1.4. Nhân ma trận với hằng số
10
1.5. Nhân hai ma trận
10
1.6. Chuyển vị ma trận
11
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
11

1.8. Định thức của ma trận
11
1.9. Nghịch đảo ma trận
12
1.10. Ma trận đƣờng chéo
13
1.11. Ma trận đối xứng
13
1.12. Ma trận tam giác
13
2. PHÉP KHỬ GAUSS
13
2.1. Mô tả
13
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát
14
Chƣơng 3. THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 17
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
17
1. CÁC VÍ DỤ
17
1.1. Ví dụ 1
17
1.2. Ví dụ 2
19
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F
22
iv

2.1. Nguyên tắc chung
22
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử:
23
Chƣơng 4. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
24
1. MỞ ĐẦU
24
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
25
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG
26
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
28
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
28
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT
29
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
30
8. VÍ DỤ
33
BÀI TẬP CHƢƠNG 4
38
Chƣơng 5. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH
PHẲNG
40
1. MỞ ĐẦU
40
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƢƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG

40
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
42
4. ỨNG SUẤT
42
5. VÍ DỤ
43
BÀI TẬP CHƢƠNG 5
44
Chƣơng 6. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
48
1. MỞ ĐẦU
48
1.1. Trƣờng hợp ứng suất phẳng
49
1.2. Trƣờng hợp biến dạng phẳng
49
2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC
49
3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ
52
4. THẾ NĂNG
54
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC
55
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT
55
7. VÍ DỤ
58
BÀI TẬP CHƢƠNG 6

62
Chƣơng 7. BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG64
1. MỞ ĐẦU
64
2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC
64
3. PHẦN TỬ TAM GIÁC
66
BÀI TẬP CHƢƠNG 7
74
Chƣơng 8. PHẦN TỬ TỨ GIÁC
77
1. MỞ ĐẦU
77
v


2. PHẦN TỬ TỨ GIÁC
77
3. HÀM DẠNG
77
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ
79
5. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT
81
6. TÍCH PHÂN SỐ
81
7. TÍNH ỨNG SUẤT
85
8. VÍ DỤ

85
BÀI TẬP CHƢƠNG 8
87
Chƣơng 9. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ
KHUNG
89
1. GIỚI THIỆU
89
2. THẾ NĂNG
89
3. HÀM DẠNG HERMITE
90
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM
91
5. QUY ĐỔI LỰC NÚT
93
6. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT
94
7. KHUNG PHẲNG
95
8. VÍ DỤ
97
BÀI TẬP CHƢƠNG 9
101
Chƣơng 10. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 104
1. GIỚI THIỆU
104
2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU
104
2.1. Mô tả bài toán

104
2.2. Phần tử một chiều
104
2.3. Ví dụ
105
3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU
107
3.1. Phƣơng trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều
107
3.2. Điều kiện biên
108
3.3. Phần tử tam giác
109
3.4. Xây dựng phiếm hàm
110
3.5. Ví dụ
113
BÀI TẬP CHƢƠNG 10
116
Chƣơng 11. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM
- VỎ CHỊU UỐN
118
1. GIỚI THIỆU
118
2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF
118
3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN
120
4. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN
126

vi


5. PHẦN TỬ VỎ
BÀI TẬP CHƢƠNG 11
TÀI LIỆU THAM KHẢO

129
132
133

vii


Chương 1
GIỚI THIỆU PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi ngƣời kỹ sƣ thực hiện những đề án
ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phƣơng pháp rất tổng quát và
hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích
trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô,
máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý
thuyết trƣờng nhƣ: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí
đàn hồi, điện-từ trƣờng v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và
hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã đƣợc tính toán và thiết kế chi tiết
một cách dễ dàng.
Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng nhƣ: ANSYS, ABAQAUS, SAP,
v.v.

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây
dựng lấy một chƣơng trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm đƣợc cơ sở lý
thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng nhƣ các bƣớc tính cơ bản của phƣơng pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lƣợng cần khảo sát nào đó (chuyển vị,
ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thƣớc
và bậc tự do hữu hạn. Đại lƣợng xấp xỉ của đại lƣợng trên sẽ đƣợc tính trong tập
hợp các miền ve.
Phƣơng pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve đƣợc gọi là phƣơng pháp xấp xỉ
bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào
nút của ve và biên của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve đƣợc xây dựng sao cho chúng liên
tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác
nhau.
- Các miền con ve đƣợc gọi là các phần tử.

1


3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH.
Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve
có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó đƣợc xác định giải
tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ
nằm trong ve hoặc trên biên của nó.
3.1.

3.2.

-

-

Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau:
Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của
chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới
giữa các phần tử có thể là các điểm, đƣờng hay mặt (Hình 1.1).
Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V
cho trƣớc càng tốt. Tránh không đƣợc tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
v1

v2

biên giới

v2
v1
biên giới

v1

v2
biên giới

Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử

4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều.
Trong mỗi dạng đó, đại lƣợng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử
bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dƣới đây, chúng ta làm quen với một số dạng
phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều

Phần tử bậc nhất

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc ba

Phần tử hai chiều

2


Phần tử bậc ba

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc nhất

Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện

Phần tử bậc ba

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc nhất

5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức
tạp, chúng ta đƣa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký
hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thƣờng là phần tử đơn giản, đƣợc xác định trong
không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve
nhờ một phép biến đổi hình học re. Ví dụ trong trƣờng hợp phần tử tam giác
(Hình 1.2).
(5)

y
(4)



r3

0,1
r1

0,0

(3)

v2
r2

vr

v3

(1)

v1
(2)

1,0



x

Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn
các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình
học phải đƣợc chọn sao cho có các tính chất sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm  trong
phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một
điểm của ve và ngƣợc lại.
3


b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu đƣợc xác định bởi các nút hình học của biên
đó ứng với phần biên của phần tử thực đƣợc xác định bởi các nút tƣơng ứng.
Chú ý:
Một phần tử qui chiếu vr đƣợc biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve
cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn
đƣợc gọi là phần tử bố-mẹ.

Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên nhƣ một phép đổi biến đơn giản.
-

 (, ) đƣợc xem nhƣ hệ toạ độ địa phƣơng gắn với mỗi phần tử.

6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều

-1

1 

0

-1

1 

0

-1

-1

Phần tử bậc hai

Phần tử bậc nhất

0

/2

1



1

/2

Phần tử bậc ba

Phần tử qui chiếu hai chiều





1

1

1

1

v

r

0,0



1

Phần tử bậc nhất

/2

v

1 ,1
/2 /2

r
1

0,0

2

/2

1



1

Phần tử bậc hai

1 ,2
/3 /3

/3

2 ,1
/3 /3

vr

/3

0,0

1

/3

2

/3



1

Phần tử bậc ba

Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện






0,0,1

0,0,1


vr
0,0,0

0,0,1


vr

0,1,0

0,1,0
1,0,0

Phần tử bậc nhất



1,0,0
Phần tử bậc hai





vr

0,1,0
1,0,0



Phần tử bậc ba

4


Phần tử sáu mặt




0,1,1

vr

vr

vr

1,1,0

Phần tử bậc nhất










0,1,1

0,1,1



1,1,0

Phần tử bậc hai



1,1,0

Phần tử bậc ba

5


7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dƣới dạng véctơ cột:
- Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T
- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T
- Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T
Chuyển vị của một điểm thuộc vật đƣợc ký hiệu bởi:
u = [u, v, w] T
Các thành phần của tenxơ biến dạng đƣợc ký hiệu bởi ma trận cột:

 = [x , y, z, yz, xz, xy] T

(1.1)
(1.2)

Trƣờng hợp biến dạng bé:
 u
 
 x

v
y

w
z

v w


z y

u w

z x

T

u v 
 
y x 

(1.3)

Các thành phần của tenxơ ứng suất đƣợc ký hiệu bởi ma trận cột:

 = [x ,  y, z,  yz,  xz,  xy] T

(1.4)
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hƣớng, ta có quan hệ giữa ứng suất với
biến dạng:

=D

(1.5)

Trong đó:



1 
 
1 


 

1 
E
D

0
0
1  1  2   0
 0
0
0

0
0
 0

0
0
0
0,5 

0
0
0

0

0
0

0,5 
0







0 

0,5  
0
0
0
0

E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu.
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lƣợng biến
dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

 =U+W

(1.6)

Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lƣợng biến dạng trên một đơn vị thể
1
2

tích đƣợc xác định bởi:  T 
Do đó năng lƣợng biến dạng toàn phần:

6


U 

1


2

T

dv

(1.7)

V

Công của ngoại lực đƣợc xác định bởi:
n

W    u T FdV   u T TdS   ui Pi
V

S

T

(1.8)

i 1

Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:


n
1
T
T
T
T


dV

u
f
dV

u
TdS

ui Pi





2V
i 1
V
S

(1.9)

Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả
các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế
năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân
bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Một chƣơng trình tính bằng PTHH thƣờng gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả
nút và phần tử (lƣới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun
đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông
tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi
phần tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả
hệ (ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma
trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phƣơng trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị
chung Q;

Khối 6: Tính toán các đại lƣợng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ,
v.v.) ;
Khối 7: Tổ chức lƣu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại
lƣợng theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên đƣợc biểu diễn nhƣ hình sau (Hình 1.3);

7


Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lƣới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Giải hệ phƣơng trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Tính toán các đại lƣợng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH

8


Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
Áp dụng phƣơng pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thƣờng liên quan
đến một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma
trận và phƣơng pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phƣơng trình tuyến tính sẽ
là 2 nội dung chính đƣợc đề cập trong chƣơng này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận đƣợc đề cập trong phần này là các công cụ
cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính, có dạng nhƣ
sau:
a11x1  a12 x2   a1n xn  b1
a21x1  a22 x2   a2 n xn  b2

(2.1)


an1 x1  an 2 x2   ann xn  bn

trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phƣơng trình (2.1) có thể đƣợc
biểu diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b
(2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thƣớc (n n), và x và b là các véctơ (n1),
đƣợc biển diễn nhƣ sau:
 a11 a12
a

a 22
A   21
 

 a n1 a n 2

 a1n 
 a 2 n 
 

 a nn 

 x1 
x 
 
x   2

 xn 

 b1 
b 
 
b   2

bn 

1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thƣớc (1 n) đƣợc gọi là véctơ hàng, ma trận có kích
thƣớc (n 1) đƣợc gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 4):
r  2  2 12 6

và véctơ cột (3 1):
11
 
c2
34
 

9


1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đƣờng chéo với các phần tử trên đƣờng chéo chính
bằng 1, ví dụ:
1 0 0


I  0 1 0
0 0 1



1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thƣớc là (m n). Tổng của chúng là 1 ma
trận C = A + B và đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
cij = aij + bij
(2.3)
Ví dụ:
3 2   8 5   5 7 
5  1    1  2   4  3


 
 


phép trừ đƣợc định nghĩa tƣơng tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
cA=[caij]
Ví dụ:

(2.4)

3 2  300 200 
102 


5  1 500  100

1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thƣớc (m n) với ma trận B kích thƣớc (n p) là 1
ma trận C kích thƣớc (m p), đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
A



B

=

C

(2.5)

(m n)
(n p)
(m p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) đƣợc tính theo biểu thức:
n

cij   aik bkj

(2.6)

k 1

Ví dụ:
4 5
2 8 5 
 54 70
3 1 4  2 5  38 36

 6 4 




Chú ý:
10

- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma trận A
phải bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trƣờng hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB và BA,
thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là AB  BA.
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thƣớc (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT
có kích thƣớc là (n m), đƣợc tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma
trận A thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A.
Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành
phần theo thứ tự đảo ngƣợc, có nghĩa là:
(ABC)T=CTBT AT.

(2.7)

1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng
số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:
 x  2 y 5 x 2  xy 


A   2 x
y 
 6x
x  4 y 


Trong các trƣờng hợp đó, các ma trận có thể đƣợc đạo hàm hay tích phân.
Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay
lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:

 da ( x) 
d
A( x)   ij 
dx
 dx 

(2.8)

 Adxdy   a dxdy 
ij

(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thƣờng xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phƣơng
trình PTHH trong các chƣơng sau. Xét ma trận vuông A, kích thƣớc (n n) với
các hệ số hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của
Ax theo 1 biến xp sẽ là:
d
( Ax )  a p
dx p

(2.10)

trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [aij], kích thƣớc (n n). Định thức của ma trận A
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
11


det( A)  a11 det( A11 )  a12 det( A12 ) 

 1

n 1

n

a1n det( A1n )    1
j 1

i j

aij det( Aij ) (2.11)

trong đó, Aij là ma trận kích thƣớc (n-1 n-1) thu đƣợc bằng cách loại đi hàng i
cột j của ma trận A.

Ví dụ:
 a11 a12
a
a22
A   21
 

an1 an 2

 a1n 
 a2 n 

 


 ann 

 a22
a
A11   32


an 2

a23  a2 n 
a33  a3n 
  

an 3  ann 

Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma
trận vuông có kích thƣớc (n n) đƣợc xác định theo phƣơng pháp truy hồi từ
định thức các ma trận có kích thƣớc (n-1 n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần
tử (1 1) có:
det(apq) = apq
(2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu
là A-1. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A-1A = AA-1 = I
(2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo.
Nếu det(A)  0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A
đƣợc xác định nhƣ sau:

A1 

adjA
det A

(2.14)

Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử aij   1i j det( Aji ) và Aji là ma
trận thu đƣợc từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thƣớc (2 2) là:
a12 
a
A   11

a21 a22 
1

1



1  a22  a12 
det A  a21 a11 

12


1.10.Ma trận đƣờng chéo
Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên

đƣờng chéo chính đƣợc gọi là ma trận đƣờng chéo. Ví dụ:
2 0 0 


D  0 3 0
0 0 5



1.11.Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
aij = aji hay: A = AT
(2.15)
Nhƣ vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đƣờng chéo
chính.
1.12.Ma trận tam giác
Ma trận đƣợc gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dƣới, tƣơng
ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dƣới hay nằm trên đƣờng chéo
chính bằng không.
Ví dụ, các ma trận đƣợc minh hoạ dƣới đây tƣơng ứng là ma trận tam giác
trên A và ma trận tam giác dƣới B:
2  3 11 
A  0 4
0 
0 0  9

2 0 0
B   3 4 0 
 11 0  9

2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phƣơng trình tuyến tính đƣợc biểu diễn ở dạng ma trận nhƣ sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thƣớc (n n). Nếu detA  0, thì ta có thể thực
hiện phép biến đổi phƣơng trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận đƣợc
nghiệm: x = A-1b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thƣớc của
ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thƣờng là số thực với miền xác định rất
rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp
phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phƣơng pháp khử Gauss
là một công cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính.
2.1. Mô tả
Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phƣơng pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh
hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.
Xét hệ phƣơng trình:
13


x1  2 x2  5x3  1

(1)

2 x1  5x2  3x3  2

(2)

 x1  x2  15x3  4

(3)

Bƣớc 1: bằng các phép biến đổi tƣơng đƣơng để khử x1 trong các phƣơng trình

(2) và (3), ta đƣợc hệ:
(1)
x1  2 x2  5x3  1
0 x1  x2  7 x3  4

(21)

0 x1  x2  20 x3  5

(31)

Bƣớc 2: khử x2 trong phƣơng trình (31), ta đƣợc hệ:
(1)
x1  2 x2  5x3  1
0 x1  x2  7 x3  4

(21)

0 x1  0 x2  27 x3  9

(32)

Ở đây, ta nhận đƣợc hệ phƣơng trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận
tam giác trên. Từ phƣơng trình cuối cùng (32), ta tìm đƣợc nghiệm x3, lần lƣợt
thế các nghiệm tìm đƣợc vào phƣơng trình trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận đƣợc các
1
3

5
3

8
3

ẩn số cần tìm nhƣ sau: x3  ; x2   ; x1  . Phƣơng pháp tìm nghiệm khi
ma trận các hệ số là ma trận tam giác trên này đƣợc gọi là phƣơng pháp thế
ngƣợc.
Các thao tác trên có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng ngắn gọn nhƣ sau:
2 5 1 
1
1 2 5 1
1 2 5 1
2



5 3  2  0  1 7 4  0  1 7 4

 1  1 15 4 
0 1 20 5
0 0 27 9

bằng phƣơng pháp thế ngƣợc, cuối cùng ta nhận đƣợc các nghiệm:
1
5
8
x3  ; x2   ; x1 
3
3
3

2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát
Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ đƣợc biểu diễn thông qua các bƣớc thực
hiện đối với một hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát nhƣ sau:

14


 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32


 
 ai1 ai 2


 
a
 n1 an 2

a13

 a1 j

a23

 a2 j

a33

 a3 j







ai 3





aij


an 3

 anj

 a1n   x1   b1 
 a2 n   x2  b2 
   
 a3n   x3  b3 
   
        
 ain   xi   bi 

   

      
 ann   xn  bn 

(2.16)

Để thực hiện phƣơng pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma
trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b nhƣ sau:
 a11 a12
a
 21 a22
a31 a32


 
 ai1 ai 2


 
a
 n1 an 2

a13

 a1 j

a23

 a2 j

a33

 a3 j







ai 3



aij







an3

 anj

 a1n 
 a2 n 
 a3 n 


  
 ain 


 
 ann 

 b1 
b 
 2
b3 
 

b 
 i

 
bn 

(2.17)

Bƣớc 1. Sử dụng phƣơng trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phƣơng
trình còn lại. Bƣớc này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu
và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép
biến đổi (2.18) sau:
ai1
 1
a


a

a1 j
ij
ij

a11


b 1  b  ai1 b ; i, j  2,..., n
i
1
 i
a11

(2.18)

Bƣớc 2. Sử dụng phƣơng trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phƣơng
trình còn lại. Bƣớc này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu
dƣới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không.
a11
0

0


0


0



a12

a13

 a1 j

a22

a23

 a2 j

a32

a33





1

1

1
1

1

1

1

 a31j



1

ai 2


ai 3


 aij
 

an12

an13

 anj1

 a1n 
 a21n 
 a31n 

  

 ain1 


 
1 
 ann


 b1 
b 1 
 2 
b31 
 
  
b 1 
 i 
  
 1 
bn 

(2.19)

Các bƣớc nhƣ trên sẽ đƣợc lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần
tử. Một cách tổng quát, tại bƣớc thứ k ta có:

15


a11 a12
 0 a 1

22

0
0


 
0
0


 
0
0


 
0
0


a13



a23



a33



1

2 


0










a2 j



a3 j



1





a1 j

2 








 k 1
 k 1
 ak 1,k 1  ak 1, j 






k 1

0



ai ,k 1


0




k 1


 k 1

 ai , j









 k 1
 an, j


an ,k 1

a1n   b1 
a21n   b21 



a32n   b33 
 

    


akk11,n  bkk11 

    


ai,kn1  bik 1 

    


ank,n1  bnk 1 

(2.20)

Ở bƣớc này, các phần tử trong miền đánh dấu đƣợc tác động nhờ phép biến đổi
k 1
 k 

k 1 ; i, j  k  1,..., n
k 1 aik
aij  aij
 k 1 a kj

a kk


k 1
 k 

k 1 aik
 k 1 bkk 1 ; i, j  k  1,..., n
bi  bi
a kk


(2.21)

Cuối cùng, sau n-1 bƣớc nhƣ trên, chúng ta nhận đƣợc hệ (2.16) dƣới dạng:
a11 a12

(1)
a22





0



a13
(1)

a23
( 2)
a33

a14
(1)
a24
( 2)
a34
( 3)
a44

a1n   x1   b1 
a2(1n)   x2   b2(1) 
a3( 2n)   x3   b3( 2) 
   

a4(3n)   x4   b4(3) 

   




( n 1)
( n 1) 
ann
  xn  bn 







(2.22)

Từ hệ (2.22) này, bằng phƣơng pháp thế ngƣợc từ dƣới lên ta nhận đƣợc các
nghiệm của hệ phƣơng trình (2.16) nhƣ sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ
qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b):
b
xn  n ; , xi 
ann

bi 

n

a

j i 1

aii

ij

xj
;

i  n  1, n  2, ,1

(2.23)

16


Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra
ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phƣơng
trình PTHH là một vấn đề quan trọng.
Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí
tƣơng ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào
véctơ lực chung.
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận
độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc
qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận
chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng đƣợc gán đúng những số trên.
Dƣới đây ta sẽ xét hai ví dụ.
1. CÁC VÍ DỤ
1.1. Ví dụ 1
Một kết cấu đƣợc chia ra 8 phần tử tam giác nhƣ Hình 3.1. Mỗi phần tử có 3
nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).
7

8
5

7

6

5
1

e

4

2

3

2

1

3

8

6

4

9

1

2

3
Hình 3.1

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử
đầu tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết nhƣ sau:
7 3 1 
8 1 2 
9 4 1 




2
3
k  3 6 2 ; k  1 7 3 ; k  4 6 0
1 2 5
2 3 4
1 0 5
1

17


Lời giải
1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đƣờng đến các nút ngƣợc chiều kim đồng hồ)
Bậc tự
do
Phần tử
1

2
3

1

2

3

1
4
2

2
2
3

4
5
5

2. Xét từng phần tử
Với phần tử 1, các dòng và cột đƣợc nhận dạng nhƣ sau:
1 2 4
7 3 1  1
k 1  3 6 2 2
1 2 5 4

Ma trận này đƣợc cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ đƣợc:
1 2

7
3

0
K 
1
0



3 4 5 

3 0 1 0 
6 0 2 0 
0 0 0 0 

2 0 5 0 
0 0 0 0 

    

1
2
3
4
5


Ma trận độ cứng của phần tử 2 đƣợc gán số bởi:
4 2 5

8 1 2 
k  1 7 3
2 3 4
2

4
2
5

Các số hạng của ma trận k2 đƣợc cộng thêm vào ma trận chung, cho ta
1

2

3

4

5 

3
0
1
0
7
3 6  7 0 2  1 3

0
0
0

0
0
K 
1 2  1 0 5  8 2
0
3
0
2
4







 1
 2
 3

 4
 5

 

Với phần tử 3:
18