BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC

Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206-
BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
BÀI 1: Chứng minh các BĐT sau:
1/
2 2
; ;
2 2
a b a b
a b R
+ +
 
≤ ∀ ∈
 ÷
 
2/
*
1 1 1 3
; , ,a b c R
a b b c c a a b c
+
+ + ≥ ∀ ∈
+ + + + +
B
ÀI 2: Chứng minh rằng:
1/
2 2
1 1 2
; 1
1 1 1
a b

a b ab
+ ≥ ≥ ≥
+ + +
2/
2 2 2
3( 1) ( 1) ; ,a b a b a b R+ + ≥ + + ∈
3/
2 2 2
; ,a b c ab bc ca a b R+ + ≥ + + ∈
4/
2 ; 2 ( 0) ( )a b ab a b
α α α α
≥ ≥ > → ≥ +
5/Cho:a>b>0 ;m>n ; m,n
∈
N,cmr:
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
− −
>
+ +
BÀI 3:Cho tamgiác ABC có độ dài 3 cạnh
là:a,b,c. Chứng minh rằng:
2 2 2
2( )ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + < + +
3 3 3 2 2
2
2 ( ) ( )

( )
a b b abc a b c b c a
c a b
+ + + < + + +
+ +
3 3 3 2 2 2
( ) ( ) ( )a b c a b c b c a c a b+ + < − + − + −
BÀI 4:
1/ CMR:
3 3 2 2
a b a b ab+ ≥ +
2/Cho a,b,c thoả:
2 2 2
1a b c+ + =
CMR:
1 1
2 2
ab bc ca
−
≤ + + ≤
3/a+b
0≥
;
*
,m n N∈
;chứng minh rằng:
2 2 2
m m n n m n m n
a b a b a b
+ +

  
+ + +
≤
 ÷ ÷
  
4/
8 8 8
*
3 3 3
1 1 1
( , , )
a b c
a b c R
a b c a b c
+
+ +
≥ + + ∈
5/
2
2
2006
2
2005
a
a
+
>
+
6/
2 2

4 2( )a b ab a b+ + ≥ + +
7/
2
2 2
2
4
a
b c ab ac bc+ + ≥ − +
8/nếu:
a c
b d
<
thì
2 2
a
b
ab cd c
b d d
+
< <
+
BÀI 5:
Cho:
*
1;x n N< ∈
.chứng minh rằng:

(1 ) (1 ) 2
n n n
x x− + + <

;x
∈
R
BÀI 6: Cho:
*
, 0; , ,a b m n N m n≥ ∈ >
Cmr:
m m m n n n
a b a b+ ≤ +
BÀI7: Cho3 số a,b,c thoả:abc>0;ab+bc+ca>0
và a+b+c >0
CMR:a,b,c>0
BÀI 8: Cho 2a+3b=5;cmr:
2 2
2 3 5a b+ ≥
BÀI 9: Cho a,b>0;chứng minh rằng:
1 1 1
a b a b
a b a b
+
< +
+ + + +
BÀI 10: Cho tam giác ABC có cạnh
huyền c và 2 cạnh góc vuông là a,c chứng
minh rằng :
3 3 3
a b c+ <
BÀI 11:CMR
1/
2 2 2 2

( 1)( 1) ( 1) ( 1)x y x y y x+ + ≥ + + +
(với: x,y
≥
0)
2/a,b
≥
1,cmr:
1 1a b b a ab− + − ≤
BÀI 12:Cho x,y,z>0;cmr:
3x+2y+4z
≥ 3 5xy yz zx+ +
BÀI13:
1/ a,b,c,d>0 cmr:
( )( )a b c d ac bd+ + > +
2/ a,b,c>0;cmr:
2 2 2
1
( )
2
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + +
3/
2 2 2
1x y z+ + =
; cmr:
1
1

2
xy yz zx
−
≤ + + ≤
4/ a+b+c
≠
0
cmr:
3 3 3
3
0
a b c abc
a b c
+ + −
≥
+ +
BÀI 14(VĐQG lần 24 tại Pháp-câu a)
Gọi :a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác;cmr:
1/
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥
2/ Nếu:a<b<c thì:
3 2 2 3 2 2 3 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b− + − + − <
BÀI 15: Cho a,b,c,d>0;cmr:
Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206-
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c

a ab b b bc c c ca a
a b c
+ +
+ + + + + +
+ +
≥
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4
1 1
1 1 1
a b c abcd b c a abcd
c d a abcd d a b abcd abcd
+ +
+ + + + + +
+ ≤
+ + + + + +
Tổng quát:Cho
*
0; 1 ;
i
a i n n N> = → ∈
1
1 2
1 1
2

1
1 1
1 1
...
1 1
n n
n n
n n
i i i i
i i
i i
n n
n
n n
i n i i
i
i i
a a a a
a a a a
−
= =
= =
−
=
= =
+ + +
+ +
+ ≤
+ +
∑ ∑

∏ ∏
∑
∏ ∏
BÀI 16: Cho a,b >0 và
0
α β
> >
Cmr:
1
1
( ) ( )a b a b
α α β β
β
α
+ ≤ +
BÀI 17:Choa,b,c>0;cmr:
4 4 4
( 1) ( 1) ( 1) 25
a b c
b c c a a b
+ + + + + >
+ + +
BÀI 18: Cho
[ ]
, , 0,1a b c ∈
;cmr:
2
1 1 1
a b c
bc ca ab

+ + ≤
+ + +
BÀI 19: Cho:a,b,c
∈
R và:a+b+c=1,cmr:
1 1 1
3( )
3 3 3 3 3 3
a b c a b c
a b c
+ + ≥ + +
BÀI 20: Cho a,b,c đôi một khác nhau,cmr:
2 2 2
2
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
     
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
− − −
     
BÀI 21:Cho : a,b,c>0,cmr:
1 1 1 1
3 3 3 2
1 1
2 2
a b b c c a a b c
b c a c a b
+ + ≥

+ + + + +
+ +
+ + + +
(HD: x,y>0 ta có:
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
)
BÀI 22: Cho
∆
ABC có 3 góc thoả:
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2
A B C
tg tg tg
B C C A A B
tg tg tg tg tg tg
+ +
+ + +
=
=
1
4
2 2 2
A B C
tg tg tg
;CMR:
∆

ABC đều
(HD: đại số hoá và
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
)
BÀI 15:
1/Cho a.b
≥
1; cmr:
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+ ≥
+ + +
2/ Cho:a,b,c
≥
1; cmr:
3 3 3
1 1 1 4
1 1 1 1a b c abc
+ + ≥
+ + + +
DẠNG2: BẤT ĐĂNG THỨC CÔ SI
BÀI 1: 1/Cho:a,b,c
≥
0;a.b.c=4,cmr:
(a+b)(b+c)(c+a)
≥

8abc
2/ a,b,c>0;cmr:
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + + ≥
3/
2
2
2
2
1
a
a
+
≥
+
;
a
∀ ∈
R
4/a,b,c
∈
R thoả:a.b.c
≠
0,cmr:
2 2 2
2 2 2
a a b c
b c a b

b c
c a
+ + ≥ + +
BÀI 2:
∆
ABC có 3 cạnh :a,b,c; cmr:
1/(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
≤
abc
2/ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)
≥
0
BÀI 3:1/ Cho:x,y,z>0 và :x.y.z=1; cmr:
1 1 1
3
2 2 2
n n n
x y z+ + +
     
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
;n
∈
N
2/
( )
1
2
ab bc ca

a b c
a b b c c a
+ + ≤ + +
+ + +
; với
:a,b,c >0
3/ với :a,b,c >0
a b c a b c
b c c a a b a b b c c a
+ + > + +
+ + + + + +
Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206-
4/
( )( ) ( )( )
( )( )
a b c d b c d a
c a b d
+ + + + + +
+ +
4
6 abcd≥
;với :a,b,c,d >0
5/
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
; với :a,b,c >0

6/
4 4 4
( )a b c abc a b c+ + ≥ + +
BÀI 4:
1/Cho:a
≥
0 và n
∈
*
N
;cmr:
1
n
a n n a+ ≥ +
2/Cho:a,b,c>0 và a+b+c=1,cmr:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
BÀI 5:Cho:a,b,c
∈
*
N
,cmr:
( )
1
3

a b c a b c
a b c a b c
+ +
≥ + +
BÀI 6: Cho:a,b>0 và:
, , 1Q
α β α β
+
∈ + =
;cmr:
. . .a b a b
α β
α β
≤ +
BÀI 7:Cho:a,b,c>0,cmr:
1/
1 1 1 8
a b c
b c a
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
2/
3 3 3 3
3 3
1 1
1 1
a b abc b c abc
c a abc abc

+ +
+ + + +
+ ≤
+ +
3/
15
2
a b c b c a
b c a c a b
c a b
a b c
+ +
+ + + +
+ +
+
+ + ≥
+
4/
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6a b b c c a abc+ + + + + ≥
5/
3
3 3
a b c ab bc ca
abc
+ + + +
≥ ≥
BÀI 8: Cho:a,b,c
≥
0 và :a+b+c=1;cmr:

1/ b+c
≥
16.abc
2/(1-a)(1-b)(1-c)
≥
8abc
3/
3 3
1 1 1 2
a b c
a b c
+ + ≥
− − −
BÀI 9: Cho 2 số a,b thoả: a+b =1,cmr:
1/
3 3
1
4
a b+ ≥
;2/
4 4
1
8
a b+ ≥
TỔNG QUÁT: a+b=1,n
∈
*
N
,Ta luôn có:a/
1

1
2
n n
n
a b
−
+ ≥
b/
2 2
n
n n
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
BÀI 10 :Cho n
∈
*
N
,,cmr:
1/
1 1 2
n n
n n
n n
n n
+ + − <
2/
1

1 1
1 1
1
n n
n n
+
   
+ < +
 ÷  ÷
−
   
;n
≥
2
3/
1
1 1
1 1
1
n n
n n
+
   
+ > +
 ÷  ÷
+
   
4/
1
1 1 2

n n
n
a b
b a
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
;a,b>0
BÀI 11: Cho a,b,c>0; cmr:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
BÀI 12: Cho a,b,c>0 và thoả:a.b.c =1 ;cmr:
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
BÀI 13: Cho a,b >0 và thoả:a+b =1,cmr:
2 2
1 1 25
2
a b
a b

   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
BÀI 14: Cho:a,b,c>0 và :
2 2 2
1a b c+ + =
;cmr:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
BÀI 15: a,b
≥
0 .cmr:
1/
( )
8
2
64 ( )a b ab a b+ ≥ +
2/ (1+a+b)(a+b+ab)
≥
9ab
3/
3 3 2
3 7 9a b ab+ ≥
BÀI 16: Cho :a,b,c,d>0 và thoả:

1 1 1 1
3
1 1 1 1a b c d
+ + + ≥
+ + + +
;cmr:
abcd
1
81
≤
TỔNG QUÁT:
Cho:
0
i
a >
;i =1,….,n;n
∈
*
N
;n>2 thoả:
Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206-
1
1
1
1
n
i
i
n
a

=
≥ −
+
∑
;cmr:
( )
1
1
1
n
i
n
i
a
n
=
≤
−
∏
BÀI 17:Cho :a,b
≥
0; cmr:
2005 2006 4011
2005 2006 4011a b ab+ ≥
BÀI 18: Cho :a,b,c>0 và thoả:a+b+c =1;cmr:
1 1 1
1 1 1 8
a b c
   
− − − ≥

 ÷ ÷ ÷
   
TỔNG QUÁT: Cho:
*
0; 1,..., ;
i
a i n n N> = ∈
;thoả:
1
1
n
i
i
a
=
=
∑
;cmr:
1
1
1 ( 1)
n
n
i
i
n
a
=
 
− ≥ −

 ÷
 
∏
BÀI 19: Cho a,b,c
≥
0 ; cmr:
( ) ( ) ( )
( )
3
3
3
1 1 1 1
3
1 8
a b c
a b c
abc abc
+ +
 
+ ≥ + + +
 ÷
 
≥ + ≥
TỔNG QUÁT:Cho
*
0; 1,...., ;
i
a i n n N> = ∈

cmr:

( )
1
1
1 1
1 1
1 2
n
n
i
n
i
i
i
n
n n
n
n
i i
i i
a
a
n
a a
=
=
= =
 
 ÷
 ÷
+ ≥ +

 ÷
 ÷
 
 
≥ + ≥
 ÷
 ÷
 
∑
∏
∏ ∏
BÀI 20: 1/ Cho: a>b và: a.b =1;cmr:
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
2/
1
3
( )
a
b a b
+ ≥
−
;a>b>0
BÀI 21: cmr:
2005 2006

2004 2005
log log>
TỔNG QUÁT:
( ) ( )
2 3
1 2
log log
n n
n n
+ +
+ +
>
;n
∈
*
N
BÀI 22: Cho a>b
≥
0 ;cmr:

2
4
3
( )( 1)
a
a b b
+ ≥
− +
BÀI 23: Cho
1

; 1
2
a
a
b
≥ >
; cmr:
3
2 1
3
4 ( )
a
b a b
+
≥
−
BÀI 24 : Cho:
*
1 2 3
..... 0; ;
n
a a a a n k N> > > > > ∈
;
Cmr:
1
1 2 2 3 1
( 1) 2
( 1)
1
.( ) ( ) ...( )

( 1) 2
k k k
n n n
n k
n k
a
a a a a a a a
n k
k
−
− +
−
+
− − −
− +
≥
BÀI 25: Cho:a,b,c
≥
1 ;cmr:
2002 ( 1)( 1) 2004 ( 1)( 1)
2006 ( 1)( 1) 2003 2004 2005
a b b c
c a b a c
+ − + + − +
+ + − ≤ + +
BÀI 26: Cho:a>b>0;b>c>0; cmr:
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
BÀI 27:a,b,c
≥
0 ;cmr:

3
3
1 (1 )(1 )(1 )abc a b c+ ≤ + + +
TỔNG QUÁT: Cho:
*
; 0; 1,..., ;
i i
a b i n n N> = ∈
;CMR:
1 2 1 2 1 1 2 2
. ... . ... ( ).( )...( )
n n n
n n n n
a a a b b b a b a b a b+ ≤ + + +
BÀI 28: Cho :a,b
≥
0; cmr:
2 4
16 ( ) ( )ab a b a b− ≤ +
BÀI 29: cmr:
2 2
1 ( )(1 ) 1
2 (1 )(1 ) 2
a b ab
a b
− + −
≤ ≤
+ +
BÀI 30: Cho a,b
≥

1 ;cmr:
2
2 2 2
log log 2 log
a b
a b
+
+ ≤
BÀI 31: Cho: a,b,c
≥
0 v à :a+b+c = 1;cmr:
1/ 16abc
≤
a+b
2/abc(a+b)(b+c)(c+a)
8
729
≤
3/
6a b b c c a+ + + + + ≤
BÀI 32 :Cho a,b
≥
1;cmr:
1 1a b b a ab− + − ≤
BÀI 33 : Cho:a
≥
3;b
≥
4 ;c
≥

2 ;cmr:
Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206-
2 3 4 1
2 2
1 1
2 3 2 4
ab c bc a ca b
abc
− + − + −
≤ +
+
BÀI 34: cmr:
2
2 3
sin .cos
9
x x ≤
BÀI 35 : Cho:0
≤
x
≤
3; 0
≤
y
≤
4;cmr:
(3-x)(4-y)(2x+3y)
≤
36
BÀI 36: Cho m<n; m;n

*
N∈
;cmr:
1/
1 1
1 1
m n
m n
   
+ < +
 ÷  ÷
   
2/
3
2 1 3 1 1
1 ... 1
2 3
n
n
n
n
+ + +
+ + + + < +
BÀI 37 : Cho a,b,c>0 ; cmr:
1 1
1 1 1
3 3
5
1
3

a b c b c a
a b c
c a b
 
+
 ÷
+ + + +
+ + ≥
 ÷
 ÷
+
 ÷
+ +
 
BÀI 38: Cho a,b,c>0;a+b+c = 1; cmr:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
     
+ + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
BÀI 39: Cho:u,v>0;
2 2
1u v+ =
;cmr:
2 2
1 1
9u v
u v

   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
BÀI 40: Cho 0< a,b,c <1;cmr ít nh ất 1 trong 3
bđt sau sai:
1 1 1
(1 ) ; (1 ) ; (1 )
4 4 4
a b b c c a− > − > − >
BÀI 41:Cho :a,b,c
0≥
và:
2 2 2
4a b c abc+ + =
; cmr:
2a b c abc+ + >
BÀI 42: Cho x,y,z>0 ; cmr:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 1 1 1
y
x z
x y y z z x x y z
+ + ≤ + +
+ + +
BÀI 43 :( ĐẠI HỌC 2003-A)
Cho: x,y,z>0 và :x+y+z
1≤
; cmr:

2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
BÀI 44: Cho:0<x,y,z<1 và:xy+yz+zx =1
Cmr:
2 2 2
3 3
1 1 1 2
x y z
x y z
+ + ≥
− − −
( Dùng lượng giác hoá)
BÀI 45: Cho: a,b,c>0 và: ab+bc+ca =abc ;cmr
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
ab cb ac
+ + +
+ + ≥
( Dùng tương đương )
BÀI 46 :Cho x,y,z>0 và :x.y.z=1 ;tìm GTNN
9 9 9 9 9 9
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x
x x y y y y z z z z x x

+ + +
+ +
+ + + + + +
BÀI 47: Cho
0 , , 1x y z≤ ≤
; tìm GTLN của:
1 1 1
(1 )(1 )(1 )
x y z
y z z x x y
x y z
+ +
+ + + + + +
+ − − −
BÀI 48: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;
tìm GTLN của :
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
B ÀI 49: Cho x,y,z>0 v à:
2 2 2
1x y z+ + =
Cmr:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
x y z
y z z x x y

+ + ≥
+ + +
BÀI 50: Cho x,y,z>0;t ìm GTNN của:
x y z y z z x x y
y z z x x y x y z
+ + +
+ + + + +
+ + +
BÀI 51: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;CMR:
1 1 1 6x y z− + − + − ≤
BÀI 52: Cho x,y,z;p;q>0 v à:
3 3 3
1x y z+ + =
Cmr:
4 4 4
3x y z
py qz pz qx px qy p q
+ + ≥
+ + + +
BÀI 53 Tìm GTLN của:
1/A =
;1 , 2
x y
x y
y x
+ ≤ ≤
2/B =
;1 , , 2
x y z
x y z

y z x
+ + ≤ ≤
B ÀI 54: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;T ìm
GTLN c ủa: A=
1 1 1
(1 )(1 )(1 )
x y z
+ + +