NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN (BEC) Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

ĐÀM THỊ THU HẰNG

NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN (BEC)
Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

1


HÀ NỘI - 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

ĐÀM THỊ THU HẰNG

NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN (BEC)
Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Viết Hòa

2


HÀ NỘI - 2016

3


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn PGS. TS Lê Viết Hòa – giảng viên khoa Vật lý trường Đại
họcH Sư phạm Hà Nội, người đã trực tiếp hướng dẫn cũng như giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Thầy đã cung cấp
cho tôi những hiểu biết mới về những vấn đề chuyên sâu của vật lý lý thuyết
khi tôi mới bắt đầu bước vào thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện
luận văn thầy luôn định hướng, góp ý và sửa chữa những sai sót giúp tôi hoàn
thành tốt luân văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý trường Đại
họcH Sư phạm Hà Nội, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy và
nhiệt tình giúp đỡ chúng tôi trong khoá học này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học, các phòng ban, thư
viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ cho tôi
hoàn thành luận văn và cũng xin chân thành cảm ơn những bạn bè, đồng
nghiệp, đoàn thể cơ quan đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận
văn này.
Trong khoảng thời gian ngắn thực hiện luận văn, không tránh khỏi những
thiếu sót nên tôi rất mong nhận được mọi ý kiến đóng quý báu và chỉ bảo của
thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Tác giả

Đàm Thị Thu Hằng

1


MỤC LỤC

2


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
STT
1
2
3
4
5

Kí hiệu viết tắt
QCD
BEC
CJT
HF
SD

Chú thích
Sắc động học lượng tử
Ngưng tụ Bose – Einstein
Cornwall – Jackiw - Tomboulis

Pphương pháp Hartree-Fock
Phương trình Schwinger-Dyson

3


1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngưng tụ Bose – Einsten (BEC) là một trạng thái vật chất của khí
Bose loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần nhiệt độ không tuyệt đối (hay rất
gần giá trị 0K). Dưới điều kiện này, một tỉ lệ rất lớn các hạt Boson tồn tại ở
cùng một trạng thái lượng tử thấp nhất và hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở
mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử vĩ mô.
Trạng thái này do Einstein tiên đoán bằng lý thuyết trong một công
trình vật lý năm 1934. Có thể hình dung trạng thái này như một chất khí trong
đó nguyên tử không còn chuyển động nhiệt nữa mà bị buộc phải hoạt động
trong một không gian thống nhất hoàn toàn, cùng vận tốc, cùng phương, cùng
hướng. Ví dụ đơn giản là khíi Hheli lỏng ở nhiệt độ cực thấp, các nguyên tử
sẽ trở thành BEC (nhưng chỉ được 10% trong số đó thôi) làm cho Heli có
tính siêu dẻo, có khả năng leo ngược lên thành cốc và bò ra ngoài.
Lần đầu tiên con người nhìn thấy trạng thái này vào tháng 7 năm 1996
tại viện công nghệ Massachusette. Mẫu chất BEC đã được tạo ra có đường
kính 8 micromet và dài 150 micromet.
Về mặt ứng dụng thực tế thì triển vọng của BEC là rất lớn. Chẳng hạn,
dựa vào BEC , trong tương lai có thể chế tạo laser nguyên tử với khả năng đo
cực kì chính xác để dùng trong nghiên cứu khoa học và ứng dụng công nghệ.
Việc thực hiện thành công bằng thực nghiệm ngưng tụ Bose –

Einstein (BEC) vào năm 1995 đã tạo động lực mạnh mẽ cho các nghiên cứu lí
thuyết về BEC trong đó tính ổn định của BEC được quan tâm đặc biệt vì nó
có vai trò quyết định trong việc tạo ra các vật liệu mới có các tính chất vượt
trội so với các vật liệu truyền thống. Hơn nữa một trong những vấn đề đặt ra
trong nghiên cứu các tính chất của BEC là tìm hình thức luận lý thuyết phù
hợp để khảo sát các tính chất nhiệt động của nó.

2


2. Mục đích đề tài
Do tầm quan trọng của BEC đối với công nghệ tương lai, chúng tôi
thực hiện đề tài này nhằm nghiên cứu tính ổn định của BEC được tạo ra từ khí
Bose một thành phần với mục đích sau:
1. Tìm hiểu phương pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall -– Jakiw
-Tomboulis (CJT) ở nhiệt độ không và nhiệt độ hữu hạn.
2. Nghiên cứu tính ổn định của BEC một thành phần với các nhiệm vụ
cụ thể: Tính thế hiệu dụng tái chuẩn hóa ở gần đúng bong bóng kép và rút ra
phương trình khe, phương trình Schwinger - Dyson. Trên cơ sở đó sẽ thực
hiện tính số để vẽ sự phụ thuộc của các tham số trật tự (order parameter) vào
nhiệt độ hoặc hằng số liên kết và rút ra những nhận xét quan trọng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Là khí Bose một thành phần được mô tả bằng mật độ Lagrangian sau:
 ∂ ∇2 
*
*φ + λ( φ*φ)
φ
φ
-μ
φ

£ =  - i ÷
÷
2
 ∂t 2m 

2

trong đó m, µ là khối lượng thuần và thế hóa của hạt vô hướng mang điện
được mô tả bằng trường φ , còn λ là hằng số liên kết.
4. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Sử dụng các phương pháp đang sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường:
phương pháp gần đúng trường trung bình, phương pháp Hartree - Fock (HF),
kết hợp với tính số bằng máy tính điện tử.
5. Cấu trúc của luận văn
Trên cơ sở các kết quả thu được, chúng tôi viết luận văn này gồm 3 chương:
* Chương I: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT.
* Chương II: Thế hiệu dụng CJT của mô hình Sigma tuyến tính.
* Chương III : Tính ổn định của BEC một thành phần ở nhiệt độ cực thấp.

3


6. Các luận điểm cơ bản và đóng góp mới
Hoàn thiện luận văn này chúng tôi có thể cung cấp một cái nhìn tổng
quan về phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không và nhiệt độ
hữu hạn, phương pháp được cho là hữu hiệu nhất trong việc nghiên cứu các
hiện tượng tới hạn. Các nghiên cứu về tính ổn định động lực của BEC sẽ cho
một hiểu biết sâu sắc hơn về BEC để góp phần phát triển công nghệ tìm kiếm
các vật liệu mới.

4


CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT
I.1. Tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không
Thế hiệu dụng cho lý thuyết trường lượng tử đã được đưa vào lần đầu
tiên bởi Euler, Heisenberg và Schwinger [10], sau đó nó được Goldstone,
Salam, Weinberg và Jona – Lasinio [9] dùng để nghiên cứu sự phá vỡ đối
xứng tự phát. Những tính toán thế hiệu dụng trong khai triển một loop đã
được Coleman và E.Weinberg [6] thực hiện, còn những tính toán với khai
triển loop cao hơn đã được Jackiw [14] và Iliopoulos, Itzykson và Martin [12]
tiến hành. Các tính toán thế hiệu dụng cho các toán tử Composite đã được
Cornwall, Jackiw và Tomboulis [7] nghiên cứu.
Trong mụcchương này, chúng ta sẽ tìm hiểu một cách tổng quát về tác
dụng hiệu dụng ở nhiệt độ không với các khái niệm: các phiếm hàm sinh, tác
dụng hiệu dụng, khai triển loop,... Để tiện cho các lập luận chúng ta chỉ xét
trường vô hướng. Tuy nhiên từ các kết quả đó có thể dễ dàng suy ra trực tiếp
cho trường khác.
I.1.1. Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng.
Xét trường vô hướng φ ( x ) được mô tả bởi mật độ Lagrangian £[φ ( x ) ]
và hàm tác dụng:

S = ∫ £[φ ( x ) ]d 4 x .

(1.1)

Khi đó, mọi đặc trưng động lực của trường được xác định bằng biên độ
chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của nguồn ngoài J mà
nó được biểu diễn bằng tích phân đường có dạng [1]:

Z [ J ] ≡ 0out 0in = ∫ Dφ expi ( S[ φ] + φ.J ) ,

5

(1.2)


ở đây, để cho tiện, ta dùng kí hiệu:

φ.J = ∫ φ(x)J(x)d 4 x .

φ.J = ∫ φ(x)J(x)d 4 x

(1.3)

(1.3)

Z[ J ] là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần vì nó thoả mãn:

δn Z [ J ]
i n δJ n ...δJ 2 δJ1

= 0 T(φ1...φ n ) 0 ≡ G1,2...n .

(1.4)

J =0

Còn các hàm Green liên kết GC được rút ra từ phiếm hàm sinh W [ J ]
liên hệ với Z[ J ] bằng biểu thức

Z[ J ] = eiW[ J ]
hHoặc dưới dạng:

W [ J ] = -iln Z[ J ] .

(1.5)

Ta định nghĩa “trường cổ điển” φ ( x ) bằng biểu thức:
i( S[ φ] + φ.J )
δW [ J ] i ∫ Dφφ(x)e
=
≡ φ(x) = φ(x),
δJ
i ∫ Dφei( S[ φ] + φ.J )
i( S[ φ] +φ.J )
δW [ J ] i ∫ Dφφ(x)e
=
≡ φ(x) = φ(x)
δJ
i ∫ Dφei( S[ φ] +φ.J )

(1.6)

(1.6)

khi đó tác dụng hiệu dụng Γ[φ] được xác định bằng phép biến đổi Legendre
loại I (vì nó tạo ra các đỉnh bất khả quy một hạt – 1PI):

Γ[φ ] = W [ J ] - φ.J .

Ở đây, cũng như (1.3), ta đã kí hiệu:

6

(1.7)


φ.J = ∫ φ ( x ) J ( x ) d 4 x .

(1.8)

Từ (1.7), ta sẽ thu được hệ thức liên hợp Legendre bằng cách lấy đạo hàm
theo φ ( φ là biến tự nhiên của phép biến đổi Legendre) của Γ[φ] :

δΓ  φ 
=−J .
δφ

(1.9)

Trạng thái cơ bản của hệ ứng với sự triệt tiêu nguồn ngoài (tức là với
J = 0) sẽ cho hệ thức xác định φ ( x )

δΓ [φ ]
δφ

= 0.
J= 0

Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát:

Z [ J,K ] = ∫ Dφ e

1
i  S[ φ ] + φ .J + φ .K.φ ÷
2



= eiW[ J,K] ,

(1.10)

tTrong đó K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính Composite của trường.
Một cách tương tự, bằng cách đưa vào “trường cổ điển” φ ( x ) theo (1.6) và
hàm truyền G bởi hệ thức:

δW [ J, K ] 1
1
≡ φ ( x ) φ ( y ) = φ ( x ) φ ( y ) + G ( x,y )  ,
δK ( x, y ) 2
2

(1.11)

ta sẽ nhận được tác dụng hiệu dụng CJT bằng biến đổi Legendre loại II:

1
1
Γ[φ, G] = W [ J, K ] - φ.J - φ.K.φ - Tr [ G.K ] ,

2
2

(1.12)

1
1
Γ[φ,G]=W [ J,K ] - φ.J - φ.K.φ - Tr [ G.K ]
2
2

(1.12)

7


ở đây ta đã ký hiệu:

φ.J = ∫ φ ( x ) J ( x ) d 4 x ,
φ.K.φ = ∫ φ ( x ) K ( x, y ) φ ( y ) d 4 x d 4 y,

(1.13)

Tr [ G, K ] = ∫ G ( x, y ) K ( x, y ) d 4 x d 4 y.
Các phương trình (1.6) và (1.11) có thể xem như phép biến đổi từ (J, K)
thành các biến tự nhiên ( φ,G ) của phép biến đổi Legendre loại II (1.12).
Các đạo phiếm hàm của Γ[φ,G] theo biến số tự nhiên φ và G sẽ cho các
phương trình:

δΓ[φ ,G]

= - J - K.φ ,
δφ

(1.14)

δΓ[φ ,G]
1
=- K .
δG
2

(1.15)

Trạng thái cơ bản của hệ tương ứng với J = 0 sẽ được xác định bởi phương
trình khe (Gap):

δΓ[φ,G]
δφ

= 0,

(1.16)

J=K=0

và phương trình Schwinger-Dyson (SD):

δΓ[φ,G]
δG

= 0.

(1.17)

J=K=0

Như vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính chất Composite thì
thay cho tác dụng hiệu dụng Γ[φ] là tác dụng hiệu dụng Γ[φ,G] tổng quát
hơn, tác dụng Γ[φ,G] không chỉ phụ thuộc vào trung bình chân không của

8


toán tử trường mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G (là trị trung bình của T tích của các toán tử trường).
I.1.2. Khai triển Loop của tác dụng hiệu dụng.
Trong mục này ta sẽ xét các khai triển bất khả quy một hạt (một loop) và
hai hạt (hai loop) của tác dụng hiệu dụng. Điều đó giúp ích cho việc tính tác
dụng sau này.
I.1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt (một loop).
Xét phiếm hàm của trường vô hướng

e

iΓ φ 

= e

i( W[ J ] - φ.J )

=∫

δΓ φ 

i S[ φ] - ( φ - φ ) .   
δφ 
Dφe 

(1.18)

với hệ thức liên hợp Legendre

δΓ  φ 
= −J.
δφ

δΓ  φ 
= − J.
δφ
Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển S [ φ] dưới dạng:

S[ φ] =

1
φ.iG -10.φ + Sint [ φ] ,
2

(1.19)

thì với φ = 0 phương trình (1.18) có dạng:

eiΓ[ 0] = ∫

 1
δΓ φ 
i  φ.iG -10 .φ + Sint [ φ] - φ.  
φ
 2δ
Dφe 



φ =0 
.

(1.20)

Từ đây ta sẽ tìm phiếm hàm Γ1[φ] thỏa mãn phương trình (1.20) và trở
nên đồng nhất với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng tương
tác và hàm truyền, tức là:
9


eiΓ1 [ φ] = ∫ Dφ% e

 1
δΓ1 φ  
i  φ% .iG -10 ( φ ) .φ% + Sint φ% , φ  - φ% .

φ 
 2δ

.

(1.21)

Tiến hành phép biến đổi:

φ% = φ − φ

(1.22)

và Và khai triển S[ φ] quanh giá trị φ

δS[φ] 1 % -1
S [ φ] = S[φ% + φ] = S[φ] + φ%
+ φ.iG 0 . ( φ ) .φ% + Sint [φ% , φ ],
δφ
2
trong đó

δ 2S
iG . ( φ ) =
,
δ φ( x)δ φ( y )
-1
0

(1.23)

khi đó (1.21) trở thành:

e{

iΓ 1 φ
 + S φ
 }

= ∫ Dφe


 δΓ1 φ
  + δS φ
   
i S[ φ] - °φ.
÷
 δφ
δφ ÷

 


.

(1.24)

So sánh (1.24) và (1.18) ta nhận được:
Γ [ φ ] = Γ1 [ φ ] + S[ φ ] ,

(1.25)

Γ1 [ φ ] là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy 1 hạt tương ứng với

( )

tác dụng tương tác Sint φ, φ và hàm truyền G 0−1 φ .
I.1.2.2. Khai triển bất khả quy hai hạt (hai loop).
Xuất phát từ phiếm hàm sinh tổng quát với trường vô hướng:

Z [ J,K ] = ∫ Dφe
⇒

1
i S[ φ] + φ.J + φ.K.φ ÷
2



1
1
i{W[ J,K ] - φ.J - φ.K.φ - Tr[ G.K ]}
2
2
e
=

= eiW[ J,K ] .

∫ Dφe

Khi đó :

10

1
1
1
i S[ φ] + φ.J + φ.K.φ - φ.J - φ.K.φ - Tr[ G.K ] ÷
2
2
2



.


e

iΓ  φ,G 

=e

{

1
1
i W[ J,K ] - φ.J - φ.K.φ - Tr [ G,K ]
2
2

{
Dφe

=

i
- Tr[ G,K ]
2
e

=

 δΓ  φ,G  
iTr  G 

δG 
e 

∫

}

i S[ φ] + ( φ - φ ) ( J + K.φ ) +

∫

1
( φ - φ ) .K.( φ - φ )
2

}

(1.26)

δΓ  φ,G 

 δΓ  φ,G  

i S[ φ] - ( φ - φ )  
.( φ - φ ) 
÷- ( φ - φ) .
δG

 δφ 
Dφe 
.

Sử dụng biểu diễn tác dụng cổ điển S [ φ] với φ = 0 , khi đó phương
trình (1.26) có dạng:

eiΓ[ 0,G ] =

 δΓ[ 0,G ] 
iTr G

e  δG 

với hằng số:

∫

∫

δΓ [ φ]
 1
i  φ.iG -10 .φ + Sint [ φ] - φ k
2δ
δG
φ
Dφe 

1
- φ.G -10 .φ
Dφe 2
=

e

ln ( DetG -10 )

-

1
2

=

- φ.
φ =0

δΓ[ 0,G ] 
.φ 

,

(1.27)

1
- Tr lnG -10 
e 2
.

(1.28)
Khi đó tác dụng hiệu dụng được viết lại:

{

i
iΓ 0,G
 -10 
[ ]- Tr lnG
2
e

}=e

 δΓ[ 0,G ] 
iTr  G
δG 


.

∫

1
δΓ [ φ ]
i  φ.iG -10 .φ + Sint [ φ ] - φ k
2
δφ
Dφ e 

∫

- φ.
φ =0

δΓ[ 0,G ] 
.φ 
δG


.

1
i φ .iG -10 .φ
Dφ e 2

(1.29)

Tương tự như khai triển bất khả quy một hạt, ta cần tìm phiếm hàm

δΓ 2 [ φ,G ]

thỏa mãn phương trình giống (1.29) và trở nên đồng nhất với nó khi

làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng tương tác và hàm truyền, tức là:

e

{

i
iΓ 2  φ,G - Tr lnG
 -10 
2 

}=

 δΓ 2  φ ,G  
iTr  G   
δG 
e 
.

∫

δΓ2k  φ  % δΓ2  φ ,G  % 
 1
i  φ% .iG -10 .φ% + Sint  φ% , φ  - φ%
- φ.
.φ 

δG
φ
 2δ

%
D φe

∫

11

1
i φ% .iG -10 .φ%
Dφ% e 2

.

(1.30)


Khi φ = 0 thì (1.30) được viết lại như sau:

{
e

i
iΓ 2 0,G

[ ]- Tr lnG
2 

=

-1
0



}=

 δΓ [ 0,G ] 
iTr G 2

e  δG  .

∫ Dφe

 1
δΓ 2k  φ,G 
i  φ.iG -10 .φ + Sint [ φ ] - φ
2δ
δG
φ


∫

- φ.
φ= 0

δΓ 2 [ 0,G ] 
.φ 


(1.31)

.

i
φ.iG -10 .φ
2
Dφe

Khai triển tác dụng cổ điển S [ Φ ] S[ φ] quanh giá trị φ :
δS  φ  1
S  φ  = S[ φ ] − φ%   − φ% .iG -10.( φ ) .φ% − Sint  φ% , φ  ,
δφ
2
δ2 S
iG .( φ ) =
.
δφ ( x)δφ( y )
−1
0

trong đó:

Nhân cả hai vế của (1.31) cho eiS[ φ] ta có:

e

{

i
i S[ φ ] +Γ 2 [ φ,G ] - Tr lnG 0-1 
2

=

 δΓ2  φ ,G  
iTr  G

δG 
e 

∫

với

∫

1
- φ.G -1 .φ
Dφe 2

}=


 δΓ 2k  φ  δS[ φ ]  %  i -1 δΓ 2 [ φ ,G ]  % 
i S[ φ] - φ% 

+
φ ,
÷ - φ G0 +
δφ
δ φ   2
δG ÷
 



%
Dφe

=e

ln ( Det G -1 )

-

1
2

=

1
- Tr lnG -1 
2
e

=

1
Tr [ lnG ]
e2

(1.32)

.

(1.33)
Nhân hai vế của (1.32) với (1.33) ta có :

{
e

i
iΓ 2  φ,G + S [ φ ]- Tr lnGG

2 

=

 δΓ 2  φ ,G  
iTr  G

δG 

e
×

∫

-1
0



}=

 δΓ 2k  φ  δS[ φ ]  %  i -1
i -1 δΓ2  φ ,G   % 

i S[ φ ] - φ% 
+
÷ - φ G 0 [ φ ] - G +
÷.φ 
δφ
δφ   2
2
δG


  .
%
Dφe

12

(1.34)

Từ (1.34) và (1.26) ta có khai triển bất khả quy hai hạt của các tác dụng
hiệu dụng cho các toán tử composite:
i
Γ φ,G  = S φ - Tr lnGG -10 - GG -10 + 1 + Γ 2  φ,G  ,
2

(1.35)

ở đây Γ 2 φ,G  bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai
hạt.
Phương trình (1.35) là một phương trình vi - tích phân của phiếm hàm
sinh Γ 2  φ,G  và nó tạo ra các giản đồ chân không với một hàm truyền và tác
dụng đã được thay đổi.

I.1.3. Thế hiệu dụng.
Trong trường hợp bất biến tịnh tiến, trường cổ điển φ(x) là một hằng
số, tức là:

φ(x) = φc

(1.36)

φ(x) = φc

(1.36)

Khi đó, có thể biểu diễn tác dụng hiệu dụng Γ[φc ,G] dưới dạng:

Γ[φc ,G] = -Veff (φc , G) ∫ d 4 x.

(1.37)

Veff (φc , G) là thế hiệu dụng.
Từ khai triển (1.35), ta đã thu được thế hiệu dụng biểu diễn trong không gian
xung lượng:

13


i d4p
Veff ( φ c ,G ) = U ( φ c ) + ∫
Tr  lnG ( p ) G 0-1 ( p ) - G 0-1 ( φ c ,p ) + 1 + V2 ( φ c ,G ) ,
4
2 ( 2π )
(1.38)

ở đây U(φc ) là thế cổ điển và V2 ( φc ,G ) là tổng tất cả các giản đồ chân không
bất khả quy hai hạt.
Điều kiện dừng mô tả trạng thái cơ bản của hệ sẽ là:

δVeff ( φc ,G )
= 0,
δφc
(1.39)

δVeff ( φc ,G )
= 0.
δG
(1.40)

I.2 .Tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn.
Lý thuyết trường vừa trình bày trong mục 1 chủ yếu để mô tả các đại
lượng quan sát được trong không - thời gian trống. Nhưng ở thời kỳ đầu của
vũ trụ, khi mà nhiệt độ rất cao và môi trường đã có một lượng vật chất và mật
độ bức xạ đáng kể thì lý thuyết trường ở nhiệt độ 0 không còn áp dụng được
nữa. Do đó cần phải có một lý thuyết trường tổng quát hơn gần với nhiệt động
lực, trong đó trạng thái nền là một bể nhiệt, đó là lý thuyết trường ở nhiệt độ
hữu hạn. Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một cách tổng quát lý
thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn với các nội dung: cơ sở chính tắc lớn, các
phiếm hàm sinh, các hàm Green nhiệt độ, hình thức luận thời gian ảo, hình
thức luận thời gian thực.
I.2.1. Cơ sở chính tắc lớn.

14


Để xây dựng quy tắc Feynman cho lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn,
trong mục này ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm được lấy từ nhiệt động lực học
và vật lý thống kê.
Để mô tả một hệ cô lập với năng lượng E, số hạt N và có thể tích V ta
dùng cơ sở “vi chính tắc” và để mô tả hệ nối với bể nhiệt ở nhiệt độ xác định T
cùng với số hạt N và thể tích V không đổi ta dùng “cơ sở chính tắc”. Trong
trường hợp này giữa hệ và bể nhiệt sẽ xảy ra sự trao đổi năng lượng, cuối cùng
ta dùng cơ sở chính tắc lớn để mô tả hệ vật lý có sự trao đổi năng lượng và số
hạt với bể nhiệt khi nhiệt độ T, thể tích V và thế hóa µ được giữ nguyên.
Bây giờ ta xét hệ đặc trưng bởi Hamiltonian H và một hệ điện tích bảo
toàn QA, (khi đó các toán tử H và QA giáo hoán với nhau). Trạng thái cân bằng
nhiệt động của hệ trong một thể tích V lớn sẽ được mô tả bằng toán tử mật độ
chính tắc lớn:

ρ = exp ( -Φ ) exp ( Σα A Q A - βH ) ,
trong đó

(1.41)

Φ = logTr [ exp ( - Σα A Q A - βH ) ] là hàm Massieu,
α A = - βμ A và β =

1
là các thừa số Lagrange,
T

T là nhiệt độ và µ là thế hóa.
Dựa vào (1.41) ta sẽ xác định được trung bình chính tắc lớn của một
toán tử F bất kỳ :

F = Tr [ Fρ] .

(1.42)

Do ý nghĩa thống kê toán tử mật độ ρ phải thỏa mãn:
1 =1 .

(1.43)

1 =1

(1.43)

15

Dưới đây, để cho gọn ta sẽ coi µ = 0 trừ trường hợp cần thiết sẽ nói rõ.
I.2.2 Các phiếm hàm sinh.
Xét trường vô hướng thực φ ( x ) không mang điện ( µ A = 0 ) với
Hamiltonian H. Khi đó, theo biểu diễn Heisenberg:
r
φ ( x ) = eiHt φ ( 0,x ) e -iHt ,

(1.44)

ở đây x 0 = t được kéo dài giải tích sang mặt phẳng phức.
Hàm Green nhiệt độ được định nghĩa là trị trung bình chính tắc lớn của
T- tích của các toán tử trường, tức là:

G c ( x1 ,x 2 ...x n ) = Tc ( φ ( x1 ) φ ( x 2 ) ...φ ( x n ) ) ,
t

(1.45)

Trong đó T - tích (được biểu diễn bằng toán tử Tc) có ý nghĩa là các toán

tử trường được sắp xếp có trật tự dọc theo đường C trong mặt phẳng t phức.
Ví dụ, T- tích của hai toán tử trường được định nghĩa là:

Tc ( φ ( x ) φ ( y ) ) =θ c (x 0- y 0 ) φ (x ) φ (y )+ θ c (y 0- x 0 ) φ (y ) φ (x ).

(1.46)

Nếu ta tham số hóa đường C bởi t = z ( τ ) , trong đó τ là tham số thực

thì Tc có nghĩa là thứ tự chuẩn dọc theo τ . Do đó các hàm bậc thang
Heiviside và Delta có thể viết:

θc ( t ) = θ ( τ ) ,
-1

∂z
δc ( t ) =  ÷ δ ( τ ) .
 ∂τ 
Áp dụng các quy tắc của hình thức luận phiếm hàm với
ur r
δj ( y ) /δj ( x ) = δ C ( x 0 - y 0 ) δ3 x - y

(

v

)

Và phiếm hàm sinh Zβ [ J,K ] cho các hàm Green toàn phần là:

{

Zβ [ J,K ] = TCexp i ∫ d 4 xJ ( x ) φ(x) +
C

}

i
d 4 xd 4 yφ ( x ) K ( x,y ) φ ( y ) .

∫
C
2

16

(1.47)


Ở đây, ta có thể giả thiết rằng Z đã được chuẩn hóa sao cho:

Zβ [ 0,0] ≡ 1 =1
v

Và tích phân dọc theo t được coi như lấy theo đường C trong mặt

phẳng phức.
PCòn phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết W β [ J,K ] sẽ là:

iW β [ J,K ] = lnZβ [ J,K ] .

)
Phiếm hàm sinh cho các hàm Green bất khả quy hai hạt ( 2PIΓ

(1.48)

φ ]
[ ,G

β

nhận được bằng biến đổi Legendre loại II (giống như 1.12) có dạng:

Γβ [ φ,G ] = W β [ J,K ] - ∫ d 4 x φ ( x ) J ( x ) c

1
d 4 xd 4 y φ ( x ) K ( x,y ) φ ( y )
∫
c
2

(1.49)

1
- ∫ d 4 xd 4 yG ( x,y ) K ( x,y ) .
2 c
Vvới

δW β [ J,K ]
φ( x) =
≡ φ( x)
δJ ( x )
(1.50)

ta có

i
Γβ [ φ,G ] = S [ φ] - Tr lnGG -10 - GG -10 +1 + Γβ2 [ φ,G ]
2

(1.51)

cCần chú ý ở đây, các trung bình đều theo nghĩa trung bình chính tắc lớn.
Từ (1.49) ta thu được hệ phương trình

δΓβ [ φ, G ]
= - J ( x ) - ∫ d 4 x φ ( y ) K ( x, y ) ,
c
δφ ( x )

(1.52)

δΓβ [ φ, G ]
K ( x,y )
= .
δG ( x, y )
2

(1.53)

17


Trạng thái cơ bản ứng với sự triệt tiêu của các nguồn ngoài sẽ cho thỏa
mãn hệ phương trình:

δΓβ [ φ, G ]
δφ

= 0,

(1.54)

= 0.

(1.55)

J=K =0

δΓβ [ φ, G ]
δG

J=K =0

Hệ phương trình này cho các giá trị khác không của trường và hàm truyền,
do đó xác định sự vi phạm đối xứng.
Nhận xét rằng: khi K=0 thì tác dụng hiệu dụng của toán tử Composite
Γβ [ φ,G ] sẽ trở về tác dụng hiệu dụng thông thường, tức là

Γ [ φ,G 0 ] K=0 = Γ [ φ]
β

β

δΓβ [ φ, G ]
= 0.
hoặc
δG 0

(1.56)

Cũng như trong trường hợp nhiệt độ không, khai triển 2 loop của tác dụng
β
hiệu dụng Γ [ φ,G ] có dạng

i
Γβ [ φ,G ] = S [ φ] - Tr lnGG 0-1 - GG 0-1 +1 + Γβ2 [ φ,G ] .
2

(1.57)

Trong trường hợp bất biến tịnh tiến φ = φc không đổi, thì hàm Green
chỉ phụ thuộc hiệu x - y tức là G ( x, y ) = G ( x - y ) và ta sẽ biểu diễn được
β
Γβ [ φ,G ] qua thế hiệu dụng Veff
( φ,G )
β
Γβ [ φc , G ] = - Veff
( φc , G ) ∫ d 4 x.

v

Và phương trình xác định sự vi phạm đối xứng:

18

(1.58)


β

∂ Veff
( φc ,G )
= 0,
∂ φc

(1.59)

β
∂ Veff
( φc , G )
= 0.
∂G

(1.60)

Tương ứng với (1.57) ta có khai triển 2 loop của thế hiệu dụng
β
Veff
( φc ,G ) trong biểu diễn xung lượng:

i d4p
V ( φc ,G ) = U ( φc ) + ∫
Tr lnGG 0-1 ( p ) - G ( p ) G 0-1 ( φc ,p ) + 1
4
2 ( 2π )
(1.61)
β
eff

+ V2β ( φc ,G ) .

I.2.33 . Các hàm Green nhiệt độ.
Trong mục này, ta sẽ tiến hành các tính toán chi tiết cho hàm Green
làm cơ sở để xây dựng quy tắc Feymann cho lý thuyết trường nhiệt độ.
Nếu ta đòi hỏi hàm Green giải tích theo t thì không phải mọi đường lấy
tích phân đều được chấp nhận. Sử dụng (1.46) ta có hàm Green hai điểm của
trường vô hướng theo định nghĩa (1.45), ta có

G c (x - y) =θ c(x 0- y 0)G +(x - y) + θ c(y 0- x 0)G -(x - y),

(1.62)
(1.62)

trong đó:

G + (x - y) = φ(x) φ(y) ,

(1.63)

G - (x - y) = G + (y - x).

Lấy một tập đủ các trạng thái n ứng với các trị riêng En tức là
r r
H n = E n n ta sẽ khai triển được tại điểm x = y = 0 :
2

G + (x 0 - y0 ) = e-φ ∑ m φ(0) n e-iE

19

n

(x 0 - y 0 ) iE m (x 0 - y 0 + iβ)

e

.

(1.64)